数列不等式
数列绝对值不等式
数列绝对值不等式数列是数学中一个重要的概念，它是由一串有顺序的数字组成的序列。
在数列的研究中，绝对值不等式是一种常见的数学问题。
本文将介绍数列绝对值不等式及其性质，并通过例题来解释其应用。
一、数列绝对值不等式的定义和性质数列绝对值不等式是指在一个数列中由绝对值组成的不等式。
数列绝对值不等式常见的形式有以下几种：1. |an|≤a，其中a为实数。
2. |an|≥a，其中a为正实数。
3. |an±bn|≤a，其中a为实数。
4. |an±bn|≥a，其中a为正实数。
在数列绝对值不等式中，|an|表示数列中的第n个数的绝对值，a和b为实数。
根据不等式的性质，我们可以得出以下结论：1. 若|an| ≤ a，则 -a ≤ an ≤ a。
2. 若|an| ≥ a，则an ≤ -a 或an ≥ a。
二、解决数列绝对值不等式的方法解决数列绝对值不等式的关键是确定数列中每个数的取值范围。
以下是一些常用的解题方法：1. 分情况讨论法当数列中的每个数的取值范围不同时，可以采用分情况讨论的方法。
具体步骤如下：（1）根据数列中每个数的绝对值大小，给出每个数的取值范围。
（2）将取值范围代入绝对值不等式中，得出每个数的取值范围。
（3）将每个数的取值范围整合起来，得出整个数列的取值范围。
2. 取最大值和最小值法当数列中每个数的取值范围相同时，可以通过取最大值和最小值的方法求解。
具体步骤如下：（1）根据数列中每个数的绝对值大小，确定每个数的取值范围。
（2）将取最大值和最小值代入绝对值不等式中，得出每个数的取值范围。
（3）将每个数的取值范围整合起来，得出整个数列的取值范围。
三、例题解析为了更好地理解数列绝对值不等式的求解过程，我们来看几个例题。
例题1：已知数列an=3n-2，试求满足绝对值不等式|an+2|≤5的n的取值范围。
解析：首先，我们根据数列an=3n-2，求得数列中每个数的取值。
当 n = 1 时，a1 = 3(1) - 2 = 1；当 n = 2 时，a2 = 3(2) - 2 = 4；当 n = 3 时，a3 = 3(3) - 2 = 7；...根据数列中每个数的取值，我们可以判断出：an+2 = 3(n + 2) - 2 = 3n + 4接下来，我们将an+2代入绝对值不等式中，得到：|3n + 4| ≤ 5根据绝对值不等式的性质，我们可以得到以下两种情况：1. 3n + 4 ≤ 5，即3n ≤ 1，解得n ≤ 1/3；2. -(3n + 4) ≤ 5，即 -3n ≤ 9，解得n ≥ -3。
求解数列不等式证明问题的方法
解题宝典证明数列不等式问题是一类综合性较强且难度较大的问题，不仅考查了数列知识，还考查了证明不等式的技巧.本文主要介绍三种证明数列不等式问题的方法，以供大家参考.一、利用数列的单调性我们知道，数列具有单调性.因此在证明数列不等式问题时，我们可以利用数列的单调性来讨论数列的变化趋势，进而证明不等式.利用数列的单调性解题的关键在于观察数列的特征，通过作差、作商等方法，构造出新数列，利用数列的单调性证明结论.例1.已知数列{}a n各项均为正数，前n项和S1>1，满足关系式6S n=(a n+1)(a n+2)，n∈N*.设数列{}bn满足关系式an(2b n-1)=1，令T n为数列{}b n的前n项和，求证：3T n+1>log2(a n+3)，n∈N*.证明：根据前n项和关系式可得a n=3n-1，将其代入到an(2b n-1)=1中可得b n=log23n3n-1，Tn=b1+b2+⋯+b n=log2(32×65×⋯×3n3n-1)，则3T n+1-log2(a n+3)=log2éë(32×65×⋯×3n3n-1)3ùû×23n+2.设f(n)=(32×65×⋯×3n3n-1)3×23n+2，则f(n+1)f(n)=(3n+3)3(3n+5)(3n+2)2，变形得(3n+3)3-(3n+5)(3n+2)2=9n+7>0，则数列{}f(n)单调递增.因此f(n)≥f(1)>1，则3T n+1-log2(a n+3)=log2f(n)>0，所以3T n+1>log2(a n+3).本题的难度较大，欲证明此题，首先需要从结论出发，构造数列f(n)，然后根据新数列的形式，利用作差法、作商法证明数列具有单调性，再利用其单调性证明结论.很多时候，我们并不能直接发现数列的单调性，往往需要对数列的递推式进行多次转换、变形，构造出新数列才能发现其单调性.二、放缩法放缩法是解答不等式问题的基本方法之一.在运用放缩法证明数列不等式问题时，我们必须紧紧围绕着放缩目标，掌握好放缩的尺度，灵活运用不等式的传递性证明不等式.常见的放缩技巧有添加或删除某些项、先放缩再求和（先求和再放缩）、先裂项再放缩（先放缩再裂项）等.但无论运用哪种放缩技巧，都需要把控放缩的尺度，否则容易得出错误的答案.例2.已知数列{}a n满足条件：a1=1，a n+1=2a n+1(n∈N*)，试证明：n2-13<a1a2+a2a3+⋯+a n an+1<n2.证明：由a n+1=2a n+1,(n∈N*)，可得a n=2n-1，则akak+1=2k-12k+1-1=2k-12(2k-12)<2k-12(2k-1)=12，所以a1a2+a2a3+⋯+anan+1<12+12+⋯+12=n2.故akak+1=2k-12k+1-1=12·2k+1-22k+1-1=12(1-12k+1-1)=12-13×2k+2k-2≥12-13×12k(k=1,2,3,⋯)，即a1a2+a2a3+⋯+anan+1≥12-13(12+122+⋯+12n)=n2-13(1-12n)>n2-13.综合上述分析，即可证明不等式n2-13<a1a2+a2a3+⋯+a n a n+1<n2成立.本题主要运用了放缩法，首先结合数列不等式的表达式，对不等式进行缩放，构造出anan+1，再借助不等式的传递性证明了结论.三、导数法对于综合性较强的数列不等式问题，我们往往采用导数法来求解.首先结合不等式构造出函数模型，对函数求导，通过研究其导函数得到函数的单调性、最储文海42解题宝典值，进而证明不等式成立.例3：试证明12+13+14+⋯+1n <ln n <1+12+13+14+⋯+1n +1(n ∈N*).证明：令a n =1n +1、b n =1n ，于是当n ≥2时，S n -1=ln n 、S n =ln(n +1).则S n -S n -1=ln(n -1)-ln n =ln n +1n.欲证明原不等式成立，需要证明1n +1<ln n +1n<1n ，即证明1x +1<ln x +1x <1x ,x ≥1.设函数f (x )=ln x +1x -1x +1，对其进行求导可得到f ′(x )=1x +1-1x +1(x +1)2=-1x (x +1)2<0.令x +1x =t ，则1x =t -1，t -1t<ln t <t -1,(t >1).设函数h (t )=ln t -t -1t ，则h ′(t )=t -1t2>0，则函数h (t )在(1,+∞)单调递增，所以h (t )>h (1)=0，h (t )=ln t -t -1t>0，即是ln t >t -1t.同理可以证得ln t <t -1，即是ln t +1t <1t.综上可得，1t +1<ln t +1t <1t ，当t 分别取1,2,3,…,n -1时，12+13+14+⋯+1n <ln n <1+12+13+14+⋯+1n +1.运用导数法的根本目的是判断数列的单调性，求得数列的最值.这里首先构造出两个数列以及两个数列的和式，然后结合目标不等式的形式构造出函数模型，通过分析导函数确定函数的单调性，从而证明不等式.从上述分析我们不难看出，证明数列不等式问题的难度系数较大.在解答此类问题时，我们需要仔细分析数列不等式的特点，将其进行适当的变形、转化，并要学会联想，将其与不等式的性质、重要结论以及函数、导数的性质关联起来，才能将难题破解.（作者单位：江苏省华罗庚中学）立体几何是高考数学考查的重点.解答立体几何问题常用的方法是几何法和向量法.这两种方法是分别从几何和代数两个角度入手的，有着各自的优势.本文重点探讨这两种方法在解题中的应用.一、几何法几何法是指运用几何知识解答问题的方法.在解答立体几何问题时，我们需要根据题意绘制相应的图形，探寻空间中点、线、面之间的位置关系，通过延长线段，平移、变换、旋转图形，添加辅助线等方式，建立结论与已有条件之间的联系，灵活运用各种定理、定义、性质，对条件进行转化，顺利解答问题.例1.如图1，在三棱台ABC-DEF 中，已知平面BCEF ⊥平面ABC ，∠ACB -90°，BE =EF =FC =1，BC =2，AC =3，（1）求证：BF ⊥平面ACFD （2）求二面角B -AD -C 的余弦值.李鹏飞图143。
关于和式的数列不等式证明方法
关于和式的数列不等式证明方法第一篇：关于和式的数列不等式证明方法关于“和式”的数列不等式证明方法方法：先求和，再放缩例1、设数列{an}满足a1=0且an≠n,2an+1=1+an+1γan，n∈N*，记Sn=∑bk,证明：Sn<1.k=1n（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=【解析】：（Ⅰ）由⎧1⎫11-=1.得⎨⎬为等差数列，1-a1-an+11-ann⎭⎩前项为1111=1,d=1,于是=1+(n-1)⨯1=n，∴1-an=,an=1-1-a11-annn（Ⅱ）bn=n===-Sn=∑bk=k=1++K+=1-<1 练习：数列{an}为等差数列，an为正整数，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，且a1=3,b1=1，数列{ban}是公比为64的等比数列，b2S2=64.（1）求an,bn；（2）求证1113++Λ+<.S1S2Sn4解：（1）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，an=3+(n-1)d，bn=qn-1⎧ban+1q3+ndd6==q=64=2⎪q3+(n-1)d依题意有⎨ban①⎪S2b2=(6+d)q=64⎩由(6+d)q=64知q为正有理数，故d为6的因子1,2,3,6之一，解①得d=2,q=8故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1（2）Sn=3+5+Λ+(2n+1)=n(n+2)∴1111111++Λ+=+++Λ+S1S2Sn1⨯32⨯43⨯5n(n+2)11111111=(1-+-+-+Λ+-)232435nn+211113=(1+--)<22n+1n+24方法：先放缩，再求和例1、（放缩之后裂项求和）（辽宁卷21）．在数列|an|，|bn|中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列（n∈N）（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测|an|，|bn|的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：*5++…+<． a1+b1a2+b2an+bn12本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．满分12分．解：（Ⅰ）由条件得2bn=an+an+1，an+1=bnbn+1 由此可得a2=6，b2=9，a3=12，b3=16，a4=20，b4=25．···················································· 2分猜测an=n(n+1)，bn=(n+1)．······················································································· 4分用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立．②假设当n=k时，结论成立，即ak=k(k+1)，bk=(k+1)2，那么当n=k+1时，2akak+1=2bk-ak=2(k+1)-k(k+1)=(k+1)(k+2)，bk+1=+2=(k+2)2．bk所以当n=k+1时，结论也成立．由①②，可知an=n(n+1)，bn(n+1)对一切正整数都成立．·········································· 7分（Ⅱ）5=<．a1+b1612n≥2时，由（Ⅰ）知an+bn=(n+1)(2n+1)>2(n+1)n．·············································· 9分故11111⎛111⎫++…+<+++…+⎪ a1+b1a2+b2an+bn62⎝2⨯33⨯4n(n+1)⎭=11⎛111111⎫+-+-+…+-⎪62⎝2334nn+1⎭11⎛11⎫115+-⎪<+= 62⎝2n+1⎭6412=综上，原不等式成立．··································································································· 12分（例2、（放缩之后等比求和）（06福建）已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N).*（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：an1a1a2n-<++...+n<(n∈N*)23a2a3an+122n（III）.设bn=an(an+1)，数列{bn}的前n项和为sn，令Tn=，sn （i）求证：T1+T2+T3+ΛTn<n；（ii）求证：T1+T2+T3+ΛTn<；本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。
导数数列型不等式证明问题
导数数列型不等式的证明涉及到导数的概念、性质和运算，通常需要运用放缩、构造辅助函数、微分中值定理等方法。
以下是一些常见的导数数列型不等式的证明方法：
放缩法：通过放缩不等式，使得不等式的证明变得更加容易。
例如，可以利用导数的性质，将原不等式转化为容易证明的等式或不等式。
构造辅助函数法：根据导数的性质，构造出一个辅助函数，通过研究该函数的性质，证明不等式。
例如，可以构造一个函数，使其在指定区间上单调递增或递减，从而证明不等式。
微分中值定理法：利用微分中值定理，将不等式转化为一个容易证明的等式或不等式。
例如，可以根据微分中值定理，将原不等式转化为一个关于某个变量的函数，然后对该函数求导，证明其单调性，从而证明不等式。
需要注意的是，在证明导数数列型不等式时，需要充分理解导数的性质和运算规则，并能够灵活运用。
同时，还需要注重证明过程中的严谨性和准确性，避免出现错误。
第23讲 证明数列不等式(解析版)
第23讲 证明数列不等式参考答案与试题解析一．解答题（共47小题）1．（2021•浙江月考）设等差数列{}n a 的前为n S ，已知24a =，420S =． （1）求数列{}n a 的通项公式 （2）记数列21{}n n a a +的前n 项和为n T ，求证：212n T n n <++ 【解答】解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则由24a =，420S =得1144620a d a d +=⎧⎨+=⎩，故122a d =⎧⎨=⎩，故2n a n =．（2）证明：1222212111()()n n nT a a a a a a =++⋯++++⋯+ 而212n a a a n n ++⋯+=+．222222121111111()412n a a a n ++⋯+=++⋯+， 故221111111[11]422312n T n n n n n n <+++-+-+⋯+-<++-2．（2021春•江油市校级期中）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知对任意的*n N ∈，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1b ≠，b ，r 均为常数）的图象上． （1）求r 的值； （2）当2b =时，记*1()4nn bn n N a +=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T （3）由（2），是否存在最小的整数m ，使得对于任意的*n N ∈，均有3220n mT -<，若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）因为对任意的*n N ∈，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1b ≠，b ，r 均为常数）的图象上 所以得n n S b r =+， 当1n =时，11a S b r ==+，当2n 时，111()(1)n n n n n n a S S b r b r b b ---=-=+-+=-，又因为{}n a 为等比数列，∴公比为b ，所以21(1)a b bb a b r-==+，解得1r =-，首项11a b =-，1(1)n n a b b -∴=-（2）当2b =时，12n n a -=，111114422n n n n n n n b a -++++===⨯ 则234123412222n n n T ++=+++⋯+∴34521234122222n n n T ++=+++⋯+ 两式相减，得23412121111222222n n n n T +++=+++⋯+-31211(1)112212212n n n -+-+=+--12311422n n n +++=-- 113113322222n n n n n n T ++++∴=--=- （3）若3220n mT -<使得对于任意的*n N ∈，都成立 33(3)220nn m+∴--<， 即3220n n m +<对于任意的*n N ∈，都成立 又1(1)3320222n n nn n n ++++---=<， ∴32nn +的最大值在1n =时取得，最大值为2， ∴220m>，40m >，所以存在这样的41m =符合题意． 3．（2021春•兰山区校级月考）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知对任意的*n N ∈，点(,)n n S 均在函数(0x y b r b =+>且1b ≠，b ，r 均为常数）的图象上． （1）求r 的值；（2）当2b =时，记*32(log 1)()n n b a n N =+∈，证明：对任意的*n N ∈，不等式1212111n nb b b b b b +++⋯>【解答】解：（1）由题意，n n S b r =+，当2n 时，11n n S b r --=+，∴11(1)n n n n a S S b b --=-=-且1b ≠，所以2n 时，{}n a 是以b 为公比的等比数列， 又1a b r =+，2(1)a b b =-，21a b a =，即(1)b b b b r-=+，解得1r =-， r 的值1-；（2）证明：当2b =时，由（1）知12n n a -=，因此*2()n b n n N =∈，∴不等式为214121242n n+++⋯>①当1n =时，左式32=，右式=>右式，所以结论成立②假设*()n k k N =∈时结论成立，即214121242k k+++⋯>则当1n k =+时，2141212323212422(1)2(1)2k k kk k k k +++++⋯>+=++ 要证当1n k =+>只需证：2241294128k k k k ++>++成立，显然成立，∴当1n k =+时，214121232422(1)k k k k ++++⋯>+综合①②可知不等式1212111n nb b b b b b +++⋯>4．