高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用第15讲导数在生活中的优化问题举例(理)

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高考数学总复习第二章第十五节用导数解决生活中的优化问题课件文

大利润是多少？(利润＝收入－成本)
思路点拨：根据题意，列出利润的函数关系式，进而可用导数(dǎo shù)求最值的方法进行求解．
第八页，共43页。
解析：每月生产
x
吨时的利润为
f(x)＝24
200－51x2x－(50
000＋
200x)＝－15x3＋24 000x－50 000(x≥0)．
由 f′(x)＝－35x2＋24 000＝0，解得 x1＝200，x2＝－200(舍去)．
zhí)点 (3)比较函数在_区__间__端__点___和__极__值__点__的函数值的大小，获得所求函数的最大(小)值； (4)还原到实际(shíjì)问题中作答．
第四页，共43页。
基础(jīchǔ) 1．以自长测为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为
A．10
B．15
C．25
第十六页，共43页。
解析：由题意得，总成本函数为 C＝C(x)＝20 000＋100x，所以总利润函数为 P＝P(x)＝R(x)－C(x)＝ 300x－x22－20 000，0≤x≤400， 60 000－100x，x>400，而 P′(x)＝3－001－00x，，x0>≤40x0≤，400，令 P′(x)＝0，得 x＝ 300，易知 x＝300 时，P 最大．答案：300
②当
20<t≤30
时，由
Q(t)>6Fra bibliotek300⇒
70 3
<t<30
⇒
t
＝
24,25,26,27,28,29；
③当 30<t≤40 时，Q(t)<Q(30)＝6 300.
综上所述，第一批产品 A 上市后，在第 24,25,26,27,28,29 天，

高考数学(文)一轮课件【第15讲】最值与生活中的优化问题举例

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第15讲运用导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例
双向固基础
3．[教材改编] 做一个容积为 256 dm3 的底面为正方形的无盖水箱，若要使用料最省，则它的高为________dm.
[答案] 4
256 [解析] 设底面边长为 x，则高为 h＝ x2 ，其表面积为 256×4 256 2 2 S＝x ＋4× x2 ×x＝x ＋ x . 256×4 则 S′＝2x－ x2 ，令 S′＝0，则 x＝8.当 x<8 时， S′<0；当 x>8 时，S′>0.所以 S 在 x＝8 时取得极小值，也是最小 256 值，用料最省，故高 h＝＝4(dm)． 64
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第15讲运用导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例
双向固基础
[答案] (1)×
(2)√
(3)√
(4)×
(5)×
[解析] (1)函数在某区间上有极值，则不一定有最值．如函数 f(x)＝x3－3x 在 R 上只有极值没有最值． (2)根据最值的概念知命题正确． (3)二次函数的极值也是最值． 1 (4)对于 f(x)＝ x＋x－1，f′(x)＝＋1≥0 在区间(0， 2 x ＋∞)上恒成立，所以 f(x)为增函数，且定义域为[0，＋∞)，所以 f(x)的最小值为 f(0)＝－1.对于 g(x)＝ x－x－1，令 g′(x) 1 1 1 1 ＝－1＝0，得 x＝ .当 x∈(0， )时，g′(x)>0；当 x∈( ， 4 4 4 2 x 1 ＋∞)时，g′(x)<0，所以 g(x)在区间(0，4)上是增函数，在区间
双向固基础点面讲考向多元提能力教师备用题

高三理科数学第一轮复习§2.11：导数在研究函数中的应用和生活中优化问题举例

第二章：函数、导数及其应用 §2.11：导数在研究函数中的应用和生活中优化问题举例
解析
第二章：函数、导数及其应用 §2.11：导数在研究函数中的应用和生活中优化问题举例
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第二章：函数、导数及其应用 §2.11：导数在研究函数中的应用和生活中优化问题举例
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第二章：函数、导数及其应用 §2.11：导数在研究函数中的应用和生活中优化问题举例
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第二章：函数、导数及其应用 §2.11：导数在研究函数中的应用和生活中优化问题举例

