2018届中考数学复习专题题型(七)圆的有关计算与证明
全国2018年中考数学真题分类汇编 滚动小专题(十一)与圆的有关计算与证明(答案不全)
（分类）滚动小专题（十一）与圆有关的计算与证明类型1 与圆的基本性质有关的计算与证明（2018·安徽）20.如图,⊙O为锐角△ABC的外接圆,半径为5.（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹,不写作法)；（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长.解：（1）画图略（2）∵AE平分∠BAC∴弧BE=弧EC，连接OE则OE⊥BC于点F，EF=3连接OC、EC在Rt△OFC中，由勾股定理可得FC=21在Rt△EFC中，由勾股定理可得CE=30（2018湖州）21．（8分）（2018•湖州）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．（2018无锡）24、（本题满分8分）如图，四边形ABCD 内接于圆心O ，AB=17，CD=10，∠A=90°，cos B=53，求AD 的长。
【解答】DA ⊥AB∴∠DAB=90°在圆O 中∴∠DCB=90°延长AD 、BC 交于点E ，易证∠B=∠EDC∴53=ED DC∴350=ED53cos =B∴34tan =B 在△EAB 中，EA=3683417=⨯∴DA=EA-ED=350368-=625．（10分）如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM．（1）若半圆的半径为10．①当∠AOM=60°时，求DM的长；②当AM=12时，求DM的长．（2）探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）①当∠AOM=60°时，∵OM=OA，∴△AMO是等边三角形，∴∠A=∠MOA=60°，∴∠MOD=30°，∠D=30°，∴DM=OM=10②过点M作MF⊥OA于点F，设AF=x，∴OF=10﹣x，∵AM=12，OA=OM=10，由勾股定理可知：122﹣x2=102﹣（10﹣x）2∴x=，∴AF=，∵MF∥OD，∴△AMF∽△ADO，∴，∴，∴AD=∴MD=AD﹣AM=（2）当点M位于之间时，连接BC，∵C是的重点，∴∠B=45°，∵四边形AMCB是圆内接四边形，此时∠CMD=∠B=45°，当点M位于之间时，连接BC，由圆周角定理可知：∠CMD=∠B=45°综上所述，∠CMD=45°（2018温州）22.（本题10分）如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在上.（1）求证：AE=AB.（2）若∠CAB=90°，cos∠ADB=13，BE=2，求BC的长.（2018台州）24.如图，ABC ∆是O 的内接三角形，点D 在BC 上，点E 在弦AB 上（E 不与A 重合），且四边形BDCE 为菱形.（1）求证：AC CE =；（2）求证：22BC AC AB AC -=⋅；（3）已知O 的半径为3. ①若53AB AC =，求BC 的长； ②当AB AC 为何值时，AB AC ⋅的值最大？（2018南通）28.如图，O 的直径26AB =，P 是AB 上（不与点A B 、重合）的任一点，点C D 、为O 上的两点.若APD BPC ∠=∠，则称CPD ∠为直径AB 的“回旋角”.（1）若60BPC DPC ∠=∠=︒，则CPD ∠是直径AB 的 “回旋角”吗？并说明理由；（2）若CD 的长为134π，求“回旋角”CPD ∠的度数；（3）若直径AB 的“回旋角”为120︒，且PCD ∆的周长为24+AP 的长. 解：28．（1）是；（2）45°；（3）3或23．（2018湘潭）（2018南京）26.如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，连接DE .过点A 作AF DE ⊥，垂足为F .O 经过点C 、D 、F ，与AD 相交于点G .（1）求证AFG DFC ∽△△；（2）若正方形ABCD 的边长为4，1AE =，求O 的半径（2018黄冈）18. 如图，AD 是O 的直径，AB 为O 的弦，OP AD ⊥，OP 与AB 的延长线交于点P ，过B 点的切线交OP 于点C .（1）求证：CBP ADB ∠=∠.（2）若2OA =，1AB =，求线段BP 的长.（2018宜昌）21. 如图，在ABC ∆中，AB AC =. 以AB 为直径的半圆交AC 于点D ，交BC 于点E .延长AE 至点F ，使EF AE =,连接FB FC ，.(1)求证:四边形ABFC 是菱形；(2) 若AD 7BE 2==，，求半圆和菱形ABFC 的面积.21.(1)证明：AB 为半圆的直径，90AEB ∴∠=,AB AC =,CE BE ∴=,又EF AE =,∴四边形ABFC 是平行四边形.又AB AC =,（或90AEB ∠=，） ∴平行四边形ABFC 是菱形.(2)解：∵7,2AD BE CE ===,设CD x =，则7AB AC x ==+，解法一：连接BD ，（如图）图1∵AB 为半圆的直径，90ADB ∴∠=,2222AB AD CB CD ∴-=- 2222(7)74x x ∴+-=- 11x ∴=或28x =-（舍去） 解法二：连接DE .（如图） 图2∵四边形ABED 是圆内接四边形 180ADE ABC ∴∠+∠= 180ADE CDE ∠+∠= CDE ABE ∴∠=∠DCE BCA ∠=∠CDE CBA ∴∆∆∽CDCBCE CA ∴=427x x ∴=+2780x x ∴+-=11x ∴=或28x =-（舍去） 解法三：如图1，连接BD ， AB 为半径的直径，90ADB ∴∠=可证CDB CEA ∆∆∽ CD CBCE CA ∴=427x x ∴=+11x ∴=或28x =-（舍去） 21=4=82S ππ∴⨯⨯半圆BD ∴=,S菱形（2018福建）（2018张家界）20、（本小题满分6分）A、如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点,且AB=4,点M为上一个动点(不与B重合),射线PM 与⊙O 交于点N (不与M 重合)(1) 当M 在什么位置时,MAB ∆的面积最大,并求岀这个最大值； (2)求证:PAN ∆∽PMB ∆.20.解：（1）当点M 在 AB 弧的中点处时， 最大 ………………1分 （其它表述合理均给分） 因为此时：242121=⨯==AB OM ………………2分4242121=⨯⨯=⋅=∴∆OM AB S ABM……………3分 （2）PAN PMB ∠=∠ …………4分P P ∠=∠ …………5分PMB ∽∆∆∴PAM …………6分（2018贵阳）23.（本题满分 10 分）如图，AB 为⊙ O 的直径，,，且 AB 4 ，点 C 在半圆上，OC AB ， 垂足为点 O ， P为半圆上任意一点，过 P 点作 PE OC 于点 E ，设 OPE 的内心 为 M ,连接 O M 、PM . （1）求 OMP 的度数； （2）当点 P 在半圆上从点 B 运动到点 A 时，求内心 M 所经过的路径长.ABMS∆【解】（1）∵ PEOC∴ PEO90∴ EPO EOP 90∵ M 是 OPE 的内心 ∴ EOM POM ，EPM OPM∴ POM OPM 1(EPO EOP ) 452在 POM 中， OMP 180 (POM OPM ) 180 45 135（2）连接 C M ，作过 O 、M 、C 三点的外接圆，即⊙ N ，连接 NC 、NO ，在⊙ N 的优弧上任取一点 H ，连接 HC 、HO .如图所示：由题意知：O P OC ，POM COM，OM OM∴POM ≌COM∴OMP OMC135在⊙N 的内接四边形C MOH 中，H180OMC18013545∴N 24590由题意知：O C1AB14 22 2在等腰直角三角形C NO 中，NC NO由勾股定理得：NC 2 NO 2 OC2 即2NC 2 22NC 2当点P 在上运动时，点M在上运动90∴的长为：180∵与关于OC 对称2 22∴当点P 在上运动时，点M 所在弧上的运动路径长与当点P 在上运动时，点M 在上运动的路径长相等∴当点P 在半圆上从点B 运动到点A 时，求内心M 所经过的路径长为：2222（2018遵义）25.(12 分)如图，AB 是半圆O 的直径，C 是AB 延长线上的点，AC 的垂直平分线交半圆于点D，交 AC 于点 E，连接 DA，DC.已知半圆 0 的半径为 3，BC=2.(1)求AD 的长.(2)点P 是线段AC 上一动点，连接DP，作∠DPF=∠DAC，PF 交线段CD 于点F.当∆DPF 为等腰三角形时，求 AP 的长.（2018哈尔滨）类型2 与切线有关的计算与证明（2018十堰）23.如图，ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点D 作FG AC ⊥于点F ，交AB 的延长线于点G .（1）求证：FG 是O 的切线； （2）若tan 2C =，求GBGA的值.（2018·德州）22.如图,AB 是O 的直径,直线CD 与O 相切于点C ,且与AB 的延长线交于点E .点C 是BF 的中点.(1)求证:AD CD ⊥ (2)若30CAD ∠=.O 的半径为3，一只蚂蚁从点B 出发，沿着BE C EC B --爬回至点B ,求蚂蚁爬过的路程()3.14 1.73π≈≈结果保留一位小数.（2018·绵阳）如图，AB 是O Θ的直径，点D 在O Θ上（点D 不与A ，B 重合），直线AD 交过点B 的切线于点C ，过点D 作O Θ的切线DE 交BC 于点E 。
中考数学复习 第六单元 圆 滚动小专题(七)与圆有关的计算与证明练习
滚动小专题(七) 与圆有关的计算与证明类型1 与圆的基本性质有关的计算与证明1．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，OD⊥AC，垂足为E ，连接BD.(1)求证：BD 平分∠ABC；(2)当∠ODB＝30°时，求证：BC ＝OD.证明：(1)∵OD⊥AC，OD 为半径，∴CD ︵＝AD ︵.∴∠CBD＝∠ABD.∴BD 平分∠ABC.(2)∵OB＝OD ，∴∠OBD＝∠ODB＝30°.∴∠A OD ＝∠OBD＋∠ODB＝30°＋30°＝60°.又∵OD⊥AC 于E ，∴∠OEA＝90°.∴∠A＝180°－∠OEA－∠AOD＝30°.又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°.∴在Rt △ACB 中，BC ＝12AB. 又∵OD＝12AB ， ∴BC＝OD.2．(2018·温州)如图，D 是△ABC 的BC 边上一点，连接AD ，作△ABD 的外接圆，将△ADC 沿直线AD 折叠，点C 的对应点E 落在⊙O 上．(1)求证：AE ＝AB ；(2)若∠CAB＝90°，cos ∠AD B ＝13，BE ＝2，求BC 的长．解：(1)证明：由题意，得△ADE≌△ADC，∴∠AED＝∠ACD，AE ＝AC.∵∠ABD＝∠AED，∴∠ABD＝∠ACD.∴AB＝AC ，∴AE＝AB.(2)过点A 作AH⊥BE 于点H.∵AB＝AE ，BE ＝2.∴BH＝EH ＝1.∵∠ABE＝∠AEB＝∠ADB，cos ∠ADB＝13， ∴cos ∠ABE＝cos ∠ADB＝13. ∴BH AB ＝13. ∴A C ＝AB ＝3.∵∠BAC＝90°，AC ＝AB ，∴BC＝3 2.3．(2018·包头)如图，在Rt △ACB 中，∠ACB＝90°，以点A 为圆心，AC 长为半径的圆交AB 于点D ，BA 的延长线交⊙A 于点E ，连接CD ，CE ，F 是⊙A 上一点，点F 与点C 位于BE 两侧，且∠FAB＝∠ABC，连接BF.(1)求证：∠BCD＝∠BEC；(2)若BC ＝2，BD ＝1，求CE 的长及sin ∠A BF 的值．解：(1)证明：∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°.∵DE 是⊙A 的直径，∴∠DCE ＝90°.∴∠BEC＋∠CDE＝90°.∵AD＝AC ，∴∠CDE＝∠ACD.∴∠BCD＝∠BEC.(2)∵∠BCD＝∠BEC，∠CBD＝∠EBC，∴△BDC∽△BCE.∴CD EC ＝BD BC ＝BC BE. ∵BC＝2，BD ＝1，∴BE＝4，EC ＝2CD.∴DE＝BE －BD ＝3.在Rt △DCE 中，DE 2＝CD 2＋CE 2＝9.∴CD＝355.∴CE＝655. 过点F 作F M⊥AB 于点M ，∵∠FAB＝∠ABC，∠FMA＝∠ACB＝90°，∴△AFM∽△BAC.∴FM AC ＝AF BA. ∵DE＝3，∴AD＝AF ＝AC ＝32，AB ＝52. ∴FM＝910. 过点F 作FN⊥BC 于点N ，∴∠FNC＝90°.∵∠FAB＝∠ABC，∴FA∥BC.∴∠FAC＝∠ACB＝90°.∴四边形FNCA 是矩形．∴FN＝AC ＝32，NC ＝AF ＝32，∴BN＝12. 在Rt △FBN 中，BF ＝BN 2＋FN 2＝102， ∴在Rt △F BM 中，sin ∠ABF＝FM BF ＝91050.类型2 与圆的切线有关的计算与证明4．(2018·滨州)如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，AD⊥CD 于点D ，且AC 平分∠DAB.