数学简史
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一元三次方程的公式解
• 人们寻找象一元二次方程那样的公式解 • 当时认为它比圆化方还难 • 16世纪,意大利的波罗拉学派的弗罗(1465~ 1562)得出 的解。但是 未公布 3 x px q • 30岁的尼科拉方丹纳(意大利布雷西亚青年, 1500~1557)绰号“塔塔利亚”(结巴):给出 一元三次方程的公式解
大约公元前5世纪,不可通约量的发现 ---- 毕达哥拉斯悖论
• 毕氏的学生、学者希帕索斯发现直角三角形直角 边都取1,则斜边就不可度量,与毕氏理论产生矛 盾 • 毕氏也发现不可通约量的存在 • 学派进入两难境地,学派内部所有成员立誓保密 ,因而无理数有个诨号“不可说”(Alogon) • 希帕索斯说了,学派就此开始瓦解。 • 学派解决矛盾的方法是把希帕索斯抛进大海。希 帕索斯的发现引发了第一次数学危机。
无理数: 古代数学家前进的方向
• 欧道克斯(希腊,元前408~前355)数与量的分 离:连续与离散。 • 存在与否困扰科学家哲学家 • 在迷雾中度过漫长而黑暗的中世纪,迎来“文艺 复兴”的繁荣时期(公元1400~1600)无理数终 于被人们慢慢接受 • 疑惑仍然存在“即乐意又心存疑虑” • 直到19世纪实数理论的建立才完全消除
与数论
• 现代数论统一理论的创建者 • 20岁决定献身数学,最终成为最伟大的数学家之 一 • 1801年结束费尔玛数论,开创纯理论数论研究 • 追随者:戴德金,狄利克雷,刘维尔,闵可夫斯 基,创建:代数数论,解析数论,超越数论,几 何数论
哥德巴赫猜想与陈景润
• 1742年,德国哥德巴赫老师发现“大于2的偶数, 可以表示为两个素数之和” • 求教欧拉:欧拉说“虽然我不能证明它,但我确 信它完全正确” • 1900年希尔伯特(德国数学家,1862~1943)把 它列为23个世纪难题,称为“皇冠上的明珠” • 1966年中国人陈景润(1933~1996)证明“1+ 2” ,1973年发表,离摘取明珠咫尺之遥 • 陈氏定理被誉为“光辉顶点”
中国数学记数法:
进位制:
• 史上曾经有过二进制,五进制,十进制,十二进 制,十六进制,六十进制。 • 汉字一二三四五六七八九十对十进制的贡献 • 长期运用后留下二进制十进制 • 据推测五进制十进制与人的手指个数有关
现代澳大利亚托列斯峡群岛上一些部
落仍用二进制: 一=乌拉勃,二=阿柯扎 他们把三表为:阿柯扎乌拉勃 那么:阿柯扎阿柯扎=? 阿柯扎阿柯扎乌拉勃=? 阿柯扎阿柯扎阿柯扎=?
其他发达古国
• • • • 希腊从公元前6世纪至公元4世纪,达1000年 阿拉伯数学发达仅限于8至13世纪,有500年 欧洲国家数学发达是在10世纪以后的事 日本则迟至17世纪以后。
无理数的出现 与第一次数学危机
• 无理数就像岔路口的路标,沿不同方向均可发现 它的存在。 • 中国沿一个方向来到它的面前竟然视而不见 • 古希腊沿另外一个方向来到它的面前却有意躲避
万物皆数
• 他们把线段的长度看作是线段锁包含的原子数 目,因而任意两条线段长度之比就是它们各自 原子数之比。 • 由此观点出发,毕氏研究了音乐美术天文地理 。 • 应用在数学上,从埃及的黄金三角形(各边之 比为3:4:5)发现5:12:13,8:15:17, 这就是中国说的“勾股定理” • 它们只相信直角三角形的三边之比都应该是整 数比
“0”不是印度人或阿拉伯人的发明
• “0”太重要了,一无所有为零 • 零是自然数 • 据考证“0”首次出现在柬埔寨&苏门答腊的碑文 上 • 进位制是人类共同财产
位值制:
• 11236635中的3代表多少? • 拉普拉斯(法国数学家,1749~1827)说
“用十个记号来表示一切数,每个数不但有绝对的值, 而且还有位置的值,这种出自印度的巧妙方法,是一个深远而重要的 思想。今天看来是如此简单,以至于我们忽视了它的真正伟绩,但恰 恰是它的简单性对一切计算都提供了极大的方便,才使我们的算术在 一切有用的发明中列在首位。而当我们想到它竟然逃过了古代最伟大 的阿基米德和阿波罗尼斯的天才思想的关注时,我们更感到这成就的 伟大。”
自然数与整数的诞生
分数与小数的诞生
