矩阵位移法
矩阵位移法和有限元法的异同
矩阵位移法和有限元法的异同矩阵位移法和有限元法是数值计算领域中常用的两种方法，它们都具有非常优秀的数值精度和高度的计算效率。
在工程领域中，它们常常用于解决结构振动、热传导、电场、磁场等问题，因此其应用非常广泛。
本文将从多个角度比较两种方法的异同。
一、基本原理矩阵位移法是基于结构受力平衡公式推导而来，通过建立刚度矩阵，利用矩阵乘法计算结构中各点受力情况，从而得到结构变形情况。
有限元法则是将结构分割成很多有限元，建立每个有限元内部的受力方程，通过组合各个有限元的受力方程形成整个结构的受力方程，从而得到变形情况。
二、精度和适用范围矩阵位移法是一种较为精确的计算方法，适用于较小结构和较短时间内的计算。
而有限元法精度相对较差，但它适用于更为复杂的结构和更长时间内的计算，且可以模拟非线性问题。
三、模型建立和求解在矩阵位移法中，需要先根据实际结构建立刚度矩阵，然后将载荷矩阵和位移矩阵代入方程中求解。
而在有限元法中，需要将结构分割成有限元，并建立每个有限元的受力方程，然后进行求解。
有限元法需要进行剖分后求解，模型的建模过程相对较为复杂，计算量较大。
四、应用领域和优缺点矩阵位移法适用于解决结构较小、较简单的问题，在建模和求解过程中较为简单，计算速度快。
但它的缺点是在处理较复杂的问题时很难得到精确解。
有限元法适用于处理复杂问题，精度相对更高。
但在建模和求解过程中计算量比较大，时间较长，适用于需要高精度计算的问题。
综上所述，矩阵位移法和有限元法都是重要的数值计算方法，适用于不同的领域。
在遇到具体问题时，需要根据问题的特点选择合适的数值计算方法，从而得到更好的计算效果。
矩阵位移法中,结构的原始刚度方程
矩阵位移法是结构分析中常用的一种方法，它通过将结构刚度矩阵和位移向量进行相乘，来求解结构的位移。
在矩阵位移法中，结构的原始刚度方程是一个关键的内容，它描述了结构在外部荷载作用下的位移响应。
一、什么是矩阵位移法矩阵位移法是一种基于矩阵运算的结构分析方法。
它通过建立结构的刚度矩阵和荷载矩阵，将结构的位移表示为荷载、边界条件和材料性质的函数，然后利用矩阵运算的方法求解结构的位移响应。
矩阵位移法的优点是可以较为准确地分析复杂结构的位移响应，适用范围广泛。
二、结构的原始刚度方程在矩阵位移法中，结构的原始刚度方程是描述结构在受到外部荷载作用下的位移响应的重要方程。
它通常表示为Ku=f，其中K是结构的刚度矩阵，u是结构的位移向量，f是结构受到的外部荷载。
结构的刚度矩阵K可以根据结构的几何形状、材料性质和边界条件进行求解。
它包含了结构的刚度信息，可以反映出结构在受到荷载作用时的变形特性。
结构的位移向量u是结构的位移表示，它包含了结构在各个节点的位移信息。
结构受到的外部荷载f可以根据结构所受到的力的大小和作用位置进行求解。
三、矩阵位移法的求解步骤在使用矩阵位移法求解结构的位移响应时，一般可以按照以下步骤进行：1.建立结构的刚度矩阵和荷载矩阵需要根据结构的几何形状、材料性质和边界条件建立结构的刚度矩阵K和荷载矩阵f。
在建立刚度矩阵和荷载矩阵时，需要考虑结构的整体刚度特性和外部荷载的作用情况，确保建立的矩阵能够准确地描述结构的位移响应。
2.确定结构的边界条件和荷载接下来，需要确定结构的边界条件和受到的外部荷载。
结构的边界条件包括固定节点的位移约束和受固定支撑等信息，外部荷载包括施加在结构上的力和力矩等。
3.求解结构的位移响应利用已建立的刚度矩阵和荷载矩阵，结合结构的边界条件和受到的外部荷载，可以通过矩阵运算的方法求解结构的位移响应。
具体的求解方法包括直接求解、迭代法和分解法等，根据实际情况选择合适的方法进行求解。
4.分析结构的位移响应根据求解得到的结构位移向量u，可以分析结构在受到外部荷载作用时的位移响应情况。
结构力学二7-矩阵位移法
e e
e
1
4ie
1
e
1e 2ie 2e 4ie
F k
2ie
---单元刚度方程 其中
k e称作单元刚度矩阵(简称作单刚)
1
ie
e 1
e
F2e
单元刚度矩阵中元素的物理意义
e e 4ie 2ie k k e 11 12 k e e 2 i 4 i k k e 21 22 e
F 4i 2ie
e 1 e e 1
e 2
ie
e 1
e
F2e
F
e 1
e 2
2
e F2e 2ie1e 4ie 2
1e
F
e
2e
F2e
e 1
F1 4ie 2ie 1 2 i 4 i F e 2 2 e
1
1/2
2
M-图(kN· m)
(2)乘大数法 若 i 0 ,则将总刚主对角 元素 kii 乘以大数N.