求证：(1)直线DC 是⊙O 的切线；(2)AC 2＝2AD·AO.证明：(1)连接OC.∵OA＝OC ，∴∠OAC＝∠OCA.∵AC 平分∠DAB，∴∠OAC＝∠DAC.∴∠DAC＝∠OCA.∴OC∥AD.又∵AD⊥CD，∴OC⊥DC.∵OC 为⊙O 的半径，∴DC 是⊙O 的切线．(2)连接BC.∵AB 为⊙O 的直径，∴AB＝2AO ，∠ACB＝90°.∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.又∵∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB.∴AD AC ＝AC AB，即AC 2＝AB·AD. ∴AC 2＝2AD·AO.5．(2017·金华)如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，CD 是⊙O 的切线，AD⊥CD 于点D ，E 是AB 延长线上一点，CE 交⊙O 于点F ，连接OC ，AC.(1)求证：AC 平分∠DAO；(2)若∠DAO＝105°，∠E＝30°.①求∠OCE 的度数；②若⊙O的半径为22，求线段EF的长．解：(1)证明：∵直线CD与⊙O相切，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴AD∥OC.∴∠DAC＝∠OCA.又∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA.∴∠DAC＝∠OAC.∴AC平分∠DAO.(2)①∵AD∥OC，∴∠EOC＝∠DAO＝105°，∵∠E＝30°，∴∠OCE＝45°.②过点O作OG⊥CE于点G，可得FG＝CG.∵OC＝22，∠OCE＝45°，∴OG＝CG＝2.∴FG＝2.∵在Rt△OGE中，∠E＝30°，∴GE＝2 3.∴EF＝GE－FG＝23－2.6．(2018·苏州)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E，延长DA交⊙O于点F，连接FC，FC与AB相交于点G，连接OC.(1)求证：CD＝CE；(2)若AE＝GE，求证：△CEO是等腰直角三角形．证明：(1)连接AC.∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴∠DCO＝∠D＝90°.∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO.又∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO.∴∠DAC＝∠CAO.又∵CE⊥AB，∴∠CEA＝90°.在△CDA 和△CEA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠D＝∠CEA，∠DAC＝∠EAC，AC ＝AC ，∴△CDA≌△CEA(AAS )．∴CD＝CE.(2)证法一：连接BC.∵△CDA≌△CEA，∴∠DCA＝∠ECA.∵CE⊥AG，AE ＝E G ，∴CA＝CG. ∴∠ECA＝∠ECG.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°.又∵CE⊥AB，∴∠ACE＝∠B.又∵∠B＝∠F，∴∠F＝∠ACE＝∠DCA＝∠ECG.又∵∠D＝90°，∴∠DCF＋∠F＝90°.∴∠F＝∠DCA＝∠ACE＝∠ECG＝22.5°.∴∠AOC＝2∠F＝45°.∴△CEO 是等腰直角三角形．证法二：设∠F＝x°，则∠AOC ＝2∠F＝2x°.∵AD∥OC，∴∠OAF＝∠AOC＝2x°.∴∠CGA＝∠OAF＋∠F＝3x°.∵CE⊥AG，AE ＝EG ，∴CA＝CG.∴∠EAC＝∠CGA.∴∠DAC＝∠EAC＝∠CGA＝3x°.又∵∠DAC＋∠EAC＋∠OAF＝180°，∴3x°＋3x°＋2x°＝180°.∴x＝22.5.∴∠AOC＝2x°＝45°.∴△CEO 是等腰直角三角形．7．(2017·孝感)如图，⊙O 的直径AB ＝10，弦AC ＝6，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，过点D 作DE∥AB 交CA 的延长线于点E ，连接AD ，BD.(1)由AB ，BD ，AD ︵围成的曲边三角形的面积是252＋25π4； (2)求证：DE 是⊙O 的切线；(3)求线段DE 的长．解：(2)证明：连接OD.∵CD 平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD.∴AD＝DB.又∵AB 为直径，∴AD⊥DB，∴∠ADB＝90°.∴OD⊥AB.∵DE∥AB，∴OD⊥DE.又∵OD 为⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线． (3)∵AB＝10，AC ＝6， ∴BC ＝AB 2－AC 2＝8.过点A 作AF⊥DE 于点F ，则四边形AODF 是正方形，∴AF＝OD ＝FD ＝5，∠BAF＝90°.∵∠EAF＋∠CAB＝90°，∠ABC＋∠CAB＝90°，∴∠EAF＝∠ABC.∴tan ∠EAF＝tan ∠ABC.∴EF AF ＝AC BC ，即EF 5＝68. ∴EF＝154. ∴DE＝DF ＋EF ＝5＋154＝354. 8．(2018·株洲)如图，已知AB 为⊙O 的直径，AB ＝8，点C 和点D 是⊙O 上关于直线AB 对称的两个点，连接OC ，AC ，且∠BOC＜90°，直线BC 和直线AD 相交于点E ，过点C 作直线CG 与线段AB 的延长线相交于点F ，与直线AD 相交于点G ，且∠GAF＝∠GCE.(1)求证：直线CG 为⊙O 的切线；(2)若点H 为线段OB 上一点，连接CH ，满足CB ＝CH.①求证：△CBH∽△OBC；②求OH ＋HC 的最大值．解：(1)证明：∵C，D 关于AB 对称，∴∠GAF＝∠CAF.∵∠GAF＝∠GCE，∴∠GCE＝∠CAF.∵OA＝OC ，∴∠CAF＝∠ACO.∴∠GCE＝∠ACO.∵AB 为直径，∴∠ACO＋∠OCB＝90°.∴∠GCE＋∠OCB＝90°，即∠OCG＝90°.又∵OC 为⊙O 的半径，∴CG 为⊙O 的切线．(2)①证明：∵OC＝OB ，CH ＝BC ，∴∠OCB＝∠OBC，∠CHB＝∠CBH，∠CBH＝∠OBC＝∠OCB＝∠CHB.∴△CBH∽△OBC. ②∵△CBH∽△OBC，∴BH BC ＝BC BO .∴BH＝BC24.设BC ＝x ，则CH ＝x ，BH ＝x24.∴OH＋HC ＝－14x 2＋x ＋4＝－14(x －2)2＋5.∴当x ＝2时，OH ＋HC 的最大值为5.9．(2018·娄底)如图，C ，D 是以AB 为直径的⊙O 上的点，AC ︵＝BC ︵，弦CD 交AB 于点E.(1)当PB 是⊙O 的切线时，求证：∠PBD＝∠DAB；(2)求证：BC 2－CE 2＝CE·DE；(3)已知OA ＝4，E 是半径OA 的中点，求线段DE 的长．解：(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，即∠DAB＋∠ABD＝90°.∵PB 是⊙O 的切线，∴∠ABP＝90°，即∠PBD＋∠ABD＝90°.∴∠DAB＝∠PBD.(2)证明：∵∠A＝∠C，∠AED＝∠CEB，∴△ADE∽△CBE.∴DEBE ＝AECE ，即DE·CE＝AE·BE.连接OC. 设圆的半径为r ，则OA ＝OB ＝OC ＝r ，则DE·CE＝AE·BE＝(OA －OE)(OB ＋OE)＝r 2－OE 2.∵AC ︵＝BC ︵，∴∠AOC＝∠BOC＝90°.∴CE 2＝OE 2＋OC 2＝OE 2＋r 2，BC 2＝BO 2＋CO 2＝2r 2，则BC 2－CE 2＝2r 2－(OE 2＋r 2)＝r 2－OE 2. ∴BC 2－CE 2＝DE·CE.(3)∵OA＝4，∴OB＝OC ＝OA ＝4.∴BC＝OB 2＋OC 2＝4 2.又∵E 是半径OA 的中点，∴AE＝OE ＝2.则CE ＝OC 2＋OE 2＝42＋22＝2 5.∵BC 2－CE 2＝DE·CE，∴(42)2－(25)2＝DE·2 5.∴DE＝655.。
【数学课件】2018年中考数学第2篇考点聚焦第10讲与圆有关的证明及计算
(2)(2017·大连)如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，AD 平分∠CAB， BD 是⊙O 的切线，AD 与 BC 相交于点 E. ①求证：BD＝BE； ②若 DE＝2，BD＝ 5，求 CE 的长．
解：①设∠BAD＝α，∵AD 平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD＝α，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°－2α，∵BD 是⊙O 的 切线，∴BD⊥AB，∴∠DBE＝2α，∠BED＝∠BAD＋∠ABC＝90°－α， ∴∠D＝180°－∠DBE－∠BED＝90°－α，∴∠D＝∠BED，∴BD＝BE ②设 AD 交⊙O 于点 F，CE＝x，则 AC＝2x，如图，连接 BF，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AFB＝90°，∵BD＝BE，DE＝2，∴FE＝FD＝1，∵BD＝ 5，
(2)解：由(1)知：∠BEC＝90°，∵在 Rt△BEC 与 Rt△BCA 中，∠B＝ ∠B，∠BEC＝∠BCA，∴△BEC∽△BCA，∴BBCE＝BBAC，∴BC2＝BE·BA， ∵AE∶EB＝1∶2，设 AE＝x，则 BE＝2x，BA＝3x，∵BC＝6，∴62 ＝2x·3x，解得 x＝ 6或－6(舍去)，即 AE＝ 6
【点评】 本题考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定，能 求出∠OED＝∠BCA和△BEC∽△BCA是解此题的关键．
[对应训练] 1．(1)(2017·南充)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为 直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延 长线于点F. ①求证：DE是⊙O的切线； ②若CF＝2，DF＝4，求⊙O直径的长．
∴tanα＝12，∴AB＝taBnFα＝2 5，在 Rt△ABC 中，由勾股定理可知(2x)2
＋(x＋ 5)2＝(2 5)2，解得 x＝－ 5(舍去)或 x＝3 5 5，∴CE＝3 5 5
【中考专题课件】2018年中考数学一轮复习专题三：圆的证明与计算
∴S扇形OCE＝ S△OCB＝ ∴S阴影＝S△OCB－S扇形OCE＝
类型三 圆与相似的综合 圆与相似的综合主要体现在圆与相似三角形的综合， 一般结合切线的判定与性质综合考查，求线段长或半径． 一般的解题思路是利用切线的性质构造角相等，进而构造 相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求出所求线段 或半径．
例3 (2017·兰州)如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径， 弦AF交BC于点E，延长BC到点D，连接OA，AD，使得∠FAC＝ ∠AOD，∠D＝∠BAF. (1)求证：AD是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为5，CE＝2，求EF的长．
【分析】 (1)由BC是⊙O的直径，得到∠BAF＋∠FAC＝90°， 等量代换得到∠D＋∠AOD＝90°，于是得到结论； (2)连接BF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【自主解答】 (1)∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAF＋∠FAC＝90°. ∵∠D＝∠BAF，∠AOD＝∠FAC，
类型一 切线的判定
判定一条直线是圆的切线，首先看圆的半径是否过直 线与圆的交点，有半径则证垂直；没有半径，则连接圆心 与切点，构造半径证垂直．
例1 (2016·黄石)如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异 于A，B)，AD⊥CD. (1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值； (2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．
∴∠D＋∠AOD＝90°，
∴∠OAD＝90°， ∴AD是⊙O的切线． (2)如图，连接BF， ∵∠FAC＝∠AOD， ∴△ACE∽△OCA，
∴AC＝AE＝ ∵∠CAE＝∠CBF， ∴△ACE∽△BFE，∴ ∴
∴EF＝
3．(2016·丹东)如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线
上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.