数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈，点(,)n n S 均在函数1(0x y b b =->且1b ≠，b 均为常数）的图象上．（1）求证：{}n a 是等比数列； （2）当2b =时，记1()4n n n b n N a ++=∈，证明：数列{}n b 的前n 项和32n T <． 【解答】（1）证明：数列{}n a 的前n 项和为n S ， 对任意的n N +∈，点(,)n n S 均在函数1x y b =-的图象上，∴1n n S b =-，111a S b ==-，当2n 时，11111(1)n n n n n n a S S b b b b --=-=--+=-．1n =时，上式成立，∴1(1)n n a b b=-，*n N ∈．{}n a ∴是等比数列．（2）2b =时，12n n a -=，11142n n n n n b a +++==， 231231222n n n T ++=++⋯+，① 34212212222n n n T ++=++⋯+，② ①-②，得：3412111111222222n n n n T +++=+++⋯+-1211(1)118212212n n n -+-+=+--23342n n ++=-， ∴13322n n n T ++=-， 32n T ∴<． 5．（2021•临沂期中）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知对任意*n N ∈，点(,)n n S 均在函数2(x y r r =+为常数）的图象上． （1）求r 的值；（2）记*()n n b na n N =∈，数列{}n b 的前n 项和为n T ，试比较2n S 与n T 的大小．【解答】解：（1）因为对任意的n N +∈，点(,)n n S ，均在函数2(x y r r =+为常数）的图象上．所以得2n n S r =+， 当1n =时，112a S r ==+，当2n 时，11112(2)222n n n n n n n n a S S r r ----=-=+-+=-=， 又因为{}n a 为等比数列，所以112a r ==+ 故1r =-；（2）由（1）可知，12n n a -=，21n n S =-，*n N ∈ 又由*()n n b na n N =∈，则1*2()n n b n n N -=∈，则数列{}n b 的前n 项和为01232112223242(1)22n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯①12341212223242(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯②①-②得到：00123212(12)2222222212n n n nn n T n n ----=++++⋯++-⨯=-⨯-即221(1)21n n n n T n n =⨯-+=-⨯+所以22212221(3)23n n n n n n T S n n -=⨯-+-⨯+⨯=-⨯+ 当1n =时，21n n T S -=-，2n n T S ∴<； 当2n =时，21n n T S -=-，2n n T S ∴<； 当2n >时，20n n T S ->，2n n T S ∴>．综上，当1n =，2时，2n n T S <；当2n >时，2n n T S >．6．已知二次函数1k 图象经过坐标原点，其导函数为()62f x x '=-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(n ，*)()n S n N ∈均在函数()y f x =的图象上；又11b =，1(2)3n n c a =+，且22112312222n n n n n a b b b c ---+++⋯++=，对任意*n N ∈都成立，（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n c b 的前n 项和n T ；（3）求证：()(1)(0)i ln x x +<>；2*2221()(4(1)ni i ilna n n ii n N a n =--<∈+∑，2)n ． 【解答】解：（1）设二次函数2()f x ax bx =+，()2f x ax b '=+， 262a b ∴==-，则2()32f x x x =-， (,)n n S 在232y x x =-上，232n S n n ∴=-．当2n 时1n n n a S S -=-22323(1)2(1)65n n n n n =---+-=- 又1n =时1321615a =-==⨯-符合， 65n a n ∴=-，则163(2)2133n n n c a n -=+==-，由22112312222n n n n n b a b b b c ---+++⋯++=得，2211231222221n n n n b a b b b n ---+++⋯++=-①， 令1(2)n n n =-代入上式得，22212311222223n n n n b a b b b n ----+++⋯++=-②， ①-②得，122n n b -=，即22(2)n n b n -=， 又11b =不满足上式，∴21122n nn b n -=⎧=⎨⎩， （3）由（2）得，211(21)22n n nn c b n n -=⎧=⎨-⎩， 122135272(21)2n n T n ---∴=++⨯+⨯+⋯+-⨯③， 123111325272(21)222n n T n ----=+⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯④， ③-④得，1221172(222)(21)222n n n T n ----=+++⋯+--⨯21111(1)711222(21)2(23)212212n n n n n ----=+⨯--⨯=-+⨯-，则211(23)2n n T n -=-+⨯，（3）()i 设()(1)(0)g x x ln x x =-+>，则1()1011x g x x x '=-=>++， ()g x ∴在(0,)+∞上是增函数， ()(0)0g x g ∴>=，即(1)0x ln x -+>，故(1)(0)ln x x x +<>； ()(1)(0)ii ln x x x +<>，当*n N ∈，2n 时，令1n n =-代入上式得： 1lnn n <-，即111lnn n n n n-<=-， 令2n n =代入上式得，22211lnn n n <-，∴2211(1)2lnn n n<-则222222222231111(111)23223ni lni ln ln lnn in n ==++⋯+<-+-+⋯+-∑22211111111[(1)()][(1)()]22322334(1)n n n n n =--++⋯+<--++⋯+⨯⨯+ 1111111[(1)()]223341n n n =---+-+⋯+-+ 21111121[(1)()][(1)]22122(1)4(1)n n n n n n n n ---=---=--=+++， 故结论成立．7．11()43x f x b -+=-⨯+，等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(n P n ，*)()n S n N ∈均在函数()y f x =上．（1）求b 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）设32log (8)n n b a =⨯，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，是否存在*k N ∈，使得1212n T T T k n++⋯+<对任意*n N ∈恒成立？若存在，求出k 的最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）依题意，1143n n S b -+=-⨯+，当2n 时，21143n n S b -+-=-⨯+，12111144433n n n n n n a S S -+-+-+-∴=-=-⨯+⨯=，114144n n n n a q a -+-+∴===，∴2121111144114433a ab b -+-+===-⨯+-，即43b =， ∴数列{}n a 的通项公式14n n a -+=；（2）结论：存在*k N ∈，使得1212n T T T k n++⋯+<对任意*n N ∈恒成立． 理由如下：由（1）可知12242n n n a -+-+==，39222118222n n n a -+-+∴⨯=⨯=， 322log (8)log 2n n b a ∴=⨯=211211n n -+=-+，2(1)211102n n n T n n n +∴=-+=-+， ∴21010n T n n n n n-+==-， ∴2212(1)119119136110()122222224n T T T n n n n n n n +++⋯+=-=-+=--+， ∴当9n =或10时1212n T T T n ++⋯+取最大值211910104522-⨯+⨯=， ∴存在*k N∈，使得1212n T T T k n++⋯+<对任意*n N ∈恒成立， 且k 的最小值为45．8．已知*)n a n N =⋯+∈，求证：3(1)1(1)23n n n a n +<<+．【解答】证明：(1n n n n <<+，12231n n ∴++⋯+<⋯+<++⋯++，∴3(1)(3)1(1)223n n n n n ++<+． ∴3(1)1(1)23n n n a n +<<+． 9．（2021•嘉兴模拟）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1a ，n a ，n S 成等差数列，且542a S =+，*n N ∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记2n n n a b S =，*n N ∈，证明：123144(21)nn b b b ++⋯+--，*n N ∈． 【解答】解：（Ⅰ）1a ，n a ，n S 成等差数列，可得12n n a a S =+， 当2n 时，1112n n a a S --=+，两式相减可得1122n n n n n a a S S a ---=-=， 即12n n a a -=，可得{}n a 为公比为2的等比数列，则11(12)(21)12n n n a S a -==--，由542a S =+，可得44112(21)2a a =-+， 解得12a =，则2n n a =，*n N ∈； （Ⅱ）证明：2224(21)nn n n n a b S ==-，当2n 时，1211222111()4(21)4(21)(22)4(21)(21)42121n n n n n n n n n n nb ---=<==--------， 则121111111131(1)24337212144(21)n n n n b b b -++⋯+<+-+-+⋯+-=----， 当1n =时，131144(21)2a -==⨯-，则等号取得，则123144(21)nn b b b ++⋯+--，*n N ∈． 10．（2021春•秀山县校级月考）设函数()(1)f x ln x =+，22()()1x xg x a a R x+=∈+．（1）若函数()()()h x f x g x =-在定义域内单调递减，求a 的取值范围；（2）设*n N ∈，证明：3422212(1)(1)(1)(ne e n n n++⋯+<为自然对数的底数）．【解答】（1）解：函数()h x 的定义域为(1,)-+∞，且22()()()(1)1x xh x f x g x ln x a x+=-=+-+，则22221(22)(1)(2)(1)(22)()1(1)(1)x x x x x a x x h x a x x x ++-++-++'=-=+++， 由于()h x 在(1,)-+∞内单调递减，则()0h x '对(1,)x ∈-+∞恒成立， 即2(1)(22)0x a x x +-++对(1,)x ∈-+∞恒成立，⋯（2分） 从而21()22max xa x x +++，则11()1211max a x x=+++， 故a 的取值范围为1[,)2+∞⋯（4分）（2）证明：取12a =，由第（1）问可知()h x 在(0,)+∞为单调递减函数， 从而()(0)0h x h <=；则212(1)21x xln x x++<+对(0,)x ∈+∞，均成立，⋯（6分）令2(1,2,,)kx k n n ==⋯， 有222222222()2111(1)()()22211k k k k k k k n n ln k n n n k n n n++<=+++++；⋯（9分） 从而22212[(1)(1)(1)]n ln n n n ++⋯+ 2222222221211212(1)(1)(1)()2111n n n ln ln ln n n n n n n n n n =++++⋯++<++⋯++++⋯++++ 221(1)(1)3[3]4(1)4n n n n n -+-=-+， 故3422212(1)(1)(1)ne n n n++⋯+<⋯（12分）11．（2021春•阳江校级月考）设数列{}n a 满足12a =，211n nn a a na +=-+，1n =，2，3，⋯， （1）求2a ，3a ，4a ；（2）猜想出{}n a 的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论； （3）设21n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <． 【解答】解：（1）由12a =，得221113a a a =-+=，2322214a a a =-+=，45a =．（2）由此猜想{}n a 的一个通项公式：1(1)n a n n =+． 下面用数学归纳法证明如下：①当1n =时，1211a ==+，等式成立． ②假设当n k=时等式成立，即1k a k =+，那么2211(1)(1)12(1)1k k k a a ka k k k k k +=-+=+-++=+=++， 也就是说，当1n k =+时，1(1)1k a k +=++也成立． 根据①②对于所有1n ，有1n a n =+． 证明：（3）2211111(1)(1)1n n b a n n n n n ==<=-+++， 22222211111111111111111111113()()()()234(1)22334(1)(1)42334114214n T n n n n n n n n n n n ∴=+++⋯++<+++⋯++=+-+-+⋯+-+-=+-<+⨯⨯-+-++12．（2012秋•济源校级期中）设数列{}n a 满足121(2)n n a a n -=+，且11a =，2log (1)n n b a =+ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列21{}n n b b +的前n 项和为n S ，证明：34n S <． 【解答】（1）解：因为121(2)n n a a n -=+，所以112(1)(2)n n a a n -+=+， 所以数列{1}n a +是以112a +=为首项，以2为公比的等比数列． 所以11222n n n a -+==． 所以21n n a =-⋯（4分）（2）证明：因为21n n a =-，所以2log (1)n n b a n =+=⋯（6分） 所以211111()(2)22n n b b n n n n +==-++．⋯（8分） 所以111111111111(1)(1)23241122212n S n n n n n n =-+-+⋯+-+-=+---++++31113()42124n n =-+<++．⋯（12分） 13．（2007•崇文区一模）已知数列{}n a 中，113a =，*11(2,)n n n n a a a a n n N --⋅=-∈，数列{}n b 满足*1()n nb n N a =∈． （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设数列1{}n nb 的前n 项和为n T ，证明3142n T n <-+． 【解答】解：()I 当1n =时，1113b a ==， 当2n 时，1111111n n n n n n n n a a b b a a a a ------=-==⋅，∴数列{}n b 是首项为3，公差为1的等差数列， ∴通项公式为2n b n =+；（5分）11()(2)n II nb n n =+， ∴1111132435(2)n T n n =++++⋅⋅⋅+ 11111111[(1)()()()]2324352n n =-+-+-++-+ 1311[()]2212n n =-+++ 1323[]22(1)(2)n n n +=-++ 23222(1)(2)(1)(2)2n n n n n n n ++>=+++++ ∴222(1)(2)2n n n n +-<-+++ ∴132313231[[]22(1)(2)22242n n n n n +-<-=-++++ ∴3142n T n <-+．（13分） 14．（2021春•绍兴期中）已知正项数列{}n a 满足：112a =，211(2)nn n n a a a a n --=+，n S 为数列{}n a 的前n 项和． ()I 求证：对任意正整数n ，有2nS n n； ()II 设数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：对任意(0,6)M ∈，总存在正整数N ，使得n N>时，n T M >．【解答】证明：()I 正项数列{}n a 满足：112a =，211(2)nn n n a a a a n --=+， ∴22211022a a --=，20a >，解得2312a =<．猜想212nn a -． 下面利用数学归纳法证明： ()i 当1n =时，112a =成立．()ii 假设*n k N =∈时，212kk a -成立． 则1n k =+时，211121(1)(1)2kk k k k a a a a+++-=++， 解得1(21)k k a +-+=(21)212k k -++=．因此1n k =+时也成立． 综上可得：*n N ∀∈，212nn a -成立． 21321(121)22242nn n n n S -+-∴++⋯+==， 故对任意正整数n ，有2nS n n． ()II 由（Ⅰ）知10n n a a +>>，22121a a a =+，21a =，()1xf x x =+在区间(0,)+∞上单调递增， 121121112n n n n a a a a a a +++∴-==++． 11122111(1)222n n n n n n a a a a a a a a n ---∴=+-+-+⋯+--+=， 当2n 时，2211111n n n n na a a a a -+==+，21111n n n a a a -=-，222212*********6n n nT a a a a a a n∴=++⋯+=+--， 令26M n ->，26n M>-， 设0N 为不小于26M -的最小整数，取01N N =+（即2[]1)6N M=+-， 当n N >时，n T M >．