导数及其应用生活中的优化问题举例

根据数据特点和预测需求，选择适合的时间序列预测模型，如 ARIMA、SARIMA、LSTM等。
模型参数设置
为预测模型设置合适的参数，以便进行模型训练和预测。
模型训练和优化
使用历史数据训练预测模型，并不断优化模型参数，以提高预测准确性。
时间序列预测模型的检验与应用
模型检验
使用独立的验证数据集评估预测模型的性能，比较实际值与预测值的差异。
导数及其应用生活中的优化问题举例
2023-11-08
contents
目录
• 导数的定义与计算 • 导数在生活中的应用 • 导数在优化问题中的应用举例 • 导数在最优问题中的应用 • 导数在时间序列预测中的应用 • 导数在其他领域的应用举例
01
导数的定义与计算
导数的定义
函数在某一点的导数
函数在某一点的导数描述了函数在该点的变化率。
通过运用导数，企业可以找到运营成本的最优解，以降低企业的运营成本。
在最小成本问题中，企业需要通过对运营成本的分析，寻找降低成本的途径。导数方法可以通过对成本函数进行求导，找到成本最低的运营方案。例如，在物流行业中，通过优化运输路线和装载方式可以降低运输成本。
04
导数在最优问题中的应用
最优路径问题
模型应用
将经过验证的预测模型应用于实际时间序列数据的预测，为决策提供支持。
06
导数在其他领域的应用举例
工程领域：结构优化设计、强度分析等
结构优化设计
在航空航天、建筑等领域，结构优化设计是至关重要的。导数可以帮助我们更好地理解结构的形状、尺寸和材料等参数对结构强度、刚度和稳定性的影响，从而优化设计。例如，通过有限元分析方法，利用导数求解结构中的应力、应变分布，进一步优化结构设计。

高考数学理科一轮复习课件2-15用导数解决生活中的优化问题

栏目链接
300 时，P 最大．
考点探究
考点3 用料最省问题
【例 3】甲、乙两家工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸 40 千米的 B 处，乙厂到河岸的垂足 D 与 A 相距 50 千米，两厂要在此岸边合建一个供水站 C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3a 元和 5a 元，问：供水站 C 建在岸边何处才能使水管费用最省？思路点拨：本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式．技巧与方法主要有：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变量，构造相应的函数关系．
解析：依题意，年利润y＝x(－x2＋324)－81x＝－x3＋
243x(0<x≤10)，求导得y′＝－3x2＋243，令y′＝0，得x＝9(舍去负值)，因为0<x<9时，y′>0，x>9时，y′<0，所以当x＝9时，y
栏目链接
有最大值．故选C.
考点探究
考点2 与分段函数有关的优化问题
【例 2】 (2013· 佛山、江门二模)某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻，导致浓硫酸泄漏，对河水造成了污染．为减少对环境的影响，环保部门迅速反应，及时向污染河道投入固体碱，1 个单位的固体碱在水中逐渐溶化，水中的碱浓度 f(x)与时间 x(小时)的关系可近似地表示为： x 6 2－－，0≤x≤3， 6 x＋3 f(x) ＝只有当污染河道水中碱的浓度 x 1－，3＜x≤6， 6 1 不低于时，才能对污染产生有效的抑制作用． 3 (1)如果只投放 1 个单位的固体碱，则能够维持有效的抑制作用的时间有多长？

2015届高考数学总复习第二章第十五节用导数解决生活中的优化问题精讲课件文

②求函数y＝f(x)的导数f′(x)，解方程f ′(x)＝0得出定义域内的实根，确定极值点；
③比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得
所求的最大(小)值； ④还原到实际问题中作答． (2) 在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，则只需根据实际情况判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较.
与分段函数有关的优化问题【例2】 (2013· 佛山、江门二模)某水域一艘装载浓硫酸的货船
发生侧翻，导致浓硫酸泄漏，对河水造成了污染．为减少对环
境的影响，环保部门迅速反应，及时向污染河道投入固体碱，1
个单位的固体碱在水中逐渐溶化，水中的碱浓度f(x)与时间x(小时)的关系可近似地表示为：f(x)＝只有
解析：(1)由题意知
解得1≤x＜3或3≤x≤4，即1≤x≤4，能够维持有效的抑制作用的时间：4－1＝3小时． (2)由(1)知，x＝4时第二次投入1单位固体碱，显然g(x)的定义
域为4≤x≤10，
当4≤x≤6时，第一次投放1单位固体碱还有残留，
故g(x)＝当6＜x≤10时，第一次投放1单位固体碱已无残留，故当6＜x≤7时， g(x)＝2－当7＜x≤10时，g(x)＝1－；；
从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问：
转化成函数关系式．技巧与方法主要有：根据题设条件作出图形，
解析：(法一)根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总水管费用最省，如图，设点C距点D为x千米，则BD＝40，AC＝50－x，
∴BC＝
.
又设总的水管费用为y元，依题意有 y＝3a(50－x)＋5a y′＝－3a＋ (0＜x＜50)．，令y′＝0，解得x＝30.

