运输问题模型与算法
运输问题模型
。
目标可以减少，说明当前
解不是最优解
闭回路法调整
选x22进基，找到闭回路
x12 5-
x14 1 +
x22 +
x24 5-
X22最多增加5
x12 5-5 x22 + 5
x14 1 +5 x24 5-5
X22进基，x12和x24经过调整同时变成 零。但是要注意只有一个变量出基。
例如：令x12出基
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
× 2
3 1
× 8
3 ,0
×
9
10
×
3
4
4
4
2
8
4，0
79 2 5，2 5 7，3 6
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
×
×
2
9
10
7
3
×
×
2
1
3
4
2
×
4
8
4
2
5
3 ,0
8
4，0 6,4
9 5,2,0 7，3
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
7
-1
2
5
1
3
4
2
7
3
4
3
8
4
2
5
3 ,0
8,5 4，0 6,4,0
9,5 5,2,0 7,3,0
重新计算检验数
A1 u1=0
A2 u2=-5
A3 u3=-5 销量
B1
一类运输问题的非线性规划模型
一类运输问题的非线性规划模型*摘要经典的运输问题是已知各条路径长度和目的地的需求量, 求最优的运输路径, 这只需要建立线性规划模型就可以解决了. 但实践中遇到的情况常常不是那么简单, 一是路费并不与路线长度成简单线性关系, 再就是目的地的需求量不是已知, 还有货物的价格等等因素都增加了问题的复杂性. 本文就以钢管定购和运输问题为例,禅述了一类复杂运输问题的解决方案.关键词数学模型, 非线性规划, 最省路径1问题简述要铺设一条A1→A2→…→A15的输送天然气的主管道, 如图1所示. 附近有7个钢厂S1, S2,…,S7可以生产这种主管道钢管. 图中粗线表示铁路, 单细线表示公路, 双线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路, 或者建有施工公路), 圆圈表示火车站, 每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km).为方便计, 1km主管道钢管称为1单位钢管.一个钢厂如果承担制造这种钢管, 至少需要生产500个单位.钢厂S i在指定期限内能生产该钢管的最大数量为s i个单位, 钢管出厂销价1单位钢管为P i万元, 如表1.表1 钢厂产量及单价1单位钢管的铁路运价如表2.表2 铁路运价1000km以上每增加1至100km运价增加5万元.公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元.钢管可由铁路、公路运往铺设地点(不只是运到A1, A2,…, A15,而是管道全线).1.请制定一个主管道钢管的订购和运输计划,使总费用最小(给出总费用).2.如果要铺设的管道不是一条线, 而一个树形图, 铁路、公路和管道构成网络, 请就这种更一般的情形给出一种解决办法, 并对图2按问题1的要求给出模型和结果.图 1 钢管运输路线图(1)图 2 钢管运输路线图(2)2问题分析为了求出定购计划, 首先应该知道从各钢厂到各铺设路段运送单位钢管所需费用最小的路径. 为此, 我们定义：定义使得从钢厂S i运送单位钢管到铺设端点A j的费用最小的路径称为从S i到A j的最省路径.如果可以预先知道运往各铺设端点的钢管量, 那么原问题就是一个纯粹的运输问题, 而运输问题已经有着比较成熟的解法[0]. 然而我们遇到的并非如此简单. 各铺设端点只有一个相当大的取值范围（而不是一个确定的值）, 确定这些值只能由运输和铺设的限制条件以及费用极小来决定.由于需铺设的总长度是相当长的, 而一根钢管的长度相对来说就小得多, 所以可以认为：从铺设端点运送钢管到铺设地点时, 钢管是连续不断、均匀地卸下的.基于以上原因, 我们决定, 首先求出各钢厂到各铺设端点的最省路径, 然后根据限制条件和费用极小建立连续型规划模型, 最后求出整个购运计划.3模型假设1.施工公路与普通公路路况一样.2.在实际运输时, 经过的路径不会出现这样的情况：公路夹于两段铁路之间, 或铁路夹于两段公路之间.3.在实际运输时, 总是这样来运输的: 先运往铺设端点(指A1, A2, ...)再运到铺设地点.4.铺设是均匀、连续的, 卸货也是均匀、连续的.在后面的论述中, 我们总是假设所有的钢管量以km为单位, 所有的费用以万元为单位.4模型建立首先, 我们针对图1建立数学模型.4． 1 最省路径容易知道, 要使总费用最小, 所走的路径就应该是最省路径. 所以我们首先求出各条最省路径.对于在一般赋权图中求最短路径问题已有许多成熟的方法, 可以运用到这里. 但由于铁路费用比较特殊（单位路长费用不是定值）, 所以必须做些特殊处理. 经过观察我们发现, 图 1中所有铁路及火车站构成一颗树, 要把钢管从任一钢厂运至铺设地点上都必须至少经过一个交接点(B i ), 再根据假设2, 每一次运输只能经过一个交接点. 这样, 在一次运输中, 经过的铁路将是连接出发点(钢厂)和交接点的那条通路. 不妨把它们直接用铁路连起来. 这样我们可以按照如下方法构造新图：1. 在图 1中将所有的钢厂与交接点全部用铁路连接起来, 铁路长度与图 1中相应的铁路总长度一样. 如果某个点既是钢厂又是交接点, 则把它们拆成两个点, 一个代表钢厂, 一个代表交接点, 它们之间的铁路长度赋值为0.2. 略去图 1中的铁路及火车站(除交接点外).这样就得到一个新图, 重新摆放各点的位置后的形状如图 3.图 3 与图 1等效的简化图我们给图 3的所有边都赋予边权, 它们的值是运送单位钢管经过该边的费用(而不是路的长度).在此必须说明的是, 在假设2的前提下, 图 1与图 3是等效的. 等效的意思是指：在图 1中从任何一个钢厂走到任何一个铺设点, 不管所走的是哪一条路, 在图 3中都有唯一的路径与之相对应, 并且费用相等. 这样, 图 3中的所有的边权值都可以从图 1及铁路、公路运价求出. 譬如, S 1B 1=160, B 1A 2=0.3, A 1A 2=10.4. 由于篇幅关系, 在此不再一一给出.图 3是一个典型的赋权图, 可用Dijkstra 算法[2]、逐次逼近法[3]等算法求出从S i 到A j 的最省路径和相应费用, 在此我们采用逐次逼近法. 为节省篇幅, 结果在此将不给出, 读者可自行计算, 程序可参见[0].2 目标函数(费用表达式)设从钢厂S i 运往铺设端点A j 的钢管量为x ij , 那么, 购买费用为∑∑===ψ711511i j ij i x P用w ij 表示从S i 到A j 的最省路径相应的费用, 则运输过程中的费用为715211()ij ij i j w x ==ψ=∑∑1141312111098765432151765432因为钢管运到铺设端点A j 后, 还要运往铺设地点. 