湖南省2018年中考数学复习热点小专题(七) 以圆为背景的综合计算与证明题
热点小专题(七)__以圆为背景的综合计算与证明题类|型|1 圆与切线相结合的计算与证明 1．[2017·绵阳]如图R 7－1，已知AB 是圆O 的直径．弦CD ⊥AB ，垂足为H.与AC 平行的圆O 的一条切线交CD 的延长线于点M ，交AB 的延长线于点E ，切点为F ，连接AF 交CD 于点N.(1)求证：CA ＝CN ；(2)连接DF ，若cos ∠DFA ＝45，AN ＝2 10，求圆O 的直径．图R 7－12．[2017·潍坊]如图R 7－2，AB 为半圆O 的直径，AC 是⊙O 的一条弦，D 为BC ︵的中点，作DE ⊥AC ，交AB 的延长线于点F ，连接DA.(1)求证：EF 为半圆O 的切线；(2)若DA ＝DF ＝6 3，求阴影区域的面积．(结果保留根号和π)图R 7－2类|型|2 圆与四边形相结合的计算与证明 3．[2017·宜昌]已知，在四边形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，DE ＝EC ，以AE 为直径的⊙O 与边CD 相切于点D.B 点在⊙O 上，连接OB.(1)求证：DE ＝OE ；(2)若CD ∥AB ，求证：四边形ABCD 是菱形．图R 7－34．[2016·潍坊]正方形ABCD 内接于⊙O ，如图R 7－4所示，在劣弧AB ︵上取一点E ，连接DE ，BE ，过点D 作DF ∥BE 交⊙O 于点F ，连接BF ，AF ，且AF 与DE 相交于点G ，求证：(1)四边形EBFD 是矩形； (2)DG ＝BE.图R 7－4类|型|3 圆与三角函数相结合的计算与证明 5．[2017·贵港]如图R 7－5，在菱形ABCD 中，点P 在对角线AC 上，且PA ＝PD ，⊙O 是△PAD 的外接圆． (1)求证：AB 是⊙O 的切线； (2)若AC ＝8，tan ∠BAC ＝22，求⊙O 的半径．图R 7－56．[2017·绥化]如图R 7－6，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于点E.∠ADC 的平分线交AE 于点O ，以点O 为圆心，OA 为半径的圆经过点B ，交BC 于另一点F.(1)求证：CD 与⊙O 相切．(2)若BF ＝24，OE ＝5，求tan ∠ABC 的值．图R 7－6类|型|4 圆与三角形相似相结合的计算与证明 7．[2017·河池]如图R 7－7，AB 为⊙O 的直径，CB ，CD 分别切⊙O 于点B ，D ，CD 交BA 的延长线于点E ，CO 的延长线交⊙O 于点G ，EF ⊥OG 于点F.(1)求证：∠FEB ＝∠ECF ；(2)若BC ＝6，DE ＝4，求EF 的长．图R 7－7类|型|5 圆与二次函数相结合的计算与证明8．[2017·绵阳]如图R 7－8，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的顶点坐标是(2，1)，并且经过点(4，2)．直线y ＝12x＋1与抛物线交于B ，D 两点，以BD 为直径作圆，圆心为点C ，圆C 与直线m 交于对称轴右侧的点M(t ，1)．直线m 上每一点的纵坐标都等于1.(1)求抛物线的解析式；(2)证明：圆C 与x 轴相切；(3)过点B 作BE ⊥m ，垂足为E ，再过点D 作DF ⊥m ，垂足为F.求BE ∶MF 的值．图R 7－8参考答案1．解：(1)证明：连接OF ， ∵ME 与圆O 相切于点F ，∴OF ⊥ME ，即∠OFN ＋∠MFN ＝90°.∵∠OFN ＝∠OAN ，∠OAN ＋∠ANH ＝90°， ∴∠MFN ＝∠ANH (等量代换)．又∵ME ∥AC ，∴∠MFN ＝∠NAC ， ∴∠ANH ＝∠NAC ，∴CA ＝CN . (2)∵cos ∠DF A ＝45，∴cos C ＝45.在直角△AHC 中，设AC ＝5a ，HC ＝4a ， 则AH ＝3a ，由(1)知，CA ＝CN ，∴NH ＝a ，在Rt △ANH 中，利用勾股定理，得AH 2＋NH 2＝AN 2，即(3a )2＋a 2＝(210)2，解得a ＝2(a ＝－2舍去)．连接OC ，在Rt △OHC 中，利用勾股定理，得OH 2＋HC 2＝OC 2， 设圆O 的半径为R ，则(R －6)2＋82＝R 2，解得R ＝253，∴圆O 的直径2R ＝503.2．解：(1)证明：连接OD ，∵D 为BC ︵的中点， ∴∠CAD ＝∠BAD .∵OA ＝OD ， ∴∠BAD ＝∠ADO . ∴∠CAD ＝∠ADO ， ∴OD ∥AE .∵DE ⊥AC ，∴OD ⊥EF . ∴EF 为半圆O 的切线． (2)连接OC 与CD .∵DA ＝DF ，∴∠BAD ＝∠F ， ∴∠BAD ＝∠F ＝∠CAD .又∵∠BAD ＋∠CAD ＋∠F ＝90°， ∴∠F ＝30°，∠BAC ＝60°.∵OC ＝OA ，∴△AOC 为等边三角形， ∴∠AOC ＝60°，∠COB ＝120°.∵OD ⊥EF ，∠F ＝30°，∴∠DOF ＝60°.在Rt △ODF 中，DF ＝6 3， ∴OD ＝DF ·tan 30°＝6.在Rt △AED 中，DA ＝6 3，∠CAD ＝30°， ∴DE ＝DA ·sin 30°＝3 3，EA ＝DA ·cos 30°＝9. ∵∠COD ＝180°―∠AOC ―∠DOF ＝60°， ∴∠OCD ＝∠AOC ＝60°， ∴CD ∥AB .故S △ACD ＝S △COD .∴S 阴影＝S △AED －S 扇形COD ＝12×9×3 3－60360×π×62＝27 32－6π.3．解：(1)证明：如图，连接OD ，∵CD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥CD ， ∴∠2＋∠3＝∠1＋∠COD ＝90°.∵DE ＝EC ，∴∠1＝∠2， ∴∠3＝∠COD ，∴DE ＝OE .(2)∵OD ＝OE ，∴OD ＝DE ＝OE ， ∴∠3＝∠COD ＝∠DEO ＝60°，∴∠2＝∠1＝30°.∵OA ＝OB ＝OE ，OE ＝DE ＝EC ， ∴OA ＝OB ＝DE ＝EC .∵AB ∥CD ，∴∠4＝∠1，∴∠1＝∠2＝∠4＝∠OBA ＝30°， ∴△ABO ≌△CDE ，∴AB ＝CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形，∵∠DAE ＝12∠DOE ＝30°，∴∠1＝∠DAE ，∴CD ＝AD ，∴▱ABCD 是菱形．4．证明：(1)∵正方形ABCD 内接于⊙O ，∴∠BED ＝∠BAD ＝90°，∠BFD ＝∠BCD ＝90°. 又∵DF ∥BE ，∴∠EDF ＋∠BED ＝180°， ∴∠EDF ＝90°，∴四边形EBFD 是矩形； (2)∵正方形ABCD 内接于⊙O ， ∴AD ︵的度数是90°，∴∠AFD ＝45°. 又∵∠GDF ＝90°，∴∠DGF ＝∠DFG ＝45°，∴DG ＝DF .又∵在矩形EBFD 中，BE ＝DF ，∴BE ＝DG .5．解：(1)证明：连接OP ，OA ，OP 交AD 于点E ，如图， ∵P A ＝PD ，∴AP ︵＝DP ︵，∴OP ⊥AD ，AE ＝DE ，∴∠1＋∠OP A ＝90°. ∵OP ＝OA ，∴∠OAP ＝∠OP A ， ∴∠1＋∠OAP ＝90°.∵四边形ABCD 为菱形，∴∠1＝∠2，∴∠2＋∠OAP ＝90°，∴OA ⊥AB ， ∴直线AB 与⊙O 相切； (2)连接BD ，交AC 于点F ，∵四边形ABCD 为菱形， ∴DB 与AC 互相垂直平分． ∵AC ＝8，tan ∠BAC ＝22， ∴AF ＝4，tan ∠DAC ＝DF AF ＝22，∴DF ＝2 2，∴AD ＝AF 2＋DF 2＝2 6，AE ＝ 6. 在Rt △P AE 中，由tan ∠1＝PE AE ＝22，得PE ＝ 3. 设⊙O 的半径为R ，则OE ＝R －3，OA ＝R ， 在Rt △OAE 中，∵OA 2＝OE 2＋AE 2， ∴R 2＝(R －3)2＋(6)2，解得R ＝3 32， 即⊙O 的半径为3 32.6．解：(1)证明：过点O 作CD 的垂线，垂足为G ，如图①.因为AD ∥BC ，AE ⊥BC 于点E ，所以OA ⊥AD . 又因为DO 是∠ADC 的平分线，且OG ⊥CD ， 所以OA ＝OG .所以CD 是⊙O 的切线． (2)如图②，连接OB .在Rt △OBE 中，BE ＝12BF ＝12，OE ＝5，所以半径OB ＝BE 2＋OE 2＝122＋52＝13， 所以AE ＝OA ＋OE ＝OB ＋OE ＝18， 所以tan ∠ABC ＝AE BE ＝1812＝32.7．解：(1)证明：∵CB ，CD 分别切⊙O 于点B ，D ， ∴OC 平分∠BCE ，即∠ECO ＝∠BCO ，OB ⊥BC ， ∴∠BCO ＋∠COB ＝90°.∵EF ⊥OG ，∴∠FEB ＋∠FOE ＝90°，而∠COB ＝∠FOE ，∴∠FEB ＝∠ECF ；(2)连接OD ，如图，∵CB ，CD 分别切⊙O 于点B ，D ， ∴CD ＝CB ＝6，OD ⊥CE ， ∴CE ＝CD ＋DE ＝6＋4＝10. 在Rt △BCE 中，BE ＝102－62＝8.设⊙O 的半径为r ，则OD ＝OB ＝r ，OE ＝8－r ， 在Rt △ODE 中，r 2＋42＝(8－r )2， 解得r ＝3，∴OE ＝8－3＝5.在Rt △OBC 中，OC ＝62＋32＝3 5. ∵∠COB ＝∠FOE ，∠EFO ＝∠CBO ＝90°， ∴△OEF ∽△OCB ， ∴EF BC ＝OE OC ，即EF 6＝53 5，∴EF ＝2 5. 8．解：(1)设抛物线解析式为y ＝a (x －h )2＋k ， 因为抛物线的顶点坐标是(2，1)， 所以y ＝a (x －2)2＋1. 又抛物线经过点(4，2)，所以2＝a (4－2)2＋1，解得a ＝14，所以抛物线的解析式是y ＝14(x －2)2＋1＝14x 2－x ＋2；(2)证明：联立⎩⎨⎧y ＝14x 2－x ＋2，y ＝12x ＋1，消去y ，整理得x 2－6x ＋4＝0，解得x 1＝3－5，x 2＝3＋5， 代入直线方程，解得y 1＝52－52，y 2＝52＋52，所以B (3－5，52－52)，D (3＋5，52＋52)．因为点C 是BD 的中点，所以点C 的纵坐标为y 1＋y 22＝52，利用勾股定理，可算出BD ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝5，即半径R ＝52，即圆心C 到x 轴的距离等于半径R ，所以圆C 与x轴相切．(3)方法1：如图①，连接BM 和DM ，因为BD 为直径，所以∠BMD ＝90°，所以∠BME ＋∠DMF ＝90°.因为BE ⊥m 于点E ，DF ⊥m 于点F ，所以∠BME ＝∠MDF ，所以△BME ∽△MDF ， 所以BE MF ＝EMDF ，即y 1－1x 2－t ＝t －x 1y 2－1，代入得32－52（3＋5）－t ＝t －（3－5）32＋52，化简得(t －3)2＝4，解得t ＝5或t ＝1.因为点M 在对称轴右侧， 所以t ＝5，所以BEMF ＝5＋12；方法2：如图②，过点C 作CH ⊥m ，垂足为H ，连接CM ，由(2)知CM ＝R ＝52，CH ＝R －1＝32，由勾股定理，得MH ＝2.又HF ＝x 2－x 12＝5，所以MF ＝HF －MH ＝5－2.又BE ＝y 1－1＝32－52，所以BEMF ＝5＋12.。
2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之圆的证明与计算常考模型
如图1：DE∥AB ⊿ABC、⊿CDE是等腰直角三角形；
例题讲解
如图：Rt⊿ABC中，∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D，E是BC的中点。
（1）求证：DE切⊙O
（2）证明：CD·CA=4BE2
图形4：如图，⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点F，
（1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数.
（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。
（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
2、与圆有关的计算：
计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：
⑴求证：CD为⊙O的切线
⑵若 ，求 的值
3、如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，，过D作直线BC的垂线交直线AB于点E，F为垂足.
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若C为弧 中点，AC=6，求AE
①DE=GB；②DC=CG；③AD•BG= =DC2
图形2：如图：Rt⊿ABC中，∠ACB=90°。点O是AC上一点，以OC为半径作⊙O交AC于点E，基本结论有：
广东省深圳市2018年中考数学专题专练圆的证明与计算专题
圆的证明与计算专题1.如图，A ，P ，B ，C 是圆上的四个点，∠APC ＝∠CPB＝60°，AP ，CB 的延长线相交于点D.(1)求证：△ABC 是等边三角形；(2)若∠PAC＝90°，AB ＝23，求PD 的长．2.如图，OA ，OD 是⊙O 半径，过A 作⊙O 的切线，交∠AOD 的平分线于点C ，连接CD ，延长AO 交⊙O 于点E ，交CD 的延长线于点B.(1)求证：直线CD 是⊙O 的切线；(2)如果D 点是BC 的中点，⊙O 的半径为3 cm ，求DE ︵的长度．(结果保留π)3.如图，点D 是等边三角形ABC 的外接圆上一点，M 是BD 上一点，且满足DM ＝DC ，点E 是AC 与BD 的交点．(1)求证：CM∥AD；(2)如果AD ＝1，CM ＝2.求线段BD 的长及△BCE 的面积．4.如图，△ABC 内接于⊙O，BD 为⊙O 的直径，BD 与AC 相交于点H ，AC 的延长线与过点B 的直线交于点E ，且∠A ＝∠EBC.(1)求证：BE 是⊙O 的切线；(2)已知CG∥EB，且CG 与BD 、BA 分别相交于点F 、G ，若BG·BA＝48，FG ＝2，DF ＝2BF ；求AH 的值．5.如图，AB 为△ABC 外接圆⊙O 的直径，点P 是线段CA 延长线上一点，点E 在圆上且满足PE 2＝PA·PC，连接CE ，AE ，OE ，OE 交CA 于点D.(1)求证：△PAE∽△PEC； (2)求证：PE 为⊙O 的切线；(3)若∠B＝30°，AP ＝12AC ，求证：DO ＝DP.6.如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 的长为半径的⊙O 与AD,AC 分别交于点E,F ，且∠ACB＝∠DCE.(1)判断直线CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； (2)若tan ∠ACB ＝22，BC ＝2，求⊙O 的半径．7.如图①，以△ABC 的边AB 为直径的⊙O 交边BC 于点E ，过点E 作⊙O 的切线交AC 于点D ，且ED⊥AC.(1)试判断△ABC 的形状 ，并说明理由；(2)如图②，若线段AB 、DE 的延长线交于点F ，∠C ＝75°，CD ＝2－3，求⊙O 的半径和BF 的长．8.如图，四边形ABCD 内接于⊙O，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ，DC ，DF.(1)求∠CDE 的度数； (2)求证：DF 是⊙O 的切线；(3)若AC ＝25DE ，求tan ∠ABD 的值．9.如图，在Rt △ABC 与Rt △OCD 中，∠ACB ＝∠DCO＝90°，O 为AB 的中点．(1)求证：∠B＝∠ACD；(2)已知点E 在AB 上，且BC 2＝AB·BE. (i)若tan ∠ACD ＝34，BC ＝10，求CE 的长；(ii)试判定CD 与以A 为圆心，AE 为半径的⊙A 的位置关系，并说明理由．参考答案1. (1)证明：由题意可得：∠BPC＝∠BAC，∠APC ＝∠ABC，∵∠APC ＝∠CPB＝60°，∴∠ABC ＝∠BAC＝60°，∴△ABC 是等边三角形．(2)解：∵∠PAC＝90°，∴PC 是圆的直径，∴∠PBC ＝90°，∴∠PBD ＝90°，∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝23，∵∠CPB ＝60°，∴PB ＝23tan 60°＝2，∵∠APC ＝60°，∴∠DPB ＝180°－60°－60°＝60°，∴PD ＝2PB ＝4.2. (1)证明：∵CA 切⊙O 于点A ，∴∠CAO ＝90°.∵OC 平分∠AOD ，∴∠AOC ＝∠DOC ，在△AOC 和△DOC 中，，∴△AOC ≌△DOC(SAS)，∴∠CDO＝∠CAO＝90°，∵OD 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线．(2)解：由(1)知：OD⊥BC，又∵D 是BC 的中点，∴OD 是BC 的垂直平分线，∴OC ＝OB ，∴∠BOD ＝∠DOC＝∠COA＝13×180°＝60°，∴∠DOE ＝60°，∴DE ︵的长度为60180π×3＝π.3. (1)证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝∠ACB＝60°，∴∠BDC ＝∠BAC＝60°，∠ADB ＝∠ACB＝60°，∴∠ADC ＝120°，∵DM ＝DC ，∴△DMC 是等边三角形，∴∠MCD ＝60°，∴∠MCD ＋∠ADC＝180°，∴CM ∥AD. (2)解：∵BC＝AC ，∠ADC ＝∠BMC＝120°，∠CBM ＝∠CAD，∴△ADC ≌△BMC ，∴AD ＝MB ＝1，∴BD ＝BM ＋MD ＝AD ＋CM ＝1＋2＝3，∵CM ∥AD ，∴∠CAD ＝∠ACM，∠ADE ＝∠EMC，∴△ADE ∽△CME ，∴AD CM ＝AE EC ＝DE EM ＝12，∴S △ADE ＝14S △EMC ，∵S △CMD ＝12×3×2＝3，∴S △EMC ＝23S △CMD ＝233，S △EDC ＝13S △CDM ＝33，∴S △ADE ＝14S △EMC ＝36，∴S △ADC ＝S △ADE ＋S △DCE ＝36＋33＝32，∴S △BCE ＝S △BMC ＋S △MCE ＝S △ADC ＋S △CME ＝32＋233＝763. 4. 解：(1)连接DC ，∵DB 是⊙O 的直径，∴∠DCB ＝90°，∴∠D ＋∠DBC＝90°，∵∠D ＝∠A，∠EBC ＝∠A.∴∠D ＝∠EBC，∴∠EBC ＋∠DBC＝90°，即∠DBE＝90°，∴BE 是⊙O 的切线．