重心1重心一相关知识补充1重心距离的推导课本
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則由 得（ ）
得 （公式3－3）
二隨堂練習
3－1 重心、形心與質量中心
（A）1.物體之重量對於某直線之力矩代數和為零時，該直線必通過物體的(A)重心(B)一端(C)坐標原點(D)上端。
（D）2.下列敘述何者正確？(A)物體之重心必在物體內部(B)物體對稱於x軸時， ＝0(C)經重心之平面，稱為重心軸(D)平面之重心，必為兩重心軸的交點。
圖3－24
解：如右上圖所示A＝12×12＝144B＝ ×12×6＝36
＝ ＝ ∴ ＝ ＝ ×4＝ （cm）
（C）8.如圖3－25所示斷面，其形心距離底邊x軸為若干？(A)1.3(B)1.5(C)1.7(D)1.9cm。
圖3－25
解：如右上圖所示A＝4×4＝16B＝3×2＝6
＝ ＝ ∴ ＝2－ ×0.5＝1.7（cm）
解：L＝20＋30＋10＝60（mm）
＝
＝ ＝13.6（mm）
＝
＝ ＝20.8（mm）
（D）5.組合線段如圖3－12所示，求形心 之位置？(A)3(B)4.5(C)6(D)9mm。
圖3－12
解：L＝6π＋3π＝9π
＝ ＝9（mm）
3－3 面的重心之求法
（C）6.如圖3－23所示L形截面，試求其面積重心
解：
（A）13.如圖（6）所示，半徑為R之大圓中，挖去一直徑為R之小圓後，則其重心位置為(A) ＝ ， ＝0(B) ＝ ， ＝0(C) ＝ ， ＝0(D) ＝ ， ＝0。
解：
＝ × ＝
＊（C）14.如圖（7）所示之平面，其斜線部分面積之重心 離原點為若干？(A)1.8(B)2.8(C)3.8(D)4.8cm。
解：
（B）7.有一12cm長之鐵絲彎成如圖（3）所示之形狀，則其重心位置為(A) ＝3.06cm，
＝1.82cm(B) ＝2.85cm， ＝1.28cm(C) ＝2.76cm， ＝1.82cm(D) ＝2.58cm， ＝1.28cm。
解：L＝3＋4＋5＝12（cm）
＝ ＝ ＝2.85（cm）
＝ ＝ ＝1来自百度文库28（cm）
第3章重心
一相關知識補充
1.重心距離的推導
(1)[課本圖2－57（c）及圖3－14（b）]
如圖3－1所示，A、B為△CEF及△EFD的個別重心，P為總重心（△ECD），由比例法得：
圖3－1
∴
故P至C之距離為
P至D之距離為
(2)[課本圖2－57（d）及圖3－18]
圖3－2
如圖3－2所示
A1＝ ahy1＝
解：m1＝2m2
＝
＝ ＝－
＊（D）5.下列有關重心、形心與質心的描述，何者不正確？(A)物體重力之合力的作用線一定會通過該物體的重心(B)物體的質心位置可以在該物體的外部(C)物體的形心坐標會因坐標不同而改變(D)對所有物體而言，重心、形心與質心的位置會在同一點。
3－2線的重心之求法
＊（C）6.如圖（2）所示之圓弧線重心至原點O的距離為(A) (B) (C) (D) 。
3－2 線的重心之求法
（C）3.半圓弧線之重心，必在其圓心角之分角線上，且距離弧線中心(A) (B) (C) (D) 。
（A）4.如圖3－11所示之折線，其重心位置為
(A) ＝13.6mm， ＝20.8mm
(B) ＝5mm， ＝14.3mm
(C) ＝12.4mm， ＝21.8mm
(D) ＝23.4mm， ＝12.6mm。
A2＝ bhy2＝
A＝A1＋A2＝
＝ ＝
＝ ＝ ＝
2.課本公式3－1推導
圖3－3
圓弧線之重心：如圖3－3所示，取圓弧上之一微小長度 ，其x軸之坐標位置 ，且
則由 得（2r）
得
∵ 且 ∴ （公式3－1）
3.課本公式3－3推導
圖3－4
扇形面積之重心：如圖3－4所示，取一微小三角形面積 ，其x軸之坐標位置 ，且
（D）3.如圖（1）所示，三質點系統之質量中心坐標約為(A)（1.3，1.1）(B)（1.3，1.3）(C)（1.1，1.1）(D)（1.1，1.2）。
解： ＝
＝ ＝ ＝1.1（cm）
＝
＝ ＝ ＝1.2（cm）
（D）4.半徑r之圓盤，由材料1和材料2兩個半圓所組成。若材料1之密度恰為材料2之兩倍，則此圓盤之質心至圓心的距離應為若干？(A) (B) (C) (D) 。