在图 3中, 铺设端点的度最大为2, 所以每个端点运送的方向最多有2个, 可设A j 向左运送的钢管量为L j , 向右运送的钢管量为R j , 显然有71511,1,2,...,15,0,0j j ij i R L x j R L =+====∑(1)再由假设4, 卸货是均匀的, 当从铺设端点A j 向左运输钢管走了t km 时, 剩余在车上的钢管量为L j －t , 所以将钢管运至A j 后再向左运输需要的费用20321)()(j L j L j eL dt t L e j⋅=-⋅=ψ⎰ 其中e 是运输1单位钢管每公里的公路运费. 同理, 将钢管运至A j 后再向右运输需要的费用20321)()(j R j R jeR dt t R e j⋅=-⋅=ψ⎰ 因此这期间的总费用为()∑∑==+⋅=ψ+ψ=ψ15122151333)(21)()(j j j j R jL jR Le购买费用、从钢厂运往铺设端点的费用、从铺设端点运至铺设地点的费用构成了全部费用的总和.所以, 总费用为7157151522123111111()2i ij ij ij j j i j i j j Px w x e L R =====ψ=ψ+ψ+ψ=++⋅+∑∑∑∑∑(2)4．3 约束条件根据需铺设的钢管总长度为5171, 而且运输量总是非负的, 所以715115171iji j x===∑∑ (3)再根据假设4, 铺设是均匀的(不重叠不遗漏), 所以有11,1,2,...,14j j j j R L A A j +++== (4)其中1+j j A A 表示从j A 到1+j A 需要铺设钢管的长度.由于钢厂S i 的产量上限为s i , 所以151,1,2, (7i)i j xs i =≤=∑ (5)而每个钢厂都有自己的产量下限. 如果生产, 则必须不小于500, 否则就不生产, 产量为0. 即1515110,500,1,2, (7i)ijj j xxi ===≥=∑∑或(6)为了方便求解, 我们将上式改写成如下等价形式(在产量非负的条件下):151511(500)0,1,2,...,7ij ijj j x xi ==-≥=∑∑ (7)4．4 数学模型由(1)、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）可以得到一个连续非线性规划模型:∑∑∑∑∑=====+⋅++=ψ151227115171151)(21min j j j i j ij ij i j ij i R L e x w x PS. T.517171151=∑∑==i j ijx7,...,2,1,151=≤∑=i s xi j ij15,...,2,1,71==+∑=j x L R i ij j j , R 15=0, L 1=0.14,...,2,1,11==+++j A A L R j j j j7,...,2,1,0)500(151151=≥-∑∑==i xx j ijj ijx ij ≥0, i =1,...,7, j =1, (15)这就是我们所要建立的钢管购运计划数学模型.5 模型求解这是一个非线性规划模型. 由于模型中变量太多, 人工求解很难进行. 我们使用数学软件LINGO6.0, 成功地求解了这个模型, 从而得到了完整的购运计划. 首先是去钢厂购买钢管的计划, 表 3列出了具体的购买方案, 所花费用1ψ=797725; 然后是将钢管运至铺设端点, 运输方案也在表 3中给出, 运输费2ψ=399731.55; 最后是把钢管从铺设端点运到铺设地点,表 4给出了运输方法, 运输费1522311()80916.452j j j e R L =ψ=+=∑. 这样总费用就是1231278373ψ=ψ+ψ+ψ=.表 3 在图 1中从钢厂购买钢管然后运到铺设端点的计划钢厂购买量 购买费用 运输路径(在图 1中) 运量x ij 单价 运费 S 1800.0128000S 1B 6B 5B 4A 5334.5 38.0 12711.0 S 1B 6B 5A 6 200.0 20.5 4100.0 S 1B 7A 7 265.5 3.1 823.05 S 2800.0124000S 2B 8B 3B 1A 2179.0 205.3 36748.7 S 2B 3A 4 134.1 171.6 23011.56 S 2B 8B 7B 6B 5B 4A 5 186.9 111.0 20745.90 S 2B 8A 8300.0 71.2 21360.00 S 3 1000.0 155000 S 3B 9B 8B 7B 6B 5B 4A 5 A 4333.9 181.6 60636.24 S 3B 9B 8B 7B 6B 5B 4A 5 2.1 121.0 254.10 S 3B 9A 9 664.0 48.2 32004.80 S 4 0.0 0 无0.0 0.0 S 51015.0157325S 5B 11B 10B 9B 8B 3B 2 A 3 508.0 225.2 114401.60 S 5B 11B 10B 9B 8B 7B 6B 5B 4A 5 92.0 146.0 13432.00 S 5B 11A 11 415.0 33.0 13695.0 S 61556.0233400S 6B 15B 13B 10A 10 351.0 62.0 21762.00 S 6B 15B 13B 12A 1286.0 45.0 3870.00 S 6B 15B 13A 13 333.0 26.2 8724.60 S 6A 14 621.0 11.0 6831.00 S 6B 15B 16A 15165.0 28.0 4620.00 S 7 0.0 0无 0.0 0.0合计5171.01ψ = 797725 5171.02ψ=399731.55表 4 从铺设端点到铺设地点的计划j 1 2 3 4 5 6 7 8 L j 0.0 104.0 226.0 468.0 606.0 184.5 189.5 125.0 R j 0.0 75.0 282.0 0.09.515.576.0175.0 0.0 822.05 6530.0 10951.2 18366.3125 1714.025 2084.3125 2312.5 j 9 10 11 12 13 14 15 合计 L j 505.0 321.0 270.0 75.0 199.0 286.0 165.0 R j159.030.0145.011.0 134.0 335.0 0.0 费用 14015.3 5197.05 4696.25287.32877.859701.051361.2580916.456 模型强化如果要铺设的管道不是一条线, 而是一个树形图, 铁路、公路和管道构成网络, 我们的方法同样是适用的, 因为在求最省路径时, 我们并不排除铁路、公路和管道构成网络的情形. 实际上, 图 2与图 1的差别主要是铺设端点的度数不同. 因此, 只要对第一个模型稍作修改, 就可以解决这种更一般的情形了.对图 2运用相同的方法进行改造, 得到的新图如图 4所示, 其中的边权可以根据图 2求出.图 4 与图 2等效的简化图在图 4中, 铺设路径上的结点的最大度数为3, 从结点运往铺设地点的方向数最多有3个, 分别用D 1j , D 2j , D 3j 表示从A j 运往三个方向的运量, 各方向的取法如下(其中的方向都是指在图4中的方向):i) 如果结点A j 的度为1, 说明从该结点运出的方向只有一个, D 1j 就是这个方向上的运量, 并且令D 2j =0, D 3j =0. 