冲激函数和冲激响应
冲激函数和冲激响应.
我们为什么要研究电路的冲激响应呢？这是由于电子、 通信与信息工程中使用的电信号十分复杂，我们需要知道 电路对任意输入信号的反映。而电路的冲激响应不仅能反 映出电路的特性，而且在知道线性时不变电路的冲激响应 后，可以通过一个积分运算求出电路在任意输入波形时的 零状态响应，从而求出电路的全响应。
* §6－6 冲激函数和冲激响应
一、 冲激函数
图6-38
在介绍冲激函数之前，先看图6-38(a)所示电路，开关
原来倒向a点，由2V电压源对电容C1充电，使其电压达到 2V，电容上有2库仑电荷。开关在t=0时刻倒向b点后，将有
1库仑电荷从电容C1上移动到电容C2上，使电容上的电压逐 渐达到uC1()=uC2()=1V。
lim
0
P
(t
)
δ(t)
(6 34)
注意到响应波形的峰值h△(△)将随△减小而增加，我们
用罗比塔法则求h△(△)在△→0时的极限
lim
0
h
()
lim 0
f '() g ' ()
lim 0
(1/
τ)e 1
τ
1 τ
(6 35)
因此，图6－42(f)的波形趋于指数波形
h(t
)
1
e
t
0
t0 t0
当图(b)电路中电阻R趋于零时，电容电压uC2(t)波形趋 于一个单位阶跃，如图(d)所示。而电容电流iC(t)的波形将 变为初始值iC(0+)趋于无限大，时间常数无限小(波形的宽度 趋于零)，而面积(电荷量)为一个单位的脉冲，这个极限的
波形称为单位冲激电流，用(t)表示。
当且仅当其满足以下两个性质时，一个无界的信号(t)
冲击响应
系统并联
f1 (t ) [ f 2 (t ) f3 (t )] f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 3 (t )
系统并联，框图表示：
h(t )
f (t )
f (t ) f (t )
h1 (t )
f (t ) * h1 (t )
g (t )
f (t ) h1 (t ) f (t ) h2 (t )
可表示为:
e(t ) e(t ) (t )
三．利用卷积求系统的零状态响应
当一个信号作用于系统时，响应为
e( ) (t ) d r (t ) H e(t ) H e( ) H (t ) d 当系统为线性时
3. i ( t ) e( ) h(t ) d
e
1 2
i (t )
L 1H
u( ) u( 2) e ( t ) u(t ) d
e t e 2 u( )u( t )d e t e 2 u( 2)u( t )d
卷积积分中积分限的确定是非常关键的。
四．卷积的计算
已知e( t ) e
u(t ) u(t 2)，求i(t )的零状态响应。 R 1 d i t 1．列写KVL方程 L Ri t et
t 2
2．冲激响应为
dt h( t ) e t u( t )
u (t )
H
g (t )
系统的输入 e t u t ，其响应为 r t gt 。系统方程的 右端将包含阶跃函数 ut ，t>0时输入不为0，所以其响应除 了齐次解外，还有特解项。
冲激响应计算公式
冲激响应计算公式冲激响应计算公式是一种用于描述系统对冲激信号的响应的数学表达式。
它在信号处理、控制系统以及其他相关领域中被广泛应用，用于分析和设计系统的性能和特性。
本文将介绍冲激响应计算公式的基本概念和应用。
冲激响应计算公式通常用符号h(t)表示，其中t为时间。
它描述了系统对冲激信号的响应，即在系统输入信号为冲激函数时，系统的输出信号是如何变化的。
冲激响应计算公式是系统的重要特性之一，它可以帮助我们理解系统的动态响应和频率特性。
在计算冲激响应时，我们需要知道系统的输入输出关系以及系统的初始状态。
冲激响应计算公式可以通过卷积运算来实现，其数学表达式为：h(t) = ∫[g(tau) * delta(t - tau)] dtau其中，g(t)表示系统的单位冲激响应函数，delta(t)表示冲激函数。
公式中的卷积运算表示对两个函数进行积分，并将结果进行叠加。
冲激响应计算公式的应用非常广泛。
在信号处理领域，我们可以利用冲激响应计算公式来分析和设计数字滤波器、图像处理算法等。
在控制系统中，我们可以利用冲激响应计算公式来分析和设计控制器的动态特性，如稳定性、响应速度等。
冲激响应计算公式还可以用于系统的频率特性分析。
通过对冲激响应进行傅里叶变换，我们可以得到系统的频率响应函数。
频率响应函数描述了系统对不同频率的输入信号的响应情况，可以帮助我们了解系统的频率选择特性和滤波效果。
除了计算冲激响应，我们还可以通过观察系统的冲激响应来获取系统的信息。
例如，冲激响应的幅度可以告诉我们系统的增益特性，冲激响应的延迟时间可以告诉我们系统的时延特性。
通过分析冲激响应的形状和特性，我们可以对系统的性能和特性进行评估。
冲激响应计算公式是一种用于描述系统对冲激信号的响应的数学表达式。
它在信号处理、控制系统等领域中被广泛应用，用于分析和设计系统的性能和特性。
通过计算冲激响应，我们可以了解系统的动态响应和频率特性，从而实现系统的优化和改进。
《信号与系统》中冲激函数δ(t)的教学探讨