(A) ＝3.5cm， ＝4.5cm
(B) ＝4.5cm， ＝3.5cm
(C) ＝3.5cm， ＝2.5cm
(D) ＝2.5cm， ＝3.5cm。
解：A＝8×2＝16B＝8×2＝16
＝ ＝
∴ ＝1＋ ×5
＝3.5（cm）
＝1＋ ×3
＝2.5（cm）
（D）7.如圖3－24所示正方形ABCD之板，每邊長12cm，以二對角線分成4個三角形，若切去其一，則殘部ABOCDA之重心 為(A) (B)4(C)2(D) cm。
圖（4）
解：如右上圖所示A＝6×2＝12，B＝4×2＝8
＝ ＝ ∴d＝1＋ ×3＝2.2（cm）
（B）11.如圖（5）所示之斷面，其形心位置距y軸為若干cm？(A)2(B)6(C)7.5(D)8。
解： ＝ ＝ ＝6（cm）
＊（A）12.已知半圓片之重心至直徑的距離為 ，r為半徑，則 圓的重心距圓中心為(A) (B) (C) (D) 。
＊（A）8. 圓弧線之重心為(A) ＝ ＝ (B) ＝ ＝ (C) ＝0， ＝ (D) ＝0， ＝ 。
（D）9.一圓弧線半徑為r，其弧線所對之圓心角為（rad），則該弧線之形心位置至圓心的距離為(A) (B) (C) (D) 。
解： ＝
3－3面的重心之求法
＊（A）10.如圖（4）所示之斷面，x－x軸為形心軸，則d之距離為(A)2.2(B)2.4(C)2.6(D)2.8cm。
三 自我評量
一、選擇題題前標註＊，表示重要且常考的題目
3－1重心、形心與質量中心
（B）1.下列敘述何者不正確？(A)一段直線的重心為該直線之中點(B)一段圓弧線的重心為該段圓弧線之中點(C)一個圓的重心為該圓之圓心(D)物體的重心，不一定在物體內部或外部。
（C）2.物體重心位置的求法，一般都是應用(A)拉密定理(B)正弦定理(C)力矩原理(D)餘弦定理。
解：A1＝4×6＝24（cm2）
A2＝ ×4×3＝6（cm2）
A3＝6×2＝12（cm2）
y1＝2＋3＝5（cm）y2＝2＋ ＝3（cm）
y3＝ ＝1（cm）A＝A1－A2＋A3＝30（cm2）
∴ ＝ ＝3.8（cm）
（A）15.如圖（8）所示，I型平面之形心位置距離x軸約為若干？(A)5.5(B)8.5(C)14(D)7cm。
得 （公式3－3）
二隨堂練習
3－1 重心、形心與質量中心
（A）1.物體之重量對於某直線之力矩代數和為零時，該直線必通過物體的(A)重心(B)一端(C)坐標原點(D)上端。
（D）2.下列敘述何者正確？(A)物體之重心必在物體內部(B)物體對稱於x軸時， ＝0(C)經重心之平面，稱為重心軸(D)平面之重心，必為兩重心軸的交點。
圖3－24
解：如右上圖所示A＝12×12＝144B＝ ×12×6＝36
＝ ＝ ∴ ＝ ＝ ×4＝ （cm）
（C）8.如圖3－25所示斷面，其形心距離底邊x軸為若干？(A)1.3(B)1.5(C)1.7(D)1.9cm。
圖3－25
解：如右上圖所示A＝4×4＝16B＝3×2＝6
＝ ＝ ∴ ＝2－ ×0.5＝1.7（cm）
解：L＝20＋30＋10＝60（mm）
＝
＝ ＝13.6（mm）
＝
＝ ＝20.8（mm）
（D）5.組合線段如圖3－12所示，求形心 之位置？(A)3(B)4.5(C)6(D)9mm。
圖3－12
解：L＝6π＋3π＝9π
＝ ＝9（mm）
3－3 面的重心之求法
（C）6.如圖3－23所示L形截面，試求其面積重心
解：
（A）13.如圖（6）所示，半徑為R之大圓中，挖去一直徑為R之小圓後，則其重心位置為(A) ＝ ， ＝0(B) ＝ ， ＝0(C) ＝ ， ＝0(D) ＝ ， ＝0。
解：
＝ × ＝
＊（C）14.如圖（7）所示之平面，其斜線部分面積之重心 離原點為若干？(A)1.8(B)2.8(C)3.8(D)4.8cm。
解：
（B）7.有一12cm長之鐵絲彎成如圖（3）所示之形狀，則其重心位置為(A) ＝3.06cm，
＝1.82cm(B) ＝2.85cm， ＝1.28cm(C) ＝2.76cm， ＝1.82cm(D) ＝2.58cm， ＝1.28cm。
解：L＝3＋4＋5＝12（cm）
＝ ＝ ＝2.85（cm）
＝ ＝ ＝1来自百度文库28（cm）
第3章重心
一相關知識補充
1.重心距離的推導
