函数的定义域、值域、单调性、奇偶性教案大全

第二章 函数概念与基本初等函数（Ⅰ）
一、知识结构
重点：
函数及其表示方法；函数的单调性、奇偶性，几类特殊函数的性质及应用； 难点：
运用函数解决问题：建立数学模型。

第一课时 函数的概念和图象（1）
学习要求
1．理解函数概念；
2．了解构成函数的三个要素；
3．会求一些简单函数的定义域与值域；
4．培养理解抽象概念的能力．
自学评价
1． 函数的定义：设,A B 是两个非空数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，记为
(),y f x x A =∈．其中输入值x 组成的集合A 叫做函数()y f x =的定义域，所有输出值y 的
取值集合叫做函数()y f x =的值域。

【精典范例】
例1：判断下列对应是否为函数： （1）
;
,,Z y R x x y y x ∈∈→的最大整数，为不大于其中
（2）2
,,,x y y x x N y R →=∈∈； （3）x y x →=，{|06}x x x ∈≤≤，
；
听课随笔
（4）1
6
x y x →=
，{|06}x x x ∈≤≤， {|03}y y y ∈≤≤．
【分析】解本题的关键是抓住函数的定义，在定义的基础上输入一些数字进行验证，当不是函数时，只要列举出一个集合A 中的x 即可． 【解】（1）是；（2）不是；（3）不是；（4）是。

点评:判断一个对应是否是函数，要注意三个关键词：“非空”、“每一个”、“惟一”。

例2：求下列函数的定义域：
（1）；2
4
)(++=
x x x f （2）131-+--x x ；
（3）1
()2f x x
=-．
【解】（1）),2()2,4(+∞--- ；（2）]1,3[-；（3）[1,2)(2,)-+∞。

点评: 求函数()y f x =的定义域时通常有以下几种情况： ①如果()f x 是整式，那么函数的定义域是实数集R ；
②如果()f x 是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
③如果()f x 为二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；
④如果()f x 是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合。

例3：比较下列两个函数的定义域与值域：
（1）f(x)=(x+2)2
+1，x ∈{－1,0,1,2,3}； （2）2
()(1)1f x x =-+．
【解】（1）函数的定义域为{1,0,1,2,3}- ∴函数值域为{2,5,10,17,26}；
（2）函数的定义域为R ，∵2
(1)11x -+≥，
∴函数值域为[1,)+∞。

点评:对应法则相同的函数，不一定是相同的函数。

追踪训练一
1. 对于集合{|06}A x x =≤≤，{|03}B y y =≤≤，有下列从A 到B 的三个对应：①
12x y x →=
；②1
3
x y x →=；③x y x →=；其中是从A 到B 的函数的对应的序号为 ① ② ； 2. 函数3
()|1|2
f x x =+-的定义域为
(,3)
(3,1)(1,)-∞--+∞；
3. 函数f(x)=x －1（x z ∈且[1,4]x ∈-）的值域为{2,1,0,1,2,3}--．
【选修延伸】
一、求函数值
例4: 已知函数()|1|1f x x =--的定义域为
{2,1,0,1,2,3,4}--，求(1),((1))f f f --的值．
分析：求((1))f f -的值，即当(1)x f =-时，求()f x 的值。

【解】(1)|11|11f -=---=；
((1))(1)|11|11f f f -==--=-
二．求函数的定义域
例5．求函数1
()11f x x =+的定义域。