《信号与系统》中冲激函数δ(t)的教学探讨作者：陈光红来源：《电脑知识与技术》2011年第25期摘要：通过对冲激函数δ(t)的工程定义、性质及由其引起的冲激响应h(t)等的分析，举例说明了与冲激函数相关的知识点及在运用时需注意的问题，并用三种方法求解冲激响应。
关键词：冲激函数δ(t)；冲激响应h(t)；傅立叶变换；拉普拉斯变换中图分类号：G642文献标识码：A文章编号：1009-3044(2011)25-6264-02Teaching Discussion of Dirac Delta Function in Information and SystemCHEN Guang-hong(Department of Electronic Information Engineering, Suzhou Vocational University, Suzhou 215104, China)Abstract: Definition and property of Dirac delta function is analyzed. Impulse response caused by Dirac delta function is introduced. Some examples are used to explain the notice. Three methods are used to solve the impulse response.Key words: Dirac delta function; impulse response; Fourier transform; Laplace transform信号与系统是通信技术和电子信息技术专业的一门核心课程。
冲激函数δ(t)是信号与系统中的重要信号，此信号本身有采样性质、偶对称性质等，由其衍生出的卷积性质、冲激响应等都是信号与系统中的重要知识点。
matlab 冲激函数
matlab 冲激函数冲激函数是信号处理中的一种基本函数，它在数学和工程领域中有着广泛的应用。
在MATLAB中，冲激函数可以通过使用impulse函数来实现。
本文将从冲激函数的定义、性质和应用角度进行介绍，以帮助读者更好地理解和应用冲激函数。
冲激函数是一种特殊的信号，其定义如下：在时间原点处取值为无穷大，其他时刻取值为零。
冲激函数可以用符号δ(t)表示，其中t 代表时间。
在MATLAB中，我们可以使用impulse函数来生成冲激函数的离散表示。
冲激函数具有一些重要的性质。
首先，冲激函数是偶函数，即δ(t) = δ(-t)。
这是因为冲激函数在时间原点处对称，不受时间的正负影响。
其次，冲激函数的积分在整个时间轴上等于1，即∫δ(t)dt = 1。
这是因为冲激函数在时间原点处取值为无穷大，但其面积是有限的，等于1。
此外，冲激函数与其他函数的卷积运算可以用来计算函数的响应，这在信号处理中具有重要的应用。
冲激函数在信号处理中有广泛的应用。
其中之一是用冲激函数来描述系统的冲激响应。
系统的冲激响应是指当输入信号为冲激函数时，系统输出的响应。
通过计算系统的冲激响应，我们可以了解系统对不同频率的输入信号的响应特性。
在MATLAB中，可以通过conv函数将输入信号与冲激响应进行卷积运算，从而得到系统的输出信号。
另一个应用是使用冲激函数来表示信号的频谱。
频谱是信号在频域上的表示，它描述了信号在不同频率上的能量分布。
对于一个时域上的信号，可以通过将其与冲激函数进行卷积运算，然后进行傅里叶变换，得到信号的频谱表示。
在MATLAB中，可以使用fft函数进行傅里叶变换，得到信号的频谱。
冲激函数还可以用于信号的采样和重构。
在数字信号处理中，信号通常是以离散的形式进行处理和存储的。
采样是指将连续时间上的信号转换为离散时间上的信号，而重构是指将离散时间上的信号还原为连续时间上的信号。
在MATLAB中，可以使用impulse函数生成冲激函数的离散表示，然后进行采样和重构操作，以实现信号的数字化处理。
信号与系统名词解释
1 双端口网络：若网络有两个端口，则称为双口网络或二端口网络2 阶跃响应：当激励为单位阶跃函数时，系统的零状态响应3 冲激响应：当激励为单位冲激函数时，系统的零状态响应4 周期信号频谱的特点：①离散性》频谱是离散的②谐波性》频谱在频率轴上位置都是基波的整数倍③收敛性》谱线高度随着谐波次数的增高总趋势是减小的5 模拟离散系统的三种基本部件：数乘器·加法器·单位延迟器6 模拟连续系统的三种基本部件：数乘器·加法器·积分器7 线性系统：一个既具有分解特性，又具有零状态线性和零输入线性的系统8 通频带：我们把谐振曲线有最大值9 离散系统稳定的充分必要条件：∑︳h（n）︳〈∞（H（z）的极点在单位圆内时该系统必是稳定的因果系统）10网络函数：在正弦稳态电路中，常用响应向量与激励向量之比定义为网络函数，以H（jw）表示11 策动点函数：激励和响应在网络的同一端口的网络函数12 传输函数（转移函数）：激励和响应在不同的端口的网络函数13 因果连续系统的充分必要条件：h（t）=0 t＜0 （收敛域在S右半平面的系统均为因果系统）14 连续时间稳定系统的充分必要条件：∫︳h（t）︳dt≤M M：有界正实常数即h（t）满足绝对可积，则系统是稳定的15 傅里叶变换的时域卷积定理：若f1（t）↔F1（jw），f2（t）↔F2（jw）则f1（t）*f2（t）↔F1（jw）F2（jw）16 傅里叶变换的频域卷积定理：若f1（t）↔F1（jw），f2（t）↔F2（jw）则f1（t）·f2（t）↔（1／2π）F1（jw）*F2（jw）17 稳定系统：18 系统模拟：对被模拟系统的性能在实验室条件下模拟装置模仿19 因果系统：未加激励不会产生零状态响应的系统20 稳定的连续时间系统：一个连续时间系统，如果激励f（t）是有界的，其零状态响应y f（t）也是有界的，则称该系统是稳定的连续时间系统21 H（s）（h（t））求法：由微分方程、电路、时域模拟框图，考虑零状态条件下取拉氏变换、画运算电路、作S域模拟框图，应用Y f（s）／F（s）糗大H（s）。
