窗函数在频率响应函数计算中的影响分析

图 3。4
无论布喇格结构加何种窗， 其通带的平滑度都得到了明显的改善，这可以从 图4清楚地看到，高斯窗的平滑度最好，但是其边带的相对幅值比较大，其次是 加布拉克曼窗， 它的平滑度也非常好。 加窗技术不仅可以提高布喇格反射器的性 能，也可以减少仿真时间。因为用CST时域求解器求解时，傅立叶变换计算S参 数要求时间信号完全衰减到零， 否则就会引入截断误差．而布喇格反射器是高谐 振器件，时间信号中可能会出现谐振，这使得信号的衰减非常缓慢，需要很长的 仿真时间进行精确的傅立叶变换，而采用了加窗技术，在仿真时，瞬态场衰减到 一定程度就会被傅立叶变换正确的截断而不产生很大的误差，又可以平滑通带。 加窗后能量的衰减非常快，这样仿真所需要的时间也大大的减小。
图 4。2 一组谐波信号的理想频谱图
从图 5 可以看出，加矩形窗后的频谱波形细节丰富，能够分辨出 15Hz 和 16Hz 两个临近的频率成分，主频分辨率高，但频谱泄漏非常严重，以致幅值为 0。1 的 11。5Hz 谐波淹没在了 10Hz 和 15Hz 谐波的旁瓣纹波中，使小幅度的 谐波信号不易被识别。 加 Bartlett 窗、 Hanning 窗、 Blackman 窗后， 对于 15Hz 和 16Hz 临近频率成分的分辨能力下降，但旁瓣逐渐减小，能越来越清晰地识别出 11。5Hz 这个小信号。
据窗得到结果。进行以上三个步骤时，必须满足以下要求：首先满足采样定理， 以免引起混叠失真，这一点容易做到。其次，信号截取长度必须是信号周期的整 数倍，否则将产生频谱泄漏。也就是说，当信号周期为T0，采样周期为Ts，数 据窗内采样点数为N(N为整数)时，必须满足(1)式：
L ������0 ������������
3. 汉宁（Hanning）窗
汉宁窗又称升余弦窗， 汉宁窗可以看作是 3 个矩形时间窗的频谱之和，或者 说是 3 个 sin(t)型函数之和，而括号中的两项相对于第一个谱窗向左、右各移动 了 π/T，从而使旁瓣互相抵消，消去高频干扰和漏能。可以看出，汉宁窗主瓣加 宽并降低，旁瓣则显著减小，从减小泄漏观点出发，汉宁窗优于矩形窗．但汉宁 窗主瓣加宽，相当于分析带宽加宽，频率分辨力下降。
图 4。3 一组谐波信号加不同类型窗后的频谱图
取样频率都相同。 从图中可看出， 不同类型窗口函数对信号频谱的影响是不同的。 矩形窗的泄漏程度最严重，其第一旁瓣幅值为-12dB，旁瓣衰减慢，衰减率(第10 个旁瓣与第1 个旁瓣峰值之比的分贝数)为-14。7dB，泄漏波及的频率范围广， 对邻域产生严重污染， 但矩形窗的主瓣最窄， 主频精度高， 容易定位主频； Bartlett 窗的泄漏大大降低， 其第一旁瓣幅度为-24dB， 旁瓣衰减加速， 衰减率为-31。 2dB， 但主瓣宽度是矩形窗的2 倍，主频精度降低了；Hanning窗的泄漏较Bartlett 窗又 有改善，其第一旁瓣幅度为-31dB，旁瓣衰减率为-38。2dB，主瓣宽度较Bartlett 窗没有增加；Blackman 窗的泄漏继续改善，其第一旁瓣幅值为-56dB，旁瓣衰减 率为-24。6dB，但其主瓣宽度是矩形窗的3倍，主频精度低。
图 3。2 3.2.3 结构加高斯窗 高斯窗与前面讨论的两种窗的形式截然不同， 前面两种窗都属于余弦窗系列， 而高斯窗是一种指数窗， 它与凯塞窗都是在某种优化准则下得到的优化窗。 图3。 3是加高斯窗后的仿真结果。
图 3。3 从图3。3可以看出布喇格结构加高斯窗后，其传输通带波纹变小，当相位差 为0时，反射系数是这3个窗中最高的；另一个特点就是加高斯窗后的带宽变小。
应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；对于随时间按指数衰减的函 数，可采用指数窗来提高信噪比。
三. 窗函数对消除频率响应曲线残余旁瓣