∴对任意(0,6)M ∈，总存在正整数N ，使得n N >时，n T M >．15．（2021•邯郸一模）已知正项数列{}n b 的前n 项和n S 满足：2*632()n nn S b b n N =++∈，且12b <．（Ⅰ）求{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n a 满足：1112,(1)(2,n n na a a nb -==+且*)n N ∈，试比较n a 的大小，并证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）数列{}n b 的前n 项和n S 满足：2*632()n nn S b b n N =++∈，① ∴当1n =时，2111632b b b =++，11b =或12b =， 12b <，11b ∴=．当2n ，*n N ∈时，2111632n n n S b b ---=++，②由①-②得：22116(32)(32)n n n n n b b b b b --=++-++，22113()n n n n b b b b --∴-=+，正项数列{}n b ， 13n n b b -∴-=，∴数列{}n b 是首项为1，公差3的等差数列．13(1)32n b n n ∴=+-=-， {}n b ∴的通项公式为：32n b n =-．（Ⅱ）结论为：n a > 证明：由（Ⅰ）知：32n b n =-． 11(1)n n na ab -=+，(2n 且*)n N ∈， 11(1)32n n a a n -∴=+-， ∴13132n n n a a n --=-， ∴2154a a =， 3287a a =，⋯13132n n n a a n --=-， 又12a =，∴上述n 个式子叠乘，得：25811(31)4710(32)n n a n ⨯⨯⨯⨯⋯⨯-=⨯⨯⨯⋯⨯-．要比较n a的大小， 只要比较3n a 与1n b +的大小， 0n a >，0n b >，∴只要比较31n n a b +与1 的大小．记33[258(31)]()[47(32)](31)n f n n n ⨯⨯⨯⋯⨯-=⨯⨯⋯⨯-+，f （1）33(25)12514432⨯==>⨯， 332332(1)(32)(31)543641()(31)(34)54274f n n n n n n f n n n n n n ++++++==>+++++， ()1f n ∴>，则有：n a >16．（2021•安徽三模）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*121111()()2n nn a n N S S S +=++⋯+∈ ①求1a ，2a ，3a ；②求数列{}n a 的通项公式n a ； ③若数列{}n b 满足11b =，11(2)n n nb b n a -=+，求证：21231111122()(2)234n n b b b b b n n-<++++⋯+．【解答】解：①由121111()2n nn a S S S +=++⋯+， ∴11111a S a ==，11a ∴=（负值舍去）， 同理：22a =，33a =；②猜想：n a n =（下面用数学归纳法证明)n a n =， 当1n =时，命题成立；假设当n k =时命题成立，即k a k =， 112121111()2k k k k a S S S S +++=++⋯++，k a k =，∴(1)2k k k S +=， 121111111111112[(1)()()]2231k k k k S S S S k k S a ++++⋯++=-+-+⋯+-+++ 1111212(1)11k k k k k k S a k S a ++=-+=+++++， ∴11221()(1)212k k k k a k k k a+++=++++， 222112(1)(3)(1)(2)(1)0k k k a k k a k k k ++∴++--+++=， 211[2(1)(2)(1)][(1)]0k k k a k k a k ++∴++++-+=， 11k a k +∴=+，∴当1n k =+时命题成立． n a n ∴=．③11n n nb b a -=+， ∴22211112()n n n n n b b b a a --=++， ∴22211112()n n n n nb b b a a ---=+， ∴22112122223231111112()()n n n nb b b b b a a a a a a --=++⋯++++⋯+， ∴212122211111112()()2323n n b b b b n n-=+++⋯++++⋯+， 22211111111111(1)()()()1(2)23223341n n n n n++⋯+<-+-+-+⋯+-=--， ∴2121111112(!)123n n b b b b n n-<+++⋯++-， 21231111122()(2)234n n b b b b b n n-∴<++++⋯+．17．（2021春•历下区校级期中）（1）已知0a b >>，0m >，比较b a 和b m a m++的大小并给出解答过程；（2）证明：对任意的n N +∈，不等式357212462n n+⋯ 【解答】解：（1）b m ba m a+>+． 由条件()()()()()b m b a b m b a m m a b a m a a a m a a m ++-+--==+++，a b >，0m >，∴()0()m a b a a m ->+，∴0b m ba m a +->+， ∴b m ba m a+>+； （2）证明：由（1）所得结论得若0a b <<，0m >， 则b b ma a m+>+， 可得3355772121()()()()22446622n n n n++⋯ 3456782122()()()()1234567221n nn n n ++>⋯=++， 两边开方，命题得证，由①、②可得对任意的n N +∈，不等式357212462n n+⋯> 18．（2021•盐城三模）（1）已知*0,0()i i a b i N >>∈，比较221212b b a a +与21212()b b a a ++的大小，试将其推广至一般性结论并证明；（2）求证：3*01213521(1)()2n nn n n n n n n N C C C C +++++⋯+∈． 【解答】解：（1）22222212211212121212()()()b b a b a b a a b b a a a a ++=+++， 因为0i a >，0i b >，所以222112120,0a b a b a a >>，则2222112211212122a b a b a b b b a a a +⨯=，所以22222121212121212()()2()b b a a b b b b b b a a ++++=+，即22212121212()()()b b a a b b a a +++．所以22212121212()b b b b a a a a +++，当且仅当22211212a b a b a a =，即2112a b a b =时等号成立． ⋯⋯（2分） 推广：已知0i a >，*0(i b i N >∈，1)i n ，则222212121212()n n nnb b b b b b a a a a a a ++⋯+++⋯+++⋯+．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）证明：①当1n =时命题显然成立； 当2n =时，由上述过程可知命题成立； ②假设(2)n k k =时命题成立，即已知0i a >，*0(i b i N >∈，1)i k 时，有222212121212()k k k kb b b b b b a a a a a a ++⋯+++⋯+++⋯+成立，则1n k =+时，222222112112121121()()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a ++++++⋯+++⋯+++++⋯+，由22212121212()b b b b a a a a +++，可知222121121121121()()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a ++++++⋯+++⋯+++++⋯+++⋯++，故22222112112121121()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a ++++++⋯++++⋯++++⋯++，故1n k =+时命题也成立．综合①②，由数学归纳法原理可知，命题对一切*n N ∈恒成立． ⋯⋯（6分） （注：推广命题中未包含1n =的不扣分） （2）证明：由（1）中所得的推广命题知01213521nn n n nn C C C C ++++⋯+ 22222012012135(21)[135(21)]35(21)35(21)n nn n n n n n n nn n C C C n C C C C n C ++++⋯++=+++⋯+++++⋯++①，⋯（8分） 记01235(21)nn n n n n S C C C n C =+++⋯++， 则10(21)(21)n n n n n n S n C n C C -=++-+⋯+，两式相加，得0122(22)(22)(22)(22)nn n n n n S n C n C n C n C =++++++⋯++，012(22)()(22)2nn n n n n n C C C C n =++++⋯+=+⨯，故(1)2n n S n =+⨯②，又2241(21)[135(21)][(1)](1)2n n n n +++++⋯++=⨯+=+③，将②③代入①，得222243012135(21)(1)(1)35(21)(1)22nn nn n n nn n n C C C n C n ++++++⋯+=++，所以，301213521(1)2nnn n n n n n C C C C +++++⋯+，证毕． ⋯⋯（10分） 19．（2021春•枣庄校级月考）（1）已知a ，b ，m 都是正数，且a b <，用分析法证明a m ab m b+>+； （2）已知数列{}n a 的通项公式为312n n a -=，*n N ∈．利用（1）的结论证明如下等式：123111132n a a a a +++⋯+<． 【解答】证明：（1）要证a m ab m b+>+，由于a ，b ，m 都是正数， 只需证()()a b m b a m +<+，即ab am ab bm +<+，只需证am bm <因为0m >，所以只需证a b <， 又已知a b <，所以原不等式成立 （2）证明：1231nn a =-． 当1n =时，左式312=<=右式． 当1n >，*n N ∈时，由（1）知：11221131(31)13n n n n a -+=<=--+ 于是2112311111113131(1)333232n n n a a a a -+++⋯+<+++⋯+=-< 综上可得123111132n a a a a +++⋯+< 20．（2021•杭州期中）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足13210n n a S ++-=，且113a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设113n n nb S =+，证明：1231712nb b b b n +++⋯+<+． 【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由112211113210,393n n a S a a a a ++-==⇒=⇒=；------------------（1分）当2n 时，111321033220n n n n n n a S a a S S -+-+-=⇒-+-=-----------（2分）∴113n n a a +=，(2)n ，----------------------------------（3分）又2113a a =，∴数列{}n a 是以13为首项，13为公比的等比数列， ∴13n na =．-------------（4分） 证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）可得112(1)12331n n n n S b =-⇒=+-------------------------（5分）∴12323222231313131n n b b b b n +++⋯+=+++⋯++---- 欲证1231712n b b b b n +++⋯+<+，只需证232222173131313112n +++⋯+<------------------------------（7分） 令231n n c =-，记{}n c 的前n 项和为nT ，即证1217171171,11212412n T T T <=<=+<------------------------------------------（8分） 当3n 时，12211313113n n n -+<=-----------------------------------+（10分）∴当3n 时，223111(1)11115513179311433344921213n n n T ---<++++⋯+=+<+=------------------（12分）综上，1231712n b b b b n +++⋯+<+对*n N ∈成立． 21．（2021•沙坪坝区校级一模）已知数列{}n a 的前n 项之积n T 满足条件：①1{}nT 为首项为2的等差数列；②2516T T -=． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设数列{}n b 满足n n b a ，其前n 项和为n S ．求证：对任意正整数n ，有104n S <<． 【解答】解：（1）设数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭公差为d ，因为数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭首项为2，所以2511,224T T d d ==++， 由方程2516T T -=可得1112246d d -=++，解得1d =， 所以12(1)11n n n T =+-⨯=+，即11n T n =+， 因为数列{}n a 的前n 项之积n T ，所以当2n 时，11111n n n T nn a T n n-+===+，当1n =时，1112a T ==符合，所以1n n a n =+，证明：（2）由（1）得，2222()01n n n n n n n b a n --===>+， 所以数列{}n b 前n 项和0n S >， 同由上面可知：1nn +，222222221111(2)(1)(2)(1)()2(1)(2)2122211n n n n n n n n n n n n b n n n n n n n n --++++<===-++++⨯⨯++，所以1231111111[()()()]2233412n n S b b b b n n =+++⋯+<-+-+⋯+-++1111()2224n =-<+， 综上可得，104n S <<． 22．已知数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，13n n a S n +=-+，*n N ∈，12a =． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设*()2n n n b n N S n =∈-+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：*14()33n T n N <∈．【解答】解：（1）当1n =时，2111324a S a =-+=+=， 13n n a S n +=-+，可得14n n a S n -=-+，两式相减可得，11n n n a a a +-=-， 即有112(1)n n a a +-=-，即为数列{1}n a -为第二项起为等比数列， 则2132n n a --=，1n >，n N ∈， 即有22,1321,1n n n a n -=⎧=⎨+>⎩；（2）13n n a S n +=-+，可得1322n n S n -=-+，则1232n n n n nb S n -==-+， 即有前n 项和为211233323232n n nT -=+++⋯+， 231123232323232n nnT =+++⋯+， 两式相减可得，21111112332323232n n nn T -=+++⋯+-11()12133212n nn -=--， 化简可得4412()33232n n nnT =--， 由于{}bn 各项大于0，可得113n T T =，由不等式的性质可得43n T <． 故*14()33n T n N <∈． 23．（2021•宾阳县校级期中）已知公差不为0的等差数列{}n a 满足：11a =且2a ，5a ，14a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S ； （2）证明不等式12331111112(221n n n S S S S n-<+++⋯+<-+且*)n N ∈ 【解答】解：（1）设数列{}n a 公差为d ，因为2a ，5a ，14a 成等比数列．所以25214a a a =，即2(14)(1)(113)d d d +=++得2360d d -=又0d ≠，所以2d =． 故2(121)12(1)21,2n n n na n n S n +-=+-=-==．（6分） （2）证明：由（1）得211n S n=，因为 当2n 时，2111(1)(1)n n n n n <<+-． 即21111111n n n n n-<<-+-． 所以22221111111111111111111233412342231n n n n n+-+-+⋯+-<++++⋯+<+-+-+⋯+-+-．即1233111111221n n S S S S n-<+++⋯+<-+．（12分）24．已知函数()f x lnx =，3()2ag x x=-，(a 为常数） （1）若方程2()()f x e g x =在区间1[2，1]上有解，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，证明不等式()()2g x f x x <<-在[4，)+∞上恒成立； （3）证明：(Tex translation failed)，*()n N ∈（参考数据：20.693)ln ≈ 【解答】解：（1）()f x lnx =，3()2ag x x=-， ∴方程2()()f x e g x =可化为232a x x=-． 即332a x x =-+． 令33()2h x x x =-+．则23()32h x x '=-+． 由23()302h x x '=-+=得，2x =，或2x =-（舍去）．当x ∈时，23()302h x x '=-+>．()h x 单调递增．