6kN.m
3kN.m
i1 1 i2 2
2 3
P3
1
4 2 0 1 6 2 12 4 3 2 P 0 4 8 3 3
4 2 0 1 / 2 1 0 F 2 4 1 / 4 1 2 1 / 4 0 8 4 1 / 4 2 3 2 F 4 8 0 1 1 1
q
练习: 求图示结构的等效结点荷载. q
1 2 3 4
1
2
结构力学十三讲矩阵位移法
-6EI l2
4EI l
4
§13-3 单元刚度矩阵(整体座标系)
一、单元座标转换矩阵 Y1
X1
X1
Y1
MM21
e
x
M2 X2
正交矩阵 [T]-1 =[T]T
e e
e T T e
v1
y e
X 2
Y2
Fⓔ T T F ⓔ
ee
F T F ee
座标转换矩阵
5
二、整体座标系中旳单元刚度矩阵
[k] e = [T]T k e [T]
(4)
(6)
00
(5)
y
单元 局部码总码
单元 局部码总码
（1） 1 （2） 2 （3） 3 （4） 0 （5） 0 （6） 4
1
2
3 0
0
4
（1） 1
1
（2） 2
2
（3） 3 （4） 0
3 0
（5） 0
0
（6） 0
0
18
1 2
[k] 1 = 3
0 0 4
1 2
[k] 2= 3
0 0 0
123004 101 102 103 104 105 106 201 202 203 204 205 206 301 302 303 304 305 306 401 402 403 404 405 406 501 502 503 504 505 506 601 602 603 604 605 606 123000 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66
矩阵位移法
第9章矩阵位移法9.1 概述前面介绍的力法、位移法和渐近法都是传统的解算超静定结构的方法，它们是建立在手算基础上的。
随着基本未知量数目的增加，其计算工作极为冗繁和困难。
而计算机的问世及其广泛应用，为结构计算提供了有效工具。
矩阵位移法就是以计算机为运算工具的一种新的结构分析方法，它完全可以代替人来完成大型复杂结构的计算问题。
矩阵位移法是以位移法为理论基础，结构分析的全部过程中运用了线性代数中的矩阵理论。
引入矩阵运算的目的就是使计算过程程序化，便于把结构分析的过程用算法语言编成计算程序，实现计算机自动化处理。
目前，应用矩阵位移法编制的结构分析软件，已在结构设计中得到了广泛的应用。
矩阵位移法又称为杆件有限元法。
它的主要解题思路是：首先将结构离散成为有限个独立的单元，进行单元分析，建立单元杆端力与单元杆端位移之间的关系式——单元刚度方程；然后利用结构的变形连续条件和平衡条件将各单元组合成整体，建立结点力与结点位移之间的关系式——结构刚度方程，这一过程称为整体分析；最后求得结构的位移和内力。
矩阵位移法就是在一分一合，先拆后搭的过程中，把复杂结构计算问题转化为简单的单元分析和集合问题。
本章主要讨论杆系结构的单元刚度矩阵及其在单元局部坐标系与结构整体坐标系间的变换、结构刚度矩阵的形成、荷载及边界条件处理等内容。
9.2 单元分析9.2.1 结构离散化结构离散化是指把结构分离成有限个独立杆件(单元)，由单元的组合体代替原结构(图9.1)。
一般单元为等截面直杆，杆系结构中每根杆件可以作为一个或几个单元。
单元的联接点称为结点。
对于等截面直杆所组成的杆系结构，只要确定了一个结构的所有结点，则它的各个单元也就随之确定了。
根据杆件联接的方式，可以将构造结点，如转折点、汇交点、支承点和截面的突变点取为结点。
在有些情况下，非构造点，如集中力作用点，也可作为结点处理。
离散化的结构用数字进行描述，即对各结点和单元进行编号。
通常用①,②,…表示单元编号，用1,2,…表示结点编号。
《结构力学》第十章矩阵位移法
《结构力学》第十章矩阵位移法矩阵位移法是结构力学中的一种重要分析方法，通过将结构的受力分析转化为矩阵运算，可以有效地求解复杂结构的位移和应力分布。
本文将分为四个部分来介绍矩阵位移法的基本原理和应用。
第一部分将介绍矩阵位移法的基本原理。
矩阵位移法基于结构的受力平衡方程和变形条件，建立了适用于不同类型结构的一般形式的位移函数。
通过对这些位移函数进行适当组合，可以得到一个较为简化的位移矩阵方程。