这样的结点有A 1, A 15, A 16, A 18, A 21. ii) 如果结点A j 的度为2, 说明从该结点运出的方向有两个, D 1j 表示向左方向的运量,D 2j 表示向右方向的运量, 并且令D 3j =0. 这样的结点有A 2, A 3, A 4, A 5, A 6, A 7, A 8, A 10, A 12, A 13, A 14, A 19, A 20. iii) 如果结点A j 的度为3, 则D 1j 表示向左方向的运量, D 2j 表示向右方向的运量, D 3j 表示向下的运量. 这样的结点有A 9, A 11, A 17. 用类似于前面建立模型的方法对问题三建立模型如下: ()72171521222111111m i n 1232i i ji j i j j j ji j i j j P xw x e D DD=====ψ=++⋅++∑∑∑∑∑ S.T.721115903iji j x===∑∑7,...,2,1,211=≤∑=i s xi j ij7,...,2,10500211211=≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∑∑==i x x j ij j ij 21,...,2,1,32171==++∑=j xD D D i ijj j j14,...,2,1,1211==+++j A A D D j j j j 4213169=+D D ,10131711=+D D130121817=+D D ,190131917=+D D260122019=+D D ,100122120=+D D 115161618122320D D D D D ===== 1819202121333230D D D D D =====.15,...,12,10,8,...,1,03==j D jx ij ≥0, i =1,...,7, j =1, (21)求解以上模型得到表 5、表 6的购买和运输计划. 由此可知1ψ=910515, 2ψ=412089.55, 21222311(123)2j j j j e D D D =ψ=++∑=86087.15, 总费用123ψ=ψ+ψ+ψ=1408691.70.表 5 在图 2中从钢厂购买钢管然后运到铺设端点的计划钢厂购买量 购买费用 运输路径(在图 1中) 运量x ij 单价 运费 S 1800.0128000S 1B 6B 5B 4A 5334.5 38.0 12711.0 S 1B 6B 5A 6 200.0 20.5 4100.0 S 1B 7A 7 265.5 3.1 823.05 S 2800.0124000S 2B 8B 3B 1A 2179.0205.336748.7S 2 B 8B 3B 2A 3321.0190.261054.20S 2B 8A 8300.071.221360.00S 3 1000.0 155000S 3 B 9B 8B 3B 2A 380.0 200.2 16016.00 S 3 B 9B 8B 7 B 6B 5B 4A 5 214.0 121.0 25894.00 S 3B 9A 9 664.0 48.2 32004.80 S 3A 1642.044.01848.00S 4 0.0 0无0.00.0S 51613 249938S 5 B 11B 10B 9B 8B 3B 2A 3107.0 225.2 24096.40 S 5 B 11B 10B 9B 8B 7 B 6B 5A 5A 4 468.0 206.6 96688.80 S 5 B 11B 10B 9B 8B 7 B 6B 5A 5 67.0 146.0 9782.00 S 5 B 11B 10A 10 351.0 57.0 20007.00 S 5B 11A 11 415.0 33.0 13695.00 S 5A 17205.0 32.0 6560.00 S 61690.0 294000S 6 B 13B 18B 12A 12 86.0 45.0 3870.00 S 6B 13A 13 333.0 16.2 5394.6 S 6A 14621.0 11.0 6831.00 S 6B 15B 16A 15 165.0 28.0 4620.00 S 6B 13A 18 65.0 37.0 2405.00 S 6B 15B 13B 18A 19 70.0 44.0 3080.00 S 6A 20 250.0 10.0 2500.00 S 6A 21100.00.00.0S 7 0.0 0 无0.00.0合计59031ψ = 91051559032ψ=412089.55表 6 从铺设端点到铺设地点的计划j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11D1j 0.0 104.0 226.0 468.0 606.0 184.5 189.5 125.0 505.0 321.0 270.0 D2j 0.0 75.0 282.0 0.0 9.5 15.5 76.0 175.0 159.0 30.0 145.0 D3j 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0j12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 合计D1j 75.0 199.0 286.0 165.0 42.0 10.0 65.0 60.0 250.0 100.0D2j 11.0 134.0 335.0 0.0 0.0 65.0 0.0 10.0 0.0 0.0D3j 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 130.0 0.0 0.0 0.0 0.0费用287.3 2877.85 9701.05 1361.25 88.2 1061.25 211.25 185 3125 500 86087.157模型评价本文所讨论的问题用线性规划来求解是无法得到满意结果的, 这主要是因为钢管从铺设端点运往铺设地点时的运费不与路长成线性关系, 为此我们建立二次规划模型, 为的是真实反映实际操作中的各种条件限制和费用, 结果是合理可用的. 虽然我们求解的只是一个特定的实际问题, 但其中的方法具有一般性, 容易推文到类似的问题中. 如果只是运输路线图的不同, 则只需修改相应数据就可以了.参考文献1. 张莹. 运筹学基础, 清华大学出版社, 1999.1: 52-53.2. 戴一奇等. 图论与代数结构, 清华大学出版社, 1995.8.3. 胡运权. 运筹学教程, 清华大学出版社, 1998.6: 238-239.4. 楼世博, 金晓龙, 李鸿祥. 