冲激函数的特解
冲激函数的特解冲激函数是一种理想化的数学函数，通常用符号δ(t)表示。
它在数学和工程领域中有着重要的应用，特别是在线性系统的特解求解中。
本文将围绕冲激函数的特解展开详细的讨论，包括定义、性质、应用等方面。
下面将详细介绍冲激函数及其特解。
一、冲激函数的定义和性质冲激函数δ(t)的定义如下：δ(t) = 0, t ≠ 0∫[a, b]δ(t)dt = 1, 如果a < 0 < bδ(t)在t = 0处的值为无穷大，但是在其他位置上它的值都为零。
冲激函数是一个奇函数，即δ(t) = -δ(-t)。
这意味着冲激函数在关于原点的对称性。
冲激函数的多种性质使其在实际应用中具有重要作用。
下面列举了几个冲激函数的重要性质：1. 单位冲激函数：单位冲激函数，记作δ(t - t0)，表示在t = t0时的冲激信号。
它在t = t0的值为无穷大，其他位置的值都为零。
单位冲激函数可以用于表示系统的初始条件或者输入信号的特定时刻。
2. 单位面积冲激函数：单位面积冲激函数即∫[−∞,+∞]δ(t−t0)dt=1，表示在t = t0时的冲激信号，且在t = t0时的幅度为1。
单位面积冲激函数在信号处理和系统特解求解中应用广泛。
3. 平移性质：冲激函数在时间轴上的平移不会改变其特性。
例如，δ(t - t0)表示在t = t0时的冲激信号，而δ(t - t1)表示在t =t1时的冲激信号，其中t1 ≠ t0。
这两个冲激函数具有相同的特性，只是位置不同。
4. 放大性质：冲激函数可以进行缩放和放大操作。
例如，若对单位冲激函数δ(t)乘以一个常数A，则得到幅度为A的冲激信号。
以上是冲激函数的一些基本定义和性质，这些性质使得冲激函数成为一种非常实用的数学工具。
二、冲激函数的特解求解冲激函数在线性系统中的特解求解中起着重要作用。
在线性时不变系统中，线性微分方程的简化方法之一就是利用冲激函数进行特解求解。
特解是微分方程的一个解，可以满足特定的初始条件。
用冲激函数匹配法求冲激响应
用冲激函数匹配法求冲激响应一、引言冲激响应是线性时不变系统的重要特性之一，它描述了系统在接受一个单位冲激信号时的输出响应。
在信号处理、控制系统等领域中，冲激响应的求解是非常重要的问题。
本文将介绍一种常用的方法——冲激函数匹配法，用于求解线性时不变系统的冲激响应。
二、冲激函数匹配法原理1. 线性时不变系统首先，我们需要明确什么是线性时不变系统。
线性时不变系统是指其输入与输出之间存在线性关系，并且其特性参数（如增益、相位等）与时间无关。
这类系统可以用微分方程或差分方程来描述。
2. 冲激函数接着，我们需要介绍什么是冲激函数。
在信号处理中，冲激函数通常指单位冲击函数，记作δ(t)。
它满足以下条件：$$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)dt=1$$$$\delta(t)=0, t\neq 0$$$$\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t-t_0)dt=f(t_0)$$其中第三个条件称为采样定理。
3. 冲激响应对于一个线性时不变系统，其冲激响应h(t)定义为其接受单位冲激信号δ(t)后的输出响应。
即：$$h(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(\tau)x(t-\tau)d\tau$$其中x(t)为输入信号。
4. 冲激函数匹配法冲激函数匹配法是一种常用的求解线性时不变系统冲激响应的方法。
其基本思想是将输入信号x(t)表示为若干个单位冲击函数的线性组合，然后利用线性时不变系统的可叠加性质，将每个单位冲击函数的输出响应相加得到总的输出响应。
具体而言，设输入信号x(t)可以表示为：$$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_k\delta(t-kT)$$其中T为采样周期，a_k为系数。
则有：$$h(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_kh_k(t)$$其中h_k(t)为系统接受单位冲击函数δ(kT)后的输出响应。
冲激响应的定义和求法详解
冲激响应的定义和求法详解一、冲激响应的定义冲激响应是指对于一个系统，在输入信号为单位冲激函数（即冲激信号）时，系统的输出响应。
冲激信号是一个幅度为1，持续时间极短的信号，其数学表示为δ(t)。
二、冲激响应的求法冲激响应的求法主要有两种方法：时域法和频域法。