2020年高考数学一轮总复习集合函数导数专题15导数的综合应用与优化问题文(含解析)

专题 15 导数在函数中的应用一、本专题要特别小心： 1.图形考虑不周陷阱；2.思维定式陷阱（与等式有关的构造函数）； 3. 已知条件中含有导函数值而无从下手； 4.恒成立中的最值陷阱 5. 含有导函数的式子中的和差构造陷阱 6.与三角函数有关的构造函数 7.忽视分母造成解集不完备 8.与指数函数对数函数有关的构造二．【知识点】 1.函数的极值 (1)若可导函数 f(x)在 x＝x0 处导数值为 0，且在 x＝x0 处的左边 f′(x0)＞0，在 x＝x0 处的右边 f′(x0)＜0，则 f(x)在 x＝x0 处有极大值. (2)若可导函数 f(x)在 x＝x0 处导数值为 0，且在 x＝x0 处的左边 f′(x0)＜0，在 x＝x0 处的右边 f′(x0)＞0，则 f(x)在 x＝x0 处有极小值. (3)可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点不一定是极值点，如 y＝x3 在 x＝0 处导数值为零，但 x＝0 不是极值点. 2.函数的最值 (1)连续函数 f(x)在闭区间[a，b]上必有最大值与最小值. (2)最值的求法：先求 f(x)在(a，b)上的极值，再将各极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 3.极值与最值的区别和联系 (1)函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的整体情况，是函数在整个区间上的函数值的比较. (2)函数的极值不一定是最值，须与端点函数值作比较方可确定是否为最值. (3)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值(单峰函数)，则极大值即是[a，b]上的最大值，极小值即是 [a，b]上的最小值.三．【题型方法总结】（一）存在问题求参数例 1. 已知函数，，，使得成立，则实数的取值范围为（）1A．B．C．【答案】A【解析】∵，函数故选：A．≤a,故 a≥e练习 1．设函数，记值范围是（）A．B．C．【答案】D【解析】由题意得函数的定义域为．又，∵函数至少存在一个零点，∴方程有解，D．故的最小值为;，若函数至少存在一个零点，则实数的取 D．即有解．令，则∴当时，∴又当时，要使方程，单调递增；当时，．；当时，．有解，则需满足，单调递减．∴实数的取值范围是故选 D．练习 2．函数的取值范围为（）A．B．．（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数C．D．2【答案】A【解析】函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点等价于函数与函数只有唯一一个交点，，，函数与函数唯一交点为，又，且，，在上恒小于零，即在为单调递减函数，又是最小正周期为 2，最大值为的正弦函数，可得函数与函数的大致图像如图：要使函数与函数，即，解得又所以实数的范围为。

导数——生活中的优化问题应用举例

导数——生活中的优化问题应用举例导言：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具.本文主要阐述如何利用导数,解决一些生活中的优化问题.导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有以下几个方面: 1.与几何学有关的最值问题 2.与物理学有关的最值问题3.与利润及其成本有关的最值问题4.效率最值问题注意点：在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值（如果定义域是闭区间，那么只要函数在此闭区间上连续，它就一定有最大（小）.记住这个定理很有好处），然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个驻点，那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大（小）值.知道这一点是非常重要的，因为它在应用上较为简便，省去了讨论驻点是否为极值点，求函数在端点处的值，以及同函数在极值点处的值进行比较等步骤.典例剖析1.与几何学有关的最值问题例：（11江西文18）如图，在=2,2ABC B AB BC P AB π∆∠==中，，为边上一动点，PD//BC 交AC 于点D,现将'',PDA .PDA PD PDA PBCD ∆∆⊥沿翻折至使平面平面（1）当棱锥'A PBCD -的体积最大时，求PA 的长；（2）若点P 为AB 的中点，E 为''.AC B DE ⊥的中点，求证：A 解：（1）设x PA =，则)2(31312xx x S PA V PDCB PBCDA -=⋅='底面- 令)0(,632)22(31)(32>-=-=x x x x x x f ，则232)(2x x f -='由上表易知：当332==x PA 时，有PBCD A V -'取最大值。