3.1 窗函数 根据数字信号处理理论，一般希望窗函数满足两项要求： 1．窗谱主瓣尽可能窄，以获得较陡的过渡带； 2．尽量减少窗谱的最大旁瓣的相对幅度，也就是能量尽量集中于主瓣，这 样使肩峰和波纹减小，增大阻带的衰减。 但是这两项要求是不能同时得到满足的， 往往是增加主瓣宽度以换取对旁瓣 的抑制． 选用不同形状的窗函数是为了得到平坦的通带幅度响应和较小的阻带波 纹，即加大阻带衰减．因而所选用的窗函数，其频谱旁瓣电平要较小，而主瓣会 加宽。 常用的窗函数有： 汉宁(Hanning)窗、 汉明(Hamming)窗、 布拉克曼(Blackman) 窗、高斯(Gauss)窗。 3.2 布喇格结构加窗技术 为了有效抑制反射器的谐波分量，提高反射器反射性能，根据滤波器理论， 用窗函数来加权处理内外导体壁上波纹幅度大小，从而减小通带内的起伏，同时 保证阻带的频带宽度和抑制深度。从滤波器设计理论来说，观测信号与窗函数在 时域相乘后， 观测信号被窗函数截断，因此窗函数对观测的信号起到了一种滤波 的作用。 3.2.1 结构加汉明窗 加汉明窗后的反射器性能如图 3。1 所示．
5. 高斯窗
高斯窗是一种指数窗。高斯窗谱无负的旁瓣，第一旁瓣衰减达一 55dB。高 斯富谱的主瓣较宽， 故而频率分辨力低．高斯窗函数常被用来截短一些非周期信 号，如指数衰减信号等。
6. 窗函数的选择
对于窗函数的选择， 应考虑被分析信号的性质与处理要求。如果仅要求精确 读出主瓣频率， 而不考虑幅值精度，则可选用主瓣宽度比较窄而便于分辨的矩形 窗，例如测量物体的自振频率等；如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则
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(1)
即数据窗长度为L 倍信号周期，L 为整数。 若此式得不到满足，则会产生频谱泄漏影响测量结果。在实际测量过程中， 采样频率和信号频率受到很多因素的影响， 会随时变化， 对信号做FFT 分析时， 采取简单的措施很难使数据窗记录的是整数个周期。从时域来说， 这种情况在信 号周期延拓时就会导致其边界点不连续，使信号附加了高频分量；从频域来说， 由于FFT 算法只是对有限长度的信号进行变换，有限长度信号在时域相当于无 限长信号和矩形窗的乘积， 对应到频域中是实际信号频谱与矩形窗频谱做卷积运 算，当(1)式不成立时，由此卷积得到的FFT 频谱与信号的真实频谱存在误差， 产生泄漏失真。 目前减少频谱泄漏的方法主要有两大类： 第一类是通过减少同步误差来降低 频谱泄漏； 第二类是在同步误差一定的情况下， 通过对采样数据的处理或对测量 结果的修正来减少测量误差。 本文所讨论的加窗函数法属于第二类方法，文章针 对传统的仅用某一固定类型的窗进行频谱分析所带来的缺陷，提出了改进办法， 取得了好的效果。 4.3 加窗函数减少频谱泄露 为了降低频谱泄露的影响， 可以在傅立叶变换时对时域信号乘以一个适当形 状的窗函数， 窗函数幅度逐渐减小， 从而减少由于数据突然截断而产生的较高的 旁瓣分量，降低频谱泄漏。但是，窗口函数会产生相应的副作用，它们是以牺牲 信号的主瓣频率精度为代价，来换取频谱泄露的降低。窗口函数有很多，各有其 不同的特点和作用，本文只研究加矩形窗、Bartlett 窗、Hanning窗、Blackman 窗对信号频谱的影响。为便于与理想频谱相比较，下面以单频率谐波信号为例， 分析其加窗后的离散傅立叶变换。 图4。1为频率为10Hz 的谐波信号加不同类型窗后的频谱图，其中窗长度和
窗函数在频率响应函数计算中的影响分析
一. 窗函数简介
为了减少频谱能量泄漏， 可采用不同的截取函数对信号进行截短，截短函数 称为窗函数，简称为窗。 信号截短以后产生的能量泄漏现象是必然的，因为窗函数 w(t)是一个频带 无限的函数，所以即使 原信号 x(t)是限带宽信号，而在截短以后也必然成为无 限带宽的函数，即信号在频域的能量与分布被扩展了。又从采样定理可知，无论 采样频率多高，只要信号 一经截短，就不可避免地引起混叠，因此信号截短必 然导致一些误差。 泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关，如果两侧瓣的高度趋于零，而使能量相 对集中在主瓣，就可以较为接近于真实的频谱，为此，在时间域中可采用不同的 窗函数来截短信号。 在信号处理中， 窗函数是一种除在给定区间之外取值均为 0 的实函数。 譬如： 在给定区间内为常数而在区间外为 0 的窗函数被形象地称为矩形窗。 任何函数与 窗函数之积仍为窗函数， 所以相乘的结果就像透过窗口“看”其他函数一样。窗 函数在频谱分析、滤波器设计、波束形成、以及音频数据压缩（如在 Ogg Vorbis 音频格式中）等方面有广泛的应用。