当x ∈时，23()302h x x '=-+<．()h x 单调递减．15()28h =，h （1）12=，h =．1[2x ∴∈，1]时，1()[2h x ∈． ∴方程2()()f x e g x =在区间1[2，1]上有解等价于1[22a ∈．（2）1a =时，不等式()()g x f x <可化为 312lnx x-<， 即132lnx x +>．令1()r x lnx x=+． 则211()r x x x '=-． 当[4x ∈，)+∞时，()r x 单调递增． ()min r x r ∴=（4）13442ln =+>． ∴当[4x ∈，)+∞时，()()g x f x <恒成立．()2f x x <-可化为 2lnx x <-，即2lnx x -<-． 令()k x lnx x =-． 1()1k x x'=-． 当[4x ∈，)+∞时，()k x 单调递减． ()max k x k ∴=（4）442ln =-<-．∴当[4x ∈，)+∞时，()2f x x <-恒成立．∴当1a =时，证明不等式()()2g x f x x <<-在[4，)+∞上恒成立．（3）()f x lnx =，2(21)(1)()2(21)(1)f k f k f k ln k ln k lnk ∴+-+-=+-+- 2(21)(1)k lnk k +=+ 1(4)(1)f k k =++，由（2）可知，31()22f x x x-<<-， ∴3111(4)4212(1)(1)4(1)f k k k k k k -<+<+-++++，即3(1)111(4)224(1)1(1)1k k f k k k k k k +-<+<-+++++， ∴51111(4)2416(1)4(1)1f k k k k k k +<+<-+++++， ∴(Tex translation failed)，*n N ∈，∴(Tex translation failed)．25．（2021•衡水校级模拟）已知函数()cos sin (0)f x x x x x =->． （1）求函数()f x 在点(2π，())2f π处的切线方程； （2）记n x 为()f x 的从小到大的第*()n n N ∈个极值点，证明：不等式*2222212311117()4n n N x x x x π+++⋯+<∈． 【解答】（1）解：()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-，则切线的斜率为()sin 2222f ππππ'=-=-， 又()12f π=-，故函数()f x 在点(,())22f ππ处的切线方程为(1)()22y x ππ--=--，即21024x y ππ++-=．（2）证明：由()sin 0f x x x '=-=，0x >，得*()n x n n N π=∈， 所以当2n 且*n N ∈时，22222111111()(1)(1)2(1)(1)n x n n n n n πππ=<=--+-+． 所以当2n 时，*n N ∈时，2222222222212311111111111111111111111117(1)(1)(1)23243531211221224n x x x x n n n n n n n n πππππππ+++⋯+<+-+-+-+⋯+-+-+-=++--<++=----++． 又当1n =时，22211174x ππ=<． 综上，*2222212311117()4n n N x x x x π+++⋯+<∈． 26．（2012•洛阳模拟）已知函数1()1()af x lnx ax a R x-=-+-∈． （Ⅰ）当12a <时，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当0a =时，对于任意的n N +∈，且2n ，证明：不等式111321(2)(3)()42(1)n f f f n n n +++⋯+>-+． 【解答】()I 解：函数的定义域为(0,)+∞，求导函数可得221()ax x a f x x-++-'= 当0a =时，21()x f x x -'=，令21()0x f x x -'=>可得1x >，令21()0x f x x-'=<，0x >，01x ∴<<，∴函数()f x 在(1,)+∞上是增函数，在(0,1)上是减函数；当0a <时，令221()0ax x a f x x -++-'=>得210ax x a -+-+>，解得1x >或11x a<-（舍去），此时函数()f x 在(1，_+∞上增函数，在(0,1)上是减函数；当102a <<时，令221()0ax x a f x x -++-'=>得210ax x a -+-+>，解得111x a<<- 此时函数()f x 在1(1,1)a -上是增函数，在(0,1)和1(1a-，)+∞上是减函数⋯（6分）()II 证明：由()I 知：0a =时，1()1f x lnx x=+-在(1,)+∞上是增函数， 1x ∴>时，()f x f >（1）0=设221()()(1)(1)g x f x x lnx x x x=--=+->，则22(1)(221)()x x x g x x -+-+'=22210x x -+>恒成立，1x ∴>时，()0g x '<，()g x ∴在(1,)+∞上单调递减 1x ∴>时，()g x g <（1）0=，即2()1f x x <-()0f x >，∴211111()()1211f x x x x >=---+ ∴1111111111111321(1)(1)(2)(3)()23241122142(1)n f f f n n n n n n n +++⋯+>-+-+⋯+-=+--=--+++∴不等式得证⋯（12分）27．证明不等式：3721135932n n n -+++⋯+<-．【解答】证明：1212121221323322n n n n n n n n ------++⋯+=-++⋯+， 由11211213(221)2(3322)n n n n n n n -------++⋯+-++⋯+121211(32232)(34)n n n n n n ------=-+⋯+- 221132(34)(34)0n n n n ----=-+⋯+-， 当1n =取得等号，即有11212323n n nn n ----， 则113721242115932393n n n nn ---+++⋯+<+++⋯+- 21()2333()32313nn -==-<-． 故原不等式成立．28．（2021春•辛集市校级月考）已知()(1)(1)f x x ln x =++． ()I 求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数2()2()1g x x f x x =-+，若关于x 的方程()g x a =有解，求实数a 的最小值； （Ⅲ）证明不等式：*111(1)1()23ln n n N n+<+++⋯+∈ 【解答】（Ⅰ）解：()(1)(1)f x x ln x =++，(1)x >-，()(1)1f x ln x '=++，由()0f x '=，得11x e=-，当1(1,1)x e∈--时，()0f x '<；1(1x e ∈-，)+∞，()0f x '>．∴函数()f x 的单调增区间为：1(1e -，)+∞，单调减区间为：1(1,1)e--．（Ⅱ）函数2()2()22(1)1g x x f x x ln x x =-=-++，(1)x >- 2()21g x x '=-+，令()0g x '=，得0x =． (1,0)x ∈-时，()0g x '<，(0,)x ∈+∞时，()0g x '> ()g x ∴在(1,0)-递减，在(0,)+∞递增， ()(0)0g x g ∴=，∴关于x 的方程()g x a =有解，则实数a 的最小值为0．（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）得(1)x ln x >+在(0,)+∞上恒成立， 令1x n =，则有111(1)(1)ln ln n lnn n n n+<⇒+-< 1211ln ln ∴-<，1322ln ln -<，1433ln ln -<，⋯，1(1)ln n ln n+<<∴11(1)112ln n ln n+-<++⋯+ *111(1)1()23ln n n N n∴+<+++⋯+∈． 29．（2021•大庆一模）已知函数()1f x ax lnx =-+ （1）若不等式()0f x 恒成立，则实数a 的取值范围；（2）在（1）中，a 取最小值时，设函数()(1())(2)2g x x f x k x =--++．若函数()g x 在区间1[,8]2上恰有两个零点，求实数k 的取值范围；（3）证明不等式：2*212(234)(n n ln n n N n-+⨯⨯⨯⋯⨯>∈且2)n ．【解答】解：（1）由题意知，10ax lnx -+恒成立．变形得：1lnx a x+． 设1()lnx h x x+=，则()max a h x ． 由2()lnxh x x '=-可知，()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， ()h x 在1x =处取得最大值，且()max h x h =（1）1=．所以()1max a h x =，实数a 的取值范围是[1，)+∞．（2）由（1）可知，1a ，当1a =时，()1f x x lnx =-+，2()()(2)2(2)2g x x x lnx k x x xlnx k x =--++=--++， ()g x 在区间1[,8]2上恰有两个零点，即关于x 的方程2(2)20x xlnx k x --++=在区间1[,8]2上恰有两个实数根．整理方程得，222x xlnx k x -+=+，令221(),[,8]22x xlnx s x x x -+=∈+，22324()(2)x x lnx s x x +--'=+． 令2()324x x x lnx ϕ=+--，1[,8]2x ∈，则(21)(2)()x x x xϕ-+'=，1[,8]2x ∈，于是()0x ϕ'，()x ϕ在1[,8]2上单调递增．因为ϕ（1）0=，当1[,1)2x ∈时，()0x ϕ<，从而()0s x '<，()s x 单调递减，当(1x ∈，8]时，()0x ϕ>，从而()0s x '>，()s x 单调递增， 192()2105ln s =+，s （1）1=，33122(8)5ln s -=， 因为157262(8)()0210ln s s --=>，所以实数k 的取值范围是92(1,]105ln +． 证明（3）由（1）可知，当1a =时，有1x lnx -， 当且仅当1x =时取等号．令21x k=，则有22111ln k k -，其中*k N ∈，2k ． 整理得：21111121111(1)1lnkk k k k k k k-=->-=-+--， 当2k =，3，⋯，n 时，11221212ln >-+-，11231313ln >-+-，⋯，11211lnn n n>-+-，上面1n -个式子累加得：12(23)11ln n n n⨯⨯⋯⨯>--+．*n N ∈且2n ， 即2212(23)n n ln n n-+⨯⨯⋯⨯>．命题得证．30．（2021春•荔湾区校级月考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，当2n 时，121n n S S -=+．数列{}n b 满足121111222n n n n b b b n a a a --++⋯+=-+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的通项公式；（3）若数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：n n S T ．【解答】解：（1）解：11a =，当2n 时，121n n S S -=+①，2211213S a S ∴=+=+=，即22a =， 又121n n S S +=+②，由②-①可得：12(2)n n a a n +=， 又2122a a ==也适合，∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，12n n a -∴=；（2）解：数列{}n b 满足121111222n n n n b b b n a a a --++⋯+=-+③， ∴当1n =时，有1111b b a ==， 当2n 时，有112212112(1)22n n n n b b b n a a a ----++⋯+=--+④， 对式子④左右两边同时乘以12可得：112112122n n n n b b b n a a a ---++⋯+=-+⑤，由③-⑤可得：1nb n a =， 1n b na n ∴==(2)n ，又当1n =时也适合， n b n ∴=；。
高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结(无师自通)
1. 均值不等式法例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n !求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n例2 已知函数bxa x f 211)(⋅+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1−+>++++n n n f f f ! 例3 求证),1(221321N n n n C C C Cn n nn n n ∈>⋅>++++−!.例4 已知222121n a a a +++=L ，222121n x x x +++=L ，求证：n n x a x a x a +++!2211≤1.2．利用有用结论例5 求证.12)1211()511)(311)(11(+>−++++n n ! 例6 已知函数.2,,10,)1(321lg )(≥∈≤<⋅+−++++=∗n N n a nn a n x f xx x x 给定!求证：)0)((2)2(≠>x x f x f 对任意∗∈N n 且2≥n 恒成立。
例7 已知112111,(1).2n nna a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥；)(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828e ≈L）例8 已知不等式21111[log ],,2232n n N n n ∗+++>∈>L 。
2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。
设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤>=−−n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+<n n b ba n再如：设函数()x f x e x =−。
（Ⅰ）求函数()f x 最小值；（Ⅱ）求证：对于任意n N ∗∈，有1().1nn k k ene =<−∑ 例9 设n n na )11(+=，求证：数列}{n a 单调递增且.4<n a3. 部分放缩例10 设++=a na 21111,23a aa n ++≥L ,求证：.2<n a例11 设数列{}n a 满足()++∈+−=N n na a a n n n 121，当31≥a 时证明对所有,1≥n 有：2)(+≥n a i n ； 21111111)(21≤++++++na a a ii !. 4 . 添减项放缩例12 设N n n∈>,1，求证)2)(1(8)32(++<n n n . 例13 设数列}{n a 满足).,2,1(1,211!=+==+n a a a a nn n 证明12+>n a n 对一切正整数n 成立；5 利用单调性放缩: 构造函数例14 已知函数223)(x ax x f −=的最大值不大于61，又当]21,41[∈x 时.81)(≥x f （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设∗+∈=<<N n a f a a n n ),(,21011，证明.11+<n a n 例15 数列{}n x 由下列条件确定：01>=a x ，,211⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+n n n x a x x N n ∈． （I） 证明：对2≥n总有a x n≥；(II) 证明：对2≥n 总有1+≥n n x x6 . 换元放缩例16 求证).2,(1211≥∈−+<<∗n N n n n n例17 设1>a ，N n n ∈≥,2，求证4)1(22−>a n a n.7 转化为加强命题放缩例18 设10<<a ，定义a a a a a nn +=+=+1,111，求证：对一切正整数n 有.1>n a 例19 数列{}n x 满足.,212211nx x x x n n n +==+证明.10012001<x例20 已知数列｛a n｝满足：a 1＝32，且a n＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1∗≥∈－－（，）＋－ （1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）证明：对一切正整数n 有a 1•a 2•……a n <2•n！8. 分项讨论例21 已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足.1,)1(2≥−+=n a S n n n（Ⅰ）写出数列}{n a 的前3项321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++ma a a !.9. 借助数学归纳法例22（Ⅰ）设函数)10( )1(log )1(log )(22<<−−+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值；（Ⅱ）设正数n p p p p 2321,,,,!满足12321=++++n p p p p !，求证：np p p p p p p p n n −≥++++222323222121log log log log !10. 构造辅助函数法例23 已知()f x = 2ln 243x x +−,数列{}n a 满足()()*11 2 ,0211N n a f a n an ∈=<<−++（1）求()f x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡−021，上的最大值和最小值; （2）证明：102n a −<<; （3）判断n a 与1()n a n N ∗+∈的大小，并说明理由.例24 已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n =L，，．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x>，21121(1)3n na x xx ⎛⎞−−⎜⎟++⎝⎠≥，12n =L ，，； （Ⅲ）证明：2121n n a a a n +++>+L ．例25 已知函数f(x)=x 2-1(x>0)，设曲线y=f(x)在点（x n ,f(x n )）处的切线与x 轴的交点为（x n+1,0）(n∈N *). (Ⅰ) 用x n 表示x n+1； （Ⅱ）求使不等式1n n x x +≤对一切正整数n 都成立的充要条件，并说明理由；（Ⅲ）若x 1=2，求证：.31211111121−≤++++++n n x x x !例1 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k !=+=2121)1(+=++<+<k k k k k k ∵，)21(11∑∑==+<<∴nk n n k k S k ，即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2ba ab +≤，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n ，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。
