2021-2022学年江西省上饶市高二(上)期末数学试卷(文科)(附答案详解)
2021-2022学年江西省上饶市高二上学期期末质量检测数学(理)试题(解析版)
2021-2022学年江西省上饶市高二上学期期末质量检测数学（理）试题一、单选题1．为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为50的样本，则分段的间隔为（ ） A ．20 B ．25 C ．40 D ．50【答案】A【分析】根据系统抽样定义可求得结果． 【详解】分段的间隔为10002050= 故选：A2．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校男教师的人数为（ ）A ．167B ．137C ．123D ．113【答案】C【分析】根据图形分别求出初中部和高中部男教师的人数，最后相加即可.【详解】初中部男教师的人数为110×(1-70%)=33；高中部男教师的人数为150×60%=90， ∴该校男教师的人数为33+90=123. 故选：C.3．已知x 是[0,3]上的一个随机的实数，则使x 满足240x -≤的概率为（ ） A ．13B ．23C ．12D ．14【答案】B【分析】先解不等式得到x 的范围，再利用几何概型的概率公式进行求解. 【详解】由240x -≤得22x -≤≤，即[0,2]x ∈， 所以使x 满足240x -≤的概率为202303P -==-．4．由1，2，3，4，5五个数组成没有重复数字的五位数，其中1与2不能相邻的排法总数为（ ） A ．20 B ．36 C ．60 D ．72【答案】D【分析】先排3，4，5，然后利用插空法在4个位置上选2个排1，2. 【详解】先排3，4，5,,共有336A = 种排法，然后在4个位置上选2个排列1,2，有2412A = 种排法， 则1与2不能相邻的排法总数为61272⨯=种， 故选：D.5．如图，用随机模拟方法近似估计在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中阴影部分的面积，先产生两组区间[0,]e 上的随机数1231000,,,,x x x x 和1231000,,,,y y y y ，因此得到1000个点对(),(1,2,3,,1000)i i x y i =，再统计出落在该阴影部分内的点数为260个，则此阴影部分的面积约为（ ）A ．0.70B ．1.04C ．1.86D ．1.92【答案】D【分析】根据几何概型的概率公式即可直接求出答案.【详解】易知2S e =正，根据几何概型的概率公式，得2601000S S =阴正，所以2226013 1.92100050S e e ==≈阴. 故选：D.6．随机地向两个标号分别为1与2的格子涂色，涂上红色或绿色，在已知其中一个格子颜色为红色条件下另一个格子颜色也为红色的概率为（ ） A ．13B ．23C ．14D ．12【分析】根据古典概型的概率公式即可得出答案.【详解】在已知其中一个格子颜色为红色条件下另一个格子颜色有红色与绿色两种情况，其中一个格子颜色为红色条件下另一个格子颜色也为红色的情况有1种， 所以在已知其中一个格子颜色为红色条件下另一个格子颜色也为红色的概率为12. 故选：D.7．在某市第一次全民核酸检测中，某中学派出了8名青年教师参与志愿者活动，分别派往2个核酸检测点，每个检测点需4名志愿者，其中志愿者甲与乙要求在同一组，志愿者丙与丁也要求在同一组，则这8名志愿者派遣方法种数为（ ） A ．20 B ．14 C ．12 D ．6【答案】B【分析】分（甲乙）、（丙丁）再同一组和不在同一组两种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得；【详解】解：依题意甲乙丙丁四人再同一组，有222A =种；（甲乙），（丙丁）不在同一组，先从其余4人选2人与甲乙作为一组，另外2人与丙丁作为一组，再安排到两个核酸检测点，则有224212C A =种，综上可得一共有21214+=种安排方法， 故选：B8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S 的值是（ ）A ．910B ．1011C ．1112D ．111【分析】模拟程序运行后,可得到输出结果,利用裂项相消法即可求出答案. 【详解】模拟程序运行过程如下: 0)1,0kS,判断为否,进入循环结构,1)110,2122S k =+==⨯,判断为否,进入循环结构, 2)11,3223S k =+=⨯,判断为否,进入循环结构, 3)111,422334S k =++=⨯⨯,判断为否,进入循环结构, …… 9)111,10223910S k =+++=⨯⨯,判断为否,进入循环结构, 10)1111,112239101011S k =++++=⨯⨯⨯,判断为是, 故输出1112231011S =+++⨯⨯111111101122310111111=-+-++-=-=, 故选:B.【点睛】本题主要考查程序框图,考查裂项相消法,难度不大.一般遇见程序框图求输出结果时,常模拟程序运行以得到结论. 9．已知随机变量X ，Y 满足()21,X N σ，()20,Y N σ~，且(0)0.2P X <=，则()21P Y <的值为（ ） A ．0.2 B ．0.3C ．0..5D ．0.6【答案】D【分析】利用正态分布的计算公式：2(,)XN μσ ，()b P X b μσ⎛⎫-≤=Φ ⎪⎝⎭()b a P a X b μμσσ⎛⎫⎛⎫--<≤=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】21),(X N σ~ 且(0)0.2P X <=01110.2σσ⎛⎫⎛⎫-∴Φ=-Φ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10.8σ⎛⎫∴Φ= ⎪⎝⎭又20),(Y N σ~2111()(1)611120.P Y P Y σσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∴=-<=Φ-Φ=Φ-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭<<故选：D10．在40,220,4x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩条件下，目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为2，则35a b +的最小值是（ ） A ．20 B ．40 C ．60 D ．80【答案】C【分析】首先画出可行域，找到最优解，得到关系式作为条件，再去求35a b+的最小值. 【详解】画出40,220,4x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩的可行域，如下图：由22040x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得(2,2)M由40220x y x y --=⎧⎨-+=⎩得(10,6)N ；由4040x y x y --=⎧⎨+-=⎩得(4,0)P ；目标函数(0,0)z ax by a b =+>>取最大值时必过N 点， 则1062a b +=则()3535925925533030260b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （当且仅当11,106a b ==时等号成立） 故选：C11．现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着A ､B ､C ､D ､E 五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（ ） A ．45B ．12C ．47D ．38【答案】D【分析】利用排列组合知识求出每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的情况个数，以及五人抽取五个礼物的总情况，两者相除即可.【详解】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有15C 种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有224222C CA 种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由3211C C 种情况，综上：共有22111425322245C C C C C A ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭种情况，而五人抽五个礼物总数为55120A =种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为4531208=. 故选：D12．设10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，随机变量X 的分布列如下表所示，随机变量Y 满足21Y X =+，则当a 在10,2⎛⎫⎪上增大时，关于()D Y 的表述下列正确的是（ ）A ．()D Y 增大B ．()D Y 减小C ．()D Y 先增大后减小 D ．()D Y 先减小后增大 【答案】A【分析】先求得参数b ，再去依次去求()E X 、()D X 、()D Y ，即可判断出()D Y 的单调性.【详解】由+()1a b a b -+=得12b =则11()1()3222E X a a =⨯-+⨯=-，222211()(02)(12))(32)3122D X a a a a a a a =-++-+-+-+⨯=-++（由21Y X =+得2()(21)4(34(132))D Y D X D a X -+=-+==a 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上增大时, ()D Y 增大.故选：A 二、填空题13．设变量x ，y 满足约束条件0,20,30.y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩则2z x y =+的最大值为___________.【答案】6【分析】根据线性约束条件画出可行域，把目标函数转化为2y x z =-+，然后根据直线2y x z =-+在y 轴上截距最大时即可求出答案.【详解】画出可行域，如图，由2z x y =+，得2y x z =-+，由图可知，当直线2y x z =-+过点()3,0时，2z x y =+有最大值，且最大值为6. 故答案为：6.14．某校开展“读书月”朗诵比赛，9位评委为选手A 给出的分数如右边茎叶图所示.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后算得平均分为91，复核员在复核时发现有一个数字（茎叶图中的x ）无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是___________.选手A8 7 8 9 9 9 2 4 x 1 5【答案】4【分析】根据题意分5x ≤和5x >两种情况讨论，再根据平均分公式计算即可得出答案. 【详解】解：当5x ≤时，则去掉的最低分数为87分，最高分数为95分， 则88898992949190917x +++++++=⨯， 所以4x =，当5x >时，则去掉的最低分数为87分，最高分数为90x +分， 则平均分为888989929491956389177++++++=≠，与题意矛盾，综上4x =. 故答案为：4.15．4(2)x y z +-展开式中2x yz 的系数是___________. 【答案】24-【分析】根据二项展开式的通项公式，可知()42x y z +-展开式中含2x 的项，以及()22y z -展开式中含yz 的项，再根据组合数的运算即可求出结果.【详解】解：由题意可得，()42x y z +-展开式中含2x 的项为()()222422262C x y z x y z -=-，而()22y z -展开式中含yz 的项为()1224C y z yz -=-，所以2x yz 的系数为24-. 故答案为：24-.16．有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为___________. 【答案】3589【分析】由题意可分为5步、6步、7步、8步、9步、10步共6种情况，分别求出每种的基本事件数，再利用古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：由题意可分为5步、6步、7步、8步、9步、10步共6种情况，①5步：即5步两阶，有551C =种；②6步：即4步两阶与2步一阶，有2615C =种；③7步：即3步两阶与4步一阶，有3735C =种；④8步：即2步两阶与6步一阶，有2828C =种；⑤9步：即1步两阶与8步一阶，有199C =种； ⑥10步：即10步一阶，有10101C =种；综上可得一共有89种情况，满足7步登完楼梯的有35种；故7步登完楼梯的概率为3589故答案为：3589三、解答题17．2021年7月29日，中国游泳队获得了女子4200⨯米自由泳接力决赛冠军并打破世界纪录.受奥运精神的鼓舞，某游泳俱乐部组织100名游泳爱好者进行自由泳1500米测试，并记录他们的时间（单位：分钟），将所得数据分成5组：[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65]，整理得到如图所示的频率分布直方图.(1)求出直方图中m 的值；(2)利用样本估计总体的思想，估计这100位游泳爱好者1500米自由泳测试时间的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）. 【答案】(1)0.022 (2)40.9 ，40.75【分析】（1）利用频率之和也即各矩形的面积和为1即可求解. （2）利用平均数和中位数的计算方法求解即可. (1)由10(0.0050.0400.0250.008)1m ⨯++++= ， 可得0.022m = . (2) 平均数为：200.05300.22400.40500.25600.0840.9x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ， 设中位数为n ，则0.050.22(35)0.040.5n ++-⨯= ， 解得40.75n = .18．城南公园种植了4棵棕榈树，各棵棕榈树成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活棕榈树的株数，数学期望83E ξ=.(1)求p 的值并写出ξ的分布列；(2)若有2棵或2棵以上的棕榈树未成活，则需要补种，求需要补种棕榈树的概率. 【答案】(1)23p =，ξ的分布列见解析； (2)1127. 【分析】（1）根据二项分布知识即可求解；（2）将补种棕榈树的概率转化为成活的概率，结合概率加法公式即可求解. (1)由题意知，()4,B p ξ，又843E p ξ==，所以23p =，故未成活率为21133-=，由于ξ所有可能的取值为0,1,2,3,4，所以()400412103381P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()311412813381P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222423821237P C ξ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭=⎝⎭， ()1334123233381P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()0444121643381P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ξ的分布列为(2)记“需要补种棕榈树”为事件A ，由（1）得，()()18811281812727P A P ξ=≤=++=， 所以需要补种棕榈树的概率为1127. 19．在二项式nx ⎛⎝展开式中，第3项和第4项的二项式系数比为310.(1)求n 的值及展开式中的常数项；(2)求展开式中系数最大的项是第几项. 【答案】(1)12n =，常数项为55128(2)5【分析】（1）求出二项式的通项公式，求出第3项和第4项的二项式系数，再利用已知条件列方程求出n 的值，从而可求出常数项，（2）设展开式中系数最大的项是第1r +项，则11121211121211221122rr r r r r r r C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，从而可求出结果 (1)二项式nx ⎛ ⎝展开式的通项公式为43112r rn r r n r r r n n T C x C x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 因为第3项和第4项的二项式系数比为310， 所以23310n n C C =，化简得23103n n C C =，解得12n =，所以412311212rr r r T C x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，令41203r -=，得9r =，所以常数项为99121552128C ⎛⎫=⎪⎝⎭ (2)设展开式中系数最大的项是第1r +项，则11121211121211221122rr r r r r r r C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩， 1322(1)12r r r r-≥⎧⎨+≥-⎩，解得101333r ≤≤， 因为*r N ∈，所以4r =，所以展开式中系数最大的项是第5项20．为让“双减”工作落实到位，某中学积极响应上级号召，全面推进中小学生课后延时服务，推行课后服务“52+”模式，开展了内容丰富､形式多样､有利于学生身心成长的活动.该中学初一共有700名学生其中男生400名､女生300名.为让课后服务更受欢迎，该校准备推行体育类与艺术类两大类活动于2021年9月在初一学生中进行了问卷调查.(1)调查结果显示：有34的男学生和23的女学生愿意参加体育类活动，其他男学生与女学生都不愿意参加体育类活动，请完成下边22⨯列联表.并判断是否有95%的把握认为愿意参加体育类活动与学生的性别相关？(2)在开展了两个月活动课后，为了了解学生的活动课情况，在初一年级学生中按男女比例分层抽取7名学生调查情况，并从这7名学生中随机选择3名学生进行展示，用X表示选出进行展示的3名学生中女学生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.【分析】（1）根据初一男生数和女生数，结合有34的男学生和23的女学生，愿意参加体育类活动求解；计算2K的值，再与临界值表对照下结论；（2）根据这7名学生中男生有4名，女生有3名，随机选择3名由抽到女学生的人数X可能为0,1,2,3，分别求得其概率，列出分布列，再求期望.(1)解：因为初一共有700名学生其中男生400名､女生300名，且有34的男学生和23的女学生，所以愿意参加体育类活动的男生有300名，女生有200名，则22⨯列联表如下：22700(300100200100) 5.83 3.841500200400300K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为愿意参加体育类活动与学生的性别相关； (2)这7名学生中男生有4名，女生有3名，随机选择3名学生进行展示， 抽到女学生的人数X 可能为0,1,2,3，所以()()3021434333774180,13535C C C C p X p X C C ======， ()()1203434333771212,33535C C C C p X p X C C ======, 所以随机变量X 的分布列如下：()41812190123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 21．2021年国庆期间，某电器商场为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种，方案一：每消费满8千元，可减8百元.方案二：消费金额超过8千元（含8千元），可抽取小球三次，其规则是依次从装有2个红色小球､2个黄色小球的一号箱子，装有2个红色小球､2个黄色小球的二号箱子，装有1个红色小球､3个黄色小球的三号箱子各抽一个小球（这些小球除颜色外完全相同），其优惠情况为：若抽出3个红色小球则打6折；若抽出2个红色小球则打7折；若抽出1个红色小球则打8折；若没有抽出红色小球则不打折.(1)若有两名顾客恰好消费8千元，他们都选中第二方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率；(2)若你朋友在该商场消费了1万元，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案. 【答案】(1)247256(2)选择方案二更划算【分析】（1）要使方案二比方案一优惠，则需要抽出至少一个红球，求出没有抽出红色小球的概率，再根据对立事件的概率公式即可得出答案；（2）若选择方案一，则需付款100008009200-=（元），若选择方案二，设付款金额为X 元，则X 可取6000，7000，8000，10000，求出对应概率，从而可求得X 的期望，在比较X 的期望与9200的大小即可得出结论. (1)解：根据题意得要使方案二比方案一优惠，则需要抽出至少一个红球， 设没有抽出红色小球为事件A ，则()223344416P A =⨯⨯=，所以所求概率()()232471116256P P A P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭；(2)解：若选择方案一，则需付款100008009200-=（元）， 若选择方案二，设付款金额为X 元， 则X 可取6000，7000，8000，10000，()2211600044416P X ==⨯⨯=，()2232212215700044444444416P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()2232232217800044444444416P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()31000016P X ==， 故X 的分布列为所以()1573600070008000100007937.516161616E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元），因为92007937.5>， 所以选择方案二更划算.22．某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本y （元）与生产该产品的数量x （千件）有关，经统计得到如下数据： x 12345678y 56.5 31 22.75 17.8 15.95 14.5 13 12.5根据以上数据绘制了散点图观察散点图，两个变量间关系考虑用反比例函数模型by a x=+和指数函数模型dx y ce =分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为0.19548.376x y e -=，ln y 与x 的相关系数10.929r =-.(1)用反比例函数模型求y 关于x 的回归方程；(2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.001），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；(3)根据企业长期研究表明，非原料成本y 服从正态分布()2,N μσ，用样本平均数y 作为μ的估计值μ，用样本标准差s 作为σ的估计值σ，若非原料成本y 在(,)μσμσ-+之外，说明该成本异常，并称落在(,)μσμσ-+之外的成本为异样成本，此时需寻找出现异样成本的原因.利用估计值判断上述非原料成本数据是否需要寻找出现异样成本的原因？参考数据（其中1i u x =）： u2u821ii u=∑81ii y=∑821ii y=∑81i ii u y=∑0.611545.555⨯ 193.194 0.34 0.115 1.53 184 5777.555 93.06 30.70513.9参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋯，其回归直线ˆˆˆya bx =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-，相关系数()()niix x y y r --=∑【答案】(1)506y x=+(2)反比例函数模型拟合效果更好，产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元， (3)见解析 【分析】（1）令1u x =，则by a x=+可转化为y a bu =+，求出样本中心，回归方程的斜率，转化求回归方程即可， （2）求出y 与1x的相关系数2r ，通过比较12,r r ，可得用反比例函数模型拟合效果更好，然后将10x =代入回归方程中可求结果（3）利用已知数据求出样本标准差s ，从而可得非原料成本y 服从正态分布()223,13.9N ，再计算(,)μσμσ-+，然后各个数据是否在此范围内，从而可得结论 (1) 令1u x =，则by a x =+可转化为y a bu =+， 因为184238y ==， 所以8228121893.0680.3423ˆ501.5380.348i ii i i u y u ybu u==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑，所以ˆˆ23500.346ay bu =-=-⨯=，所以650y u =+， 所以y 关于x 的回归方程为506y x=+ (2)y 与1x的相关系数为()()82iiu u y y r --=∑88i iu y u y-=∑30.50.99330.705==≈因为12r r <，所以用反比例函数模型拟合效果更好，把10x =代入回归方程得5061110y =+=（元）， 所以产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元 (3) 因为184238y ==，所以23μ=，因为样本标准差为13.9s ===≈=， 所以13.9σ=，所以非原料成本y 服从正态分布()223,13.9N ，所以()()(,)2313.9,2313.99.1,36.9μσμσ-+=-+=因为56.5在(,)μσμσ-+之外，所以需要此非原料成本数据寻找出现异样成本的原因。
2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：圆与圆的位置关系(附答案解析)
2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：圆与圆的位置关系【考点梳理】考点一：两圆的位置关系及其判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r 1，r 2，两圆连心线的长为d ，则两圆的位置关系如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d 与r 1，r 2的关系d >r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d <|r 1－r 2|(2)代数法：设两圆的一般方程为C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0(D 21＋E 21－4F 1>0)，C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0(D 22＋E 22－4F 2>0)，联立方程得x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含【题型归纳】题型一：判断圆与圆的位置关系1．（2021·佛山市南海区狮山高级中学高二月考）已知圆221:23460C x y x y +--+=，222:60C x y y +-=，则两圆的位置关系为（）A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切2．（2021·南昌市豫章中学高二开学考试（文））已知圆221:(1)(2)9O x y -++=，圆222:(2)(1)16O x y +++=，则这两个圆的位置关系为（）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内含3．（2021·安徽（理））圆1C ：221x y +=与圆2C ：()224310x y k x y +++-=（k ∈R ，0k ≠）的位置关系为（）A ．相交B ．相离C ．相切D ．无法确定题型二：圆与圆的位置关系求参数范围4．（2021·南京市第十三中学高二开学考试）若圆22:5O x y +=与圆()221:()20O x m y m R -+=∈相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是（）A ．22B ．92C ．4D ．325．（2020·黑龙江农垦佳木斯学校高二开学考试）若两圆2222450x y ax y a +-++-=和2222230x y x ay a ++-+-=有3条公切线，则a =（）A ．1-或2-B ．1-或5-C ．2-或2D ．5-或26．（2021·四川凉山·高二期末（文））已知圆221:1C x y +=和圆()()2222:20C x y r r +-=>，若圆1C 和2C 有公共点，则r 的取值范围是（）A ．(]0,1B ．(]0,3C ．[]1,3D ．[)1,+∞题型三：圆与圆的位置求圆的方程7．（2020·南昌县莲塘第一中学高二月考（理））圆()()22341x y -+-=关于直线0x y +=对称的圆的方程是（）A ．()()22341x y ++-=B ．()()22341x y -+-=C ．()()22431x y ++-=D ．()()22431x y +++=8．（2020·全国高二课时练习）过点(2,2)M -以及圆2250x y x -=+与圆222x y +=交点的圆的方程是（）.A ．22151042x y x +--=B ．22151042x y x +-+=C ．22151042x y x ++-=D ．22151042x y x +++=9．（2019·江西赣州市·南康中学高二月考）已知半径为1的动圆与定圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25B ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝3或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15C ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝9D ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9题型四：圆的公共弦长问题（参数、弦长问题）10．（2021·浙江温州市·）圆221:260O x y x y +-+=和圆222:60O x y x +-=的公共弦AB 的垂直平分线方程是（）A ．2330x y -+=B ．2350x y --=C ．3290x y --=D ．3270x y -+=11．（2021·全国高二专题练习）垂直平分两圆222620x y x y +-++=，224240x y x y --++=的公共弦的直线方程为（）A ．3430x y --=B ．4350x y ++=C ．3490x y ++=D ．4350x y -+=12．（2021·石泉县石泉中学高二开学考试（理））设圆1C ：()()22119x y -+-=和圆2C ：()()22124x y +++=交于A ，B 两点，则线段AB 的垂直平分线所在直线的方程为（）A ．3210x y --=B ．3210x y -+=C ．2330x y +-=D ．2340x y ++=题型五：圆的共切线问题13．（2021·安徽池州市·高二期末（理））若圆221:2440C x y x y +---=，圆222:61020C x y x y +---=，则1C ，2C 的公切线条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．414．（2021·浙江绍兴市·高二期末）已知圆()221:2C x y m ++=与圆()222:8C x m y -+=恰有两条公切线，则实数m 的取值范围是（）A ．13m <<B ．11m -<<C ．3m >D ．3<1m -<-或13m <<15．（2021·安徽滁州市·定远二中高二开学考试）两个圆221:240C x y x y +-+=与2222:245200C x y mx my m +-++-=的公切线恰好有2条，则m 的取值范围是（）．A ．()2,0-B ．()()2,02,4-C ．()2,4D ．()(),04,-∞+∞ 题型六：圆与圆位置关系的综合类问题16．（2021·江苏高二课时练习）已知圆C 满足：圆心在直线0x y +=上，且过圆221:210240C x y x y +-+-=与圆222:2280C x y x y +++-=的交点A ，B .（1）求弦AB 所在直线的方程；（2）求圆C 的方程.17．（2020·安庆市第二中学）已知圆C 的圆心C 在x 轴上，且圆C 与直线30x y n ++=切于点33(,)22．（1）求n 的值及圆C 的方程：（2）若圆222:(15)(0)M x y r r +-=>与圆C 相切，求直线320x y -=截圆M 弦长．【双基达标】一、单选题18．（2021·南昌市豫章中学高二开学考试（理））已知圆221:4240C x y x y ++--=，2223311:222C x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则这两圆的公共弦长为（）A ．2B ．22C ．2D ．119．（2021·河南商丘市·（文））已知圆221:4O x y +=与圆222:60O x x y ++=相交于点A ，B ，则四边形12AO BO 的面积是（）A ．423B ．22C ．42D ．82320．（2021·全国）过点()0,4M -作直线l 与圆22:2660C x y x y ++-+=相切于A 、B 两点，则直线AB 的方程为（）A ．230x y -+=B ．7180x y -+=C ．2550x y -+=D ．2550x y ++=21．（2021·安徽省岳西县店前中学高二期末（文））已知圆22:20M x y ay +-=（0a >）截直线0x y +=所得线段的长度为22，则圆M 与圆22:61240N x y x y +---=的位置关系是（）A ．内切B ．外切C ．相交D ．相离22．（2021·江苏高二课时练习）已知圆22:2440A x y x y +---=，圆22:2220B x y x y +++-=，则两圆的公切线的条数是（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条23．（2020·浙江台州市·高二期中）已知圆C ：222245200()x y mx my m m R +-++-=∈上存在两个点到点(1,2)A -的距离为5，则m 可能的值为（）A ．5B ．1C ．1-D ．3-24．（2021·全国）已知圆221:20C x y kx y +-+=与圆222:20C x y ky ++-=的公共弦所在直线恒过点(),P a b ，且点P 在直线20mx ny --=上，则mn 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．1,14⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦25．（2021·安徽池州·高二期末（文））若圆221:2440C x y x y +---=与圆222:8120()C x y x y m m R +--+=∈外切，则m =（）A ．36B ．38C ．48D ．5026．（2021·内蒙古包头市·高二月考（理））已知()()1,0,1,0A B -，圆C ：()()22234x y R -+-=（0R >），若圆C 上存在点M ，使90AMB ∠=︒，则圆C 的半径R 的范围是（）A ．46R ≤≤B ．2542R ≤≤C ．442R ≤≤D ．