小数点的诞生是后来很久以后的事了,公元635年, 3.1415927记成三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽公元 1593年由德国克拉维斯给出,现代记法诞生。
பைடு நூலகம்
负数的诞生:中国西汉出现(元前200 年),用赤筹表示。欧洲15才世纪出 现
四大文明古国:中国
• 公元前二十七世纪黄帝时代就开始了数学研究 • 数学发达至少有4000年 • 成就:分数、正负数、勾股定理、圆周率、剩 余定理、杨辉三角等等 • 由于中国文字的限制,数学理论的表叙以及推 导都极为困难,导致数学理论在中国发展受到 制约 • 中国长期重文轻理导致数学以及科学的落后 • 政治原因,农业大国
古希腊与无理数
• 学派众多,最有名的是毕达哥拉斯学派(元前 580~元前500)柏拉图学派(元前430--元前349 ) • 毕达哥拉斯学派是兼有政治,宗教,哲学的团体 ,“万物皆数”(读三声)为其哲学基础和理论 出发点。 • 毕氏提出了著名的毕达哥拉斯定理。
伟大的毕达哥拉斯
• 毕达哥拉斯:古希腊数学家,公元前580至公元前 497,青年的他游历许多地方,并到埃及印度留学 。他深入民间收集点点滴滴的数学知识,最后学 有所成并形成一个学派,史称毕达哥拉斯学派, 对数学,天文学有巨大贡献。毕达哥拉斯学派认 为任何数都可以表达成二个整数的商,即任意数 都是可以度量的。
符号化的形式
海伦: x 4 x 896
2
《九章算术》:
x + 34 x = 71000
2
一元二次方程的解法
• 花拉子模的几何解法 • 中国的“开带从平方法” • 古希腊的配方法:公元100年海伦~200年丢番图 完成 • 佛兰西斯韦达(法国数学家,法学家,外交家, 国王参谋长,1540--1603):根与系数的关系
方程的历史
• 方程的产生:在中国,在日本,在印度 • 花拉子模(阿拉伯人,公元780~850)第一次给 出未知量,但他称其为“硬币”“东西”“根” • 代数“Algebra”源于花氏的书中“还原”一词 • 古希腊的不定方程,丢番图,费尔玛与不定方程 • 印度的不定方程,追求全部整数解,他们的 阿 耶波多,婆罗摩岌多,婆什伽罗都有著述
谁推开了虚数的“大门”
• 12世纪,印度数学家婆什伽罗说:“正数的平方 是正数,负数的平方是正数 ,因此一个正数的平 方根是两个,一个正数,一个负数。负数没有平 方根”。 • 他太肯定了!“负数没有平方根”遏制了后人的 探索欲望。400年来,数学家都采取了回避态度。 • 1545年卡丹的 让人莫名其妙(后面 专门谈他)
四大文明古国:巴比伦
• 数学泥板的发现 • 上面有:帐单,收据,票据,大量数学用表,达 到古代数学的最高的理论水平 • 1847年开始解读数学泥板,1920年才有详尽的注 解,巴比伦文明被世人了解 • 60位进制,面积体积的计算,方程组的求解,级 数求和,勾股数,二次方程
四大文明古国与河流
• • • • 中国:黄河,长江 埃及:尼罗河 巴比伦:底格里斯河,幼发拉底河 印度:恒河,印度河
费尔玛猜想
• 丢番图(古希腊公元246~330)名著《算术》, 代数学之母 • 《算术》是费尔玛的枕边之物 •
• 从17世纪到20世纪,历时300多年,直到1994,41 岁得英国数学家怀尔斯解决
猜想:当 n 2时 , x y z 没有正整数解
n n n
高斯
(德国数学家,1777~1855)
四大文明古国:埃及
• • • • 光辉灿烂的文明 影响较大的:金字塔,纸草书,古文字 尼罗河贯穿全景 治理尼罗河河水泛滥,他们研究天文发现:河 水上涨与清晨天狼星升起的日子一样,间隔 365天,确立现代公历的基础 • 重新测定河岸的土地,几何特别发达 • 没有上升为理论,直到公元前4世纪后,希腊 人入侵为止
四大文明古国:印度
• • • • • • • 印度有3500至4000年 最大成就是印度数码,十进制 五世纪后“零”的符号在印度出现 与占星术,宗教,农业关系密切 方法与结果用树皮树叶记载,大多失散 用晦涩的诗歌表述,难于理解 知道勾股定理,三角学并计算出
2 1 . 414215686 , 10 3 . 162
数学史简介
数学是什么?