这个方程可以通过矩阵运算求解，从而得到结构的位移和应力分布。
第二部分将介绍矩阵位移法的应用。
矩阵位移法可以用于求解各种类型的结构，包括梁、柱、框架等。
具体应用时，首先需要确定结构的边界条件和受力情况，然后根据结构的几何形状和材料性质，建立相应的位移函数。
之后，将位移函数按照一定的规则组合起来，建立一个位移矩阵方程。
通过解这个方程，可以得到结构的位移和应力分布。
第三部分将介绍矩阵位移法的优点。
相比于传统的力方法，矩阵位移法具有计算简单、准确性高、适用范围广等优点。
这是因为矩阵位移法可以通过矩阵运算将结构的受力分析转化为代数运算，减少了繁琐的计算过程，并且可以应用于各种不规则结构。
第四部分将介绍矩阵位移法的局限性。
矩阵位移法虽然具有很多优点，但也有一些限制。
首先，矩阵位移法对结构的刚度矩阵的求取较为复杂，需要通过精确和谐振数法等途径进行求解。
其次，矩阵位移法不能用于解决非线性和动力问题。
总结起来，矩阵位移法是一种重要的结构力学分析方法，通过将结构的受力分析转化为矩阵运算，可以有效地求解复杂结构的位移和应力分布。
它具有计算简单、准确性高、适用范围广等优点，但也有一些局限性。
因此，在实际应用中需要根据具体情况选择合适的方法。
同时，矩阵位移法的进一步研究和发展也是一个非常重要的方向。
矩阵位移法
13.1 概 述
1、定义： 矩阵位移法是以结构位移为基本未知量， 借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系 结构受力、变形等计算的方法。 2、理论基础：位移法 3、分析工具：矩阵 4、计算手段：计算机 5、解题方法： 1）、单元分析 2）、整体分析
一、矩阵位移法的基本思路
k T k T
e T e
的性质： 1）元素 k ij 表示在整体坐标系中第j个杆端位 移分量等于1时引起的第i个杆端力分量； e 2）、k 是对称矩阵； 3）、 e 一般单元的是奇异矩阵
k
e
k
例：试求图示所示刚架中各单元在整体坐标
系中的刚度矩阵，设各杆的杆长和截面尺寸 相同。 L=5m,b×h=0.5m×1.0m,A=0.5m2,I=1/24m4, E=3×107kPa,EA/L=300×104kN/m,EA/L= 25×104kN.m
4EI M 1 l 2EI M 2 l
2EI l 1 4EI 2 l
e
单元刚度矩阵
e
4EI l k 2EI l
2EI l 4EI l
13.3、单元分析（二）——整体坐标 系中的单元刚度矩阵
3、奇异性
k
e
0
三、特殊单元
1、忽略轴向变形的梁单元的刚度方程
u u
1
2
0
6EI l2 4EI l 6EI 2 l 2EI l 12EI l3 6EI 2 l 12EI l3 6EI 2 l 6EI l2 2EI v1 l 1 6EI v 2 2 l 2 4EI l
结构力学教学课件-09矩阵位移法
学习者可以通过实际的结构分析案例，将矩阵位移法应用于实际问题中，加深理解和掌 握。
THANKS
感谢观看
矢量与张量
在结构力学中，矢量与张量是描述结 构内力和位移的重要工具，矩阵位移 法中需要用到这些概念。
矩阵位移法的计算步骤
建立结构离散化模型
将结构划分为若干个离散的单元，每个单元 具有一定的自由度。
建立单元刚度方程
根据结构力学中的刚度原理，建立每个单元 的刚度方程。
集成整体刚度方程
将所有单元的刚度方程集成在一起，形成整 体刚度方程。
课程目标
掌握矩阵位移法的基本原理和步骤，理解如何应 用矩阵位移法解决实际工程问题。
学会使用相关软件进行结构分析，提高解决实际 问题的能力。
培养学生对结构力学学科的兴趣和热爱，为今后 从事土木工程领域的工作打下基础。
02
矩阵位移法基础
矩阵位移法概述
矩阵位移法是一种基于矩阵运算的数值分析方法，用 于解决结构力学中的位移问题。
结构力学教学课件-09矩阵位移法
目 录
• 引言 • 矩阵位移法基础 • 矩阵位移法的基本原理 • 矩阵位移法的应用实例 • 结论
01
引言
课程背景
01
结构力学是土木工程学科中的重 要基础课程，矩阵位移法是结构 力学中的一种重要分析方法，用 于解决结构的位移和内力问题。
02
随着计算机技术的发展，矩阵位 移法在结构分析中得到了广泛应 用，因此掌握矩阵位移法对于土 木工程师来说具有重要意义。