图 3。1 从图3。 1可以看出， 同轴布喇格反射器经过汉明窗加权后性能发生了很大的 改变， 首先通带内S¨ 的驻波变得比较小。 S也随着波纹相位差的增大， 逐步加深． 由 此可见加汉明窗后，反射器的通带特性得到了明显的改善，起伏明显减小。 3.2.2 结构加布拉克曼窗 图3。2是加布拉克曼窗后的仿真结果，与图l各图相比，当内外波纹相位差为0 时，其反射系数变小，但是其通带的平滑度更好，没有明显的起伏。
图 4。1 频率为 10Hz 的谐波加不同窗后的频谱图
由以上分析可知， 这四种窗的旁瓣幅值依次降低， 向邻域的谱泄漏逐渐改善， 但主瓣宽度逐渐增加，主频精度降低，主瓣精度和频谱泄漏是一对矛盾。因此要 想得到全面准确的频谱，该如何选用窗口函数成为一个重要问题。 4.4 窗口函数的选择
我们通过一个例子说明不同窗口函数的作用， 进而探讨选用窗口函数时应遵 循的准则。设待分析的信号为不同频率谐波组合而成，10Hz、15Hz、16Hz 谐波 的幅值为 1，11。5Hz 谐波的幅值为 0。1，它的理想频谱图如图 4。2 所示。对 该信号以 250Hz 的取样频率取样 512 个点，加不同类型窗后的幅频图如图 5 所 示。这里需要说明两点：一是为了减少栅栏效应，图 5 是对 512 个数据点延长 补零至 1024 个点后的频谱图；二是为了使加窗后的幅值谱不受窗函数的影响， 图 5 是考虑幅值相等恢复系数后的幅频图。
四. 窗函数用于频谱分析影响
4.1 频谱分析 频谱分析中易出现泄漏现象，加窗函数是减少频谱泄漏的有效方法，但传统 的仅用某一固定类型的窗进行频谱分析的做法会造成旁瓣泄漏和主频精度之间 的矛盾，导致无法全面准确地认识信号频谱。针对此缺陷，本文详细讨论各种不 同窗函数对信号傅氏变换后频谱的影响，揭示各种窗的特点和作用，提出用窗函 数进行频谱分析时的改进措施： 根据分析信号的性质与处理要求， 选用合适的窗， 达到实际测量目的；在不同窗口下得到的频谱相互参考，取长补短，从而对信号 频谱作出全面准确的判断。 仿真实验表明， 此方法可大大提高频谱分析的精确度 和全面性，是科学有效的。 目前频谱分析广泛应用FFT算法，但该方法容易因截取信号时间长度不恰当 而引起频谱泄漏， 影响到对信号频谱的准确解释。在傅立叶变换时对时域信号加 合适形状的窗，可降低频谱泄漏的发生，但各种窗口函数都有其优缺点。通过分 析频谱泄漏产生的原因， 提出用窗函数法进行频谱分析时的改进措施及应遵循的 准则。 4.2 FFT 算法的频谱泄漏 用FFT 进行频谱分析时，涉及以下三个步骤：首先对信号采样，变换为离 散序列；然后建立数据窗，忽略数据窗前后信号波形；最后，将FFT 应用到数
二. 常见的几种窗函数
1. 矩形窗
矩形窗属于时间变量的零次幂窗。矩形窗使用最多，习惯上不加窗就是使信 号通过了矩形窗。 这种窗的优点是主瓣比较集中， 缺点是旁瓣较高， 并有负旁瓣， 导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。
2. 三角窗
三角窗亦称费杰（Fejer）窗，是幂窗的一次方形式。与矩形窗比较，主瓣宽 约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣。
4. 海明（Hamming）窗
Hale Waihona Puke Baidu
海明窗也是余弦窗的一种， 又称改进的升余弦窗。 海明窗与汉宁窗都是余弦窗， 只是加权系数不同。海明窗加权的系数能使旁瓣达到更
小。分析表明，海明窗的第一旁瓣衰减为一 42dB．海明窗的频谱也是由 3 个矩 形时窗的频谱合成，但其旁瓣衰减速度为 20dB/（10oct） ，这比汉宁窗衰减速度 慢。海明窗与汉宁窗都是很有用的窗函数。