数列不等式综合练习题
数列不等式综合练习题一、等差数列与不等式1. 已知等差数列{an}中，a1=1，a3=3，求满足不等式a_n > 0的最小正整数n。
2. 设等差数列{bn}的前n项和为Sn，若S4=8，S8=24，求满足不等式b_n < 5的最小正整数n。
3. 已知等差数列{cn}的公差为2，首项为1，求满足不等式c_n > 7的所有正整数n的个数。
二、等比数列与不等式1. 已知等比数列{dn}中，d1=2，d3=8，求满足不等式d_n < 64的所有正整数n。
2. 设等比数列{en}的前n项和为Tn，若T3=13，T6=121，求满足不等式e_n > 1的所有正整数n。
3. 已知等比数列{fn}的公比为1/2，首项为16，求满足不等式f_n < 1的所有正整数n的个数。
三、数列与不等式综合1. 已知数列{gn}的通项公式为gn = n^2 n + 1，求满足不等式gn > 10的所有正整数n。
2. 设数列{hn}的通项公式为hn = 3^n 2^n，求满足不等式hn < 100的所有正整数n。
3. 已知数列{kn}的通项公式为kn = 2n + 1，求满足不等式kn > 30的所有正整数n的个数。
四、数列不等式证明1. 证明：对于等差数列{an}，若a1 > 0，公差d > 0，则数列中存在正整数n，使得an > 0。
2. 证明：对于等比数列{bn}，若b1 > 1，公比q > 1，则数列中存在正整数n，使得bn > 1。
3. 证明：对于数列{cn}，若cn = n^2 + n + 1，则数列中存在正整数n，使得cn > 100。
四、数列不等式证明（续）4. 证明：对于数列{dn}，若dn = 2^n n^2，则存在正整数N，使得对于所有n > N，不等式dn > 0恒成立。
5. 证明：对于数列{en}，若en = n! / 2^n，则存在正整数M，使得对于所有n > M，不等式en < 1恒成立。
高中数学数列与不等式(解析版)
数列与不等式在新高考卷的考点中，数列主要以两小和一大为主的考查形式，在小题中主要以数列极限和等差等比数列为主，大题考察位置21题，题型可以是多条件选择的开放式的题型。
由于三角函数与数列属于解答题第二题或第五题的位置，三角函数考查的内容相对比较简单，这一部分属于必得分。
数列大题属于压轴题难度较高。
对于小题部分，一般分布为一题简单题一道中等难度题目。
对于不等式主要考察不等式性质和基本不等式和线性规划。
基本不等式考察往往都是已基本不等式作为切入点形式出现，题目难度中等。
专题针对高考中数列、不等式等高频知识点，预测并改编一些题型，通过本专题的学习，能够彻底掌握数列，不等式。
请学生务必注意题目答案后面的名师点睛部分，这是对于本类题目的一个总结。
【满分技巧】1、等差、等比数列如果记住基本的通项公式以及求和公式和性质，基本上所有的等差、等比数列问题都可以解决。
2、数列求通项主要方法有：公式法、利用前n项和求通项、累加、累乘、构造等方法；这里要注意各个方法中递推关系的模型结构特点。
3、数列求和问题主要包含裂项求和，分组求和，绝对值求和，错位相减求和，掌握固定的求和方式即可快速得到答案；这里要注意各个方法中数列通项的结构模型；本专题有相应的题目供参考。
4、对于基本不等式类的题目应注意等号成立地条件和基本不等式的模型结构，对“1”的活用。
【考查题型】选择题、填空、解答题【常考知识】数列的概念、等差等比数列的概念和公式和性质、数列求通项的方法、数列求和的方法、不等式的性质、基本不等式【限时检测】（建议用时：120分钟）1.（2020•上海卷）已知2230x yyx y+≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2z y x=-的最大值为【答案】－12.（2020•上海卷）下列不等式恒成立的是（）A 、222a b ab +≤B 、22-2a b ab +≥C 、2a b ab +≥-D 、2a b ab +≤【答案】B3.（2020•上海卷）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910a a a a ++⋅⋅⋅=【答案】2784．（2020·上海大学附属中学高三三模）已知O 是正三角形ABC 内部的一点，230OA OB OC ++=，则OAC ∆的面积与OAB ∆的面积之比是A ．32B ．23C ．2D ．1【答案】B试题分析：如下图所示，D 、E 分别是BC 、AC 中点，由230OA OB OC ++=得()2OA OC OB OC +=-+即2OE OD =-，所以2OE OD =，设正三角形的边长为23a ，则OAC ∆底边AC 上的高为13AC h BE a ==，OAB ∆底边AB 上的高为1322AB h BE a ==，所以123221332322ACOACOABAB AC h S a a S AB h a a ∆∆⋅⨯===⋅⨯，故选B .考点：1.向量的几何运算；2.数乘向量的几何意义；3.三角形的面积. 5．（2020·上海高三二模）设12,z z 是复数，则下列命题中的假命题是（） A ．若120z z -=，则12z z = B ．若12z z =，则12z z = C ．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D ．若12=z z ，则2212z z =【答案】D试题分析：对（A ），若120z z -=，则12120,z z z z -==，所以为真；对（B ）若12z z =，则1z 和2z 互为共轭复数，所以12z z =为真； 对（C ）设111222,z a b z a i b i =+=+，若12=z z 22221122a b a b +=+，222211112222,z z a b z z a b ⋅=+⋅=+，所以1122z z z z ⋅=⋅为真；对（D ）若121,z z i ==，则12=z z 为真，而22121,1z z ==-，所以2212z z =为假．故选D ．考点：1.复数求模；2.命题的真假判断与应用．6．（2020·上海杨浦区·高三二模）设z 是复数，则“z 是虚数”是“3z 是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义及复数的概念进行判断．可取特例说明一个命题为假． 【详解】充分性：取132z =-+，故31z =是实数，故充分性不成立；必要性：假设z 是实数，则3z 也是实数，与3z 是虚数矛盾，∴z 是虚数，故必要性成立． 故选：B ．.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查复数的概念，属于基础题． 7．（2020·上海松江区·高三其他模拟）若复数z =52i-，则|z |=（ ） A ．1 B 5C ．5D ．5【答案】B【分析】利用复数的模的运算性质，化简为对复数2i -求模可得结果 【详解】|z |=5||2i -=5|2i|-5 故选：B.【点睛】此题考查的是求复数的模，属于基础题8．（2020·上海高三一模）设12,z z 为复数,则下列命题中一定成立的是( ) A ．如果120z z ->,那么12z z >B ．如果12=z z ,那么12=±z zC ．如果121z z >,那么12z z > D ．如果22120z z +=,那么12 0z z ==【答案】C【分析】根据复数定义,逐项判断,即可求得答案.【详解】对于A,取13z i =+,21z i =+时,120z z ->,即31i i +>+,但虚数不能比较大小, ,故A 错误; 对于B,由12=z z ,可得2222+=+a b c d ,不能得到12=±z z ,故B 错误;对于C ,因为121z z >,所以12z z >,故C 正确; 对于D ,取11z =,2z i =,满足22120z z +=,但是12 0z z ≠≠,故D 错误. 故选:C.【点睛】本题解题关键是掌握复数定义,在判断时可采用特殊值法检验,考查了分析能力,属于基础题. 9．（2020·上海高三二模）关于x 的实系数方程2450x x -+=和220x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是（ ） A ．{}5 B ．{}1- C ．()0,1 D ．(){}0,11-【答案】D【分析】根据条件分别设四个不同的解所对应的点为ABCD ，讨论根的判别式，根据圆的对称性得到相应判断.【详解】解：由已知x 2﹣4x +5＝0的解为2i ±，设对应的两点分别为A ，B ， 得A （2，1），B （2，﹣1），设x 2+2mx +m ＝0的解所对应的两点分别为C ，D ，记为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），（1）当△＜0，即0＜m ＜1时，220x mx m ++=的根为共轭复数，必有C 、D 关于x 轴对称，又因为A 、B 关于x 轴对称，且显然四点共圆；（2）当△＞0，即m ＞1或m ＜0时，此时C （x 1，0），D （x 2，0），且122x x +＝﹣m ， 故此圆的圆心为（﹣m ，0），半径122x x r -====，又圆心O 1到A 的距离O 1A =，解得m ＝﹣1，综上：m ∈（0，1）∪{﹣1}. 故选：D.【点睛】本题考查方程根的个数与坐标系内点坐标的对应，考查一元二次方程根的判别式，属于难题. 10．（2020·上海徐汇区·高三一模）已知x ∈R ，条件p ：2x x <，条件q ：11x>，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】分别求两个命题下的集合，再根据集合关系判断选项. 【详解】201x x x <⇔<<，则{}01A x x =<<，1101x x>⇔<<，则{}01B x x =<<，因为A B =， 所以p 是q 的充分必要条件. 故选：C11．（2020·上海市建平中学高三月考）数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线22322():16C x y x y =+为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（ ）（1）方程22322()16x y x y +=（0xy <），表示的曲线在第二和第四象限； （2）曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2； （3）曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π；（4）曲线C 上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）； A ．（1）（2） B ．（1）（2）（3） C ．（1）（2）（4） D ．（1）（3）（4）【答案】A【分析】因为0xy <，所以x 与y 异号，仅限与第二和四象限，从而判断（1）．利用基本不等式222x y xy +即可判断（2）；将以O 为圆心、2为半径的圆的面积与曲线C 围成区域的面积进行比较即可判断（3）；先确定曲线C 经过点，再将x <y <(1,1)，(1,2)和(2,1)逐一代入曲线C 的方程进行检验即可判断（4）；【详解】对于（1），因为0xy <，所以x 与y 异号，仅限与第二和四象限，即（1）正确．对于（2），因为222(0,0)x yxy x y +>>，所以222x y xy +，所以22222322222()()16164()4x y x y x y x y ++=⨯=+， 所以224x y +，即（2）正确；对于（3），以O 为圆点，2为半径的圆O 的面积为4π，显然曲线C 围成的区域的面积小于圆O 的面积，即（3）错误；对于（4），只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把(1,1)，(1,2)和(2,1)代入曲线C 的方程验证可知，等号不成立，所以曲线C 在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线C 只经过整点(0,0)，即（4）错误； 故选：A.【点睛】本题考查曲线的轨迹方程，涉及特殊点代入法、均值不等式、圆的面积等知识点，有一定的综合性，考查学生灵活运用知识和方法的能力，属于中档题．12．（2020·上海市七宝中学高三其他模拟）已知F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，当0FA FB FC ++=时，则存在横坐标2x >的点A 、B 、C 有（ ） A ．0个 B ．2个 C ．有限个，但多于2个 D ．无限多个【答案】A【分析】首先判断出F 为ABC 的重心，根据重心坐标公式可得2312313,x x x y y y +=-+=-，结合基本不等式可得出()2221232y y y ≤+，结合抛物线的定义化简得出12x ≤，同理得出232,2x x ≤≤，进而得出结果.【详解】设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，先证12x ≤，由0FA FB FC ++=知，F 为ABC 的重心， 又131132(1,0),1,033x x x y y yF ++++∴==，2312313,x x x y y y ∴+=-+=-， ()()222222323232322y y y y y y y y ∴+=++≤+，()2221232y y y ∴≤+， 2223122444y y y ⎛⎫∴≤+ ⎪⎝⎭，()1232x x x ∴≤+，()1123x x ∴≤-12x ∴≤， 同理232,2x x ≤≤， 故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，基本不等式的应用，解本题的关键是判断出F 点为三角形的重心，属于中档题.13．（2020·上海杨浦区·高三二模）不等式102x x -≤-的解集为（ ） A ．[1,2] B ．[1,2)C ．(,1][2,)-∞⋃+∞D ．(,1)(2,)-∞⋃+∞【答案】B【分析】把分式不等式转化为整式不等式求解．注意分母不为0．【详解】原不等式可化为(1)(2)020x x x --≤⎧⎨-≠⎩，解得12x ≤<．故选：B ．【点睛】本题考查解分式不等式，解题方法是转化为整式不等式求解，转化时要注意分式的分母不为0． 14．（2020·上海市南洋模范中学高三期中）下列不等式恒成立的是（ ） A ．222a b ab +≤ B ．222a b ab +≥-C ．a b +≥-D ．a b +≤【答案】B【分析】根据基本不等式即可判断选项A 是否正确，对选项B 化简可得()20a b +≥，由此即可判断B 是否正确；对选项C 、D 通过举例即可判断是否正确.【详解】A.由基本不等式可知222a b ab +≥，故A 不正确；B. 2222220a b ab a b ab +≥-⇒++≥，即()20a b +≥恒成立，故B 正确； C.当1,0a b =-=时，不等式不成立，故C 不正确；D.当3,1a b ==时，不等式不成立，故D 不正确. 故选：B.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用以及不等式大小的比较，属于基础题.15．（2020·上海崇明区·高三一模）设{}n a 为等比数列，则“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】对于任意的*2,m m m N a a +∈> ，即()210m a q >﹣.可得：2010m a q ⎧⎨-⎩＞＞，2010m a q ⎧⎨-⎩＜＜，任意的*m N ∈，解出即可判断出结论.【详解】解：对于任意的*2,m m m N a a +∈>，即()210m a q >﹣. ∴2010m a q ⎧⎨-⎩＞＞，2010m a q ⎧⎨-⎩＜＜，任意的*m N ∈， ∴01m a q ⎧⎨⎩＞＞，或001m a q ⎧⎨⎩＜＜＜. ∴“{}n a 为递增数列”，反之也成立.∴“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查等比数列的单调性，充分必要条件，是基础题.16．（2020·上海高三其他模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“()1n n a a n *+<∈N ”是“()11n n S S n n n *+<∈+N ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先证明充分性，由条件1n n a a +<，可得121n n a a a na +++⋅⋅⋅+<，通过变形得到11n n S S n n +<+，再由条件11n n S S n n +<+，列举特殊数列，说明是否成立. 【详解】充分性：若1n n a a +<，则有121n n a a a na +++⋅⋅⋅+<，即()1n n n S n S S +<-，得()11n n n S nS ++<，于是有()11n n S S n n n *+<∈+N 成立，故充分性成立. 必要性：若()11n n S S n n n *+<∈+N 成立，取数列{}n a 为0,1,1,1,⋅⋅⋅，但推不出()1n n a a n *+<∈N ，故必要性不成立. 故选:A【点睛】本题考查判断充分不必要条件，数列的递推公式和前n 项和公式的综合应用，重点考查转化与化归的思想，逻辑推理能力，属于中档题型.17．（2020·上海交大附中高三其他模拟）已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且20,2,n n n n a S a a n >=+∈*N ,1121(2)(2)n n n n n n b a a +++=++，对任意的*,n n N k T ∈>恒成立，则k 的最小值是（ ） A ．13B ．12C ．16D ．1【答案】A【分析】由22n n n S a a =+可得21112n n n S a a ---=+，两式相减整理后可知11n n a a --=，则{}n a 首项为1，公差为1的等差数列，从而可得n a n =，进而可以确定111221n n n b n n +=-+++，则可求出121111 (3213)n n n T b b b n +=+++=-<++，进而可求出k 的最小值. 