矩阵位移法的应用范围
矩阵位移法广泛应用于各种工程结构的分析，如桥梁、建筑、机械等 。
下一步学习建议
深入学习矩阵位移法的数学基础
为了更好地理解和应用矩阵位移法，建议学习者深入学习线性代数和数值分析等相关数 学基础。
《矩阵位移法》课件
实际工程案例分析
总结词
为了验证矩阵位移法的有效性，可以通过实际工程案例 进行分析。通过与实验结果的对比，可以评估方法的精 度和可靠性。
详细描述
选取具有代表性的实际工程案例，如高层建筑、大跨度 桥梁等，利用矩阵位移法进行计算，并将结果与实验数 据进行对比。通过对比分析，可以评估矩阵位移法的精 度和可靠性，为该方法在实际工程中的应用提供依据。 同时，也可以针对不同工程案例的特点，对矩阵位移法 进行优化和改进，提高其适用性和计算效率。
05
矩阵位移法的优缺点
优点
精确度高
矩阵位移法基于严格的数学推导，能 够精确地计算出结构的位移和内力， 尤其适用于复杂结构的分析。
适用性强
矩阵位移法可以处理多种类型的载荷 ，包括静载、动载以及温度载荷等， 适用范围广泛。
便于计算机化
矩阵位移法的计算过程可以通过计算 机程序实现，便于进行大规模的结构 分析。
多尺度方法
将矩阵位移法应用于多尺度问题 ，考虑不同尺度之间的相互作用 和影响，为复杂系统提供更准确 的模拟结果。
THANKS
感谢观看ts
目录
• 引言 • 矩阵位移法的基本概念 • 矩阵位移法的实施步骤 • 矩阵位移法的应用实例 • 矩阵位移法的优缺点 • 未来展望与研究方向
01
引言
什么是矩阵位移法
矩阵位移法是一种数值分析方法，用 于求解线性方程组和解决各种数值计 算问题。
它通过将原问题转化为矩阵形式，利 用矩阵运算来求解未知数，具有高效 、精确和灵活的特点。
并行计算
利用并行计算技术，将计算任务分解为多个子任务，同时运行在多 个处理器上，加快计算速度。
智能优化
结合人工智能和机器学习技术，自动调整算法参数，实现自适应优 化，提高算法的效率和稳定性。
矩阵位移法
TT T T T T I
Fx1 F y1 M1 单元坐标 转换矩阵 F x2 Fy 2 M 2
e
Hale Waihona Puke eF e TF e
T 1 T T
单元坐标转换矩阵T是一正交矩阵。
EI 25 104 kN m l
0 300 0
5m
0 为了简洁，下面将矩阵 中各元素的单位略去。 12 30 0 12 30 30 100 0 30 50 4 EA 10 0 0 l 0 0 300 0 0 12 30 0 12 30 12 EI 6 EI [k11 ] 0 3 2 30 50 0 30 100 l l 6 EI 4 EI 第一列元素变符号即第四列，第二列元素变符号即第五列 0 ①： 2 ②求整体坐标系中的单刚， k l l 第一行元素变符号即第四行，第二行元素变符号即第五行
3、有限单元法的三个基本环节： ①单元划分：一根等截面直杆作为一个单元，单元间由结点相联。 ②单元分析：建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵(物理关系)。 ③整体分析：由单元刚度矩阵形成整体刚度矩阵，建立结构的 位移法基本方程(几何关系、平衡条件)。
§9-2 单元刚度矩阵(element stiffnessmatrix)（局部坐标系）
T11 T12 T T T 21 22
因此，(a)式的逆转换式为： 同理
F e T TF e
e T e
(b)
e T T e
整体坐标系中的单元刚度矩阵
F e TF e
(a)
e T e
(b)
单元刚度矩阵的性质 设局部坐标系中、整体坐标系中的单元刚度方程分别为： ①单元刚度矩阵是杆端力用杆端位移来表达的联系矩阵。 e e e F k Δ (c) ②其中每个元素称为单元刚度系数，表示由于单位杆端位移引起的杆端力。 ③单元刚度矩阵是对称矩阵。 F e k eΔe (d ) ④第k列元素分别表示当第k个杆端位移=1时引起的六个杆端力分量。 e e e e ⑤一般单元刚度矩阵是奇异矩阵。不存在逆矩阵。因此， 将式(a)、(b)代入式(c) k eT IF T T TTF ke T T 可由单元刚度方程，由杆端位移唯一确定杆端力；但由杆端力反推杆端位移时， 可能无解、可能解不唯一。 k e T T k eT
矩阵位移法