【解】由110x +≠，得1
0x x
+≠，∴1x ≠-且0x ≠，即函数的定义域为
(,1)(1,0)(0,)-∞--+∞。

思维点拨
求函数定义域，不能先化简函数表达式，否则容易出错。

如例5，若先化简得()1
x
f x x =+,此时求得的定义域为{|1}x x ≠-显然是错误的．
追踪训练二
1．若2
()(1)1,{1,0,1,2,3}f x x x =-+∈-，则 ((0))f f = 2 ；
2
．函数()f x =的定义域为 {1,1}-；
3．已知函数()y f x =的定义域为[－2，3]，则函数(1)f x +的定义域为[－3，2]．
第二课时 函数的概念和图象（2）
学习要求
1．理解函数图象的意义；
2．能正确画出一些常见函数的图象；
3．会利用函数的图象求一些简单函数的值域、判断函数值的变化趋势；
4．从“形”的角度加深对函数的理解．
自学评价
1．函数的图象：将函数()f x 自变量的一个值0x 作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点00(,())x f x ，当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，所有这些点组成的图形就是函数()y f x =的图象．
2．函数()y f x =的图象与其定义域、值域的对应关系：函数()y f x =的图象在x 轴上的射影构成的集合对应着函数的定义域，在y 轴上的射影构成的集合对应着函数的值域．
【精典范例】
例1：画出下列函数的图象：
（1）()1f x x =+； （2）2
()(1)1,[1,3)f x x x =-+∈； （3）5y x =，{1,2,3,4}x ∈； （4）()f x =
【解】
点评:函数图象可以由直线或曲线（段）构成，也可以是一些离散的点．画函数的图象，必须注意图象的范围、图象经过的关键点、图象的变化趋势等． 例2：画出函数2
()1f x x =+的图象，并根据图象回答下列问题： （1）比较(2),(1),(3)f f f -的大小； （2）若120x x <<（或120x x <<，或
||||x x <）比较()f x 与()f x 的大小；
O y x O y x
O y x O y
x
（3）分别写出函数2
()1f x x =+（(1,2]x ∈-）， 2
()1f x x =+（(1,2]x ∈）的值域． 【解】
（1）(1)(1)(3)f f f <-< （2）若120x x <<，则 12()()f x f x <；
若120x x <<，则12()()f x f x >；
若12||||x x <，则12()()f x f x <．
点评: 函数的图象能形象地反映函数的性质（定义域、值域、函数值的变化趋势等）．
追踪训练一
1．根据例1（2）中的图象可知，函数
2()(1)1,[1,3)f x x x =-+∈的值域 为 [1,5) ；
2. 直线1x =与抛物线2
1y x =+的交点有
1 个；直线()x a a R =∈与抛物线2
1y x =+的交点可能有 1 个；
3. 函数()f x x =与2
()x g x x
=的图象相同吗？答： 不同 ．
【选修延伸】
一、函数值域
例4: 已知函数2
361y x x =-+，利用函数图象分别求它在下列区间上的值域： （1）[1,2]x ∈-； （2）[4,0]x ∈-； （3）[2,5]x ∈． 【解】
（1）[2,10]-； （2）[1,73]； （3）[1,46]．
例5．集合{(,)|(),}P x y y f x x R ==∈与集合{|(),}Q y y f x x R ==∈相同吗？请说明理由． 【解】不相等．集合P 是坐标平面内的一个点集，表示函数()y f x =的图象；集合Q 是一个数集，表示函数()y f x =的值域．
思维点拨
利用二次函数的图象求函数值域，作图时必须抓住以下关键点：抛物线的开口方向、对称轴、顶点以及区间的端点；解决集合问题，首先必须弄清集合中的元素是什么．
O y
x
O y
x
追踪训练二
1．已知函数f(x)=⎪⎩
⎪⎨⎧>≤≤-<+)1(,)1(-1,)1(322
x x x x x ，
x
(1)画出函数图象； (2)求f{f[f(－2)]}
(3)求当f(x)= －7时，x 的值； 解：(1)图象略
(2)f(－2)=2x(－2)+3=－1
f(－1)=( －1)2
=1 f(1)=1
所以f{f[f(－2)]}=1 (3)因为f(x)= －7 所以2x+3=－7 所以x=－5
第三课时 函数的概念和图象（3）
学习要求
1．掌握表示两个变量之间的函数关系的方法——列表法、解析法、图象法； 2．能选用恰当的方法来求出两个变量之间的函数关系； 3．培养抽象概括能力和解决问题的能力．
自学评价
1．用列表来表示两个变量之间的函数关系的方法叫列表法，其优点是函数的输入值与输出值一目了然；用等式来表示两个变量之间的函数关系的方法叫解析法（这个等式通常叫函数的解析表达式，简称解析式），其优点是函数关系清楚，容易从自变量求出其对应的函数值，便于用解析式研究函数的性质；用图象来表示两个变量之间的函数关系的方法叫图象法，其优点是能直观地反映函数值随自变量变化的趋势．
2．购买某种饮料x 听，所需钱数y 元 ．若每听2元，试分别用列表法、解析法、图象法将y 表示成({1,2,3,4})x x ∈的函数，并指出函数的值域．
解：解析法：2,{1,2,3,4}y x x =∈； 列表法：
图象法：
【精典范例】
例1：画出函数()||f x x =的图象，并求(3)f -， (3)f ，(1)f -，(1)f 的值． 【解】,0,
(),0.
x x f x x x ≥⎧=⎨
-<⎩
图象如右。

(3)f -=(3)3f =， (1)f -(1)1f ==。

例2：某市出租汽车收费标准如下：在3km 以内（含3km ）路程按起步价7元收费，超过3km 以外的路程按2.4元/km 收费，试写出收费额关于路程的函数的解析式；并画出图象． 【解】设路程为xkm ，收费为y 元，则
7,
03,7 2.4(3), 3.x y x x <≤⎧=⎨
+⨯->⎩，即 7,
03,2.40.2, 3.x y x x <≤⎧=⎨
->⎩
图象如图：
点评: 分段函数是指函数的解析式是分段表示的。

分段是对于定义域而言的，将定义域分成几段，各段的对应法则不一样。

分段函数是一个．．函数，而不是几个函数。

6
8
例3．（1）已知一次函数()f x 满足
(0)5f =，图象过点(2,1)-，求()f x ；
（2）已知二次函数()g x 满足(1)1g =，(1)5g -=，图象过原点，求()g x ； （3）已知二次函数()h x 与x 轴的两交点
为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ；
（4）已知二次函数()F x ，其图象的顶点是(1,2)-，且经过原点． 解：（1）由题意设 ()f x ax b =+，
∵(0)5f = 且图象过点(2,1)-，
∴5
21
b a b =⎧⎨-+=⎩ ⇒25a b =⎧⎨=⎩
∴()25f x x =+．
（2）由题意设 2
()g x ax bx c =++，
∵(1)1g =，(1)5g -=，且图象过原点，
∴150a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=⎩ ∴320a b c =⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
∴2
()32g x x x =-．
（3）由题意设 ()(2)(3)h x a x x =+-， 又∵(0)3h =-，
∴63a -=- 得12a =
∴211
()322
h x x x =--． （4）由题意设 2
()(1)2F x a x =++，
又∵图象经过原点，
∴(0)0F =，∴20a += 得2a =-，
∴2
()24F x x x =--．
点评：此为待定系数法求函数解析式，用此方法必须知道函数的类型，才能设出含有参数的解析式，从而代入条件，解方程（组）得到参数值，即得到函数解析式。