256R ≤≤27．（2021·重庆）若221:(1)(2)4C x y -+-= 与222:()()4(,)C x a y b a b R -+-=∈ 有公共点，则2224a b a b +--的最大值为（）A ．9B ．10C ．11D ．12【高分突破】一：单选题28．（2021·贵溪市实验中学高二月考）若圆C 与圆22(2)(1)1x y ++-=关于原点对称，则圆C 的方程是（）A ．22(2)(1)1x y -++=B ．22(2)(1)1x y -+-=C ．22(1)(2)1x y -++=D ．22(1)(2)1x y ++-=29．（2020·安徽省蚌埠第三中学（理））已知圆()()228x a y a -+-=上总存在两个点到原点的距离为2，则a 的取值范围为（）A ．11a -<≤B ．33a -≤<C ．31a -≤≤-或13a ≤≤D ．31a -<<-或13a <<30．（2021·江西吉安·白鹭洲中学）若圆22:60,(0,0)M x y ax by ab a b +++--=>>平分圆22:4240N x y x y +--+=的周长，则2a b +的最小值为（）A ．8B ．9C ．16D ．2031．（2020·九龙坡区·重庆市育才中学高二月考）若圆C 的圆心在直线40x y --=上，且经过两圆22460x y x +--=和22460x y y +--=的交点，则圆C 的圆心到直线3450x y ++=的距离为（）A ．0B ．85C ．2D ．18532．（2020·重庆万州区·万州外国语学校天子湖校区）圆()()221:114C x y +++=和圆()()2224:23C x y -+-=的公切线的条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．433．（2020·宁城县蒙古族中学高二月考（理））若圆()221:0O x y m m +=>与圆222:86240O x y x y +-+-=有公共点，则实数m 的取值范围为（）A ．()4,144B ．[]4,144C ．[]4,49D ．(]4,14434．（2020·江西省吉水中学高二月考（理））已知圆221:0C x y kx y +--=和圆222:210C x y ky +--=的公共弦所在的直线恒过定点M ，且点M 在直线2mx ny +=上，则22m n +的最小值为（）A ．15B ．55C ．255D ．4535．（2020·南昌市·江西师大附中（文））已知圆1O 的方程为()2216x y ++=，圆2O 的圆心坐标为()2,1．若两圆相交于,A B 两点，且AB 4=，则圆2O 的方程为()A ．()()22216x y -+-=B ．()()222122x y -+-=C ．()()22216x y -+-=或()()222122x y -+-=D ．()()222136x y -+-=或()()222132x y -+-=36．（2020·化州市第一中学高二月考）若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：()()22112x y +++=的周长，则12m n+的最小值为（）A ．92B ．9C ．6D ．3二、多选题37．（2021·全国高二专题练习）已知两圆221x y +=和22(4)()25x y a ++-=相切，则实数a =（）A ．213±B ．25±C ．0D ．以上均有可能38．（2021·全国高二期中）点P 在圆221:1C x y +=上，点Q 在圆222:68240C x y x y +-++=上，则（）A ．||PQ 的最小值为0B ．||PQ 的最大值为7C ．两个圆心所在的直线斜率为43-D ．两个圆相交弦所在直线的方程为68250x y --=39．（2021·全国高二专题练习）已知圆222:210C x ax y a -++-=与圆22:4D x y +=有且仅有两条公共切线，则实数a 的取值可以是（）A ．3-B ．3C ．2D ．2-40．（2021·重庆北碚区·西南大学附中）设m R ∈，过定点A 的动直线1:0l x my +=，和过定点B 的动直线23:0l mx y m --+=交于点P ，圆()()22:243C x y -+-=，则下列说法正确的有（）A ．直线2l 过定点(1，3)B ．直线2l 与圆C 相交最短弦长为2C ．动点P 的曲线与圆C 相交D ．|PA |+|PB |最大值为541．（2021·全国）已知圆221:1C x y +=，圆()()()2222:340C x y r r -++=>，则（）A ．若圆1C 与圆2C 无公共点，则04r <<B ．当=5r 时，两圆公共弦长所在直线方程为6810x y --=C ．当2r =时，P 、Q 分别是圆1C 与圆2C 上的点，则PQ 的取值范围为[]28,D ．当04r <<时，过直线268260x y r -+-=上任意一点分别作圆1C 、圆2C 切线，则切线长相等三、填空题42．（2021·南昌市豫章中学高二开学考试（文））两圆224210x y x y +-++=与22(2)(2)9x y ++-=的公切线有___________条.43．（2020·浙江台州市·高二期中）已知点Q 是圆221x y +=上任意一点，点(2,2)A -，点(6,4)B -，点P 满足2218PA PB +=，则PQ 的最小值为___________.44．（2021·上海高二专题练习）已知圆221:(4)(4)4C x y -+-=，圆222:(3)(5)2C x y -++=.若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆1C 和2C 的圆周，则圆C 的方程为______.45．（2021·台州市书生中学高二期中）已知实数x 、y 满足方程22410x y x +-+=．求：yx的取值范围为_______；y x -的最小值为________；22xy +的取值范围为__________.四、解答题46．（2021·安徽滁州市·明光市二中高二期末（理））已知圆221:(1)1C x y -+=与圆222:80C x y x m +-+=．（1）若圆1C 与圆2C 恰有3条公切线，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，若直线20x y n ++=被圆2C 所截得的弦长为2，求实数n 的值．47．（2020·山西高二期中）已知圆M ：22210240x y ax ay +-+-=，圆N ：222280x y x y +++-=．且圆M 上任意一点关于直线40x y ++=的对称点都在圆M 上．（1）求圆M 的方程；（2）证明圆M 和圆N 相交，并求两圆公共弦的长度l ．48．（2021·安徽省蚌埠第三中学（文））已知圆221:2280C x y x y +++-=与圆222:210240C x y x y +-+-=相交于A ､B 两点.（1）求公共弦AB 的长；（2）求圆心在直线y x =-上，且过A ､B 两点的圆的方程；（3）求经过A ､B 两点且面积最小的圆的方程.49．（2020·全国高二课时练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点()2,4P，圆22:4O x y+=与x轴的正半轴的交点是Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点,A B.（1）求AB的中点M的轨迹方程；（2）设点4,03N⎛⎫⎪⎝⎭，若133MN OM=，求QAB的面积.2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：圆与圆的位置关系【答案详解】1．D 【详解】由题设，221:(3)(2)1C x y -+-=，222:(3)9C x y +-=，∴1(3,2)C ，2(0,3)C ，则122C C =，又121,3r r ==，∴1221C C r r =-，故两圆内切.故选：D 2．C 【详解】解：根据题意，圆221:(1)(2)9O x y -++=，圆心1(1,2)O -，半径3R =，圆222:(2)(1)16O x y +++=，圆心2(2,1)O --，半径4r =，圆心距12||10O O =，有431043-<<+，则两圆相交；故选：C ．3．A 【详解】解：圆1C ：221x y +=的圆心1(0,0)C ，半径为11r =，由()224310x y k x y +++-=，得222325(2)()124x k y k k +++=+，所以圆2C 的圆心为23(2,)2C k k --，半径222514r k =+，所以2222121292525411444C C k k k r r k =+=<+=++，因为2225251144k k +>+（0k ≠），所以2225251144k k >+-，所以1221C C r r >-所以两圆相交．故选：A 4．C 【详解】由题意作出图形分析得：由圆的几何性质知：当两圆在点A 处的切线互相垂直时，切线分别过对方圆心O 、1O ，则在1Rt OAO △中，5OA =，120O A =，所以15O O =，斜边上的高为半弦，且1OO AB ⊥，则11111222AO O AB S O O OA O A =⋅=⋅ ，即55202AB ⋅=⋅，所以AB 4=.故选：C.5．D 【详解】将两圆方程分别整理为：()()2229x a y -++=和()()2214x y a ++-=，则两圆圆心分别为(),2a -和()1,a -，半径分别3和2；两圆有3条公切线，∴两圆外切，∴两圆圆心距()()221232d a a =++--=+，解得：5a =-或2.故选：D.6．C 【详解】由题意可知，圆1C 的圆心为()10,0C ，半径为1，圆2C 的圆心为()20,2C ，半径为r ，所以，122C C =，由于两圆有公共点，则1211r C C r -≤≤+，即1210r r r ⎧-≤≤+⎨>⎩，解得13r ≤≤.故选：C.7．D 【详解】由圆()()22341x y -+-=的圆心坐标为()3,4A ，而()3,4A 关于直线y x =-的对称点为()4,3A '--，∴以()4,3A '--为圆心，以1为半径的圆的方程为()()22431x y +++=．故选：D ．8．A 【详解】设所求的圆的方程为()2222520x y x x y λ+-++-=,把点(2,2)M -代入可得,()44524420λ+-⨯++-=,解得13λ=,所以所求圆的方程为22151042x y x +--=,故选:A 9．D 【详解】由圆A ：（x-5）2+（y+7）2=16，得到A 的坐标为（5，-7），半径R=4，且圆B 的半径r=1，根据图象可知：当圆B 与圆A 内切时，圆心B 的轨迹是以A 为圆心，半径等于R-r=4-1=3的圆，则圆B 的方程为：（x-5）2+（y+7）2=9；当圆B 与圆A 外切时，圆心B 的轨迹是以A 为圆心，半径等于R+r=4+1=5的圆，则圆B 的方程为：（x-5）2+（y+7）2=25．综上，动圆圆心的轨迹方程为：（x-5）2+（y+7）2=25或（x-5）2+（y+7）2=9．故选：D ．10．C 【详解】解：圆221:260O x y x y +-+=的圆心1(1,3)O -，圆222:60O x y x +-=的圆心2()3,0O ，所以12O O 的中点坐标为31(2+，30)2-+，即3(2,)2-，120(3)3312O O k --==-所以两圆的公共弦AB 的垂直平分线即是圆心12O O 所在的直线：33(2)22y x +=-，即3290x y --=，故选：C ．11．B 【详解】根据题意，圆222620x y x y +-++=，其圆心为M ，则(1,3)M -，圆224240x y x y --++=，其圆心为N ，则(2,1)N -，垂直平分两圆的公共弦的直线为两圆的连心线，则直线MN 的方程为313(1)12y x --+=-+，变形可得4350x y ++=；故选:B.12．A 【详解】由题意知：12(1,1),(1,2)C C --，且12C C 垂直平分AB ，∴线段AB 的垂直平分线所在直线必过12,C C ，故直线的方程为31(1)2y x -=-，整理得3210x y --=.故选：A 13．B 【详解】依题意，圆()()221:129C x y -+-=，圆心为()1,2，半径为3；圆()()222:3536C x y -+-=，圆心为()3,5，半径为6；因为()1249133,9C C =+=∈，故圆1C ，2C 相交，有2条公切线，故选：B.14．D 【详解】由题可得圆1C 的圆心为()0,m -，半径为2，圆2C 的圆心为()0m ,，半径为22， 两圆恰有两条公切线，∴两圆相交，12232C C ∴<<，()()2212002C C m m m =-+--= ，2232m ∴<<，解得3<1m -<-或13m <<.故选：D.15．B 【详解】两个圆化为标准方程可得()()22125x y -++=，()()22220x m y m -++=，圆1C 的圆心为()11,2C -，半径15r =，圆2C 的圆心为()1,2C m m -，半径225r =，圆心距22212(1)(22)5105C C m m m m =-+-+=-+，因为两圆的公切线恰好有2条，所以两圆相交，则22555105255m m -<+<+-，解得(2,0)(2,4)m ∈-⋃.故选：B16．（1）240x y -+=；（2）圆22:6680C x y x y ++-+=.【详解】（1）因为圆221:210240C x y x y +-+-=，圆222:2280C x y x y +++-=，且它们的交点为,A B ，故AB 的直线方程为：()2222210242280x y x y x y x y +-+--+++-=，整理得到AB 的直线方程为：240x y -+=.（2）设圆C 的方程的方程为：()22228240x y x y x y λ+++-+-+=，整理得到圆()()22:222840C x y x y λλλ++++--+=，故2,12C λλ+⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为C 在直线0x y +=上，故2102λλ+-+-=，故4λ=，故圆22:6680C x y x y ++-+=.17．（1）3n =-；()2211x y -+=.（2）外切，23；内切，219.【详解】（1）圆C 与直线30x y n ++=切于点33(,)22，点33(,)22在直线30x y n ++=上，则333022n +⨯+=，解得3n =-.圆C 的圆心C 在x 轴上，设圆心为()0m ,，半径为r ，则圆C 的方程为()222x m y r -+=，所以302332m -=-，解得1m =，13113r -==+，则圆C 的方程为()2211x y -+=.（2）根据题意，()1,0C ，()0,15M ，当两圆外切时，41CM r ==+，3r =当两圆内切时，41CM r ==-，=5r ，点M 到直线320x y -=的距离215632d -⨯==+，当两圆外切时，3r =，此时弦长22229623l r d =-=-=，当两圆内切时，=5r ，此时弦长2222256219l r d =-=-=.18．C 【详解】由题意知221:4240C x y x y ++--=，222:3310C x y x y ++--=，将两圆的方程相减，得30x y +-=，所以两圆的公共弦所在直线的方程为30x y +-=.又因为圆1C 的圆心为(2,1)-，半径3r =，所以圆1C 的圆心到直线30x y +-=的距离213222d -+-==.所以这两圆的公共弦的弦长为()2222223222r d -=-=.故选：C.19．C 【详解】由圆2O －圆1O 可得，直线:AB 64x =-，即23x =-，所以22822433AB ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，而123O O =，所以四边形12AO BO 的面积是121182342223S AB O O =⋅=⨯⨯=．故选：C ．20．B 【详解】圆C 的标准方程为()()22134x y ++-=，圆心为()1,3C -，半径为2，由圆的切线的性质可得MA AC ⊥，则()()22222=21034246MA MC -=--++-=，所以，以点M 为圆心、以MA 为半径的圆M 的方程为()22446x y ++=，将圆M 的方程与圆C 的方程作差并化简可得7180x y -+=.因此，直线AB 的方程为7180x y -+=.故选：B.21．A 【详解】圆M 的圆心为()0,M a ，半径为1,0r a a =>，圆心()0,M a 到直线0x y +=的距离为2a，所以22222222a a a ⎛⎫⎛⎫+=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()10,2,2M r =.圆N 的圆心为()3,6N ，半径27r =，215MN r r ==-，所以两个圆的位置关系是内切.故选：A 22．B 【详解】由圆22:2440A x y x y +---=可化为22(1)(2)9x y -+-=，可得圆心坐标为(1,2)A ，半径为3R =，由圆22:2220B x y x y +++-=可化为22(1)(1)4x y +++=，可得圆心坐标为(1,1)B --，半径为2r =，则圆心距为22(11)(21)13d AB ==+++=，又由5,1R r R r +=-=，所以R r AB R r -<<+，可得圆A 与圆B 相交，所以两圆公共切线的条数为2条.故选：B.23．C 【详解】以(1,2)A -为圆心，以15r =为半径的圆A ：()()22125x y -++=，圆C ：222245200()x y mx my m m R +-++-=∈圆心为(),2C m m -，半径225r =，圆心距()()2221225105AC m m m m =-+-+=-+，由题意可得两圆相交，即22555105255m m -<+<+-，解得()()2,02,4m ∈- .故选：C 24．A 【详解】解：由圆221 : 20C x y kx y +-+=，圆222:20C x y ky ++-=，得圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线方程为()220k x y y +--=，求得定点()1,1P -，又()1,1P -在直线20mx ny --=上，2m n +=，即2n m =-.∴()()2211mn m m m =-=--+，∴mn 的取值范围是(],1-∞.故选：A.25．C 【详解】依题意，圆221:(1)(2)9C x y -+-=，圆222:(4)(6)52C x y m -+-=-，故22(41)(62)523m -+-=-+，解得48m =，故选C ．26．A 【详解】由题意，点()()1,0,1,0A B -，因为90AMB ∠=︒，所以点M 在以AB 为直径的圆上，设AB 的中点为P 的坐标为(0,0)，2AB =，所以圆P 的方程为221x y +=，又由圆()()222:34C x y R -+-=的圆心为(3,4)，半径为R ，则5PC =，要使得圆C 上存在点M ，满足90AMB ∠=︒，则圆P 与圆C 由公共点，可得151R R -≤≤+，解得46R ≤≤,即圆C 的半径R 的范围是46R ≤≤.故选：A.27．C 【详解】根据题意，221:(1)(2)4C x y -+-= ，其圆心为(1,2)，半径2R =，222:()()4C x a y b -+-= ，其圆心为(,)a b ，半径2r =，两圆的圆心距222212(1)(2)245C C a b a b a b =-+-=+--+，若两圆有公共点，则1204C C R r +=，即2224516a b a b +--+，则有222411a b a b +--，则2224a b a b +--的最大值为11，故选：C 28．A 【详解】由于圆22(2)(1)1x y ++-=的圆心(2,1)C '-，半径为1，圆C 与圆22(2)(1)1x y ++-=关于原点对称，故(2,1)C -、半径为1，故圆C 的方程为：22(2)(1)1x y -++=，故选：A ．29．D 【详解】由圆的方程知：圆心为(),a a ，半径22r =，则圆心到原点的距离为2d a =，圆上总存在两个点到原点的距离为2，∴圆()()228x a y a -+-=与圆222x y +=相交，2222222a ∴-<<+，即2232a <<，解得：31a -<<-或13a <<.故选：D.30．A 【详解】两圆方程相减得，(4)(2)100a x b y ab +++--=，此为相交弦所在直线方程，圆N 的标准方程是22(2)(1)1x y -+-=，圆心为(2,1)N ，∴2(4)2100a b ab +++--=，121a b+=，∵0,0a b >>，∴12442(2)()4428b a b aa b a b a b a b a b+=++=++≥+⨯=，当且仅当4b a a b =即2,4a b ==时等号成立．故选：A ．31．C 【详解】设两圆交点为,A B ，联立2222460460x y x x y y ⎧+--=⎨+--=⎩得1111x y =-⎧⎨=-⎩或2233x y =⎧⎨=⎩，1AB k =，则AB 中点为()1,1，过AB 两点的垂直平分线方程为()112y x x =--+=-+，联立240y x x y =-+⎧⎨--=⎩得31x y =⎧⎨=-⎩，故圆心为()3,1-，由点到直线距离公式得334525d ⨯-+==故选：C 32．D 【详解】圆1C 的圆心为()11,1C --，半径为12r =，圆2C 的圆心为()22,3C ，半径为22r =，()()221212213154C C r r =+++=>+= ，所以，两圆外离.因此，圆1C 与圆2C 的公切线条数为4.故选：D.33．B 【详解】圆()221:0O x y m m +=>，圆心()10,0O ，半径1r m =圆222:86240O x y x y +-+-=，圆心()24,3O -，27r =125O O =，两圆有公共点则：757m m -≤≤+，4144m ≤≤故选:B 34．C 【详解】由圆221:0C x y kx y +--=和圆222:210C x y ky +--=，可得圆1C 和2C 的公共弦所在的直线方程为()()210k x y y -+-=，联立2010x y y -=⎧⎨-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，即点()2,1M 又因为点M 在直线2mx ny +=上，即22m n +=，又由原点到直线22x y +=的距离为22225521d ==+，即22m n +的最小值为255.故选：C.35．C 【详解】设圆()()()2222:210O x y r r -+-=>∴直线AB 的方程为：()()()222222116x y x y r -+---+=-，即244100x y r ++-=1O ∴到直线AB 距离22410144242r r d -+--==2264d ∴-=，解得：22d =()2214232r -∴=，解得：26r =或22∴圆2O 的方程为()()22216x y -+-=或()()222122x y -+-=故选：C 36．D 【详解】把圆2C ：()()22112x y +++=化为一般式，得22220x y x y +++=，又圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >），两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=.圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，()()12150m n ∴-+-++=，即()123,213m n m n +=∴+=.()112225331212121n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭()122152522333n m m n ⎛⎫≥+⨯=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.当且仅当2322m n n m mn +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立.12m n∴+的最小值为3.故选：D .37．BC 【详解】圆221x y +=的圆心为(0,0)，半径为1，圆22(4)()25x y a ++-=的圆心为(4,)a -，半径为5，若两圆相切，分两种情况讨论：当两圆外切时，有222(4)(15)a -+=+，解得25a =±；当两圆内切时，有222(4)(15)a -+=-，解得0a =，综合可得：实数a 的值为0或25±．故选：BC ．38．BC 【详解】解：根据题意，圆221:1C x y +=，其圆心1(0,0)C ，半径1R =，圆222:68240C x y x y +-++=，即22(3)(4)1x y -++=，其圆心2(3,4)C -，半径1r =，圆心距12||1695C C =+=，则||PO 的最小值为123C C R r --=，最大值为127C C R r ++=，故A 错误，B 正确；对于C ，圆心1(0,0)C ，圆心2(3,4)C -，则两个圆心所在的直线斜率404303k --==--，C 正确，对于D ，两圆圆心距125C C =，有122C C R r >+=，两圆外离，不存在公共弦，D 错误．故选：BC ．39．CD 【详解】圆C 方程可化为：()221x a y -+=，则圆心(),0C a ，半径11r =；由圆D 方程知：圆心()0,0D ，半径22r =；圆C 与圆D 有且仅有两条公切线，∴两圆相交，又两圆圆心距d a =，2121a ∴-<<+，即13a <<，解得：31a -<<-或13a <<，可知CD 中的a 的取值满足题意.故选：CD.40．ABC 【详解】A ：由230(1)(3)0l mx y m m x y --+=⇒-+-=：，有101330x x y y -=⎧⇒==⎨-=⎩，，所以直线过的定点为(1)3，，故A 正确；B ：由圆的标准方程可得圆心为4(2)C ，，半径3r =，直线2l 过的定点为3(1)B ，，当2l CB ⊥时所得弦长最短，则21CM l l k k ⋅=-，又2l k m =，1CM l k =，所以1m =-，得240l x y +-=：，则圆心到直线2l 的距离为2=22d =，所以弦长为：2222r d -=，故B 正确；C ：当0m =时，1203l x l y ==：，：，则点(03)P ，，此时点P 在圆C 外；当0m ≠时，由直线1l 得xm y=-，代入直线2l 中得点P 的方程为圆22135()()222N x y -+-=：，得13()22N ，，半径为10=2R ，所以圆心距3410=322NC r R <+=+，所以两圆相交.故C 正确；D ：由10(00)l x my A +=⇒：，，当0m =时，1203l x l y ==：，：，有12l l ⊥，当0m ≠时，11l k m=-，2l k m =，则1l k 21l k =-，所以12l l ⊥，又点P 是两直线的交点，所以PA PB ⊥，所以222=10PA PB AB +=，设ABP θ∠=，则10sin 10cos PA PB θθ==，，因为0PA PB ≥≥0，，所以[0]2πθ∈，，所以10(sin cos )25sin()254PA PB πθθθ+=+=+≤，故D 错误.故选：AB 41．BCD由题意，圆221:1C x y +=的圆心为()10,0C ，半径为11r =；圆()()()2222:340C x y r r -++=>的圆心为()23,4C -，半径为r ；则圆心距为()()221203045C C =-++=；A 选项，若圆1C 与圆2C 无公共点，则只需121C C r <-或121C C r >+，解得6r >或04r <<，故A 错；B 选项，若=5r ，则圆()()222:3425C x y -++=，由221x y +=与()()223425x y -++=两式作差，可得两圆公共弦所在直线方程为6810x y --=，故B 正确；C 选项，若2r =，则()()222:344C x y -++=，此时125213C C =>+=，所以圆1C 与圆2C 相离；又P 、Q 分别是圆1C 与圆2C 上的点，所以()12121212C C PQ C C -+≤≤++，即28PQ ≤≤，故C 选项正确；D 选项，当04r <<时，由A 选项可知，两圆外离；记直线268260x y r -+-=上任意一点为()00,M x y ，则20068260x y r -+-=，所以22100MC x y =+，()()222222200000000003468256825MC x y x y x y x y x y =-++=+-++=+-++222001x y r =++-，因此切线长分别为2222110011d MC x y =-=+-，222222001d MC r x y =-=+-，即12d d =，故D 正确；故选：BCD.42．3解：圆224210x y x y +-++=整理可得：22(2)(1)4x y -++=，可得圆心1C 的坐标为：(2,1)-，半径12r =；22(2)(2)9x y ++-=的圆心2C 坐标(2,2)-，半径23r =；所以圆心距221212||(22)(21)5C C r r =+++==+，所以可得两个圆外切，所以公切线有3条，故答案为：3．43．2【详解】设(),P x y ，由2218PA PB +=可得，()()()()2222226418x y x y ++-+++-=，化简得，()()22434x y ++-=，所以点P 的轨迹为圆，圆心坐标为()4,3-，点Q 在圆221x y +=上，两圆的圆心距为()2243521-+=>+，所以两圆相离，故PQ 的最小值为5212--=．故答案为：2．44．2236x y +=【详解】由题意，圆C 与圆1C 和圆2C 的公共弦分别为圆1C 和圆2C 的直径设圆C 的圆心为(,0)x ，半径为r ，则2222(4)(04)(3)(05)24x x -+-=-++++，解得：0x =，半径22(04)(04)46r =-+-+=，故圆C 的方程为2236x y +=，故答案为：2236x y +=.45．3,3⎡⎤-⎣⎦26--743,743⎡⎤-+⎣⎦圆22410x y x +-+=的标准方程为()2223x y -+=，圆心为()2,0，半径为3.设y k x =，可得0kx y -=，则直线0kx y -=与圆()2223x y -+=有公共点，则2231k k ≤+，解得33k -≤≤，则yx的取值范围为3,3⎡⎤-⎣⎦；设y x b -=，可得0x y b -+=，则直线0x y b -+=与圆()2223x y -+=有公共点，则232b +≤，解得2626b --≤≤-+，则y x -的最小值为26--；设()2220x y r r +=>，由于()220203-+>，则原点在圆()2223x y -+=外，因为圆222x y r +=与圆()2223x y -+=有公共点，圆心距为2d =，故323r r +≤≤-，解得2323r -≤≤+，故22743743x y -≤+≤+.即22xy +的取值范围为743,743⎡⎤-+⎣⎦.故答案为：3,3⎡⎤-⎣⎦；26--；743,743⎡⎤-+⎣⎦.46．（1）12m =；（2）1n =-或7n =-．【详解】解：（1）圆221:(1)1C x y -+=，圆心1(1,0)C ，半径11r =；圆222:(4)16C x y m -+=-，圆心2(4,0)C ，半径216r m =-．因为圆1C 与圆2C 有3条公切线，所以圆1C 与圆2C 相外切，所以1212C C r r =+，即3116m =+-，解得12m =．（2）由（1）可知，圆222:(4)4C x y -+=，圆心2(4,0)C ，半径22r =．因为直线20x y n ++=与圆2C 相交，弦长是2，所以圆心2C 到直线20x y n ++=的距离222232d r ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即|4|33n +=，解得1n =-或7n =-．47．解：（1）圆M ：22210240x y ax ay +-+-=的圆心为(),5M a a -，由已知可得直线40x y ++=经过圆心M ，所以540a a -+=，解得1a =，则有圆M 的方程为22210240x y x y +-+-=；（2）因为圆M 的圆心为()1,5M -，半径152r =，圆N 的圆心()1,1N --，半径210r =，所以()()22115125MN =++-+=，因为5210255210-<<+，所以圆M 和圆N 相交，又由22222102402280x y x y x y x y ⎧+-+-=⎨+++-=⎩，得两圆的公共弦所在直线方程为240x y -+=，所以M 到直线240x y -+=的距离1104355d ++==，所以22211504552r d ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得25l =，则圆M 和圆N 的公共弦的长度25l =．48．（1）由两圆方程相减即得240x y -+=，此为公共弦AB 所在的直线方程.圆心1(1,1)C --，半径110r =.1C 到直线AB 的距离为|124|55d -++==，故公共弦长221||225AB r d =-=.（2）圆心25(1,)C -，过1C ，2C 的直线方程为115111y x ++=-++，即230x y ++=.由230x y y x ++=⎧⎨=-⎩得所求圆的圆心为()3,3-.它到AB 的距离为|364|55d --+==，∴所求圆的半径为5510+=，∴所求圆的方程为22(3)(3)10x y ++-=.（3）过A ､B 且面积最小的圆就是以AB 为直径的圆，由240230x y x y -+=⎧⎨++=⎩，得圆心(2,1)-，半径5r =.∴所求圆的方程为22(2)(1)5++-=x y .49．解：（1）连接,OM OP ，取OP 中点E ，由圆的性质知，OM AB ⊥，所以在Rt OPM △中，25OP =，且为斜边，所以M 在以OP 为直径的圆上，圆心为()1,2，半径为5r =，所以点M 的轨迹为圆，圆心为()1,2E ，半径为5r =，方程为：()()22125x y -+-=；又因为M 在已知圆内部，故与圆O 联立方程组()()22224125x y x y ⎧+=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得两圆交点坐标为68,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，()2,0所以点M 的轨迹方程为()()22125x y -+-=，6,25x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，85y <.（2）设(),M x y ，由133MN OM =得：222241333x y x y ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭，整理得：22640x y x +++=，所以M 在圆22640x y x +++=上，结合（1），M 又在圆()()22125x y -+-=，6,25x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，85y <，故两圆联立方程组()()2222640125x y x x y ⎧+++=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得：()1,1M -，所以2OM =，22AB =，OM 的斜率为1OM k =-，1AB k =直线AB 方程为：2y x =+，所以Q 点到直线AB 的距离为：4222d ==，所以QAB 的面积为142S AB d =⋅⋅=。
江西省上饶市2020-2021学年高二上学期期末数学(理)试题
2
3
4
5பைடு நூலகம்
z
0
1
2
3
5
（Ⅰ）求z关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）用所求回归方程预测到2021年年底，该地储蓄存款额可达多少？
（附：对于线性回归方程 ，其中 ）
21．上饶市在某次高三适应性考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩近似服从正态分布 ，现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名学生的成绩全部介于85分到145分之间，现将结果按如下方式分为6组，第一组 ，第二组 ，…，第六组 ，得到如图所示的频率分布直方图：
参考公式与数据：
参考数据：
参考公式
，其中 .