D1 = D2 = 0
； D5 = D6 = 0
则有修正后的总刚度矩阵：
-100 2 [K ] = 100 600
[k11 ] [k12 ] {F1} = {F2 } [k 21 ] [k 22 ]
{D1} {D 2 }
@
单元刚度矩阵的性质：①对称性；②奇异性； ③主对角元恒为正值
3、整体刚度矩阵
K ij ：单元仅发生第j个杆端单位位移时，在第
Y2 = QBA
写成矩阵表达式为：
4 EI 2 EI 6 EI q + q + -v ) ( v l 1 l 2 l2 1 2 2 EI 4 EI 6 EI q + q + -v ) ( M2 = v l 1 l 2 l2 1 2 6 EI 12 EI (v1 - v2 ) Y1 = (q1 +q 2 ) + l2 l2 6 EI 12 EI = q + q (v1 - v2 ) Y2 ( 1 2) l2 l2 M1 =
2
3
1 2
Hale Waihona Puke 3-1 50 1 50 50 300 -50 150 -1 -50 2 -100 -1 -50 = 50 150 -100 600 50 150 -1 50 1 50 -50 150 50 300
计入边界条件：因边界结点1和3 为固定端，故有：
0 12EI l3 6 EI - 2 l 0 12EI l3 6 EI - 2 l
@
0 6 EI l2 2 EI l 0 6 EI - 2 l 4 EI l
EA l 0 0
矩阵位移法
⎤ ⎧δ1② ⎫ k ⎥⎨ ②⎬ k ⎦ ⎩δ 2 ⎭
② 12 ② 22
② ⎡ k11 =⎢ ② ⎣ k21 ② k12 ⎤ ②⎥ k22 ⎦
k①
① ⎡ k22 =⎢ ① ⎣ k32
① k23 ⎤ ①⎥ k33 ⎦
k②
23 / 42
第十章 矩阵位移法
② ② F1 = k11 Δ1 + k12 Δ 2 ② ① ② ① F2 = k21 Δ1 + (k22 + k22 )Δ 2 + k23 Δ 3 ① ① F3 = k32 Δ 2 + k33 Δ 3
e Nj
F = − F sinα + F cosα
e xi e yi
M ie
e
i
Me j
M ie = M ie
F
e xi
e FNi M ie e FSi
y x
e ⎧ FNi ⎫ ⎡ cosα ⎪ e⎪ ⎢ e Fi = ⎨ FSi ⎬ = ⎢ −sinα ⎪M e ⎪ ⎢ 0 ⎩ i⎭ ⎣
sinα cosα 0
10 / 42
第十章 矩阵位移法
廏鞾條栒厱冟剶异昕穧 局部坐标系下平面杆单元分析
y
i
EA
e
j
x
u je
单元方向： i → j
⎧uie ⎫ ⎪ ⎪ δ e = ⎨ e⎬ 杆端位移： ⎪u j ⎪ ⎩ ⎭
uie
e FNi
i
EA
e
j Fe Nj
F
F
e Ni
EA EA e = ⋅ ui − ⋅ u je l l
矩阵位移法与矩阵力法之不同就在于选取 的基本未知量不同，因此计算次序不同
矩阵位移法
矩阵位移法
矩阵位移法是一种用于解决多项式方程组的数学方法。
它利用行和列变化将原系数矩阵转换成一个三角矩阵。
然后，从底端开始一行行解对角线的方程，最终求出未知数的值，解决多项式方程组。
矩阵位移法的基本步骤如下：
1.将系数矩阵进行行变换和列变换，转换成三角矩阵。
2.从最下面的方程开始，先求解最后一个未知数。
3.从次下面的方程开始，根据前面的结果一行行解出剩余未知数。
矩阵位移法比较容易理解和应用，可以有效地解决多项式方程组，但也存在一些缺点，比如容易出现几何错误，计算精度较低。
矩阵位移法
一、单元的划分 矩阵位移法解题，首先将结构划分为若干个单元。同一个结构 单元的划分可多可少，但每个单元必须是等截面直杆。 单元的两端为结点，单元与单元间以结点相连。单元划分后， 需将单元和结点排序编码。 【例11－1】将图示结构划分为单元。 q
P D A B E C
q
P D B E C
K 13 K 23 K 33 K 43 K 53 K 63
K 14 K 24 K 34 K 44 K 54 K 64
K 15 K 25 K 35 K 45 K 55 K 65
K 16 K 26 K 36 K 46 K 56 K 66
e
同理可求得余下各列元素，即
0 0 0 sin cos 0
简写为：
T
e