追踪训练一
1．设f (x )=1,1
3-, 1x x x x +≤⎧⎨>⎩
求f [f (52)]
解：f (52)=3－52=12
f (
21)=21+1=2
3 所以f [f (25
)]=2
3
2. 已知函数()f x 与()g x 分别由下表给出：
则函数(())y g f x =的值域为 {2,3,5} 。

3.已知f (x )是二次函数，且满足f (0)=1，f (x +1) －f (x )=2x ，求f(x ). 解：设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)，由f (0)=1得c =1，由f (x +1)－f (x )=2x ，得 a (x +1)2+b(x +1)+1－(ax 2+bx +1)=2x 整理，得 2ax +(a +b )=2x 所以⎩⎨
⎧=+=022b a a 所以⎩⎨⎧-==1
1
b a
所以f (x )=x 2－x +1
【选修延伸】
一、分段函数
例4: 夏天，大家都喜欢吃西瓜，而西瓜的价格往往与西瓜的重量相关．小李到一个水果店去买西瓜，价格表上写的是：6斤以下，每斤0．4元．6斤以上9斤以下，每斤0．5元，9斤以上，每斤0．6元．此人挑了一个西瓜，称重后店主说5元1角，1角就不要了，给5元吧。

可小李马上说，你不仅没少要，反而多收了我的钱。

当小李讲出理由，店主只好承认了错误，照实收了钱．
同学们，你知道小李是怎样知道店主坑人的吗?其实这样的数学问题在我们身边有很多，只要你注意观察，积累，并学以致用，就能成为一个聪明人，因为数学可以使人聪明起来．
【解】若西瓜重9斤以下则最多应付4.5元,若西瓜重9斤以上,则最少也要5.4元,不可能出现5.1元这样的价钱,
所以店主坑人了．
第四课时 函数的表示方法（1）
学习要求
1．进一步理解和掌握表示两个变量之间的函数关系的方法——列表法、解析法、图象法； 2．能根据条件求出两个变量之间的函数解析式； 3．培养抽象概括能力和解决问题的能力．
自学评价
1．二次函数的形式：
（1）一般式：()c bx ax x f ++=2
()0,,,≠∈a R c b a ；
（2）交点式：()()()21x x x x a x f --= ，其中，21,x x 分别是()x f 的图象与x 轴的两个交点的
横坐标； （3）顶点式：()()12
1y x x a x f +-=， 其中()11,y x 是抛物线顶点的坐标；
2．已知函数类型，求函数解析式，常用待定系数法。

例如，求二次函数解析式的基本步骤是： （1）设出函数的一般式（或顶点式、交点式）； （2）代入已知条件，列方程（组）； （3）通过解方程（组）确定未知系数；
3．分别求满足下列条件的二次函数()f x 的解析式：
（1）图象与x 轴的两交点为(2,0)，(5,0)，且(0)10f =； （2）图象的顶点是(1,2)-，且经过原点。

答案：（1）2
()710f x x x =-+； （2）2
()24f x x x =--。

【精典范例】
例1：函数()f x 在闭区间[1,2]-上的图象如下图所示，则求此函数的解析式． 【解】由图象可知，
当10x -≤<时，()f x =当02x ≤≤时，()f x =所以1,1()1,02
x f x x +-≤⎧⎪
=⎨-≤⎪⎩
例2：（1）已知2
()43f x x x =-+，(1)f x +； （2）已知2(1)2f x x x +=-，求()f x ． 【解】（1）2
(1)2f x x x +=-； （2）2(1)43f x x x +=-+。

点评: 已知()f x 的解析式，求[()]f g x 时，将()x f 中的x 用()g x 代替，)]x 相当于()x f 中x 一个取值；已知[()]f g x 的解析式，求()f x 例3．某人开汽车以60/km h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在50/km h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的路程()x km 开始）的函数，再把车速v /km h 表示为时间()t h 的函数．
【解】从A 地到B 地所需时间为
150
2.5()60h =， 从B 地到A 地所需时间为150
3()50
h =， 所以，当0 2.5t <≤时，60x t =；
1 1
当2.5 3.5t <≤时，150x =；
当3.5 6.5t <≤时，
15050( 3.5)50325x t t =--=-+；
所以，60,0 2.5,150, 2.5 3.5,50325, 3.5 6.5.t t x t t t <≤⎧⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩
60,0 2.5,0, 2.5 3.5,50, 3.5 6.5.t v t t <≤⎧⎪=<≤⎨⎪<≤⎩
追踪训练一
1．若2(3)21f x x =-，则()f x 的解析式为 。