1. 时域法时域法是通过求解微分方程或差分方程来获得冲激响应。
对于线性时不变系统，可以通过求解系统的微分方程或差分方程来得到冲激响应。
以连续时间系统为例，设系统的微分方程为dy(t)/dt + ay(t) = bx(t)，其中a和b为常数，x(t)为输入信号，y(t)为输出信号。
当输入信号为冲激函数时，即x(t) = δ(t)，则上述微分方程变为dy(t)/dt + ay(t) = bδ(t)。
解这个微分方程，可以得到冲激响应y(t)。
2. 频域法频域法是通过对系统的传递函数进行傅里叶变换或拉普拉斯变换来获得冲激响应。
对于线性时不变系统，可以通过传递函数H(s)进行频域分析。
以连续时间系统为例，设系统的传递函数为H(s)，输入信号的拉普拉斯变换为X(s)，输出信号的拉普拉斯变换为Y(s)。
当输入信号为冲激函数时，即X(s) = 1，此时输出信号的拉普拉斯变换为Y(s) = H(s)。
通过对H(s)进行反变换，可以得到冲激响应y(t)。
三、冲激响应的应用冲激响应在信号处理中有广泛的应用，以下列举几个常见的应用领域。
1. 系统分析冲激响应可以用于系统的稳定性分析和频率响应分析。
通过对冲激响应进行傅里叶变换或拉普拉斯变换，可以得到系统的频率响应，进而分析系统的频率特性。
2. 信号重建冲激响应可以用于信号重建。
通过对输入信号与冲激响应进行卷积运算，可以得到系统的输出信号。
在信号处理中，常常用卷积运算来实现信号的滤波、平滑和降噪等操作。
3. 系统辨识冲激响应可以用于系统辨识，即通过已知的输入信号和输出信号，反推系统的传递函数或微分方程。
通过测量输入信号与输出信号的卷积结果，可以获得系统的冲激响应，从而推导出系统的特性。
冲激函数的定义
冲激函数的定义冲激函数是一种特殊的函数，它在数学和工程领域有着广泛的应用。
冲激函数在信号处理、控制理论、线性系统、微积分和物理学等领域都起着重要的作用。
本文将对冲激函数进行详细的定义和解释，以便读者更好理解其概念和应用。
1、什么是冲激函数冲激函数是数学中的一种特殊函数，也称为Dirac函数或Dirac delta函数。
冲激函数是在除零点外均为0，在零点附近无限大的函数。
冲激函数通常表示为δ(x)，其中x为自变量。
冲激函数在x=0处的值无限大，但在除零点外的其他点的值都为0。
在物理学和工程领域，冲激函数可以通过一个实验来理解它的概念。
如果我们在时间轴上以极短的时间间隔内向电路中输入一个短暂的电压脉冲，那么电路将会产生一个极短的电流脉冲，这个电流脉冲就可以用一个冲激函数来描述。
2、冲激函数的重要性冲激函数在数学中的重要性很大。
它可以用在微积分、偏微分方程、傅里叶分析、抽象代数和泛函分析等领域。
在控制系统和信号处理领域，冲激函数也是非常重要的。
它可以用来描述系统的 impulse response（冲击响应）函数，冲激响应是控制系统和信号处理中非常常见的一种概念。
冲激函数还可以用来分析和设计滤波器和信号处理系统。
在物理学中，冲激函数可以用来描述质点、电荷或电流的瞬间变化情况。
冲激函数也可以用来描述物理学中的波函数，比如在量子力学中，波函数可以在测量时间点上采用Delta函数的形式。
冲激函数有一些非常重要的性质。
下面我们将对其中的一些最主要的进行介绍。
3.1 奇异性冲激函数在所有除零点外的点上取值为0，但在零点处取值为无穷大。
冲激函数在数学上是一个奇异函数，可能常常忽略它在除零点外的任何部分。
3.2 瞬时能量3.3 单位冲激函数3.4 积分性质冲激函数的积分性质十分重要。
因为冲激函数在所有除零点外的点上都为0，所以对于任意函数f(x)，有：∫f(x)δ(x)dx=f(0)这意味着冲激函数的积分可以用来计算f(x)在零点处的值。
用冲激函数匹配法求冲激响应
用冲激函数匹配法求冲激响应介绍冲激函数匹配法是一种常用的信号处理方法，用于求解线性时不变系统的冲激响应。
在工程和科学领域中，我们经常需要了解系统对输入信号做出的响应，冲激函数匹配法能够帮助我们得到系统的冲激响应，从而更好地了解和分析系统的性质。
冲激函数匹配法原理冲激函数匹配法的基本思想是将输入信号表示为冲激函数的加权组合，然后通过匹配响应和冲激函数的加权组合来求解冲激响应。
具体而言，假设输入信号为x(t)，系统的冲激响应为h(t)，则冲激函数匹配法可以表示为以下公式：y(t) = ∫x(τ)h(t-τ)dτ其中，y(t)表示系统的输出信号。
步骤冲激函数匹配法的求解过程可以分为以下几个步骤：1. 确定输入信号首先，需要确定输入信号x(t)，即需要对系统进行测试，以获得其输入信号。
2. 生成冲激函数在得到输入信号后，需要生成冲激函数。
冲激函数可以是理论模型，也可以是实际测量得到的数据。
生成冲激函数的目的是为了将其与输入信号进行匹配，从而求解冲激响应。
3. 通过加权组合匹配冲激函数在求解冲激响应的过程中，需要对输入信号和冲激函数进行加权组合。
这一步骤的目的是将输入信号表示为冲激函数的组合，从而与冲激响应进行匹配。
4. 求解冲激响应通过对加权组合进行求解，可以得到系统的冲激响应。
冲激响应反映了系统对输入信号的响应情况。
示例下面以一个简单的例子来说明冲激函数匹配法的具体应用过程。
假设有一个线性时不变系统，输入信号为x(t) = sin(t)，我们希望求解系统的冲激响应。