0 ix 0 iy 0 i 0 jx 0 jy 1 j
cos sin 0 T 0 0 0
e
u i vi i u j v j j
e
K
e
K 11 K 21 K 31 K 41 K 51 K 61
K 12 K 22 K 32 K 42 K 52 K 62
K 13 K 23 K 33 K 43 K 53 K 63
K
e
EA 0 l 12EI 0 l3 6 EI 0 l2 EA 0 l 12EI 0 3 l 6 EI 0 l2
0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI 2 l 2 EI l
EA l 0 0 EA l 0 0
矩阵位移法与位移法比较
矩阵位移法与位移法比较【矩阵位移法与位移法比较】1. 引言矩阵位移法（Matrix Displacement Method）和位移法（Displacement Method）是土木工程结构分析中常用的两种解析方法。
它们分别基于矩阵理论和位移假设，通过求解结构的变形与位移来推导结构的内力和应力分布。
本文将对矩阵位移法和位移法进行比较，探讨它们的特点、优势和适用范围。
2. 矩阵位移法2.1 原理矩阵位移法将结构的刚度矩阵和载荷向量通过矩阵运算转化为结构的位移向量，进而得到结构的内力分布。
它基于结构的刚度矩阵与位移向量之间的线性关系，通过解线性方程组求解结构的位移，从而得到结构的应力和变形。
矩阵位移法适用于线性弹性结构的分析，可以较准确地预测结构的响应。
2.2 特点和优势矩阵位移法具有以下特点和优势：(1) 精确性：由于基于结构的刚度矩阵，矩阵位移法可以得到较准确的结构响应。
(2) 适用性：适用于各种类型的结构，包括梁、柱、桁架、刚架等。
(3) 可扩展性：可以应用于大规模结构的分析，可以处理复杂的力学问题。
(4) 适应性：适用于非线性结构的分析，可以考虑材料和几何非线性。
3. 位移法3.1 原理位移法假设结构的变形与位移之间存在一定的函数关系，通过引入未知位移函数，将结构的位移表示为未知位移函数的线性组合，从而得到结构的内力和应力。
位移法适用于解析解，对于简单结构可以直接求解位移函数，对于复杂结构可以通过逐步逼近的方法求解。
3.2 特点和优势位移法具有以下特点和优势：(1) 直观性：位移法通过引入未知位移函数，将结构的变形与位移联系起来，更加直观易懂。
(2) 灵活性：位移法适用于各种类型的结构，可以根据实际情况选择不同形式的位移函数。
(3) 效率性：对于简单结构，位移法可以得到解析解，计算效率高。
(4) 便捷性：位移法对结构的边界条件要求较低，适用于不规则结构。
4. 比较与总结4.1 精确度比较矩阵位移法和位移法在求解结构响应时都引入一定的近似，但矩阵位移法的精确性更高，特别适用于较复杂的结构分析。
结构力学课件 第十章 矩阵位移法
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• 第二节 单元刚度矩阵
• 17.2.1 结构离散化
• 将杆系结构分离有限个单元杆— 离散化。
• 原则：以杆元汇交点、荷载作用点、载面突变点为结点，尽量 使相关结点，编码和差值最小。矩阵位移法讨论结点荷载问题， 非结点荷载需另外处理。
•
图7-6
• 17.2.2 单元杆端力和杆端位移表示方法
F
e
K
e
e
•
将（17—21）及（17—25）
T Fe
K
e
T
e
• 式代入上式得： •
F e
T
T
K
e
T
e
• 另 [T]T[K]e[I]=[K]e 则 • 用结分点块式表示为：
{F}e=[K]e{}e
FFijee
Kiei
K
e ji
Kiej
K
e jj
eeij
• 注：1） Fe ,为e 结构坐标的杆端力和杆端位移。
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• 写成矩阵形式为：
K11 K12
K21
K22
K31 K32
K13 K23
12
M M
1 2
K33 3 M 3
• 简式为： K M
• 式中： [K]为结构总刚度矩阵
•
{Q}为结点转角列阵
•
{M}为结点力矩列阵
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• 17.1.4 形成单元刚度矩阵
