概率论与数理统计公式集锦

概率论与数理统计公式集锦

一、随机事件与概率

公式名称 公式表达式

德摩根公式 B A B A =，B A B A =

古典概型

几何概型 ()

()()

A P A μμ=

Ω，其中μ为几何度量（长度、面积、体积） 求逆公式

加法公式 P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)

当P(AB)＝0时，P(A ∪B)=P(A)+P(B)

减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)，B A ⊂时P(A-B)=P(A)-P(B) 条件概率公式 与乘法公式

全概率公式

贝叶斯公式 （逆概率公

式）

两个事件 相互独立

()()()P AB P A P B =；()()P B A P B =；)()(A B P A B P =；

二、随机变量及其分布

1、分布函数

2、离散型随机变量及其分布

分布名称 分布律

0–1分布 二项分布 泊松分布

3、续型随机变量及其分布 分布名称

密度函数

分布函数

均匀分布

分布名称 密度函数

分布函数

指数分布 正态分布

2(,)X

N μσ

标准正态分

布

4、随机变量函数Y=g(X)的分布 离散型：()(),1,2,

j i

i j g x y P Y y p i ===

=∑

，

连续型：①分布函数法，②公式法()(())()(())Y X f y f h y h y x h y '=⋅=单调

三、多维随机变量及其分布

1、离散型二维随机变量及其分布 分布律：(,),,1,2,

i j ij P X x Y y p i j ====分布函数(,)i i ij

x

x y y

F X Y p

≤≤=

∑∑

边缘分布律：()i i ij j

p P X x p ⋅===∑ ()j j

ij i

p P Y y p ⋅===∑

条件分布律：(),1,2,

ij i j j

p P X x Y y i p ⋅===

=，(),1,2,ij j i i p P Y y X x j p ⋅

===

=

2、连续型二维随机变量及其分布 ①联合分布函数及性质 分布函数：⎰⎰

∞-∞

-=

x y

dudv v u f y x F ),(),(=P （X<=x,Y<=y ）

性质：2(,)

(,)1,(,),F x y F f x y x y

∂+∞+∞==∂∂((,))(,)G

P x y G f x y dxdy ∈=

⎰⎰

②边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数：⎰⎰

∞-+∞

∞

-=x X dvdu v u f x F ),()( 密度函数：⎰

+∞

∞

-=

dv v x f x f X ),()(

③条件概率密度

+∞<<-∞=

y x f y x f x y f X X Y ,)(),()(，+∞<<-∞=x y f y x f y x f Y Y X ,)

()

,()( 3、随机变量的独立性

随机变量X 、Y 相互独立(,)()()X Y F x y F x F y ⇔=， 离散型：..ij i j p p p = ，连续型：(,)()()X Y f x y f x f y =

4、二维随机变量和函数的分布 离散型：()(,)i j k

k i j x y z P Z z P X x Y y +=====∑

连续型：()(,)(,)Z f z f x z x dx f z y y dy +∞

+∞

-∞

-∞

=-=-⎰

⎰

四、随机变量的数字特征

1、数学期望

①定义：离散型∑+∞

==

1

)(k k k

p x

X E ，连续型⎰

+∞

∞

-=

dx x xf X E )()(

②性质：(),E C C =)()]([X E X E E =，)()(X CE CX E =，)()()(Y E X E Y X E ±=± b X aE b aX E ±=±)()( ，当X 、Y 相互独立时：)()()(Y E X E XY E =

2、方差

①定义：222()[(())]()()D X E X E X E X E X =-=-

②性质：0)(=C D ，)()(2X D a b aX D =±，),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=± 当X 、Y 相互独立时：)()()(Y D X D Y X D +=± 3、协方差与相关系数

①协方差：(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y =-，当X 、Y 相互独立时：0),(=Y X Cov ②相关系数： (,)()()

XY

Cov X Y D X D Y ρ=

，当X 、Y 相互独立时：0=XY

ρ(X,Y 不相关)

③协方差和相关系数的性质：)(),(X D X X Cov =，),(),(X Y Cov Y X Cov = ),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+，),(),(Y X abCov d bY c aX Cov =++

4、常见随机变量分布的数学期望和方差

分布 数学期望

方差

0-1分布),1(p b p p(1-p) 二项分布),(p n b np

np(1-p)

泊松分布)(λP 均匀分布),(b a U 正态分布),(2σμN 指数分布)(λe