(2)∵CG∥EB，∴∠BCG ＝∠EBC，∴∠A ＝∠BCG，又∵∠CBG＝∠ABC，∴△ABC ∽△CBG ，∴BC BG ＝AB BC ，即BC 2＝BG·AB＝48，∴BC ＝43，∵CG ∥EB ，∴CF ⊥BD，∴∠CFB ＝∠DCB＝90°，又∵∠CBF＝∠DBC，∴Rt △BFC ∽Rt △BCD ，∴BF BC ＝BC BD ，∴BC 2＝BF·BD＝48，又∵DF＝2BF ，BD ＝DF ＋BF ＝3BF ，∴BF ＝4，在Rt △BCF 中，CF ＝BC 2－BF 2＝42，∴CG ＝CF ＋FG ＝52，在Rt △BFG 中，BG ＝BF 2＋FG2＝32，∵BA ＝48BG ＝82，∴AG ＝52，∴CG ＝AG ，∴∠A ＝∠ACG＝∠BCG，∠CFH ＝∠CFB＝90°，∴∠CHF ＝∠CBF，∴CH ＝CB ＝43，∵∠ABC ＝∠CBG，∠BCG ＝∠A，∴△ABC ∽△CBG ，∴AC CG ＝BC BG ，∴AC ＝BC ·CG BG ＝43×5232＝2033，∴AH ＝AC －CH ＝2033－43＝833.5. (1)解：∵PE 2＝PA·PC，∴PA PE ＝PE PC ，∵∠P ＝∠P，∴△PAE ∽△PEC. (2)证明：∵△PAE∽△PEC，∴∠PEA ＝∠PCE，∵OA ＝OE ，∴∠OEA ＝∠OAE，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠OAE ＋∠ECA＝90°，∴∠PEO ＝∠PEA＋∠OEA ＝∠PCE＋∠OAE＝90°，∵OE 为⊙O 半径，∴PE 是⊙O 的切线．(3)证明：过点O 作OH⊥CP 于点H ，∵AB 是⊙O 的直径，∠B ＝30°，∴BC ＝AC tan 30°＝AC 33＝3AC ，∵O 是AB 的中点，∴OH ＝12BC ＝32AC ，∵PE 2＝PA·PC，AP ＝12AC ，∴PE 2＝12AC ·(12AC ＋AC)＝12AC ·32AC ＝34AC 2，∴PE ＝32AC ，∴OH ＝PE ，∵∠OHA ＝∠PED＝90°，∠HDO ＝∠EDP，∴△HDO ≌△EDP ，∴DO ＝DP. 6. 解：(1)直线CE 与⊙O 相切．证明如下：连接OE ，∴∠OAE ＝∠AEO，∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ∥AD ，∠ACB ＝∠DAC, 又∵∠ACB＝∠DCE，∴∠DAC ＝∠AEO＝∠DCE，∵∠DCE ＋∠DEC＝90°，∴∠AEO ＋∠DEC＝90°，∴∠OEC ＝90°，∵OE 是⊙O 的半径，∴直线CE 与⊙O 相切．(2)∵tan ∠ACB ＝AB BC ＝22，BC ＝2，∴AB ＝BC·tan ∠ACB ＝2，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝6，又∵∠ACB＝∠DCE，∴tan ∠DCE ＝22，∴DE ＝DC·tan ∠DCE ＝AB·tan ∠DCE ＝2×22＝1，在Rt △CDE 中，CE ＝CD 2＋DE 2＝3，设⊙O 的半径为r ，在Rt △COE 中，CO 2＝OE 2＋CE 2，即(6－r)2＝r 2＋3，解得r ＝64.∴⊙O 的半径为64. 7. 解：(1)△ABC 为等腰三角形，理由如下：如解图①，连接OE ，在⊙O 中，∵OE ＝OB ，∴∠OEB ＝∠B，图①∵DE 是⊙O 的切线，∴∠OED ＝90°，∵ED ⊥AC ，∴∠ADE ＝90°＝∠OED，∴OE ∥AC 且BE ＝CE ＝12BC ，∴∠OEB ＝∠C，∴∠B ＝∠C，∴AC ＝AB ，∴△ABC 为等腰三角形．(2)如图②，过点B 作BH⊥DF，∵AC ⊥DF ，∴BH ∥AC ，∠EBH＝∠C，由(1)知∠CDE＝∠BHE＝90°，BE ＝CE ，∴△CDE ≌△BHE(AAS)，∴CD ＝BH ＝2－3，∵∠HBF ＝180°－∠OBE－∠EBH ＝180°－75°－75°＝30°，图②∴∠F ＝90°－30°＝60°，在Rt △BFH 中，∴BF ＝BH sin 60°＝43－63，设OE ＝x ，在Rt △OEF 中，sin60°＝OE OF ＝xx ＋BF，解得x ＝2，故⊙O 的半径为2，BF 的长为43－63.8. (1)解：∵对角线AC 为⊙O 直径，∴∠ADC ＝90°，∴∠CDE ＝90°.(2)证明：连接OD ，∵AC 为⊙O 的直径，CE ⊥AC ，∴∠ADC ＝∠CDE＝90°，∠ACF ＝90°，又∵在Rt △CDE 中，点F 为斜边CE 的中点，∴DF ＝FC ，∠CDF ＝∠DCF，又∵OD＝OC，∴∠ODC ＝∠OCD，∴∠ODF ＝∠ODC＋∠CDF＝∠OCD＋∠DCF＝∠ACE＝90°，∵OD 为⊙O 半径，∴DF是⊙O 的切线．(3)解：由圆周角定理可得，∠ABD ＝∠ACD，由题意知，∠ADC ＝∠CDE＝90°，∠CAD ＝∠ECD，∴△ADC ∽△CDE ，∴AD CD ＝CD DE ，∴CD 2＝AD·DE，∵AC ＝25DE ，设DE ＝a ，AD ＝b ，∴AC ＝25a ，CD ＝ab ，在Rt △ACD中，由勾股定理可得：AD 2＋CD 2＝AC 2，即b 2＋(ab)2＝(25a)2，上式两边同时除以a 2，整理后得到：(b a )2＋b a －20＝0，解得b a ＝4或b a ＝－5(舍去)．∴tan ∠ABD ＝tan ∠ACD ＝AD CD ＝bab＝ba＝2. 9. (1)证明：∵点O 为直角三角形斜边AB 上的中点，∴OC ＝OB ，∴∠B ＝∠BCO，∵∠ACB ＝∠DCO＝90°，即∠ACO ＋∠BCO＝∠ACO＋∠ACD＝90°，∴∠BCO ＝∠ACD∴∠B ＝∠ACD.(2)解：(i)∵BC 2＝AB·BE，即BC BA ＝BE BC ，又∵∠B＝∠B，∴△BCA ∽△BEC ，∴∠BEC ＝∠BCA＝90°，∵tan ∠ACD ＝34，又由(1)知∠B＝∠ACD，∴tan ∠B ＝34，即CE EB ＝34，设CE ＝3x ，EB ＝4x ，∵在Rt △BCE 中，CE 2＋EB 2＝BC 2，∴(3x)2＋(4x)2＝102，∴x ＝2，∴CE ＝3x ＝6.(ii)CD 与⊙A 相切，理由如下：过A 作AF⊥DC，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACE ＋∠BCE＝90°，∵∠BEC ＝90°，∴∠B ＋∠BCE＝90°，∴∠B ＝∠ACE，又∵∠B＝∠ACD，∴∠ACE ＝∠ACD.又∵AF⊥DC，AE ⊥EC ，∴AE ＝AF ，又∵AE 为⊙O 半径，F 为CD 上一点，∴CD 与⊙A 相切．。
(完整版)天津市南开区2018届中考《圆证明题》专项复习试卷(含答案),推荐文档
2018年九年级数学中考复习圆证明题专项复习卷1、如图，点A，B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．求证：AC=CD．2、如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦．过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C 作CD∥AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．(1)判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AB=9，BC=6．求PC的长．3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上一点，以BD为直径的⊙O和AB相切于点P．（1）求证：BP平分∠ABC；（2）若PC=1，AP=3，求BC的长．4、已知：如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，∠PBA=∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线．（2）若OP∥BC，且OP=8，∠C=60°，求⊙O的半径．5、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点M，MN⊥AC于点N．求证：MN是⊙O的切线．6、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．（1）求证：∠BDC=∠A；（2）若CE=4，DE=2，求⊙O的直径．7、已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB=AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC=BD（2）求证：DE为⊙O的切线．8、如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的直线与AB的延长线交于点D，连接AC，BC，∠BCD=∠CAB．E是⊙O上一点，弧CB=弧CE，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，sinD=，求线段AF的长．9、如图，已知MN是⊙O的直径，直线PQ与⊙O相切于P点，NP平分∠MNQ．（1）求证：NQ⊥PQ；（2）若⊙O的半径R=2，NP=，求NQ的长．10、已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB=AC；连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．(1)求证：DC=BD(2)求证：DE为⊙O的切线11、如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F 为BC的中点，连接EF和AD．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，∠EAC=60°，求AD的长．12、如图，AB是⊙O的直径，点E是上的一点，∠DBC=∠BED．⑴求证：BC是⊙O的切线；⑵已知AD=3，CD=2，求BC的长．13、如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．（1）求∠ABC的度数；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．14、已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．15、如图，以△ABC的边AB上一点O为圆心的圆经过B、C两点，且与边AB相交于点E，D是弧BE的中点，CD交AB于F，AC=AF．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若EF=5，DF=，求⊙O的半径．参考答案1、∵直线AC与⊙O相切，∴OA⊥AC，∴∠OAC=90°，即∠OAB+∠CAB=90°，∵OC⊥OB，∴∠BOC=90°，∴∠B+∠ODB=90°，而∠ODB=∠ADC，∴∠ADC+∠B=90°，∴OA=OB，∴∠OAB=∠B，∴∠ADC=∠CAB，∴AC=CD．2、（1）解：PC与圆O相切，理由为：过C点作直径CE，连接EB，如图，∵CE为直径，∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°，∵AB∥DC，∴∠ACD=∠BAC，∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD．∴∠E=∠BCP，∴∠BCP+∠BCE=90°，即∠PCE=90°，∴CE⊥PC，∴PC与圆O相切；（2）解：∵AD是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥AD，∵BC∥AD，∴AM⊥BC，∴BM=CM=BC=3，∴AC=AB=9，在Rt△AMC中，AM= =6，设⊙O的半径为r，则OC=r，OM=AM﹣r=6﹣r，在Rt△OCM中，OM2+CM2=OC2，即32+（6﹣r）2=r2，解得r=，∴CE=2r=，OM=6 ﹣= ，∴BE=2OM=，∵∠E=∠MCP，∴Rt△PCM∽Rt△CEB，∴= ，即= ，∴PC= 3、（1）证明：连接OP，∵AC是⊙O的切线，∴OP⊥AC，BC⊥AC，∴OP∥BC，∴∠OPB=∠PBC，∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP，∴∠PBC=∠OBP，∴BP平分∠ABC（2）作PH⊥AB于H．∵PB平分∠ABC，PC⊥BC，PH⊥AB，∴PC=PH=1，在Rt△APH中，AH= =2 ，∵∠A=∠A，∠AHP=∠C=90°，∴△APH∽△ABC，∴= ，∴= ，∴AB=3，∴BH=AB﹣AH=，在Rt△PBC和Rt△PBH中，，∴Rt△PBC≌Rt△PBH，∴BC=BH=．4、（1）证明：连接OB，∵AC是⊙O直径，∴∠ABC=90°，∵OC=OB，∴∠OBC=∠C，∵∠PBA=∠C，∴∠PBA=∠OBC，即∠PBA+∠OBA=∠OBC+∠ABO=∠ABC=90°，∴OB⊥PB，∵OB为半径，∴PB是⊙O的切线；（2）解：∵OC=OB，∠C=60°，∴△OBC为等边三角形，∴BC=OB，∵OP∥BC，∴∠CBO=∠POB，∴∠C=∠POB，在△ABC和△PBO中∵，∴△ABC≌△PBO（ASA），∴AC=OP=8，即⊙O的半径为4．5、证明：连接OM，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OB=OM，∴∠B=∠OMB，∴∠OMB=∠C，∴OM∥AC，∵MN⊥AC，∴OM⊥MN．∵点M在⊙O上，∴MN是⊙O的切线．6、（1）证明：连接OD，∵CD是⊙O切线，∴∠ODC=90°，即∠ODB+∠BDC=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ODB+∠ADO=90°，∴∠BDC=∠ADO，∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，∴∠BDC=∠A；（2）∵CE⊥AE，∴∠E=∠ADB=90°，∴DB∥EC，∴∠DCE=∠BDC，∴∠DCE=∠A，∵CE=4，DE=2∴在Rt△ACE中，可得AE=8∴AD=6在在Rt△ADB中可得BD=3∴根据勾股定理可得7、证明：（1）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵AB=AC，∴DC=BD；（2）连接半径OD，∵OA=OB，CD=BD，∴OD∥AC，∴∠ODE=∠CED，又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．8、（1）证明：连接OC，BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°．∵OA=OC，∴∠1=∠2．∵∠DCB=∠BAC=∠1．∴∠DCB+∠3=90°．∴OC⊥DF．∴DF是⊙O的切线；（2）解：在Rt△OCD中，OC=3，sinD=．∴OD=5，AD=8．∵=，∴∠2=∠4．∴∠1=∠4．∴OC∥AF．∴△DOC∽△DAF．∴．∴AF=．9、（1）证明：连结OP，如图，∴直线PQ与⊙O相切，∴OP⊥PQ，∵OP=ON，∴∠ONP=∠OPN，∵NP平分∠MNQ，∴∠ONP=∠QNP，∴∠OPN=∠QNP，∴OP∥NQ，∴NQ⊥PQ；（2）解：连结PM，如图，∵MN是⊙O的直径，∴∠MPN=90°，∵NQ⊥PQ，∴∠PQN=90°，而∠MNP=∠QNP，∴Rt△NMP∽Rt△NPQ，∴=，即=，∴NQ=3．10、（1）证明：（1）连接AD；∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．又∵AB=AC∴DC=BD（2）连接半径OD；∵OA=OB，CD=BD，∴OD∥AC．∴∠0DE=∠CED．又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°．∴∠ODE=90°，即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．11、（1）证明：连接CE，如图所示：∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°．∴∠BEC=90°．∵点F为BC的中点，∴EF=BF=CF．∴∠FEC=∠FCE．∵OE=OC，∴∠OEC=∠OCE．∵∠FCE+∠OCE=∠ACB=90°，∴∠FEC+∠OEC=∠OEF=90°．∴EF是⊙O的切线．（2）解：∵OA=OE，∠EAC=60°，∴△AOE是等边三角形．∴∠AOE=60°．∴∠COD=∠AOE=60°．∵⊙O的半径为2，∴OA=OC=2在Rt△OCD中，∵∠OCD=90°，∠COD=60°，∴∠ODC=30°．∴OD=2OC=4，∴CD=．在Rt△ACD中，∵∠ACD=90°，AC=4，CD=．∴AD==．12、1）AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，从而得出∠BAD=∠DBC，即∠ABC=90°，即可证明BC是⊙O的切线；（2）可证明△ABC∽△BDC，则=，即可得出BC=；13、解：（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，∴∠ABC=∠D=60°；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠BAC=30°，∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切线；（3）如图，连接OC，∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°，∴劣弧AC的长为．14、（1）证明：∵ED=EC，∴∠EDC=∠C，∵∠EDC=∠B，∴∠B=∠C，∴AB=AC；（2）解：连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC，由（1）知AB=AC，∴BE=CE=BC=，∵△CDE∽△CBA，∴，∴CE•CB=CD•CA，AC=AB=4，∴•2=4CD，∴CD=．15、（1）证明：连结OD、OC，如图，∵D是弧BE的中点，∴OD⊥BE，∴∠D+∠3=90°，∵∠3=∠2，∴∠D+∠2=90°，∵AF=AC，OD=OC，∴∠1=∠2，∠D=∠4，∴∠1+∠4=90°，∴OC⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，则OF=OE﹣EF=r﹣5，在Rt△ODF中，∵OD2+OF2=DF2，∴r2+（r﹣5）2=（）2，整理得r2﹣5r﹣6=0，解得r1=6，r2=﹣1，∴，⊙O的半径为6．。
武汉市2018年中考数学21题圆的有关证明和计算2
21题圆的有关证明和计算2
1、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ，DC ，DF.
