第一次作业答卷

第一次作业答卷：

1、数学教学设计的基本过程包括哪些？

数学教学设计是教师为将来进行的教学勾画的图景，它反映了教师对未来教学的认识与期望，虽然在课堂中的教学活动会有些偏差，但通常没有大的变化。因此，教学设计在很大程度上决定了教学活动的效果。数学教学设计是一个系统性活动，由于教学任务或教学目标不同，数学教学设计又有多种类型。尽管如此，数学教学设计的基本过程却大致相同，即有确立目标、分析内容、了解学生、设计活动、评价结果等五个环节。就一个完整的数学教学设计而言，上述五个环节缺一不可，每一环节的意义和作用不尽相同。

数系的扩充和复数的概念

一、教学目标：

【知识与技能目标】：

（1）了解数系发展的过程,理解虚数单位i的性质；

（2）理解复数的基本概念及代数形式的表示；

（3）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；

（4）掌握复数相等的概念及应用。

【过程与方法目标】：

（1）经历数的概念的发展和数系扩充的过程，探索如何引入新数i，感知虚数单位i与实数进行四则运算的必然性；

（3）在对复数的代数表示方法进行讨论的过程中，渗透分类讨论、化归等数学思想方法.

【情感、态度与价值观目标】：

（1）初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和处理问题；

（2）在经历数的概念的发展和数系扩充的过程中,感受理论体系发展的艰难，激发学生对数学的兴趣，培养他们的钻研与探索精神。

二、教学重点、难点：

【教学重点】：复数的概念、代数表示及分类、复数相等的充要条件。

【教学难点】：数系扩充过程和方法.

三、教学方法

发现式、启发式与探究式等教学方法相结合。

四、教学过程

1.创设情景，引入新课：

问题提出：解关于x的方程：32

+-=。

(1)(3)0

x x

(学生活动)要求：

①在自然数集内解方程；

②在整数集内解方程；

③在有理数集内解方程；

④在实数集内解方程，

提出还能解出第四或第五个根吗？.

数系发展的历程是：

自然数整数有理数无理数实数复数请用集合语言表示包含关系：（学生思考、表示）

向学生介绍复数系是怎样建立的？

1545年意大利有名的数学“怪杰”卡丹第一次开始讨论负数开平方的问题，当时复数被他称作“诡辩量”.几乎过了100年，笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数．但是又过了140年，欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，并用i（imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位.后来德国数学家高斯给出了复数的定义，并把复数与直角坐标平面内的点一一对应起来．1837年，爱尔兰数学家哈密顿用有序实数对（a,b)定义了复数及其运算，并说明复数的加、乘运算满足实数的运算律.这样历经300年的努力，数系从实数系向复数系的扩充才得以大功告成．

复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充.

2、讲授新课，强化认知：

(1) 虚数单位的引入：

为了解决上面的方程210

-+=

x x

我们引入一个新数i ，把i 叫做虚数单位，

注：

1）规定：i2=-1,i就是－1的一个平方根。则240

x+=的根为2

x+=

x i

=±；280

的根为x=±

2）实数可以与i进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运

算律仍然成立．如32i

-等等

+、1-、73i

同学们还能写出哪些形式的数？（学生举例，老师予以板书）

观察：以上形式有什么共同特征？

总结：通过学生活动，让学生经历数的创造过程，从而概括出复数的代数形式：a bi

+。

3）i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1

（2）复数的有关概念：

定义：形如a bi + (a,b ∈R)的数叫复数，常用一个字母z 表示，即 z a bi =+，

叫做复数的代数形式；其中a 叫复数z 的实部；b 叫复数z 的虚部；全体复数所成的集合叫复数集，用C 表示．

请同学们根据黑板上的例子，分别指出它们的实部与虚部。

（3）复数的分类

复数集的分类如下：

z a bi ⎧⎪=+⎧⎨≠⎨⎪≠⎩⎩

实数z=a(b=0)复数纯虚数z=bi(a=0)虚数z=a+bi(b 0)非纯虚数z=a+bi(a 0) 【例题1】：指出下列各数中，哪些是实数、哪些是虚数、哪些是纯虚数，为什么？32i +

、、73i -

、3)i -、26i +、0、5i π-、

【例题2】:实数m 取什么值时，复数z =m (m +1)+(m －1)i 是(1) 实数;(2)虚数;(3) 纯虚数;（4）零。

变式1）实数m 取什么值时，复数0z =；

变式2）实数m 取什么值时，复数62z i =+

（4）复数相等的概念

由上面两个变式，很容易知道两相复数相等的概念。

定义：如果两个复数 的实部与虚部分别相等，我们就说这两个复数相等。 记作：a+bi =c+d i (a,b,c,d ∈R ) a= c 且b =d.

【例题3】: 已知(2x －1)+i =y －(3－y )i ，其中x ，y ∈R ，求x 与y .

解：根据复数相等的定义，得方程组⎩⎨⎧--==-)

3(1,12y y x ，所以x =25，y =4【学生思考1】：你认为3+5i 与4+3i 谁大，为什么？

结论：一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 【学生思考2】：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？为什么？

3.矫正反馈，当堂巩固：

（1）（判断）：

①．若a =0,则z=a + b i (a ∈ R 、b ∈ R )为纯虚数；

②．若z=a +b i (a ∈ R 、b ∈ R )为纯虚数,则a =0．

③. 若a ，b 为实数，则 必为虚数

④. 若b 为实数，则 必为纯虚数

⑤. 若a ,为实数，b=0，则z = a 一定不是复数