20．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表1：
年份x
2011
2012
2013
2014
2015
储蓄存款y（千亿元）
5
6
7
8
10
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理， 得到下表2：
时间代号t
江西省上饶市2020-2021学年高二上学期期末数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若 ，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．一班有学员54人，二班有学员42人，现在要用分层抽样的方法从两个班中抽出一部分人参加4×4方队进行军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是( )
三、解答题
17．（请写出式子再写计算结果）有4个不同的小球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内：
2022——2023 学年第一学期期末教学质量监测 高二数学答案
2022——2023学年第一学期期末教学质量监测高二数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【答案】B，解得：，．故选B ． 2.【答案】A【解析】147369464639,27,339,327,13,9a a a a a a a a a a ++=++===== 所以公差为2- 3.【答案】C【解析】如图，连接ON ，MF 1，MF 2，由椭圆方程可得：a 2=81，则a =9 则由椭圆定义可得|MF 1|+|MF 2|=2a =18，所以|MF 2|=18－|MF 1|=18－2=16，因为O 是F 1F 2的中点， N 是MF 1的中点，则由中位线可得：ON =12|MF 2|=8，故答案为C4.【答案】C【解析】曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则b=2,-2k+b=0,解得k=1,b=2所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x ＋2， 所以f ′(1)＝1，f (1)＝1＋2＝3，因此，f ′(1)－f (1)＝1－3＝－25.【答案】B 6．【答案】A【解析】由函数的图象得到：当时，，是减函数； 当时，，是增函数； 当时，，是增函数；当时，，是减函数．由此得到函数的大致图象可以是A ．故选A ．7.【答案】D【解析】∵，，∴，，依次得，，，，，……，6x =152y =()y xf x =-'1x <-()0f x '<()f x 10x -<<()0f x '>()f x 01x <<()0f x '>()f x 1x >()0f x '<()f x ()y f x =11a =25a =3214a a a =-=4321a a a =-=-55a =-64a =-71a =85a =故是以为周期的周期数列，是以为周期的周期数列， ∴()20221236746740T a a a =++=，故选D ．8．【答案】D在上恒成立，故在当时，，故在上为减函数； 当时，，故在上为增函数；D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.【答案】BD【解析】两方程均化为标准方程为22149y x -=和22194x y -=，这里均有213c =，所以有相同的焦距，而焦点一个在x 轴上，另一个在y 轴上，所以A 错误，B 正确；又两方程的渐近线均为23y x =±，故D 正确．1C 的离心率e =2C 的离心率e =，故C 错误． 10.【答案】ABD【解析】① 由正方体的性质可知EF BD ⊥，EF BB '⊥，所以EF ⊥平面BDD B ''B ，又EF ⊂面MENF ，所以平面MENF ⊥平面BDD B ''，即平面MENF ⊥平面BDB '，所以①正确；② 在M N ，的运动过程中，当点M 和点B 重合时，四边形MENF 面积最大，此时MENF ，所以②正确；③ 当DB '⊥平面MENF 时，在平面BDD B ''中，DB ,DB MN '⊥,如图，设=QM x ，则222=+2OM x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,22232OB OQ B Q ''=+=,()221B M x '=+，在Rt OB M '∆中，222B M OM OB ''=+,所以{}n a 6{}n a 3()0,+∞()0,+∞()0,2x ∈()'0g x <()g x ()0,2()2,x ∈+∞()'0g x >()g x ()2,+∞1=2x ，所以12PN =，所以34DN DD '=，所以③错误； ④ 四棱锥A MENF -可以分解为N AEF -和M AEF -两个三棱锥，由于三棱锥N AEF -和M AEF -中底面AEF 的面积不变，点,M N 到面AEF 的距离不变，所以两个三棱锥的体积不变，所以四棱锥A MENF -的体积不变，所以④正确，故选ABD.11. 【答案】ABD【解析】过抛物线焦点的直线与抛物线相交，其主要结论有：当AB 与x 轴垂直时，AB 最小，∴A正确；112AF BF p+=，∴B 正确；212y y p =-，∴D 正确；以AB 为直径的圆与准线2px =-相切，∴C 错误，故选ABD. 12. 【答案】AD【解析】对于A ：()()1e 1xf x x '=++，令()()11x p x x e =++，则()()2xp x x e '=+，令()0p x '>，解得2x >-，令()0p x '<，解得2x <-，故()f x '在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，故()()2min 21e 0f x f -=-=-'>'，故()f x 在R 上单调递增，故函数()f x 在R 上无极值点，故A 正确；对于B ：()11ln g x x x '=++，令()11l n q x x x =++，则()21x q x x-'=，令()0q x '>，解得1x >，令()0q x '<，解得01x <<，故()g x '在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故()()min 120g x g ''==>，故()g x 在()0,+∞上单调递增，则函数()g x 在()0,+∞上无极值点，故B 错误；对于C ：由A 得()f x 在R 上单调递增，不等式()()2ln f ax f x >恒成立，则2ln ax x >恒成立，故2ln xa x>恒成立.设()2ln x h x x =，则()()221ln x h x x -'=，令()0h x '>，解得0x e <<，令()0h x '<，解得x e >，故()h x 在()0,e 上单调递增，在(),+e ∞上单调递减，故()()max 2h x h e e==，故2a e>，故C 错误； 对于D ：若()()()120f x g x t t ==>，则()()112211ln xx e x x t +=+=.由A ，B 可知函数()f x 在R 上单调递增，()g x 在()0,+∞上单调递增，∵0t >，∴1>0x ，21>x ，且12xx e =(同构)，当12x x e =时，()()()111121ln 1ln 11x x x e tx x x e ⎡⎤+⎣⎦=++，设()111x k x e =+，设()ln kF k k=，则()21ln kF k k-'=，令()0F k '>，解得0k e <<，令()0F k '<，解得k e >，故()F k 在()0,e 上单调递增，在(),+e ∞上单调递减，故()()max 1F k F e e==，此时 ()()112211ln x e x e x x =+=+，故()12ln 1t x x +的最大值为1e，故D 正确.故选AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江西省上饶市婺源县天佑中学2024-2025学年高二上学期十月月考数学试卷
江西省上饶市婺源县天佑中学2024-2025学年高二上学期十月月考数学试卷一、单选题1．已知直线l 经过点(()2,,3,0，则直线l 的倾斜角为（）A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π42．已知圆C ：()()22349x y -+-=，直线l ：230mx y m +--=．则直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为（）A ．B C ．D 3．点1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=，则椭圆C 方程可以是（）A ．221259x y +=B ．2212516x y +=C ．22169x y +=D ．221169x y +=4．已知圆()2221x y -+=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线交于,A B 两点，且1AB =，则该双曲线的离心率为（）A ．2BC ．13D ．135．已知点P 在抛物线25x y =-上，且()0,3A -，则PA 的最小值为（）A ．14B ．12C ．354D 6．已知直线l 交抛物线2:18C x y =-于,M N 两点，且MN 的中点为()3,2-，则直线l 的斜率为（）A ．3-B ．16-C ．19D ．13-7．在空间直角坐标系Oxyz 中，点(1,3,7)A -到Ozx 平面的距离为（）A ．1B ．3C ．7D8．已知平行六面体1111ABCD A B C D -的各棱长均为1，1160A AB A AD ∠=∠=︒，90DAB ∠=︒，则1AC = （）AB C D 1二、多选题9．已知点P 在圆22:(6)(5)16C x y -+-=上，直线:312l x y +=与x 轴､y 轴分别交于,A B 两点，则（）A ．直线l 与圆相离B ．点P 到直线l 的距离小于7C ．当∠PAB 最大时，PA =D ．以BC 为直径的圆与圆C 的公共弦所在直线的方程为6250x y +-=10．设平面直角坐标系中，椭圆22Γ:12x y +=的左焦点为1F ，且与抛物线2:4C y x =有公共的焦点2F ．若P 是抛物线C 上的一点，下列说法正确的是（）A ．椭圆Γ和抛物线C 存在交点B ．若()1,2P ，则直线1F P 与抛物线C 相切C ．若122F F PF =，则点P 坐标为()2,1±D ．若2190F PF ∠=︒，则点P 的横坐标为2-+11．下列说法正确的是（）A ．已知()()0,1,1,0,0,1a b ==- ，则a在b 上的投影向量为110,,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．若G 是四面体OABC 的底面ABC V 的重心，则()13OG OA OB OC=++C ．若214555OG OA OB OC =-+，则,,,A B C G 四点共面D ．若向量p mx ny kz =++（,,x y z 都是不共线的非零向量），则称p 在基底{},,x y z 下的坐标为(),,m n k ，若p 在单位正交基底{},,a b c 下的坐标为()1,2,3，则p在基底{},,ab a bc -+下的坐标为13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭三、填空题12．已知直线1:50l mx y +-=，2:340l x y --=，且直线1l 和2l 平行，则实数m 的值是.13．已知椭圆22221y x a b +=（0a b >>）的长轴长为4若A ，B 分别是椭圆的上、下顶点，1F ，2F 分别为椭圆的上、下焦点，P 为椭圆上任意一点，且12PA PB ⋅=- ，则12PF F 的面积为.14．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为()2,1,2,,12i P i = 分别为各棱的中点，则()1,2,,12i AC AP i ⋅=的不同值有个.四、解答题15．已知圆心为C 的圆经过点()1,4A ，()3,6B ，且圆心C 在直线340x y -=上．(1)求圆C 的方程：(2)已知直线l 过点()1,1且直线l 截圆C 所得的弦长为2，求直线l 的方程．(3)已知点()1,2M -，()3,4N -，且P 为圆C 上一动点，求22PM PN +的最小值．16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的实轴长为2，离心率为2，右焦点为F ，P 为C上的一个动点，(1)若点P 在双曲线C 右支上，在x 轴的负半轴上是否存在定点M ．使得2PFM PMF ∠=∠？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．(2)过P 作圆223:2O x y +=的两条切线12l l 、，若切线12l l 、分别与C 相交于另外的两点E 、G ，证明：E O G 、、三点共线．17．已知抛物线()2:20E y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)已知点(),0T t ，若E 上存在一点P ，使得1PO PT ⋅=-，求t 的取值范围；(3)过()4,0M -的直线交E 于A ，B 两点，过(N -的直线交E 于A ，C 两点，B ，C 位于x 轴的同侧，证明：BOC ∠为定值.18．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，12AA =，设1,,AB a AD b AA c === ．(1)试用,,a b c表示向量1AC BD 、；(2)若11120A AD A AB ︒∠=∠=，求点A 到直线1BD 的距离．19．如图，在正四棱锥P ABCD -中，底面ABCDAC 与BD 的交于点O ，2PO =，M 是PC 边上靠近P 的三等分点．(1)设AB a= ，AD b =，AP c = ，用a ，b ，c表示向量BM ；(2)在如图的空间直角坐标系中，求向量BM的坐标．。
2021-2022学年河南省新乡市高二(上)期中数学试卷(文科)(附详解)
2021-2022学年河南省新乡市高二（上）期中数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 数列23，45，69，817，1033，⋯的一个通项公式为( )A. a n =2n2n +1B. a n =2n+22n +1C. a n =n+12n+1−1D. a n =2n+22n+1+22. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b =4，A =π6，sinB =23，则a =( )A. 3B. 4C. 5D. 63. 已知M =a 2+a ，N =3a −1，则( )A. M <NB. M >NC. M ≤ND. M ≥N4. 设数列{a n }为等比数列，且a 2a 18=6a 7，则必有( )A. a 7=√6B. a 7=6C. a 12=6D. a 13=65. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin2A <0，则△ABC 的形状是( )A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 不确定6. 若各项均不为零的等差数列{a n }满足a 2=3a 1，则a5a 3=( )A. 95B. 53C. 75D. 737. 若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列选项中能使△ABC 有两解的是( )A. a =8，b =4，c =3B. A =40°，B =80°，c =6C. a =10，b =6，sinA =14D. b =8，c =4，C =30°8. 设数列{a n +n}是等比数列，且a 1=3，a 2=6，则a 8=( )A. 246B. 504C. 512D. 10149. 已知a =√c +1+√c +4，b =√c +2+√c +3，则( )A. a >b >1B. b >a >1C. a >1>bD. b >1>a10. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且bcosC =4sinA −2√3cosB ，c =2√3，a =4，则B =( )A. π6B. π4C. π3D. π211.2021年9月10日，小王开始读小学一年级，小王父母决定给他开一张银行卡，每月的16号存钱至该银行卡(假设当天存钱当天到账).用于小王今后的教育开支．2021年9月16日小王父母往卡上存入500元．以后每月存的钱数比上个月多100元，则他这张银行卡账上存钱总额(不含银行利息)首次达到100000元的时间为()A. 2024年11月16日B. 2024年12月16日C. 2025年1月16日D. 2025年2月16日12.已知正实数x，y满足2xy−2x−y=0.则12x−1+2y−1的最小值为()A. 2B. 2√2C. 4D. 4√2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x，y满足约束条件{x−y≥0x+y≤1y+1≥0，则z=2x−y的最小值为______．14.已知a>1，则4a+9a−1的最小值是______．15.在等差数列{a n}中．已知a1+a2+a3=16，a14+a15+a16=53，则{a n}的前16项和为______．16.雾灵山，位于河北承德市兴隆县内．雾灵山历史上曾称伏凌山、孟广硎山、五龙山，明代始称雾灵山．雾灵山主峰的海拔超过1000米，为了测量主峰的海拔，甲和乙分别在海拔都为1000米的A，B两点观测主峰的最高点P(PO与海拔1000米所在平面垂直，O为垂足，且A，B都在O的正东方向)，从A点和B点观测到P点的仰角分别为60°，50°，且AB=286米，则雾灵山主峰的海拔约为______米．(结果精确到整数，取√3=1.732，tan50°=1.2，286×√3×1.2=594.4)三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知(b−c)(sinB+sinC)=sinA(a−2csinB)．(1)求B；(2)若b=2，A=2B，求△ABC的周长．18.等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3+a5=26，S5=45．(1)求{a n}的通项公式；(2)若S n>240，求n的最小值．19.已知函数f(x)=x2+ax−3．(1)当a=2时，求不等式f(x)<0的解集；(2)若关于x的不等式f(x)<3的解集为(−3,2)，求关于x的不等式ax2+(a+b)x+b>0的解集．20.已知某种大型气垫船的最大航速是68海里/小时，该船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比，若船速为40海里/小时，则船每小时的燃料费用为1800元，其余费用(不论船速为多少)都是每小时800元，甲、乙两地相距80海里，船从甲地匀速航行到乙地．记该船从甲地到乙地所需的总费用为y(元)，船速为x(海里/小时)．(1)试把y表示为x的函数；(2)当船速(海里/小时)为多少时，船从甲地到乙地所需的总费用最少？最少费用为多少元？21.如图，在△ABC中，∠ACB=π2，BC=√2，延长AB至D，使得∠ADC=π6．(1)若BD=2，求△ABC的面积；(2)求△BCD面积的取值范围．22.在数列{a n}中，a1=1，a n−a n−1=2n−1−1(n≥2)．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=a n+n−1a n a n+1，记数列{b n}的前n项和为S n，证明：S n<1．答案和解析1.【答案】A【解析】解：分子为偶数，即为2n ，分母为2n +1， 则数列23，45，69，817，1033，⋯的一个通项公式为a n =2n2n +1． 故选：A ．由题意，根据分子，分母的变化规律，求出该数列的通项公式． 本题主要考查数列的通项公式的求法，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：在△ABC 中，由正弦定理有a sinA =bsinB ， 所asin π6=423，解得a =3．故选：A ．由正弦定理可求解．本题考查正弦定理，属基础题．3.【答案】D【解析】解：∵M =a 2+a ，N =3a −1， ∴M −N =a 2+a −3a +1=(a −1)2≥0， 故选：D ．作差即可比较大小关系．本题考查了作差法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：因为数列{a n }为等比数列，且a 2a 18=6a 7，所以a 12q 18=6a 1q 6，因为q ≠0，所以a1q12=6，即a13=6．故选：D．由已知结合等比数列的通项公式即可直接求解．本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：在△ABC，∵A∈(0,π)，∴sinA>0，又sin2A=2sinAcosA<0，∴cosA<0，∴A为钝角，∴△ABC为钝角三角形，故选：A．在△ABC，由sin2A=2sinAcosA<0，可得A为钝角，从而得到答案．本题考查三角形的形状判断，考查二倍角的正弦的应用，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=3a1，∴a1+d=3a1≠0，化为：d=2a1，∴a5a3=a1+4da1+2d=9d15a1=95，故选：A．利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：对于A，∵a=8，b=4，c=3，∴△ABC有一解；对于B，A=40°，B=80°，则C=60°，又c=6，故△ABC有一解；对于C，△ABC中，a=10>6=b，由大边对大角，可知，B<A，且B为锐角，∵sinA=1，∴A为锐角或钝角，因此△ABC有两解；4=1⇒B=90°，对于D，△ABC中，b=8>4=c，C=30°，由正弦定理可得sinB=bsinCc可知，△ABC有一解；故选：C．由已知结合正弦定理及三角形中的结论：“大边对大角”分别检验各选项即可判断．本题主要考查了正弦定理及三角形中的“大边对大角”结论在三角形中解的个数的应用，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：因为数列{a n+n}是等比数列，且1+a1=4，2+a2=8，故公比q=2，则8+a8=4⋅27=512，所以a8=504．故选：B．由已知结合等比数列的性质先求出公比，然后结合通项公式可求．本题主要考查了等比数列的通项公式，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：∵c+1≥0，∴c+4≥3，c+3≥2，∴a=√ c+1+√c+4>1，b=√c+2+√c+3>1，∵a2=2c+5+2√ c2+5c+4，b2=2c+5+2√c2+5c+6，又c2+5c+4−(c2+5c+6)=−2<0，∴√ c2+5c+4<√c2+5c+6，∴a<b，∴b>a>1．故选：B．利用作差法和平方法即可求出．本题考查了不等式的大小比较，考查了转化与运算能力，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：由bcosC=4sinA−2√3cosB，c=2，a=4，得bcosC=asinA−ccosB，由正弦定理和两角和公式，可得sinBcosC=sinAsinA−sinCcosB，所以sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，所以sin(B+C)=sinAsinA，所以sinA=sinAsinA，又sinA≠0，所以sinA=1，所以A=π2，所以b=√a2−c2=2，所以sinB=24=12，又0<B<π2，所以B=π6．故选：A．由bcosC=4sinA−2√3cosB，c=2，a=4，得bcosC=asinA−ccosB，再运正弦定理边化角可求得A=π2，从而可求B．本题考查正弦定理边化角各三角恒等变换，属中档题．11.【答案】C【解析】解：由题可知，小王父母从2021年9月开始，每月所存钱数依次成首项为500，公差为100的等差数列，其前n项和为500n+100n(n−1)2=50n2+450n，令50n2+450n≥100000，即n2+9n≥2000，∵402+9×40<2000，412+9×41>2000，∴第41个月的16号存完钱后，他这张银行卡账上存钱总额(不含银行利息)首次达到100000元，故2025年1月16日他这张银行卡账上存钱总额(不含银行利息)首次达到100000元．故选：C．根据已知条件，结合等差数列的前n项和公式，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握等差数列的前n 项和公式是解本题的关键，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：∵2xy −2x −y =0， ∴12x−1+2y−1=4x+y−32xy−2x−y+1=4x +y −3，由2xy −2x −y =0，可得2−2y −1x =0，即1x +2y =2， ∴4x +y =12(4x +y)(1x+2y)=12(6+yx+8x y)≥12(6+2√8)=3+2√2，当且仅当y x=8x y时，等号成立， ∴最小值为2√2． 故选：B ．首先通分化简，再利用巧用“1”的方法求解基本不等式即可． 本题主要考查了基本不等式的运用，属于基础题．13.【答案】−1【解析】解：由约束条件件{x −y ≥0x +y ≤1y +1≥0，作出可行域如图，联立{y =−1x +y =0，解得A(−1,−1)，化目标函数z =2x −y 为y =2x −z ，由图可知，当直线y =2x −z 过A 时，直线在y 轴上的截距最大， z 有最小值为−1．故答案为：−1．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14.【答案】16【解析】解：∵a>1，∴4a+9a−1=4a−4+9a−1+4≥2√4×9+4=16，当且仅当4a−4=9a−1时，等号成立，∴最小值为16，故答案为；16．把原式构造成4a−4+9a−1+4，在运用基本不等式即可求解．本题主要考查了基本不等式的运用，属于基础题．15.【答案】184【解析】解：因为等差数列{a n}中，a1+a2+a3=16，a14+a15+a16=53，所以a1+a2+a3+a14+a15+a16=3(a1+a16)=69，所以a1+a16=23，则{a n}的前16项和为S=8(a1+a16)=184．故答案为：184．由已知结合等差数列的性质可求a1+a16，然后结合等差数列的求和公式可求．本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．16.【答案】2117【解析】【分析】先根据题意作出图形如图所示，设PO=x，表示出OA，OB，根据题意得√3x−1.2x=√3×1.2×286=594.4，求解即可．本题考查解三角形，属基础题． 【解答】解：根据题意作出图形如图所示，PO ⊥OB ，∠PAO =60°，∠PBO =50°， 设PO =x ，在△POA 中，可得OA =xtan∠PAO =xtan60∘=√3， △POB 中，可得OB =xtan∠PBO =xtan50∘=x 1.2，所以x1.2√3=286，所以√3x −1.2x =√3×1.2×286=594.4， 所以1.732x −1.2x =594.4，所以x ≈1117，所以雾灵山主峰的海拔约为1117+1000=2117． 故答案为：2117．17.【答案】解：(1)因为(b −c)(sinB +sinC)=sinA(a −2csinB)，所以由正弦定理可得(b −c)(b +c)=a(a −2csinB)，整理可得a 2+c 2−b 2=2acsinB ， 又由余弦定理可得a 2+c 2−b 2=2accosB ， 所以sinB =cosB ，可得tanB =1， 又B ∈(0,π)， 所以B =π4．(2)因为B =π4，b =2，A =2B =π2，C =π−A −B =π4， 所以c =b =2，a =√b 2+c 2=√4+4=2√2， 所以△ABC 的周长a +b +c =2+2+2√2=2√2+4．【解析】(1)由正弦定理化简已知等式可得a 2+c 2−b 2=2acsinB ，根据余弦定理，同角三角函数基本关系式可求得tanB =1，结合范围B ∈(0,π)，可求B 的值． (2)由已知可求A ，利用三角形的内角和定理可求C 的值，利用勾股定理可求a 的值，即可得解△ABC 的周长的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的内角和定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.【答案】解：(1)设{a n }的公差为d ，则{2a 1+6d =26,5a 1+10d =45,解得{a 1=1,d =4,故a n =a 1+(n −1)d =4n −3．(2)由(1)可知，S n =na 1+n(n−1)d2=2n 2−n ，由二次函数的性质知S n 单调递增， 因为S 11=231，S 12=276，所以当n ≥12时，S n >240，故n 的最小值为12．【解析】(1)利用等差数列通项公式和前n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n }的通项公式．(2)由等差数列的首项和公差，求出前n 项和公式，由此能求出结果．本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：(1)a =2时，求不等式f(x)<0即为x 2+2x −3<0，解得x ∈(−3,1)；(2)∵关于x 的不等式x 2+ax −3<3即x 2+ax −6<0的解集为(−3,2)可知方程x 2+ax −6=0的解集为{−3,2}，∴−3+2=−a ，解得a =1，∴关于x 的不等式ax 2+(a +b)x +b >0即为x 2+(1+b)x +b >0，可化为(x +1)(x +b)>0， 当b =1时，解集为{x|x ≠−1}，当b >1时，解集为{x|x <−b 或x >−1}， 当b <1时，解集为{x|x <−1或x >−b}．【解析】(1)a =2时，求不等式f(x)<0即为x 2+2x −3<0，解得x ∈(−3,1)； (2)由关于x 的不等式f(x)<3的解集为(−3,2)求得a 值，然后可求得关于x 的不等式ax 2+(a +b)x +b >0的解集．本题考查一元二次不等式解法，考查数学运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)设每小时的燃料费用为E ，则E =ax 2，∵船速为40海里/小时，则船每小时的燃料费用为1800元， ∴1800=402×a ，解得a =98，即E =98x 2， ∵从甲地到乙地所需的时间为80x 小时， ∴y =98x 2⋅80x+800⋅80x=90x +64000x，∵该船的最大航速是68海里/小时， ∴0<x ≤68， 故y =90x +64000x(0<x ≤68)．(2)由(1)可知，y =90x +64000x(0<x ≤68)，90x +64000x≥2√90x ⋅64000x=4800，当且仅当90x =64000x，即x =803时，等号成立，故当船速为803海里/小时时，船从甲地到乙地所需的总费用最少，最少费用为4800元．【解析】(1)设每小时的燃料费用为E ，则E =ax 2，结合船速为40海里/小时，则船每小时的燃料费用为1800元，解得a =98，即E =98x 2，再根据甲地到乙地所需的时间为80x 小时，即可求解．(2)根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式公式是解本题的关键，属于中档题．21.【答案】解：(1)在△BCD 中，∠BDC =∠ADC =π6，由正弦定理有BC sin∠BDC =BDsin∠BCD ，又BC =√2，BD =2，所以sin∠BCD =BDsin∠BDCBC=√22， 因为∠BCD 为锐角，所以∠BCD =π4，所以∠ABC =∠BCD +∠BDC =5π12，在Rt △ABC 中，BC =√2，∠ABC =5π12，则AC =BCtan∠ABC =2√2+√6， 故S △ABC =12AC ⋅BC =2+√3；(2)在Rt △ABC 中，设∠ABC =θ，则∠CBD =π−θ，∠BCD =θ−π6， 在△BCD 中，由正弦定理有BCsin∠BDC =BDsin∠BCD ，得BD =2√2sin(θ−π6)，所以S △BCD =12BC ⋅BDsin∠CBD =12×√2×2√2sin(θ−π6)sinθ=2sinθsin(θ−π6)， =2sinθ(√32sinθ−12cosθ)=√3sin 2θ−sinθcosθ=√32−(12sin2θ+√32cos2θ)=√32−sin(2θ+π3)，由∠BCD =θ−π6，得θ>π6，又θ为锐角， 所以θ∈(π6,π2)，2θ+π3∈(2π3,4π3)，所以sin(2θ+π3)∈(−√32,√32)，故△BCD面积的取值范围为(0,√3).【解析】(1)由正弦定理有BCsin∠BDC =BDsin∠BCD，可得sin∠BCD=√22，得∠BCD=π4，从而求得AC=BCtan∠ABC=2√2+√6，可求面积；(2)设∠ABC=θ，正弦定理可求得BD=2√2sin(θ−π6)，从而S△BCD=12BC⋅BDsin∠CBD=√32−sin(2θ+π3)，由θ的范围可求得面积的范围．本题考查解三角形在平面几何中的应用，熟练掌握正余弦定理、两角差的正弦公式和辅助角公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)∵a1=1，a n−a n−1=2n−1−1(n≥2)，∴a1=1，a2−a1=21−1，a3−a2=22−1，......a n−a n−1=2n−1−1(n≥2)．累加得：a n=1+2+22+...+2n−1−(n−1)=1×(1−2n)1−2−n+1=2n−n，验证a1=1成立，则a n=2n−n；证明：(2)b n=a n+n−1a n a n+1=2n−n+n−1(2n−n)(2n+1−n−1)=12n−n−12n+1−n−1，∴S n=b1+b2+b3+...+b n=(121−1−122−2)+(122−2−123−3)+...+(12n−n−12n+1−n−1)=121−1−12n+1−n−1=1−12n+1−n−1．∵n≥1时，2n+1>n+1，∴12n+1−n−1>0，则S n=1−12n+1−n−1<1．【解析】(1)由已知数列递推式，利用累加法求数列的通项公式；(2)利用裂项相消法求和，即可证明S n<1．本题考查数列不等式的证明，训练了利用累加法求数列的通项公式，考查裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．。
2021-2022学年江西省高一(上)第二次模拟选科联考数学试卷(附答案详解) (1)