(1)求∠CDE 的度数；
(2)求证：DF 是⊙O 的切线；
(3)若AC ＝25DE ，求tan ∠ABD 的值．
2、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，点F 是CD 上一点，且满足CF FD ＝1
3
，
连接AF 并延长⊙O 于点E ，连接AD ，DE ，若CF ＝2，AF ＝3.
(1)求证：△ADF ∽△AED ； (2)求FG 的长； (3)求tan E 的值.
A
C
E F
3、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为弧AB 上一点，弦CD 交AB ①若点C 为弧AB 的中点，4
5
DE CE =，求tanB 的值.
②在①中，若E 是OB 的中点，连AC ，求tan ∠ACD 的值.
③如图，DC ＝DB ，若5
8
DE CE =，求tan ∠CDB 的值.
4、等腰直角△AOB ，F 是以OA 为半径的⊙O 上一点.
(1) FC ⊥AB 于C ， 若∠BCF =1
2
∠BOF ，求证：CF
为⊙O 的切线；
(2)连BF ，D 在直线BF 上，DC ⊥AB 于C ，交AF 的延长线于E ，若，CE =4，DE =3，求AE 的长.。
2018届中考数学复习专题题型(七) 圆的有关计算与证明
（2017浙江衢州第19题）如图，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆O 于点D 。
连结OD ，作BE ⊥CD 于点E ，交半圆O 于点F 。
已知CE=12，BE=9[来源:学#科#网Z#X#X#K]（1）求证：△COD ∽△CBE ；（2）求半圆O 的半径r 的长：试题解析： （1）∵CD 切半圆O 于点D ，∴CD ⊥OD ，∴∠CDO=90°，∵BE ⊥CD ，∴∠E=90°=∠CDO ，又∵∠C=∠C ，∴△COD ∽△CBE ．（2）在Rt △BEC 中，CE=12，BE=9，∴22CE BE +=15，∵△COD ∽△CBE ． ∴OD OC BE BC=，即15915r r -=， 解得：r=458． 考点：1. 切线的性质；2.相似三角形的判定与性质.2.（2017山东德州第20题）如图，已知Rt ΔABC,∠C=90°，D 为BC 的中点.以AC 为直径的圆O 交AB 于点E.（1）求证：DE 是圆O 的切线.(2)若AE:EB=1:2,BC=6，求AE 的长.(1)如图所示，连接OE，CE∵AC是圆O的直径∴∠AEC=∠BEC=90°∵D是BC的中点∴ED＝12BC＝DC∴∠1=∠2∵OE=OC∴∠3=∠4∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD ∵∠ACD=90°∴∠OED=90°,即OE⊥DE又∵E是圆O上的一点∴DE是圆O的切线.考点：圆切线判定定理及相似三角形3.（2017甘肃庆阳第27题）如图，AN 是⊙M 的直径，NB ∥x 轴，AB 交⊙M 于点C ．（1）若点A （0，6），N （0，2），∠ABN=30°，求点B 的坐标；（2）若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是⊙M 的切线．（1）∵A 的坐标为（0，6），N （0，2），∴AN=4，∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，∴AB=2AN=8，∴由勾股定理可知：NB=2243ABAN -=，∴B （43，2）．（2）连接MC ，NC∵AN 是⊙M 的直径，∴∠ACN=90°，∴∠NCB=90°，在Rt △NCB 中，D 为NB 的中点，∴CD=12NB=ND ， ∴∠CND=∠NCD ，∵MC=MN ，∴∠MCN=∠MNC ， ∵∠MNC+∠CND=90°，∴∠MCN+∠NCD=90°，即MC ⊥CD ．∴直线CD 是⊙M 的切线．考点：切线的判定；坐标与图形性质．4.（2017广西贵港第24题）如图，在菱形ABCD 中，点P 在对角线AC 上，且PA PD =，O 是PAD ∆的外接圆.（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若28,tan 2AC BAC =∠=求O 的半径. 【答案】(1)证明见解析；（236． （1）连结OP 、OA ，OP 交AD 于E ，如图，∵PA=PD ，∴弧AP=弧DP ，∴OP ⊥AD ，AE=DE ，∴∠1+∠OPA=90°，∵OP=OA ，∴∠OAP=∠OPA ，∴∠1+∠OAP=90°，∵四边形ABCD 为菱形，∴∠1=∠2，∴∠2+∠OAP=90°，∴OA ⊥AB ，∴直线AB 与⊙O 相切；（2）连结BD ，交AC 于点F ，如图，∵四边形ABCD 为菱形，∴DB 与AC 互相垂直平分，∵AC=8，tan ∠∴AF=4，tan ∠DAC=DFAF∴∴∴在Rt △PAE 中，tan ∠1=PE AE =2，∴设⊙O 的半径为R ，则OE=R OA=R ，在Rt △OAE 中，∵OA 2=OE 2+AE 2，∴R 2=（R 2+2，∴R=4，即⊙O 的半径为4．考点：切线的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形．5.（2017贵州安顺第25题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2 3，求阴影部分的面积．【答案】(1)证明见解析；（2）43﹣43π．（1）证明：连接OC，如图，∵CE为切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∵OD⊥BC，∴CD=BD，即OD垂中平分BC，∴EC=EB ，在△OCE 和△OBE 中OC OB OE OE EC EB ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴△OCE ≌△OBE ，∴∠OBE=∠OCE=90°，∴OB ⊥BE ，∴BE 与⊙O 相切；（2）解：设⊙O 的半径为r ，则OD=r ﹣1，在Rt △OBD 中，BD=CD=12BC=3， ∴（r ﹣1）2+（3）2=r 2，解得r=2， ∵tan ∠BOD=BD OD=3， ∴∠BOD=60°，∴∠BOC=2∠BOD=120°，在Rt △OBE 中，BE=3OB=23，∴阴影部分的面积=S 四边形OBEC ﹣S 扇形BOC=2S △OBE ﹣S 扇形BOC=2×12×2×23﹣21202360π⨯⨯343π． 考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算．6.（2017湖北武汉第21题）如图，ABC ∆内接于O ，,AB AC CO =的延长线交AB 于点D ．（1）求证AO平分BAC∠；（2）若36,sin5BC BAC=∠=，求AC和CD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）310；90 13.（2）过点C作CE⊥AB于E∵sin∠BAC=35,设AC=5m，则CE=3m∴AE=4m，BE=m在RtΔCBE中，m2+(3m)2=36∴m=3105，∴AC=310延长AO交BC于点H，则AH⊥BC，且BH=CH=3，过点O作OF⊥AH交AB于点F，∵∠HOC=∠BAC∴OH=4，OC=5 ∴AH=9∴tan∠BAH=1 3∴OF=13AO=53∵OF∥BC∴OF DOBC DC，即5DC-53=6DC∴DC=90 13.考点：1.全等三角形的判定与性质；2.解直角三角形；3.平行线分线段成比例.7.（2017湖南怀化第23题）如图，已知BC是O⊙的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆上一点，且AB AD，AC CD.(1)求证：ACD BAD△∽△；(2)求证：AD是O⊙的切线.试题解析：（1）∵AB=AD，∴∠B=∠D，∵AC=CD，∴∠CAD=∠D，∴∠CAD=∠B，∵∠D=∠D，∴△ACD∽△BAD；（2）连接OA，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB，∴∠OAB=∠CAD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切线．考点：相似三角形的判定与性质；切线的判定．11.（2017江苏盐城第25题）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G．（1）求证：BC是⊙F的切线；（2）若点A、D的坐标分别为A（0，-1），D（2，0），求⊙F的半径；（3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）⊙F的半径为52；（3）AG=AD+2CD．证明见解析.试题解析：（1）连接EF ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠FAE=∠CAE ，∵FA=FE ，∴∠FAE=∠FEA ，∴∠FEA=∠EAC ，∴FE ∥AC ，∴∠FEB=∠C=90°，即BC 是⊙F 的切线；（2）连接FD ，设⊙F 的半径为r ，则r 2=（r-1）2+22，解得，r=52，即⊙F 的半径为52； （3）AG=AD+2CD ．证明：作FR ⊥AD 于R ，则∠FRC=90°，又∠FEC=∠C=90°，∴四边形RCEF 是矩形，∴EF=RC=RD+CD ，∵FR ⊥AD ，∴AR=RD ，∴EF=RD+CD=12AD+CD ， ∴AG=2FE=AD+2CD ．.考点：圆的综合题．13.（2017甘肃兰州第27题）如图，ABC △内接于O ⊙，BC 是O ⊙的直径，弦AF 交BC 于点E ，延长BC 到点D ，连接OA ，AD ，使得FAC AOD ∠∠，D BAF ∠∠.(1)求证：AD 是O ⊙的切线；(2)若O ⊙的半径为5，2CE ，求EF 的长.（1）由BC 是⊙O 的直径，得到∠BAF+∠FAC=90°，等量代换得到∠D+∠AOD=90°，于是得到结论；（2）连接BF ，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．（2）连接BF ，∴∠FAC=∠AOD ，∴△ACE ∽△DCA ， ∴AC AE CE OC OA AC==， ∴255ACAEAC ==，∴10，∵∠CAE=∠CBF ，∴△ACE ∽△BFE ，∴AE BE CE EF=，∴108EF=，∴EF=810．考点：切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．14.（2017贵州黔东南州第21题）如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．（1）求证：PT2=PA•PB；（2）若PT=TB=3，求图中阴影部分的面积．（1）证明：连接OT．∵PT是⊙O的切线，∴PT⊥OT，∴∠PTO=90°，∴∠PTA+∠OTA=90°，∵AB是直径，∴∠ATB=90°，∴∠TAB+∠B=90°，∵OT=OA，∴∠OAT=∠OTA，∴∠PTA=∠B，∵∠P=∠P，∴△PTA∽△PBT，∴PT PA PB PT=，∴PT2=PA•PB．（2）∵TP=TB=3，∴∠P=∠B=∠PTA，∵∠TAB=∠P+∠PTA，∴∠TAB=2∠B，∵∠TAB+∠B=90°，∴∠TAB=60°，∠B=30°，∴tanB=3 ATTB=∴AT=1，∵OA=OT，∠TAO=60°，∴△AOT是等边三角形，∴S阴=S扇形OAT﹣S△AOT=22601331360464ππ⨯-⨯=-.考点：相似三角形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的计算．16.（2017四川泸州第24题）如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G．（1）求证：DF∥AO；（2）若AC=6，AB=10，求CG的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2.（1）证明：连接OD．∵AB与⊙O相切与点D，又AC与⊙O相切与点，∴AC=AD，∵OC=OD，∴OA⊥CD，∴CD⊥OA，∵CF是直径，∴∠CDF=90°，∴DF⊥CD，∴DF∥AO．（2）过点作EM⊥OC于M，∵AC=6，AB=10，∴，∴AD=AC=6，∴BD=AB-AD=4，∵BD2=BF•BC，∴BF=2，∴CF=BC-BF=6．OC=12CF=3，∴，∵OC2=OE•OA，∴，∵EM∥AC，∴15 EM OM OEAC OC OA===，∴OM=35，EM=65，FM=OF+OM=185，∴3.6365 EM FMCG FC===，∴CG=53EM=2．考点：切线的性质．17.（2017四川宜宾第23题）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE ⊥CD，垂足为点E．（1）求证：直线CE是⊙O的切线．（2）若BC=3，CD=32，求弦AD的长．（1）证明：连结OC，如图，∵AD平分∠EAC，∴∠1=∠3，∵OA=OD，∴∠1=∠2，∴∠3=∠2，∴OD∥AE，∵AE⊥DC，∴OD⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）∵∠CDO=∠ADB=90°，∴∠2=∠CDB=∠1，∵∠C=∠C，∴△CDB∽△CAD，∴CD CB BD CA CD AD==，∴CD2=CB•CA，∴（22=3CA，∴CA=6，∴AB=CA﹣BC=3，32262BDAD==,设2，AD=2K，在Rt△ADB中，2k2+4k2=5，∴k=306，∴AD=303．考点：切线的判定与性质．18.（2017新疆建设兵团第22题）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）333-22 ．（1）如图所示，连接BO，∵∠ACB=30°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∵DE⊥AC，CB=BD，∴Rt△DCE中，BE=12CD=BC，∴∠BEC=∠BCE=30°，∴△BCE中，∠EBC=180°﹣∠BEC﹣∠BCE=120°，∴∠EBO=∠EBC﹣∠OBC=120°﹣30°=90°，∴BE是⊙O的切线；（2）当BE=3时，BC=3，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC=90°，又∵∠ACB=30°，∴AB=tan30°×BC=3， ∴AC=2AB=23，AO=3，∴阴影部分的面积=半圆的面积﹣Rt △ABC 的面积=12π×AO 2﹣12AB ×BC=12π×3﹣12×3×3=333-22π． 考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算．1. (2017北京第24题)如图，AB 是O 的一条弦，E 是AB 的中点，过点E 作EC OA ⊥于点C ，过点B 作O 的切线交CE 的延长线于点D .（1）求证：DB DE =；（2）若12,5AB BD ==，求O 的半径.（1）证明：∵DC ⊥OA, ∴∠1+∠3=90°, ∵BD 为切线，∴OB ⊥BD, ∴∠2+∠5=90°, ∵OA=OB, ∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5，在△DEB 中, ∠4=∠5，∴DE=DB.(2)作DF ⊥AB 于F,连接OE,∵DB=DE, ∴EF=12BE=3，在 RT △DEF 中，EF=3，DE=BD=5，EF=3 , ∴22534-=∴sin ∠DEF=DF DE = 45 , ∵∠AOE=∠DEF, ∴在RT △AOE 中，sin ∠AOE=45AE AO = , ∵AE=6, ∴AO=152. 