图论及其应用, 人民邮电出版社, 1982.7: 437-439.A Continuum and Nonlinear Programming Model of Transport ProblemHe Dengxu1Cao Dunqian1Mo Yongxiang2Song Xueqiang1(1. Dept. of Math. and Computer Sciences, Guangxi University for Nationalities, Nanning, 530006, China2. Dept. of Computing Science and Applied Physics , Guilin University of Electronic Technology, Guilin,541004, China)Abstract: The classical problem of transport is asked to find the shortest path in base of knowing all kind paths' lengths and demand at destination. It only needs to set up linear programming model, but in practice all kind of factors such as cost of transport nonlinear with lengths of paths, not knowing demand and cost of goods, augment complexities of the problem. In this paper, we expound a approach how to solve a complex problem of transport through the problem of order and transport of steel and tube.Keyword:mathematical model, nonlinear programming, shortest path。
运筹学 运输问题
运筹学运输问题
运筹学是一门研究如何最优地规划和管理资源以实现预定目标的学科。
在运筹学中，运输问题是其中一个重要的应用领域。
运输问题主要关注如何有效地分配有限的资源到不同的需求点，以最小化总体运输成本或最大化资源利用效率。
这些资源可以是货物、人员或其他物资。
运输问题通常涉及到多个供应地点和多个需求地点之间的物流调度。
运输问题的目标是找到一种最佳的调度方案，使得满足所有需求的同时，总运输成本达到最小。
为了解决运输问题，可以采用线性规划、网络流和启发式算法等方法。
在运输问题中，需要确定以下要素：
1. 供应地点：确定从哪些地点提供资源，例如仓库或生产基地。
2. 需求地点：确定资源需要分配到哪些地点，例如客户或销售点。
3. 运输量：确定每个供应地点与需求地点之间的运输量。
4. 运输成本：确定不同供应地点与需求地点之间运输的成本，可以
包括距离、时间、燃料消耗等因素。
通过数学建模和优化技术，可以对这些要素进行量化和分析，以求得最佳的资源分配方案。
这样可以降低运输成本、提高物流效率，并且满足不同地点的需求。
总而言之，运输问题是运筹学中的一个重要领域，涉及到如何有效地规划和管理资源的物流调度。
通过数学建模和优化方法，可以找到最优的资源分配方案，从而实现成本最小化和效率最大化。
运输网络优化
模型选择与适用性分析
模型选择
选择合适的模型是运输网络优化的关键。需 要根据问题的性质、规模和复杂性，选择适 合的模型进行描述和求解。
适用性分析
对所选模型的适用性进行分析，确保其能够 准确反映实际运输网络的特性和需求。同时 ，需要考虑模型的计算效率和可扩展性，以 便在实际应用中取得良好的效果。
03
常见算法与技术
算法
常见的运输网络优化算法包括Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、遗传算法、 模拟退火算法等。这些算法用于寻找满足特定条件的优化路径或解决方案。
技术
相关技术包括启发式方法、元启发式方法、混合整数规划等。这些技术用于处 理大规模、复杂的运输网络优化问题，提高算法的效率和可行性。
重要性及应用领域
重要性
随着物流行业的快速发展，运输网络优化对于提高物流效率、降低物流成本具有重要意义。
应用领域
广泛应用于物流、交通运输、快递、仓储等行业。
优化方法与技术
优化方法
包括线性规划、整数规划、动态规划等数学优化方法，以及启发式算法、模拟退火算法等智能优化算 法。
技术
涉及GIS地理信息系统、大数据分析、人工智能等技术，用于数据处理、模型构建和优化求解。
展望
随着物联网、大数据和人工智能等技 术的发展，未来运输网络将更加智能 化和高效化，实现更加精细化的管理 和运营。
对企业的建议与启示
建议
企业应重视运输网络优化，加大投入力度，引进先进技术和管理经验，提高运输 网络的效率和可靠性。
启示
企业应积极探索新的运输模式和合作方式，以适应市场变化和客户需求，提升自 身竞争力和市场地位。
02
运输网络模型与算法
基础模型与概念
(典型例题)《运筹学》运输问题
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
运筹学第三章 运输问题
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 3
3 1
4
4
2
A3
销量 2
4 7
1 3
4
4 6
3
7 5
3
5
6
8
4 3 13
σ11=-3, σ12=-2,σ23=-4, σ31=-1,σ33=1, σ34=-1
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 0
3 4
4
4
2
A3
销量 2
4 7
4
4 6
3
4 3
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x11检验数为 6-4+8-6+4-4=4
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6 4 2 4
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x12检验数为 5-4+8-6=3
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
2、位势法 当运输问题变量的格数较多时，用闭 回路法计算检验数比较麻烦，而位势法比 较简便。 对于运输问题 minf=CX AX=b X≥0 设B为其一个可行基，则xij的检验数为 σ ij=CBB-1Pij-Cij
《管理运筹学》02-7运输问题
通过将问题分解为多个子问题，并应用分支定 界法等算法，可以找到满足所有约束条件的整 数解，实现运输资源的合理配置。
04运Leabharlann 问题的实际案例物资调拨案例
总结词
物资调拨案例是运输问题中常见的一种，主要涉及如何优化物资从供应地到需 求地的调配。
02
动态运输问题需要考虑运输过 程中的不确定性，如交通拥堵 、天气变化等，需要建立动态 优化模型来应对这些变化。
03
解决动态运输问题需要采用实 时优化算法，根据实际情况不 断调整运输计划，以实现最优 的运输效果。
多式联运问题
1
多式联运是指将不同运输方式组合起来完成一个 完整的运输任务，需要考虑不同运输方式之间的 衔接和配合。
生产计划案例
总结词
生产计划案例主要关注如何根据市场需求和生产能力制定合理的生产计划。
详细描述
生产计划案例需要考虑市场需求、产品特性、生产成本、生产周期等因素。通过 优化生产计划，可以提高生产效率、降低生产成本，并确保产品按时交付给客户 。