如果:你想当经济学家,药学家,化学家, 数 学是统计分析工具 你想当物理学家,数学是微积分 你想当计算机专家,数学是算法语言 你想当建筑学家,数学是几何三视图
你想当数学家,数学就是你的世界
若果你不幸什么都当不了,小心数学就是你的 克星!
第一章:史前数学史
• • • • • • • 自然现象:天文,地理 生产力的发展 私有思想,私有制 人类智慧的发展 神的旨意 史前数学主要是对数的认识 这种认识跨越几万年,直到18世纪
方程的发展
• 符号化:从丢番图开始到1589年的韦达 • 从一元到二元:古希腊数学家海伦的著作,中国 《九章算术》均有记述 • 海伦:有一正方形知其面积与周长之和为896尺, 求其一边 • 《九章算术》:今有邑城方不知大小,各开中门 。出北门20步有木,出南门14步折而西行1775见 木。问邑方几何?
中国与无理数
• 《九章算术》第四章说“若开之不尽者,为不可 开,当以面命之” • 我们不知“当以面命之”所云为何,但可以确定 ,那时中国人一来到这个路标下了。 • 刘徽在计算平方根的近似值时离无限不循环已近 在咫尺,但他说“不足言之”竟然放弃了。 • “重算法轻算理”是中国古代的风气使中国与无 理数失之交臂,令人惋惜。
“匹配”导致自然数的产生
• 族长或者酋长的工作 • 古希腊荷马史诗的传说:波吕斐摩斯被刺瞎后 的牧羊生活 • 罗素(英国数学家,1872~1970)说“不知要经 过多少年,人类才发现一对锦鸡和两天同含一 个数字二。”抽象对于古人实在是太难了
记数法
• 艰难的过程 • 限制中国数学深入的瓶颈 • 印度阿拉伯数字
• 先有几何还是先有代数? • 一个领域的繁荣昌盛不外乎下列几个原因:1 有重大理论问题出现。2有现实问题急需解决 。3出现伟大人物。 • 代数与几何都有非常辉煌的时光。 • 代数必讲数论及方程,几何必讲欧几里德德《 原本》。 • 几何狂飚:突破欧几里德几何,非欧几何。
数论与方程:第二次抽象
• 数的崇拜与禁忌:“1生2,2生3,3生万物”所以 1最神圣,7,8为吉祥数。4,13为一些民族的禁 忌 • 中国人崇拜“9”:故宫大门纵横九颗铜星,皇帝 九龙袍,九龙壁,“九九归一,侄极而返” • “60”是古巴比伦人与毕达哥拉斯心中的神 • 数的文化:奇为女,偶为男,“一帆风顺,双喜 临门,三阳开泰,四通八达,五彩缤纷,六根清 洁,八面玲珑,九霄云外,十全十美”“一波三 折,两败俱伤,三长两短,四面楚歌,五内俱焚 ,六神无主,七上八下,九死一生,十恶不赦”
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大师的困惑与无知
• 卡丹(意大利数学家,医生,算命先生1501~ 1576)到达大门,不敢敲门。 1, 2 • 欧拉彻底否认:他说“一切形如 的数学式都是不可能有的,这类数 纯属虚构” • 伟大的笛卡儿(法国数学家,1596~1650)创立 直角坐标系,给出理论武器。 • 200年后即18世纪,挪威的测绘员威赛尔,巴黎 的会计师阿尔干完美解释。
数论与方程:第二次抽象
• 整除理论:最古老的问题,中国剩余定理 • 地道的业余数学家费尔玛:从地方官员到数学家 ,30岁学习数学,既是解析几何的发明者(与笛 卡儿同享)又是概率论的开创者(与帕斯卡同享 ),不同寻常的经历,不可思议,令人感慨万千 • 费马玛(法国数学家,1601-1665)与数论:看起 来简单,作起来难之又难,是数论的魅力所在, 使人“衣带渐宽终不悔,为伊消得人憔悴”,始 作俑者费尔玛。 • 现代数论的先驱&创始人
从一维到二维
• 600年的艰辛 • 众多杰出数学家束手无策,历史罕见 • 思维定势所限:现实中没有,传统数学中它不合 理 • 条件所限:不能从一维跳到二维,笛卡儿还未出 生,平面坐标不知为何物,费尔玛无人认识,点 的坐标,有序对是天方夜谈,解析几何还在数学 的摇篮中睡觉
第二章:几何学代数学的发展