2021年高三数学一轮复习导数及其应用第15课时导数概念及运算

一、考纲要求三、考点梳理1、已知函数在处的导数为1,当时,, 则A= .2、已知函数在点处的切线为y=2x-1,则函数在点处的切线方程为__________.3、某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t3－5t2(s的单位为m，t的单位为s)，则t ＝2s时，汽车瞬时速度为________．瞬时加速度为________.4、若，则f′(0)=_______.5、过坐标原点作函数图像的切线,则切线斜率为____________.6、已知抛物线通过点(1,1),且在点处与直线相切,则的值为7、已知函数是两两不等的实数）则等于四、典例精讲例1、利用导数的定义求函数f(x)＝1x在x＝1的导数：例2、求下列函数的导数：（1）（2）（3）y=tanx （4）y=例3、已知曲线，（1）求曲线在点P（2,4）处的切线方程；（2）求曲线过点P（2,4）的切线方程；（3）求曲线的斜率为4的切线方程。

实用文档变式3：已知A、B是曲线上不同的两点,在A、B两点的切线都与直线AB垂直.证明: (1) A、B两点关于原点对称; (2)五、反馈练习1、曲线y＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为_______________．2、如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝______.3、曲线在处的切线方程为______________.4、曲线在点(1,f(1))处的切线方程为________.5、已知函数，则 .6、已知函数，若直线对任意的都不是曲线的切线，则的取值范围是 .六、小结反思 34909 885D 衝m`37142 9116 鄖32592 7F50 罐.22576 5830 堰28211 6E33 渳*]d40182 9CF6 鳶22407 5787 垇29636 73C4 珄实用文档。

高考数学第一轮复习课件之导数及其应用

总结词
利用导数解决生活中的优化问题。
示例
某企业生产某产品的总成本函数为$C(x) = 25x + 4000$，总收入函数为$R(x) = 100x - 0.01x^{2}$，利用导数求出利润最大时的产量。
总结词
通过求导判断数列的单调性，利用单调性研究数列的极限，进而解决一些数列问题。
详细描述
示例
已知数列${ a_{n}}$满足$a_{n + 1} = a_{n} + frac{1}{n(n + 1)}$，求证数列${ a_{n}}$收敛，可以利用导数研究数列的单调性和极限，进而证明结论。
详细描述
导数可以用来研究函数的极值点，即导数为0的点。在这些点附近，函数值可能会发生显著变化。通过求导找到极值点后，我们可以进一步分析这些点的性质，如判定是极大值还是极小值，并求出相应的函数值，即最值。
03
CHAPTER
导数的综合应用
详细描述
通过建立函数关系，利用导数求出最优解，解决生活中的优化问题，如最大利润、最小成本等。
详细描述
总结词
导数的几何意义是切线的斜率。
详细描述
对于可导函数，其导数表示函数图像上某一点处的切线的斜率。这意味着，当函数在某一点可导时，该点的切线与函数图像在该点相切，切线的斜率即为该点的导数值。
总结词：导数的四则运算法则是导数运算的基本法则。详细描述：导数的四则运算法则包括加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。加法法则指出两个函数的和或差的导数等于两个函数的导数的和或差的线性组合；减法法则指出两个函数的差相对于自变量的变化率等于被减数函数的导数减去减数函数的导数；乘法法则指出两个函数的乘积的导数等于两个函数的导数的乘积加上被乘数函数的导数乘以乘数函数的导数；除法法则指出两个函数的商的导数等于被除数函数的导数除以除数函数的导数减去被除数函数乘以除数函数的导数的商。这些法则可以用于推导复合函数的导数以及解决一些复杂的导数问题。