2021-2022学年江西省高一（上）第二次模拟选科联考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合M={x|−2<x<2}，N={−2,0,1}，则M∩N=()A. {0,1}B. {−2,0}C. {−2,0,1}D. {x|−2<x<2}2.“x2>4”是“x≥4”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件3.函数f(x)=x3+x−1在下列哪个区间内有零点？()A. (−1,0)B. (1,2)C. (0,1)D. (2,3)4.已知幂函数f(x)=mxα的图象过点(2,8)，则m+α=()A. 0B. 2C. 4D. 55.已知m=2.1−0.2，n=0.2−2.1，p=log2.10.2，则()A. m<n<pB. p<m<nC. m<p<nD. p<n<m6.已知函数f(x)=x3+x+1，f(a)=7，则f(−a)=()A. 2B. 0C. −5D. −67.已知b<a<0，则下列不等式一定成立的是()A. 1b <1aB. bc4<ac4C. b+ca+c<baD. 1a+b<1b+a8.物理学中，声衰减是声波在介质中传播时其强度(声强)随着传播距离的增加而逐渐减弱的现象，划分为几何衰减、散射衰减和吸收衰减三种类型．声波的散射衰减和吸收衰减都遵从指数规律，即声强I(单位：瓦/平方米)与传播距离x(单位：米)之间有如下的函数关系：I=I0e−αx，其中I0为初始声强，α为声波的衰减系数，且α>0.若某声波传播3米时，声强减小了40%，则声强减小80%时，传播距离大约为() (参考数据：ln3≈1.1，ln5≈1.6)A. 8.5米B. 9.0米C. 9.6米D. 10.2米二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列命题正确的是()A. {1,3,5}={5,3,1}B. 集合{(0,0)，(1,1)}的真子集个数是4C. 不等式x2−6x+5<0的解集是{x|1<x<5}D. 2x−1x+3≥0的解集是{x|x≤−3或x≥12}10.已知函数f(x)=|ln|x+a||，则其图象可能是()A.B.C.D.11.下列说法正确的是()A. f(x)=|x|是偶函数B. g(x)=2x−12x+1是奇函数C. ℎ(x)=√x−2+√2−x是偶函数D. p(x)=ln(e x+1)−12x是奇函数12.已知函数f(x)=2x+3x+4，则下列叙述正确的是()A. f(x)的值域为(−∞,−4)∪(−4,+∞)B. f(x)在区间(−∞,−4)上单调递增C. f(x)+f(−8−x)=4D. 若x ∈{x|x >−4,x ∈Z}，则f(x)的最小值为−3三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)=√2−x +log 3(x +1)的定义域为______．14. (19)−12−(√2×√34)4÷6+e ln3=______．15. 超市对某种原价55元每箱的酸奶进行促销活动，促销方案如表所示，若顾客甲买该酸奶共用去360元，则顾客甲共购买酸奶______箱．16. 已知函数g(x)=x 2−4x −1+m ⋅2|x−2|+|x −2|有唯一零点，则实数m =______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设全集U =R ，集合A ={x|2x 2−9x +4≤0}，B ={x|2−a <x <a}．(1)当a =2时，求∁U (A ∪B)； (2)若A ∩B =A ，求实数a 的取值范围．18. 已知函数g(x)=ax +bx 满足g(1)=g(4)=5．(1)求a ，b 的值；(2)用单调性定义证明：g(x)在(2,+∞)上单调递增．19.产品的总成本与原料成本、运费及存储保管所需费用(简称仓储费)有密切关系．某企业上半年分数次共购进600吨生产原料，且每次均购进原料x吨(0<x≤600).据前期测算分析，运费为每次2万元，总仓储费为3x万元．设该企业上半年的运费与总仓储费之和为y．(1)求y关于x的表达式；(2)每次购进多少吨原料，可以使该企业上半年的运费与总仓储费之和最小？最小为多少万元？20.给出条件①f(x)的最小值为0，②f(x)≥0.从这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题．已知函数f(x)=x2−2ax+2．(1)若命题：“∀x∈R，____.”为真命题，求实数a的取值集合；(2)若f(x)在区间[0,2]内恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．21.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=−29x +t3x−1(t∈R)．(1)求f(x)的解析式；(2)若∃x∈[1,+∞)，使得f(x)<0，求实数t的取值范围．22.已知函数f(x)=ln(k−x)−ln(1+x)满足f(0)=0，其中k为常数．(1)对∀x1，x2∈(−1,1)，证明：f(x1)+f(x2)=f(x1+x21+x1x2)；(2)是否存在实数m，n∈(−1,1)，使得f(m+n1+mn )=200，且f(m−n1−mn)=100？若存在，求出f(m)，f(n)的值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合M={x|−2<x<2}，N={−2,0,1}，∴M∩N={0,1}．故选：A．利用交集定义直接求解．本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：因为x2>4，则x>2或x<−2，则“x2>4”不能推出“x≥4”；若“x≥4”则“x2>4”一定成立，故选：B．先求出x2>4的不等式的解，然后根据四个条件的定义即可判断求解．本题考查了四个条件的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：∵f(x)=x3+x−1，函数是增函数，f(−1)=−3<0，∴f(0)=−1<0，f(1)=1+1−1=1>0，则在区间(0,1)内一定存在零点，故选：C．根据函数零点存在的条件即可得到结论．本题主要考查函数零点的判断，根据函数零点的判断条件，只要判断函数端点的符号是否相反即可．4.【答案】C【解析】解：由幂函数的定义可知m=1，又∵幂函数f(x)的图象过点(2,8)，∴2α=8，∴α=3，∴m+α=4，故选：C．由幂函数的定义可知m=1，再把点(2,8)代入函数解析式求出α的值，从而得到m+α的值．本题主要考查了幂函数的定义，是基础题．5.【答案】B【解析】解：∵0<2.1−0.2<2.10=1，0<m<1，∵0.2−2.1>0.20=1，∴n>1，∵log2.10.2<log2.11=0，∴p<0，∴p<m<n，故选：B．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．6.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)=x3+x+1，∴f(a)=a3+a+1=7，∴a3+a=6，∴f(−a)=(−a)3+(−a)+1=−a3−a+1=−6+1=−5．故选：C．先把x=a代入求得a3+a=6，再把x=−a代入可得答案．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用．7.【答案】D【解析】解：b <a <0，对于A ，取a =−1，b =−2，得到1b >1a ，故A 错误； 对于B ，取c =0得，bc 4=ac 4，故B 错误； 对于C ，取c =0，得b+ca+c =ba ，故C 错误； 对于D ，∵b <a <0，∴(1a+b)−(1b+a)=1a−1b+b −a =b−a ab+b −a =(b −a)(1ab+1)<0，∴1a +b <1b +a ，故D 正确． 故选：D ．取a =−1，b =−2，判断A ；取c =0，判断BC ；利用作差法判断D ．本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】C【解析】解：∵声波传播3米时，声强减小了40%， ∴I 0e −3α=(1−40%)I 0，即e −3α=35，当声强减小80%时，I 0e −αx =(1−80%)I 0，即e −αx =15， 则(e −αx )3=(15)3，∵(e −αx )3=(e −3α)x ，则(35)x =(15)x ， ∴ln(35)x =ln(15)x ，即xln 35=3ln 15，∴x(ln3−ln5)=−3ln5， ∵ln3−ln5≠0， ∴x =−3ln5ln3−ln5≈−3×1.61.1−1.6=9.6 (米)．故选：C ．由声波传播3米时，声强减小了40%，可得I 0e −3α=(1−40%)I 0，即e −3α=35，当声强减小80%时，可得I 0e −αx =(1−80%)I 0，即e −αx =15，则(e −αx )3=(15)3，再结合对数函数的公式，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．9.【答案】AC【解析】解：A.由集合的定义知{1,3,5}={5,3,1}成立，故A 正确， B .{(0,0)，(1,1)}有两个元素，则真子集的个数为22−1=3个，故B 错误， C .由x 2−6x +5<0得1<x <5，即不等式的解集为{x|1<x <5}，故C 正确， D .由2x−1x+3≥0得x ≥12或x <−3，即不等式的解集为{x|x <−3或x ≥12}，故D 错误， 故选：AC ．根据条件，分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，根据条件分别进行判断是解决本题的关键，是中档题．10.【答案】ABD【解析】解：当a =0时，f(x)=|ln|x||，由f(x)=lnx 的图象作关于y 轴对称，再把x 轴下方图象关于x 轴对称翻到上方可得D 正确；当a =−3时，由f(x)=|ln|x||的图象向右平移3个单位可得A 正确； 当a =3时，由f(x)=|ln|x||的图象向左平移3个单位可得B 正确； C 图象对应的函数的解析式为f(x)=|lnx|，故C 错误； 故选：ABD ．根据函数解析式进行分类讨论，再结合图象特征可得答案． 本题考查了图象变换中的翻折变换，是基础题．11.【答案】AB【解析】解：对于A ，f(x)=|x|的定义域为R ，满足f(−x)=f(x)，f(x)是偶函数，故A 正确； 对于B ，∵g(−x)=2−x −12−x +1=1−2x 2x +1=−2x −12x +1=−g(x)，其定义域为R ，∴g(x)=2x −12x +1是奇函数，故B 正确；对于C ，由{x −2≥02−x ≥0得x =2，ℎ(x)的定义域为{2}，不关于原点对称，即ℎ(x)不是偶函数，故C 错误；对于D ，p(−x)=ln(e −x +1)−12(−x)=ln(e x +1)−x +12x =ln(e x +1)−12x =p(x)，且其定义域为R ，故p(x)为偶函数，故D 错误； 故选：AB ．利用函数奇偶性的定义对四个选项逐一分析即可．本题考查函数的奇偶性的性质与判断，掌握奇偶函数的定义是答题的关键，考查推理能力与运算能力，属于中档题．12.【答案】BCD【解析】解：函数f(x)=2x+3x+4=2(x+4)−5x+4，A .f(x)的值域为(−∞,2)∪(2,+∞)，故错误；B .f(x)在区间(−∞,−4)上单调递增，故正确；C .f(x)+f(−8−x)=2x+3x+4+2x+13x+4=4，故正确；D .因为x ∈{x|x >−4,x ∈Z)，则f(x)的最小值为f(−3)=−3，故正确； 故选：BCD ． 将函数转化为f(x)=2x+3x+4=2(x+4)−5x+4=2−5x+4，再逐项判断．本题考查分式函数的图象和性质，是基础题．13.【答案】(−1,2]【解析】解：要使原函数有意义，则{2−x ≥0x +1>0，解得−1<x ≤2．∴函数f(x)=√2−x +log 3(x +1)的定义域为(−1,2]． 故答案为：(−1,2]．由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0，联立不等式组求解． 本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．14.【答案】4【解析】解：原式=3−212×4×314×4÷6+3=3−4×3÷6+3=3−2+3=4， 故答案为：4．利用有理数指数幂的运算性质求解．本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，是基础题．15.【答案】8【解析】解：设顾客甲购买了x 箱酸奶， 因为共花去360元， 所以x >6，所以52×2+48×2+40(x −4)=360，解得x =8， 故顾客甲共购买酸奶8箱． 故答案为：8．设顾客甲购买了x 项牛奶，由题意可得，52×2+48×2+40(x −4)=360，即可求解． 本题主要考查函数的实际应用，属于基础题．16.【答案】5【解析】解：当x ≥2时，g(x)=x 2−4x −1+m ⋅2x−2+x −2=x 2−3x −3+m ⋅2x−2，当x <2时，g(x)=x 2−4x −1+m ⋅22−x +2−x =x 2−5x +1+m ⋅22−x ， 当m >0时，y =x 2−3x −3+m ⋅2x−2在[2,+∞)单调递增，且y min =m −5；y =x 2−5x +1+m ⋅22−x 在(−∞,2)上单调递减，且在x =2处对应的函数值为m −5， 所以g(x )min =g(2)=m −5,要使g(x)只有一个零点，则m −5=0，即m =5； 当m =0时，g(x)={x 2−3x −3(x ≥2)x 2−5x +1(x <2)，∵g(2)=−5<0，故g(x)有两个零点，不满足题意； 当m <0时，g(2)=m −5<0，不满足g(x)=0只有一个解； 综上所述m =5． 故答案为：5．先根据x≥2和x<2去绝对值，再分m>0，m=0，m<0讨论即可．本题考查了函数的零点和分类讨论思想，分类情况较为复杂，难点在于找到g(x)=0只一个解，属于中档题．17.【答案】解：集合A={x|2x2−9x+4≤0}={x|(2x−1)(x−4)≤0}={x|12≤x≤4}，(1)若a=2，则B={x|0<x<2}，所以A∪B={x|0<x≤4}，故∁U(A∪B)={x|x≤0或x>4}；(2)若A∩B=A，则A⊆B，则有{2−a≤12a≥4，解得a≤4，综上所述，实数a的取值范围为[4,+∞)．【解析】(1)先求出集合A，B，然后由集合补集以及并集的定义求解即可；(2)根据A∩B= A，判断出集合A是集合B的子集，列出a的关系式，求解参数a的范围即可．本题考查了集合的补集与交集、并集的运算，涉及了一元二次不等式的解法、属于基础题．18.【答案】解：(1)函数g(x)=ax+bx满足g(1)=g(4)=5，则有{a+b=54a+b4=5，解可得{a=1b=4，则g(x)=x+4x，(2)证明：由(1)的结论，g(x)=x+4x，设2<x1<x2，则g(x1)−g(x2)=(x1+4x1)−(x2+4x2)=(x1−x2)(x1x2−4x1x2)，又由2<x1<x2，则x1−x2<0，x1x2−4>0，故g(x1)−g(x2)<0，则函数g(x)在(2,+∞)上单调递增．【解析】(1)根据题意，由函数的解析式可得{a+b=54a+b4=5，解可得答案；(2)根据题意，利用作差法分析可得答案．本题考查函数解析式和单调性的证明，关键是求出a 、b 的值，属于基础题．19.【答案】解：(1)每次购买x 吨，则上半年需要购买600x次，则总运费为600x×2=1200x万元，由已知得，上半年的总存储费用为3x 万元， 则y =1200x+3x ，0<x ≤600，且600x∈N ∗，∵0<x ≤600， ∴y =1200x+3x ，0<x ≤600，且600x∈N ∗；(2)y =1200x+3x ≥2√1200x⋅3x =120 (万元)，当且仅当1200x=3x ，即x =20吨时，y 取得最小值，故每次购进20吨原料，可以使该企业上半年的运费与总仓储费之和最小，最小为120万元．【解析】(1)设每次购买x 吨，则上半年需要购买600x次，可得总运费为600x×2=1200x万元，再与总存储费用求和，即可求解；(2)根据已知条件，结合基本不等式求最值得答案．本题主要考查函数的实际应用，以及基本不等式的应用，属于基础题．20.【答案】解：(1)若选①，函数f(x)=x 2−2ax +2，是开口向上的二次函数，若f(x)的最小值为0，必有Δ=4a 2−8=0，解可得a =±√2， 此时a 的取值集合为{−√2,√2}；若选②，函数f(x)=x 2−2ax +2，是开口向上的二次函数， 若f(x)≥0，则有Δ=4a 2−8≤0，解可得−√2≤a ≤√2， 此时a 的取值集合为{a|−√2≤a ≤√2}；(2)函数f(x)=x 2−2ax +2，是开口向上的二次函数，其对称轴为x =a ， 若f(x)在区间[0,2]内恰有两个不同的零点，必有{0≤a ≤2Δ=4a 2−8>0f(0)=2>0f(2)=6−4a ≥0，解可得√2<a ≤32，即a 的取值范围为(√2,32].【解析】(1)根据题意，若选①，由二次函数的性质可得Δ=4a 2−8=0，解可得a 的值，即可得答案；若选②，由二次函数的性质可得Δ=4a 2−8≤0，求出a 的取值范围，即可得答案； (2)根据题意，由二次函数的性质可得关于a 的不等式组，由此求出a 的取值范围，即可得答案．本题考查函数与方程的关系，涉及函数零点的判断，属于中档题．21.【答案】解：(1)因为函数f(x)是定义在R 上的奇函数，所以发f(−x)=−f(x)，且f(0)=0，设x >0，则−x <0，所以f(−x)=−29−x +t3−x −1=−f(x)，所以f(x)=29−x −t3−x +1， 所以f(x)={29−x −13−x +1,x >00,x =0−29x +13x −1,x <0．(2)若x ∈[1,+∞)，使得f(x)<0，由(1)知即x ∈[1,+∞)，使得f(x)=29−x −t3−x +1<0， 令3x =m(m ≥3)，则转化为t >2m 2+1m在m ≥3有解，令f(x)=2x +1x (x ≥3)，设x 1>x 2≥3，则f(x 1)−f(x 2)=2(x 1−x 2)+1x 1−1x 2=(x 1−x 2)2x 1x 2−1x 1x 2，因为x 1>x 2≥3，所以(x 1−x 2)2x 1x 2−1x 1x 2>0，所以f(x 1)−f(x 2)>0，即f(x)=2x +1x 在x ≥3时是单调递增函数，所以2m +1m ≥6+13=193，所以t >193，所以实数t 的取值范围是(193,+∞)．【解析】(1)根据函数的奇偶性可得答案；(2)转化为x ∈[1,+∞)，使得f(x)=29−x −t3−x +1<0，令3x =m(m ≥3)，转化为t >2m 2+1m在m ≥3有解，构造函数f(x)=2x +1x (x ≥3)利用单调性可得答案．本题考查函数的性质，考查学生的综合能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)证明：∵函数f(x)=ln(k −x)−ln(1+x)满足f(0)=0，其中k 为常数，∴f(0)=lnk−ln1=0，解得k=1，∴对∀x1，x2∈(−1,1)，f(x)=ln(1−x)−ln(1+x)=ln(1−x1+x)，∴f(x1)+f(x2)=ln(1−x11+x1)+ln(1−x21+x2)=ln(1−x1)(1−x2)(1+x1)(1+x2)=ln1+x1x2−(x1+x2)1+x1x2+(x1+x2)，f(x1+x21+x1x2)=ln(1−x1+x21+x1x21+x1+x21+x1x2)=ln1+x1x2−(x1+x2)1+x1x21+x1x2+(x1+x2)1+x1x2=ln1+x1x2−(x1+x2)1+x1x2+(x1+x2)，∴对∀x1，x2∈(−1,1)，f(x1)+f(x2)=f(x1+x21+x1x2)．(2)由(1)得函数f(x)的定义域为(−1,1)，f(−x)=ln(1+x1−x )=ln(1−x1+x)−1=−ln(1−x1+x)=−f(x)，∴函数f(x)是奇函数，f(m+n1+mn)=f(m)+f(n)=200，①f(m−n1−mn)=f(m)+f(−n)=f(m)−f(n)=100，②联立①②，解得f(m)=150，f(n)=50，此时m=1−2e150+1∈(−1,1)，n=1−2e50+1∈(−1,1)．【解析】(1)由f(0)=0，求出函数解析式，再代入证明等式左边等于右边即可．(2)由f(x1)+f(x2)=f(x1+x21+x1x2)，利用函数的奇偶性，能求出f(m)，f(n)的值．本题考查函数表达式的证明，考查函数值的求法，考查函数的单调性、函数值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
江西省上饶市太白中学2021-2022学年高二数学理期末试卷含解析
江西省上饶市太白中学2021-2022学年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，若存在，使得，则实数的取值范围是A. B. C. D.参考答案：D略2. 设X～N(μ1，)，Y～N(μ2，)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是()A. P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B. P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C. 对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)D. 对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)参考答案：D【分析】由题，直接利用正态分布曲线的特征，以及概率分析每个选项，判断出结果即可.【详解】A项，由正态分布密度曲线可知，x＝μ2为Y曲线的对称轴，μ1＜μ2，所以P(Y≥μ2)＝＜P(Y≥μ1)，故A错；B项，由正态分布密度曲线可知，0＜σ1＜σ2，所以P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)，故B错；C项，对任意正数t，P(X＞t)＜P(Y＞t)，即有P(X≥t)＜P(Y≥t)，故C错；D项，对任意正数t，P(X＞t)＜P(Y＞t)，因此有P(X≤t)≥P(Y≤t)．故D项正确．故选D【点睛】本题考查正态分布及其密度曲线，熟悉正态分布曲线是解题关键，属于较为基础题.3. 如右图，阴影部分面积为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：B4. 定义在区间[0,1]上的函数f(x)的图象如图所示，以为顶点的△ABC的面积记为函数S(x)，则函数S(x)的导函数的大致图象为( )A. B.C. D.参考答案：D【分析】连结AB后，AB长为定值，由C点变化得到三角形面积函数的增减性，从而得到面积函数的导数的正负，则答案可求．【详解】解：如图，△ABC的底边AB长一定，在点C由A到B的过程中，△ABC的面积由小到大再减小，然后再增大再减小，对应的面积函数的导数先正后负再正到负．且由原图可知，当C位于AB连线和函数f（x）的图象交点附近时，三角形的面积减或增较慢，故选：D．【点睛】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，属于基础题．5. 执行如右图所示的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是( )A．120 B．720 C．1440 D．5040参考答案：B6. 正方体中，求对角线与对角面所成的角 ( )A. B. C. D.参考答案：A7. 我国南宋时期的《数学九章》中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执行下列算法的程序框图时，若输入的n=4，x=2，则输出V的值为（）A．15 B．31 C．63 D．127参考答案：B【考点】EF：程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：∵输入的x=2，n=4，故v=1，i=3，v=1×2+1=3i=2，v=3×2+1=7i=1，v=7×2+1=15i=0，v=15×2+1=31i=﹣1，跳出循环，输出v的值为31，故选：B．8. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根（精确到0.1）为A．1.2 B．1.3 C．1.4D．1.5参考答案：C略9. 已知f(x)＝2x3－6x2＋m (m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )A.－37 B．－29C．－5 D．以上都不对参考答案：A10. 下列不等式的证明过程正确的是（）．A．若，，则B．若，，则C．若x为负实数，则D．若x为负实数，则参考答案：D不正确，因为，不满足同号，故不能用基本不等式；不正确，因为和不一定是正实数，故不能用基本不等式；不正确，因为和不是正实数，故不能直接利用基本不等式；正确，因为和都是正实数，故成立，当且仅当相等时（即时），等号成立．故选．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在半径为r的圆周上任取两点A，B，则|AB|≥r的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【专题】计算题；数形结合；转化法；概率与统计．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出以A为正六边形的一个顶点作圆的内接正六边形，则正六边形的边长为半径r，当B点落在劣弧外时，有|AB|≥r，求出对应的概率即可．【解答】解：如图所示，选定点A后，以A为正六边形的一个顶点作圆的内接正六边形，则正六边形的边长为半径r，当B点落在劣弧外时，有|AB|≥r，则所求概率为P==．故答案为：．【点评】本题考查了几何概型的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，解题的关键是根据题意画出对应的示意图形，是基础题目．12. 已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后.已知英文字母是A，B，C，D，E这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有__________个不同的编号（用数字作答）.参考答案：45【分析】通过分步乘法原理即可得到答案.【详解】对于英文字母来说，共有5种可能，对于数字来说，共有9种可能，按照分步乘法原理，即可知道共有个不同的编号.【点睛】本题主要考查分步乘法原理的相关计算，难度很小.13. 已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是 ▲ ．参考答案：略14. 下列各数 、、、中最小的数是___参考答案：15. 函数的图象如图所示，则_▲_.参考答案： 416. 精准扶贫期间，5名扶贫干部被安排到三个贫困村进行扶贫工作，每个贫困村至少安排一人，则不同的分配方法共有____________种。
江西省上饶市2023-2024学年高一下学期期末考试 数学含答案
上饶市2023—2024学年度下学期期末教学质量检测高一数学试卷（答案在最后）1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答第I 卷时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.4.本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟，第I 卷（选择题）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()1i 1i z -=+，其中i 为虚数单位，则z =（）A.iB.i- C.1i+ D.1i-2.ABC 是边长为1的正三角形，那么ABC 的斜二测平面直观图'''A B C 的面积（）A.B.68C.38D.343.已知向量()()1,cos ,2,sin a b θθ== ，若a b，则tan θ=（）A.2B.-2C.12D.12-4.已知,m n 是空间中两条不同的直线，,αβ为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）A.若m α⊂，则m β⊥B.若,m n αβ⊂⊂，则m n ⊥C.若,m m αβ⊄⊥，则//m αD.若,m n m αβ⋂=⊥，则n α⊥5.向量()1,0,a a = 与非零向量b的夹角为60 ，则a在b上的投影数量为（）A.12B.2C.1D.6.已知G 为ABC 的重心，则（）A.2133BG AB AC=-uuu r uu u r uuu r B.2133BG AB AC=-+u uuu r u ur uuu r C.1233BG AB AC=-+uuu r uu ur uuu r D.1233BG AB AC=-7.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（）A .8a =，16b =，30A =︒，有两解B.18b =，20c =，60B =︒，有一解C.30a =，25b =，150A =︒，有一解D .5a =，2c =，90A =︒，无解8.若函数()sin cos f x a x x ωω=+的对称轴方程为ππ4x k =+，k ∈Z ，则π4f ω⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.2B.2-C. D.二､多选题（本题共3小硕，每小题6分，共18分.在每小䝠给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若复数12,z z 是方程2250x x -+=的两根，则（）A.12,z z 虚部不同B.12,z z 在复平面内所对应的点关于实轴对称C.1z =D.122iz z +-在复平面内所对应的点位于第三象限10.关于函数()π2sin 213f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，下列结论正确的是（）A.π,06⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心B.函数()f x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增C.函数()f x 图像可由函数()2cos21g x x =+的图像向右平移5π12个单位得到D.若方程()20f x m -=在区间π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实根，则2,6m ⎡⎤∈+⎣⎦11.如图，若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，线段11B D 上有两个动点,,E F EF =则下列结论正确的是（）A.直线1AC 与平面ABCD 的夹角的余弦值为63B.当E 与1D 重合时，异面直线AE 与BF 所成角为π3C.平面1C BD 平面AEFD.1A C ⊥平面AEF第II 卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若tan 2θ=，则()sin cos sin θθθ-=__________.13.设1e 与2e 是两个不共线向量，1232AB e e =+ ，12CB ke e =+ ，1232CD e ke =-.若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为________．14.ABC 中，8AB AC ==，延长线段AB 至D ，使得2A D ∠=∠，则BD BC +的最大值为__________.四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.已知()()()2,,3,5,a m b m m ==--∈R（1）若a b a b +=-，求实数m 的值.（2）已知向量,a b的夹角为钝角，求实数m 的范围.16.已知函数()()sin (0,0,π)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示.（1）求函数()f x 的解析式及对称中心；（2）求函数()f x 在ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.（3）先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12倍，再向左平移π12个单位后得到()g x 的图像，求函数()y g x =在π,π2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的单调减区间.17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2cos 2b C c a +=．（1）求角B ；（2）若D 为AC 的中点，且52BD =，b ＝3，求ABC 的面积．18.如图1，四边形ABCD 为菱形，60,ABC PAB ︒∠=△是边长为2的等边三角形，点M 为AB 的中点，将PAB 沿AB 边折起，使3PC =，连接PD ，如图2，（1）证明：AB PC ⊥；（2）求异面直线BD 与PC 所成角的余弦值；（3）在线段PD 上是否存在点N ，使得PB ∥平面MCN ﹖若存在，请求出PNPD的值；若不存在，请说明理由.19.我们把由平面内夹角成60︒的两条数轴Ox ，Oy 构成的坐标系，称为“创新坐标系”.如图所示，1e，2e分别为Ox ，Oy 正方向上的单位向量.若向量12OP xe ye =+，则称有序实数对{},x y 为向量OP的“创新坐标”，可记作{},OP x y =.（1）已知{}1,1a = ，{}2,3b = ，{}1,2c =- ，设c xa yb =+，求x y +的值.（2）已知{}11,a x y = ，{}22,b x y = ，求证：//a b 的充要条件是12210x y x y -=.（3）若向量a ，b的“创新坐标”分别为{}sin ,1x ，{}cos ,1x ，已知()f x a b =⋅ ，x ∈R 求函数()f x 的最小值.上饶市2023—2024学年度下学期期末教学质量检测高一数学试卷1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答第I 卷时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.4.本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟，第I 卷（选择题）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()1i 1i z -=+，其中i 为虚数单位，则z =（）A.iB.i- C.1i+ D.1i-【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法直接求出z .【详解】因为()1i 1i z -=+，所以()()()()1i 1i i 1i 1i z ++==-+.故选：A2.ABC 是边长为1的正三角形，那么ABC 的斜二测平面直观图'''A B C 的面积（）A.16B.8C.8D.4【答案】A 【解析】【分析】先求出原三角形的面积，再根据原图和直观图面积之间的关系即可得解.【详解】以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，画对应的'x 轴，'y 轴，使'''45x O y ∠=︒，如下图所示，结合图形，ABC 的面积为113312224ABC S AB OC =⨯⨯=⨯⨯=，作C D AB ⊥'''，垂足为D ，则22122224C D O C OC OC ==⨯='''，''AB A B =，所以'''A B C 的面积11222244A B C ABC S A B C D OC AB S =⨯⨯=⨯⨯⨯= ''''''，即原图和直观图面积之间的关系为2=4S S 直观图原图，所以，'''A B C 的面积为2364416A B C S =⨯='''.故选：A.【点睛】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积的关系，属于基础题.3.已知向量()()1,cos ,2,sin a b θθ== ，若a b，则tan θ=（）A.2B.-2C.12D.12-【答案】A 【解析】【分析】利用坐标法来判断两向量共线即可得到结果.【详解】由a b得，()()1,cos //2,sin 2cos sin tan 2θθθθθ⇒=⇒=，故选：A.4.已知,m n 是空间中两条不同的直线，,αβ为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）A.若m α⊂，则m β⊥B.若,m n αβ⊂⊂，则m n ⊥C.若,m m αβ⊄⊥，则//m αD.若,m n m αβ⋂=⊥，则n α⊥【答案】C 【解析】【分析】根据空间线面位置关系的判定定理、性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】由直线,m n 是空间中两条不同的直线，,αβ为空间中两个互相垂直的平面，对于A 中，若m α⊂，可能//m α，所以A 不正确；对于B 中，若,m n αβ⊂⊂，则//m n 或相交或异面，所以B 不正确；对于C 中，由m β⊥，可得m α⊂或//m α，又由m α⊄，所以//m α，所以C 正确；对于D 中，由面面垂直的性质，可知只有n β⊂时，才有n α⊥，所以D 不正确.故选：C.5.向量()1,0,a a = 与非零向量b的夹角为60 ，则a在b上的投影数量为（）A.12B.2C.1D.【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用投影数量的定义计算即得.【详解】依题意，a 在b 上的投影数量为1||cos ,1cos 602a ab 〈〉=⨯=.故选：A6.已知G 为ABC 的重心，则（）A.2133BG AB AC=-uuu r uu u r uuu r B.2133BG AB AC=-+u uuu r u ur uuu r C.1233BG AB AC=-+uuu r uu ur uuu r D.1233BG AB AC=-【答案】B 【解析】【分析】根据重心的性质及向量的线性运算可得解.【详解】如图所示，设D 为AC 中点，又G 为ABC 的重心，则23B B G D = ()13BA BC =+ 1133BA BC =+uu r uu u r 111333BA BA AC =++uu r uu r uuu r 2133BA AC =+uu r uuu r 2133AB AC =-+uu ur uuu r ，故选：B.7.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（）A.8a =，16b =，30A =︒，有两解B.18b =，20c =，60B =︒，有一解C.30a =，25b =，150A =︒，有一解D.5a =，2c =，90A =︒，无解【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理依次判断A ，B ，C ，D 即可.【详解】A 中，因为sin sin a b A B=，所以16sin 30sin 18B ⨯︒==，又0150B ︒<<︒，所以90B =︒，即只有一解，故A 错误；B 中，因为sin sin b c B C=，所以20sin 60sin sin 189C B ︒==>，且c b >，所以C B >，故有两解，故B 错误；C 中，因sin sin a b A B =，所以12552sin sin 3012B A ⨯==>，又b a <，所以角B 只有一解，故C 正确；D 中，因为90A =︒,5a =,2c =，所以b =，有解，故D 正确.故选：C.8.若函数()sin cos f x a x x ωω=+的对称轴方程为ππ4x k =+，k ∈Z ，则π4f ω⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.2B.2-C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据三角恒等变换可化简函数解析式，进而可得1π4ωϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，代入即可得解.