轮换对称不等式的证明技巧

x x
2 1 2
+
x22 x3
+
,+
x
2 n-
xn
1
+
x
2 n
x1
\
x
1
+
x2+
,+
x n.
分析:
待证不等式等价于
x
2 1
x2
-
x 1+
x
2 2
x3
-
x 2+
,
+
x
2 n
x1
-
x n \0, 而当 x i >
0 时, 对任意 xj 、x k ( 1 [
j, k
[
n
)
,
总有
xk xj
(
x
k
-
xj)
\xk -
比较0 即可获证.
1. 2 项数均衡配平法
例 4 已知 a、b 、c 均为正 数. 求证:
(a+
b+
c)(
1 a
+
1 b
+
1 c
)
\9.
分析: 待证式左边为两个三项式的积, 而右边 是常
数 9, 若使用一次平 均值 不等 式/ a、b 、c I R+ ] a + b + c \3 3 abc0, 就会出现一个系 数 3, 于是 右边常 数 9
a
2
+
b2 + 2
c2.
分析: 由于 当 a =
b=
c
时等 号成 立,
此时
a4 b 2+
c2
=
b 2+ 4
c2,
b4 c2+ a2
=
c 2+ 4
a2
,
c4 a2 + b2
=
a 2+ 4
b
2
,
而
b
a 2+
4
c
2
+
b 2+ 4
c2 \ a2,
c
2
b +
4
a
2
+
c2+ 4
a2
\
b
2,
c4 a2+ b2
+
a2+ 4
例1
已知 a+
b+
c=
1. 求证: a2+
b 2+
c2\
1 3
.
分析: 待证 式的 左 边各 项都 是 二次, 而 右 边常 数
1 3
是零次的.
因此认为待证式两
边的次
数在结构
上不
均衡, 所以将右边变为二次式尤为重要, 而已知 条件 a
+ b + c = 1, 于 是 待 证 式 可 化 为 a2 + b2 + c2 \
= 1. 求证:
a+
b+
c<
1 a
+
1 b
+
1 c
.
分析: 由于待证不等式右边为分式, 于是可利 用条
件 abc= 1, 将左边配成分式:
中学数学教学参考
2003 年第 4 期
a+ b+ c=
1 bc
+
1 ac
+
1 ab
<
1 2
(
1 b
+
1 c
)+
1 2
(1 a+来自1 c)+
1 2
(
1 a
+
1 b
)
证: an+ bn < cn.
分析: 由 a、b、c 都是正 数及 a2 + b2 = c 2 可知 a、
b 、c 可 为直角三角形的三边长, 于是 可令 a = c cosA, b
= csinA, ( 0< A<
P 2
)
,
由于
0<
s in A<
1, 0<
cos A<
1,
则 0< sinnA< sin2 A, 0< cosnA< cos2A, ( n> 2) , 因此
于是题 中应 以 a+ b+ c = 1 代 入右 边, 这样 待 证式
化为 a + b+ c [ 3 a+ b+ c , 此时两边的次数配
平为
1 2
,
若令
a=
x 2,
b=
y 2, c=
z 2, 待证式即为
a2+
b2 +
c2 \( a+
b+ 3
c) 2 ( 或用/ 分析法0) .
例 3 已知 a> 0, b > 0, 且 a3+ b 3= 2. 求证:
)2
=
( sin2 A+
s
1 in2
A)
2
+
( cos2 A+
1 cos2
A)
2
\
1 2
( sin2A+
cos2 A+
s in12A+
1 cos2
A)
2
=
1 2
( 1+
s
4 in2 2
A)
2
\
25 2
.
当且仅当 A=
P 4
,
即
a=
b=
1 2
时取等号.
例 15 已知 a、b 、c 都是正 数, 且 a2+ b2 = c2. 求
= 3 @ 3, 因此, 由 a+ b + c \3
3 abc > 0,
1 a
+
1 b
+
1 c
\3
3
1 abc
>
0,
两式相乘即可.
例 5 已知 a、b、c 均为 正数, 且 a+ b+ c = 1. 求
证: (1+
1 a
)
(
1+
1 b
)(
1+
1 c
)
\ 6 4.
分析: 由例 4 可 知, 右边 64= 4 @ 4 @ 4, 则 左边 三
b2 \ c2,
后三式边边相加可得
a b2+
4
c
2
+
c
2
b +
4
a
2
+
a
2
c4 +
b2
\
a
2
+
b2 + 2
c2.
例 17 已知 a、b、c 都是正数, 且满 足 abc= 1.
xj ( 当 xk \xj
时显然 成
立; 当 x k<
xj
时,
xk xj
(
xk-
xj )=
-
xk xj
(
x
j
-
x k) >
- ( xj - xk) = xk - xj .
故
x
2 1
x2
-
x1+
x22 x3
-
x2+
,+
xn2 x1
-
x n=
x x
1 2
(
x
1
-
x2)+
x x
2 3
(
x
2
-
x3) +
,+
式等价于
b
a2 +
c
-
a 2
+
c
b2 +
a
-
b 2
+
a
c2 +
b
-
c 2
\0, 由
a、b 、c 的对称性, 不妨设 a \ b \c> 0, 则
a2 b+
c
-
a 2
+
c
b +
2
a
-
b 2
+
a
c2 +
b
-
c 2
=
2a2- a( b+ 2( b + c)
c) +
2b 2- b ( c+ 2( c+ a)
27( a+ b- c) ( b+ c- a) ( c+ a- b ) .