考点：圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数2. (2017天津第21题)已知AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙O 的切线，050=∠ABT ，BT 交⊙O 于点C ，E 是AB 上一点，延长CE 交⊙O 于点D .（1）如图①，求T ∠和CDB ∠的大小；（2）如图②，当BC BE =时，求CDO ∠的大小.：(1)如图，连接AC,21世纪教育网∵AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙O 的切线，∴AT ⊥AB,即∠TAB=90°.∵050=∠ABT ，∴∠T=90°-∠ABT=40°由AB 是⊙O 的直径，得∠ACB=90°，∴∠CAB=90°-∠ABC=40°∴∠CDB=∠CAB=40°;（2）如图，连接AD,在△BCE 中，BE=BC ，∠EBC=50°，∴∠BCE=∠BEC=65°,∴∠BAD=∠BCD=65°∵OA=OD∴∠ODA=∠OAD=65°∵∠ADC=∠ABC=50°∴∠CDO=∠ODA-∠ADC=15°.3. (2017福建第21题)如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 是O 的直径，点P 在CA 的延长线上，45CAD ∠=．（Ⅰ）若4AB =，求弧CD 的长；（Ⅱ）若弧BC =弧AD ，AD AP =，求证：PD 是O 的切线．（Ⅰ）连接OC ，OD ，∵∠COD=2∠CAD ，∠CAD=45°，∴∠COD=90°，∵AB=4，∴OC=12 AB=2，∴CD 的长=902180π⨯⨯ =π； （Ⅱ）∵BC =AD ，∴∠BOC=∠AOD ，∵∠COD=90°，∴∠AOD=1802COD ︒-∠ =45°，∵OA=OD ，∴∠ODA=∠OAD ，∵∠AOD+∠ODA+∠OAD=180°，∴∠ODA=1802AOD ︒-∠=67.5°，∵AD=AP ，∴∠ADP=∠APD ，∵∠CAD=∠ADP+∠APD ，∠CAD=45°，∴∠ADP=12∠CAD=22.5°，∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，又∵OD 是半径，∴PD 是⊙O 的切线.4. (2017河南第18题)如图，在ABC ∆中， AB AC =，以AB 为直径的⊙O 交AC 边于点D ，过点C 作//CF AB ，与过点B 的切线交于点F ，连接BD .（1）求证：BD BF =；（2）若10AB =，4CD =，求BC 的长.(1)∵AB AC =∴∠ABC=∠ACB∵//CF AB∴∠ABC=∠FCB∴∠ACB=∠FCB ，即CB 平分∠DCF∵AB 为⊙O 直径∴∠ADB=90°，即BD AC ⊥∵BF 为⊙O 的切线∴BF AB ⊥∵//CF AB∴BF CF ⊥∴BD=BF考点：圆的综合题.6. （2017湖南长沙第23题）如图，AB 与⊙O 相切于C ，OB OA ,分别交⊙O 于点E D ,，CD CE =．（1）求证：OB OA =；（2）已知34=AB ，4=OA ，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析（2）2=233S π-阴影试题解析：（1）连接OC ，则OC ⊥AB∵CD CE =∴∠AOC=∠BOC在△AOC 和△BOC 中，90AOC BOC OC OCOCA OCB ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠=⎩∴△AOC ≌△BOC （ASA ） ∴AO=BO（2）由（1）可得AC=BC=12AB=3∴在Rt △AOC 中，OC=2∴∠AOC=∠BOC=60° ∴11==232=2322BOC S BC OC ⋅⨯△26022==3603S ππ⨯⨯扇形BOC ∴2==233BOC S S S π-△阴影扇形BOC考点：1、切线的性质，2、三角形的面积，3、扇形的面积7. （2017山东临沂第23题）如图，BAC ∠的平分线交ABC 的外接圆于点D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E .（1）求证：DE DB =；（2）若90BAC ∠=︒，4BD =，求ABC 外接圆的半径.【试题解析：（1）AD 平分BAC ∠，BE 平分ABC ∠，,BAD CAD ABE CBE ∴∠=∠∠=∠，又BED ABE BAD ∠=∠+∠，DBE DBC CBE ∠=∠+∠，DBC DAC ∠=∠,BED DBE ∴∠=∠.DE DB ∴=.（2）解：连接CD ，90BAC ∠=，BC ∴是圆的直径.90BDC ∴∠=，90BDC ∴∠=.BAD CAD ∠=∠，BD CD ∴=，BD CD ∴=，BCD ∴∆是等腰直角三角形.4BD =，42BC ∴=.ABC ∴∆的外接圆的半径为22.考点：1、三角形的外接圆的性质，2、圆周角定理，3、三角形的外角性质，4、勾股定理8. (2017四川泸州第24题)如图，⊙O 与ABC Rt ∆的直角边AC 和斜边AB 分别相切于点;,D C 与边BC 相交于点F ,OA 与CD 相交于点E ，连接FE 并延长交AC 边于点G .（1）求证：DF //AO（2）若,10,6==AB AC 求CG 的长.（1）证明：AB 与⊙O 相切与点DBDF BCD ∠=∠∴ （弦切角定理）又AC 与⊙O 相切与点C由切线长定理得：;,DAO CAO AD AC ∠=∠=AO CD ⊥∴,;BDF DAO DAO CAO BCD ∠=∠∴∠=∠=∠∴ 即：DF//AO（2）：过点E 作OC EM ⊥与M88,622=-=∴==AC AB BC AB AC4,6=-=∴==AD AB BD AC AD∴由切割线定理得：BC BF BD ⋅=2,解得：;2=BF;321,6===-=∴FC OC BF BC FC 21世纪教育网 5322=+=∴OC AC OA 由射影定理得：553,2=⋅=OE OA OE OC 解之得： 235;5366.3;518;56,53;51==∴===∴=+===∴===∴EM CG FC FM CG EM OM OF FM EM OM OA OE OC OM AC EM 9. (2017山东滨州第23题)（本小题满分10分）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）求证：DE2＝DF·DA．【答案】详见解析.试题解析：证明：（1）如图1，连接DO，并延长交⊙O于点G，连接BG；∵点E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC．21世纪教育网∵∠G＝∠BAD，∴∠MDB＝∠G，21世纪教育网∵DG为⊙O的直径，∴∠GBD＝90°，∴∠G＋∠BDG＝90°．∴∠MDB＋∠BDG＝90°．∴直线DM是⊙O的切线；（2）如图2，连接BE．∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD．∵∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠CBD＝∠CAD．∴∠EBD＝∠BED，∴DB＝DE．∵∠CBD＝∠BAD，∠ADB＝∠ADB，∴△DBF∽△DAB，∴BD2＝DF·DA．∴DE2＝DF·DA．10. (2017辽宁沈阳第22题)如图，在ABC∆中，以BC为直径的O交AC于点E，过点E做EF AB⊥于点F，延长EF交CB的延长线于点G，且2ABG C∠=∠.（1）求证：EF是O的切线；（2）若3sin5EGC∠=，O的半径是3，求AF的长.【答案】（1）详见解析；（2）245.试题解析：(1)连接OE，则2EOG C∠=∠,∵2ABG C∠=∠∴ABG EOG∠=∠∴//AB OE∵EF AB⊥∴090AFE∠=∴090 GEO AFE∠=∠=∴OE EG⊥又∵OE是O的半径∴EF是O的切线；（2）∵2ABG C ∠=∠，∵ABG C A ∠=∠+∠∴C A ∠=∠∴BA=BC又O 的半径为3，∴OE=OB=OC∴BA=BC=2×3=6在Rt △OEG 中，sin ∠EGC=OE OG ，即335OG = ∴OG=5在Rt △FGB 中，sin ∠EGC=BF GB ，即352FB = ∴BF=65∴AF=AB-BF=6-65=245. 考点：圆的综合题.13. (2017山东菏泽第22题)如图，AB 是⊙O 的直径，PB 与⊙O 相切于点B ，连接PA 交⊙O 于点C .连接BC .（1）求证：CBP BAC ∠=∠；（2）求证：PA PC PB ⋅=2；（3）当3,6==CP AC 时，求PAB ∠sin 的值.【答案】(1)详见解析；（2）详见解析；（3）3.【解析】试题分析：（1）根据直径所对的圆周角为直角、切线的性质定理、同角的余角相等，即可证得CBP BAC ∠=∠；（2）先证△PB ∽C △ABP ，根据相似三角形的性质即可得结论； （3）利用PA PC PB ⋅=2，得33=PB ，从而求PAB ∠sin =3试题解析：【解】（1）∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACB=90°∴∠A+∠ABC=90°∵PB 与⊙O 相切于点B∴∠CBP+∠ABC=90°∴CBP BAC ∠=∠(2)∵CBP BAC ∠=∠，∠P=∠P∴△PB ∽C △ABP∴BPPC AP PB = ∴PA PC PB ⋅=2（3）∵3,6==CP AC∴AP=9∵PA PC PB ⋅=2∴33=PB∴PAB ∠sin =3339==AP PB 14. (2017浙江金华第22题)如图，已知：AB 是O 的直径，点C 在O 上，CD 是O 的切线，AD CD ⊥于点,D E 是AB 延长线上的一点，CE 交O 于点F ，连接,OC AC ．(1)求证：AC 平分DAO ∠．(2)若105DAO ∠=，30E ∠=．①求OCE ∠的度数．②若O 的半径为22，求线段EF 的长．【答案】(1)详见解析；（2）①∠OCE=45°；②23-2.（1）解：∵直线与⊙O 相切，∴OC ⊥CD ；又∵AD ⊥CD,∴AD//OC,∴∠DAC=∠OCA;又∵OC=OA,∴∠OAC=∠OCA,∴∠DAC=∠OAC;∴AC 平分∠DAO.（2）解：①∵AD//OC ，∠DAO=105°,∴∠EOC=∠DAO=105°;∵∠E=30°,∴∠OCE=45°.②作OG ⊥CE 于点G,可得FG=CG,∵OC=22,∠OCE=45°.∴CG=OG=2,∴FG=2;∵在RT △OGE 中，∠E=30°，∴GE=23,∴EF=GE-FG=23-2.15. （2017浙江湖州第21题）（本小题8分）如图，O 为Rt C ∆AB 的直角边C A 上一点，以C O 为半径的O 与斜边AB 相切于点D ，交OA 于点E ．已知C 3B =C 3A =．（1）求D A 的长；（2）求图中阴影部分的面积．【答案】（132）6π （1）在Rt △ABC 中，22AC BC +223(3)+3∵BC ⊥OC∴BC 是⊙O 的切线∵AB 是⊙O 的切线∴3∴3（2）在Rt △ABC 中，sinA=31223BC AB == ∴∠A=30°∵AB 切⊙O 于点D∴OD ⊥AB∴∠AOD=90°-∠A=60° ∵tan =tan 30OD A AD = 33∴OD=1 ∴2601==3606S ππ⨯阴影 考点：1、切线的性质，2、勾股定理，3、解直角三角形，4、扇形的面积16. （2017浙江台州第22题） 如图，已知等腰直角三角形ABC ，点P 是斜边BC 上一点（不与,B C 重合），PE 是ABP ∆的外接圆⊙O 的直径.（1）求证：APE∆是等腰直角三角形；（2）若⊙O的直径为2，求22+的值.PC PB【答案】（1）证明见解析（2）4（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠C=∠ABC=45°,∴∠PEA=∠ABC=45°又∵PE是⊙O的直径，∴∠PAE=90°,∴∠PEA=∠APE=45°,∴△APE是等腰直角三角形.（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=AB,同理AP=AE,又∵∠CAB=∠PAE=90°,∴∠CAP=∠BAE,∴△CPA≌△BAE,∴CP=BE,在Rt△BPE中，∠PBE=90°,PE=2,∴PB2+BE2=PE2,∴CP2+PB2=PE2=4.考点：1、全等三角形的判定与性质，2、等腰三角形的判定与性质，3、勾股定理，4、圆心角、弧、弦的关系，5、等腰直角三角形14．（2017四川省南充市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若CF=2，DF=4，求⊙O直径的长．【答案】（1）证明见解析；（2）6．【解析】试题分析：（1）连接OD、CD，由AC为⊙O的直径知△BCD是直角三角形，结合E为BC的中点知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案；（2）设⊙O的半径为r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案．试题解析：（1）如图，连接OD、CD．∵AC为⊙O的直径，∴△BCD是直角三角形，∵E为BC的中点，∴BE=CE=DE，∴∠CDE=∠DCE，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ACB=90°，∴∠OCD+∠DCE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，∵∠ODF=90°，∴OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2，解得：r=3，∴⊙O的直径为6．考点：切线的判定与性质．15．（2017四川省广安市）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，做直线AE，且∠EAC=∠D．（1）求证：直线AE是⊙O的切线．（2）若∠BAC=30°，BC=4，cos∠BAD=34，CF=103，求BF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）521．（1）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ADC+∠CDB=90°，∵∠EAC=∠ADC，∠CDB=∠BAC，∴∠EAC+∠BAC=90°，即∠BAE=90°，∴直线AE是⊙O的切线；（2）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，Rt △ACB 中，∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×4=8，由勾股定理得：AC=2284-=43，Rt △ADB 中，cos ∠BAD=34=AD AB ，∴34=8AD ，∴AD=6，∴BD=2286- =27，∵∠BDC=∠BAC ，∠DFB=∠AFC ，∴△DFB ∽△AFC ，∴BF BD FC AC =，∴2710433BF =，∴BF=5219．考点：1．切线的判定与性质；2．解直角三角形．。
2018届中考数学复习第二部分空间与图形第二十六课时圆的有关计算和证明课件
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【考点变式】 1.(2017· 齐齐哈尔)如图,AC是☉O的切线,切点为C,BC是☉O的直 径,AB交☉O于点D,连接OD,若∠A=50°,则∠COD的度数为 80° .