1.确定输入信号：输入信号为x(t) = sin(t)。
2.生成冲激函数：假设系统的冲激函数为δ(t)，则冲激函数的生成可以通过理论模型或实际测量获得。
3.加权组合匹配冲激函数：将输入信号x(t)与冲激函数δ(t)进行加权组合，即求解卷积积分。
y(t) = ∫sin(τ)δ(t-τ)dτ4.求解冲激响应：对加权组合进行求解，得到系统的冲激响应h(t)。
冲击函数 冲激函数
冲击函数冲激函数冲击函数和冲激函数是数学中重要的概念之一，它们在信号处理、控制系统、图像处理等领域中应用广泛。
本文将深入探讨冲击函数和冲激函数的概念、性质和应用。
一、冲击函数冲击函数是指在一个极其短暂的时间内突然变化并达到无限大的函数。
通常用delta表示，delta函数在t=0时取值为无限大，其他时间取值均为0。
具体地，其数学表示为：delta(t) = 0 (t ≠ 0)∞ (t = 0)因为冲击函数只在一个点上有值，这种函数并不存在于实际中。
但是它的数学性质非常重要，可以用来表示时间序列的冲击响应。
二、冲激函数冲激函数是能够将一个连续的信号分解成无限个加权的冲击的函数。
通常用s(t)表示，它可以看做是冲击函数的加权和。
具体地，其数学表示为：s(t) = ∫f(τ)δ(t-τ)dτ其中，f(τ)为一个连续的函数，代表原信号的幅度和形状。
三、性质1. 冲击函数的积分等于1∫delta(t)dt = 1这个性质在对冲激函数进行加权时非常重要。
2. 冲激函数的积分等于原函数∫s(t)dt = f(t)这个性质可以用于信号的解析和合成。
3. 冲激函数是偶函数delta(-t) = delta(t)这个性质表明对于具有对称性的信号，它们的冲激响应也具有对称性。
4. 冲激函数的导数是冲击函数的导数s'(t) = δ'(t)这个性质可以用于求解微分方程中的零状态响应。
四、应用1. 数字信号处理在数字信号处理中，冲激函数常被用来描述数字滤波器的传递函数，以及对信号进行快速傅里叶变换的基础函数。
2. 控制系统控制系统中常常需要求解系统的零状态响应，此时可以利用冲击响应和冲激函数的导数来求解。
3. 图像处理在图像处理中，可以利用冲激函数对图像进行平滑处理和边缘检测，从而提取出图像中的重要特征信息。
总之，冲击函数和冲激函数在数学和工程领域中有着广泛的应用。
只有深入理解它们的概念和性质，并将其应用到实际问题中，才能更好地解决问题并推动研究进展。
冲激函数
电路分析基础——第二部分：第九章内容回顾
内容回顾：
第七章：研究包含一个动态元件的一阶电路，它们用一阶
线性常系数常微分方程描述。一阶电路不同的响应形式根据 其初值和终值的相对大小而指数上升或衰减，变化的速度受 时间常数 ( = RC 或 = L/R) 的控制。
第八章：研究包含电感和电容两个动态元件的二阶电路，
电路分析基础——第二部分：第九章 目录
第九章 冲激函数在动态电路分 析中的应用
1 冲激函数
4 冲激响应
2 冲激函数的性质
5 由阶跃响应求冲激响应
3 电容电压和电感电流的跃变 6 线性非时变电路对任意输入 的响应——卷积积分
电路分析基础——第二部分：第九章内容回顾
内容回顾：
所有电路都是由动态电路和电阻电路两类电路组成的； 所有电路受到两类约束。即：
电路中的各支路电流、电压受到KVL、KCL的约束， 元件上的电流、电压受到元件VA全不同的电路，但 第一部分中的分析方法，几乎所有都能得到应用，当然， 动态电路还有其自己的方法； 电容和电感是基本的动态元件，它们都是储能元件。电容 通过存储电荷来存储电能，电感通过存储磁链来存储磁能。 电容的电压和电感的电流是它们最本质的变量，一般情况 下，它们都不能突变。……
t0 t
电路分析基础——第二部分：9-1
2/2
(t) 的其他工程逼近： (t) 除了矩形窄脉冲 p□(t)以外，还可以 有许多其他形式，如下面所示。关键是所包围的面积为 1。
pΔ(t)
1 Δ
pde(t)
1
2Δ
e–|t|/Δ
(t)
2Δ
–Δ 0
Δt
pcos(t)
4Δ
cos
2Δ
冲激函数
t
R L
e
R L
t
t
hu t
t
R L
Rt
e L
t
t=0时,有冲激
电压出现
19
§9-5 由阶跃响应求冲激响应
❖ 线性非时变电路有一个重要的性质：如果激励x产生
响应y，那末，
激励
dx dt
将产生响应为
dy dt
；
激励 xdt 将产生响应为 ydt K K为积分常数。
由图(b)求短路电流时，电流
可看成是电阻支路电流和电容支
路电流之和。
电阻支路的电流为(t)/Rl。阶 跃电压(t)作用于电容，意味着电
容电压发生跃变，因而电容支路
的电流为C1(t)。
is
t
t
R1
C1
t
R1 // R2 C1 C2
23
解答
运用叠加定理，阶跃电流作用于电路时，u2(t)的分量
❖ 计算冲激响应时，先计算由(t)产生的在t=0+时的初始
状态，然后求解由这一初始状态所产生的零输入响应。 此即为t＞0时的冲激响应h(t)。
17
例9-8
试求电路中电流及电感电压的冲激响应。
解 把电感看作开路，作出t=0时的等效电路(b)。来自
冲激电源的冲激电压全部出现于电感两端。
关于冲激电压全部出现于电感可理解如下：如果冲激
f(t)=f(0)，故得
f t t f 0 t