Y
e j
0
0 0
0 0
sin
0
cos
0
0 1
MY jeej
M
e j
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第四章 矩阵位移法
Ij,M j'i6 lE ij3 ij
Ii2 lE ij3 ij
Ii6 lE ij3 ij
Ij4 lE ij3 ij
I
j
4-2 矩阵位移法
规定
弯曲杆元e的节点位移列矩 阵
弯曲杆元e的杆端力向量
i
(e)
i j
zi
j
Txi cos N N Txyyjjico00s
sin sin
0 0
0 0
cos cos
ssi00ninN N TTxxyyijij
则xoy平面内平面刚架杆元的杆端力向量的坐标转换关系为：
Txi cos sin 0
012 1
x2y2w2
345 2
x3 y3w3
3 000
5
y 000
x5y5w5
4-4 编号约定与杆元定位向量
2、杆元定位向量
杆系结构节点的个个未知位移分量，按其编号的大小，依次排列起来成为一个向 量，这个向量称为结构节点未知位移向量。
w w y 11 x 2y 22x 4y 4
4-1 位移法
2.位移法中的符号规定与弯曲杆元刚度方程
位移法的符号规定： ① 杆端剪力与y轴正向一致为正； ② 杆挠度与y轴正向一致为正； ③ 杆端弯矩不论左右端一律规定顺时针为正。
由弯曲要素表可得固端弯矩与固端剪力为： M 21112 q1l2 2,N211 2q1l2
如何求弯曲杆元因杆端发生线位移和角位移而引起的杆端弯矩、剪力？
Ii1liE j2 3ij Ij6 lE ij3 ij
Ij,M j'i6 lE ij3 ij
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6.1 概 述
矩阵位移法是以结构位移为基本未知量， 借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系 结构受力、变形等计算的方法。
理论基础：位移法 分析工具：矩阵 计算手段：计算机
基本思想:
56
•化整为零 ------ 结构离散化
将结构拆成杆件,杆件称作单元.
2 3
3
单元的连接点称作结点.
P1 k111 k12 2 k133
k11
=1
P2 k211 k22 2 k233
1
P3 k311 k32 2 k33 3
k111
P1 P2
k11 k21
k12 k22
k13 k23
12
k12
p3 k31 k32 k33 3
k112
简记为 P k---结构刚度方程
k31 0 k32 k221 k33 k222
1
k 2 kk122211
2
k122 k222
12 23
四.计算杆端力
P k 计算结点位移 Fe ke e 计算杆端力
1 P1 1
1 i1 i
P2
2
2
P3
3
2 i2 i
3
四.计算杆端力
6kN.m 3kN.m 3kN.m
P k 计算结点位移 Fe ke e 计算杆端力
移为零位移时在 i结点所需 加的结点力.
k 1 kk121111
k112 k212
11 22
1
2
3
结构刚度矩阵性质:对称矩阵
简记为 P k---结构刚度方程 k --结构刚度矩阵
0
23
k112 0 1
k212
k121
k122
2
k
2 21
k222 3
k11 k111 k21 k211 k12 k112 k22 k212 k121 k13 0 k23 k122
k12
k
1 21
=1
k22
k32
结构刚度矩阵性质:对称矩阵
2
1
简记为
P
k
k112 ---结构刚度方程
k212
k221
k --结构刚度矩阵(总刚)
k11 k111 k21 k211 k12 k112 k22 k212 k121 k13 0 k23 k122
k31 0 k32 k221 k33 k222
F1e
4ie
e 1
2ie
e 2
F2e
2ie
e 1
4ie
e 2
FF12
e
4ie 2ie
2ie 4ie
12
e
简记为 Fe ke e ---单元刚度方程
其中 k e 称作单元刚度矩阵(简称作单刚)
三.整体分析
整体分析的目的:
1 P1 1
1 i1 i
P2
2
2
P3
3
2 i2 i
3
建立结点力与结点位移的关系.