例 13 若 x + y + z = a, 且 x , y , z I R. 求证:
x 2+ y 2+ z 2 \ a2 3.
分析: 由于 x 、y 、z 的/ 地位相 同0 , 所以 利用 x 、y 、
z
与其 和的平均值a2 3
( a+
b+ 3
c)
2
,
从而利用/
作差比较0 即可轻松获证.
例 2 已 知 a + b + c = 1, 且 a、b、c 均 为非 负实
数. 求证: a + b+ c [ 3.
分析: 此题与例 1 相 同的条 件是 a + b + c= 1, 而
待证式的左边 各项 都是
1 2
次, 右 边常 数
3是 零次 的,
之间的 关系,
通过换 元达到 减元
的目的. 设 x =
a 3
+
A, y =
a 3
+
B,
z=
a 3
-
( A+
B) ,
A, B I R , 则
x2+
y2+
z2=
(
a 3
+
A) 2 +
(
a 3
+
B) 2 +
[
a 3
-
( A+
B) ]
2=
a2 3
+
A2 +
B2+
( A+
B)
2
\
a2 3
.
3. 2 三角换元
例 14 已知 a、b 均为正数, 且 a+ b= 1. 求证:
=
1 a
+
1 b
+
1 c
.
2 均分组合法
把常数项或独立项(指与其他项不成对称式的项 )
均分到其他各个对称项中, 进行重新组合, 并使表达式
右边为零. 这样, 在变形、化简、及放 缩过 程中都 以/ 00
为目标, 方向明确, 容易调整和控制放缩程度.
2. 1 均分常数项 例 8 已知 a, b, c I R+ . 求证:
当且仅当 sinA = sin B, cosA + cosB = 1, 即 v A BC 为正三角形时等号成立.
2. 2 均分独立项
例 10 已知 a、b 、c 都是正数. 求证:
a b+
2
c
+
c
b +
2
a
+
a
c2 +
b
\
a
+
b+ 2
c.
思想#方法#技巧
37
分析: 将独立项 a+
b+ 2
c 分解重组, 于是所证 不等
于是 1- 2cosA + 1- 2cosB + 1- 2cosC = sin2 A + cos2 A - 2cosA + sin2 B + cos2 B- 2cosB
+ 1+ 2cosA cosB - 2sinA sinB = ( sin A - sinB ) 2 + ( 1- cosA - cosB ) 2 \0.
2a- b- c 2( b + c)
+
2b- c 2( a+
-a c)
+
2c- a- b 2( a+ b )
\2a-
b-
c + 2 b- c- a+ 2( a+ b)
2c-
a-
b=
0.
当且仅当 a= b= c 时等号成立.
例 9 在 v A BC 中, 求证:
cosA + cosB + cosC [
b+
c
分析: 从待证式的两边/ 次 数0 、/ 项 数0 看, 无需 均
衡配平. 而从运算结构 上分析, 待证 式左 边是分 式, 而
右边是整式, 因此去分母成为解题的关键, 如何去 分母
呢?
由平均值不等式可知
a2 b
+
b
\2a,
b2 c
+
c \2b,
c2 a
+ a \2c, 三式相加即可获证.
例 7 已知 a、b 、c 为 互不 相等的 正实 数, 且 abc
x x
n 1
(
xn-
x 1) \x1-
x 2+
x2
- x 3 + ,+ x n - x 1= 0, 当且仅当 x 1= x 2= ,= x n 时
等号成立.
3 变量换元法
对于那些具有一 定特色 的代数 式, 可根据 题目 特
点, 巧设某些/ 代数和0 或/ 三角函数0 作换元, 充分 利用
新元性质去解决问题.
a)
+
2c2- c( a+ b ) 2( a+ b )
\ 2( a2 +
b2 +
c2 ) - 2( ab + 2( a+ b)
bc +
ca)
=
( a-
b) 2+ ( b- c) 2 + 2( a+ b )
( c-
a)2 \0
当且仅当 a= b= c 时, 等号成立.
例 11 设 x i > 0( i= 1, 2, 3, ,, n) , 求证:
36
思想#方法#技巧
中学数学教学参考
2003 年第 4 期
轮换对称不等式的证明技巧
江苏省宜兴市宜兴中学 张祖寅 江苏省宜兴市实验中学 戴顺芳
轮换对称不等式的证明技巧很多, 但规律难寻, 本 文介绍四种具有规律性、程序化、易操作的方法供读者 参考.
1 均衡配平法
即从不等式左、右 两边的/ 次 数0、/ 项数0、/ 运算0 入手, 分析其结构上 的差异, 采取/ 配 平的 方法0 , 使不 等式两边达到/ 均衡0 , 进而转化为/ 同类式0比较. 1. 1 次数均衡配平法
a+ b [ 2.
分析: 已知式为三次 式, 待证 式为 一次式, 把 已知 式降为一次式难, 把一次式升为三次式易, 于是待证式 即证( a+ b) 3 [ 8 成 立, 展开 后化 简得 a2 b + ab 2 [ 2,
欲证此式, 由例 1 与例 2 的经验可知, 只需将右边 2 换 成 a3+ b3 , 这样此式两 边各项都为三 次, 然 后用/ 作差