(1)[課本圖2－57（c）及圖3－14（b）]
如圖3－1所示，A、B為△CEF及△EFD的個別重心，P為總重心（△ECD），由比例法得：
圖3－1
∴
故P至C之距離為
P至D之距離為
(2)[課本圖2－57（d）及圖3－18]
圖3－2
如圖3－2所示
A1＝ ahy1＝
解：m1＝2m2
＝
＝ ＝－
＊（D）5.下列有關重心、形心與質心的描述，何者不正確？(A)物體重力之合力的作用線一定會通過該物體的重心(B)物體的質心位置可以在該物體的外部(C)物體的形心坐標會因坐標不同而改變(D)對所有物體而言，重心、形心與質心的位置會在同一點。
3－2線的重心之求法
＊（C）6.如圖（2）所示之圓弧線重心至原點O的距離為(A) (B) (C) (D) 。
3－2 線的重心之求法
（C）3.半圓弧線之重心，必在其圓心角之分角線上，且距離弧線中心(A) (B) (C) (D) 。
（A）4.如圖3－11所示之折線，其重心位置為
(A) ＝13.6mm， ＝20.8mm
(B) ＝5mm， ＝14.3mm
(C) ＝12.4mm， ＝21.8mm
(D) ＝23.4mm， ＝12.6mm。
A2＝ bhy2＝
A＝A1＋A2＝
＝ ＝
＝ ＝ ＝
2.課本公式3－1推導
圖3－3
圓弧線之重心：如圖3－3所示，取圓弧上之一微小長度 ，其x軸之坐標位置 ，且
則由 得（2r）
得
∵ 且 ∴ （公式3－1）
3.課本公式3－3推導
圖3－4
扇形面積之重心：如圖3－4所示，取一微小三角形面積 ，其x軸之坐標位置 ，且
（D）3.如圖（1）所示，三質點系統之質量中心坐標約為(A)（1.3，1.1）(B)（1.3，1.3）(C)（1.1，1.1）(D)（1.1，1.2）。
解： ＝
＝ ＝ ＝1.1（cm）
＝
＝ ＝ ＝1.2（cm）
（D）4.半徑r之圓盤，由材料1和材料2兩個半圓所組成。若材料1之密度恰為材料2之兩倍，則此圓盤之質心至圓心的距離應為若干？(A) (B) (C) (D) 。
(A) ＝3.5cm， ＝4.5cm
(B) ＝4.5cm， ＝3.5cm
(C) ＝3.5cm， ＝2.5cm
(D) ＝2.5cm， ＝3.5cm。
解：A＝8×2＝16B＝8×2＝16
＝ ＝
∴ ＝1＋ ×5
＝3.5（cm）
＝1＋ ×3
＝2.5（cm）
（D）7.如圖3－24所示正方形ABCD之板，每邊長12cm，以二對角線分成4個三角形，若切去其一，則殘部ABOCDA之重心 為(A) (B)4(C)2(D) cm。
圖（4）
解：如右上圖所示A＝6×2＝12，B＝4×2＝8
＝ ＝ ∴d＝1＋ ×3＝2.2（cm）
（B）11.如圖（5）所示之斷面，其形心位置距y軸為若干cm？(A)2(B)6(C)7.5(D)8。
解： ＝ ＝ ＝6（cm）
＊（A）12.已知半圓片之重心至直徑的距離為 ，r為半徑，則 圓的重心距圓中心為(A) (B) (C) (D) 。
＊（A）8. 圓弧線之重心為(A) ＝ ＝ (B) ＝ ＝ (C) ＝0， ＝ (D) ＝0， ＝ 。
（D）9.一圓弧線半徑為r，其弧線所對之圓心角為（rad），則該弧線之形心位置至圓心的距離為(A) (B) (C) (D) 。
解： ＝
3－3面的重心之求法
＊（A）10.如圖（4）所示之斷面，x－x軸為形心軸，則d之距離為(A)2.2(B)2.4(C)2.6(D)2.8cm。
三 自我評量
一、選擇題題前標註＊，表示重要且常考的題目
3－1重心、形心與質量中心
（B）1.下列敘述何者不正確？(A)一段直線的重心為該直線之中點(B)一段圓弧線的重心為該段圓弧線之中點(C)一個圓的重心為該圓之圓心(D)物體的重心，不一定在物體內部或外部。
（C）2.物體重心位置的求法，一般都是應用(A)拉密定理(B)正弦定理(C)力矩原理(D)餘弦定理。
解：A1＝4×6＝24（cm2）
A2＝ ×4×3＝6（cm2）
A3＝6×2＝12（cm2）
y1＝2＋3＝5（cm）y2＝2＋ ＝3（cm）
y3＝ ＝1（cm）A＝A1－A2＋A3＝30（cm2）
∴ ＝ ＝3.8（cm）
（A）15.如圖（8）所示，I型平面之形心位置距離x軸約為若干？(A)5.5(B)8.5(C)14(D)7cm。