（答案：22()19
f x x =-）
2．已知()31f x x =-，()23g x x =+，则[()]f g x = ，
[()]g f x = 。

答案：[()]68f g x x =+，
[()]61g f x x =+。

【选修延伸】
一、复合函数
例4: 已知22
11()1f x x x x -=+
+，求函数()f x 的解析式。

【解】 （答案：2()3f x x =+）
例5．已知一个函数的解析式为2
y x =，它的值域为[1,4]，这样的函数有多少个？试写出其中两个函数。

【解】 思维点拨
解决例5这类问题，可以先写出自己熟悉的一个函数，然后再改变定义域。

如本题可先写出满足条件的函数2,[1,2]y x x =∈，注意到函数图象关于y 轴对称，设D 是[2,1]--的任意一个子集，则形如2,[1,2]y x x D =∈的函数都满足条件。

追踪训练二 1、已知a,b 为常数，若f(x)=x 2+4x+3，f(ax+b)=x 2+10x+24，则5a －b=_________.
2．已知一个函数的解析式为2
2y x x =-，它的 值域为[1,3]-，这样的函数有多少个？试写出其中两个函数．
答案：(1)5或－1。

(2)无数个，如定义域为[1,3]，[1,1]-等。

第五课时 函数的表示方法（2）
1．掌握函数的概念，能正确求出函数的定义域、值域；
2．领会题意正确地求出两个变量的函数关系；
3．能解决简单的复合函数的解析式和定义域问题．
自学评价
1．下列函数中，与2(2)y x x =->相同的函数是
（ D ） A ．2-=x y B ．2-=x y
C
．22--=x x y D ．2)22
(--=x x y
2．下列图象中，表示函数关系()y f x =的是
（ A ）
3．作出函数221,[1,3)y x x x =--∈-的图象。

解：2(1)2,[1,3)y x x =--∈-
A
【精典范例】
例1：（1
）若设函数()f x =，则此函数的定义域为 ，(1)f x += ，函数(1)y f x =+的定义域为 。

（2）若函数()y f x =的定义域为[1,3)，则函数(1)y f x =+的定义域为 。

解：（1）由10x -≥得1x ≥，∴()f x 的定义域为[1,)+∞
，(1)f x +=
， ∴(1)y f x =+的定义域为[0,)+∞。

（2）从（1）的解决可以体会，（1）中函数(1)y f x =+的定义域实际可以由11x +≥求出。

从形式上看，函数()y f x =的定义域为[1,3)，即“f ”后面的“（ ）”内的范围为[1,3)，故(1)y f x =+的定义域应由113x ≤+<得到，即02x ≤<。

例2：如图实线部分，某电影院的窗户的上部呈半圆形，下部呈矩形。

已知窗户的外框的周长是l ，矩形的水平边的长是x ，求窗户的采光面的面积y 与x 的函数解析式，并指出函数的定义域。

【解】由题意AB x =，
2CD x π
=， 22l x x AD π--
=， ∴2()2222
x l x x y x ππ--
=⋅+， 即2482l y x x π+=+。

由问题的实际意义可知： 0202
x l x x π>⎧⎪⎪⎨--⎪>⎪⎩，解得202l x π<<+。

所以，y 与x 的函数解析式是
248
2
l y x x π+=+，函数的定义域是 2(0,)2l π
+。

A B
C
D x
例3．若函数27()43
kx f x kx kx +=++的定义域为R ，求实数k 的取值范围． 【解】由题意知，方程
2430kx kx ++= ① 无实数解，
（1）若0k =，则方程①即30=，无实数解；
（2）若0k ≠，则“方程①无实数解”等价于20(4)430
k k k ≠⎧⎨∆=-⨯<⎩， 解得304
k <<， 综上所述，实数k 的取值范围为
3[0,)4。

追踪训练一
1
．函数()f x =的定义域为 （D ）
()A [1,1]- ()B (,1][1,)-∞-+∞ ()C [0,1] ()D {1,1}-
2．动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发，顺次经过B 、C 、D 再回到A ，设x 表示
点P 的行程，y 表示线段PA 的长，求y 关于x 的函数解析式。

答案：,01,12,23,4,
3 4.x x x y x x x ≤≤⎧<≤=<≤-<≤⎩
【选修延伸】
一、函数的值域
例4: 求函数541
x y x +=-的值域。

【分析】解析式的分子、分母都含变量，我们应设法减少变化的地方； 【解】545(1)995111
x x y x x x +-+=
==+---， ∵901
x ≠-， ∴5y ≠， 即函数54
x y x +=-的值域为(,5)(5,)-∞+∞． 例5
．求函数y x =- 【解】令u = （0u ≥），
则21122
x u =-+， 22111(1)1222
y u u u =--+=-++， 当0u
≥时，211(01)122
y ≤-++=， ∴函数y x =1(,]2
-∞． 思维点拨
例4中我们减少了x 的个数后就可以求出函数的值域，该方法我们称为分离常数法，容易知
道：形如cx d y ax b +=+ (0,)c bc ad ≠≠的值域为{|}c y y a
≠；例5通过换元解决根号的问题我们称这种方法为换元法。