高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用第15讲导数在生活中的优化问题举例课件文

第十八页，共32页。
解：(1)f′(x)＝ax＋(1－a)x－b. 由题设知，f′(1)＝0.解得 b＝1. (2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，f(x)＝alnx＋1－2 ax2－x， f′(x)＝ax＋(1－a)x－1＝1－x ax－1－a a(x－1)． ①若 a≤12，则1－a a≤1.故当 x∈(1，＋∞)时， f′(x)＞0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
n－1
第十五页，共32页。
即
n1 lnn－1>n.
∴ln21>12，ln32>13，ln43>14，…，lnn－n 1>1n.
∴ln21＋ln32＋ln43＋…＋lnn－n 1>12＋13＋14＋…＋1n.
∴lnn>12＋13＋14＋…＋1n.
即对大于 1 的任意正整数 n，都有 lnn>12＋13＋14＋…＋1n.
所求的定义域为(－∞，－r)∪(－r，＋∞)．
f(x)＝x＋axr2
＝ ax x2＋2xr＋r2
，
f′(x)＝
ax2＋2xr＋r2－ax2x＋2r ＝ar－xx＋r
x2＋2xr＋r22
x＋r4
.
所以当 x＜－r 或 x＞r 时，f′(x)＜0.
当－r＜x＜r 时，f′(x)＞0.
因此，f(x)的单调(dāndiào)递减区间为(－∞，－r)，(r，＋∞)；f(x)
三次)． 3. 会利用导数解决某些实际问题
2011 年新课标卷第 21 题考查函数、导数、不等式的综合应用；
2012 年新课标卷第 21 题考查函数、导数、不等式的综合应用；
2014 年新课标卷Ⅰ第 21 题利用导数考查函数零点；

2020年高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第15讲导数的意义及运算课件理

3.基本初等函数的导数公式表
原函数 f(x)＝C f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax(a>0) f(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)
导函数 f′(x)＝_____0_____ f′(x)＝__α__xα_－__1 ___(α∈Q*)
D.
答案：D
考向2 导数的几何意义例4：(1)(2017 年新课标Ⅰ)曲线 y＝x2＋1x在点(1,2)处的切
线方程为_________. 解析：y＝f(x)＝x2＋1x，则 f′(x)＝2x－x12.所以 f′(1)＝2－1
＝1.所以在点(1,2)处的切线方程为 y－2＝1×(x－1)，即 y＝x＋1. 答案：y＝x＋1
fx0－Δx＋22ΔΔxx－fx0－Δx＝2f′(x0)；
③ lim Δx→0
fx0＋2Δx－fx0＋Δx Δx
＝ lim Δx→0
fx0＋Δx＋ΔΔxx－fx0＋Δx＝f′(x0)；
④ lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0－2Δx Δx
＝3 lim Δx→0
fx0－2Δx＋33ΔΔxx－fx0－2Δx＝3f′(x0).
(2)求曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处(该点为切点)的切线方程，其方法如下：
①求出函数y＝f(x)在x＝x0 处的导数f′(x0)，即函数y＝f(x) 在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率；
②切点为P(x0，f(x0))，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0).
所以①③正确.故选 B. 答案：B
【规律方法】本题需直接变换出导数的定义式
lim
k→0
fx0＋kk－fx0＝f′(x0).其中 k(一般用 Δx 表示)可正可负，定