f
t
t
dt
f 0 tdt
8-6 冲激函数和冲激响应
例如电压源电压US=20V，开关在t=5s时刻由a点倒向b 点，则冲激电流发生在 t=5s 时刻，根据式8-28，所产生的
冲激电流应该表示为
iS (t ) 10 δ (t 5)A
这个冲激电流使电容 C2 在 t = 5s 时刻，迅速获得10库 仑的电荷，使 1F 电容 C2 的电压压发生 10V 的跃变，由
h(t )
1
e
1
ε (t )
t
(8 32) －
计算冲激响应的另一种方
法是先求出面积为1个单位
的矩形脉冲的响应，然后 求脉冲宽度趋于零的极限。
1 e h ( )
f ( ) g ( )
(8 33)
当△→0时，P(t)趋向于单
位冲激，如图(g)所示，即
lim P (t ) δ (t ) (8 34 )
奇异值 δ ＝ (t ) 0 ε 1 δ (t )dt 1 ε 2 t 0 t0 ε 1 0, ε
2
(8 28) 0
当图8-38(a)电路中电压源的电压增大时，从电容C1上 移动到电容C2的电荷量以及相应的电流脉冲的面积也将增 加，此时图(f)得到的冲激电流为A(t)。
uC2(5-)=0V 跃变到 uC2(5+)=10V。
q( t ) 1 t u C (t ) iS (t )dt 2 (t 5) V C 5
这是一个延迟的阶跃，如图(c)所示。由于冲激电流在 t=5s时刻，将10库仑电荷迅速投到5F电容的极板上，使电
容电压发生2V的跃变，由uC(5-)=0V跃变到uC(5+)=2V。
0
图8-42
注意到响应波形的峰值h△(△)将随△减小而增加，我 们用罗比塔法则求h△(△)在△→0时的极限
《电路分析》冲激函数和冲激响应
Rt
e L
(t)
R
e
Rt
L
(t)
L
(t)
R
e
Rt
L (t)
L
2002年春节摄于成都人民公园
当电阻R为不同数值时，电容上的电压uC2(t)以及电荷 移动所形成的电容电流iC(t)，如图(c)和(e)所示。
由图8-38可见，当电路中的电阻分别为R=2、1、
0.5时，uC2(t)和iC(t)的波形如图所示。注意到电容C1上移
动到电容C2上的电荷量，即电容电流对时间的积分(电容电
流对时间轴之间的面积）均为1个单位，即
从以上叙述可以看出单位阶跃函数与单位冲激函数之存 在以下关系
δ (t) dε (t) dt
t
ε (t) δ ( )d -
(8 29) (8 30)
二、冲激响应
单位冲激信号作用下电路的零状态响应，称为电路的 冲激响应，用符号h(t)表示。计算任何线性时不变电路冲激 响应的一个方法是先求出电路的阶跃响应s(t)，再将它对时 间求导即可得到冲激响应，即利用下式由电路的阶跃响应 计算出电路的冲激响应
如图(h)所示。利用单位阶跃函数(t)，我们可以将式
(8-36)写为下式
h(t)
1
t
e
(t)
(8 37)
从以上讨论中可以看出，冲激电压或电流的作用就是 给动态元件提供一个初始储能(例如uC(0+)=1/C或iL(0+)=1/L)，
即产生一个初始条件(例如f (0+)=1/)。此时刻以后电路响应
实际上是这些初始储能引起的零输入响应。
波形称为单位冲激电流，用(t)表示。
当且仅当其满足以下两个性质时，一个无界的信号(t)
冲激响应
hu(t) = (t)，t = 0。即
hu(t) = (t) – R/L ·e – tR/L (t) V
i(t) uL(t)
+
+ L–
+
R
– (t)
– (t)
– R
uL(t) L +
i(t) R
电路分析基础——第二部分：9-4
4/6
例9-9 试求下图所示电路中电感电流的 iL(t) 冲击响应。
解 根据冲击响应的定义，电感的初始电流为零相当于开路、 电容的初始电压为零相当于短路。因此在 t ≤ 0 冲击电流作用的 瞬间，电阻、电感没有作用。
C
–
例9-8 试求下图所示电路的电流及电感电压的冲击响应。
解 根据冲击响应的定义，电感的初始电流为零。因此在 t ≤ 0 时，电感相当于开路。冲击电压作用的瞬间，电阻没有作用。
i(t) uL(t)
+
+ L–
R
– (t)
+ – (t)
– R
uL(t) L +
i(t) R
电路分析基础——第二部分：9-4
e – t sin
dt
A，t
>
0
dK2
=
uC(0) L
=
1 LC
iL(t) = K1e s1t + K2e s2t ， t > 0
iL(0) = K1 + K2 = 0
i’L(0) = K1 s1 + K2 s2
=
uC(0) L
=
1 LC
K1 =
1 s2 – s1
s2 iL(0) –
uC(0) L
=
–
冲激函数
• t
ht
dst
dt
R
d dt
1
1t
e RC
•
t
R
t
t
e
1 RC
t
1 RC
1 t
e RC t
R
t t
1 RC
1 t
e RC t
1
1t
e RC
t
C
电容电压发生 了1/C的跃变
21
例9-12
试用诺顿定理求解补偿分压器 的输出压u2(t)。
解 诺顿定理能用于线性动态电路。ab 的左边部分可以用一个诺顿等效电路代 替，即可以用一个电流源与N0的并联组 合代替。 等效电流源的电流is(t)等于原电路中ab 端的短路电流，见图(b)。
17
例9-8
试求电路中电流及电感电压的冲激响应。