例: 计算图示梁,作弯矩图
解: 1.离散化 2.计算总刚,总荷
12
23
12
12
k
1
4 2
2 1 1 4 2 2
k 2
8 4
4 1 2 8 2 3
i1 1
i2 2
1
2
3
1
2
(1)
(2)
(3)
4.求杆端力
F1
4 2
217 /12 6
4
1/ 6
7
/
2
4 2 0
k 2 12 4
0 4 8
6
P
3
单元刚度矩阵中元素的物理意义
k e kk12ee11
k1e2 k2e2
4ie 2ie
2ie
4ie
1
ie
e 1
e F1e
F2e
e 2
2
e 1
e 2
F1e
F2e
1
kiej
---发生
e j
1,
e i
0 位移时在
i端所需加的杆端力.
4ie
2ie
e 1
1
单元刚度矩阵性质:对称矩阵
2ie
e 2
4ie
1
1
对单元和结点编码. 基本未知量:结点位移
•单元分析
单元杆端力 单元杆端位移
e
•集零为整 ------ 整体分析
结点外力 单元杆端力
结点外力 单元杆端位移
(杆端位移=结点位移)
结点外力 结点位移
6
5
4
4
2
6.2 矩阵位移法解连续梁
一.离散化
结点位移顺时针为正, 结点力顺时针为正. 1 2 ----单元编码 1,2,3 ----结点编码 (1),(2),(3) ----结点位移编码
----整体编码
P1
i1 i l1 l
1
1
(1)
P2
P3
i2 i l2 l
2
3
2
(2)
(3)
二.单元分析
P1
P2
P3
1,2----局部编码
i1 i
i2 i
Fe
F1e F2e
----单元杆端力
l1 l
l2 l
1
2
3
e
1e
e 2
----单元杆端位移
(1)
单元杆端力和单元杆端位移 顺时针为正.
k112
1
k212
单元刚度矩阵中元素的物理意义
k11 k12 k13
k k21
k22
k23
k31 k32 k33
1 P1 1
1 i1 i
k11
=1
P2
2
2
P3
3
2 i2 i
3
k21 k31
1
kij ---发生 j 1, 其它结点位
移为零位移时在 i结点所需
k111
1
加的结点力.
k13 k121 k112
k23 k33
=1
3
1
k
1 22
单元刚度矩阵中元素的物理意义 k11 k12 k13
1 P1 1
1 i1 i
P2
2
2
P3
3
2 i2 i
3
k k21
k22
k23
总刚的形成方法 ---“对号入座”
k31 k32 k33
12
12
kij ---发生 j 1, 其它结点位
3
F2
8 4
4 1/ 6 811/ 24
1/ 2
3
7/2
3.解方程,求位移 17 /12
P k
1/ 6
11/ 24
6
1/2 M3
6.2 矩阵位移法解连续梁
k21 k31
k 211 =1 k22
1
k
1 22
1
k32
2
k
2 21
k --结构刚度矩阵(总刚)
k11 k111 k21 k211
k31 0
k13 k121
k23 k33
=1
3
k12 k112 k22 k212 k121 k32 k221
k13 0 k23 k122
k33 k222
1
2
1
e 1
(2)
e F2e
F1e ie
e 2
(3) 2
单元分析的目的:
建立单元杆端力和单元杆端位移的关系.
二.单元分析
1,2----局部编码
1
ie
e 1
e F1e
F2e
e 2
2
Fe
F1e F2e
----单元杆端力
e 1
F1e
e 2
F2e
e
1e
e 2
----单元杆端位移
1
4ie
2ie
e 1
单元分析的目的: 建立单元杆端力和单元杆端位移的关系. 2ie
F1e
4ie
e 1
2ie
e 2
F2e
2ie
e 1
4ie
e 2
FF12
e
4ie 2ie
2ie 4ie
12
e
1
e 2
4ie
简记为 Fe ke e ---单元刚度方程
其中 k e 称作单元刚度矩阵(简称作单刚)
二.单元分析