均值不等式常见题型整理

均值不等式

一、 基本知识梳理

1.算术平均值：如果a ﹑b ∈R +，那么 叫做这两个正数的算术平均值.

2.几何平均值：如果a ﹑b ∈R +，那么 叫做这两个正数的几何平均值

3.重要不等式：如果a ﹑b ∈R ，那么a 2+b 2

≥ (当且仅当a=b 时，取“=”) 均值定理：如果a ﹑b ∈R +，那么

2

a b

+≥ (当且仅当a=b 时，取“=”) 均值定理可叙述为： 4．变式变形：

()()()

()()()

22

2

2

1;2

2;

230;425a b ab a b b a ab a b

a b +≤

+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭

+≥>+⎛⎫

≤ ⎪⎝⎭

≤；

5.利用均值不等式求最值，“和定，积最大；积定，和最小”，即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值。 注意三个条件：“一正，二定，三相等”即：（1）各项或各因式非负；（2）和或积为定值； （3）各项或各因式都能取得相等的值。

6.若多次用均值不等式求最值，必须保持每次取“=”号的一致性。

有时为了达到利用均值不等式的条件，需要经过配凑﹑裂项﹑转化﹑分离常数等变形手段，创设一个应用均值不等式的情景。

二、 常见题型：

1、分式函数求最值，如果)(x f y =可表示为B x g A

x mg y ++

=)

()(的形式，且)(x g 在定义域内恒正或恒负，,0,0>>m A 则可运用均值不等式来求最值。

例：求函数)01(11

2>->+++=

a x x x ax y 且的最小值。 解：1

)1(11112++-+=++-+=+++=x a

a ax x x ax ax x x ax y

1212211

)1(=-+≥-+++

+=a a a x a

x a 当1

)1(+=

+x a

x a 即x=0时等号成立，1min =∴y

2、题在给出和为定值，求和的最值时，一般情况都要对所求式子进行变形，用已知条件进行代换，变形之后再利用均值不等式进行求最值。

例：已知19

1,0,0=+>>b

a b a 且

，求b a +的最小值。 解法一：169210991=+≥+++=+b

a

a b b a

思路二：由19

1=+b

a 变形可得,9,1,9)9)(1(>>∴=--

b a b a 然后将b a +变形。

解法二：16109210)9)(1(210)9()1(=+=+--≥+-+-=+b a b a b a 可以验证：两种解法的等号成立的条件均为12,4==b a 。

此类题型可扩展为：

设321a a a 、、均为正数，且m a a a =++321，求3

21111a a a S ++=

的最小值。 )111)((13

21321a a a a a a m S ++++=

)]()()(3[1

3

22331132112a a a a a a a a a a a a m ++++++=

m

m 9

)2223(1=+++≥

，等号成立的条件是321a a a ==。 3、题中所求的式子中带有根式，而且不能直接用均值不等式来求解，则可采用逆向思维来

求解，对不等式逆向转换，本类题型一般情况都给出来x 的取值范围，根据取值范围来进行逆向转换。 例：求函数]3,2

1

[,37∈-=

x x x y 的最小值。 思路：由于所给函数的形式为无理式，直接求解较困难，从所给区间]3,2

1

[∈x 入手，可得

一个不等式0)3)(21(≤--x x （当且仅当21

<

x 或3=x 时取等号），展开此式讨论即可。

解：,0)3)(2

1(≤--x x Θ即,372,03722

2-≤∴≤+-x x x x

,3

72,0x

x x -≤

∴>Θ得2m in =y 4、不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当0>ab 时，ab b a 22

2

≥+同时除以ab 得

2≥+b a a b 或b

a a

b -≥-11。

例：已知a,b,c 均为，求证：c b a a

c c b b a ++≥++2

22。 证明：c b a ,,Θ均为正数，a c a c c b c b b a b a -≥-≥-≥∴2,2,2222， c b a a c c b b a a

c c b b a ++=-+-+-≥++∴)2()2()2(2

22 总之，均值不等式是高中数学的重要内容之一，它是求多项式的最值以及函数的值域的常用方法。在应用均值不等式时，不论怎样变形，均需满足“一正二定三相等”的条件。 【巩固练习】

1、若,0,0>>b a 求函数b

ax x

y +=2

最值。 答案：ab ab y ab ab y 2,2max min =-= 2、求函数)0(1

32

<++=

x x x x

y 的值域。 答案：[-3，0] 3、已知正数y x ,满足,12=+y x 求

y

x 1

1+的最小值。答案：223+ 4、已知z y x ,,为正数，且2=++z y x ，求2111++=

y x S 的最小值。答案：2

9 5、若)0](,1

[>∈a b a x ，求x

b

x ab y -+=

)1(的最小值。答案：a

6、设c b a ,,为整数，求证：2

222c

b a b a

c a c b c b a ++≥+++++。

三、利用不等式解题的典型例题解析：

题型一：利用均值不等式求最值（值域）

例1、（1）已知0>x ，求x x x f 312

)(+=

的最小值 （2）已知3

34

)(的最大值 变式1： 1、若R x ∈，求x x x f +-=

3

4

)(的值域 2、函数()022>-=x x x y 的最大值为 变式2：1、已知0,0>>y x 且

19

1=+y

x ，求y x +的最小值