解 把电感看作开路，作出t=0时的等效电路(b)。来自冲激电源的冲激电 压全部出现于电感两端。
关于冲激电压全部出现于电感可理解如下：如果冲激电压出现于电阻， 则在电阻中将产生冲激电流，因而电感中也将有冲激电流，这样，电感 电压将为冲激偶电压，无法满足KVL。
4
其他形状脉冲的极限情况
❖ 冲激函数一般看成是矩形脉冲函数的极限情况，其他 形状脉冲的极限情况也可作为单位冲激的近似。
❖ 具有单位面积的三角形脉冲，当趋近于零时，可作 为单位冲激的近似。
5
负指数函数
f
t
0 Ae t
/
t0 t0
| Ae t / dt Ae t /
A
0
0
令 A 1,
t 0
在0-至0+期间，iC1(t)及iC2(t)中含有冲激电流，故得
信号系统名词解释
什么是双口网络及网络函数？答：双端口网络的定义是双端口网络的电压、电流参考方向如下图所示，端口电流的参考方向均为流入双口网络，且采用正弦稳态相量模型；双口网络内不含独立电源，且初始状态为零的线性时不变网络什么是谐振电路的选择性？选择性与通频带有什么关系？简述“传输函数”的概念。
答：系统初始条件为零时，输出函数的拉斯变换除以输入函数的拉斯变换。
即H(s)=Yf(s)/F(s)简述“连续系统”的概念。
答：系统激励信号和响应信号随时间都是连续的系统。
简述“单位序列响应”的概念。
简述周期信号有效值的概念。
什么是对称双口网络？答：如果将双口网络的入口与出口对调后，其各端口电压、电流均保持不变，则对称双口网络。
傅氏变换存在的条件是什么？成立的条件是什么？（1）傅氏变换存在的条件是∫+∞–∞f(t)|dt<∞（2）H（jw）=H(s)| s=jw成立的条件是S的实部σ=0简述连续系统的冲激响应及阶跃激响。
答：（1）冲激响应：当激励为单位冲激函数δ（t）时，系统的单位零状态响应，简称为冲激响应，用h(t)表示。
（2）阶跃激响：当激励为单位阶跃函数ε(t)时，系统的单位零状态响应，简称为冲激响应，用g(t)表示。
简述傅氏变换的频移性质，并指出该性质表明的涵义。
答：傅氏变换的频移性质：f(t)双箭头F（jw）成立，则f(t)+-jwf双箭头F[j(ω+-ω0),该性质表明信号f(t)在时域乘以e+-jaw, 对应于频域中沿频率轴右移或左移ω0.离散时间系统函数H（Z）的定义是什么？如何根据判断系统的稳定性？答：（1）在离散时间中，当激励函数f（n）时，系统的零状态响应yf(n)，则定义为yf(n)和的f（n）的Z变换之比，即H（Z）=Yf(z)/F(z)的系统函数H（z）(2）①当系统函数H(z)的极点均在单位圆内，则该系统稳定；②若至少有一个极点在单位圆上，其余在单位圆内，则系统为临界稳定；③若只要有一个极点在单位圆外，系统则不稳定。
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h(t )
1
e
1
ε (t )
t
(8 － 32)
计算冲激响应的另一种方
法是先求出面积为1个单位
的矩形脉冲的响应，然后 求脉冲宽度趋于零的极限。
1 e h ( )
f ( ) g ( )
(8 33)
当△→0时，P(t)趋向于单
位冲激，如图(g)所示，即
lim P (t ) δ (t ) (8 34 )
1 s(t ) (1 e R
R － t L
) (t )
电感电流阶跃响应对时间求导得到iL(t)的冲激响应
t t t ds(t ) 1 1 1 h(t ) (1 e L ) (t ) e L (t ) e L (t ) dt R L L R R R
R t L R
2002年春节摄于成都人民公园
响应的一个方法是先求出电路的阶跃响应s(t)，再将它对时
间求导即可得到冲激响应，即利用下式由电路的阶跃响应 计算出电路的冲激响应
ds ( t ) h (t ) dt
(8 31)
例如图8－35(a)所示RC串联电路的单位阶跃响应为
s(t ) (1 e
其冲激响应为
t RC
) ε (t )
t
当图(b)电路中电阻R趋于零时，电容电压uC2(t)波形趋 于一个单位阶跃，如图(d)所示。而电容电流iC(t)的波形将 变为初始值iC(0+)趋于无限大，时间常数无限小(波形的宽 度趋于零)，而面积(电荷量)为一个单位的脉冲，这个极限
的波形称为单位冲激电流，用(t)表示。
当且仅当其满足以下两个性质时，一个无界的信号(t) 称为单位冲激函数
1 u (t ) e 0
' C t
( t )
uS ( )d
(8 38)
考虑到电容电压uC(t)的零输入响应
'' uC (t ) uC (0)e t τ
(8 39)
根据线性电路的叠加定理可以求得电容电压uC(t)的全
响应为
" ' u C (t ) u C (t ) ＋u C (t ) u C (0)e t t 0
ds (t ) h(t ) dt d[(1 e
t RC
) ε (t)]
t t
dt
t RC
(1 e
1 RC 1 RC )δ (t ) e ε (t ) e ε (t ) RC RC
由于t=0时，
(1 e
t RC
)0
而t 0时，(t)=0，因此得到，
iS ( )d
(8 41)
其中第一项是电感电流 iL(t) 的零输入响应，第二项是
电感电流iL(t)的零状态响应，时间常数是=GoL=L/Ro。
