五年级奥数二元一次方程组的解法

第2讲二元一次方程组的解法

搜集整理：百汇教育数学组陈超【知识要点】

1．二元一次方程组的有关概念

（1）二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。例如3x＋4y＝9。

（2）二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值。因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解。由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集。

（3）二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组。一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

2．二元一次方程组的解法

（1）代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法。

（2）加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法。

代入消元法将在《七年级数学（上册·上海科技出版社）》教材中学习到。本次课，我们主要讲解加减消元法。

【典型例题】

用加减消元法解下列方程组：

例1、 x－5y ＝ 0 ①

3x＋5y ＝16 ②解：由①＋②得：x＋3x＝16

即4x＝16

所以x＝4

把x＝4代入②得：3×4＋5y＝16

解得 y＝0.8

所以原方程组的解为

x＝4

y＝0.8 例2、2x＋2y＝11 ①

2x＋7y＝36 ②

解：由②－①得：7y－2y＝36－11

即5y＝25

所以y＝5

把y＝5代入①得：2x＋2×5＝11

解得 x＝0.5

所以原方程组的解为

x＝0.5

y＝5

{ {{ {

例3、 4x －2y ＝5 ① 4x ＋9y ＝16 ②

解：由

②－①得：9y －（－2y ）＝16－5 即9y ＋2y ＝11 解得 y ＝1 把y ＝1代入①得：4x －2×1＝5 解得 x ＝4

7

所以原方程组的解为 x ＝

4

7 y ＝1

例4、 4x －6y ＝8 ①

4x －3y ＝17 ②

解：由

②－①得：（－3y ）－（－6y ）＝

17－8

即－3y ＋6y ＝9 解得 y ＝3 把y ＝3代入①得：4x －6×3＝8 解得 x ＝6.5 所以原方程组的解为 x ＝6.5 y ＝3

例5、 2x －3y ＝5 ① 3x ＋9y ＝12 ②

解：由

①×3＋②得：6x ＋3x ＝15＋12

即9x ＝27 解得 x ＝3 把x ＝3代入②得：3×3＋9y ＝12 解得 y ＝3

1 所以原方程组的解为 x ＝3 y ＝

3

1

例6、 3x －2y ＝8 ① 4x －3y ＝5 ② 解：由

①×4－②×3得：

（－8y ）－（－9y ）＝32－15 即－8y ＋9y ＝17 解得 y ＝17 把y ＝17代入②得：4x －3×17＝5 解得 x ＝14 所以原方程组的解为 x ＝14 y ＝17

【技能测试】

（1）37x y x y -=⎧⎨

+=⎩ （2）⎩⎨

⎧=+=-83120

34y x y x

（3）⎩⎨

⎧=+=-1464534y x y x （4）⎩⎨

⎧=-=+1235

4y x y x

（5）⎩⎨

⎧=+=+132645y x y x （6）⎩⎨

⎧=+=-17

327

23y x y x

【拓展提高】

（1）⎩⎨

⎧-=-+=-8

5)1(21)2(3y x x y （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+=

18

433

2y x y x

{

{{

{{

{

{

{

（3）⎩⎨

⎧=--=--0

23256017154y x y x （4）⎪⎩⎪⎨

⎧=-=+2

3432

13

32y x y x

（5）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+1

323

241y x x y （6）⎩⎨

⎧=+=+241

2123243

2321y x y x