任意角和弧度制知识点和练习

知识点一：任意角

⎧⎪

⎨⎪⎩

正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角

2、象限角：角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．

第一象限角的集合为{}

36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z

第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z

终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z

3、终边相同的角：

与角α终边相同的角的集合为{}

360,k k ββα=⋅+∈Z 4、已知α是第几象限角，确定

()*

n n

α

∈N 所在象限：若α是第k 象限角，把单位圆上每个象限的圆弧n 等分，并从x 轴正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上1,2,3,4，再循环，直到填满为止，则有标号k

的区域是角

n

α

终边所在的范围。 知识点二、弧度制的转换：

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r

α=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π

=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝

⎭

． 特殊角的弧度数：

00

030

045

060

090

0120

0135

0150

0180

知识点五：扇形

8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，

则弧长公式：l r α=，扇形周长：2C r l =+，扇形面积：211

S lr r α==．

例题分析

【例1】在～ 间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角

（1） ；（2）

；（3）

．

【例2】如果α角是第二象限的角，那么

2α

，3

α角分别是第几象限的角？说说你的理由。

【例3】写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合(不包括边界)

【例4】（1）扇形的中心角为π3

2

，弧长为π2，则其半径=r ______．

（2）一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆心角是 弧度．

（3）点P 从圆心在原点O 的单位圆上点)0,1(出发，沿逆时针方向运动π6

5

弧长，到达点Q ，则点

Q 的坐标是_______________. （4）将65π

rad 化为角度是 ．

（5）已知扇形的周长为cm 3

24π

+

,其半径为cm 2,则该扇形的圆心角的弧度数为 . （6）若2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为（ ）

A 、1sin 2

B 、21sin 2

C 、 21sin 1

D 、tan1

【例5】如图,一条弦AB 的长等于它所在的圆的半径R,求弦AB 和劣弧AB 所组成的弓形的面积.

A B

R R

【例6】如图，圆上一点A 以逆时针方向作匀速圆周运动，已知点A 每分钟转过θ角（0πθ<≤），经过2分钟到达第三象限，经过14分钟回到原来位置，求θ的大小．

【例7】一扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此

扇形的最大面积？

针对练习

1．下列角中终边与330°相同的角是（ ）

Α.30° B.-30° C.630° D.-630° 2．下列命题正确的是（ ）

Α.终边相同的角一定相等。 B.第一象限的角都是锐角。 C.锐角都是第一象限的角。 D.小于︒90的角都是锐角。

3．如果一扇形的弧长为2πcm ，半径等于2cm ，则扇形所对圆心角为（ ）

Ａ．π Ｂ．2π Ｃ．π2 Ｄ．3π

2

4.若α是第四象限角，则180°+α一定是（ ）

Α.第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角 5．若3rad α=-，则它是（ ）C

A 、第一象限角

B 、第二象限角

C 、第三象限角

D 、第四象限角 6.一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积为（ ）

Ａ．211

2sin 222

R ⎛

⎫

- ⎪⎝⎭

Ｂ．21sin 22

R Ｃ．212

R

Ｄ．221sin 22

R R -

7．若α角的终边落在第三或第四象限，则2α

的终边落在（ ） A ．第一或第三象限 B ．第二或第四象限

8．某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为 （ ）

A ．2°

B ．2

C ．4°

D ．4 9．下列说法正确的是

（ ）

A ．1弧度角的大小与圆的半径无关

B ．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大

C ．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等

D ．用弧度表示的角都是正角

10．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）

A ．2

B ．

1

sin 2

C ．1sin 2

D ．2sin

二、填空题

11．若三角形的三个内角的比等于2:3:7，则各内角的弧度数分别为 ．

12.将时钟拨快了10分钟，则时针转了 度，分针转了 弧度．

13．若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________．

14．已知α是第二象限角，且,4|2|≤+α则α的范围是 . 三、解答题

15.求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： （1） 210-； （2）731484'- ．

16．写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（用弧度制表示）

（1） （2） （3）