05
运输问题的扩展研究
动态运输问题
01
动态运输问题是指运输需求随 时间变化而变化的运输问题， 需要考虑时间因素对运输计划 的影响。
2
多式联运问题需要考虑不同运输方式的成本、时 间、能力等因素，需要建立多目标优化模型来平 衡这些因素。
3
解决多式联运问题需要采用混合整数规划或遗传 算法等算法，以实现多目标优化的效果。
逆向物流问题
1
逆向物流是指对废旧物品进行回收、处 理和再利用的物流活动，需要考虑废旧 物品的回收、分类、处理和再利用等环 节。
的情况。如果存在这些问题，就需要进行调整，直到找到最优解为止。
运筹学中的运输问题例题
运筹学中的运输问题例题运筹学中的运输问题例题在运筹学领域中，运输问题一直是研究的焦点之一。
它是一种经典的线性规划问题，旨在寻找最佳的物流运输方案，以最小化运输成本或最大化利润。
下面将给出几个运输问题的例题，以便更好地理解运筹学中的运输问题。
例题一：某物流公司需要将货物从A、B、C三个仓库分别运输到D、E、F 三个地点。
已知各仓库的存货数和各地点的需求量如下：仓库存货数地点需求量A 50 D 30B 70 E 40C 80 F 20已知运输成本矩阵如下：D E FA 5 7 9B 6 8 10C 4 6 8要求给出最佳的物流运输方案，并计算出最小的运输成本。
例题二：某公司有两个工厂，分别位于城市X和城市Y，需要向三个销售点分别运输产品。
已知两个工厂的产能和三个销售点的需求量如下：工厂产能销售点需求量X 60 P 18Y 80 Q 30R 22已知运输成本矩阵如下：P Q RX 6 5 9Y 8 7 6要求确定最佳的运输方案，并计算出最小的运输成本。
例题三：某电子产品制造商面临着将产品从几个工厂运输到多个供应商的问题。
已知各工厂的产能和各供应商的需求量如下：工厂产能供应商需求量F1 80 S1 30F2 60 S2 50F3 70 S3 20已知运输成本矩阵如下：S1 S2 S3F1 4 7 6F2 6 3 8F3 5 7 9寻找最优的运输方案，以满足供应商的需求，并计算出最小的运输成本。
以上是几个常见的运输问题例题，这些例题涵盖了不同规模和不同约束条件的情况，帮助我们了解运筹学中的运输问题的解决方法。
通过运用线性规划等方法，可以得出最佳的运输方案，实现物流运输的优化，减少成本，并提高效率。
运输问题不仅在物流行业中有广泛应用，也可在其他领域中找到类似的应用场景，例如生产调度、供应链管理等。
因此，掌握运输问题的解决方法对于提高运营效率和降低成本是非常重要的。
综上所述，通过解决运输问题例题，我们可以更深入地理解运筹学中的运输问题，并通过适当的模型和算法，找到最佳的运输方案，实现资源的合理配置和优化。
数学建模--运输问题
运输问题摘要本文主要研究的是货物运输的最短路径问题，利用图论中的Floyd算法、Kruskal算法，以及整数规划的方法建立相关问题的模型，通过matlab，lingo 编程求解出最终结果。
关于问题一，是一个两客户间最短路程的问题，因此本文利用Floyd算法对其进行分析。
考虑到计算的方便性，首先，我们将两客户之间的距离输入到网络权矩阵中；然后，逐步分析出两客户间的最短距离；最后，利用Matlab软件对其进行编程求解，运行得到结果：2-3-8-9-10总路程为85公里。
关于问题二，运输公司分别要对10个客户供货，必须访问每个客户，实际上是一个旅行商问题。
首先，不考虑送货员返回提货点的情形，本文利用最小生成树问题中的Kruskal算法，结合题中所给的邻接矩阵，很快可以得到回路的最短路线：1-5-7-6-3-4-8-9-10-2；然后利用问题一的Floyd算法编程，能求得从客户2到客户1（提货点）的最短路线是：2-1，路程为50公里。
即最短路线为：1-5-7-6-3-4-8-9-10-2-1。
但考虑到最小生成树法局限于顶点数较少的情形，不宜进一步推广，因此本文建立以路程最短为目标函数的整数规划模型；最后，利用LINGO软件对其进行编程求解，求解出的回路与Kruskal算法求出的回路一致。
关于问题三，是在每个客户所需固定货物量的情况下，使得行程之和最短。
这样只要找出两条尽可能短的回路，并保证每条线路客户总需求量在50个单位以内即可。
因此我们在问题二模型的基础上进行改进，以货车容量为限定条件，建立相应的规划模型并设计一个简单的寻路算法，对于模型求解出来的结果，本文利用Kruskal算法结合题中所给的邻接矩阵进行优化。
得到优化结果为：第一辆车：1-5-2-3-4-8-9-1，第二辆车：1-7-6-9-10-1，总路程为280公里。
关于问题四，在问题一的基础上我们首先用Matlab软件编程确定提货点到每个客户点间的最短路线，然后结合一些限定条件建立一个目标模型，设计一个较好的解决方案进行求解可得到一种很理想的运输方案。
运输问题模型和表上作业法步骤 PPT课件
s.t. x11 x12 x13 x14
14
供 应
x21 x 22 x 23 x24
27 地
约
x 31 x 32 x 33 x 34 19 束
x11
x21
x31
x12
x22
x32
x13
x23
x33
x14
x24
x34
22 需
13 求
12
地 约
13 束
x11 x12 x13 x14 x 21 x 22 x 23 x 24 x31 x32 x33 x34
表2—2
销地
产地
B1
B2
B3
B4
A1
x11
x12
A2
x21
x24
A3
x32
x34
x11、 x12、 x32、 x34、 x24、 x21 构成一个闭回路. 这里有： i1 = 1， i2 = 3， i3 = 2；j1 = 1， j2 = 2， j3 = 4. 若把闭回路 的顶点在表中画出, 并且把相邻两个变量用一条直线相连
Transportation Problem 运输问题
运输问题的表示 网络图、线性规划模型、运输表 初始基础可行解 西北角法、最小元素法 非基变量的检验数 闭回路法、对偶变量法 确定进基变量，调整运量，确定离基 变量
运输问题
人们在从事生产活动中，不可避免地要进 行物资调运工作。如某时期内将生产基 地的煤、钢铁、粮食等各类物资，分别 运到需要这些物资的地区，根据各地的 生产量和需要量及各地之间的运输费用， 如何制定一个运输方案，使总的运输费 用最小。这样的问题称为运输问题。
A 0 0 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0
最短路径、指派、运输问题
第二步：进行试指派以寻求最优解。
（1）进行行检验：从只有一个0元素的行开始，给这 个0元素加（），记作（0）；再划去（0）所在列的其它 0元素，记作φ。若遇到有两个0元素以上的行，先放下。 （2）进行列检验：给只有一个0元素的列0元素加（） ，记作（0）；然后划去（0）所在行的0元素，记作φ。 （3）再对两个以上0元素的行和列标记，任意取一个 加（）。
B1 A1 A2 A3 4 7 6
B2 8 9 9
B3 7 17 12
B4 15 14 8
B5 12 10 7
A4
A5
6
6
7
9
14
12
6
10
10
6
三、其它指派问题
（1）目标函数求最大值的指派问 题 对于此问题可做一个新的 矩阵B=(bij)。找出原矩阵的最 大元素m，令B=(bij)=m-cij
