完全平方公式

完全平方公式

一、教学目标

1、知识与技能目标

理解完全平方公式的推导过程，了解公式的几何解释，会应用公式进行简单的计算。

2、过程与方法目标

通过渗透建模，化归、还元，数形结合等思想方法，增强学生的应用意识，提高学生解决问题的能力和创新能力。

3、情感、态度与价值观目标

精心设计教学过程，激发学生的好奇心和求知欲，培养学生学习数学的兴趣，让学生获得成功的体验，培养学生学好数学的自信心。

二、教学重难点

重点：体会完全平方公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算。

难点：理解完全平方公式的结构特征以及公式中的字母含义，判明要计算的代数式是哪两个数的和（差）的平方。

三、教学过程

1、提出问题，创设情境

a²+b²与(a+b)²；a²-b²与(a-b)²有什么区别？

引导学生比较a²+b²与(a+b)²；a²-b²与(a-b)²的区别

师：怎样计算两个数的和的平方或差的平方呢？

这就是本节课所要学习的完全平方公式

2、回顾练习，得出新知

请同学完成下面几道练习，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗？

（1）(p+1)²；（2）(m+2)²；（3）(p-1)²；（4）(m-2)²

出示题目后观察学生做题，然后引导学生发现（1）结果中的2p=2×p ，(1)与（3）比较只有一次项有符号之差。

引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充。 猜想：根据你发现的规律，你能直接写出(a+b)²计算的结果吗？ (a+b)²=(a+b)(a+b)=a ²+ab+ab+b ²=a ²+2ab+b ²

验证：由于(a+b)²可以看作求边长为(a+b)的正方形的面积，所以可以从几何的角度来解释

(a+b)² =a ²+ab+ab+b ²=a ²+2ab+b ²

(a-b)²计算结果是多少呢？

学生小组讨论，归纳方法

方法一：(a-b)²=(a-b)(a-b)=a ²-ab-ab+b ²=a ²-2ab+b ²

方法二：把(a-b)²的结果用(a+b)²来解释：

(a-b)²=[a+(-b)]²=a ²+2a(-b)+b ²=a ²-2ab+b ²

b

方法三：几何解释

归纳：通过以上活动，学生归纳完全平方公式：

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。 (a+b)²=a ²+2ab+b ²

(a-b)²=a ²-2ab+b ²

教师归纳口诀：完全平方有三项，首尾符号是同乡。

首平方与尾平方，首尾二倍放中央。

和的平方加连接，差的平方减连接。

应用：

下列各式的计算，错在哪里?应怎样改正？

（1）(a+b)²= a ²+b ²；（2）(a-b)²= a ²-b ²；（3）(a-2b)²=a ²+2ab+2b ². 公式中字母的含义：

（1）公式中的字母a,b 可以表示负数吗？可以表示单项式吗？可以表示多项式吗？

（2）(x+2y)²式哪两个数的和的平方？

(x+2y)²=( )²+2( )( )+( )²

(x-5y)²是哪两个数的差的平方？

(x-5y)²=( )²-2( )( )+( )²

（3）(x-5y)²可以看成式哪两个数的和的平方？

新知整理：

完全平方公式：(a+b)²=(a+b)(a+b)=a²+2ab+b²

(a-b)²=(a-b)(a-b)=a²-2ab+b²平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²

3、应用新知，体验成功

例3 运用完全平方公式计算；

(1)(4m+n)²

解：(4m+n)²=(4m)²+2×(4m)×n+n²

=16m²+8mn+n²

变式1：(-4m+n)²

解：(-4m+n)²=(-4m)²+ 2×(-4m)×n+n²

=16m²-8mn+n²

（2）(y-2)²

解：(y-2)²=y²+2×(-2)×y+2²=y²+4y+4

变式1：(-y-2)²

解：解法一(-y-2)²=(-y²)-2×2×(-y)+2²=y²+4y+4

解法二(-y-2)²=[-(y+2)] ²=y²+2×2×y+2²=y²+4y+4 变式2：(2-y)²

解：(2-y)²=2²-2×2×(-y)+(-y²)=y²+4y+4

例4 运用完全平方公式计算：

（1）102²；（2）99².

解：（1）102²=(100+2)²=100²+2×100×2+2²=10000+400+4=10404 （2）99²=(100-1) ²=100²-2×100×1+1²=10000-200+1=9801

4、公式拓展，鼓励探究

速算游戏：个位数是5的两位数的平方。

（1）问：15²=？25²=？35²=？

（2）观察：15²= 225

25²= 625

35²=1225

45²=2025

……

个位数是5的两位数平方后所得的数，有什么规律？

（3）如果用10a+5表示个位数是5的这个两位数，你能用所学的知识解释这个规律吗？

5、小结提高，知识升华

（1）两个公式：(a+b)²=a²+2ab+b²

(a-b)²=a²-2ab+b²

（2）两种推到方法

（3）还元与数形结合

6、作业布置，分层落实

必做题：