例8-17 电路如图8-44(a)所示，试求电感电流和电感电压的 阶跃响应和冲激响应。
图8-44
解：用三要素法先求出电感电流iL(t)的阶跃响应
uC2(5-)=0V 跃变到 uC2(5+)=10V。
q( t ) 1 t u C (t ) iS (t )dt 2 (t 5) V C 5
这是一个延迟的阶跃，如图(c)所示。由于冲激电流在 t=5s时刻，将10库仑电荷迅速投到5F电容的极板上，使电
容电压发生2V的跃变，由uC(5-)=0V跃变到uC(5+)=2V。
1 τ
(8 35)
因此，图8－42(f)的波形趋于指数波形
t0 t0 (8 36)
如图(h)所示。利用单位阶跃函数(t)，我们可以将式
(8-36)写为下式
t
h(t )
1
e (t )
(8 37)
从以上讨论中可以看出，冲激电压或电流的作用就是
给动态元件提供一个初始储能(例如uC(0+)=1/C或iL(0+)=1/L)， 即产生一个初始条件(例如f (0+)=1/)。此时刻以后电路响 应实际上是这些初始储能引起的零输入响应。 我们为什么要研究电路的冲激响应呢？这是由于电子、 通信与信息工程中使用的电信号十分复杂，我们需要知道 电路对任意输入信号的反映。而电路的冲激响应不仅能反
图8－39 冲激电流通过电容引起电容电压发生阶跃
从以上叙述可以看出单位阶跃函数与单位冲激函数之 存在以下关系
dε (t ) δ (t ) dt ε (t ) δ ( )d
- t
(8 29) (8 30)
二、冲激响应
单位冲激信号作用下电路的零状态响应，称为电路的
冲激响应，用符号h(t)表示。计算任何线性时不变电路冲激
利用电感电压电流关系可以求出电感电压uL(t)的冲激 响应
diL (t ) u L (t ) L e dt
压uL(t)的冲激响应为
R t L
R (t ) e L
R t L
(t )
令含有冲激函数(t)的第一项中的t=0，得到电感电
R h(t ) (t ) e L
R t L
映出电路的特性，而且在知道线性时不变电路的冲激响应
后，可以通过一个积分运算求出电路在任意输入波形时的 零状态响应，从而求出电路的全响应。
例如对于图8－43(a)所示线性时不变RC一阶电路，初 始条件为零，即uC(0)=0时，在任意波形uS(t)激励下，电容
电压uC(t)的零状态响应可以通过以下积分求得
1 e
( t )
uS ( )d
(8 40)
图8－43 (a),(b) 含一个电容的一阶电路 (c),(d) 含一个电感的一阶电路
与此相似，RL并联一阶电路在任意波形电流源uS(t)作 用下，其电感电流的全响应为
t 0
1 e
( t )
(t )
电感电压的冲激响应也可以用三要素法先求出电感电 压uL(t)的阶跃响应
R － t L
s(t ) e
(t )
然后再对时间求导得到电感电压uL(t)的冲激响应
ds (t ) h(t ) dt R Lt e (t ) e (t ) L t R R L (t ) e (t ) L
奇异值 δ (t ) ＝ 0 ε 1 δ (t )dt 1 ε 2 t 0 t0 ε 1 0, ε
2
(8 28) 0
当图8-38(a)电路中电压源的电压增大时，从电容C1上 移动到电容C2的电荷量以及相应的电流脉冲的面积也将增 加，此时图(f)得到的冲激电流为A(t)。
冲激函数和冲激响应
一、 冲激函数
图8-38
在介绍冲激函数之前，先看图8-38(a)所示电路，开关 原来倒向a点，由2V电压源对电容C1充电，使其电压达到 2V，电容上有2库仑电荷。开关在t=0时刻倒向b点后，将 有1库仑电荷从电容C1上移动到电容C2上，使电容上的电压 逐渐达到uC1()=uC2()=1V。 当电阻R为不同数值时，电容上的电压uC2(t)以及电荷 移动所形成的电容电流iC(t)，如图(c)和(e)所示。
例如电压源电压US=20V，开关在t=5s时刻由a点倒向b 点，则冲激电流发生在 t=5s 时刻，根据式8-28，所产生的
冲激电流应该表示为
iS (t ) 10 δ (t 5)A
这个冲激电流使电容 C2 在 t = 5s 时刻，迅速获得10库 仑的电荷，使 1F 电容 C2 的电压压发生 10V 的跃变，由
0
图8-42
注意到响应波形的峰值h△(△)将随△减小而增加，我 们用罗比塔法则求h△(△)在△→0时的极限
τ
f ' ( ) (1 /τ )e lim h ( ) lim ' lim 0 0 g ( ) 0 1
1 t e h(t ) 0
由图8-38可见，当电路中的电阻分别为R=2、1、 0.5时，uC2(t)和iC(t)的波形如图所示。注意到电容C1上移
动到电容C2上的电荷量，即电容电流对时间的积分(电容电
流对时间轴之间的面积）均为1个单位，即
Q
0
iC
(t )dt
0
R e 0.5 R dt 0.5 2 1C S U
(1 e
t RC
) δ (t )＝0
最后得到图8-40所示RC串联电路电容电压的冲激响应。
与此相似，可以得到图8-41所示RL并联电路中电感电
流的冲激响应。
图8－40
图8－41
1 h (t ) e RC
t RC
ε (t )
R h(t ) e ε (t ) L
R t L
以上两种情况的冲激响应可以用一个表达式表示如下：