∑
产 量 与 销 量 平 衡
解： 设产地Ai到销地Bi的运量为xij，由问题构造运量平衡表
可以知道：
（1）产销平衡 （2）Ai运出量等于产量 （3）Bj运入量等于销量
a b
i 1 i j1
m
n
j
x
j 1
n
ij
ai
x
i 1
m
ij
bj
运量平衡表
销地Bi 运价 产地Ai A1 A2 C11 C21 C12 C22 B1 B2
4 2 (cij ) 4 3 3 3 3 2 4 6 5 6 1 - 1 3 5 - 2 0 1 4 - 3 5 -2 1 2 1 0 0 3 0 - 1 3 4 3 - 2 0 1 2 1-3 4 3 -2 1 -2 2 1 0 0 1 2 0 2 0 3 (b ) ij 1 3
物流网络优化模型及其算法分析
物流网络优化模型及其算法分析随着经济全球化的加速和互联网的广泛渗透，物流行业已经成为现代社会中不可或缺的重要组成部分。
对于企业而言，优化物流网络结构和运营成本，提高物流效率和服务质量，已经成为摆在他们面前的一个重要课题。
物流网络优化模型及其算法分析，就是为了解决这一问题而产生的。
一、物流网络优化模型物流网络优化模型是对物流网络运营过程中各种因素进行量化和系统分析的一种方法，目的是在保障服务质量的前提下，最小化物流成本或最大化物流收益。
物流网络优化模型通常包括以下几个要素：1.供应链结构分析供应链结构是物流网络的基础，它直接决定了物流服务的范围和效率。
供应链结构分析的目的是分析物流网络中的各个环节和流程，以确定最优的供应链结构。
2.运输路径规划运输路径规划是指在保证货物按时到达目的地的前提下，确定最优的运输路线和运输方式，以确保物流成本最小化。
3.车辆调度优化车辆调度优化是指在保证货物按时到达目的地的前提下，对运输车辆进行调度和管理，以最小化车辆使用成本和道路拥堵造成的延误。
4.库存管理库存管理是指在保证服务质量和客户需求满足的前提下，对物流中心和仓库中的物资进行最优化的储存和调配，以降低库存成本。
二、物流网络优化算法分析物流网络优化算法是为了求解和优化物流网络优化模型而设计的一类计算机算法。
物流网络优化算法通常包括以下几种：1.线性规划算法线性规划算法是一种基于线性代数和高等数学的优化算法，可以用来求解物流网络中的线性规划问题，包括但不限于运输路径规划、车辆调度和库存管理等问题。
2.整数线性规划算法整数线性规划算法是一种将线性规划问题扩展到整数解空间上的优化算法，它可以用来求解一些难以用线性规划算法解决的问题，例如需要整数解的车辆调度问题。
3.蚁群算法蚁群算法是一种模拟蚂蚁觅食行为的优化算法，它可以用来解决一些复杂的物流网络优化问题，例如需要考虑到多个因素和约束条件的供应链结构优化问题。
4.遗传算法遗传算法是一种基于进化论和遗传学思想的优化算法，它可以用来解决一些需要求解复杂适应度函数的物流网络优化问题，例如需要考虑到多个进化因素的库存管理问题。
数学建模货运列车编组运输问题
数学建模货运列车编组运输问题数学建模是一门将实际问题抽象化并运用数学方法解决的学科。
货运列车编组运输问题是在实际生产与运输中常遇到的一个问题，即如何合理编组货运列车，以达到效率最大化、成本最小化的目标。
本文将针对这个问题进行深入探讨，并给出一种解决方案。
首先，我们来分析货运列车编组运输问题的背景和影响因素。
货运列车作为运输货物的一种重要方式，具有运载量大、运输成本低的优势。
然而，由于货物种类和数量的不同，以及货物间的相互关系，如何合理编组列车、安排运输路线，成为一个关键问题。
合理的编组方案可以提高运输效率，减少运输成本，提高生产力。
其次，我们来了解一下数学建模在解决货运列车编组运输问题中的应用。
数学建模是通过建立合理的数学模型，运用数学方法来解决实际问题的过程。
在货运列车编组运输问题中，数学建模可以帮助我们确定合适的编组方案。
具体来说，我们可以将问题抽象为一个数学模型，考虑列车的运载限制、货物的属性、运输距离、运输成本等因素，并通过数学方法求解最优解。
接下来，我们来介绍一种常用的数学建模方法——线性规划。
线性规划是一种数学优化方法，用于求解一类特殊的最优化问题。
在货运列车编组运输问题中，我们可以将其建模为一个线性规划问题。
具体来说，我们可以定义目标函数和约束条件，通过线性规划求解器求解最优解。
目标函数可以是最小化运输成本或最大化运输效率，约束条件包括列车的运载限制、货物的属性等。
通过求解线性规划问题，我们可以得到一个最优的编组方案。
除了线性规划，还有其他一些数学建模方法可以用于解决货运列车编组运输问题，如整数规划、动态规划、遗传算法等。
这些方法各有特点，可以根据具体问题的性质选择适合的方法。
然后，我们来讨论一些与货运列车编组运输问题相关的实际案例。
以某货运公司为例，他们需要编组一列货运列车，按照一定的编组规则将货物装载到不同的车厢中，以便快速、高效地运输货物。
该公司采用了数学建模的方法，通过线性规划求解器得到了一个最优的编组方案。
第二次--运输问题
第二次 运输问题1．运输问题的一般提法设有m 个产地m A A A ,,,21 ，将生产的物资联合运往n 个销地n B B B ,,,21 ；各产地i A 的产量为i a ，各销地j B 的销量为j b ；从i A 产地到j B 销地的单位运价为j i c ，问如何组织运输，可使总的运费最少？如果总的产量=∑=mi i a 1总的销量∑=nj j b 1，则称它为产销平衡运输问题2．产销平衡运输问题的数学模型引入决策变量：用j i x 表示从i A 产地运到j B 销地的物资数量确定目标函数：使总运输费用最少 ∑∑===mi nj j i j i x c Z 11m i n写出约束条件：从i A 产地运出的物资数量应等于i A 产地的物资供应量 即i nj ji a x=∑=1m i ,,2,1 =运到j B 销地的物资数量应等于j B 销地的需求量 即j mi ji b x=∑=1n j ,,2,1 =j i x 取值非负。
说明：① 运输问题是一线性规划问题；② db a x j i j i ⋅=（其中∑∑====nj j m i i b a d 11）是运输问题的一个可行解，从而它有基本可行解；又{}j i j i b a x ,min ≤，故运输问题的任一可行解都是有限的，即可行域有界；因此运输 问题必有有限最优解且最优解同样可在基本可行解处得到。
③ 针对m 个产地n 个销地的产销平衡运输问题，其约束条件中共有n m +个方程，但这 n m +个方程中，任一方程都可以通过其余1-+n m 方程得到。
因此真正有效的方程个数是1-+n m 个，我们可以将多余的一个方程划掉。
这样以来，运输问题的基本可行解中只含1-+n m 个基变量。
④ 当m 和n 取值较大时，引入的决策变量较多，采用表格单纯形法计算量较大，通常采用 表上作业法求解运输问题。
3．求初始调运方案（初始基本可行解）1）左上角方法：从表格中左上角方格所对应的决策变量开始分配运输量，分配时让它取尽可能大的取值。
线性规划模型在运输问题中的应用分析
线性规划模型在运输问题中的应用分析随着全球经济一体化进程的加快，各国经济间的联系日益紧密，物流运输也变得越来越重要。
在大量物流运输问题中，解决物流损失、成本分配等问题是最为关键的。
而运输问题通常可以被视为线性规划模型的一种，线性规划模型在运输问题中的应用也越来越受到人们的重视。