【详解】由已知()()sin cos f x a x x x ωωωϕ=+=+，且1tan aϕ=，sin 0ϕ=>，由对称轴为ππ4x k =+，则相邻两条对称轴间距离为π，即函数的最小正周期为2πT =，令2π12πω==，()()f x x ϕ=+，令1ππ2x k ϕ+=+，1k ∈Z ，则1ππ2x k ϕ=-+，即1ππππ24k k ϕ-+=+，k ∈Z ，1k ∈Z ，则()1ππ4k k ϕ=+-，k ∈Z ，1k ∈Z ，又sin 0ϕ=>，所以2ππ4k ϕ=+，2k 为偶数，则()2πππ44f x x k x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ππππ4444f f ω⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：D.二､多选题（本题共3小硕，每小题6分，共18分.在每小䝠给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若复数12,z z 是方程2250x x -+=的两根，则（）A.12,z z 虚部不同B.12,z z 在复平面内所对应的点关于实轴对称C.1z =D.122iz z +-在复平面内所对应的点位于第三象限【答案】ABC 【解析】【分析】利用一元二次方程的虚根是共轭，并加以计算，就可以判断各选项.【详解】由方程2250x x -+=的求根公式可得：1224i12i 12i ,2z z +==+=-，故A 正确；由12,z z 在复平面内所对应的点分别为()()1,2,1,2-，显然关于实轴对称，故B 正确；由112i z =+，故C 正确；由()()()1222i 242i 42=i 2i 2i 2i 2i 555z z +++===+---+，它对应的点位于第一象限，故D 错误；故选：ABC ．10.关于函数()π2sin 213f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，下列结论正确的是（）A.π,06⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心B.函数()f x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C.函数()f x 图像可由函数()2cos21g x x =+的图像向右平移5π12个单位得到D.若方程()20f x m -=在区间π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实根，则2,6m ⎡⎤∈+⎣⎦【答案】BC 【解析】【分析】根据三角函数图像性质分别判断各选项.【详解】A 选项：由()π2sin 213f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令π2π3x k -=，Z k ∈，解得ππ62k x =+，Z k ∈，所以其对称中心为ππ,162k ⎛⎫+⎪⎝⎭，所以π,06⎛⎫⎪⎝⎭不是其对称中心，A 选项错误；B 选项：令πππ2π22π232k x k -≤-≤+，Z k ∈，解得π5πππ1212k x k -≤≤+，Z k ∈，即函数的单调递增区间为π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，又ππ5π0,π,π61212k k ⎛⎫⎡⎤⊆-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，Z k ∈，B 选项正确；C 选项：由()π2cos212sin 212g x x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，向右平移5π12可得()5πππ2sin 212sin 211223y x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+= ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，C 选项正确；D 选项：()π24sin 2203f x m x m ⎛⎫-=-+-= ⎪⎝⎭，即2sin 243m x π-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设π23t x =-，则π2π,63t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即函数24m y -=与函数sin y t =在π2π,63t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有两个交点，做出函数图像，如图所示，所以可得2π2sin 134m -≤<，解得26m +≤<，D 选项错误；故选：BC.11.如图，若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，线段11B D 上有两个动点,,E F EF =则下列结论正确的是（）A.直线1AC 与平面ABCD 的夹角的余弦值为63B.当E 与1D 重合时，异面直线AE 与BF 所成角为π3C.平面1C BD 平面AEFD.1A C ⊥平面AEF【答案】ACD 【解析】【分析】利用正方体的性质，结合中位线，勾股定理，可计算和证明各选项，并加以判断.【详解】对于A ，在正方体1111ABCD A B C D -中，有1CC ⊥平面ABCD ，所以直线1AC 与平面ABCD 所成的角就是1CAC ∠，且1CC AC ⊥，又由正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以1AC AC ==，则116cos 3AC CAC AC ∠==，故A正确；对于B ，当E 与1D重合时，由于11EF B D ==F 为11B D 的中点，如上图，连接11,BC C F ，在正方体1111ABCD A B C D -中，易由11//AB C D 且11AB C D =可得：四边形11ABC D 是平行四边形，所以11//AD BC ，所以异面直线AE 与BF 所成角就是1C BF ∠或其补角，由于1BB ⊥平面1111D C B A ，1B F ⊂平面1111D C B A ，所以11B B B F ⊥，则BF ===又因为11BC C F =所以13cos 2C BF ∠===，因为()10πC BF ∠∈，，所以1π=6C BF ∠，故B 错误；对于C ，在正方体1111ABCD A B C D -中，易由11//AB C D 且11AB C D =可得：四边形11ABC D 是平行四边形，所以11//AD BC ，又因为1AD ⊄平面1BDC ，1BC ⊂平面1BDC ，所以1//AD 平面1BDC ，同理可证明1AB //平面1BDC ，又因为11AD AB A ⋂=，11,AD AB ⊂平面11AB D ，所以平面11//AB D 平面1BDC ，而平面AEF 与平面11AB D 共面，所以平面1C BD 平面AEF ，故C 正确；对于D ，由于11A B ⊥平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，所以111A B AD ⊥，又因为11AD DA ⊥，1111DA A B A = ，111DA A B ⊂，平面11DA B C ，所以1AD ⊥平面11DA B C ，又因为1AC ⊂平面11DA B C ，所以11A C AD ⊥，同理可证明：11A C AB ⊥，又因为11AB AD A ⋂=，11AB AD ⊂，平面11AB D ，所以1A C ⊥平面11AB D ，而平面AEF 与平面11AB D 共面，则1A C ⊥平面AEF ，故D 正确；故选：ACD.第II 卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若tan 2θ=，则()sin cos sin θθθ-=__________.【答案】25-##0.4-【解析】【分析】根据同角三角函数关系式，结合齐次式可得解.【详解】由已知()sin cos sin θθθ-2sin cos sin θθθ=-222sin cos sin sin cos θθθθθ-=+22tan tan tan 1θθθ-=+22222215-==-+，故答案为：25-.13.设1e 与2e 是两个不共线向量，1232AB e e =+ ，12CB ke e =+ ，1232CD e ke =-.若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为________．【答案】94-【解析】【分析】根据三点共线，转化为向量AB BD λ= ，计算向量BD后，再转化为向量相等，即可求解k 的值.【详解】因为A ，B ，D 三点共线，所以必存在一个实数λ，使得AB BD λ=.又1232AB e e =+，12CB ke e =+，1232CD e ke =-，所以()121232BD CD CB e ke ke e =-=--+ ，化简为()()12321BD k e k e =--+ ，所以()()121232321e e k e k e λλ+=--+ ，又1e 与2e 不共线，所以()()33221k k λλ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩解得94k =-.故答案为：94-14.ABC 中，8AB AC ==，延长线段AB 至D ，使得2A D ∠=∠，则BD BC +的最大值为__________.【答案】18【解析】【分析】分别在ABC 与ACD 中用正弦定理，可得BD BC +，再利用二倍角公式化简，结合二次函数性质可得最值.【详解】如图所示，设22A D θ∠=∠=，在ABC 中，由8AB AC ==，则ππ22A ABC ACB θ-∠∠=∠==-，再由正弦定理得sin sin BC ABA ACB=∠，即8πsin 2sin 2BCθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，则8sin 216sin cos BC θθθ==，又在ACD 中，由正弦定理得sin sin AD ACACD D=∠∠，即()8sin π2sin AD θθθ=--，即()()2284sin cos sin 8sin cos 2sin 2cos 8sin 332cos 8sin sin sin AD θθθθθθθθθθθθ-+====-，所以2232cos 16sin 1632sin 16sin 16BD BC AD BC AB θθθθ+=+-=+-=-++，又0π02π0π3πθθθ<<⎧⎪<<⎨⎪<-<⎩，即π03θ<<，sin 0,2θ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，设sin 0,2t θ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则22132161632184BD BC t t t ⎛⎫+=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当1sin 4t θ==时，BD BC +取得最大值为18，故答案为：18.四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.已知()()()2,,3,5,a m b m m ==--∈R（1）若a b a b +=-，求实数m 的值.（2）已知向量,a b的夹角为钝角，求实数m 的范围.【答案】（1）67m =（2）6{|7m m >且5}m ≠.【解析】【分析】（1）对a b a b +=- 两边平方化简可得0a b ⋅= ，然后将坐标代入可求出实数m 的值；（2）由题意可得0a b ⋅<且,a b不共线，从而可求出实数m 的范围.【小问1详解】因为a b a b +=- ，所以22a b a b +=- ，所以222222aa ab b a b b -= ，所以0a b ⋅=，因为()()2,,3,5a m b m ==--，所以6250a b m m ⋅=--= ，解得67m =；【小问2详解】根据题意，向量a 与b的夹角为钝角，则有()6701030a b m m m ⎧⋅=-<⎪⎨---≠⎪⎩.解得：67m >且5m ≠，即m 的取值范围为6{|7m m >且5}m ≠.16.已知函数()()sin (0,0,π)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示.（1）求函数()f x 的解析式及对称中心；（2）求函数()f x 在ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.（3）先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12倍，再向左平移π12个单位后得到()g x 的图像，求函数()y g x =在π,π2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的单调减区间.【答案】（1）()π2sin 23f xx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，ππ,0,Z 62k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭（2）[]1,2-（3）πππ5π,,,2636⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）根据题意，求得()π2sin 23f xx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解；（2）由2ππ,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得22[,33ππ6π-∈-x ，根据三角函数的性质，求得函数()f x 的最值，即可求解；（3）根据三角函数的图象变换，求得()πsin 26g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求得函数()f x 的单调递减区间，结合π,π2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即可求解.【小问1详解】解：根据函数()()sin (0,0,π)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像，可得32π5ππ2,4123A ω=⋅=+，所以2ω=，再根据五点法作图，可得5ππ22π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈，又因为π<ϕ，可得π3ϕ=-，所以()π2sin 23f xx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，令π2π,3x k k Z -=∈，解得ππ,Z 62k x k =+∈，故函数()f x 对称中心为ππ,0,Z 62k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.【小问2详解】解：因为2ππ,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得22[,33ππ6π-∈-x ，当ππ236x -=-时，即π12x =，min π()112f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；当ππ232x -=时，即5π12x =，max 5π()212f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的值琙为[]1,2-.【小问3详解】解：先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12，可得πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，再向左平移π12个单位，得到πππsin 2sin 21236y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图像，即()πsin 26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.令ππ3π2π22π,Z 262k x k k +≤-≤+∈，解得π5πππ,Z 36k x k k +≤≤+∈，可得()g x 的减区间为π5ππ,π,Z 36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，结合π,π2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得()g x 在π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为πππ5π,,,2636⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2cos 2b C c a +=．（1）求角B ；（2）若D 为AC 的中点，且52BD =，b ＝3，求ABC 的面积．【答案】（1）3π（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理得出角B ；（2）由向量的运算得出2225a c ac ++=，由余弦定理得出229a c ac +-=，进而得出8ac =，最后得出面积.【小问1详解】因为2cos 2b C c a +=，所以222222a b c b a c ab +-⨯=-.即222a cb ac +-=，即2221cos 22a cb B ac +-==又(0,)B π∈，所以3B π=.【小问2详解】由52BD =，得52BD = ，则由平行四边形法则可得，5BA BC += 则22225BA BC BA BC ++⋅=，即2225a c ac ++=①又2222cos b a c ac B =+-，即229a c ac +-=②由①②可得8ac =.则1sin 422ABC S ac B ==⨯=△.18.如图1，四边形ABCD 为菱形，60,ABC PAB ︒∠=△是边长为2的等边三角形，点M 为AB 的中点，将PAB 沿AB 边折起，使3PC =，连接PD ，如图2，（1）证明：AB PC ⊥；（2）求异面直线BD 与PC 所成角的余弦值；（3）在线段PD 上是否存在点N ，使得PB ∥平面MCN ﹖若存在，请求出PNPD的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）4（3）存在，PN 13PD =【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得PM AB ⊥，再由四边形ABCD ，60ABC ∠=︒可得CM AB ⊥，再由线面垂直的判定可得AB ⊥平面PMC ，则AB PC ⊥；（2）在PM 上取点Q ，使得2PQ QM =，设DB MC F = ，连接NF ，,BQ QF ，可证得BFQ ∠或其补角为异面直线BD 与PC 所成的角，然后在 BFQ 中利用余弦定理求解即可；（3）设DB MC F = ，连接NF ，则由线面平行的性质可得PB ∥NF ，从而可找出N 点的位置.【小问1详解】连接PM ，因为PAB 是边长为2的等边三角形，点M 为AB 的中点，所以PM AB ⊥.因为四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，所以ABC 为等边三角形，所以CM AB ⊥，因为PM MC M = ，,PM MC ⊂平面PMC ，所以AB ⊥平面PMC ，因为PC ⊂平面PMC ，所以AB PC⊥【小问2详解】在PM 上取点Q ，使得2PQ QM =，设DB MC F = ，连接NF ，,BQ QF ，因为BM ∥CD ，所以12BF MF BM DF CF CD ===，在PMC △中，12MF QM CF PQ ==，所以QF ∥PC ，所以BFQ ∠或其补角为异面直线BD 与PC 所成的角，因为13QF PC =，所以1313QF =⨯=，又13BF BD ====BQ ===，在 BFQ中，由余弦定理得22244133cos 24233BF QF BQ BFQ BF FQ +-+-∠==⋅,所以异面直线BD 与PC 所成角的余弦值为34.【小问3详解】假设线段PD 上存在点N ，使得PB ∥平面MCN ，因为PB ∥平面MNC ，PB ⊂平面PBD ，平面PBD 平面MNC NF =，所以PB ∥NF ，又12BF BM DF CD ==，所以12BF PN FD ND ==.所以线段PD 上存在点N ，使得PB ∥平面MNC ，且PN 13PD =．19.我们把由平面内夹角成60︒的两条数轴Ox ，Oy 构成的坐标系，称为“创新坐标系”.如图所示，1e ，2e分别为Ox ，Oy 正方向上的单位向量.若向量12OP xe ye =+ ，则称有序实数对{},x y 为向量OP 的“创新坐标”，可记作{},OP x y = .（1）已知{}1,1a = ，{}2,3b = ，{}1,2c =- ，设c xa yb =+ ，求x y +的值.（2）已知{}11,a x y = ，{}22,b x y = ，求证：//a b 的充要条件是12210x y x y -=.（3）若向量a ，b 的“创新坐标”分别为{}sin ,1x ，{}cos ,1x ，已知()f x a b =⋅ ，x ∈R 求函数()f x 的最小值.【答案】（1）4-（2）证明见解析（3）()min 38f x =【解析】【分析】（1）根据向量线性运算的运算律可得解；（2）根据向量共线定理可得证；（3）根据向量数量积的运算律结合三角函数与二次函数性质可得最值.【小问1详解】由已知{}1,1a = ，{}2,3b = ，{}1,2c =- ，即12a e e =+ ，1223b e e =+ ，122c e e =-+ ，又c xa yb =+，即2132x y x y +=-⎧⎨+=⎩，解得73x y =-⎧⎨=⎩，所以4x y +=-；【小问2详解】由{}11,a x y = ，{}22,b x y = ，则1112a x e y e =+ ，2122b x e y e =+ ，当0b = 时，//a b 的充要条件是12210x y x y -=；当0b ≠ 时，若//a b 时，a b λ= ，即1212x x y y λλ=⎧⎨=⎩，则1221x y x y λλ=，又λ不恒为0，所以1221x y x y =，即12210x y x y -=，所以12210x y x y -=是//a b 的必要条件；若12210x y x y -=时，2211x y x y λ==，则()212211111112b x e y e x e y e x e y e a λλλλ=+=+=+= ，即//a b，所以12210x y x y -=是//a b 的充分条件；综上所述，//a b的充要条件是12210x y x y -=；【小问3详解】1e ，2e 分别为Ox ，Oy 正方向上的单位向量，且夹角成60︒，则12121cos 602e e e e ⋅=⋅⋅︒=，所以2212112122112122a b x x e x y e e x y e e y y e ⋅=+⋅+⋅+ ()1212211212x x x y x y y y =+++，所以()()1sin cos sin cos 12f x a b x x x x =⋅=+++设πsin cos 4x x x t ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣，且21sin cos 2t x x -=，所以当12t =-时，min 38y =，即()min 38f x =.。
2024-2025学年江西省上饶市玉山文苑学校高二(上)第二次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年江西省上饶市玉山文苑学校高二（上）第二次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.两平行直线mx−3y−2=0与4x−6y−7=0之间的距离为( )A.1326B.1313 C.3 1326 D.5 13262.已知椭圆C ：y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，点A(22,2)是C 上一点，且|AF 1|+|AF 2|=4 2，则C 的方程为( )A.y 232+7x 24=1 B.y 28+x 2=1 C.y 232+63x 2256=1 D.y 28+15x 264=13.已知抛物线C 1：y 2=4x ，C 2：y 2=8x 的焦点分别为F 1、F 2，若P 、Q 分别为C 1、C 2上的点，且线段PQ 平行于x 轴，则下列结论错误的是( )A. 当|PQ|=12时，△F 1PQ 是直角三角形 B. 当|PQ|=43时，△F 2PQ 是等腰三角形C. 存在四边形F 1F 2PQ 是菱形 D. 存在四边形F 1F 2PQ 是矩形4.焦点在y 轴上的双曲线E 与双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b >0)有相同的渐近线，过点P(−5,0)的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点是M(3,8)，则双曲线E 的离心率为( )A.5B. 83C.333D.2245.若点M(2,5,4)关于平面Oxy 和x 轴对称的点分别为(a,b,c)，(d,e,f)，则b +f =( )A. −9B. −1C. 1D. 96.如图，边长为4的正方形ABCD 是圆柱OO 1的轴截面，M 为上底面圆O 内一点，则MA ⋅MB 的最小值为( )A. 6B. 8C. 10D. 127.下列命题中，不正确的命题是( )A. 空间中任意两个向量一定共面B. 若a //b ，则存在唯一的实数λ，使得a =λbC. 对空间中任一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP =2OA−4OB +3OC ，则P ，A ，B ，C 四点共面D. 若{a ,b ,c }是空间的一个基底，m =a +c ，则{a ,b ,m }也是空间的一个基底8.某农学院计划从10种不同的水稻品种和7种不同的小麦品种中，选5种品种种植在如图所示五块实验田中，要求仅选两种小麦品种且需种植在相邻两块实验田中，其他三块实验田选种水稻品种，则不同种法有( )A. 30240种B. 60480种C. 120960种D. 241920种二、多选题：本题共3小题，共18分。
2021-2022学年广西河池市高二(上)期末数学试卷(文科)(附答案详解)
2021-2022学年广西河池市高二（上）期末数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.双曲线x23−y25=1的焦点坐标为()A. (0,±2√2)B. (±2√2,0)C. (0,±4)D. (±4,0)2.等差数列12,32,⋅⋅⋅的第4项为()A. −72B. 72C. −92D. −323.在等差数列{a n}中，若a1=1，a2a4=0，则公差d=()A. 1B. 13C. 14D. −1或−134.椭圆x24+y27=1的长轴长为()A. 2√7B. 2√3C. √5D. √35.若对任意x>0,a≥2xx2+x+1恒成立，则实数a的取值范围是()A. [−1,+∞)B. [3,+∞)C. [23,+∞) D. (−∞,1]6.若向量a⃗=(1,2x),b⃗ =(4,−2x)，则向量a⃗与b⃗ 的夹角为锐角的充要条件是()A. x∈(−2,2)B. x∈(0,+∞)C. x∈(−∞,−2)∪(2,+∞)D. x∈(−1,0)∪(0,1)7.已知a>0，b>0，则√ab+12a +2b的最小值是()A. 2B. 2√2C. 4√2D. 68.下列命题为假命题的是()A. 命题“若a<1，则|a|<1”的逆命题B. 命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题C. 空向中垂直于同一直线的两直线平行D. 命题“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”的否命题9.已知函数f(x)=e x−2x+3，则f(x)在定义域上()A. 有极小值5−2ln2B. 有极大值2ln2C. 有最大值D. 无最小值10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccos2A2=b+c，则△ABC的形状是()A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形11.过抛物线C：x=14y2的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，若点A到抛物线的准线的距离为3，则|AB|=()A. 92B. 3 C. 72D. 412.已知点P是曲线y=e x+√3上一动点，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()A. (0,π6] B. [π6,π2) C. [π6,π3] D. (0,π3]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.命题“若−1<m<1，则m<3”的逆否命题是______．14.已知椭圆x23+y2=1的上顶点为A，左顶点为B，则直线AB的斜率为______．15.设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)=f′(π2)sinx−cosx，则f′(5π6)=______．16.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为2c，焦点到双曲线C的渐近线的距离为c2，则双曲线C的离心率为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知p：方程x2+2ax+4=0无实数根，q：函数f(x)=(1+a)x是增函数．(1)当a=0时，判断p∧q的真假；(2)若p∨q为假命题，求实数a的取值范围．18.已知等比数列{a n}的各项均为正数，a3=16，a2−a1=4．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=log4a n，证明{b n}为等差数列，并求{b n}的前n项和S n．19.已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ab=√2sinA．(1)求cosB；(2)若a=5√2，c=3√6，求b的值．20.已知抛物线y2=−4x的焦点为F，过点F且斜率为1的直线l与抛物线交于A，B两点．(1)证明以AB为直径的圆与直线x=1相切；(2)求1|AF|+1|BF|的值．21.已知函数f(x)=2lnx+ax−2，其中a>0．(1)若函数在x=1处取得极值，求实数a的值；(2)若函数f(x)≥1在[1,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围．22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>12)的离心率为√22，且椭圆的短轴长与焦距长之和为4．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点A(2,0)的直线l与椭圆C相交于M，N两点(异于椭圆长轴顶点)，求△OMN(O 为坐标原点)面积的最大值，并求此时直线l的方程．答案和解析1.【答案】B【解析】解：双曲线x23−y25=1，可得c=√3+5=2√2，所以双曲线的焦点坐标(±2√2,0)．故选：B．直接利用双曲线方程求解焦点坐标即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，焦点坐标的求法，是基础题．2.【答案】B【解析】解：等差数列12,32,⋅⋅⋅的第4项为：a4=12+3×(32−12)=72．故选：B．利用等差数列的性质直接求解．本题考查等差数列的第4项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【解析】解：设公差为d，由于等差数列{a n}中，若a1=1，a2a4=0，所以(a1+d)(a1+3d)=0，整理得a12+4da1+3d2=0；解得(3d+1)(d+1)=0；解得d=−1或−13；故选：D．直接利用等差数列的通项公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：等差数列的通项公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：椭圆x 24+y 27=1的长轴长为：2a =2√7．故选：A ．直接利用椭圆方程，求解长轴长即可． 本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．5.【答案】C【解析】解：对任意x >0,a ≥2xx 2+x+1恒成立，可得2x x 2+x+1=2x+1x+1，因为x +1x +1≥2√x ⋅1x+1=3，当且仅当x =1时，等号成立．所以2x+1x+1≤23，可得a ≥23．故选：C ．利用基本不等式，求解表达式的最大值，然后推出a 的范围．本题考查函数恒成立条件的转化，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．6.【答案】D【解析】解：∵向量a ⃗ =(1,2x),b ⃗ =(4,−2x)， 则向量a⃗ 与b ⃗ 的夹角为锐角的充要条件是： {a⃗ ⋅b ⃗ =4−4x 2>0−2x ≠4×2x，解得−1<x <0或0<x <1． ∴向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为锐角的充要条件是x ∈(−1,0)∪(0,1)． 故选：D ．利用向量夹角余弦公式直接求解．本题考查向量夹角为锐角的充要条件的运算，考查向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】B【解析】解：因为a>0，b>0，所以12a +2b≥2√1ab，当且仅当12a=2b，即b=4a时取等号，所以√ab+12a +2b≥√ ab+2√1ab≥2√√ab⋅√ab=2√2，当且仅当√ab=√ab且b=4a，即a=√22，b=2√2时取等号，此时√ab+12a +2b取最小值2√2．故选：B．由基本不等式得12a +2b≥2√1ab，从而√ab+12a+2b≥√ ab+2√1ab≥2√√ab⋅√ab，从而可求．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是配凑积为定值，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：对于A：命题“若a<1，则|a|<1”的逆命题为：若|a|<1，则a<1，因为|a|<1即−1<a<1，故原命题的逆命题为真命题；对于B：命题若x=y，则sinx=siny为真命题，则其逆否命题为真命题；对于C：空间中垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面，故C为假命题；对于D：命题“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”的否命题为“到线段两端点距离不相等的点不在线段的垂直平分线上”为真命题；故选：C．写出命题的逆命题即可判断A，根据互为逆否命题的真假判断B，根据空间中直线的位置关系判断C，写出命题的否定，即可判断D；本题考查了判断命题的真假，原命题的真假与逆否命题的真假等价，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：函数f(x)=e x−2x+3，可得f′(x)=e x−2，e x−2=0可得x=ln2，当x∈(−∞,ln2)时，f′(x)<0，函数是减函数，当x∈(ln2,+∞)时，f′(x)>0，函数是增函数，所以x=ln2时，函数取得极小值也是最小值：5−2ln2．故选：A．求出导函数，判断函数的单调性以及函数的极值，推出结果．本题考查函数的导数的应用，函数的极小值的求法，是中档题．10.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二倍角公式和余弦定理的运用，熟练掌握公式和定理是解题的关键，属于中档题．首先根据二倍角公式化简所给的式子，然后由余弦定理可知cosA=b2+c2−a22bc代入化简后的式子，即可得出答案．【解答】解：∵2ccos2A2=c(1+cosA)=b+c，∴cosA=bc，∵在△ABC中，cosA=b2+c2−a22bc，∴bc =b2+c2−a22bc，整理得：c2=a2+b2，故△ABC为直角三角形．故选：B．11.【答案】A【解析】解：抛物线C：x=14y2的标准方程为：y2=4x，焦点坐标(1,0)，准线方程为x=−1，点A到抛物线的准线的距离为3，不妨A在第一象限，所以A(2,2√2)，所以AF的斜率为2√22−1=2√2，AF 的方程为：y =2√2(x −1)，所以{y =2√2(x −1)y 2=4x ，8x 2−20x +8=0， x A +x B =52，|AB|=x A +x B +p =92， 故选：A ．利用已知条件求出A 的坐标，然后求解AF 的方程，然后转化求解AB 的距离． 本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．12.【答案】A【解析】解：由题意得y′=x e 2x +2√3e x +3，令t =e x >0，则导函数化为：y =t 2+2√3t+3=t+3t+2√3，令f(t)=t +3t +2√3，t >0，已知该函数在(0,√3)上递减，在(√3,+∞)上递增， ∴f(t)min =f(√3)=4√3，且t →0或t →+∞时，f(t)→+∞． ∴y ∈(0,√33]，直线的倾斜角为α(0≤α<π)，故0<tanα≤√33=tan π6，∴α∈(0,π6]. 