运输问题模型与算法
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75 5 0
Warehouse
Salt Lake City
Rapid City Albuquerque
0
0
0
65
55
0
0
15
85
卡车的运输成本
From \ To
Cannery Bellingham Eugene Albert Lea
Sacramento
$464 352 995
Warehouse
Salt Lake City
5x22+ 5x23
1、2、3）
平衡运输问题数学模型特点
✓ 运输问题有有限最优解 ✓ 约束条件非常有规律，技术系数非 0 即 1
1 1 1
11 1
m行
1 1 1
1
1
1
1
1
1
n行
1
1
1
✓ 每个变量Xij对应的矩阵列中,除第i个元素和第m+j个 元素为1外,其余元素为零.每行有n个1，其余为0。
4.1 运输问题的一般数学模型
有m个产地生产某种物资，有n个地区需要该类物 资
令a1, a2, …, am表示各产地产量， b1, b2, …, bn表 示各销地的销量，ai=bj 称为产销平衡
设xij表示产地 i 运往销地 j 的物资量，wij表示对 应的单位运费，则我们有运输问题的数学模型如 下：
464
S1
513
867 654
352 416
S2
791 690
995
(Alber t Lea1)00 S3
682 388
685
Dema nds Dest ina tions
D1 80 (Sacr amento) D2 65 (Sa lt Lake City)
D3 70 (Rapid City) D4 85 (Albuquerque)
可行解的特性 当且仅当供应量的总和等于需求量的总和时，运输问题 才有可行解。
成本假设 从任何一个出发地到任何一个目的地的货物配送成本和 所配送的数量成线性比例关系。 这个成本就等于配送的单位成本乘以所配送的数量。
网络表示
Supplie s
Sourc es
(Bellingham) 75 (E ugene) 125
Rapid City Albuquerque
$513 416 682
$654 690 388
$867 791 685
总的运输成本= 75($464) + 5($352) + 65($416) + 55($690) + 15($388) + 85($685) = $165,595
运输问题的特点
需求假设 每一个出发地都有一个固定的供应量，所有的供应量都 必须配送到目的地。 每一个目的地都有一个固定得需求量，整个需求量都必 须由出发地满足。
Salt Lake City 65 truckloads
Rapid City
70 truckloads
Albuquerque 85 truckloads
Total
300 truckloads
目前的运输计划
From \ To
Cannery Bellingham Eugene Albert Lea
Sacramento
4.2 运输问题的求解方法
采用表上作业法，称为位势法
运算中涉及两个表：运费表和产销平衡表(分配表)
运费表
分配表
销地
运费
1 2 n
产地
1
c11 c12 c1n
2
c21 c22 c2n
m cm1 cm2 cmn
寻找初始可行解的方法
1、西北角法
从 x11开始分配，从西北向东南方向逐个分配 xij 的分配公式
运输问题有mn个决策变量，m+n 个约束条件。 由于产销平衡条件，只有m+n–1个相互独立， 因此，运输问题的基变量只有m+n–1 个
例1某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的 产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，
问：应如何调运可使总运输费用最小？
xx2121211222 333
1xx11939293322233
x1332 111222
115111105550505
m n 7 有6个基变量
34
f (x)
cij xij 205
i1 j1
2、最低费用法
B1
B2
B3
产量
A1
6
4
6
200
A2
6
5
5
300
销量
150
150
200
解： 产销平衡问题： 总产量 = 总销量 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量表：
B1
B2
B3
产量
A1
x11Leabharlann Baidu
x12
x13
200
A2
x21
x22
x23
300
销量
150
150
200
Min s.t.
fxxxxxx12111i11123j=+++++≥6xxxxxx1122222012123+++===4(xx1x21125331i0520=00+==26310x0、0103+2；6xj21=+
销地
产量
例2
运费
1 2 3 4 ai
产地
1 20 11 3 6 5
2 5 9 10 2 10
3 18 7 4 1 15 销量 bj 3 3 12 12
例4.2.1 西北角法
运运运量量量销销销地地地 111
产产产地地地
111
333
22
33
销销销量量量 bbjj 33
产产产量量量
222 333 444 aaai ii
运输数据
Cannery Bellingham Eugene Albert Lea Total
Output 75 truckloads 125 truckloads 100 truckloads 300 truckloads
Warehouse
Allocation
Sacramento
80 truckloads
4 运输问题—数学模型及其解法
4.1运输问题数学模型 4.2 运输问题的求解方法 4.3 对解进行检验及改进 4.4 运输问题的进一步讨论 4.5 应用问题举例
P&T 公司的配送问题案例
Figure 1 Location of the canneries and warehouses for the P&T Company problem.
✓ 所有结构的约束条件是等式约束 ✓ 各产地产量之和等于各销地销量之和
运输问题的解
✓ 解满足所有的约束条件; ✓ 基变量对应的约束方程组的系数列向量线性无关; ✓ 解中非零变量Xij的个数不能大于(m+n-1)个; ✓ 为使迭代求解顺利进行,基变量的个数在迭代过
程中保持为(m+n-1)个; ✓ 基变量的个数远小于决策变量的个数.