一. 运输问题的例子举一个简单的例子来说明运输问题。
假设A、B、C、D四个城市分别有工厂、仓库和销售点，且有以下数据：每个工厂生产的产品数量、仓库容量、销售点需要的产品数量、从一点到另一点的运输成本。
现在需要确定应该从哪些工厂生产哪些产品、应该从哪个工厂运送到哪个仓库、从哪个仓库运往哪个销售点、以及每个运输路径运输的数量等问题。
二. 运输问题的特点运输问题的特点在于：一个A城市的工厂能够生产的产品也可以被B、C、D城市的销售点使用，一个仓库也可以从多个工厂和向多个销售点运输货物。
这种“源-汇”模式的数据结构称为运输网络。
而线性规划模型正好可以处理这种模型，它使用高效的算法寻找最佳运输方案，从而最大程度地降低成本和货物的损失。
三. 模型的基本要素在解决运输问题时，需要建立一个线性规划模型。
它包括以下基本要素：1. 决策变量决策变量是需要最终确定的，例如面对这种运输问题，决策变量可以是每个工厂、仓库和销售点的生产、储存和销售数量等。
2. 目标函数目标函数是要最小化的总成本、总损失等等。
3. 约束条件约束条件是必须满足的等式或不等式，例如每个工厂生产的产品数量应该大于等于零，每个销售点的需求量应该小于等于该点的能力。
4. 非负条件决策变量必须满足非负条件，例如每个工厂、仓库和销售点的数量应该大于等于零。
四. 模型求解线性规划模型的目标是在约束条件下，最优化目标函数。
求解过程中需要使用线性规划算法，这些算法通常都是利用单纯形法、内点法等，来建立单个目标函数的等式或不等式的优化模型。
五. 结论在现代物流运输中，运输问题是一种常见的问题，线性规划模型正好可以处理这种问题。
线性规划在运输问题中的应用
线性规划在运输问题中的应用一、介绍线性规划是优化方法中的一种常见方法，它主要是指寻求在满足一系列约束条件的情况下最大限度地提高某种目标函数的值。
在对各种运输问题进行建模时，线性规划也广泛应用。
在本文中，我们将着重探讨线性规划在运输问题中的应用。
二、定义运输问题在了解线性规划如何应用于运输问题之前，我们需要了解运输问题是什么。
运输问题一般涉及将商品从一个地方运送到另一个地方，并需要最小化或最大化成本或利润等目标。
该问题可以表示为一个线性规划模型，其中各种变量和约束条件可以很好地描述该问题。
三、线性规划模型对于一个标准的运输问题，我们所需要的是一个线性规划模型。
根据这个模型，我们可以了解如何在运输问题中使用线性规划。
如果我们将一个运输问题表示为线性规划模型，我们可以得到以下组成部分：1. 目标函数：可以是最小化或最大化。
2. 变量：这是我们需要确定的变量，例如商品的数量，货物的运输费用等。
3. 约束条件：这些是约束条件，需要满足的条件，例如运输货物的容量限制，客户需求等。
4. 非负约束：这是一个常数，它有助于确保变量始终为正。
通过深入分析运输问题，我们可以确保我们将所有变量和约束条件插入正确的目标函数。
在这里，目标函数是最小化或最大化，而变量和约束条件则会影响该函数的结果。
四、线性规划解决运输问题通过了解运输问题的不同参数，我们可以使用线性规划快速解决运输问题。
我们可以运用简单的算法来求解问题，包括单纯形法、内点法等。
例如，在运输问题中，我们经常利用单纯形法来确定目标函数的最优解。
通过单纯形法，我们可以找到目标函数的最佳解，并确定每个变量的最佳值。
然后，我们可以使用这些值来确定问题的解决方案，以实现最小化或最大化我们的目标函数。
五、实际应用线性规划在运输问题中的实际应用是广泛的。
例如，在制造业中，线性规划可用于优化生产线，减少运输成本，以及减少生产时间，提高生产效率等方面中。
类似地，在供应链管理方面，线性规划是一个重要的工具，可以用来优化存储、运输，以及供应等方面的成本。
运筹学07-运输问题
X
0
A3 X
X
1
6
0
销量 0
0
0
0
B1 B2 B3 B4 产量
A1 3
6
A2
2
3
A3
1
6
销量
• 首先是一个可行解 • 其次个数正好等于6 • 可以证明，这是一个基可行解，
B1 B2 B3 B4 产量
A1 3
6
2
9
A2
2
3
3
4
A3 销量
1
6
2
5
Z (0) 3*2 6*9 2*3 3*4 1* 2 6*5 110
• 也就是从运价表的西北角位置（即x11处） 开始，依次安排m个产地和n个销地之间 的运输业务，从而得到一个初始调运方 案，我们称这种方法为西北角法（或左 上角法）．
说明
• 西北角法所遵循的规则纯粹是一种人为 的规定，没有任何理论依据和实际背 景．
• 但它容易操作，特别适合在计算机上编 程计算，因而仍不失为一种制定初始调 运方案的好方法，受到广大实际工作者 青睐．
• 在剩下最后一个空格时，只能填数（必 要时可取0）并画圈，以保证画圈的数为 m+n-1．
• 在某一行（或列）填最后一个数时，如 果行和列都同时饱和，则规定只划去该 行（或列)下次再遇到该列时，应写0并 画圈．
B1 B2 B3 B4 产量
A1 2
1
X
X
0
A2 X
0
5
X
0
A3 X
X
8
销量 0
0
2
6
1
7
8
A2
0
5
6
运输网络优化的算法与模型
汇报人：可编辑 2024-01-06
目录
• 运输网络优化概述 • 线性规划算法 • 非线性规划算法 • 启发式算法 • 元启发式算法 • 多目标优化算法
01
运输网络优化概述
定义与目标
定义
运输网络优化是指通过数学模型和算法，对运输网络进行优化，以实现运输成本降低、运输效率提高、运输过 程环保等目标。
运输网络优化问题通常涉及到如何选择最佳的 运输路径、分配运输量以及选择运输方式等， 以最小化运输成本或最大化运输效率。
线性规划算法可以用于解决这些问题，通过建 立相应的线性方程组来表示运输网络优化问题 ，并求解得到最优解。
在实际应用中，线性规划算法可以用于车辆路 径问题、货物配载问题、物流配送问题等。
缺点
非线性规划算法的求解过程通常比较复杂，需要大量的计算资源和时间；同时 ，对于大规模问题，非线性规划算法可能面临计算瓶颈和收敛困难等问题。
04
启发式算法
启发式算法简介
启发式算法是一种基于经验和 直观的求解方法，通过模拟或 借鉴人类的决策过程来寻找问 题的近似解。
它通常比精确算法更高效，适 用于大规模、复杂的问题。
03
动态规划
将问题分解为若干个子问题，通 过求解子问题的最优解来得到原 问题的最优解。
04
优化算法的应用场景
物流配送
优化车辆路径、货物配载、配送中心选址等 问题。
城市交通
优化航班计划、航线规划、机场调度等问题 。
航空运输
优化公交线路、出租车调度、交通信号灯控 制等问题。
铁路运输
优化列车运行计划、车站调度、货物配载等 问题。
目标
运输网络优化的目标是提高运输网络的效率、降低运输成本、减少运输过程中的环境污染、提高运输安全性等 。
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4.1运输问题数学模型 4.2 运输问题的求解方法 4.3 对解进行检验及改进 4.4 运输问题的进一步讨论 4.5 应用问题举例
P&T 公司的配送问题案例
Figure 1 Location of the canneries and warehouses for the P&T Company problem.