追踪训练二
1
．函数2y =( C )
()A [2,2]- ()B [1,2]
()C [0,2] ()
D [
2．函数2211
x y x -=+的值域是 [1,1)- 。

第六课时 函数的单调性（1） 【学习导航】
知识网络
学习要求
1．理解函数单调性概念；
2．掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性；
3．提高观察、抽象的能力．；
自学评价
1．单调增函数的定义：
一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆．
如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()y f x =在区间I 上是单调增 函数，I 称为()y f x =的单调 增 区间．
注意：⑴“任意”、“都有”等关键词；
⑵. 单调性、单调区间是有区别的；
2．单调减函数的定义：
一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆．
如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当12x x <时，都有 12()()f x f x >，那么就说()y f x =在区间I 上是单调 减函数，I 称为()y f x =的单调 减 区间．
3．函数图像与单调性：函数在单调增区间上的图像是 上升 图像；而函数在其单调减区间上的图像是 下降 的图像。

（填＂上升＂或＂下降＂）
4．函数单调性证明的步骤：
（1） 根据题意在区间上设12x x < ；
（2） 比较12(),()f x f x 大小 ；
(3) 下结论＂函数在某个区间上是单调增（或减）函数＂ .
【精典范例】
一．根据函数图像写单调区间：
例1：画出下列函数图象，并写出单调区间．
（1）2
2y x =-+； （2）1y x
=
； （3）21, 0()22, 0x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩．
【解】
（图略）
（１）函数22y x =-+的单调增区间为(,0)-∞，单调减区间为(0,)+∞； （２）函数1y x
=在(,0)-∞和(0,)+∞上分别单调减，即其有两个单调减区间分别是(,0)-∞和(0,)+∞．
（３）函数21, 0()22, 0
x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩在实数集R 上是减函数；
二．证明函数的单调性：
例2：求证：函数f(x)= －x 3+1在区间(－∞,+ ∞)上是单调减函数
证明：设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则f(x 1) －f(x 2)= －x 13+1+x 23－1
=(x 2－x 1)(x 22+x 1x 2+x 12
)
因为x 2>x 1，x 22+x 1x 2+x 12
>0
所以f(x 1) －f(x 2)>0即
f(x 1)>f(x 2)
所以f(x)在(－∞,+ ∞)上递减
追踪训练一
1. 函数11
1--=x y (C)
()A 在(1,)-+∞内单调递增
()B 在(1,)-+∞内单调递减
()C 在(1,)+∞内单调递增
()D 在(1,)+∞内单调递减
2. 函数822+--=x x y 的单调增区间为
(4,1)--．. 3. 求证：1
()f x x x =+在区间(0,1)上是减函
数． 证明：设1201x x <<<，则
21120,01x x x x -><<
∴21()()f x f x -
2121
2121212112
122112
1
1
()()
1
1()()
()
()(1)
()0
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+-+=-+--=---=-<
即21()()f x f x < 故1
()f x x x =+在区间(0,1)上是减函数．
听课随笔
【选修延伸】
如果一个函数有两个单调区间，两个区间一般不取并集：
例３: 函数1y x
=在其定义域(,0)(0,)-∞+∞上是减函数吗？ 分析：单调区间的判断目前只有通过定义进行说明，如果要说明这个命题是真命题时我们要给出严格的定义证明，而如果要说明这个命题是假命题，我们只要举一组不满足定义的12,x x ，并加以说明．
【解】
该命题是假命题；例如121,1x x =-=时， 12()1,()1f x f x =-=，显然12x x <且12()()f x f x <，所以＂函数1y x
=在其定义域(,0)(0,)-∞+∞上是减函数＂是不成立的．
点评:
1．单调区间是函数定义域的子集，所以，求函数的单调区间，必须注意函数的定义域；
2．单调区间是单调增区间和单调减区间的统称，所以，求函数的单调区间时，如果函数既有单调增区间，又有单调减区间，必须分别写出来。