【详解】解：因为22n n n S a a =+，所以当2,n n N *≥∈时，21112n n n S a a ---=+，两式相减得22112n n n n n a a a a a --=+-- ，整理得，()()1101n n n n a a a a --+--=，由0n a > 知， 10n n a a -+≠，从而110n n a a ---=，即当2,n n N *≥∈时，11n n a a --=，当1n =时，21112a a a =+，解得11a =或0（舍），则{}n a 首项为1，公差为1的等差数列，则()111n a n n =+-⨯=.所以112111(2)(21)221n n n n n n b n n n n +++==-++++++，则1211111111111 (366112213213)n n n n n T b b b n n n ++=+++=-+-++-=-<+++++，所以13k ≥.则k 的最小值是13. 故选:A【点睛】本题考查了由递推数列求数列通项公式，考查了等差数列的定义，考查了裂项相消法求数列的和.一般如果已知了,n n S a 的关系式，一般地代入11,1,2,n n n S n a S S n n N*-=⎧=⎨-≥∈⎩ 进行整理运算.求数列的和常见的方法有，公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法等.18．（2020·上海大学附属中学高三三模）已知0a b >>，若12lim 25n n n nn a b a b ++→∞-=-，则（ ）A ．25a =-B ．5a =-C ．25b =-D ．5b =-【答案】D【分析】由0a b >>，可得01ab<<，将原式变形，利用数列极限的性质求解即可 【详解】因为0a b >>，且12lim 25n n n nn a b a b ++→∞-=-，所以01ab<<， 可得12limn n n nn a b a b ++→∞-=-2220lim 25011nn n a a b b b b a b →∞⎛⎫⋅- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭， 5b ∴=-，故选：D.【点睛】本题主要考查数列极限的性质与应用，属于基础题.19．（2020·上海市七宝中学高三其他模拟）如图，已知函数()y f x =与y x =的图象有唯一交点()1,1，无穷数列{}()*n a n N∈满足点()1,n n n P a a +()*n N ∈均落在()y f x =的图象上，已知()13,0P ，()20,2P ，有下列两个命题：（1）lim 1n n a →∞=；（2）{}21n a -单调递减，{}2n a 单调递增；以下选项正确的是（ ）A ．（1）是真命题，（2）是假命题B ．两个都是真命题C ．（1）是假命题，（2）是真命题D ．两个都是假命题【答案】B【分析】根据函数()y f x =的图象和()11f =可得出n a 的取值范围，再根据函数()y f x =的单调性判断{}21n a -和{}2n a 的单调性，结合数列各项的取值范围和单调性可得数列的极限值.【详解】()1n n a f a +=，当01n a <<时，由图象可知，112n a +<<；当13n a <<时，101n a +<<.13a =，20a =，32a =，401a ∴<<，512a <<，601a <<，712a <<，，因为函数()y f x =在区间()0,3上单调递减，因为5302a a <<=，()()53f a f a ∴>，即64a a >，()()64f a f a <，即75a a <，()()75f a f a >，即86a a >，，以此类推，可得1357a a a a >>>>，数列{}21n a -单调递减，2468a a a a <<<<，数列{}2n a 单调递增，命题（2）正确；当2n ≥时，2112n a -<≤，201n a <<，且数列{}21n a -单调递减，{}2n a 单调递增，所以，lim 1n n a →∞=，命题（1）正确. 故选：B.【点睛】本题考查数列单调性的判断以及数列极限的求解，考查推理能力，属于难题. 二、填空题20．（2019·上海高考真题）在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P ⋅≤，则1F P 与2F Q 的夹角范围为____________【答案】1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】通过坐标表示和121F P F P ⋅≤得到[]21,2y ∈；利用向量数量积运算得到所求向量夹角的余弦值为：222238cos 322y y y θ-==-+++；利用2y 的范围得到cos θ的范围，从而得到角的范围.【详解】由题意：()1F，)2F设(),P x y ，(),Q x y -，因为121F P F P ⋅≤，则2221x y -+≤ 与22142x y +=结合 224221y y ⇒--+≤，又y ⎡∈⎣ []21,2y ⇒∈(22221212cos F P F Q F P F Qθ⋅===⋅与22142x y +=结合，消去x ，可得：2222381cos 31,223y y y θ-⎡⎤==-+∈--⎢⎥++⎣⎦所以1arccos ,3θππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦本题正确结果：1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查向量坐标运算、向量夹角公式应用，关键在于能够通过坐标运算得到变量的取值范围，将问题转化为函数值域的求解.21．（2018·上海高考真题）在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则的AE BF ⋅最小值为____． 【答案】-3【分析】据题意可设E （0，a ），F （0，b ），从而得出|a ﹣b|=2，即a=b +2，或b=a +2，并可求得2AE BF ab ⋅=-+，将a=b +2带入上式即可求出AE BF ⋅的最小值，同理将b=a +2带入，也可求出AE BF ⋅的最小值． 【详解】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=； ∴a=b+2，或b=a +2；且()()12AE a BF b ==-，，，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a=b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b=a +2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3．【点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．22．（2020·上海高三三模）设点O 为ABC 的外心，且3A π=，若(),R AO AB AC αβαβ=+∈，则αβ+的最大值为_________. 【答案】23【分析】利用平面向量线性运算整理可得()1OA OB OC αβαβ+-=+，由此得到1αβ+<；由3A π=可求得cos BOC ∠，设外接圆半径为R ，将所得式子平方后整理可得()213αβαβ+=+，利用基本不等式构造不等关系，即可求得所求最大值. 【详解】()()AO AB AC OB OA OC OA αβαβ=+=-+-()1OA OB OC αβαβ∴+-=+ 10αβ∴+-<，即1αβ+<，1cos 2A =1cos cos 22BOC A ∴∠==-， 设ABC 外接圆半径为R ，则()22222222222212cos R R R R BOC R R R αβαβαβαβαβ+-=++∠=+-，整理可得：()()22321313124αβαβαβαβ+⎛⎫+=+≤+⨯=++ ⎪⎝⎭， 解得：23αβ+≤或2αβ+≥（舍）,当且仅当13时，等号成立， αβ∴+的最大值为23.故答案为：23.【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够利用平面向量线性运算和平方运算将已知等式化为与外接圆半径有关的形式，进而消去外接圆半径得到变量之间的关系.23．（2020·上海高三一模）已知非零向量a 、b 、c 两两不平行，且()a b c //+，()//b a c +，设c xa yb =+，,x y ∈R ，则2x y +=______.【答案】－ 3【分析】先根据向量共线把c 用a 和b 表示出来，再结合平面向量基本定理即可求解． 【详解】解：因为非零向量a 、b 、c 两两不平行，且()//a b c +，()//b a c +，(),0a m b c m ∴=+≠， 1c a b m∴=- (),0b n a c n ∴=+≠ 1c b a n∴=-1111m n ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩，解得11m n =-⎧⎨=-⎩c xa yb =+1x y ∴==- 23x y ∴+=-故答案为：3-．【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量共线的合理运用．解题时要认真审题， 属于基础题.24．（2020·上海高三一模）已知向量1,22AB ⎛= ⎝⎭，31,22AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则BAC ∠=________． 【答案】6π【分析】利用平面向量数量积的坐标运算计算出AB 、AC 的夹角的余弦值，进而可求得BAC ∠的大小.【详解】由平面向量的数量积的坐标运算可得3442AB AC ⋅=+=，1AB AC ==， 3cos 2AB AC BAC AB AC⋅∴∠==⋅， 0BAC π≤∠≤，6BAC π∴∠=．故答案为：6π 【点评】本题考查了向量坐标的数量积运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．25．（2020·上海崇明区·高三二模）在ABC 中，()()3cos ,cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC面积的最大值是____________ 【答案】34【分析】计算113sin 22624ABC S x π⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭△，得到答案.【详解】()22211sin ,1cos,2ABCS AB AC AB AC AB ACAB AC=⋅=⋅-△()22212AB AC AB AC=⋅-⋅=2113sin cos sin 22624x x x x π⎛⎫=-=--≤ ⎪⎝⎭， 当sin 216x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时等号成立.此时262x ππ-=-，即6x π=-时，满足题意.故答案为：34.【点睛】本题考查了三角形面积的最值，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.26．（2020·上海高三其他模拟）已知ABC 的面积为1，点P 满足324AB BC CA AP ++=，则PBC 的面积等于__________． 【答案】12【分析】取BC 的中点D ，根据向量共线定理可得,,A P D 共线，从而得到1122PBC ABC S S ∆∆==． 【详解】取BC 的中点D ，1()2AD AC AB ∴=+． 432()()AP AB BC CA AB BC CA AB BC AB AC AB =++=+++++=+，1()4AP AC AB ∴=+∴12AP AD =，即,,A P D 共线．1122PBC ABC S S ∆∆==．故答案为：12．【点睛】本题主要考查向量共线定理，中点公式的向量式的应用以及三角形面积的计算，属于基础题．27．（2020·上海大学附属中学高三三模）设11(,)x y 、22(,)x y 、33(,)x y 是平面曲线2226x y x y +=-上任意三点，则12A x y =-212332x y x y x y +-的最小值为________ 【答案】-40【分析】依题意看做向量()22,a x y =与()33,b y x =-的数量积，()22,a x y =与()11,c y x =-的数量积之和，根据点所在曲线及向量数量积的几何意义计算可得；【详解】解：因为2226x y x y +=-，所以()()221310x y -++=，该曲线表示以()1,3-为圆心，10为半径的圆．12212332A x y x y x y x y =-+-，可以看做向量()22,a x y =与()33,b y x =-的数量积，()22,a x y =与()11,c y x =-的数量积之和，因为点22(,)x y 在2226x y x y +=-上，点()33,y x -在2226x y y x +=+，点()11,y x -在2226x y y x +=--上，结合向量的几何意义，可知最小值为()()210102101040-+-=-，即()()()()2,64,22,62,440--+-=-故答案为：40-【点睛】本题考查向量数量积的几何意义的应用，属于中档题.28．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考）若复数z 满足i 1i z ⋅=-+，则复数z 的虚部为________ 【答案】1【分析】求解z 再得出虚部即可. 【详解】因为i 1i z ⋅=-+，故1111i iz i i i i i-+-==+=+=+，故虚部为1. 故答案为：1【点睛】本题主要考查了复数的运算与虚部的概念，属于基础题. 29．（2020·上海高三一模）复数52i -的共轭复数是___________. 【答案】2i -+【分析】由复数代数形式的除法运算化简复数52i -，求出z 即可． 【详解】解：55(2)5(2)22(2)(2)5i i i i i i ----===----+--， ∴复数52i -的共轭复数是2i -+ 故答案为2i -+【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础题．30．（2020·上海大学附属中学高三三模）已知复数22(13)(3)(12)i i z i +-=-，则||z =______【答案】【分析】根据复数乘法与除法运算法则化简，再根据共轭复数概念以及模的定义求解.【详解】22(13)(3)(13)(68)26(12)34i i i i z i i i +-++===-----|||26|z i ∴=-+==故答案为：【点睛】本题考查复数乘法与除法运算、共轭复数概念以及模的定义关系，考查基本分析求解能力，属基础题.31．（2020·上海高三其他模拟）若复数z 满足i 12i01z+=，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________【答案】1-【分析】根据行列式得到(12)0iz i -+=，化简得到复数的虚部.【详解】i 12i 01z +=即12(12)0,2iiz i z i i+-+===-，z 的虚部为1- 故答案为1-【点睛】本题考查了行列式的计算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力.32．（2020·上海市建平中学高三月考）设复数z 满足||1z =，使得关于x 的方程2220zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为________ 【答案】32-【分析】设z a bi =+，（,a b ∈R 且221a b +=），将原方程变为()()222220ax ax bx bx i +++-=，则2220ax ax ++=①且220bx bx -=②；再对b 分类讨论可得；【详解】解：设z a bi =+，（,a b ∈R 且221a b +=）则原方程2220zx zx ++=变为()()222220ax ax bx bx i +++-= 所以2220ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去； 从而1a =-，此时1x =-1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得14a =-，b =所以144z =-±综上满足条件的所以复数的和为113144442⎛⎛-+-++--=- ⎝⎭⎝⎭故答案为：32-【点睛】本题考查复数的运算，复数相等的充要条件的应用，属于中档题.33．（2020·上海高三其他模拟）从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，使得关于x 的方程2220x ax b ++=有两个虚根，则不同的选取方法有________种 【答案】3【分析】关于x 的方程x 2+2ax +b 2＝0有两个虚根，即△＜0，即a ＜b ．用列举法求得结果即可． 【详解】∵关于x 的方程x 2+2ax +b 2＝0有两个虚根，∴△＝4a 2﹣4b 2＜0，∴a ＜b ． 所有的（a ，b ）中满足a ＜b 的（a ，b ）共有（1，2）、（1，3）、（2，3），共计3个， 故答案为3．【点睛】本题考查列举法表示满足条件的事件，考查了实系数方程虚根的问题，属于中档题．34．（2020·上海市七宝中学高三其他模拟）已知复数13z i =-+（i 是虚数单位）是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的一个虚根，则::a b c =________.【答案】1:2:10【分析】利用求根公式可知，一个根为13i -+，另一个根为13i --，利用韦达定理即可求出a 、b 、c 的关系，从而可得 ::a b c【详解】利用求根公式可知，一个根为13i -+，另一个根为13i --，由韦达定理可得()()()13131313b i i a c i i a ⎧-++--=-⎪⎪⎨⎪-+--=⎪⎩ ，整理得：210bac a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2b a =，10c a =，所以:::2:101:2:10a b c a a a == 故答案为：1:2:10【点睛】本题主要考查了实系数一元二次方程的虚根成对的原理，互为共轭复数，考查了韦达定理，属于基础题.35．（2020·上海高三其他模拟）设复数2i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，则pq =________【答案】20-【分析】由题意复数2i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，利用一元二次方程根与系数的关系求出p q 、的值，可得答案.【详解】解：由复数2i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，故2-i 是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，故2+2i i p +-=-，(2+)(2)i i q -=， 故4p =-，5q =，故20pq =-， 故答案为：20-.