B1
B2
B3
产量
A1
6
4
6
200
A2
6
5
5
300
销量
150
150
200
解： 产销平衡问题： 总产量 = 总销量 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量表：
B1
B2
B3
产量
A1
x11
x12
x13
200
A2
x21
x22
x23
300
销量
150
150
200
Min s.t.
fxxxxxx12111i11123j=+++++≥6xxxxxx1122222012123+++===4(xx1x21125331i0520=00+==26310x0、0103+2；6xj21=+
464
S1
513
867 654
352 416
S2
791 690
995
(Alber t Lea1)00 S3
682 388
685
Dema nds Dest ina tions
D1 80 (Sacr amento) D2 65 (Sa lt Lake City)
D3 70 (Rapid City) D4 85 (Albuquerque)
5x22+ 5x23
1、2、3）
平衡运输问题数学模型特点
✓ 运输问题有有限最优解 ✓ 约束条件非常有规律，技术系数非 0 即 1
1 1 1
11 1
m行
1 1 1
1
1
1
1
1
1
n行
1
1
1
✓ 每个变量Xij对应的矩阵列中,除第i个元素和第m+j个 元素为1外,其余元素为零.每行有n个1，其余为0。
4.2 运输问题的求解方法
采用表上作业法，称为位势法
运算中涉及两个表：运费表和产销平衡表(分配表)
运费表
分配表
销地
运费
1 2 n
产地
1
c11 c12 c1n
2
c21 c22 c2n
m cm1 cm2 cmn
寻找初始可行解的方法
1、西北角法
从 x11开始分配，从西北向东南方向逐个分配 xij 的分配公式
xx2121211222 333
1xx11939293322233
x1332 111222
115111105550505
m n 7 有6个基变量
34
f (x)
cij xij 205
i1 j1
2、最低费用法
4.1 运输问题的一般数学模型
有m个产地生产某种物资，有n个地区需要该类物 资
令a1, a2, …, am表示各产地产量， b1, b2, …, bn表 示各销地的销量，ai=bj 称为产销平衡
设xij表示产地 i 运往销地 j 的物资量，wij表示对 应的单位运费，则我们有运输问题的数学模型如 下：
Salt Lake City 65 truckloads
Rapid City
70 truckloads
Albuquerque 85 truckloads
Total
300 truckloads
目前的运输计划
From \ To
Cannery Bellingham Eugene Albert Lea
Sacramento
✓ 所有结构的约束条件是等式约束 ✓ 各产地产量之和等于各销地销量之和
运输问题的解
✓ 解满足所有的约束条件; ✓ 基变量对应的约束方程组的系数列向量线性无关; ✓ 解中非零变量Xij的个数不能大于(m+n-1)个; ✓ 为使迭代求解顺利进行,基变量的个数在迭代过
程中保持为(m+n-1)个; ✓ 基变量的个数远小于决策变量的个数.
75 5 0
Warehouse
Salt Lake City
Rapid City Albuquerque
0
0
0
65
55
0
0
15
85
卡车的运输成本
From \ To
Cannery Bellingham Eugene Albert Lea
Sacramento
$464 352 995
Warehouse
Salt Lake City
可行解的特性 当且仅当供应量的总和等于需求量的总和时，运输问题 才有可行解。
成本假设 从任何一个出发地到任何一个目的地的货物配送成本和 所配送的数量成线性比例关系。 这个成本就等于配送的单位成本乘以所配送的数量。
网络表示
Supplie s
Sourc es
(Bellingham) 75 (E ugene) 125
Rapid City Albuquerque
$513 416 682
$654 690 388
$867 791 685
总的运输成本= 75($464) + 5($352) + 65($416) + 55($690) + 15($388) + 85($685) = $165,595
运输问题的特点
需求假设 每一个出发地都有一个固定的供应量，所有的供应量都 必须配送到目的地。 每一个目的地都有一个固定得需求量，整个需求量都必 须由出发地满足。
运输数据
Cannery Bellingham Eugene Albert Lea Total
Output 75 truckloads 125 truckloads 100 truckloads 300 truckloads
Warehouse
Allocation
Sacramento
80 truckloads
销地
产量
例2
运费
1 2 3 4 ai
产地
1 20 11 3 6 5
2 5 9 10 2 10
3 18 7 4 1 15 销量 bj 3 3 12 12
例4.2.1 西北角法
运运运量量量销销销地地地 111
产产产地地地
111
333
22
33
销销销量量量 bbjj 33
产产产量量量
222 333 444 aaai ii
运输问题有mn个决策变量，m+n 个约束条件。 由于产销平衡条件，只有m+n–1个相互独立， 因此，运输问题的基变量只有m+n–1 个
例1某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的 产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，
问：应如何调运可使总运输费用最小？