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利用导数解决实际生活中的优化问题的基本步骤： (1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式 y＝f(x)并确定定义域； (2)求导数 f′(x)，解方程 f′(x)＝0； (3)判断使 f′(x)＝0 的点是极大值点还是极小值点； (4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答，即获得优化问题的答案．
第15讲导数在生活中的优化问题举例
考纲要求
1.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． 2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 3.会利用导数解决某些实际问题
解：(1)∵f(x)＝1－ ax x＋lnx，∴f′(x)＝axa－x2 1(a>0)． ∵函数 f(x)在[1，＋∞)上为增函数， ∴f′(x)＝axa－x21≥0 对 x∈[1，＋∞)恒成立． ∴ax－1≥0 对 x∈[1，＋∞)恒成立，即 a≥1x对 x∈[1，＋∞)恒成立． ∴a≥1.
(2)当 a＝1 时，f′(x)＝x－x21. ∴当 x∈12，1时，f′(x)<0. 故 f(x)在 x∈12，1上单调递减；当 x∈(1,2]时，f′(x)>0. 故 f(x)在 x∈(1,2]上单调递增． ∴f(x)在区间12，2上有唯一极小值点．故 f(x)min＝f(x)极小值＝f(1)＝0.
(2)由(1)的解答可知 f′(r)＝0， f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，＋∞)上单调递减．因此 x＝r 是 f(x)的极大值点．所以 f(x)在(0，＋∞)内的极大值为 f(r)＝2arr2＝4ar＝4040＝
100，f(x)在(0，＋∞)内无极小值；综上所述，f(x)在(0，＋∞)内的极大值为 100，无极小值．【规律方法】本题在利用导数求函数的单调性时要注意，
4．某工厂要围建一个面积为 128 m2 的矩形堆料场，一边
可以用原有的墙壁，其他三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的
材料最省，堆料场的长、宽应分别为__1_6_m__,8__m__.
考点 1 利用导数解决生活中的优化问题例 1：(2015 年安徽)已知函数 f(x)＝x＋axr2(a＞0，r＞0)． (1)求 f(x)的定义域，并讨论 f(x)的单调性； (2)若ar＝400，求 f(x)在(0，＋∞)内的极值．
求导后的分子是一个二次项系数为负数的一元二次式 . 在求 f′x＞0 和 f′x＜0 时要注意，本题主要考查同学们对基本概念的掌握情况和基本运算能力.
【互动探究】 1．(2013 年重庆)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不
计厚度)．设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100 元/平方米，底面的建造成本为 160 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12 000π元(π为圆周率)．
考点分布
2011年新课标卷考查函数、导数、不等式的综合应用； 2012年新课标卷考查函数、导数、不等式的综合应用； 2014年新课标卷Ⅰ利用导数考查函数零点； 2014年新课标卷Ⅰ考查函数、导数、不等式的综合应用； 2015年新课标卷Ⅰ考查函数、导数、不等式的综合应用
考情风向标
本节复习时，要特别注意三次函数、指数函数与对数函数(以e为底)的综合题．要深入体会导数应用中蕴含的数学思想方法．分类讨论思想 (如参数问题的讨论)；数形结合思想(如通过从导函数图象特征解读函数图象的特征或求两曲线交点个数)；等价转化思想(如将证明的不等式问题等价转化为研究相应问题的最值等)
(1)将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大．
解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为 100·2πrh＝200πrh 元，底面的总成本为 160πr2 元．
所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意，得 200πrh＋160πr2＝12 000π. 所以 h＝51r(300－4r2)．从而 V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3)．因为 r＞0，又由 h＞0 可得 r＜5 3. 故函数 V(r)的定义域为(0,5 3)．
1 ．已知物体自由落体的运动方程 s ＝ 1 gt2 (其中 g 取 10 2
m/s2)，则物体在 t＝3 s 的瞬时速度为( A )
A．30 m/s
B．40 m/s
C．45 m/s
D．50 m/s
2．函数 f(x)＝12x－x3 在区间[－3,3]上的最小值是_－__1_6_.
3．曲线 y＝xex＋2x＋1 在点(0,1)处的切线方程为_y_＝__3_x_＋__1_.
(2)因为 V(r)＝π5(300r－4r3)，故 V′(r)＝π5(300－12r2)．令 V′(r)＝0，解得 r＝5 或－5(因 r＝－5 不在定义域内，舍去)．当 r∈(0,5)时，V′(r)＞0，故 V(r)在(0,5)上为增函数；当 r∈(5,5 3)时，V′(r)＜0. 故 V(r)在(5,5 3)上为减函数．
由此可知，V(r)在 r＝5 处取得最大值，此时 h＝8. 即当 r＝5，h＝8 时，该蓄水池的体积最大．
考点 2 利用导数解决不等式问题例 2：已知函数 f(x)＝1－axx＋lnx.
(1)若函数 f(x)在[1，＋∞)上为增函数，求正实数 a 的取值范围；
(2)当 a＝1 时，求 f(x)在12，2上的最大值和最小值； (3)当 a＝1 时，求证：对大于 1 的任意正整数 n，都有 lnn> 12＋13＋14＋…＋1n.
解：(1)由题意可知 x≠－r，所求的定义域为(－∞，－r)∪(－r，＋∞)． f(
f′(x)＝ ax2＋2xx2r＋＋2r2xr－＋arx222x＋2r＝ar－xx＋xr＋4 r.
所以当 x＜－r 或 x＞r 时，f′(x)＜0. 当－r＜x＜r 时，f′(x)＞0. 因此，f(x)的单调递减区间为(－∞，－r)，(r，＋∞)；f(x) 的单调递增区间为(－r，r)．