【点睛】本题主要考查实系数的一元二次方程虚根成对定理，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题型.36．（2020·上海徐汇区·高三一模）已知函数()f x ax b =+(其中,a b ∈R )满足：对任意[]0,1x ∈，有()1f x ≤，则()()2121a b ++的最小值为_________．【答案】9-【分析】根据题意()0f b =，()1f a b =+，可得()0b f =，()()10a f f =-，且()101f -≤≤，()111f -≤≤，所以将()()2121a b ++用()0f 和()1f 表示，即可求最值. 【详解】因为()f x ax b =+，对任意[]0,1x ∈，有()1f x ≤， 所以()0f b =，()1f a b =+，即()0b f =，()()10a f f =-，所以()()()()()()()21214214100211a b ab a b f f f f ++=+++=-⨯++⎡⎤⎣⎦()()()()()()2224040111211f f f f f f =-+-+++()()()()()22212011120f f f f f =--++≥--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，当()11f =-，()01f =时()()2120f f -⎡⎤⎣⎦最大为9， 此时()()2120f f --⎡⎤⎣⎦最小为9-， 所以()()2121a b ++的最小值为9-， 故答案为：9-【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据[]0,1x ∈，有()1f x ≤，可知()101f -≤≤，()111f -≤≤，由()0f b =，()1f a b =+可得()0b f =，()()10a f f =-，所以()()2121a b ++可以用()0f 和()1f 表示，再配方，根据平方数的性质求最值. 37．（2020·上海高三其他模拟）设全集U ＝R ，若A ＝{x |21x x-＞1}，则∁U A ＝_____． 【答案】{x |0≤x ≤1}【分析】先解得不等式,再根据补集的定义求解即可 【详解】全集U ＝R ,若A ＝{x |21x x-＞1}, 所以211x x -＞,整理得10x x-＞,解得x ＞1或x ＜0, 所以∁U A ＝{x |0≤x ≤1} 故答案为：{x |0≤x ≤1}【点睛】本题考查解分式不等式,考查补集的定义38．（2020·上海市建平中学高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|(|||2|4)(|2|||4)0}K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为________【答案】323【分析】利用不等式对应区域的对称性求出在第一象限的面积，乘以4得答案．【详解】解：(||2||4)(2||||4)0x y x y +-+-对应的区域关于原点对称，x 轴对称，y 轴对称，∴只要作出在第一象限的区域即可．当0x ，0y 时，不等式等价为(24)(24)0x y x y +-+-，即240240x y x y +-⎧⎨+-⎩或240240x y x y +-⎧⎨+-⎩，在第一象限内对应的图象为， 则(2,0)A ，(4,0)B ，由240240x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得4343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即44(,)33C ，则三角形ABC 的面积1442233S =⨯⨯=，则在第一象限的面积48233S =⨯=，则点集K 对应的区域总面积832433S =⨯=．故答案为：323．【点睛】本题考查简单的线性规划，主要考查区域面积的计算，利用二元一次不等式组表示平面区域的对称性是解决本题的关键，属于中档题．39．（2020·上海高三其他模拟）已知()22log 2log a b ab +=4a b +的最小值是______．【答案】9【分析】根据对数相等得到111b a +=，利用基本不等式求解()114a b b a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值得到所求结果. 【详解】因为22222log log log ab abab ==，所以()22l og og l a b ab +=，所以a b ab +=，所以111a b+=， ()1144414a ba b a b a b b a ⎛⎫∴+=++=+++ ⎪⎝⎭，由题意知0ab >，则0a b >，40b a >，则441459a b a b b a +=+++≥=，当且仅当4a b b a =，即2a b =时取等号，故答案为：9.【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到111b a+=的关系，从而构造出符合基本不等式的形式，属于中档题.40．（2020·上海高三二模）已知0,0x y >>，且21x y +=，则11x y+的最小值为________．【答案】3+【分析】先把11x y+转化为11112(2)()3y x x y x y x y x y +=++=++，然后利用基本不等式可求出最小值 【详解】解：∵21x y +=，0,0x y >>，∴11112(2)()33y x x y x y x y x y +=++=++≥+(当且仅当2y xx y=，即x =时，取“=”)． 又∵21x y +=，∴11x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴当1x =，12y =-时，11x y +有最小值，为3+．故答案为：3+【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，利用1的代换，属于基础题.41．（2020·上海高三月考）已知实数x 、y 满足条件01x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩.则目标函数2z x y =+的最大值为______. 【答案】2【分析】作出约束条件所表示的可行域，当目标函数所表示的直线过点(1,0)A 时，目标函数取得最大值. 【详解】作出约束条件所表示的可行域，易得点(1,0)A ，当直线2y x z =-+过点A 时，直线在y 轴上的截距达到最大，∴max 2z =，故答案为：2【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意利用直线截距的几何意义进行求解.42．（2020·上海高三其他模拟）若()211,1nn N n x *⎛⎫-∈> ⎪⎝⎭的展开式中的系数为n a ，则23111lim n n a a a →∞⎛⎫+++⎪⎝⎭=____________． 【答案】2试题分析：由二项式定理知4x -的系数是2(1)2n n n n a C -==，12112()(1)1n a n n n n ==---，所以 231111lim()lim[2(1)]2n n n a a a n→∞→∞+++=-=.考点：二项式定理，裂项相消求和，数列极限.43．（2020·上海高三其他模拟）设正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项之积为n T ，且1n n S T +=，则lim n n S →∞=______． 【答案】1【分析】令1n =可得11112a S T ===，利用n T 的定义，1(2)n n n T S n T -=≥，可得n T 的递推关系，从而得1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出n T 后可得n S ，从而可得lim n n S →∞．【详解】111T a S ==，∴121a =，112a =，即1112S T ==，1(2)n n n T S n T -=≥，∴11n n n T T T -+=，∴1111n n T T --=，即{}n T 是以2为首项，1为公差的等差数列， 故1211n n n T =+-=+，11n T n =+，1n n S n =+，112S =也符合此式，所以1n n S n =+， 所以lim limlim lim +1111111n n n n n n n S n n n →∞→∞→∞→∞-⎛⎫==-= ⎪++⎝⎭=，故答案为：1.【点睛】本题考查求数列的通项公式，解题中注意数列的和、数列的积与项的关系，进行相应的转化． 如对积n T 有1(2)nn n T S n T -=≥，对和n S 有1(2)n n n a S S n -=-≥，另外这种关系中常常不包括1n =的情形，需讨论以确定是否一致，属于较难题．三、解答题44．（2020·上海徐汇区·高三一模）设()x μ表示不小于x 的最小整数，例如(0.3)1,( 2.5)2μμ=-=-． （1）解方程(1)3x μ-=；（2）设()(())f x x x μμ=⋅，*n N ∈，试分别求出()f x 在区间(]0,1、(]1,2以及(]2,3上的值域；若()f x 在区间(0,]n 上的值域为n M ，求集合n M 中的元素的个数； （3）设实数0a >，()()2x g x x a xμ=+⋅-，2sin 2()57x h x x x π+=-+，若对于任意12,(2,4]x x ∈都有12()()g x h x >，求实数a 的取值范围．【答案】（1）34x <≤；（2）当(]0,1x ∈时，值域为{}1；当(]1,2x ∈时，值域为{}3,4；当(]2,3x ∈时，值域为{}7,8,9；(1)2n n +个；（3）(3,)+∞． 【分析】（1）根据()x μ的定义，列式解不等式；（2）根据定义分别列举()f x 在区间(]0,1、(]1,2以及(]2,3上的值域，和(1,]x n n ∈-时函数的值域，最后利用等差数列求和；（3）分别求两个函数的值域，并转化为()()max g x f x >，利用参变分离求实数a 的取值范围. 【详解】【解】（1）由题意得：213x <-≤，解得：34x <≤． （2）当(]0,1x ∈时，(]()1,()0,1x x x x μμ=⋅=∈，于是(())1x x μμ⋅=，值域为{}1当(]1,2x ∈时，(]()2,()22,4x x x x μμ=⋅=∈，于是(())3x x μμ⋅=或4，值域为{}3,4 当(]2,3x ∈时，(]()3,()36,9x x x x μμ=⋅=∈，于是(())7x x μμ⋅=或8或9，值域为{}7,8,9设*n N ∈，当(1,]x n n ∈-时，()x n μ=，所以()x x nx μ⋅=的取值范围为22(,]n n n -，-所以()f x 在(1,]x n n ∈-上的函数值的个数为n ，-由于区间22(,]n n n -与22((1)(1),(1)]n n n +-++的交集为空集， 故n M 中的元素个数为(1)1232n n n +++++=．- （3）由于2140573x x <≤-+，1sin 23x π≤+≤，因此()4h x ≤，当52x =时取等号，即即(2,4]x ∈时，()h x 的最大值为4，由题意得(2,4]x ∈时，()4g x >恒成立，当(2,3]x ∈时，223x a x >-恒成立，因为2max (2)33x x -=，所以3a >当(3,4]x ∈时，2324x a x >-恒成立，因为239244x x -<，所以94a ≥综合得，实数a 的取值范围是(3,)+∞．【点睛】关键点点睛：1.首先理解()x μ的定义，2.第三问，若对于任意12,(2,4]x x ∈都有12()()g x h x >，转化为()()max g x f x >，再利用参变分离求a 的取值范围.45．（2020·上海市建平中学高三月考）已知数列{}n a 满足：10a =，221n n a a =+，2121n n a a n +=++，*n ∈N .（1）求4a 、5a 、6a 、7a 的值； （2）设212n n na b -=，212333nn n S b b b =++⋅⋅⋅+，试求2020S ；（3）比较2017a 、2018a 、2019a 、2020a 的大小关系. 【答案】（1）3、5、5、8；（2）202120204037398S ⋅+=；（3）2017201820202019a a a a ==<. 【分析】。
放缩法证明数列的不等式，这几种方式你学会了吗？
放缩法证明数列的不等式，这几种方式你学会了吗？
关于数列的不等式证明，一直以来都是老大难问题。
因为部分涉及到放缩技巧，但是放缩有些时候掌控不好尺寸就容易出现错误。
从数列的不等式证明来看，一共是两种方式，一种是直接求和再放缩。
还有一种是先放缩在求和。
那么放缩到底有哪些方式那？主要放缩成成等差数列、等比数列、裂项相消、错位相减（等差数列乘以等比数列）等。
另外放缩的时候，大部分都会留首项或者前两项，防止放缩过大或者过小的问题。
具体类型题
数列的放缩除了以上几种方式，还有比如根据不等式的性质，去构造糖水不等式进行缩放。
无论是哪一种类型题，一定要多去尝试多去做。
而且我们平时考察的题目，大部分是缩放成等差数列或者等比数列。
高中数学讲义：放缩法证明数列不等式
放缩法证明数列不等式一、基础知识：在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。
本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：（1）传递性：若,a b b c >>，则a c >（此性质为放缩法的基础，即若要证明a c >，但无法直接证明，则可寻找一个中间量b ，使得a b >，从而将问题转化为只需证明b c >即可 ）（2）若,a b c d >>，则a c b d +>+，此性质可推广到多项求和：若()()()121,2,,n a f a f a f n >>>L ，则:()()()1212n a a a f f f n +++>+++L L （3）若需要用到乘法，则对应性质为：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同2、放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：① 等差数列求和公式：12nn a a S n +=×，n a kn m =+（关于n 的一次函数或常值函数）② 等比数列求和公式：()()1111n n a q S q q -=¹-，n n a k q =×（关于n 的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差´等比”的形式④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。
数列不等式证明大题解题技巧
数列不等式证明大题解题技巧
1. 把数列的不等式转化为数学归纳法或数列递推公式证明：通过利用归纳假设或递推公式，将数列的不等式转化为一系列数学运算的等式或不等式，从而证明原始的数列不等式。
2. 利用数列的性质进行变形：通过对数列进行一系列变形，利用数列的性质，等式性质或不等式性质，将原始的数列不等式转化为更容易证明的形式。
3. 利用基本不等式或数学不等式进行转化：通过利用已知的基本不等式或数学不等式，对不等式进行转化或放缩，从而证明原始的数列不等式。
4. 利用函数性质进行推理：如果数列具有某种特定的性质，可以将数列不等式化为函数不等式，然后根据函数性质进行推理和证明。
5. 利用数列的特殊性质进行归纳：如果数列具有某种特殊的性质，可以通过归纳法证明数列的不等式。
总之，数列不等式的证明需要将数列不等式转化为一些更易于证明的形式，利用数列的特性、基本不等式、数学不等式、函数性质等进行推理和证明。
熟练掌握这些解题技巧，并结合具体题目的特点进行灵活应用，可以帮助解决数列不等式的证明大题。
谈谈证明数列不等式的三种方法
解题宝典数列不等式证明具有较强的综合性，且难度较大.此类问题往往综合考查了等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式、性质、不等式的可加性、可乘性、传递性等，对同学们的逻辑推理和分析能力有较高的要求.本文主要介绍三种证明数列不等式的方法.一、裂项放缩法若数列的通项公式为分式，且可裂为或通过放缩后化为两项之差的形式，则可采用裂项放缩法求解.首先将数列的各项拆分，在求和时绝对值相等、符号相反的项便会相互抵消，再将所得的结果进行适当的放缩，便可证明数列不等式.例1.若数列{}a n ，{}b n 的通项公式分别为a n =n (n +1)，b n =()n +12，试证明1a 1+b 1+1a 2+b 2+⋯+1a n +b n<512.证明：当n =1时，1a 1+b 1=16<512，当n ≥2时，a n +b n =()n +1()2n +1>2()n +1n ，1a n +b n =1()n +1()2n +1<12n ()n +1=12æèöø1n -1n +1,∴1a 1+b 1+1a 2+b 2+⋯+1a n +b n ùûú<16+12éëêæèöø12-13+⋯+æèöø1n -1n +1，∵12éëêùûúæèöø12-13+⋯+æèöø1n -1n +1=12æèöø12-1n +1<14，∴1a 1+b 1+1a 2+b 2+⋯+1a n +b n <16+14=512∴1a 1+b 1+1a 2+b 2+⋯+1a n +b n <512成立.{}1a n +b n的通项公式为分式，且可通过放缩、裂项将其转化为两项之差：12æèöø1n -1n +1，于是采用裂项放缩法求证.运用裂项放缩法证明不等式时，需根据数列通项公式的特点或和的特点进行适当的放缩，同时要把握放缩的“度”，不可“放”得过大，也不可“缩”得过小.二、构造函数法数列是一种特殊的函数.在解答数列不等式证明题时，可根据目标不等式的特点构造出函数模型，此时需将n ∈N *看作函数的自变量，将目标式看作关于n 的函数式，利用函数的单调性、有界性来求得函数式的最值，从而证明不等式成立.例2.已知数列{}a n 的通项公式为a n =3n -1，且该数列的每一项均大于零.若数列{}b n 的前n 项和为T n ，且a n ()2b n-1=1，证明：3T n -1>log 2()a n +3.证明：∵a n()2b n-1=1，a n=3n -1，∴b n =log 2æèçöø÷1+1a n =log 23n 3n -1，∴T n =b 1+b 2+⋯+b n =log 2æèöø32∙65∙⋯∙3n 3n -1，∴3T n -1-log 2()a n +3=log 2æèöø32⋅65⋅⋯⋅3n 3n -13∙23n +2，设f ()n =æèöø32∙65∙⋯∙3n 3n -13∙23n +2，∴f ()n +1f ()n =3n +23n +5∙æèöø3n +33n +23=()3n +32()3n +5()3n +22，∵()3n +33-()3n +5()3n +22=9n +7>0，∴f ()n +1>f ()n ，∴f ()n 单调递增，∴f ()n ≥f ()1=2720>1，∴3T n -1-log 2()a n +3=log 2f ()n >0，∴3T n -1>log 2()a n +3成立.