思维点拔：
一、利用图像写函数的单调区间？
我们只要画出函数的草图，在草图上要能够反映函数图像的上升和下降，根据图像上升的区间就是函数的单调增区间，图像下降的区间就是函数的单调减区间．
追踪训练
1．函数y ＝3x －2x 2＋1的单调递增区间是
（B ）
A (]
B [)
C (]
D [)．－∞，．，＋∞．－∞，－．－，＋∞34
343434
2. 若函数()f x 是R 上的增函数，对于实数,a b ，若0a b +>，则有(A )
()
A ()()()()f a f b f a f b +>-+- ()
B ()()()()f a f b f a f b +<-+- ()
C ()()()()f a f b f a f b ->--- ()
D ()()()()f a f b f a f b -<---
3. 函数f(x ＋1)＝x 2－2x ＋1的定义域是[2,0]-，则f(x)的单调递减区间是__[1,1]-______．
4. 函数y=⎩
⎨⎧<--≥+0101，x x ，x x 的单调减区间为(－∞，0). 5．讨论函数21)(++=
x ax x f )21(≠a 在),2(+∞-上的单调性. 解：1()2
ax f x x +=+
21221212ax a a
x a x ++-=+-=++ 设122x x -<<，则
2121(2)(2)0,0x x x x -->->
∴21()()f x f x -
211221121222
()
(12)(2)(2)
a a
x x x x a x x --=-
---=--- ∵1221()
0(2)(2)
x x x x -<-- 当1
2a <时，21()()f x f x <，此时函数
21)(++=x ax x f )21(≠a 在),2(+∞-上是单调减函数； 当1
2a >时，21()()f x f x >，此时函数
21)(++=x ax x f )21(≠a 在
),2(+∞-上是单调增函数；
听课随笔
第七课时 函数的单调性（2）
【学习导航】
学习要求
1．熟练掌握证明函数单调性的方法；
2．会证明一些较复杂的函数在某个区间上的单调性；
3．能利用函数的单调性解决一些简单的问题．
【精典范例】
一．较复杂函数的单调性证明：
例1：判断函数21()f x x x =-
((0,))x ∈+∞的单调性，并用单调性的定义证明你的结论． 【证明】函数21()f x x x =-
((0,))x ∈+∞是增函数．证明如下： 设120x x <<，则
22121221
12
12121211()()()()f x f x x x x x x x x x x x x x -=-+--=+-+ 121212
1()()x x x x x x =-++
， ∵120x x <<，∴120x x -<，1212
10x x x x ++>，∴12()()0f x f x -<， 即12()()f x f x <，∴函数21()f x x x
=-((0,))x ∈+∞是增函数． 说明：本题中的函数()f x 可视作函数2y x =和1y x =-的和，这两个函数在(0,)+∞内都是增函数，()f x 也是增函数．由此可见：如果两个函数在同一区间上都是增（减）函数，那么它们的和也是增函数。

二．证明函数的单调性：
例2：
求证：函数()f x x =在R 上是单调减函数．
【证明】
设 12x x <，则
12122212()()()
()f x f x x x x x -=-=--
听课随笔
1212(1)
(x x x x =-=-
∵12x x <，∴120x x -<；
∵11||x x ≤<
10x <，
同理20x <，
∴120x x <，∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，
∴()f x x =在R 上是单调减函数．
例３：(1)若函数2
()45f x x mx m =-+-在[2,)-+∞上是增函数，在(,2]-∞-上是减函数，则实数
m 的值为 ；
（2）若函数2
()45f x x mx m =-+-在[2,)-+∞上是增函数，则实数m 的取值范围为 ；
（3）若函数2
()45f x x mx m =-+-的单调递增区间为[2,)-+∞，则实数m 的值为 ． 解：（１）由二次函数的图像我们可以知道该二次函数的对称轴是2x =-即28
m
-=-即16m =；
（２）由题意可以知道28
m
-
≤-即16m ≥； （３）由二次函数的图像我们可以知道该二次函数的对称轴是2x =-即28
m
-
=-即16m =； 追踪训练一
1. 函数()f x 是定义域上单调递减函数，且过点(3,2)-和(1,2)-，则|()|2f x <的自变量x 的取值范围是（ B ）
()A (3,)-+∞ ()B (3,1)-
()C (,1]-∞ ()D (,)-∞+∞
2. 已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与3()4
f 的大小关系是 小于等于 ．
3. 函数y=|x+1|的单调递减区间为[－1，+∞)单调递减区间(－∞，－1]
【选修延伸】
已知函数单调性，求参数范围：
例4: 已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意的正数d ，都有()()f x d f x +<，求满足
(1)(21)f a f a -<-的a 的取值范围．
【解】∵0d >时，()()f x d f x +<， ∴函数()y f x =是减函数，
∴由(1)(21)f a f a -<-得：121a a ->-，解得23
a <
，
∴a 的取值范围是2(,)3
-∞．
点评:
注意函数的单调区间是定义域上的区间，也就是说函数的单调区间一定是函数定义域的子集。