故选：A ．先对原函数求导数，然后求出导函数的值域，即为切线斜率的取值范围，结合正切函数的单调性求角的范围．本题考查了导数的几何意义以及正切函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．13.【答案】若m ≥3，则m ≤−1或m ≥1【解析】解：根据命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若￢q ，则￢p ”知， 命题命题“若−1<m <1，则m <3”的逆否命题是： “若m ≥3，则m ≤−1或m ≥1”． 故答案为：若m ≥3，则m ≤−1或m ≥1．根据命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若￢q ，则￢p ”，写出即可．本题考查了命题与它的逆否命题之间的关系应用问题，是基础题．14.【答案】√33【解析】解：椭圆x23+y2=1的上顶点为A(0,1)，左顶点为B(−√3,0)，所以直线AB的斜率为：0+√3=√33．故答案为：√33．利用椭圆方程，求解A、B坐标，然后求解直线的斜率．本题考查椭圆方程的简单性质，直线的斜率的求法，是基础题．15.【答案】1−√32【解析】解：根据题意，f(x)=f′(π2)sinx−cosx，则f′(x)=f′(π2)cosx+sinx，令x=π2可得：f′(π2)=f′(π2)cosπ2+sinπ2=1，则f′(x)=cosx+sinx，故f′(5π6)=cos5π6+sin5π6=1−√32，故答案为：1−√32．根据题意，由导数的计算公式可得f′(x)=f′(π2)cosx+sinx，将x=π2代入可得f′(π2)的值，即可得f′(x)的解析式，进而计算可得答案．本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．16.【答案】2√33【解析】解：由题意，渐近线方程为bx−ay=0，双曲线焦点到渐近线的距离为d=√a2+b2=b=c2，又b2=c2−a2，代入得4a2=3c2，解得e=2√33，故答案为：2√33．由题意，双曲线焦点到渐近线的距离为b=c2，又b2=c2−a2，代入得4a2=3c2，即可求得双曲线C 的离心率．本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线中几何量之间的关系，考查数形结合的能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)已知p ：方程x 2+2ax +4=0无实数根，q ：函数f(x)=(1+a)x 是增函数．当a =0时，x 2+4=0无实根，故命题p 为真命题，函数f(x)=1x 是增函数，为假命题； 故p ∧q 为假命题； (2)由于p ∨q 为假命题， 故满足{p 假q 假，即{4a 2−16≥01+a ≤1，整理得−2≤a ≤0，即a 的取值范围为[−2,0]．【解析】(1)直接利用不等式的解法和函数的单调性判断命题的真假； (2)利用真值表的应用求出结果．本题考查的知识要点：命题真假的判定，不等式的解法，函数的单调性，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)设正项等比数列{a n }的公式为q(q >0)，依题意，{a 1q 2=16a 1(q −1)=4，解得a 1=4,q =2,a n =a 1q n−1=2n+1， 所以数列{a n }的通项公式是a n =2n+1． (2)由(1)知，a n =2n+1， 则b n =log 4a n =log 42n+1=n+12，因此，b n+1−b n =n+22−n+12=12，所以{b n }是以b 1=1为首项，12为公差的等差数列； S n =b 1+b n 2⋅n =1+n+122⋅n =n 2+3n 4，所以{b n }的前n 项和S n =n 2+3n 4．【解析】(1)设正项等比数列{a n }的公式为q ，根据给定条件列式求出a 1及q 即可作答． (2)由(1)求出{b n }的通项公式，利用等差数列定义及前n 项和公式推理计算作答． 本题考查数列的求和，考查学生的运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)∵ab =√2sinA ，∴a =√2bsinA ， ∴sinA =√2sinBsinA ， ∵sinA ≠0， ∴sinB =√22， ∵△ABC 为锐角三角形， ∴B =π4，∴cosB =√22； (2)由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2acosB =50+54−2×5√2×3√6×√22=104−30√6，∴b =√104−30√6．【解析】(1)根据正弦定理，可得sinB =√22，再根据三角形为锐角三角形，即可求出；(2)根据余弦定理即可求出．本题考查了正弦定理和余弦定理，考查了运算求解能力，属于基础题．20.【答案】解：(1)证明：由抛物线y 2=−4x 的方程可得焦点为F(−1,0)，准线方程为x =1，准线与x 轴的交点为Q ，由题意设直线l 的方程为x =y −1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{x =y −1y 2=−4x ，整理可得：y 2+4y −4=0，可得y 1+y 2=−4，x 1+x 2=y 1+y 2−2=−6， 由抛物线的性质可得弦长|AB|=|x 1+x 2−p|=|−6−2|=8，所以以AB为直径的圆的半径为4，而AB的中点N(−3,−2)到准线x=1的距离为：|−3−1|=4，所以可得圆心到直线x=1的距离恰好为半径，所以可证得以AB为直径的圆与x=1相切；(2)由直线AB的斜率为1，设倾斜角为θ，则tanθ=1，可得cosθ=√22，过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，则|AA′|=|AF|，|BB′|=|BF|，由题意如图所示：|FQ|=|AA′|+|AF|⋅cosθ=|AF|(1+cosθ)，所以1|AF|=1+cosθ|FQ|=1+cosθp；同理可得|FQ|=|BB′|−|DF|=|BF|−|BF|cosθ=|BF|(1−cosθ)，所以可得1|BF|=1−cosθ|FQ|=1−cosθp，所以1|AF|+1|BF|=1+cosθp+1−cosθp=2p=22=1，所以可得1|AF|+1|BF|的值为1．【解析】(1)由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程，由题意设直线l的方程，与抛物线的方程联立，求出两根之和，由抛物线的性质可得弦长|AB|的值，即求出以AB为直径的圆的直径，再求出AB的中点N的横坐标，可得中点N到x=1的距离，可证得以AB为直径的圆与x=1相切；(2)过A，B分别作x轴的垂线，作准线的垂线，由抛物线的性质可得|AF|，|BF|的表达式，进而求出1|AF|+1|BF|的值2p，再求其值．本题考查抛物线的性质的应用及以焦点弦为直径的圆与准线相切的证明方法，属于中档题．21.【答案】解：(1)依题意，函数f(x)的定义域为(0,+∞)，求导得：f′(x)=2x −ax2，因函数f(x)在x=1处取得极值，则有f′(1)=2−a=0，解得a=2，此时，f′(x)=2x −2x2=2(x−1)x2，当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，因此，函数f(x)在x=1处取得极值，则a=2，所以实数a的值是2．(2)因为∀x ∈[1,+∞)，f(x)≥1等价于 2lnx +ax −2≥1，等价于a ≥3x −2xlnx ，令g(x)=3x −2xlnx ，x ≥1，则g′(x)=3−2(1+lnx)=1−2lnx ， 当1<x <√e 时，g′(x)>0；当x >√e 时，g′(x)<0； 所以g(x)在[1,√e)上单调递增，在(√e,+∞)上单调递减， 因此，当x =√e 时，g(x)max =g(√e)=3√e −2√eln √e =2√e ， 于是得a ≥2√e ，所以实数a 的取值范围是[2√e,+∞)．【解析】(1)求出函数f(x)的导数，由x =1处导数值为0求出a ，再检验作答． (2)将不等式f(x)≥1作等价变形，再构造函数并借助导数求函数的最值即可作答． 本题考查利用导数研究函数的单调性、最值与极值，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．22.【答案】解：(1)由题意可得e =c a =√22=√1−b 2a 2，可得a 2=2b 2=b 2+c 2，所以b =c ，而2b +2c =4，即b +c =2，可得b =c =1，a 2=2， 所以椭圆的方程为：x 22+y 2=1；(2)由题意可得直线MN 的斜率不为0，设直线MN 的方程为：x =my +2， 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立{x =my +2x 2+2y 2=2，整理可得：(2+m 2)y 2+4my +2=0，Δ=16m 2−4(2+m 2)×2>0，可得m 2>2， y 1+y 2=−4m2+m 2，y 1y 2=22+m 2，所以|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√16m 2(2+m 2)2−4⋅22+m 2=2√2√m 2−22+m 2， 设t =√m 2−2>0， 则m 2=t 2+2，S △OMN =12|OA|⋅|y 1−y 2|=12×2⋅2√2√m 2−22+m 2=2√2⋅t t 2+4=2√2⋅1t+4t≤√22√4=√22，当且仅当t =4t ，即t =2时取等号， 这时√m 2−2=2，解得m =±√6，所以△OMN(O为坐标原点)面积的最大值为√2，此时直线l的方程为x±√6y−2=0．2【解析】(1)由椭圆的离心率可得b，c的关系，再由椭圆的短轴长与焦距长之和为4可得b，c的关系，进而求出b，c的值，求出a的值，写出椭圆的方程；(2)设直线MN的方程，与椭圆的方程联立求出两根之和及两根之积，求出M，N的纵坐标之差的绝对值，代入三角形的面积公式，换元，由均值不等式可得面积的最大值，并求出直线的方程．本题考查椭圆的方程的求法及直线与椭圆的综合应用，换元法的应用及均值不等式的应用，属于中档题。
2021-2022学年江西省上饶市高二(上)期末数学试卷(理科)(附详解)
2021-2022学年江西省上饶市高二〈上〉期末数学试卷（理科〉一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为50的样本，则分段的问限为（）A 20 B .25 C.40D .so2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校男教师的人数为（）〈初申剖）A 167B .137 〈高中部〉C. 123D . 1133.已知x是［0,3］上的一个随机数，则使x满足x 2-4 s; 0的概率为（）A �B.;c.�D .�4.由1,2, 3, 4, 5五个数组成没有重复数字的五位数，其中1与Z不能相邻的排法总数为（）A.20B. 36C.605.如圈，用随机模拟方法近似估计在边长为e(e 为自然对数的底数）的正方形中阴影部分的面积，先产生两组区问［O,e）上的｜抱机数Xi ’勺，沟’…，X1000和Y1’Yz ，为，…，Y1000，因此得到1000个点对（抖，Y;)(i=1,2,3, ... ,1000），再统计出落在该阴影部分内的点数为260个，则此阴影部分的面积约为（）A.0.70 B. 1.04C.1.86D.72xD.1.926.随机地向两个标号分别为1与Z 的格子涂色，涂上红色或绿色，在己知｜其中一个格子颜色为红色条件下另一个格子颜色也为红色的概率为（）A �B .;c. �D .�7.在某市第一次全民饭酸检测中，某中学派出了8名青年教师参与志愿者活动，分别派往2个核酸检测点，每个检视1］点需4名志愿、者，其中志愿者叩与乙要求在同一组，志愿者冈与丁也要求在同一组，则这8名志愿者派遣方法种数为（）A .20B.14C .12D .68.�程序框图如图所示，该程序运行后输出S的值是（）歼始晴在s-s+__!.._k(k-1)k=k+tA.910B. 111C艺D去9.已知随机变量X,Yi 满足X ～N(l ，σ2),y ～N(O ，σ2），且P(X < 0) = 0.2，则P(Y 2< 1)的值为（）A.0.2B.0.3C.0.5D.0.6(X -y -4三010.在｛x -2y + 2主0条件下，目标函数z =ax+ by （α〉仙＞0）的最大值为2，则�＋lx +y 三4：的最小值是（）A.20B.40C .60D.8011.现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，分别带着A、B、C、D、E五个不同的礼物参加“抽窗盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机报｜取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（）A.;B.�c .�D .!12.设αε（O ，），随机变量X 的分布列如表所示，则L 变量Y 满足Y = 2X + 1，则当α在（吵上增大时，关于D(Y ）的表述下列正确的是（）第2页，共19页A.D(Y ）增大C.D(Y ）先增大后减小B.D(Y ）减小D.D(Y ）先减小后增大二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）为＊且，A』『‘、」F ／且敲的y ＋ x 句，，“一－z mmh AU AU〉－〈－噜Aqψ＋－ o y y〉－－＋y x x ，，E．． ，、，，．、仲咐’，，咱’条柬约足满vd x 且里变设qJ 咆A 14.;1在校开展“读书月”朗诵比赛，9位评委为选手A给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后算得平均分为91，复核员在复核时发现有一个数字（茎口十图中的x）无法看清，者记分员’计算无误，P！”数字x应该是－一一－品F 飞、）”1、l乃15.(x + 2y -z)4展开式中x 2yz 的系数是·16.有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为一一一·三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.2021年7月29日，中国游泳队获得了女子4x 200米自由泳接力决赛冠军并打破世界纪录．受奥运精神的鼓舞，某游泳俱乐部组织100名游泳爱好者进行自由泳1500米测试，并·记录他们的时间（单位：分钟），将所得数据分成5组：［15,25),[25,35),[35,45), [ 45,55), [55,65），整理得到如1右因所示的频率分布直方oo.’�－ t8�o。
江西省上饶市2013-2014学年高二下学期期末考试文科数学试卷(带解析)
江西省上饶市2013-2014学年高二下学期期末考试文科数学试卷（带解析）1．在复平面内，复数（i 是虚数单位）所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D 【解析】 试题分析：i i i i i -=-+-=+1)1)(1()1(212，对应点（1，-1）在第四象限，答案选D. 考点：复数的定义与运算2．命题“∃x 0∈R 使得x 02+x 0﹣2＜0”的否定是（ ）A ．“∃x 0∈R 使得x 02+x 0﹣2≥0”B ．“∃x 0∈R 使得x 02+x 0﹣2＞0”C ．“∀x 0∈R 使得x 02+x 0﹣2≥0”D ．“∀x 0∈R 使得x 02+x 0﹣2＞0” 【答案】C 【解析】试题分析：存在性命题的否定是全称命题并否定结论，因此命题“∃x 0∈R 使得x 02+x 0﹣2＜0”的否定是∀x 0∈R 使得x 02+x 0﹣2≥0，答案选C. 考点：存在性命题的否定3．已知向量=（1，x ），=（1，﹣x ），若2+与垂直，则||=（ ） A ．4 B ．2 C ． D ．【答案】B 【解析】试题分析：由已知可得0)2(=⋅+b b a 即02=⋅+⋅b b b a ，所以012222=++-x x ，解得32=x ，212=+=x a，答案选B.考点：向量的坐标运算4．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l ⊥m ，m 在α内，则l ⊥α B ．若l ∥α，l ∥m ，则m ∥α C ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α D ．若l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α 【答案】C 【解析】 试题分析：垂直于平面内的两条相交直线的直线与平面垂直，选项A 错；选项B 中的直线m 可以在平面α内；选项D 中的直线m 可以在平面α内，所以答案选C. 考点：空间点线面的位置关系5．若存在x ∈[﹣2，3]，使不等式2x ﹣x 2≥a 成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，1] B ．（﹣∞，﹣8] C ．[1，+∞） D ．[﹣8，+∞） 【答案】A 【解析】试题分析：构造函数f （x ）=2x ﹣x 2，由存在]3,2[-∈x ，使不等式2x ﹣x 2≥a 成立（如果是任意]3,2[-∈x ，使不等式2x ﹣x 2≥a 成立则min )(x f a ≤，易误解），可知max )(x f a ≤即1≤a ，答案选A.考点：二次函数的最值 6．右图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A ．i ＞5B ．i ＜5C ．i ＞10D ．i ＜10 【答案】A 【解析】试题分析：由题意可知程序为直到型循环，循环体需运行5次，条件满足结束循环，i 为控制循环的变量，取1、2、3、4、5时要执行循环体，而取6时条件必须成立退出循环，所以 i ＞5，答案选A.考点：含直到型循环的程序框图7．若实数x ，y 满足约束条件，则z=2x+y 的最大值为（ ）A ．1B ．C ．4D ．6 【答案】D 【解析】试题分析：画出可行域，求出三顶点坐标分别为（0，1）、（2，2）、)21,21(，分别代入目标函数可知最大值在（2，2）处取得值为6，答案选D. 考点：线性规划的最优解8．要得到函数y=f ′（x ）的图象，需将函数f （x ）=sinx ﹣cosx （x ∈R ）的图象（ ） A ．向左平移个单位 B ．向右平移个单位C ．向左平移π个单位D ．向右平移π个单位【答案】A 【解析】试题分析：)4sin(2cos sin )(π-=-=x x x x f ，)4sin(2sin cos )(π+=+='x x x x f ，需将f （x ）的图象向左平移2π个单位得到，答案选A. 考点：1.三角函数的图象与变换；2.三角恒等变形；3.三角函数的导数9．若直线mx+ny+2=0（m ＞0，n ＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12 【答案】A 【解析】试题分析：圆心坐标为（-3，-1），半径r=1，弦长为2等于直径长，所以直线过圆心，因此-3m-n+2=0即3m+n=2，693)96(21)31)(3(2131=+≥++=++=+nmm n n m n m n m ，当且仅当n=3m 时取“=”，答案选A.考点：1.直线与圆的位置关系；2.基本不等式10．对于函数①f （x ）=4x+﹣5；②f （x ）=|log 2x|﹣（）x ；③f （x ）=|x ﹣1|﹣；命题甲：f （x ）在区间（1，2）上是增函数；命题乙：f （x ）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x 1，x 2，且x 1x 2＜1．能使命题甲、乙均为真命题的函数有（ ）个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】试题分析：对于函数514)(-+=x x x f ，2221414)(x x x x f -=-='，当)2,1(∈x 时，0)(>'x f ，函数为增函数，0)(='x f 得21±=x ，当21=x 时，1)21(-=f ，所以函数在),0(+∞上有两零点设为21,x x ，由0514=-+x x 得01542=+-x x ，所以14121<=x x ，对于函数x x x f )21(|log |)(2-=，因为|log |2x 在)2,1(∈x 上增，x)21(在)2,1(∈x 上减，所以x x x f )21(|log |)(2-=在)2,1(∈x 时增，0)21(|log |)(2=-=x x x f 即xx )21(|log |2=，由图象可知|log |2x 与x )21(在),0(+∞上有两个交点，即xx x f )21(|log |)(2-=在),0(+∞上有两零点，设为21,x x 且2110x x <<<，则1)21(|l o g |12x x =，2)21(|log |22x x =即1)21(log 12x x =-，2)21(log 22x x =，两式相减得0)21()21(log 12212<-=x x x x ，所以有121<x x ，对于函数x x x f --=|1|)(，若0)(=x f 则x x =-|1|即0132=+-x x ，有121=x x 不满足，答案选C.考点：函数的单调性与零点11．函数y=3x ，x ∈[1，2]的值域为 _________ ． 【答案】[3，9] 【解析】试题分析：因为函数x y 3=在定义域上为增函数，所以当x ∈[1，2]，]3,3[21∈y 即[3，9]，答案为[3，9].考点：函数的单调性与最值12．设集合S={x|x ＞﹣2}，T={x|x 2+3x ﹣4≤0}，则S ∩T= _________ ． 【答案】}12|{≤<-x x 【解析】试题分析：化简的}14|{≤≤-=x x T ，所以}12|{≤<-=⋂x x T S ，答案为}12|{≤<-x x .考点：集合的运算13．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是 _________ ．【答案】54 【解析】试题分析：由正视图可知四棱锥的底面边长为2，高为2，可求出斜高为5，因此四棱锥的侧面积5452214=⨯⨯⨯=S ，答案为54. 考点：1.几何体的三视图；2.锥体的侧面积计算 14．已知实数1，m ，9构成一个等比数列，则圆锥曲线+y 2=1的离心率为 _________ ．【答案】36或2 【解析】试题分析：因为实数1，m ，9构成一个等比数列，所以92=m 即m=3或m=-3，当m=3时，曲线为焦点在x 轴的椭圆，离心率为36；当m=-3时，曲线为焦点在y 轴的双曲线，离心率为2，答案为36或2. 考点：1.等比数列的性质；2.圆锥曲线的性质15．设O 是△ABC 的三边中垂线的交点，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，若b=4，c=2，则•的值是 _________ ．【答案】6 【解析】试题分析：特例法，设△ABC 是直角三角形，2π=∠A ，AC=4，AB=2，则O 是BC 的中点，BC=52，AO=BO=5，向量与的夹角是A O B ∠，则535522)5()5(c o s 222=⨯⨯-+=∠A O B ，365BC AO BC AO COS AOB ⋅=⋅∠==，答案为6.考点：向量的运算16．已知数列{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，数列{a n }的前n 项和S n =nb n ． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设，求数列{c n }的前n 项和T n ．【答案】（1）65n a n =-，（2）16+=n nT n 【解析】试题分析：（1）由已知，13(1)32n b n n =+-=-.所以232n S n n =-，从而111;a S ==当2n ≥时,22132[3(1)2(1)]65n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，又11a =也适合上式,所以65n a n =-. （2）由（1）1111()(65)(61)66561n c n n n n ==--+-+得123111111(1)()()677136561n n T c c c c n n ⎡⎤=+++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥-+⎣⎦11(1)66161n n n =-=++． 试题解析：（1）由已知，13(1)32n b n n =+-=-. 所以232n S n n =-．从而111;a S ==当2n ≥时,22132[3(1)2(1)]65n n n a S S n n n n n -=-=-----=-， 又11a =也适合上式,所以65n a n =-. （2）由（1）1111()(65)(61)66561n c n n n n ==--+-+，所以123111111(1)()()677136561n n T c c c c n n ⎡⎤=+++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥-+⎣⎦11(1)66161nn n =-=++． 考点：1.数列的通项公式；2.裂项相消法求数列和已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19．（1）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少名？ （2）已知y≥245，z≥245，求高三年级中女生比男生多的概率． 【答案】（1）12；（2）115【解析】试题分析：（1）0.19,3802000xx = ∴=2000373377370380500y z ∴+=----=，因此应在高三年级抽取的人数为：50048122000⨯= ； （2）由500,245y z y z += ≥≥， ，,)y z (的可能性是（245，255），（246，254），（247，253）（248，252），（249，251），（250，250），（251，249），（252，248），（253，247），（254，246），（255，245），若女生比男生多，则y z >，符合条件的有(251,249),(252,248),(253,247),(254,246),(255,245)，所求的概率为：511p =试题解析：（1）0.19,3802000xx = ∴= 2000373377370380500y z ∴+=----=∴应在高三年级抽取的人数为：50048122000⨯= （2）∵500,245245y z y z += ≥≥，∴,)y z (的可能性是(245,255),(246,254),(247,253),(248,252),(249,251),(250,250),(251,249),(252,248),(253,247),(254,246),(255,245).若女生比男生多，则y z >，∴符合条件的有(251,249),(252,248),(253,247),(254,246),(255,245) ∴所求的概率为：511p =考点：1.分层抽样，2.古典概型18．已知函数f （x ）=sin cos ﹣cos 2+（1）若x ∈[0，]，且f （x ）=，求cosx 的值；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足2bcosA≤2c+a ，求f （B ）的取值范围． 【答案】（1）6322-，（2）]1,21(- 【解析】试题分析：（1）由题意得033)6sin(cos 21sin 23)(>=-=-=πx x x x f ，由[0,]2x π∈得：663x πππ-≤-≤，从而得cos()6x π-=cos cos[()]cos cos()sin sin()666666x x x x ππππππ=-+=---=；（2）由2c o s3b A a ≤得：23c o s -≥B ，从而506B π<≤，故1()s i n ()(,1]62f B B π=-∈-试题解析：（1）依题意得)6sin(cos 21sin 23)(π-=-=x x x x f ，由[0,]2x π∈得：663x πππ-≤-≤，sin()06x π-=>，从而可得cos()6x π-=则cos cos[()]cos cos()sin sin()666666x x x x ππππππ=-+=---=（2）由2cos 2b A c ≤得：23cos -≥B ，从而506B π<≤，故 ]1,21()6sin()(,3266-∈-=<-<-ππππB B f B 考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的性质19．已知四边形ABCD 是矩形，AB=，BC=，将△ABC 沿着对角线AC 折起来得到△AB 1C ，且顶点B 1在平面AB=CD 上射影O 恰落在边AD 上，如图所示． （1）求证：AB 1⊥平面B 1CD ；（2）求三棱锥B 1﹣ABC 的体积V B1﹣ABC ．【答案】（1）见解析；（2）32【解析】试题分析：（1）1B O ⊥Q 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以1B O CD ⊥，又CD ⊥AD ，AD ⋂1BO =O ，所以CD ⊥平面1AB D ，又1AB ⊂平面1AB D ，所以1AB CD ⊥，又11AB B C ⊥，且1B C CD C =I1AB ∴⊥平面1B CD （2）由于1AB ⊥平面1B CD ，1B D ⊂平面ABCD ，所以11AB B D ⊥ 在1Rt AB D ∆中，12B D ==， 又由111BO AD AB B D ⋅=⋅得111AB B DB O AD⋅==所以11112333B ABC ABC V S B O -∆=⋅==试题解析：（1）1B O ⊥Q 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴1B O CD ⊥，又CD ⊥AD ，AD I 1BO =O ∴CD ⊥平面1AB D ，又1AB ⊂平面1AB D ∴1AB CD ⊥，又11AB B C ⊥，且1B C CD C =I1AB ∴⊥平面1B CD（2）由于1AB ⊥平面1B CD ，1B D ⊂平面ABCD ，所以11AB B D ⊥在1Rt AB D ∆中，12B D ==，又由111B O AD AB B D ⋅=⋅得111AB B D B O AD ⋅==所以11112333B ABC ABC V S B O -∆=⋅==考点：1.空间线面垂直；2.锥体的体积 20．已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率是，且点P （1，）在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）若过点D （0，2）的直线l 与椭圆C 交于不同的两点E ，F ，试求△OEF 面积的取值范围（O 为坐标原点）．【答案】（1）2212x y +=；（2）]22,0( 【解析】试题分析：⑴由e =得,a c b ==，椭圆方程为222212x y b b +=，又点)P 在椭圆上,所以2211122b b +=解得21b =因此椭圆方程为2212x y +=；(2) 由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为2y k x =+,代入1222=+y x 得：22(21)860k x kx +++=，由0∆>，解得232k >设()11,E x y ，()22,F x y ，则2222122121)12()23(164)(||+-=-+=-=-=∆∆∆k k x x x x x x S S S OFDOED OEF ， 令23(0)2k t t -=>,则23(0)2k t t =+>，2244124412)42(16||221=+≤++=+=-=∆tt t t x x S OEF，所以OEF S ∆∈ . 试题解析：⑴,∵2e ==∴,a c b == ∴222212x y b b +=∵点(1,2P 在椭圆上,∴2211122b b += ∴21b = ∴2212x y +=(2) 由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为2y kx =+ ,代入1222=+y x 得： 22(21)860k x kx +++= 由0∆>，解得232k >设()11,E x y ，()22,F x y ，则21221228,21621k x x k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩12121212111122222OEF OED OFD S S S OD x OD x OD x x x x x x ∆∆∆=-=⋅-⋅=⋅-=⨯⋅-=-12x x -====令23(0)2k t t -=>,所以23(0)2k t t =+>12OEF S x x ∆=-====≤所以(0,]2OEF S ∆∈ 考点：1.椭圆的方程；2.用代数法研究直线与椭圆相交；3.基本不等式21．已知函数f （x ）=x•lnx （e 为无理数，e≈2.718）（1）求函数f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线方程；（2）设实数a ＞，求函数f （x ）在[a ，2a]上的最小值；（3）若k 为正数，且f （x ）＞（k ﹣1）x ﹣k 对任意x ＞1恒成立，求k 的最大值．【答案】（1）y=2x-e ；（2）当e a 1≥时，a a a f x f ln )()(min ==，当ea e 121<<时，ee f x f 1)1()(m i n -==；（3）3 【解析】试题分析：⑴定义域为),0(+∞，1ln )(+='x x f ，2)(,)(='=e f e e f ，切线方程为y=2x-e ；（2）()ln 1f x x '=+，令0)(='x f 得e x 1=，当)1,0(ex ∈时，0)(<'x f ，()f x 单调递减；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，0)(>'x f ，()f x 单调递增.，当e a 1≥时，()f x 在[a ，2a]上单调递增，a a a f x f ln )()(min ==，当e a e 121<<时，得a e a 21<<，ee f x f 1)1()(min -==；(3) ()(1)f x k x k >--对任意1x >恒成立，即ln 1x x x k x +>-对任意1x >恒成立，令2ln ln 2()(1)'()(1)1(1)x x x x x g x x g x x x x +--=>⇒=>--令)1(2ln )(>--=x x x x h ，01)(min >-='x x x h ，h （x ）在(1,)+∞上单调递增，因为0)3(<h ，0)4(>h 所以()h x 存在唯一零点0(3,4)x ∈，即00ln 20x x --=，当0(1,)x x ∈时，0()()0'()0h x h x g x <=⇒<；当0(,)x x ∈+∞时，0()()0'()0h x h x g x >=⇒>；因此()g x 在0(1,)x x ∈时单调递减；在0(,)x x ∈+∞时，单调递增；所以0000min 0000(ln 1)(1)[()]()11x x x x g x g x x x x +-====--由题意m i n 0[()]k g x x <=，又因为k Z ∈，所以k 的最大值是3.试题解析：⑴∵()(0,)()ln 1,()()2f x f x x f e e f e ''+∞=+==定义域为又 ():2(),2y f x e y x e e y x e ∴==-+=-函数在点(，f(e))处的切线方程为即（2）∵()ln 1f x x '=+()0f x '=令1x e =得10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当时,()0F x '<，()f x 单调递减； 当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0F x '>，()f x 单调递增. 当min 1,()[,2],[()]()ln ,a f x a a f x f a a a e ≥==时在单调递增min 111112,[()]2a a a f x f e e e e e ⎛⎫<<<<==- ⎪⎝⎭当时,得(3) ()(1)f x k x k >--对任意1x >恒成立，即ln x x x +(1)k x >-对任意1x >恒成立， 即ln 1x x xk x +>-对任意1x >恒成立 令2ln ln 2()(1)'()(1)1(1)x x xx x g x x g x x x x +--=>⇒=>-- 令1()ln 2(1)'()0()x h x x x x h x h x x -=-->⇒=>⇒在(1,)+∞上单调递增。
江西省上饶市鄱阳县第二中学2024-2025学年高二上学期第一次月考检测数学试卷