解答本题，需先求得b n 、T n ，并将目标式化简，然后根据目标不等式的特点构造函数f ()n ，通过比较f ()n +1、f ()n 的大小，判断出函数的单调性，进而根据函数的单调性证明不等式成立.一般地，在判断数列或函数的单调性时，可采用作差或作商法来比较数列的前后两项a n +1、a n 的大小，若a n +1>a n ，则函数或数列单调递增；若a n +1<a n ，则函数或数列单调递减.三、数学归纳法数学归纳法主要用于证明与自然数N 有关的命题.运用数学归纳法证明数列不等式，需先根据题意证明当n =1时不等式成立；然后假设当n =k 时不等式成立，再根据题意，通过运算、推理证明当n =k +1时不等式也成立，这样便可证明对任意n ∈N *不等式恒成立.42下下下下下下下下下下下下下下下下下方法集锦例3.已知数列{a n }的通项公式为a n =2éëêùûú()2-1n+1,若数列{b n }中b 1=2，b n +1=3b n +42b n +3，试证明：2<b n ≤a 4n -3.证明：当n =1时，2<2，b 1=a 1=2，∴2<b 1≤a 1，不等式成立，假设当n =k 时，不等式成立，∴2<b k ≤a 4k -3，即0<b k -2≤a 4k -3-2，当n =k +1时，b k +1-2=3b k +42b k +3-2=()3-22b k+()4-322b k +3=()3-22()b k -22b k +3>0，∵2<b k ，∴12b k +3<2+33-22，b k +1-2=()3-22()b k-22b k +3<()3-222()b k-2≤()2-14()a 4k -3-2=a 4k +1-2.∴当n =k +1时，不等式成立，即2<b n ≤a 4n -3成立.解答本题主要采用了数学归纳法，分两步完成，首先证明当n =1时不等式成立，然后假设当n =k 时不等式成立，并将其作为已知条件，证明2<b k ，进而证明当n =k +1时，不等式也成立.相比较而言，构造函数法的适用范围较广，裂项放缩法和数学归纳法的适用范围较窄，且裂项放缩法较为灵活，运用数学归纳法证明不等式过程中的运算量较大.因此在证明数列不等式时，可首先采用构造函数法，然后再根据不等式的特点和解题需求运用裂项放缩法或数学归纳法求证.（作者单位：湖北省恩施土家族苗族自治州高级中学）圆锥曲线的离心率是反映圆锥曲线几何特征的一个基本量.圆锥曲线的离心率主要是指椭圆与双曲线的离心率，可用e =ca来表示.求圆锥曲线的离心率问题是一类常考的题目.下面谈一谈求圆锥曲线离心率的三种途径.一、根据圆锥曲线的定义圆锥曲线的定义是解答圆锥曲线问题的重要依据.我们知道，椭圆的焦半径长为c 、长半轴长为a ；双曲线的焦半径长为c 、实半轴长为a ，而圆锥曲线的离心率为e =ca.因此，只要根据圆锥曲线的定义确定a 、c的值，即可求得圆锥曲线的离心率.例1.已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左，右焦点，如果双曲线上存在点P ，使∠F 1PF 2=90°，并且||PF 1=3||PF 2，求双曲线的离心率．解：因为||PF 1=3||PF 2，①由双曲线的定义得||PF 1-||PF 2=2a ，②由①②得||PF 1=3a ，||PF 2=a .且||F 1F 2=2c ，∠F1PF 2=90°，则|F 1F 2||2=PF 1||2+PF 2|2，即(2c )2a )2+a 2，解得5a =2c ，所以e =ca ．题目中指出了两个焦半径||PF 1、||PF 2之间的关系，可将其与双曲线的定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹关联起来，根据双曲线的定义建立关于两个焦半径的方程，通过解方程求得双曲线的离心率.二、利用几何图形的性质圆锥曲线的几何性质较多，如双曲线、椭圆的对称轴为坐标轴，对称中心为原点，双曲线的范围为x ≥a或x ≤-a .在求圆锥曲线的离心率时，要仔细研究几何图形，明确焦半径、实半轴长、虚半轴长与几何图形的位置关系，据此建立关于a 、b 、c 关系式，再通过解方43。
数列型不等式的放缩技巧九法
数列型不等式的放缩技巧九法1.上凸性法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n>0$，则可放缩为$a_n>a_1+(n-1)d$或$a_n>a_1+n(n-1)d$，其中$d$为常数。
2.下凸性法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n<0$，则可放缩为$a_n<a_1+(n-1)d$或$a_n<a_1+n(n-1)d$，其中$d$为常数。
3.奇偶性法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n$的奇偶性与$n$的奇偶性相同，则可放缩为$a_n>a_1+(n-1)d$或$a_n<a_1+n(n-1)d$，其中$d$为常数。
4.整除性法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n$能整除$n$，则可放缩为$a_n>a_1+(n-1)d$或$a_n<a_1+n(n-1)d$，其中$d$为常数。
5.线性递增法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n$为常数$d$，则可放缩为$a_n>a_1+(n-1)d$或$a_n<a_1+n(n-1)d$，其中$d$为常数。
6.线性递减法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n$为常数$d$，则可放缩为$a_n<a_1+(n-1)d$或$a_n<a_1+n(n-1)d$，其中$d$为常数。
7.最值法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n$为一组有界变量，且$a_n$有最大或最小值，则可通过对最大或最小值进行放缩得到不等式。
8. 平均值大小法：如果数列满足$a_1,a_2,\ldots,a_n$的平均值满足一些条件，则可借助平均值大小的不等式进行放缩。
9.乘积法：如果数列满足相邻项的乘积满足一些条件，则可通过对乘积进行放缩得到不等式。
举个例子来说明这些放缩技巧的应用：问题：证明数列$a_n=\frac{1}{2n-1}$是递减的。
解答：我们可以使用上凸性法进行放缩。
由$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2(n+1)-1}-\frac{1}{2n-1}=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n-1}=\frac{2n-1-(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)}=-\frac{2}{(2n+1)(2n-1)}<0$所以$a_n>a_{n+1}$，即数列$a_n$是递减的。
数列与不等式
数列与不等式数列和不等式是数学中的两个重要概念，它们在不同的数学领域中都有广泛的应用。
数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列，而不等式则描述了两个数或者多个数之间的大小关系。
本文将介绍数列和不等式的基本定义和性质，并探讨它们在数学中的应用。
一、数列的定义和性质数列就是按照一定规律排列的一系列数字的集合。
一般来说，数列可以表示为$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$，其中$a_n$表示数列的第$n$个数。
常见的数列有等差数列和等比数列。
等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
如果数列的首项为$a_1$，公差为$d$，则数列的通项公式可以表示为$a_n = a_1 + (n-1)d$。
等差数列的性质包括：1. 通项公式：$a_n = a_1 + (n-1)d$2. 前$n$项和公式：$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$3. 任意三项的中项：$a_n = \frac{a_k + a_m}{2}$，其中$k,m,n$为正整数且$k<m<n$。
等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
如果数列的首项为$a_1$，公比为$r$，则数列的通项公式可以表示为$a_n = a_1 \cdotr^{(n-1)}$。
等比数列的性质包括：1. 通项公式：$a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$2. 前$n$项和公式（当$r \neq 1$）：$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$3. 任意三项的中项：$a_n^2 = a_k \cdot a_m$，其中$k,m,n$为正整数且$k<m<n$。
二、不等式的定义和性质不等式是描述数之间大小关系的数学表达式。
一般来说，不等式可以表示为$x>y$、$x \geq y$、$x<y$、$x \leq y$、$x \neq y$等形式，其中$x$和$y$为实数。
数列不等式证明中的等比数列求和公式
x ln a a 1 成立.
2015.2.15 JZX
（Ⅲ）证明：
e 1 2 n n N e 1 n n n
n
n
n
例题 2： （2014 四川省高考压轴卷
设函数 f x ln x ax ， a R . （Ⅰ）判断函数 f x 的单调性；
2015.2.15 JZX
数列不等式证明中的等比数列求和公式
成都石室中学 蒋宗汛
一、 题型特点
形式：数列和>简单分式 数列不等式的一边是简单的分式且分母有 1 ，分子可能出现 1 q n （ q 0,1 ） ，若无则是利用等比 数列 q 0,1 的有界性进
（Ⅱ）当 ln x ax 对于 x 0, 上恒成立时，求 a 的取值范围； （Ⅲ）若 k , n N ，且 1 k n ，证明：
1 1 1 n
n
1 2 1 n
n
1 k 1 n
n
1 n 1 n
n
1 1 1 n e 1 e
.
五、 总结归纳
1. .
2.
.
3.
.
2/2
比较数列通项的大小，逐步化简为定海神针类型。
．．．．
三、 定海神针
当 x 0,1 时，
2 x 1 x 1 1 1 1 x x ln x x 1 x 2 x x +1 x x 1 2 x 1 1 1 1 ln x x x x 1 x x +1 x x 2
当 x 0,1 时，
利用导数证明数列不等式(含解析)
利用导数证明数列不等式(含解析)利用导数证明数列不等式是高考中常见的题型，可以考查学生灵活运用知识的能力。
这种题型一方面以函数为背景，让学生探究函数的性质；另一方面，体现数列是特殊的函数，进而利用恒成立的不等式将没有规律的数列放缩为有具体特征的数列。
可以说，这种题型涉及到函数、导数、数列和不等式，是一题多考的巧妙结合，也是近年来高考的热门题型。
常见的题型有两种类型：一种是利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题，另一种是利用递推公式处理通项公式中的不等问题。
恒成立不等式的来源主要有两种：一是函数的最值，最值可以提供XXX成立的不等式；二是恒成立问题的求解，参数范围内的值均可提供恒成立不等式。
常见的恒成立不等式有lnxx+1.关于前n项和的放缩问题，求数列前n项公式往往要通过数列的通项公式来解决。
高中阶段求和的方法有倒序相加、错位相减、等比数列求和公式和裂项相消。
在处理数列求和不等式时，放缩为等比数列和能够裂项相消的数列的情况比较多见，应优先考虑。
对于数列求和不等式，要从通项公式入手，结合不等号方向考虑放缩成可求和的通项公式。
在放缩时要注意前几问的铺垫与提示，尤其是关于恒成立问题与最值问题所带来的恒成立不等式，往往提供了放缩数列的方向。
放缩通项公式有可能会进行多次，要注意放缩的方向，朝着可求和的通项公式进行靠拢（等比数列，裂项相消等）。
数列不等式也可考虑利用数学归纳法进行证明。
经典例题是已知函数f(x)=kx-xlnx，求函数f(x)的单调区间、当<x≤1时，f(x)≤k恒成立的k的取值范围，以及证明ln1ln2+23+lnnn(n-1)≤n+14.1.已知函数$f(x)=\ln(ax+1)(x\geq0,a>0)$，$g(x)=x-\frac{x^3}{3}$。
1）讨论函数$y=f(x)-g(x)$的单调性；2）若不等式$f(x)\geq g(x)+1$在$x\in[0,+\infty)$时恒成立，求实数$a$的取值范围；3）当$a=1$时，证明：frac{1}{1\cdot3\cdot5\cdots(3572n+1)}+\frac{1}{2\cdot4\cd ot6\cdots(3572n+2)}+\cdots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}<f^{(n)}(n)(n\in N^*),$$其中$f^{(n)}(n)$表示$f(x)$的$n$阶导数在$x=n$处的值。
数列不等式证明方法的探究
列不等式
ｏ王 晶 何泉清
数列不等式是 高考数学 的热点 ， 且常常 出现 在压 轴题 中， 扮演着控 制整张试 卷 区分 度 的角色。数列 不 等式 的证 明常利用 比较法 、 放缩法等常用的方法。
一
（ 了 … １ １＋
证明 ： 要证明上式 。 只需证 明：
证 明： 根据 “ 加糖不 等式 ” 若 Ⅱ＞ｂ＞０ ｍ ＞ ， ， ， ０ 则
ｂ＋ｍ
口 ＋ ， 孔
＞ ａ ，
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数学导学 ｚ编 丞 责ｚ ｓｙ ｚ ｙ
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例 ３ 证明不等式：１ １ （ １） １ 了 （ ＋）１ 了 （ １）… ・
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例 ２ 已知 ｎ ， Ｎ 求证： ｅ
（ 丁 ＋… ＋ （ ＋ １ １ １
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比较②式 和③式 ， 有 ： 若
则 数 列 ｛ 的通 项 公 式 为 ： ＝ａ ＋（ｌ ） Ⅱ） ａ 。 ，一１ ｄ＝
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① 的 边 ： ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 式 右为ｎ ÷ … ）（ ÷ （ 寺 ÷
数列不等式的证明方法
数列不等式的证明方法一、数学归纳法：数学归纳法是一种证明数学命题的方法，常用于证明数列不等式的成立。
1.基本思路：数学归纳法证明数列不等式的基本思路如下：（1）首先，证明当n=1时命题成立；（2）然后，假设当n=k时命题成立，即假设P(k)成立；（3）最后，证明当n=k+1时命题也成立，即证明P(k+1)成立。
2.具体操作步骤：（1）证明当n=1时命题成立；（2）假设当n=k时命题成立，即假设P(k)成立；（3）证明当n=k+1时命题也成立，即证明P(k+1)成立。
3.举例说明：以证明斐波那契数列F(n)的递推形式F(n)=F(n-1)+F(n-2)为例。
（1）首先，证明当n=1时命题成立。
易知F(1)=1，F(0)=0，F(1)=F(0)+F(-1)成立。
（2）假设当n=k时命题成立，即假设F(k)=F(k-1)+F(k-2)成立。
（3）证明当n=k+1时命题也成立，即证明F(k+1)=F(k)+F(k-1)成立。
根据假设，F(k+1)=F(k)+F(k-1)成立，所以命题成立。
二、递推法：递推法的证明思路是通过已知条件和递推关系来逐步推导出结论。
1.基本思路：递推法证明数列不等式的基本思路如下：（1）首先，根据数列的递推关系列出递推式；（2）然后，推导出递推式的通项公式；（3）最后，利用递推式的通项公式证明数列不等式的成立。
2.具体操作步骤：（1）根据数列的递推关系列出递推式；（2）推导出递推式的通项公式；（3）利用递推式的通项公式证明数列不等式的成立。
3.举例说明：以证明斐波那契数列F(n)的递推式F(n)=F(n-1)+F(n-2)为例。
（1）根据递推关系列出递推式：F(n)=F(n-1)+F(n-2)；（2）推导出递推式的通项公式：解这个递推方程得到F(n)=A*φ^n+B*λ^n，其中A、B为常数，φ和λ为一元二次方程x^2-x-1=0的两个根，φ≈1.618，λ≈-0.618；（3）利用递推式的通项公式证明数列不等式的成立：证明F(n)>n，通过证明A*φ^n+B*λ^n>n，根据递推式的通项公式可得证。
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数列不等式
数列不等式是数学中最基础的概念之一，也是解决特定问题的基本技术之一。
它能够帮助人们了解数学直觉，构建可操作的数学模型，以及深入挖掘生活中的数学关系。
一般地，数列不等式表示一个或多个等号组成的不等式，通常是以两两等式相结合的形式出现，即：
若X1≤X2≤X3≤ (X)
则，
X1+X2+X3+…+Xn≤n(X1+Xn)2
数学研究者经常使用这类不等式来描述给定的数列的范围，以及这些数列的几何发展情况。
例如，某数列的前n项和可以用如下变量替代：
Sn=X1+X2+X3+ (X)
这些变量可作为连续的函数。
通过不等式的方式来描述这些函数，通常可以提出一定的结论，甚至可以形成一个系统的数学研究体系。
不等式可以用来描述给定的数列和函数，例如可以利用不等式提出如下结论：
若给定函数f(x)满足f(x)≤a，则
f(x1)+f(x2)+…+f(xn)≤na2
此外，如果f(x)的导函数的值存在，不等式往往用来描述导函
数的大小或值的确定性。
例如，若函数f(x)的导函数g(x)存在，可
以提出如下结论：
若g(x)≤g1，则
f(x1)+f(x2)+…+f(xn)≤ng1n
不等式用来描述函数的空间形状和时间发展也是如此。
比如，有一类函数叫做凸函数，它以特定的形式出现：
f(x)≤f(x1)+f′(x1)(xx1)
其中，f′(x1)是函数f(x)在x1点处的导函数。
上述不等式可用来表示函数f(x)的单调性和凸性。
此外，不等式可以用来解释随机事件的发生，特别是事件的概率关系。
例如，假设有A、B、C三次事件，看作A事件概率P(A)，B事件概率P(B)，C事件概率P(C)。
那么根据不等式的概念，可以推出： P(A∪B∪C)≤P(A)+P(B)+P(C)
这个不等式说明，A、B和C三个事件同时发生的概率一定比分别发生的概率之和要小。
数列不等式在各个学科领域都有着重要的作用，尤其是经济学、金融学、管理学等社会科学。
它能够有效地提升模型的效率，模拟实际发生事件的过程，开发更为实用的决策策略。
总之，数列不等式是数学研究的基础概念，它能够有效地描述给定的数列的范围，以及推导这些数列的数学关系。
它的应用更甚于此，它还有效地描述函数的空间形状和时间发展以及事件的概率关系，并能作为一个系统的数学研究体系，为各个学科领域提供新的视角和解决方案。