第二章 习题课 与圆有关的最值问题

习题课 与圆有关的最值问题

学习目标 1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 导语

2017年7月我国首座海上风电平台4G 基站在黄海建成，信号覆盖范围达60公里． 一艘船由于机械故障在海上遇险，想要求救，却发现手机没有信号．已知基站在海面上的信号覆盖范围是以基站为圆心的一个圆及其内部区域，那么船到达信号区域的最短路程是多少呢？(引出课题：探究与圆有关的最值问题．) 一、与距离有关的最值问题

1．圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝d －r ，最大值＝d ＋r .

2．直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝d －r ，最大值＝d ＋r .

3．过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值＝2r 2－d 2，最大值＝2r .

4．直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值＝d 2－r 2.

例1 (1)当直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R )被圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25截得的弦最短时，m 的值为________． 答案 －3

4

解析 直线l 的方程可化为(2x ＋y －7)m ＋x ＋y －4＝0，所以直线l 会经过定点

⎩

⎪⎨

⎪⎧

2x ＋y －7＝0，

x ＋y －4＝0， 解得定点坐标为M (3,1) ，圆心C 为(1,2)，当直线l 与CM 垂直时，直线被圆截得的弦长最短，k CM ＝2－11－3＝－12，k l ＝－2m ＋1m ＋1，所以k CM ×k l ＝⎝⎛⎭⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m ＋1m ＋1＝－1，解得m ＝－3

4. (2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0关于直线l ：3ax ＋2by ＋4＝0对称，则由点M (a ，b )向圆C 所作的切线中，切线长的最小值是( ) A ．2 B. 5 C ．3 D.13 答案 B

解析 因为圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，即圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝4， 所以圆心为C (1，－2)，半径R ＝2.

因为圆C 关于直线l ：3ax ＋2by ＋4＝0对称，

所以l ：3a －4b ＋4＝0，所以点M (a ，b )在直线l 1：3x －4y ＋4＝0上， 所以|MC |的最小值为d ＝|3＋8＋4|

5

＝3，切线长的最小值为

d 2－R 2＝

9－4＝ 5.

反思感悟 (1)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x ，y )到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．

(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值．

跟踪训练1 (1)从点P (1，－2)向圆x 2＋y 2－2mx －2y ＋m 2＝0作切线，当切线长最短时，m 的值为( )

A ．－1

B ．1

C ．2

D ．0 答案 B

解析 x 2＋y 2－2mx －2y ＋m 2＝0可化为(x －m )2＋(y －1)2＝1，圆心C (m ，1)，半径为1， 切线长最短时，|CP |最小，|CP |＝

(m －1)2＋9，

即当m ＝1时，|CP |最小，切线长最短．

(2)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦长为________． 答案 2 2

解析 设点A (3,1)，易知圆心C (2,2)，半径r ＝2.

当弦过点A (3,1)且与CA 垂直时为最短弦， |CA |＝

(2－3)2＋(2－1)2＝ 2.

∴半弦长＝

r 2－|CA |2＝

4－2＝ 2.

∴最短弦长为2 2.

二、与面积相关的最值问题

例2 已知点O (0,0)，A (0,2)，点M 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，则△OAM 面积的最小值为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 答案 A

解析 根据题意，得圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4的圆心为(3，－1)，半径r ＝2，

O (0,0)，A (0,2)，OA 所在的直线是y 轴，

当M 到直线AO 的距离最小时，△OAM 的面积最小， 则M 到直线AO 的距离的最小值d ＝3－2＝1， 则△OAM 的面积最小值S ＝1

2

×|OA |×d ＝1.

反思感悟 求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．

跟踪训练2 (1)直线y ＝kx ＋3与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则△OAB 面积的最大值为( )

A ．1 B.12 C.24 D.3

4

答案 B

解析 设圆心到直线的距离为d (0

1－d 2，

所以S △ABO ＝1

2

·2

1－d 2·d ＝

(1－d 2)·d 2，

由基本不等式，可得S △ABO ＝(1－d 2)·d 2≤1－d 2＋d 22＝1

2

，

当且仅当d ＝

2

2

时，等号成立． (2)已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k ＝________. 答案 2

解析 圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的圆心为C (0,1)，半径r ＝1，

由圆的性质可知，四边形的面积S ＝2S △PBC ，

又四边形P ACB 的最小面积是2，则S △PBC 的最小值为S ＝1＝12r |PB |min ＝1

2|PB |min ，

则|PB |min ＝2， 因为|PB |＝

|PC |2－r 2＝

|PC |2－1，

所以当|PC |取最小值时，|PB |最小． 又点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0上的动点，

当CP 垂直于直线kx ＋y ＋4＝0时，|PC |最小，即为圆心C (0,1)到直线的距离， 所以

|1＋4|k 2

＋1

＝

22＋12＝5，解得k ＝±2，因为k >0，所以k ＝2.

三、利用数学式的几何意义解圆的最值问题

例3 已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上． (1)求y

x

的最大值和最小值；

(2)求x 2＋y 2＋2x ＋3的最大值与最小值； (3)求x ＋y 的最大值与最小值．

解 方程x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0可化为(x －3)2＋(y －3)2＝4.

(1)y

x

表示圆上的点P 与原点连线所在直线的斜率，如图(1)所示，显然PO (O 为坐标原点)与圆