江西省上饶市鄱阳县第二中学2024-2025学年高二上学期第一次月考检测数学试卷一、单选题1．直线tan 45y =︒的倾斜角是（）A ．45︒B ．90︒C ．135︒D ．0︒2．已知点()3,1,0A -，若向量()2,5,3AB =-，则点B 的坐标是（）.A ．()1,6,3-B ．()5,4,3-C ．()1,6,3--D ．()2,5,3-3．如图，在三棱锥O ABC -中，点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点G 是PQ 的中点，若记OA a = ，OB b = ，OC c = ，则OG =（）A ．111444a b c++ B ．113444a b c++C ．311444a b c++ D ．113444a b c-+ 4．经过()()3,1,1,2A B -两点的直线的方向向量为()1,k ，则实数k =（）A ．14-B ．12-C ．2-D ．15．在空间直角坐标系O xyz -中，点()3,1,2-关于xOz 平面的对称点的坐标为（）A ．()3,1,2-B ．()3,1,2--C ．()2,1,3-D ．()3,1,2--6．设()2,3A -，()3,2B --，直线l 过点()1,2P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（）A ．(][)0,15,--+∞B ．[]5,1-C ．[]1,5-D ．(][)1,5,∞-⋃-+∞7．已知空间向量()()0,1,2,1,2,2a b ==- ，则向量a在向量b 上的投影向量是（）A ．122,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．244,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()2,4,4-D ．422,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭8．如图所示，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面π,2BCD BCD ∠=，222BC AB CD ===，点P 为棱AC 的中点，,E F 分别为直线,DP AB 上的动点，则线段EF 的最小值为（）A ．24B ．2C D 二、多选题9．（多选）下列说法正确的是（）A ．若直线y kx b =+经过第一､二､四象限，则点(),k b 在第三象限B ．直线32y ax a =-+过定点()3,2C ．过点()2,1-且斜率为)12y x +=-D ．斜率为2-，在y 轴上的截距为3的直线的方程为23y x =-±10．下列选项中，正确的命题是（）A ．若两条不同直线l m ,的方向向量为12,v v，则l ∥1m v ⇔ ∥2v B ．已知{},,OA OB OC 是空间向量的一组基底，且111333OD OA OB OC =++ ，则点D 在平面ABC 内，且D 为ABC V 的重心C ．若{},,a b c 是空间向量的一组基底，则{},2,a b c a b c +++也是空间向量的一组基底D ．若空间向量,,a b c共面，则存在不全为0的实数,,x y z 使x y z ++=0a b c 11．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，若2PA AB AD ===，,E F 分别为,PD PB 的中点，则（）A ．⊥EF 平面PACB ．异面直线,AB CEC ．点A 到平面PCDD ．直线AC 与平面EFC 所成角的正弦值为11三、填空题12．点(2,2)A 关于直线2490x y -+=的对称点的坐标为.13．已知空间直角坐标系中的三点()2,0,2A 、()0,0,1B 、()2,2,2C ，则点A 到直线BC 的距离为．14．在棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，13AA =，4BD =，11AB BC AD ⋅-⋅ 5DC =，设异面直线1AA 与BD 的夹角为θ，则cos θ=．四、解答题15．已知直线l ：()()12110a x a y --++=.(1)若l 在两坐标轴上的截距相反，求a 的值；(2)若直线m ：4210x y -+=，且l m ∥，求l 与m 间的距离.16．平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为(3,2),(3,4),(0,6)A B C --．(1)求BC 边所在的直线方程；(2)求BC 边对应的高所在的直线方程；(3)求△ABC 的面积．17．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，90ACB ︒∠=，1112AC BC AA ===，D 是棱1AA 的中点．(1)求异面直线1DC 和1BB 所成的角；(2)证明：平面1BDC ⊥平面BDC ．(3)求三棱锥1C CBD -的体积．18．在直三棱柱111ABC A B C -中，5BA BC ==，18AC AA ==，D 为线段AC 的中点.（1）求证：1BD A D ⊥：（2）求直线1A D 与平面1BC D 所成角的余弦值；（3）求二面角1C BC D --的余弦值.19．如图，已知四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1AA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，其中12AB AA ==，1AD DC ==，E 是11B C 的中点，F 是1DD 的中点.(1)求证：1//D E 平面1CB F ；(2)求平面1CB F 与平面11BB CC 夹角的余弦值；(3)求点B 到平面1CB F 的距离；。
2021-2022学年江西省上饶市六校高二下学期期末联考数学(文)试题
上饶市2021-2022学年度第二学期六校高二期末联考数学（文科）试卷试卷满分：150分考试时间：120分钟命题学校：上饶一中一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1.若复数z 满足(2i)43i -⋅=+z ，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数为（）A.12i+ B.12i - C.12i-+ D.12i--2.若22:log 2,:430≤-+<p x q x x ，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.已知(1,),(2,2)==+a b λλ，且a与b共线，则λ=（）A.1B.3C.2D.2-4.已知0.253log 3,log 0.2,πa b c ===，则（）A.b a c <<B.b c a <<C.a b c<< D.c b a<<5.在区间[2,3]-上任取一个数x ，则[1,4]x ∈的概率为（）A.35B.25C.13D.156.设实数x ，y 满足约束条件1022020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2x y +的最大值为（）A.1B.4C.6D.77.已知圆锥的轴截面是边长为1的等边三角形，则该圆锥表面积为（）A.3πB.πC.π2 D.34π8.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若52515,8=+=S a a ，则该数列的公差为（）A.1B.2C.3D.49.已知直线2y kx =-与圆22(1)1x y -+=相交，则实数k 的取值范围是（）A .3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭10.已知正数m ，n 满足1m n +=，则1+m mn的最小值为（）A.3B.3+C.D.3+11.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为122,,c F F 为其左右两个焦点，直线l 经过点(0,)b 且与渐近线平行，若l 上存在第一象限的点P 满足122PF PF b -=，则双曲线C 离心率的取值范围为（）A. B.C. D.)+∞12.若关于x 的不等式()2ln e 2ln xa a x a x a a -+≤-在()0,∞+上恒成立，则实数a 的最大值为（）A.B.eC.D.2e 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知角α的终边经过点()1,2-，则sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．14.曲线22112x y m m+=+-表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________．15.在正项等比数列{}n a 中，已知4568=a a a ，则129lg lg lg a a a +++= ________．16.如图，在四核锥P ABCD =中，底面ABCD 为等腰梯形，PA ⊥面ABCD ，AD BC ∥，2AB AD AP ===，4BC =，M 为线段AB 的中点，下面结论正确的是________．①PB AC ⊥；②直线PC 和底面ABCD 所成的角为π3；③过点M 且与平面PBC ；④四棱锥外接球的表面积为20π．三、解答题：共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：17.足球运动是一项古老的体育活动，源远流长，最早起源于我国古代的一种球类游戏蹴鞠，后来经过阿拉伯人传到欧洲，发展成现代足球．为了解某社区足球爱好者的年龄分布情况，从该社区随机抽取50名足球爱好者，将这50人的年龄按[5,15),[15,25),[25,35),[35,45),[45,55]分成5组，得到了如下的频率分布直方图．（1）求样本的平均数及中位数；（2）从年龄段[35,45)和[45,55]中按分层抽样的方法随机抽取4人，再从这4人中随机抽取2人，求这两人的年龄都落在[35,45)的概率．18.ABC 内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c cos sin 0+-=C c A ．（1）求角A 的大小；（2）若ABC 外接圆的半径为3，角A 的平分线与线段BC 交于点D ，且AD =，求b 、c 的值．19.如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，PAD △为等腰直角三角形，PA PD ⊥，点E 在线段PC 上，且二面角P AD B --为直二面角．（1）证明：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）当//PA 平面BDE 时，求点E 到平面PBD 的距离．20.已知函数2()(2)e (1)(R,R)x f x x a x m a m =----∈∈．（1）若12a =，求()f x 的单调区间；（2）若()0,()2ln 2exa f x x x =≥+-对一切,()0x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围．21.已知抛物线22(0)x py p =>上的任意一点到(0,1)P 的距离比到x 轴的距离大1．（1）求抛物线的方程；（2）若过点(0,2)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点Q ，求QAB 重心G 的轨迹方程．（二）选做题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按照所做第一题计分．22.在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为121x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，点P 的极坐标为π4⎫⎪⎭，曲线2C 的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若曲线12,C C 交于A ，B 两点，求||||PA PB -的值．23.已知函数2()|1|2|1|,()()=++-=++∈f x x x g x x a a R x．（1）求不等式()6f x ≥的解集；（2）若对任意1x R ∈，都存在2[2,4]x ∈，使得()()12f x g x ≥成立，求a 的取值范围．上饶市2021-2022学年度第二学期六校高二期末联考数学（文科）试卷试卷满分：150分考试时间：120分钟命题学校：上饶一中一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】B【9题答案】【答案】D【10题答案】【答案】B【11题答案】【答案】A【12题答案】【答案】A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【13题答案】【答案】55-【14题答案】【答案】1,22⎛⎫⎪⎝⎭【15题答案】【答案】9lg 2##lg 512【16题答案】【答案】①③④三、解答题：共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：【17题答案】【答案】（1）平均数25.5；中位数23.75（2）12【18题答案】【答案】（1）3A π=（2）2b c ==【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）3【20题答案】【答案】（1）()f x 的单调增区间为(,0)-∞和(1,)+∞，单调减区间为(0,1)（2）(,22ln2]-∞-【21题答案】【答案】（1）24x y =（2）21233=+y x （二）选做题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按照所做第一题计分．【22题答案】【答案】（1）210x y -+=，22142x y+=（2）453【23题答案】【答案】（1）57,,33⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭（2）(,1]-∞-。
江西省上饶市重点中学2021-2022学年高二下学期期末考试数学(文)试卷
数学（文科）测试卷考试时间：120分钟分值：150分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一､单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.若i 1i z ⋅=--，则z 的虚部为（ ）A.iB.i -C.1D.1-2.已知x R ∈，则1x ≥且4y ≥是5x y +≥且4xy ≥成立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 C.充要条件3.江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（ ）A.221169x y -=B.2214x y -=C.22189x y -=D.22143x y -= 4.广丰永和塔的前身为南潭古塔，建于明万历年间，清道光二十五年（1845）重修.砖石结构，塔高九层，沿塔内石阶可层层攀登而上.塔身立于悬崖陡坡上，下临丰溪河，气势峭拔.上个世界九十年代末，此塔重修，并更名为“永和塔”.每至夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境.某游客从塔底层（一层）进入塔身，即沿石阶逐级攀登，一步一阶，此后每上一层均沿塔走廊绕塔一周以便浏览美景，现知底层共二十六级台阶，此后每往上一层减少两级台阶，顶层绕塔一周需十二步，每往下一层绕塔一周需多三步，问这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周止共需几步？（ ）A.352B.387C.332D.3685.设αβ､是互不重合的平面，l m n ､､是互不重合的直线，下列命题正确的是（ ） A.若,,,m n l m l n αα⊂⊂⊥⊥，则l α⊥ B.若,l n m n ⊥⊥，则l m ∥C.若,,m n αβαβ⊥∥∥，则m n ⊥D.若,l l αβ⊥∥，则αβ⊥6.某中学共有400名职工，其中不到35岁的有120人，3549-岁的有,50m 岁及以上的有n ，现用分层抽样的方法，从中抽出100名职工了解他们的健康情况.如果已知35-49岁的职工抽取了50人，则50岁及以上的职工抽取的人数为（ ） A.80 B.120 C.30 D.207.在长方体1111ABCD A B C D -中，122AA AD =，则异面直线B D -与1CD 所成角的余弦值是（ ） 3 3 33 68.马家柚与天桂梨是广丰本地的农优产品，以汁多味甜而好评不断，为了加大宣传，提升品牌力度，在某次农产品展销会中，主办方特制作了“马家柚”和“天桂梨”的卡通雕塑，现拟安排甲､乙等5名志愿者将这两种卡通雕塑安装在展销会的入口处，从志愿者中任选三人负责安装“马家柚”，另二人负责安装“天桂梨”，则甲､乙两人同时安装“马家柚”的概率为（ ） A.23 B.35 C.13 D.3109.已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，若()()22xf xg x --=，则()1g -=（ ）A.5B.5-C.3D.3-10.已知函数()22sin 1f x x x =-，则下列结论正确的是（ ） A.()f x 的最小正周期是2π B.()f x 的图象关于点5,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C.()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增D.12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数 11.已知ABC 中，G 是BC 的中点，若2,10AB AC ==AG BC ⋅的值为（ ） A.2 B.3 C.2- D.3-12.已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()30f x f x x-'->，且()10f =，则不等式()30x x f e xe ->的解集为（ ）A.()0,1B.()1,∞+C.()0,∞+D.(),e ∞+二､填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线22145x y -=的右焦点到直线24y x =+的距离为__________.14.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为22120,3B a c ac =+=，则b =__________.15.函数()ln 1f x x x =-在点()(),e f e 处的切线方程为__________.16.已知直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AB AC AA BC ⊥=.若三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积是40π，则它的体积的最大值是__________.三､解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.（10分）已知函数()123f x x x =++-. （1）求不等式()11f x ≤的解集；（2）若0,0a b >>，且a b M +=，其中M 是()f x 的最小值，求14a b+的最小值. 18.（12分）铜钹山位于江西省上饶市广丰区南部，属武夷山脉东段北麓.主峰位于广丰区与福建省浦城县､武夷山市交界处，海拔1534.6米，为广丰区的最高点.清代诗人徐兆伦曾登临铜钹山并赋诗曰：“兀傲东南第一峰，半开灵境白云中”，从此铜钹山获得了“东南第一峰”的美誉.2002年11月铜钹山被评为国家森林公园.又于2016年2月被评为国家AAAA 级风景名胜区.某机构随机抽取调查100人，对是否有意向到铜拔山旅游进行调查，结果如表：（1）若从年龄在[)70,80的被调查人群中随机选出两人进行调查，求这两人中恰有一人有意向旅游的概率；（2）若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99.9%的把握认为到铜钹山旅游与人的年龄有关？参考数据：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.（12分）已知数列{}n a 是递增的等差数列，23a =，若15372,,a a a a a -+成等比 （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若3na nb =，数列()()1411n n n b b b +⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭的前n 项和n S ，求n S .20.（12分）已知函数()()ln f x x ax a R =-∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 仅有一个零点，求实数a 的取值范围.21.（12分）《九章算术》中记录形似“楔体”的所谓“羡除”，就是三个侧面都是梯形或平行四边形（其中最多只有一个平行四边形）､两个不平行对面是三角形的五面体.如图，羡除ABCDEF 中，ABCD 是边长为6的正方形，且,EAD FBC 均为正三角形，棱EF 平行于平面,2ABCD EF AB =.（1）求证：AE CF ⊥； （2）求三棱锥A BDF -的体积.22.（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为()0,1D 3（1）求椭圆的方程：（2）过椭圆右焦点且斜率为()0k k ≠的直线m 与椭圆相交于两点,A B ，y 轴交于点E ，线段AB 的中点为P ，直线l 过点E 且垂直于OP （其中O 为原点），证明直线l 过定点.数学（文科）答案2022.7一､选择题：二､填空题：13.【答案】 14.【答案】815.【答案】210x y e ---= 16.【答案】三､解答题： 17.【答案】解：（1）函数()123f x x x =++-.因为()53,17,1335,3x x f x x x x x -<-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪->⎩，所以()11f x ≤等价于15311x x <-⎧⎨-≤⎩，或13711x x -≤≤⎧⎨-+≤⎩，或33511x x >⎧⎨-≤⎩，解得21x -≤<-，或13x -≤≤-，或1633x <≤即不等式()11f x ≤的解集为162,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； （2）由（1）可知()f x 在(),3∞-上单调递减，在()3,∞+上单调递增， 故()()34f x f ≥=，即4M =，则4a b +=，()1411414544b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为0,0a b >>，所以44b aa b+≥， 当且仅当48,33a b ==时，等号成立，则1494a b +≥，故14a b +的最小值为94. 18.【答案】解：（1）年龄在[)70,80的被调查人群有5人，其中有意向去旅游的有2人，分别记为A B C d e ､､､､，从中抽取2人，基本事件为Cd Ce de AB AC Ad Ae BC Bd Be ､､､､､､､､､共10种，恰有1人有意向去旅游的基本事件为Ad Ae Bd Be Cd Ce ､､､､､共6种， 故所求的概率为63105P ==； （2）根据题意填写22⨯列联表，计算22100(5020525)16.49810.82855457525K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.9%的把握认为有意向去旅游与人的年龄有关. 19.【答案】解：（1）由{}n a 是递增的等差数列，0d ∴> 又2153723,3,2,65a a d a a d a a d =∴=--=+=+ 又15372,,a a a a a -+成等比数列，()()2(2)365d d d ∴=-+，又0d > 12;1,21n d a a n ∴===-（2）由（1）212113,3n n n n b b -++==，()()11411111211n n n n n b b b b b ++⎛⎫=- ⎪++++⎝⎭2112231111111111.21111118232n n n n S b b b b b b ++⎛⎫∴=-+-+⋯+-=- ⎪++++++⋅+⎝⎭ 20.【答案】解：（1）()ln f x x ax =-的定义域为()0,∞+，()1f x a x'=- ①当0a ≤时，由()0f x '>，知()f x 在()0,∞+内单调递增. ②当0a >时，由()0f x '>，即10a x ->得10x a<<， 由()0f x '<，即10a x -<得1x a>， ()f x ∴在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增；在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭内单调递减.因此，①当0a ≤时，()f x 在()0,∞+内单调递增. ②当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增；在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭内单调递减.（2）()f x 仅有一个零点.即：方程ln 0x ax -=仅有一个实根， 即：方程ln xa x=仅有一个实根， 即：函数y a =和()ln x g x x =只有一个公共点，()21ln xg x x-'=. 由()0g x '>，即：21ln 0xx ->， 0x e ∴<<时()g x 单调递增.由()0g x '<，即：21ln 0xx -< ，x e ∴>时()g x 单调递减.()max 1()g x g e e∴==又当x 1>时，ln 0x x >，当01x <<时，ln 0xx<∴当0a ≤或1a e=时，()f x lnx ax =-仅有一个零点.21.【答案】（1）证明：延长AB 到M 点，使BM AB =，连接,CM FM ，EF ∥平面,ABCD EF ⊂面AMF ，平面AMF 平面ABCD AM =， EF AM ∴∥2AM AB EF ==∴四边形AMFE 是平行四边开形， AE MF ∴∥.在FCM 中，1,2FC FM CM ===，222FC FM CM ∴+=90CFM ∴∠=，即MF CF ⊥.AE CF ∴⊥.注：（此证明方法不是唯一的方法，考生若有其他方法也可酌情给分）（2）解：取,AD BC 中点为,M N ，过M 作MH EF ⊥，连接,EM MN 如下所示：因为MN AB EF ∥∥，故,,,E F M N 四点共面，又因为ABCD 为正方形，故AD MN ⊥，又EDA 为等边三角形，故AD EM ⊥， 又,EM MN ⊂面,EFMN EM MN M ⋂=，则AD ⊥面EFNM ，又MH ⊂面EFNM ， 故MH AD ⊥，又,MH EF EF AB ⊥∥，故MH AB ⊥，又,AD AB ⊂面,ABCD AD AB A ⋂=，故MH ⊥面ABCD ， 又EF ∥面ABCD ，故点E 到面ABCD 的距离为HM ，又118,2ABDABCD SS MH =====故13A BDF F ABD ABDV V S MH --==⨯=.22.【答案】（1）解：依题意，2c a =， 2234a c ∴=又222221,,3,4b a b c c a ==+∴=∴=∴䢶㤫圆的标准方程为2214x y +=.（2）证明：由（1）知右焦点坐标为)，设直线m方程为(()11,,y k x A x y =，()22,B x y由(2214x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得，()2222141240,k x x k +-+-=，212214x x k∴+=+(P P P x y k x ∴===∴直线OP 的斜率14p OP py k x k==-， ∴直线l 的斜率4l k k =，令0x =得点E坐标为()0,， ∴直线l的方程为4y kx =，即(4y k x =，∴直线l恒过定点⎫⎪⎪⎝⎭.。
高二数学文科答案
上饶市2021—2022学年度上学期期末教学质量测试高二数学（文科）答案命题人：张 勇 庄月娴 董乐华注意事项：1． 本试卷分选择题和非选择题两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2． 回答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效． 3． 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效． 4． 本试卷共22题，总分150分，考试时间120分钟．第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．计算复数：3i1i−=+（▲） A ．2i + B ．2i − C ．12i −+ D ．12i −【答案】D 【详解】3i (3i)(1i)24i12i 1i (1i)(1i)2−−−−===−++−．2．已知x 是[]03，上的一个随机的实数，则使x 满足240x −≤的概率为（▲） A ．13B ．23C ．12D ．14【答案】B 【详解】[]224022023x x x P −≤−≤≤∈=由得，所以 ，，所以 ． 3．某口罩生产商为了检验产品质量，从总体编号为001，002，003，⋯，499，500的500盒口罩中，利用下面的随机数表选取10个样本进行抽检，选取方法是从下面的随机数表第1行第5列的数字开始由左向右读取，则选出的第3个样本的编号为（▲）A ．148B ．116C ．222D ．325【答案】A 【详解】所取编号依次为：116，445，148，…… 4．箱子中有5件产品，其中有2件次品，从中随机抽取2件产品，设事件A =“至少有一件次品”，则A 的对立事件为（▲） A ．至多两件次品 B ．至多一件次品 C ．没有次品 D ．至少一件次品 【答案】C 【详解】箱子中有5件产品，其中有2件次品，从中随机抽取2件产品，可能出现：“两件次品”，“一件次品，一件非次品”，“两件非次品”三种情况．根据对立事件的定义，事件A =“至少有一件次品” 其对立事件为：“两件非次品”，即“没有次品”．5．设变量x ，y 满足约束条件10,220,220,x y x y x y +−≥⎧⎪−+≥⎨⎪−−≤⎩则32z x y =−的最小值为（▲）A ．3B ．3−C ．2D ．2−【答案】D 【详解】作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示， 作出直线32y x =，平移该直线， 当直线经过(0,1)A 时，z 最小，此时2z =−， 6．若110a b <<，则下列不等式：①a b ab +<；②a b >；③a b <；④2b a a b+>中，正确的 不等式有（▲）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B 【详解】 因为110a b<<，所以00a b <<，，可得00a b ab +<>，，所以a b ab +<，①正确；再可得0b a <<，所以a b <，②③错误；因为0b a >，0a b >，b a a b ≠，所以2b a a b +>=，所以④正确．7．已知呈线性相关的变量x 与y 的部分数据如表所示：若其回归直线方程是 1.050.85y x =+，则m =（▲） A ．6.5 B ．6 C ．6.1D ．7【答案】A 【详解】由题意可得2455m x y +==，，则241.0550.855m +=⨯+，解得 6.5m =． 8. 某商场开通三种平台销售商品，五一期间这三种平台的数据如图1所示．该商场为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，用分层抽样的方法抽取了6%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2所示．下列说法正确的是（▲）A ．样本中对平台一满意的消费者人数约700B ．总体中对平台二满意的消费者人数为18C ．样本中对平台一和平台二满意的消费者总人数为60D ．若样本中对平台三满意的消费者人数为120，则90%m =【答案】C 【详解】对于A ：样本中对平台一满意的人数为223006%50%4⨯=⨯，故选项A 错误； 对于B ：总体中对平台二满意的人数约为20%3001500⨯=，故选项B 错误；对于C ：样本中对平台一和平台二满意的总人数为：020********%35%6%2%6⨯⨯⨯+=⨯，故选项C 正确；对于D ：对平台三的满意率为12080%25006%=⨯，所以80%m =，故选项D 错误．9．将正整数1，2，3，4，⋯，按如图所示的方式排成三角形数组，则第19行从左往右数第5个数是（▲）A ．381B ．361C ．329D ．400【答案】C 【详解】由图中数字排列规律可知：第1行从左往右最后1个数是21，第2行从左往右最后1个数是22，第3行从左往右最后1个数是23，……第18行从左往右最后1个数为218324=，第19行从左往右第5个数是3245329+=．10．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S 值是（▲）A ．910B ．1011C ．1112D ．111【答案】B 【详解】模拟程序运行过程如下：10k S ==，，判断为否,进入循环结构，110,2122S k =+==⨯，判断为否，进入循环结构， 112,32233S k =+==⨯，判断为否，进入循环结构，…… 111,10223910S k =+++=⨯⨯，判断为否，进入循环结构，1111,112239101011S k =++++=⨯⨯⨯，判断为是，故输出11111111101122310112231011111111S =++−−+=−++⋅⋅⋅+−==⨯⨯⨯． 11．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，“三好学生”人数是全班人数的16，且“三好学生”中女生占一半．现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率为（▲）A ．118B ．112C ．18D ．23【答案】C【详解】设事件A 表示“选上的学生是男生”，事件B 表示“选上的学生是三好学生”，则所求概率为()P B A ．由题意可得：男生有602040−=人，“三好学生”有10人，所以“三好学生”中男生有5人，所以()402603P A ==，()516012P AB ==，故()()()1112283P AB P B A P A ===. 12．已知不等式5132x x −≤−的解集为A ，关于x 的不等式2220ax x −+>的解集为B ，且A B B ⊆，则实数a 的取值范围为（▲）A ．()0+∞，B ．116⎛⎫+∞⎪⎝⎭， C ．29⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，【答案】B 【详解】 由5132x x −≤−得37x <≤，A B B A B ⊆⊆因为，所以 由题意可得：2220ax x −+>在(]37x ∈，上恒成立， 即222x a x −>在(]37x ∈，上恒成立，故只需2max22x a x −⎛⎫> ⎪⎝⎭，22221111122416x x x x x −⎛⎫=−+=−−+ ⎪⎝⎭，11173x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，当114x =时，2max 21216x x −⎛⎫= ⎪⎝⎭，故116a >.第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上．） 13．某天上午只排语文、数学、体育三节课，则体育不排在第一节课的概率为 ▲ . 【答案】23【详解】所有可能结果如下：（语文，数学，体育）；（语文，体育，数学）；（数学，语文，体育）；（数学，体育，语文）；（体育，语文，数学）；（体育，数学，语文）．则体育不排在第一节课的概率4263P ==. 14．从编号为01，02，…，60的60个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中的前两 个编号分别为02，08（编号按从小到大的顺序排列），则样本中最大的编号是 ▲ . 【答案】56 【详解】已知样本中的前两个编号分别为02，08，则样本数据组距为826−=，则样本容量为60106=，则对应的号码数26(1)x n =+−，110n n N +≤≤∈，，则当10n =时，x 取得最大值为56. 15．在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆周长为1C ，外接圆周长为2C ，则1212C C =．推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球表面积为1S ，外接球表面积为2S ，则12S S = ▲ ． 【答案】19【详解】平面几何中，圆的周长与圆的半径成正比，而在空间几何中，球的表面积与半径的平方成正比，因为正四面体的内切球和外接球的半径之比是13，所以1219S S =，故答案为19. 16．已知存在正实数a b ，使不等式()2log 123x a b>−+成立，则x 的取值范围 ▲ ．【答案】()1 【详解】存在正实数a b ，()2log 1x >−成立， 所以 ()2maxlog 123x a b ⎛⎫−<⎪ ⎪+⎝⎭ 因为 0a b >>，0，则20b >，20a b +>，230a b +> 所以222322b a b a b+++=≤=（），所以231223232a ba b a b +≤=++，当且仅当22b a b =+时，即2b a =时取等号，所以 max 1232a b⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭ 则()21log 12x−<，即01x <−<，所以 11x <<，一、选择题二、填空题 13．23 14．56 15．1916．()1三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分10分）已知复数22(68)(32)i z m m m m =−++−+，其中i 是虚数单位，m 为实数．