中考数学 直角三角形的边角关系 培优 易错 难题练习(含答案)含答案

中考数学直角三角形的边角关系培优易错难题练习(含答案)含答案

一、直角三角形的边角关系

1．在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=1

2

∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；

（2）通过观察、测量、猜想：BF

PE

=，并结合图2证明你的猜想；

（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求BF PE

的

值．（用含α的式子表示）

【答案】（1）证明见解析（2）

1

2

BF

PE

=（3）

1

tan

2

BF

PE

α

=

【解析】

解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，

∴OB="OP" ，∠BOC=∠BOG=90°．

∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO．∴∠GBO=∠EPO ．∴△BOG≌△POE（AAS）．

（2）BF1

PE2

=．证明如下：

如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，

∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB．

∵∠OBC=∠OCB =450，∴∠NBP=∠NPB．

∴NB=NP．

∵∠MBN=900—∠BMN，∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE．

∴△BMN ≌△PEN （ASA ）．∴BM=PE ．

∵∠BPE=12∠ACB ，∠BPN=∠ACB ，∴∠BPF=∠MPF ． ∵PF ⊥BM ，∴∠BFP=∠MFP=900． 又∵PF=PF ， ∴△BPF ≌△MPF （ASA ）．∴BF="MF" ，即BF=

12BM ． ∴BF=12PE ， 即BF 1PE 2

=． （3）如图，过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，

∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900．

由（2）同理可得BF=

12

BM ， ∠MBN=∠EPN ． ∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN ∽△PEN ． ∴BM BN PE PN

=． 在Rt △BNP 中，BN tan =

PN α， ∴BM =tan PE α，即2BF =tan PE α． ∴BF 1=tan PE 2

α． （1）由正方形的性质可由AAS 证得△BOG ≌△POE ．

（2）过P 作PM//AC 交BG 于M ，交BO 于N ，通过ASA 证明△BMN ≌△PEN 得到BM=PE ，通过ASA 证明△BPF ≌△MPF 得到BF=MF ，即可得出BF 1PE 2

=的结论． （3）过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，同（2）证得BF=

12BM ， ∠MBN=∠EPN ，从而可证得△BMN ∽△PEN ，由

BM BN PE PN =和Rt △BNP 中BN tan =PN α即可求得BF 1=tan PE 2

α．

2．如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB ，以AC 为直径的⊙O 分别交AB 、BC 于点M 、N ，点P 在AB 的延长线上，且∠CAB=2∠BCP ．

（1）求证：直线CP 是⊙O 的切线．

（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．

（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．

【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20

【解析】

试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；

（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．

试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ANC=90°，

∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，

∵∠CAB=2∠BCP，

∴∠BCP=∠CAN，

∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，

∵点D在⊙O上，

∴直线CP是⊙O的切线；

（2）如图，作BF⊥AC

∵AB=AC，∠ANC=90°，

∴CN=CB=，

∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，

∴sin ∠CAN=

， ∴

∴AC=5，

∴AB=AC=5， 设AF=x ，则CF=5﹣x ，

在Rt △ABF 中，BF 2=AB 2﹣AF 2=25﹣x 2，

在Rt △CBF 中，BF 2=BC 2﹣CF 2=2O ﹣（5﹣x ）2，

∴25﹣x 2=2O ﹣（5﹣x ）2，

∴x=3，

∴BF 2=25﹣32=16，

∴BF=4，

即点B 到AC 的距离为4．

考点：切线的判定

3．在Rt △ACB 和△AEF 中，∠ACB ＝∠AEF ＝90°，若点P 是BF 的中点，连接PC ，PE. 特殊发现：

如图1，若点E 、F 分别落在边AB ，AC 上，则结论：PC ＝PE 成立（不要求证明）． 问题探究：

把图1中的△AEF 绕点A 顺时针旋转．

(1)如图2，若点E 落在边CA 的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

(2)如图3，若点F 落在边AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

(3)记AC BC

＝k ，当k 为何值时，△CPE 总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说）

【答案】()1 PC PE =成立 ()2 ，PC PE =成立 ()3当k 为

33

时，CPE V 总是等边三角形

【解析】

【分析】