2.(2017· 连云港)如图,线段AB与☉O相切于点B,线段AO与☉O相交 于点C,AB=12,AC=8,则☉O的半径长为 5 .
-1齐齐哈尔)一个圆锥的侧面积是底面积的3倍,则圆锥侧面 展开图的扇形的圆心角是 ( A ) A.120° B.180° C.240° D.300° 2.(2017· 东营)若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍,则该圆锥侧面 展开图所对应扇形圆心角的度数为 ( C ) A.60° B.90° C.120° D.180° 3.(2017· 绥化)一个扇形的半径为3 cm,弧长为2π cm,则此扇形的面 积为 3π cm2 .(用含π的式子表示)
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3.切线:判定:经过半径的外端并且 垂直于 这条半径的直线是圆 的切线. 性质:圆的切线垂直于过 切点 的半径. 切线长:(1)经过圆外一点作圆的切线,这 点和切点 之间的线段 的长,叫做点到圆的切线长. (2)从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的 切线长相等 ,这一 点和圆心的连线 平分 两切线的夹角.
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4.(2017· 白银)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,AB=2,以点A为圆 π 心、AC的长为半径画弧,交AB边于点D,则弧CD的长等于 .3(结果 保留π)
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考点3 圆的有关证明 【例3】(2017· 益阳)如图,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,D在AB 的延长线上,且∠BCD=∠A.
底圆半径 母线长
× 360°
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1.(2017· 吉林)如图,直线l是☉O的切线,A为切点,B为直线l上一点,连 接OB交☉O于点C.若AB=12,OA=5,则BC的长为 ( D )
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（2017浙江衢州第19题）如图，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆O 于点D 。
连结OD ，作BE ⊥CD 于点E ，交半圆O 于点F 。
已知CE=12，BE=9[来源:学#科#网Z#X#X#K]（1）求证：△COD ∽△CBE ；（2）求半圆O 的半径r 的长：试题解析： （1）∵CD 切半圆O 于点D ，∴CD ⊥OD ，∴∠CDO=90°，∵BE ⊥CD ，∴∠E=90°=∠CDO ，又∵∠C=∠C ，∴△COD ∽△CBE ．（2）在Rt △BEC 中，CE=12，BE=9，∴22CE BE +=15，∵△COD ∽△CBE ． ∴OD OC BE BC=，即15915r r -=， 解得：r=458． 考点：1. 切线的性质；2.相似三角形的判定与性质.2.（2017山东德州第20题）如图，已知Rt ΔABC,∠C=90°，D 为BC 的中点.以AC 为直径的圆O 交AB 于点E.（1）求证：DE 是圆O 的切线.(2)若AE:EB=1:2,BC=6，求AE 的长.(1)如图所示，连接OE，CE∵AC是圆O的直径∴∠AEC=∠BEC=90°∵D是BC的中点∴ED＝12BC＝DC∴∠1=∠2∵OE=OC∴∠3=∠4∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD ∵∠ACD=90°∴∠OED=90°,即OE⊥DE又∵E是圆O上的一点∴DE是圆O的切线.考点：圆切线判定定理及相似三角形3.（2017甘肃庆阳第27题）如图，AN 是⊙M 的直径，NB ∥x 轴，AB 交⊙M 于点C ．（1）若点A （0，6），N （0，2），∠ABN=30°，求点B 的坐标；（2）若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是⊙M 的切线．（1）∵A 的坐标为（0，6），N （0，2），∴AN=4，∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，∴AB=2AN=8，∴由勾股定理可知：NB=2243AB AN -=，∴B （43，2）．（2）连接MC ，NC∵AN 是⊙M 的直径，∴∠ACN=90°，∴∠NCB=90°，在R t △NCB 中，D 为NB 的中点，∴CD=12NB=ND ， ∴∠CND=∠NCD ，∵MC=MN ，∴∠MCN=∠MNC ，∵∠MNC+∠CND=90°，∴∠MCN+∠NCD=90°，即MC ⊥CD ．∴直线CD 是⊙M 的切线．考点：切线的判定；坐标与图形性质．4.（2017广西贵港第24题）如图，在菱形ABCD 中，点P 在对角线AC 上，且PA PD =，O e 是PAD ∆的外接圆.（1）求证：AB 是O e 的切线；（2）若28,tan ,2AC BAC =∠=求O e 的半径. 【答案】(1)证明见解析；（236． （1）连结OP 、OA ，OP 交AD 于E ，如图，∵PA=PD ，∴弧AP=弧DP ，∴OP ⊥AD ，AE=DE ，∴∠1+∠OPA=90°，∵OP=OA ，∴∠OAP=∠OPA ，∴∠1+∠OAP=90°，∵四边形ABCD 为菱形，∴∠1=∠2，∴∠2+∠OAP=90°，∴OA ⊥AB ，∴直线AB 与⊙O 相切；（2）连结BD ，交AC 于点F ，如图，∵四边形ABCD 为菱形，∴DB 与AC 互相垂直平分，∵AC=8，tan ∠∴AF=4，tan ∠DAC=DF AF =∴∴∴在Rt △PAE 中，tan ∠1=PE AE =2，∴设⊙O 的半径为R ，则OE=R ，OA=R ，在Rt △OAE 中，∵OA 2=OE 2+AE 2，∴R 2=（R 2+）2，∴R=4，即⊙O 的半径为4．考点：切线的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形．5.（2017贵州安顺第25题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2 3，求阴影部分的面积．【答案】(1)证明见解析；（2）43﹣43π．（1）证明：连接OC，如图，∵CE为切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∵OD⊥BC，∴CD=BD，即OD垂中平分BC，∴EC=EB ，在△OCE 和△OBE 中OC OB OE OE EC EB ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴△OCE ≌△OBE ，∴∠OBE=∠OCE=90°，∴OB ⊥BE ，∴BE 与⊙O 相切；（2）解：设⊙O 的半径为r ，则OD=r ﹣1，在Rt △OBD 中，BD=CD=12BC=3， ∴（r ﹣1）2+（3）2=r 2，解得r=2，∵tan ∠BOD=BD OD=3， ∴∠BOD=60°，∴∠BOC=2∠BOD=120°，在Rt △OBE 中，BE=3OB=23，∴阴影部分的面积=S 四边形OBEC ﹣S 扇形BOC=2S △OBE ﹣S 扇形BOC=2×12×2×23﹣21202360π⨯⨯343π． 考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算．6.（2017湖北武汉第21题）如图，ABC ∆内接于O e ，,AB AC CO =的延长线交AB 于点D ．（1）求证AO平分BAC∠；（2）若36,sin5BC BAC=∠=，求AC和CD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）310；90 13.（2）过点C作CE⊥AB于E∵sin∠BAC=35,设AC=5m，则CE=3m∴AE=4m，BE=m在RtΔCBE中，m2+(3m)2=36∴m=310，∴AC=310延长AO交BC于点H，则AH⊥BC，且BH=CH=3，过点O作OF⊥AH交AB于点F，∵∠HOC=∠BAC∴OH=4，OC=5∴AH=9∴tan∠BAH=1 3∴OF=1 3AO=53∵OF∥BC∴OF DOBC DC，即5DC-53=6DC∴DC=9013.考点：1.全等三角形的判定与性质；2.解直角三角形；3.平行线分线段成比例.7.（2017湖南怀化第23题）如图，已知BC是O⊙的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆上一点，且AB AD=，AC CD=.(1)求证：ACD BAD△∽△；(2)求证：AD是O⊙的切线.试题解析：（1）∵AB=AD，∴∠B=∠D，∵AC=CD，∴∠CAD=∠D，∴∠CAD=∠B，∵∠D=∠D，∴△ACD∽△BAD；（2）连接OA，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB，∴∠OAB=∠CAD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切线．考点：相似三角形的判定与性质；切线的判定．11.（2017江苏盐城第25题）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G．（1）求证：BC是⊙F的切线；（2）若点A、D的坐标分别为A（0，-1），D（2，0），求⊙F的半径；（3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）⊙F的半径为52；（3）AG=AD+2CD．证明见解析.试题解析：（1）连接EF ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠FAE=∠CAE ，∵FA=FE ，∴∠FAE=∠FEA ，∴∠FEA=∠EAC ，∴FE ∥A C ，∴∠FEB=∠C=90°，即BC 是⊙F 的切线；（2）连接FD ，设⊙F 的半径为r ，则r 2=（r-1）2+22，解得，r=52，即⊙F 的半径为52； （3）AG=AD+2CD ．证明：作FR ⊥AD 于R ，则∠FRC=90°，又∠FEC=∠C=90°，∴四边形RCEF 是矩形，∴EF=RC=RD+CD ，∵FR ⊥AD ，∴AR=RD ，∴EF=RD+CD=12AD+CD ， ∴AG=2FE=AD+2CD ．.考点：圆的综合题．13.（2017甘肃兰州第27题）如图，ABC △内接于O ⊙，BC 是O ⊙的直径，弦AF 交BC 于点E ，延长BC 到点D ，连接OA ，AD ，使得FAC AOD =∠∠，D BAF =∠∠.(1)求证：AD是O⊙的切线；(2)若O⊙的半径为5，2CE=，求EF的长.（1）由BC是⊙O的直径，得到∠BAF+∠FAC=90°，等量代换得到∠D+∠AOD=90°，于是得到结论；（2）连接BF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．（2）连接BF，∴∠FAC=∠AOD，∴△ACE∽△DCA，∴AC AE CE OC OA AC==，∴255AC AEAC==，∴10∵∠CAE=∠CBF，∴△ACE∽△BFE，∴AE BE CE EF=，∴108EF=，∴EF=810．考点：切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．14.（2017贵州黔东南州第21题）如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．（1）求证：PT2=PA•PB；（2）若PT=TB=3，求图中阴影部分的面积．（1）证明：连接OT．∵PT是⊙O的切线，∴PT⊥OT，∴∠PTO=90°，∴∠PTA+∠OTA=90°，∵AB是直径，∴∠ATB=90°，∴∠TAB+∠B=90°，∵OT=OA，∴∠OAT=∠OTA，∴∠PTA=∠B，∵∠P=∠P，∴△PTA∽△PBT，∴PT PA PB PT=，∴PT2=PA•PB．（2）∵TP=TB=3，∴∠P=∠B=∠PTA，∵∠TAB=∠P+∠PTA，∴∠TAB=2∠B，∵∠TAB+∠B=90°，∴∠TAB=60°，∠B=30°，∴tanB=3 ATTB=∴AT=1，∵OA=OT，∠TAO=60°，∴△AOT是等边三角形，∴S阴=S扇形OAT﹣S△AOT=22601331360464ππ⨯-⨯=-.考点：相似三角形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的计算．16.（2017四川泸州第24题）如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G．（1）求证：DF∥AO；（2）若AC=6，AB=10，求CG的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2.（1）证明：连接OD．∵AB与⊙O相切与点D，又AC与⊙O相切与点，∴AC=AD，∵OC=OD，∴OA⊥CD，∴CD⊥OA，∵CF是直径，∴∠CDF=90°，∴DF⊥CD，∴DF∥AO．（2）过点作EM⊥OC于M，∵AC=6，AB=10，∴，∴AD=AC=6，∴BD=AB-AD=4，∵BD2=BF•BC，∴BF=2，∴CF=BC-BF=6．OC=12CF=3，∴∵OC2=OE•OA，∴，∵EM∥AC，∴15 EM OM OEAC OC OA===，∴OM=35，EM=65，FM=OF+OM=185，∴3.6365 EM FMCG FC===，∴CG=53EM=2．考点：切线的性质．17.（2017四川宜宾第23题）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．（1）求证：直线CE是⊙O的切线．（2）若BC=3，CD=32，求弦AD的长．（1）证明：连结OC，如图，∵AD平分∠EAC，∴∠1=∠3，∵OA=OD，∴∠1=∠2，∴∠3=∠2，∴OD∥AE，∵AE⊥DC，∴OD⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）∵∠CDO=∠ADB=90°，∴∠2=∠CDB=∠1，∵∠C=∠C，∴△CDB∽△CAD，∴CD CB BD CA CD AD==，∴CD2=CB•CA，∴（22=3CA，∴CA=6，∴AB=CA﹣BC=3，32262BDAD==,设2，AD=2K，在Rt△ADB中，2k2+4k2=5，∴k=306，∴AD=303．考点：切线的判定与性质．18.（2017新疆建设兵团第22题）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）333-22 ．（1）如图所示，连接BO，∵∠ACB=30°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∵DE⊥AC，CB=BD，∴Rt△DCE中，BE=12CD=BC，∴∠BEC=∠BCE=30°，∴△BCE中，∠EBC=180°﹣∠BEC﹣∠BCE=120°，∴∠EBO=∠EBC﹣∠OBC=120°﹣30°=90°，∴BE是⊙O的切线；（2）当BE=3时，BC=3，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC=90°，又∵∠ACB=30°，∴AB=tan30°×BC=3， ∴AC=2AB=23，AO=3，∴阴影部分的面积=半圆的面积﹣Rt △ABC 的面积=12π×AO 2﹣12AB ×BC=12π×3﹣12×3×3=333-22π． 考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算．