（1）当复数z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数i z ⋅在复平面内对应的点位于第三象限时，求m 的取值范围．【答案】（1）4m =；（2）()24，【详解】解：（1）因为z 为纯虚数，所以22680320m m m m ⎧−+=⎨−+≠⎩﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分） 解得2412m m m m ==⎧⎨≠≠⎩，或，且 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）综上可得，当z 为纯虚数时4m =；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）因为22i (32)(68)i z m m m m ⋅=−−++−+在复平面内对应的点位于第三象限，()22320680m m m m ⎧−−+<⎪⎨−+<⎪⎩，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分） 1224m m m <>⎧⎨<<⎩，或 ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分） 即24m <<，故m 的取值范围为()24，． ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分） 18．（本小题满分12分）自2021年秋季起，江西省普通高中起始年级全面实施新课程改革，为了迎接新高考，某校举行物理和化学等选科考试，其中600名学生化学成绩（满分100分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：第一组[)4555，，第二组[)5565，，第三组[)6575，，第四组[)7585，，第五组[]8595，．已知图中前三个组的频率依次构成等差数列，第一组和第五组的频率相同．（1）求a ，b 的值；（2）估算高分（大于等于80分）人数；（3）估计这600名学生化学成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（中位数精确到0.1）．【答案】（1）0.0200.045a b ==，；（2）90；（3）平均值69.5；中位数69.4． 【详解】解：（1）由题意可知：()0.0050.02520.0050.0250.005101b b a +=⨯⎧⎨++++⨯=⎩，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）解得0.0200.045a b =⎧⎨=⎩． ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）高分的频率约为：0.0200.005100.152⎛⎫+⨯=⎪⎝⎭．故高分人数为：6000.1590⨯=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） （3）平均值为500.00510600.02510700.04510800.02010900.0051069.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，﹣（9分） 设中位数为x ，则()0.005100.025100.045650.5x ⨯+⨯+⨯−=，69.4x ≈．故中位数为69.4． ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分） 19．（本小题满分12分）2021年11月初某市出现新冠病毒感染者，该市教育局部署了“停课不停学”的行动，老师们立即开展了线上教学．某中学为了解教学效果，于11月30日复课第一天安排了测试，数学教师为了调查高二年级学生这次测试的数学成绩与每天在线学习数学的时长之间的相关关系，对在校高二学生随机抽取45名进行调查，了解到其中有25人每天在线学习数学的时长不超过1小时，并得到如下的统计图：（1）根据统计图填写下面22⨯列联表，是否有95%的把握 认为“高二学生的这次摸底考试数学成绩与其每天在线学习 数学的时长有关”；（2）从被抽查的且这次数学成绩超过120分的学生中，按分层抽样的方法抽取5名，再从这5名同学中随机抽取2名，求这两名同学中至多有一名每天在线学习数学的时长超过1小时的概率．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d −=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：【答案】（1）见详解；（2）710【详解】解：（1）根据统计图可得：每天在线学习数学的时长不超过1小时数学成绩不超过120分的有2560%15⨯=人， 每天在线学习数学的时长不超过1小时数学成绩超过120分的有2540%10⨯=人， 每天在线学习数学的时长超过1小时数学成绩不超过120分的有2025%5⨯=人， 每天在线学习数学的时长超过1小时数学成绩超过120分的有2075%15⨯=人， 可得22⨯列联表如下：根据22⨯列联表中的数据， 2245(1515510)441 5.5125 3.8412025252080K ⨯−⨯===>⨯⨯⨯⨯.﹣（6分）所以有95%的把握认为“高二学生的这次摸底考试数学成绩与其每天在线学习数学的时长有关” （2）由22⨯列联表可得，被抽查学生中这次数学成绩超过120分的有25人，其中每天在线学习数学的时长不超过1小时的有10人，每天在线学习数学的时长超过1小时的有15人，人数比为2：3，按分层抽样每天在线学习数学的时长不超过1小时的抽2人，记为：1，2；每天在线学习数学的时长超过1小时的抽3人，记为：a ，b ，c ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分） 所有可能结果如下：（1，2），（1，a ），（1，b ），（1，c ），（2，a ），（2，b ），（2，c ），（a ，b ），（a ，c ），（b ，c ），共计10种．设事件A 为“两名同学中至多有一名每天在线学习数学时长超过一小时”包含（1，2），（1，a ），（1，b ），（1，c ），（2，a ），（2，b ），（2，c ）这7种可能结果． 所以 7()10P A =．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分） 20．（本小题满分12分）已知110019a b a b a b>>+=≥，，且，求证：(1+)(1+)． 【答案】见详解【详解】证明：因为001a b a b >>+=，，且， 所以11a b a ba b a b++(1+)(1+)=(1+)(1+)2259b a b a a b a b +≥+==(2+)(2+)=5+，当且仅当12a b ==时取等号， 所以119a b≥(1+)(1+)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（本小题满分12分）甲乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响． （1）求甲乙各投球一次，比赛结束的概率； （2）求甲获胜的概率． 【答案】 （1）13；（2）1327． 【详解】解：（1）设事件k A =“甲在第k 次投篮投中”，其中1,2,3k =设事件k B =“乙在第k 次投篮投中”，其中123k =，，，则1(3)k P A =，1(2)k P B =，其中1,2,3k =．记“甲乙各投球一次，比赛结束”为事件C ，11 C A B =，事件1A 与事件1B 相互独立111111()()()()(1())()P C P A B P A P B P A P B ===−11211(1)32323=−⨯=⨯=故甲乙各投球一次，比赛结束的概率为13．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分） （2）记“甲获胜”为事件D ，111211223D A A B A A B A B A =，11()3P A = ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）1121122111()()()3239()P P A P B P B A A A =⨯==⨯ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）1122311223212111()()()()()3232327()P A P B P A P P A B A B A B P A ==⨯⨯⨯⨯=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）111211211122112233(7)(11113()()3(92)72)P P A P A B A P A D P A A B A A B A B A B A B A ==+++=+=故甲获胜的概率为1327． ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）22．（本小题满分12分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解声音强度D （单位：dB ）与声音能量I （单位：W ∙cm −2）之间的关系，将测量得到的声音强度D 和声音能量I 的数据作了初步处理，得到如图所示的散点图：参考数据：其中lg i i W I =，111.0410I −⨯=，45.7D =，11.5W =−，()102211 1.5610i i I I−=−=⨯∑，()10210.51i i W W=−=∑，()()101116.8810iii IID D −=−−=⨯∑，()()1015.1i i i W W D D =−⋅−=∑，（1）根据散点图判断，11D a b I =+ 与22lg D a b I =+哪一个适宜作为声音强度D 关于声音能量I 的回归模型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）求声音强度D 关于声音能量I 的回归方程． （3）假定当声音强度D 大于60dB 时，会产生噪声污染．城市中某点P 处共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是a I 和b I ，且101410a b I I +=．已知点P 处的声音能量等于a I 与b I 之和．请根据（2）中的回归方程，判断点P 处是否受到噪声污染，并说明理由．参考公式：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121niii nii u u v v u u β==−⋅−=−∑∑，v u αβ=−．【答案】（1）22lg D a b I =+更适合；（2）160.710lg D I =+；（3）点P 处会受到噪声污染，理由见详解． 【详解】（1）22lg D a b I =+更适合．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分） （2）令lg W I =，则22D a b W =+()()()101210215.1100.51iii ii W W D D b W W ==−−===−∑∑， ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分） 2245.710160.7a D b W =−=−⨯（-11.5）=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分） D 关于W 的回归方程是160.710D W =+，试卷第11页，共11页 则D 关于I 的回归方程是160.710lg D I =+．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） （3）设点P 处的声音能量为1I ，则1a b I I I =+．因为00a b I I >>，，101410a bI I += 所以()1011410a b a b a b I I I I I I I −⎛⎫ ⎪⎭=+=++⎝ 104105b a a b I I I I −=⎪+⎛⎫ ⎝⎭+10(510−+≥ 10910−=⨯当且仅当2b a I I =，即10310a I =，93510b I =⨯时等号成立﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分） 所以()011160.710lg 91010lg960.760160.710lg D I −=+≥+⨯=+>， 所以点P 处会受到噪声污染．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）。
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2021-2022学年江西省上饶市高二（上）期末数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 复数3−i1+i =( )A. −1−2iB. 1−2iC. −1+2iD. 1+2i2. 已知x 是[0,3]上的一个随机数，则使x 满足x 2−4≤0的概率为( )A. 13B. 23C. 12D. 143. 某口罩生产商为了检验产品质量，从总体编号为001，002，003，…，499，500的500盒口罩中，利用随机数表(以下摘取了随机数表中第12行至第13行)选取10个样本进行抽检，选取方法是从随机数表第12行第5列的数字开始由左向右读取，则选出的第3个样本的编号为( )16 00 11 66 14 90 84 45 11 65 73 88 05 90 52 27 41 14 86 22 98 12 22 08 07 52 74 95 80 35 69 68 32 50 61 28 47 39 75 34 58 62A. 116B. 148C. 445D. 2224. 箱子中有5件产品，其中有2件次品，从中随机抽取2件产品，设事件A =“至少有一件次品”，则A 的对立事件为( )A. 至多两件次品B. 至多一件次品C. 没有次品D. 至少一件次品5. 设变量x ，y 满足约束条件{x +y −1≥0x −2y +2≥02x −y −2≤0，则z =3x −2y 的最小值为( )A. 3B. −3C. 2D. −26. 若1a <1b <0，则下列不等式①a +b <ab ； ②|a|>|b|； ③a <b ；④b a +ab>2 中，正确的不等式有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个7.已知呈线性相关的变量x与y的部分数据如表所示：若其回归直线方程是ŷ=1.05x+0.85，则m=()x24568y34.5m7.59A. 6.5B. 6C. 6.1D. 78.某商场开通三种平台销售商品，五一期间这三种平台的数据如图1所示．该商场为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，用分层抽样的方法抽取了6%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2所示．下列说法正确的是()A. 样本中对平台一满意的消费者人数约700B. 总体中对平台二满意的消费者人数为18C. 样本中对平台一和平台二满意的消费者总人数为60D. 若样本中对平台三满意的消费者人数为120，则m=90%9.将正整数1，2，3，4，…按如图所示的方式排成三角形数组，则第19行从左往右数第5个数是()A. 381B. 361C. 329D. 40010.某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的值是()A. 910B. 1011C. 1112D. 11111.高二某班共有60名学生，其中女生有20名，“三好学生”人数是全班人数的16，且“三好学生”中女生占一半现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率为()A. 118B. 112C. 18D. 2312.已知不等式x−5x−3≤12的解集为A，关于x的不等式2ax2−x+2>0的解集为B，且A∪B⊆B，则实数a的取值范围为()A. (0,+∞)B. (116,+∞) C. (29,+∞) D. (12,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某天上午只排语文、数学、体育三节课，则体育不排在第一节课的概率为______．14.从编号为01，02，…，60的60个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中的前两个编号分别为02，08(编号按从小到大的顺序排列)，则样本中最大的编号是______．15.在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆周长为C1，外接圆周长为C2，则C1C2=12.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD的内切球表面积为S1，外接球表面积为S2，则S1S2=______．16.已知存在正数a，b使不等式√4ab+2b22a+3b>log2(1−x)成立，则x的取值范围______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知复数z=(m2−6m+8)+(m2−3m+2)i，其中i是虚数单位，m为实数．(1)当复数z为纯虚数时，求m的值；(2)当复数z⋅i在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围．18.为了迎接新高考，某校举行物理和化学等选科考试，其中，600名学生化学成绩(满分100分)的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95).已知图中前三个组的频率依次构成等差数列，第一组和第五组的频率相同．(1)求a，b的值；(2)估算高分(大于等于80分)人数；(3)估计这600名学生化学成绩的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)和中位数(中位数精确到0.1)．19.2021年11月初某市出现新冠病毒感染者，该市教育局部署了“停课不停学”的行动，老师们立即开展了线上教学．某中学为了解教学效果，于11月30日复课第一天安排了测试，数学教师为了调查高二年级学生这次测试的数学成绩与每天在线学习数学的时长之间的相关关系，对在校高二学生随机抽取45名进行调查，了解到其中有25人每天在线学习数学的时长不超过1小时，并得到如下的统计图：(1)根据统计图填写下面2×2列联表，是否有95%的把握认为“高二学生的这次摸底考试数学成绩与其每天在线学习数学的时长有关”；数学成绩不超过120分数学成绩超过120分总计每天在线学习数学的时长不超过1小时25每天在线学习数学的时长超过1小时总计45 (2)从被抽查的，且这次数学成绩超过120分的学生中，按分层抽样的方法抽取5名，再从这5名同学中随机抽取2名，求这两名同学中至多有一名每天在线学习数学的时长超过1小时的概率．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.参考数据：P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k0 2.7063.8416.63510.82820. 已知a >0，b >0，且a +b =1，求证：(1+1a )(1+1b )≥9．21. 甲乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响． (Ⅰ)求甲乙各投球一次，比赛结束的概率； (Ⅱ)求甲获胜的概率．22. 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解声音强度D(单位：dB)与声音能量I(单位：W ⋅cm −2)之间的关系，将测量得到的声音强度D 和声音能量I 的数据作了初步处理，得到如图所示的散点图：参考数据：其中W i =lgI i ，I −=1.04×10−11，D −=45.7，W −=−11.5，∑(10i=1I i −I −)2=1.56×10−21，∑(10i=1W i −W −)2=0.51，∑(10i=1I i −I −)(D i −D −)=6.88×10−11，∑(10i=1W i −W −)⋅(D i −D −)=5.1， (1)根据散点图判断，D =a 1+b 1I 与D =a 2+b 2lgI 哪一个适宜作为声音强度D 关于声音能量I 的回归模型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)求声音强度D 关于声音能量I 的回归方程．(3)假定当声音强度D 大于60dB 时，会产生噪声污染．城市中某点P 处共受到两个声源的影响，这两个声通的声音能量分别是I a 和I b ，且1I a+4I b=1010.已知点P 处的声音能量等于I a 与I b 之和．请根据(2)中的回归方程，判断点P 处是否受到噪声污染，并说明理由．参考公式：对于一组数据(u 1,v 1)，(u 2,v 2)，…，(u n ,v n )，其回归直线v ̂=α̂+β̂u 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：β=∑(n i=1u i −u −)⋅(v i −v −)∑(n i=1u i −u −)2，α=v −−βu −．答案和解析1.【答案】B【解析】解：复数3−i1+i =(3−i)(1−i)(1+i)(1−i)=3−i−3i+i21−i2=1−2i．故选：B．利用复数的乘除运算法则直接求解．本题考查复数的求法，考查复数的乘除运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：x对应的所有结果构成的区间长度是3−0=3，∵x2−4≤0，∴−2≤x≤2，而x∈[0,3]，∴满足x2−4≤0的x构成的区间长度是2−0=2，由几何概型概率公式得P=23，故选：B．据题意，所有事件构成的是区间，属于几何概型，求出区间长度，利用几何概型概率公式求出概率．本题考查判断事件是几何概型，利用几何概型的概率公式求事件的概率．3.【答案】B【解析】解：从随机数表第12行第5列的数字开始由左向右读取，所取编号依次为：116，445，148，222，……，所以选出的第3个样本的编号为148，故选：B．根据随机数表法列出所抽取的编号即可．本题主要考查了随机数表法的应用，是基础题．4.【答案】C【解析】解：箱子中有5件产品，其中有2件次品，从中随机抽取2件产品， 设事件A =“至少有一件次品”， 则事件A 包含的对立事件为没有次品． 故选：C ．利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．本题考查对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，是基础题．5.【答案】D【解析】解：作出变量x ，y 满足约束条件{x +y −1≥0x −2y +2≥02x −y −2≤0， 对应的平面区域如图： 由z =3x −2y 得y =32x −z2， 平移直线y =32x −z 2，经过点B 时，直线y =32x −z2的截距最小，此时z 最大．由{x +y −1=0x −2y +2=0，解得B(0,1)， 此时z min =3×0−2×1=−2， 故选：D ．作出约束条件对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．6.【答案】C【解析】解：∵1a <1b <0，∴b <a <0，∴a +b <0<ab ，故①正确，③错误； ∴−b >−a >0，则|b|>|a|，故②错误；由于 ba >0，ab >0，∴b a+a b>2√b a⋅ab=2，故④正确，综上，①④正确，②③错误，故选C ．由1a <1b <0，判断出a ，b 的符号和大小，再利用不等式的性质及基本不等式判断命题的正误．本题考查不等式的性质，基本不等式的应用，判断b <a <0是解题的关键．7.【答案】A【解析】解：x −=2+4+5+6+85=5，y −=3+4.5+m+7.5+95=24+m 5，因为回归直线方程经过样本中心，所以24+m 5=1.05×5+0.85．解得m =6.5． 故选：A ．求出样本中心坐标，代入回归直线方程，求解即可．本题考查回归直线方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．8.【答案】C【解析】对于A ，样本中对平台一满意的人数为2000×6%×35%=42，故A 错误； 对于B ，总体中对平台二满意的人数约为1500×20%=300，故B 错误； 对于C ，样本中对平台一和平台二满意的总人数为： 2000×6%×35%+1500×6%×20%=60，故C 正确；对于D ，对平台三的满意率为1202500×6%=80%，∴m =80%，故D 错误． 故选：C ．根据扇形图和频率分布直方图进行判断求解．本题考查命题真假的判断，考查扇形图和频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】C【解析】解：由图中数字排列规律可知：∵第1行有1个数，第2行有3个数，第3行有5个数，第4行有7个数，… ∴第i 行有(2i −1)个数．可设第i行第j个数字为a i,j，其中1≤j≤2i−1．观察每行的第1项，可得：a1,1=1，a2,1=2，a3,1=5，a4,1=10，…∴a1,1=1，a2,1−a1,1=1，a3,1−a2,1=3，a4,1−a3,1=5，…a i,1−a i−1,1=2i−3．以上各项相加，可得：a i,1=1+1+3+5+⋯+(2i−3)=1+(i−1)(1+2i−3)2=(i−1)2+1．∴a19,1=(19−1)2+1=325，故第19行从左往右数第5个数是325+4=329．故选：C．本题可根据图中数字的排列规律来思考，先观察每行数字的个数的规律，然后找到每行第一个数之间的规律，然后根据规律得出第19行的第5个数的数字．本题主要考查数列排列规律，等差数列的特点及求通项和求和，错位相减法的应用．本题属综合性较强的中档题．10.【答案】B【解析】解：0)k=1，S=01)S=0+11×2=12，k=22)S=12+12×3，k=33)S=12+12×3+13×4，k=4……9)S=12+12×3+⋯+19×10，k=10，判断为否，10)S=12+12×3+⋯+19×10+110×11，k=11，判断为是，输出S=12+12×3+⋯+19×10+110×11=1−111=1011，故选：B．按照程序框图中的步骤顺序，依次算出每次循环中S，K的值，在K大于10后，输出S，即为所求．本题考查程序框图的简单运算，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：设事件A表示“选上的学生是男生”，事件B为“选上的学生是“三号学生””，则P(A)=4060=23，P(AB)=560=112，故P(B|A)=P(AB)P(A)=11223=18．故选：C．根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．本题主要考查条件概率公式的应用，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：∵x−5x−3≤12，∴x−5x−3−12≤0，∴x−72(x−3)≤0，∴3<x≤7，∴A={x|3<x≤7}，∵关于x的不等式2ax2−x+2>0的解集为B，且A∪B⊆B，∴A⊆B，∴2ax2−x+2>0在{x|3<x≤7}上恒成立，∴a>x−22x2在{x|3<x≤7}上恒成立，∵x−22x2=−1x2+12x=−(1x−14)2+116，1x∈[17,13)，∴当1x =14，即x=4时，x−22x2取得最大值为116，∴a>116，∴a的取值范围为(116,+∞)，故选：B．先解分式不等式求出A，再得到A⊆B，最后分参求最值即可．本题考查分式不等式的解法，分参求最值问题，属于中档题．13.【答案】23【解析】解：某天上午只排语文、数学、体育三节课，基本事件总数n=A33=6，体育不排在第一节课包含的基本事件个数m=A21A22=4，则体育不排在第一节课的概率为P=mn =46=23．故答案为：23．基本事件总数n=A33=6，体育不排在第一节课包含的基本事件个数m=A21A22=4，由此能求出体育不排在第一节课的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】56【解析】解：从编号为01，02，…，60的60个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中的前两个编号分别为02，08(编号按从小到大的顺序排列)，∴抽样间隔是6，样本数据为606=10，∴样本中最大的编号是：2+6×(10−1)=56．故答案为：56．先求出抽样间隔是6，由此能求出样本中最大的编号．本题考查样本中最大的编号的求法，考查系统抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15.【答案】19【解析】解：设四面体ABCD 的棱长为2，如图所示：设外接球的半径为R ，所以根据勾股定理的应用，求出锥体的高为(2√33)=2√63，所以R 2=(2√63)2+(2√63−R)2，解得R =2√63． 利用分割法，3⋅(13⋅12⋅√3⋅2⋅r)=V 锥=2√23，解得r =2√69． 内切球表面积为S 1，外接球表面积为S 2，则S1S 2=r 2R 2=19．故答案为：19．直接利用勾股定理的应用求出外接球的半径，再利用分割法求出内切球的半径，进一步利用球的表面积的公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：球的表面积公式的应用，分割法的应用，勾股定理的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．16.【答案】(1−√2,1)【解析】解：∵√4ab +2b 2=√2b(2a +b)≤2b+2a+b2=2a+3b 2，由于a >0，b >0，则2a +3b >0， ∴√4ab+2b 22a+3b≤12，当且仅当2b =2a +3b 时，∴√4ab+2b22a+3b有最大值12，>>>>>又存在正数a ，b 使不等式√4ab+2b 22a+3b>log 2(1−x)成立，则log 2(1−x)<12，即0<1−x <212，∴1−√2<x <1． 故答案为：(1−√2,1)．存在性问题转化为最大值，运用均值不等式√4ab +2b 2=√2b(2a +b)≤2b+2a+b2=2a+3b 2，求出√4ab+2b 22a+3b的最大值12，转化成解对数不等式log 2(1−x)<12，进而解出x ．本题考查均值不等式的应用，对数不等式的解法，和存在性问题，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为z 为纯虚数，所以{m 2−6m +8=0m 2−3m +2≠0，解得m =4，综上可得，当z 为纯虚数时m =4；(2)因为z ⋅i =−(m 2−3m +2)+(m 2−6m +8)i 在复平面内对应的点位于第三象限， {−(m 2−3m +2)<0m 2−6m +8<0，解得2<m <4， 故m 的取值范围为(2,4)．【解析】(1)根据已知条件，结合纯虚数的概念，即可求解． (2)根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．本题主要考查纯虚数的概念，以及复数的几何意义，属于基础题．18.【答案】解：(1)由题意可知：{0.005+b =2×0.025(0.005+0.025+b +a +0.005)×10=1，解得a =0.020，b =0.045；(2)因为高分的频率约为(a2+0.005)×10=(0.0202+0.005)×10=0.15，所以估算高分(大于等于80分)人数为600×0.15=90；(3)估计这600名学生化学成绩的平均值等于50×0.005×10+60×0.025×10+70×0.045×10+80×0.02×10+90×0.005×10=69.5，设中位数为x 0，则0.005×10+0.025×10+0.045×(x 0−65)=0.5，解得x 0≈69.4， 故估计这600名学生化学成绩的中位数为69.4．【解析】(1)由频率分布图中小矩形面积和为1，能求出a ，b 的值； (2)根据题意先求出高分的频率，再利用公式求出频率=频数样本容量求出高分人数；(3)根据平均数和中位数的定义求解即可．本题考查考查频率、平均数、中位数、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．19.【答案】解：(1)根据统计图可得：每天在线学习数学的时长不超过1小时，且数学成绩不超过120分的有25×60%=15人，每天在线学习数学的时长不超过1小时，且数学成绩超过120分的有25×40%=10人，每天在线学习数学的时长超过1小时，且数学成绩不超过120分的有20×25%=5人，每天在线学习数学的时长超过1小时，且数学成绩超过120分的有20×75%=15人，可得2×2列联表如下：所以K2=45×(15×15−5×10)220×25×25×20=44180=5.5125>3.841，故有95%的把握认为“高二学生的这次摸底考试数学成绩与其每天在线学习数学的时长有关”．(2)由2×2列联表可得，被抽查学生中这次数学成绩超过120分的有25人，其中每天在线学习数学的时长不超过1小时的有10人，每天在线学习数学的时长超过1小时的有15人，人数比为2：3，按分层抽样每天在线学习数学的时长不超过1小时的抽2人，记为：1，2；每天在线学习数学的时长超过1小时的抽3人，记为：a，b，c，所有可能结果如下：(1,2)，(1,a)，(1,b)，(1,c)，(2,a)，(2,b)，(2,c)，(a,b)，(a,c)，(b,c)，共计10种，设事件A为“两名同学中至多有一名每天在线学习数学时长超过一小时”包含(1,2)，(1,a)，(1,b)，(1,c)，(2,a)，(2,b)，(2,c)，共计7种可能结果，所以P(A)=710．【解析】(1)根据统计图中的数据，可得2×2列联表，再由K2的参考公式求出其观测值，并与附表中的数据对比，即可判断；(2)结合(1)中数据，可得按分层抽样每天在线学习数学的时长不超过1小时的抽2人，每天在线学习数学的时长超过1小时的抽3人，再由列举法列出所有事件数和基本事件数，然后由古典概型，得解．本题考查独立性检验，古典概型，频率分布直方图等，考查对数据的分析与处理能力，属于中档题．20.【答案】解：∵a >0，b >0，且a +b =1∴(1+1a)(1+1b)=(1+a+b a)(1+a+b b )=(2+b a)(2+a b)=4+2a b +2b a +ba ×ab =5+2b a+2a b≥5+2√2b a×2a b =5+4=9当且仅当2ba =2ab，即a =b =12时取“=”号． 故原题得证．【解析】本题的关键是把分子的“1”换成a +b ，由基本不等式即可证明． 本题为不等式的证明，注意把“1”换成a +b 的技巧，属中档题．21.【答案】解：设事件A k =“甲在第k 次投篮投中“，其中k =1，2，3，设事件B k =“乙在第k 次投篮投中“，其中k =1，2，3，(Ⅰ)记“甲乙各投中一次，比赛结束”这事件C ，C =A 1−B 1，事件A 1−与事件B 1相互独立， 根据事件独立性定义得：P(C)=P(A 1−B 1)=(1−P(A 1))P(B 1)=(1−13)×12=23×12=13， ∴甲乙各投球一次，比赛结束的概率为13．(Ⅱ)记“甲获胜”为事件D ，D =A 1∪A 1−B 1−A 2∪A 1−B 1−A 2−B 2−A 3， 由互斥事件概率加法公式得：P(D)=P(A 1∪A 1−B 1−A 2∪A 1−B 1−A 2−B 2−A 3)=P(A 1)+P(A 1−)P(B 1−)P(A 2)+P(A 1−)P(B 1−)P(A 2−)P(A 2−)P(B 2−)P(A 3) =13+23×12×13+23×12×23×12×13 =1327，∴甲获胜的概率为1327．【解析】设事件A k =“甲在第k 次投篮投中“，其中k =1，2，3，设事件B k =“乙在第k 次投篮投中“，其中k =1，2，3，(Ⅰ)记“甲乙各投中一次，比赛结束”这事件C ，C =A 1−B 1，事件A 1−与事件B 1相互独立，根据事件独立性定义能求出甲乙各投球一次，比赛结束的概率．(Ⅱ)记“甲获胜”为事件D ，D =A 1∪A 1−B 1−A 2∪A 1−B 1−A 2−B 2−A 3，由互斥事件概率加法公式能求出甲获胜的概率．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．22.【答案】解：(1)D =a 2+b 2lgI 更适合．(2)令W =lgI ，则D =a 2+b 2W ，b 2=∑(10i=1W i −W −)(D i −D −)∑(10i=1W i −W −)2=5.10.51=10，a 2=D −−b 2W −=45.7−10×(−11.5)=160.7，D 关于W 的回归方程是D =160.7+10W ， 则D 关于I 的回归方程是D =160.7+10lgI ． (3)设点P 处的声音能量为I 1，则I 1=I a +I b ， 因为I a >0,I b >0,1I a+4I b=1010，所以I 1=I a +I b =10−10(1I a+4I b)(I a +I b )=10−10(5+IbI a+4I a I b)≥10−10(5+2√Ib I a⋅4I a I b)=9×10−10，当且仅当I b =2I a ，即I a =31010,I b =35×109时等号成立，所以D =160.7+10lgI 1≥160.7+10lg(9×10−10)=10lg9+60.7>60， 所以点P 处会受到噪声污染．【解析】(1)根据已知条件，结合图象的增长趋势，即可求解． (2)根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解． (3)根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于中档题．。