点的运动合成习题参考解答

由 va = ve + vr 和速度三角形，以及正弦定理有
ve sin(30o
−ϕ)
=
va sin60o
⇒
v BC
= ve
=
va sin60 o
sin(30o
−ϕ)
将 va = rω 及ϕ =0、30°、60° 分别代入上式解得当ϕ =0、30°、60° 时，
vBC =
3 rω, 3
vBC = 0,
v BC
=−
3 rω 。 3
这里负号表示与图示方向相反，即水平向右。
3. 如图所示，半径为 R 的半圆凸轮以匀速 v1 向左平移，借以推动杆 AB 绕轴 A 转动。试求 AB 与水平面的夹角为θ 时，杆 AB 的角速度。
解：以半圆凸轮的轮心 O 为动点，动系与杆 AB 固结，绝对轨迹为水平直线，相 对轨迹为与杆 AB 平行的直线，牵连运动为定轴转动，速度分析见下图。
点的合成运动习题解答（理力 B）
1. 塔式起重机的水平悬臂以匀角速度ω = 0.1 rad/s 绕铅垂轴 OO1 转动，同时跑车 A 带着重物 B 沿悬臂按 x = 20 − 0.5t 的规律运动，长度单位为 m，时间为 s，且悬 挂钢绳 AB 始终保持铅垂。求当 t = 10 s 时重物 B 的绝对速度。
2. 图示曲柄滑道机构中，曲柄长 AB = r，绕轴 O 以ω作匀速转动，滑槽 DΕ与水 平线成60°角。求当ϕ =0、30°、60°时，杆 BC 的速度。
解：本题机构 BC 作平动，可以用点的运动学方法求解。这里应用点的合成运动 求解，以滑块 A 为动点，动系与构件 BC 固结，考虑一般位置速度图如下图所示。
解：用点的复合运动求解，取重物 B 为动点，动系与水平悬臂固连，则牵连运
动为定轴转动，相对运动为直线运动。
由于
vr
=
dx dt
=
−0.5 m/s
( ←)
方向与轴 x 的正向相反。
当 t = 10 s 时， ve = x ⋅ω = 15 × 0.1 = 1.5 m/s , 方向指向轴 z 的正向。速度图见上
解：以套筒 C 为动点，动系与杆 AB 固结，绝对轨迹显然是铅垂直线，相对轨迹 为水平直线，牵连运动为平动。速度图见上图(a)。 由点的速度合成定理
可得
va = ve + vr
vCD = va = ve cosϕ = O1 A ⋅ω cosϕ = 0.1× 2 cos 60o = 0.1 m/s (↑)
+ arnx
+ artx
=
ae
−
a
n r
2
+
a
t r
3
2
= 100 − 27.05 − 268.5 =& −196 cm/s2
将式(a)在铅垂方向投影得
aay
=
aey
+ arny
+ arty
=
arn 2
3
+
art 2
= 46.85 −155 =& −108 cm/s2
端点 M 的加速度的大小为
aM = aa =
下面求加速度，其加速度图如图(b)所示。 由点的加速度合成定理
可得
aa = ae + ar
aCD = aa = ve sinϕ = O1A ⋅ ω2 sinϕ = 0.1× 4sin 60o = 0.346 m/s2 (↑)
5. 如图所示，曲柄 OA = 0.4 m，以匀角速度ω = 0.5 rad/s 绕轴 O 逆时针转动，从 而推动机件 BC 沿铅垂导槽运动。求当曲柄一水平线的夹角θ = 30° 时，机件 BC 的速度和加速度。
解：取滑筒 C 为动点，动系与直角曲杆 OAB 固连，绝对轨迹为铅垂直线，相对 轨迹为直线 AB。速度分析如图（b），由
va = ve + vr
不难得
vr
=
ve cos 30o
Hale Waihona Puke Baidu
=
r ⋅ω cos2 30o
=
4rω , 3
下面求加速度，其加速度图见图(c)，由
va
= vBC
=
ve
tan 30o
=
2rω 3
由点的速度合成定理 得 又 故杆 AB 的角速度
va = ve + vr
ve = va tanθ = v1 tanθ ，
ve
=
OA ⋅ω
=
R sin θ
ω
，
ω = ve sinθ = v1 sinθ tanθ
R
R
4. 图示铰接四连杆机构中，O1A=O2B=0.1 m，O1O2=AB，杆 O1A 以匀角速度 ω = 2rad/s 绕轴 O1 转动，如图所示。求当ϕ = 60° 时，杆 CD 的速度和和加速度。
图所示。
由点的速度合成定理
其大小为
va = ve + vr = 1.5k − 0.5i （m/s）
方向余弦为
va = ve 2 + vr 2 = 1.52 + 0.52 = 1.58 m/s
cos(va , i) = −0.316 , cos(va , j) = 0 , cos(va , k) = 0.949
可得
aa = ae + ar
aBC = ae = va sinθ = OA⋅ω 2 sinθ = 0.4 × 0.25sin 30o = 0.05 m/s2 (↓)
6. 小车的运动规律为 x = 50 t2，x 以 cm 计，t 以 s 计。车上摆杆 OM 在铅垂面内
绕轴 O 转动，其转动规律为ϕ = π sin πt 。如 OM = 60 cm。求 t = 1 s 时摆杆端
a
t r
= OM
⋅ d 2ϕ dt 2
t=1
=
−60 × π3 sin 33
π 3
=
−310 cm/s2
3
a
t r
= OM
⋅ ( dϕ )2 dt
t=1
= 60 ×
π 4 cos2 27
π 3
=
54.1 cm/s 2
3
这里负号表示加速度的方向与图示方向相反。
将式(a)在水平方向投影得
aax
= aex
a
2 ax
+
a
2 ay
=
196 2 + 108 2 =& 224 cm/s 2
端点 M 的加速度的方向余弦为
cos(a M
,i)
=
− 196 224
=
−0.875 ,
cos(a M
,
j)
=
− 108 224
=
−0.482
7．弯成直角的曲杆 OAB 以匀速ω 绕 O 点作逆时针转动。在曲杆的 AB 段装有滑 筒 C，滑筒又与铅直杆 DC 铰接于 C，O 点与 DC 位于同一铅垂线上。设曲杆的 OA 段长为 r，求当ϕ =30º时 DC 杆的速度和加速度。
解：取曲柄 OA 端点 A 为动点，动系与机件 BC 固结。则绝对轨迹为圆弧，相对 轨迹为水平直线。速度图如左上图所示。 由点的速度合成定理
可得
va = ve + vr
vBC = ve = va cosθ = OA ⋅ω cosθ = 0.4 × 0.5cos 30o = 0.173 m/s (↑) 下面求加速度，其加速度图如右上图所示。 由点的加速度合成定理
33
3
点 M 的加速度。
解：以 OM 端点 M 为动点，动系与小车固结，则绝对轨迹未知，相对轨迹为以 O 为圆心 OM 为半径的圆，牵连运动为水平直线平移。加速度图如上图所示。
由点的加速度合成定理
aa
=
ae
+
a
n r
+
a
t r
（a）
其中，当 t = 1 s 时，ϕ = π
3
6
ae
=
d2x dt 2
= 100 cm/s2
将上式两边向 aC 方向投影得
aa = ae + ar + aC
aa 2
3
=
−
ae 2
3
+
aC
其中
ae
=
r ⋅ω2 cos 30o
=
2 3 r ⋅ω2, 3
代入上式解得
aC
=
2ω ⋅ vr
=
8 r ⋅ω2 3
aa
=
aCD
=
10 9
3
rω 2