Warehouse
Salt Lake City
Rapid City Albuquerque
0
0
0
65
55
0
0
15
85
卡车的运输成本
From \ To
Cannery Bellingham Eugene Albert Lea
Sacramento
$464 352 995
Warehouse
Salt Lake City
5x22+ 5x23
1、2、3）
平衡运输问题数学模型特点
✓ 运输问题有有限最优解 ✓ 约束条件非常有规律，技术系数非 0 即 1
1 1 1
11 1
m行
1 1 1
1
1
1
1
1
1
n行
1
1
1
✓ 每个变量Xij对应的矩阵列中,除第i个元素和第m+j个 元素为1外,其余元素为零.每行有n个1，其余为0。
4.1 运输问题的一般数学模型
有m个产地生产某种物资，有n个地区需要该类物 资
令a1, a2, …, am表示各产地产量， b1, b2, …, bn表 示各销地的销量，ai=bj 称为产销平衡
设xij表示产地 i 运往销地 j 的物资量，wij表示对 应的单位运费，则我们有运输问题的数学模型如 下：
464
S1
513
867 654
352 416
S2
791 690
995
(Alber t Lea1)00 S3
682 388
685
Dema nds Dest ina tions
D1 80 (Sacr amento) D2 65 (Sa lt Lake City)
D3 70 (Rapid City) D4 85 (Albuquerque)
可行解的特性 当且仅当供应量的总和等于需求量的总和时，运输问题 才有可行解。
成本假设 从任何一个出发地到任何一个目的地的货物配送成本和 所配送的数量成线性比例关系。 这个成本就等于配送的单位成本乘以所配送的数量。
网络表示
Supplie s
Sourc es
(Bellingham) 75 (E ugene) 125
Rapid City Albuquerque
$513 416 682
$654 690 388
$867 791 685
总的运输成本= 75($464) + 5($352) + 65($416) + 55($690) + 15($388) + 85($685) = $165,595
运输问题的特点
需求假设 每一个出发地都有一个固定的供应量，所有的供应量都 必须配送到目的地。 每一个目的地都有一个固定得需求量，整个需求量都必 须由出发地满足。
Salt Lake City 65 truckloads
Rapid City
70 truckloads
Albuquerque 85 truckloads
Total
300 truckloads
目前的运输计划
From \ To
Cannery Bellingham Eugene Albert Lea
Sacramento
4.2 运输问题的求解方法
采用表上作业法，称为位势法
运算中涉及两个表：运费表和产销平衡表(分配表)
运费表
分配表
销地
运费
1 2 n
产地
1
c11 c12 c1n
2
c21 c22 c2n
m cm1 cm2 cmn
寻找初始可行解的方法
1、西北角法
从 x11开始分配，从西北向东南方向逐个分配 xij 的分配公式
运输问题有mn个决策变量，m+n 个约束条件。 由于产销平衡条件，只有m+n–1个相互独立， 因此，运输问题的基变量只有m+n–1 个
例1某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的 产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，
问：应如何调运可使总运输费用最小？
xx2121211222 333
1xx11939293322233
x1332 111222
115111105550505
m n 7 有6个基变量
34
f (x)
cij xij 205
i1 j1
2、最低费用法
B1
B2
B3
产量
A1
6
4
6
200
A2
6
5
5
300
销量
150
150
200
解： 产销平衡问题： 总产量 = 总销量 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量表：
B1
B2
B3
产量
A1
x11Leabharlann Baidu
x12
x13
200
A2
x21
x22
x23
300
销量
150
150
200
Min s.t.
fxxxxxx12111i11123j=+++++≥6xxxxxx1122222012123+++===4(xx1x21125331i0520=00+==26310x0、0103+2；6xj21=+
销地
产量
例2
运费
1 2 3 4 ai
产地
1 20 11 3 6 5
2 5 9 10 2 10
3 18 7 4 1 15 销量 bj 3 3 12 12
例4.2.1 西北角法
运运运量量量销销销地地地 111
产产产地地地
111
333
22
33
销销销量量量 bbjj 33
产产产量量量
222 333 444 aaai ii
运输数据
Cannery Bellingham Eugene Albert Lea Total
Output 75 truckloads 125 truckloads 100 truckloads 300 truckloads
Warehouse
Allocation
Sacramento
80 truckloads
4 运输问题—数学模型及其解法
4.1运输问题数学模型 4.2 运输问题的求解方法 4.3 对解进行检验及改进 4.4 运输问题的进一步讨论 4.5 应用问题举例
P&T 公司的配送问题案例
Figure 1 Location of the canneries and warehouses for the P&T Company problem.
✓ 所有结构的约束条件是等式约束 ✓ 各产地产量之和等于各销地销量之和
运输问题的解
✓ 解满足所有的约束条件; ✓ 基变量对应的约束方程组的系数列向量线性无关; ✓ 解中非零变量Xij的个数不能大于(m+n-1)个; ✓ 为使迭代求解顺利进行,基变量的个数在迭代过
程中保持为(m+n-1)个; ✓ 基变量的个数远小于决策变量的个数.