若本例题中的定义域改为(1,1)-的a 的范围又怎样了呢？
第八课时 函数的最值
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．了解函数的最大值与最小值概念；
2．理解函数的最大值和最小值的几何意义； 3．能求一些常见函数的最值和值域．
自学评价
1．函数最值的定义：
一般地，设函数()y f x =的定义域为A ．
若存在定值0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≤恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最大值，记为max 0()y f x =；
若存在定值0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≥恒成立，则称0()f x 为
()y f x =的最小值，记为min 0()y f x =；
2．单调性与最值：
设函数()y f x =的定义域为[],a b ，
若()y f x =是增函数，则max y = ()f a ，min y = ()f b ；
若()y f x =是减函数，则max y = ()f b ，min y = ()f a ．
【精典范例】
一．根据函数图像写单调区间和最值：
例1：如图为函数()y f x =，[]4,7x ∈-的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．
【解】
由图可以知道：
当 1.5x =-时，该函数取得最小值2-； 当3x =时，函数取得最大值为3；
函数的单调递增区间有２个：( 1.5,3)-和(5,6)；
该函数的单调递减区间有三个：(4, 1.5)--、(4,5)和(6,7) 二．求函数最值：
例2：求下列函数的最小值： （1）2
2y x x =-； （2）1
()f x x
=，[]1,3x ∈． 【解】
（１）2
2
2(1)1y x x x =-=-- ∴当1x =时，min 1y =-； （２）因为函数1()f x x =在[]1,3x ∈上是单调减函数，所以当3x =时函数1
()f x x
=取得最小值为1
3
．
追踪训练一
1. 函数2
()4(0)f x x mx m =-+>在(,0]-∞上的最小值（A ）
()A 4 ()B 4-
()C 与m 的取值有关 ()D 不存在
2. 函数2()2f x x x =-++的最小值是 ０ ，最大值是
3
2
．
听课随笔
3. 求下列函数的最值：
(1)4
()1,{1,0,1,2}f x x x =+∈-；
(2)()35,[3,6]f x x x =+∈ 析：因为函数的最值是值域中的最大值和最小值，所以求函数的最值的方法有
时和求函数值域的方法是相仿的． 解：(1)(1)(1)2f f =-=;(0)1f =;(2)17f = 所以当0x =时，min 1y =；当2x =时，max 17y =； (2)函数()35f x x =+是一次函数，且30>
故()35f x x =+在区间[3,6]上是增函数 所以当3x =时，min 14y =； 当6x =时，max 23y =；
【选修延伸】
含参数问题的最值：
例３: 求2
()2f x x ax =-，[0,4)x ∈的最小
值．
【解】
22()()f x x a a =--，其图象是开口向上，对
称轴为x a =的抛物线． ∴[]min ()(0)0f x f ==；
①若0a ≤，则()f x 在[0,4)上是增函数，[]2min ()()f x f a a ==-；
②
若
04
a <<，则
③若4a ≥，则()f x 在[0,4)上是减函数，∴()f x 的最小值不存在．
点评:
含参数问题的最值，一般情况下，我们先将参数看成是已知数，但不能解了
我们再进行讨论！
思维点拔：
一、利用单调性写函数的最值？
区间[,]a c 上是图像连续的，且在我们可以利用函数的草图，如果函数在
[,]a b 是单调递增的，在[,]b c 上是单调递减的，则该函数在区间[,]a c 上的最区间[,]a c 上是图像连续的，且在大值一定是在x b =处取得；同理，若函数在[,]a b 是单调递减的，在[,]b c 上是单调递增的，则该函数在区间[,]a c 上的最
小值一定是在x b =处取得．
追踪训练
１．函数)
1(11
)(x x x f --=
的最大值是
( D)
()
A 54 ()
B 45 ()
C 43 ()
D 3
4 2. y=x 2+12-x 的最小值为( C ) A.0
B.
4
3
C.1
D 不存在.
3. 函数2
()21(0)f x ax ax a =++>在区间
[3,2]-上的最大值为4，则
听课随笔
a =____3
8
____．
4.函数2
3(0)
()5(0)
x x f x x x +<⎧=⎨-≥⎩的最大值为 5 . 5．已知二次函数2
()21f x ax ax =++在[]3,2-上有最大值4，求实数a 的值．
解：函数2
()21f x ax ax =++的对称轴为1x =-，
当0a >时，则当2x =时函数取最大值4，即814a +=即38
a =； 当0a <时，则当1a =-时函数取得最大值4，即14a -=，即3a =-
所以，3
8
a =或3a =-。

追踪训练
1．已知函数()f x ax =和()b g x x
=在(0,)+∞上都是减函数，则2()h x ax bx c =++ 在(,0)-∞上（ A ）
()A 是增函数
()B 是减函数
()C 既不是增函数也不是减函数 ()D ()h x 的单调性不能确定
2. 若函数2
()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4)-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是
3a ≤- ．
3. 若在上是增函数，且0a b +>，则()()f a f b + ＞ ()()f a f b -+-． （注：从<、>、=中选择一个填在横线上）
4. 函数14)(2
+-=mx x x f 在(,3]-∞-上递减，在),2[+∞-上递增，则实数m 的取值范围
[24,16]-- .
5．用函数单调性的定义证明：函数3
()f x x x =+在(),-∞+∞上是增函数．
证明：设12x x < ∴21()()f x f x -
33221133212122212121212221211()()()()
()()()13
()[()1]
24
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+-+=-+-=-+++-=-+++>
即21()()f x f x >
故函数3
()f x x x =+在(),-∞+∞上是增函数．
第九课时 分段函数
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分段函数⎪⎩
⎪
⎨⎧分段函数图象分段函数定义域值域分段函数定义
学习要求
1、了解分数函数的定义；
2、学会求分段函数定义域、值域；
3、学会运用函数图象来研究分段函数； 自学评价：
1、分段函数的定义
在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数；
2、分段函数定义域，值域；
分段函数定义域各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集(填“并”或“交”) 3、分段函数图象
画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象；
【精典范例】
一、含有绝对值的解析式
例1、已知函数y=|x －1|+|x+2| (1)作出函数的图象。

