坐标法解立体几何中的距离问题(教案)

坐标法解立体几何距离问题

青岛一中 周涛

考纲要求：

能用空间向量求空间中的各种距离。

教学目标

1。知识目标：

能借助平面的法向量求点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。 2。能力目标：

（1）能将求线面距离、面面距离问题转化为求点到面的距离问题。 （2）加强坐标运算能力的培养，提高坐标运算的速度和准确性。

教学过程：

提问：在空间中我们主要研究那些距离？

答：点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。

引导：我们知道线到面、面到面的距离都可以转化为点到面的距离。那么这节课我们主要来研究点到面的距离和异面直线间的距离。 一、求点到平面的距离

AP 在n 方向上的投影的绝对值是P 到面的距离

d =

例题展示：

已知：正方形ABCD 的边长为4，CG ⊥平面ABCD CG=2,E 、F 分别是AB 、AD 的中点， 求点B 到平面GEF 的距离。

分析；BE 在平面法向量方向上的投影的绝对值。

解：如图所示建立空间直角坐标系C —xyz

则G （0,0,2） D(4,0,0) A(4,4,0) B(0,4,0) E(2,4,0) F(4,2,0) ∴BE =(2,0,0) EF =(2,-2,0) EG =(-2,-4,0)

设面EFG 的一个法向量n =(x,y ,1) ∴n ⊥EF 且n ⊥EG ∴n •EF =0 且n •EG =0

∴⎩⎨⎧=+--=-02420

22y x y x ⎩⎨⎧=

=3

131

y x ∴n =(,,31

311)

∴点B 到面GEF 的距离为

11

112=

=

d ∴点B 到面GEF 的距离为11

112

步骤小结：求点到平面的距离:

⑴建立空间直角坐标系； ⑵写出点的坐标，求出向量坐标； ⑶求出平面法向量的坐标； ⑷代入点到面的距离公式。 二、求异面直线的距离

G

n

EF 在n 方向上的投影的绝对值是异面直线a 与b 间的距离

d =

向量方法：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上两点的连结线段在 公共法向量上的射影长 例题展示：

已知：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1， 求异面直线DA 1与AC 的距离。

分析；DA 在异面直线的法向量方向上的投影的绝对值。

过程，总结解题步骤。

解：如图所示建立空间直角坐标系D-xyz

∴D(0,0,0) A 1(1,0,1) A(1,0,0) C(0,1,0) ∴)1,0,1(1=DA )0,1,1(-=AC 设异面直线DA 1与AC 的法向量)1,,(y x n = ∴AC n DA n ⊥⊥

且,1 ∴0,01=∙=∙AC n DA n ∴⎩⎨

⎧=+-=+0

01y x x ⎩⎨

⎧-=-=∴1

1y x

)1,1,1(--=∴n )0,0,1(=DA |

|||n n DA d

∙=∴ 3

33

1==

∴异面直线DA 1与AC 的距离为

3

3

步骤小结：求异面直线间的距离:

⑴建立空间直角坐标系； ⑵写出点的坐标，求出向量坐标； ⑶求出异面直线的法向量的坐标； ⑷代入异面直线间的距离公式。

实战练兵:

已知：SA ⊥平面ABCD,∠DAB=∠ABC=90゜, SA=AB=BC=a,AD=2a ，

求A 到平面SCD 的距离。

解题规范。教师巡视学生解答，找步骤规范的学生实物投影讲解解题步骤，发现学生解题中的典型

错误，投影展示讲评。

解：如图所示建立空间直角坐标系A —xyz

∴A （0,0,0）C(a,a,0) D(0,2a,0) S(0,0,a) ∴AD =(0,2a,0)SC =(a,a,-a) SD =(0,2a,-a) 设面SCD 的一个法向量n =(x,y,1) ∴n ⊥SC 且n ⊥SD ∴n •SC =0 且n •SD =0

∴⎩⎨

⎧=-=-+0

20

a ay a ay ax ⎩⎨

⎧=

=

2

121y x ∴n =(,,2

1211) ∴点A 到面SCD

的距离为

3

6a d =

=

∴点A 到面SCD 的距离为

3

6a

高考模拟：

已知：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为AB

Q 为BC 中点，AA 1=a, O 为正方形ABCD （1）求PQ 与C 1O 间的距离； （2）求BC 到面A 1D 1P 的距离

分析：此题学生在学案上完成。

第⑴问若设异面直线PQ 与C 1O 的法向量为 )1,,(y x n =，解不出x,y 的值，这是因为法向量的竖坐标应为0，应该设),,1(z y n =求解。

第⑵问是求线面距离，应转化为点到面的距离求解。 则点B 到平面A 1D 1P 的距离即为所求。 略解：如图建系

⑴异面直线PQ 与C 1O 的法向量)0,1,1(1=n ，OP =(2a ,0,0) ∴异面直线PQ 与C 1O 的距离

4

2a d =

=

⑵点B 到平面A 1D 1P 的距离等于BC 到面A 1D 1P 的距离 面SCD 的一个法向量2n =(0,2,1)，BP =(0,2

a

-,0)

∴BC 到面A 1D 1P 的距离

5

5a d =

=

课堂小结：

本节课主要学习用坐标法求空间的距离问题。

主要介绍了求点到面的距离和求异面直线间的距离两种，主要步骤是⑴建系；⑵写坐标；⑶求法向量；⑷代入距离公式。

另两种距离线到面和面到面的距离都可以转化为点到面的距离求解。

作业：泓翰 P193 2 , 3 P194 11 , 12