1. (2017北京第24题)如图，AB 是O e 的一条弦，E 是AB 的中点，过点E 作EC OA ⊥于点C ，过点B 作O e 的切线交CE 的延长线于点D .（1）求证：DB DE =；（2）若12,5AB BD ==，求O e 的半径.（1）证明：∵DC ⊥OA, ∴∠1+∠3=90°, ∵BD 为切线，∴OB ⊥BD, ∴∠2+∠5=90°, ∵OA=OB, ∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5，在△DEB 中, ∠4=∠5，∴DE=DB.(2)作DF ⊥AB 于F,连接OE,∵DB=DE, ∴EF=12BE=3，在 RT △DEF 中，EF=3，DE=BD=5，EF=3 , ∴22534-=∴sin ∠DEF=DF DE = 45 , ∵∠AOE=∠DEF, ∴在RT △AOE 中，sin ∠AOE=45AE AO = , ∵AE=6, ∴AO=152. 考点：圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数2. (2017天津第21题)已知AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙O 的切线，050=∠ABT ，BT 交⊙O 于点C ，E 是AB 上一点，延长CE 交⊙O 于点D .（1）如图①，求T ∠和CDB ∠的大小；（2）如图②，当BC BE =时，求CDO ∠的大小.：(1)如图，连接AC,21世纪教育网∵AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙O 的切线，∴AT ⊥AB,即∠TAB=90°.∵050=∠ABT ，∴∠T=90°-∠ABT=40°由AB 是⊙O 的直径，得∠ACB=90°，∴∠CAB=90°-∠ABC=40°∴∠CDB=∠CAB=40°;（2）如图，连接AD,在△BCE 中，BE=BC ，∠EBC=50°，∴∠BCE=∠BEC=65°,∴∠BAD=∠BCD=65°∵OA=OD∴∠ODA=∠OAD=65°∵∠ADC=∠ABC=50°∴∠CDO=∠ODA-∠ADC=15°.3. (2017福建第21题)如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 是O e 的直径，点P 在CA 的延长线上，45CAD ∠=o．（Ⅰ）若4AB =，求弧CD 的长；（Ⅱ）若弧BC =弧AD ，AD AP =，求证：PD 是O e 的切线．（Ⅰ）连接OC ，OD ，∵∠COD=2∠CAD ，∠CAD=45°，∴∠COD=90°，∵AB=4，∴OC=12 AB=2，∴的长=902180π⨯⨯ =π；（Ⅱ）∵=，∴∠BOC=∠AOD ，∵∠COD=90°，∴∠AOD=1802COD ︒-∠ =45°，∵OA=OD ，∴∠ODA=∠OAD ，∵∠AOD+∠ODA+∠OAD=180°，∴∠ODA=1802AOD ︒-∠=°，∵AD=AP ，∴∠ADP=∠APD ，∵∠CAD=∠ADP+∠APD ，∠CAD=45°，∴∠ADP=12∠CAD=°，∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，又∵OD 是半径，∴PD 是⊙O 的切线.4. (2017河南第18题)如图，在ABC ∆中， AB AC =，以AB 为直径的⊙O 交AC 边于点D ，过点C 作//CF AB ，与过点B 的切线交于点F ，连接BD .（1）求证：BD BF =；（2）若10AB =，4CD =，求BC 的长.(1)∵AB AC =∴∠ABC=∠ACB∵//CF AB∴∠ABC=∠FCB∴∠ACB=∠FCB ，即CB 平分∠DCF∵AB 为⊙O 直径∴∠ADB=90°，即BD AC ⊥∵BF 为⊙O 的切线∴BF AB ⊥∵//CF AB∴BF CF ⊥∴BD=BF考点：圆的综合题.6. （2017湖南长沙第23题）如图，AB 与⊙O 相切于C ，OB OA ,分别交⊙O 于点E D ,，¼¼CD CE =．（1）求证：OB OA =；（2）已知34=AB ，4=OA ，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析（2）2=233S π阴影试题解析：（1）连接OC ，则OC ⊥AB∵¼¼CD CE =∴∠AOC=∠BOC在△AOC 和△BOC 中，90AOC BOC OC OCOCA OCB ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠=⎩o ∴△AOC ≌△BOC （ASA ）∴AO=BO（2）由（1）可得AC=BC=12AB=3∴在Rt △AOC 中，OC=2∴∠AOC=∠BOC=60° ∴11==232=2322BOC S BC OC ⋅⨯△ 26022==3603S ππ⨯⨯o o 扇形BOC ∴2==233BOC S S S π-△阴影扇形BOC 考点：1、切线的性质，2、三角形的面积，3、扇形的面积7. （2017山东临沂第23题）如图，BAC ∠的平分线交ABC V 的外接圆于点D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E .（1）求证：DE DB =；（2）若90BAC ∠=︒，4BD =，求ABC V 外接圆的半径.【试题解析：（1）Q AD 平分BAC ∠，BE 平分ABC ∠，,BAD CAD ABE CBE ∴∠=∠∠=∠，又BED ABE BAD ∠=∠+∠，DBE DBC CBE ∠=∠+∠，DBC DAC ∠=∠,BED DBE ∴∠=∠.DE DB ∴=.（2）解：连接CD ，90BAC ∠=o Q ，BC ∴是圆的直径.90BDC ∴∠=o ，90BDC ∴∠=o .BAD CAD ∠=∠Q ，»»BDCD ∴=，BD CD ∴=，BCD ∴∆是等腰直角三角形.4BD =Q ，42BC ∴=.ABC ∴∆的外接圆的半径为22.考点：1、三角形的外接圆的性质，2、圆周角定理，3、三角形的外角性质，4、勾股定理8. (2017四川泸州第24题)如图，⊙O 与ABC Rt ∆的直角边和斜边分别相切于点与边相交于点,与相交于点，连接并延长交边于点.（1）求证：,10,6==AB AC（1）证明：AB Θ与⊙O 相切与点D BDF BCD ∠=∠∴ （弦切角定理）又AC Θ与⊙O 相切与点C由切线长定理得：;,DAO CAO AD AC ∠=∠=AO CD ⊥∴,;BDF DAO DAO CAO BCD ∠=∠∴∠=∠=∠∴ 即：DF E OC EM ⊥M 88,622=-=∴==AC AB BC AB AC Θ4,6=-=∴==AD AB BD AC AD Θ∴BCBF BD ⋅=2;2=BF ;321,6===-=∴FC OC BF BC FC 5322=+=∴OC AC OA 553,2=⋅=OE OA OE OC 解之得：235;5366.3;518;56,53;51==∴===∴=+===∴===∴EM CG FC FM CG EM OM OF FM EM OM OA OE OC OM AC EM (2017山东滨州第23题)（本小题满分10分）如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线交BC 于点F ，交△ABC 的外接圆⊙O 于点D ；连接BD ，过点D 作直线DM ，使∠BDM ＝∠DAC ．（1）求证：直线DM 是⊙O 的切线；（2）求证：DE 2＝DF ·DA ．【答案】详见解析.试题解析：证明：（1）如图1，连接DO ，并延长交⊙O 于点G ，连接BG ；∵点E 是△ABC 的内心，∴AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC ．21世纪教育网∵∠G ＝∠BAD ，∴∠MDB ＝∠G ，21世纪教育网∵DG 为⊙O 的直径，∴∠GBD ＝90°，∴∠G ＋∠BDG ＝90°．∴∠MDB ＋∠BDG ＝90°．∴直线DM 是⊙O 的切线；（2）如图2，连接BE．∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD．∵∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠CBD＝∠CAD．∴∠EBD＝∠BED，∴DB＝DE．∵∠CBD＝∠BAD，∠ADB＝∠ADB，∴△DBF∽△DAB，∴BD2＝DF·DA．∴DE2＝DF·DA．10. (2017辽宁沈阳第22题)如图，在ABC⊥于点F，延e交AC于点E，过点E做EF AB∆中，以BC为直径的O长EF交CB的延长线于点G，且2∠=∠.ABG C（1）求证：EF是Oe的切线；（2）若3sin5EGC∠=，Oe的半径是3，求AF的长.【答案】（1）详见解析；（2）24 5.试题解析：(1)连接OE，则2EOG C∠=∠,∵2ABG C∠=∠∴ABG EOG∠=∠∴//AB OE∵EF AB⊥∴090AFE∠=∴090GEO AFE∠=∠=∴OE EG⊥又∵OE是Oe的半径∴EF是Oe的切线；（2）∵2ABG C∠=∠，∵ABG C A∠=∠+∠∴C A∠=∠∴BA=BC又Oe的半径为3，∴OE=OB=OC∴BA=BC=2×3=6在Rt△OEG中，sin∠EGC=OEOG，即335OG=∴OG=5在Rt△FGB中，sin∠EGC=BFGB，即352FB=∴BF=6 5∴AF=AB-BF=6-65=245.考点：圆的综合题.13. (2017山东菏泽第22题)如图，是⊙的直径，与⊙相切于点，连接交⊙于点.连接.（1）求证：CBP BAC ∠=∠；（2）求证：PA PC PB ⋅=2；（3）当3,6==CP AC 时，求PAB ∠sin 的值.【答案】(1)详见解析；（2）详见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）根据直径所对的圆周角为直角、切线的性质定理、同角的余角相等，即可证得CBP BAC ∠=∠；（2）先证△PB ∽C △ABP ，根据相似三角形的性质即可得结论； （3）利用PA PC PB ⋅=2，得33=PB ，从而求PAB ∠sin =试题解析：【解】（1）∵是⊙的直径∴∠ACB=90°∴∠A+∠ABC=90°∵与⊙相切于点∴∠CBP+∠ABC=90° ∴CBP BAC ∠=∠(2)∵CBP BAC ∠=∠，∠P=∠P∴△PB ∽C △ABP∴BPPC AP PB = ∴PA PC PB ⋅=2（3）∵3,6==CP AC∴AP=9∵PA PC PB ⋅=2 ∴33=PB ∴PAB ∠sin =3339==AP PB 14. (2017浙江金华第22题)如图，已知：AB 是O e 的直径，点C 在O e 上，CD 是O e 的切线，AD CD ⊥于点,D E 是AB 延长线上的一点，CE 交O e 于点F ，连接,OC AC ．(1)求证：AC 平分DAO ∠．(2)若105DAO ∠=o ，30E ∠=o ．①求OCE ∠的度数．②若O e 的半径为22，求线段EF 的长．【答案】(1)详见解析；（2）①∠OCE=45°；②23-2.（1）解：∵直线与⊙O 相切，∴OC ⊥CD ；又∵AD ⊥CD,∴AD （2）解：①∵AD ②作OG ⊥CE 于点G,可得FG=CG,∵OC=22,∠OCE=45°.∴CG=OG=2,∴FG=2;∵在RT △OGE 中，∠E=30°，∴GE=23,∴EF=GE-FG=23-2.15. （2017浙江湖州第21题）（本小题8分）如图，为Rt C ∆AB 的直角边上一点，以为半径的与斜边相切于点，交于点．已知C 3B =，C 3A =．（1）求的长；（2）求图中阴影部分的面积．【答案】（132）6π （1）在Rt △ABC 中，22AC BC +223(3)+3 ∵BC ⊥OC ∴BC 是⊙O 的切线∵AB 是⊙O 的切线∴3∴3（2）在Rt △ABC 中，sinA=31223BC AB == ∴∠A=30°∵AB 切⊙O 于点D∴OD ⊥AB∴∠AOD=90°-∠A=60° ∵tan =tan 30OD A AD=o 33∴OD=1∴2601==3606S ππ⨯阴影 考点：1、切线的性质，2、勾股定理，3、解直角三角形，4、扇形的面积16. （2017浙江台州第22题） 如图，已知等腰直角三角形，点是斜边上一点（不与重合），是ABP ∆的外接圆⊙的直径.（1）求证：APE∆是等腰直角三角形；（2）若⊙的直径为2，求22+的值.PC PB【答案】（1）证明见解析（2）4（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠C=∠ABC=45°,∴∠PEA=∠ABC=45°又∵PE是⊙O的直径，∴∠PAE=90°,∴∠PEA=∠APE=45°,∴△APE是等腰直角三角形.（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=AB,同理AP=AE,又∵∠CAB=∠PAE=90°,∴∠CAP=∠BAE,∴△CPA≌△BAE,∴CP=BE,在Rt△BPE中，∠PBE=90°,PE=2,∴PB2+BE2=PE2,∴CP2+PB2=PE2=4.考点：1、全等三角形的判定与性质，2、等腰三角形的判定与性质，3、勾股定理，4、圆心角、弧、弦的关系，5、等腰直角三角形14．（2017四川省南充市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接D E并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若CF=2，DF=4，求⊙O直径的长．【答案】（1）证明见解析；（2）6．【解析】试题分析：（1）连接OD、CD，由AC为⊙O的直径知△BCD是直角三角形，结合E为BC的中点知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案；（2）设⊙O的半径为r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案．试题解析：（1）如图，连接OD、CD．∵AC为⊙O的直径，∴△BCD是直角三角形，∵E为BC的中点，∴BE=CE=DE，∴∠CDE=∠DCE，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ACB=90°，∴∠OCD+∠DCE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，∵∠ODF=90°，∴OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2，解得：r=3，∴⊙O的直径为6．考点：切线的判定与性质．15．（2017四川省广安市）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，做直线AE，且∠EAC=∠D．（1）求证：直线AE是⊙O的切线．（2）若∠BAC=30°，BC=4，cos∠BAD=34，CF=103，求BF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）5219．（1）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ADC+∠C DB=90°，∵∠EAC=∠ADC，∠CDB=∠BAC，∴∠EAC+∠BAC=90°，即∠BAE=90°，∴直线AE是⊙O的切线；（2）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，Rt △ACB 中，∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×4=8，由勾股定理得：AC=2284-=43，Rt △ADB 中，cos ∠BAD=34=AD AB ，∴34=8AD ，∴AD=6，∴BD=2286- =27，∵∠BDC=∠BAC ，∠DFB=∠AFC ，∴△DFB ∽△AFC ，∴BF BD FC AC =，∴2710433BF =，∴BF=5219．考点：1．切线的判定与性质；2．解直角三角形．。