(2)写出函数的定义域和值域。

【解】：
(1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x=1，第二个绝对值的分段点x=－2，这样数轴被分为三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，+∞) 所以已知函数可写为分段函数形式：
y=|x －1|+|x+2|=⎪⎩
⎪
⎨⎧>+≤<--≤--)1(12)12(3)2(12x x x x x
在相应的x 取值范围内，分别作出相应函数的图象，即为所求函数的图象。

（图象略）
(2)根据函数的图象可知：函数的定义域为R ，值域为[3，+∞）
二、实际生活中函数解析式问题
例2、某同学从甲地以每小时6千米的速度步行2小时到达乙地，在乙地耽搁1小时后，又以每小时4千米的速度步行返回甲地。

写出该同学在上述过程中，离甲地的距离S(千米)和时间t(小时)的函数关系式，并作出函数图象。

【解】：
先考虑由甲地到乙地的过程：
0≤t ≤2时， y=6t 再考虑在乙地耽搁的情况： 2<t ≤3时， y=12
最后考虑由乙地返回甲地的过程： 3<t ≤6时， y=12－4(t －3)
所以S(t)=⎪⎩
⎪
⎨⎧≤<+-≤<≤≤)63(244)32(12)
20(6t t t t t
函数图象（略）
点评：某些实际问题的函数解析式常用分段函数表示，须针对自变量的分段变化情况，列出各段不同的解析式，再依据自变量的不同取值范围，分段画出函数的图象.
三、二次函数在区间上的最值问题
例3、已知函数f(x)=2x 2－2ax+3在区间[－1，1]上有最小值，记作g(a). (1)求g(a)的函数表达式 (2)求g(a)的最大值。

【解】：
对称轴x=讨论分12];1,1[2122>-∈-<a
a ；a a
得g(a)⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧>+-≤≤---<+)
2(52)22(23)2(522
a a a a a a
利用分段函数图象易得：g(a)max =3
点评：二次函数在闭区间上的最值问题往往结合图象讨论。

追踪训练
1、设函数f(x)=⎩⎨⎧>≤+)2(,2)
2(,22x x x x 则f(－4)=___________,若f(x 0)=8，则x 0=________
答案：18；6-或4。

2、已知函数f(x)=⎪⎩
⎪
⎨⎧<=>)0(0)0(1)0(2x x x x
求f(1)，f[f(－3)]，f{f[f(－3)]}的值.
答案：1；1；1。

3、出下列函数图象
y=┃x+2┃－┃x －5┃
解：原函数变为 y=⎪⎩
⎪
⎨⎧+∞∈-∈---∞∈-),5[,7)5,2(,32]2(,7x x x ，x
下面根据分段函数来画出图象 图象（略）。

4、已知函数y=⎪⎩
⎪
⎨⎧-+=+==)1()()1(3)1(1)0(n nf n f n f f f ，则f(4)=_______.
答案：22。

5、已知函数f(x)=1
|
1|122+++
+-x x x x (1)求函数定义域；
(2)化简解析式用分段函数表示； (3)作出函数图象
答案：（1）函数定义域为{x ┃x R x ∈-≠,1}
( 2 ) f(x)=┃x-1┃+
1
|
1|++x x =⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<<---<-1,11,21,x x x x x x
(3) 图象（略）。

第十课时 函数的奇偶性（1）
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学习要求
1．了解函数奇偶性的含义；
2．掌握判断函数奇偶性的方法，能证明一些简单函数的奇偶性； 3．初步学会运用函数图象理解和研究函数的性质
自学评价
1．偶函数的定义：
如果对于函数()y f x =的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么称函数
()y f x =是偶函数．
注意：（１） “任意”、“都有”等关键词；
（２）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； 2．奇函数的定义：
如果对于函数()y f x =的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么称函数
()y f x =是奇函数．
3．函数图像与单调性： 奇函数的图像关于原点对称； 偶函数的图像关于y 轴对称． 4．函数奇偶性证明的步骤：
（1）考察函数的定义域是否关于“0”对称；
（2）计算()f x -的解析式，并考察其与()f x 的解析式的关系 ； (3)下结论 .
【精典范例】
一．判断函数的奇偶性：
例1：判断下列函数是否是奇函数或偶函数： 判断下列函数的奇偶性：
(1)3
()f x x x =+ (2)()31f x x =+ (3)6
4
()8f x x x =++，[2,2)x ∈-
(4)()0f x = (5)4
2
()23f x x x =+
析：函数的奇偶性的判断和证明主要用定义。

【解】(1) 函数3
()f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称， 且3
3()()()[]()f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以该函数是奇函数。

(2)函数()31f x x =+的定义域为R ，关于原点对称，
()3()131()f x x x f x -=-+=-+≠且()()f x f x -≠-，所以该函数既不是奇函数也不是偶函
数，即是非奇非偶函数。

(3) 函数6
4
()8f x x x =++，[2,2)x ∈-的定义域为[2,2)-不关于原点对称，故该函数是非奇非偶函数。

(4)函数()0f x =的定义域为R ，关于原点对称，()0()()f x f x f x -===-，所以该函数既是奇函数又是偶函数。

(5) 函数42
()23f x x x =+的定义域为
R ，关于原点对称，
4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以该函数是偶函数。