六年级下册数学讲义-小升初培优：第02讲 三角形面积——等积变形(上)(解析版)全国通用

第02讲

三角形面积——等积变形（上）

教学目标：

1、让学员理解并掌握等积变形的思想方法；

2、把等积变形的知识点与生活实际问题结合起来；

3、让学员在操作、观察、填表、讨论、归纳等数学活动过程中，体会等积变形、转化等数学思想方法，发展空间观念，发展初步的推理能力。

教学重点：

掌握等积变形的思想方法。

教学难点：

等积变形在实际问题中的应用。

教学过程：

【环节一：预习讨论，案例分析】

【知识回顾——温故知新】（参考时间-2分钟）

1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，可以用符号“□”表示。

从□ABCD的一边AD上一点向对边BC画垂线，这点和垂足之间的线段叫做平

行四边形BC边上的高，边BC叫做平行四边形的底；

2.平行四边形的对边相等、对角相等；平行四边形四条边确定了，它的形状、大

小还不能完全确定；

3.如果用字母S表示平行四边形的面积，用a和h分别表示平行四边形的底和高，

那么平行四边形的面积公式为：S=ah。（其中h是底a上的高）。

【知识回顾——上期巩固】（参考时间-3分钟）

如图，在一个平行四边形中，两对平行于边的直线将这个平行四边分为9个小平行四边形，如果原来这个平行四边形的面积为99cm2，而中间那个小平行四边形（阴影部分）的面积为19 cm2，求四边形ABCD的面积。

解析部分：把四边形ABCD的面积分为阴影部分和周围空白的4个三角形来看。仔细

观察，可以发现：周围空白的4个三角形分别占所在平行四边形（由2个小平行四边形

组成）的一半，则4个三角形的面积等于周围8个小平行四边形面积的一半。

给予新学员的建议：对于图形进行纸上的多多操作并有所思考，画图尽可能的精确。

哈佛案例教学法：鼓励学员积极参与小组内的讨论，并积极发言进行回答，带动起课堂氛围。

参考答案：

S=（99-19）÷2+19=59（cm2）

【预习题分析——本期预习】（参考时间-7分钟）

如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与△ABE等积的三角形一共有哪几个三角形？

解析部分：求三角形的面积一般需要知道三角形的底和高，而本题这些条件都未知。但是由于E是AD中点，所以△ABE与△BED面积相等。又由于D是BC中点，所以△ABD与△ACD面积相等。

给予新学员的建议：注意此题中的中点的内涵以及所带来的图形性质的特征变化。

哈佛案例教学法：引导学员多多在纸上进行图形的绘画，鼓励小组内的讨论和学习。

参考答案：S△ABE=S△BED= S△ACE= S△CDE

【环节二：知识拓展、能力提升】

【知识点分析——本期知识点】（参考时间-2分钟）

等积变形一般指三角形的等积变形，就是使三角形面积相等的变化，经常用到的结论有：

1.等底等高的两个三角形面积相等；

2.两个三角形的底在同一条直线上而且相等，底所对的角顶点是同一个，则面积

相等；

3.如果两个三角形的底（高）相等，一个三角形的高（底）是另一个三角形的几

倍，则这个三角形面积也是另一个三角形面积的几倍；

4.几个三角形的底相等，都在两条平行线的同一直线上，且同样长度底边所对的

顶点在两条平行线的另一条上，则这几个三角形的面积相等。

【例题分析——讲解室】（参考时间-10分钟）

如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线长。

（1）求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？

（2）求三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？

➢△ABD与△ADC的底和高有什么关系？

➢△ABC与△ADC的底和高有什么关系？

解析部分：BD的长度是CD的3倍，而对于△ABD与△ADC高相等，所以△ABD的面积是△ADC的3倍。同理BC的长度是CD的4倍，所以△ABC的面积是△ADC的4倍。

给予新学员的建议：可以通过把此题中的图形特殊化一下进行计算，然后找到问题的规律。哈佛案例教学法：引导学员在课堂上积极主动的把自己的想法表达出来，带动起课堂氛围。

参考答案：

BD是CD的3倍。所以S△ABD=3S△ADC

BC是CD的4倍。所以S△ABC=4S△ADC

【环节三：阶段复习】

【游戏环节——游乐场】（参考时间-2分钟）

游戏名称：神算子

游戏规则：

请在四个“6”之间添上数学符号（包含括号），使其结果分别等于1、2、3、4、5、6。

6 6 6 6 6 6＝1

6 6 6 6 6 6＝2

6 6 6 6 6 6＝3

6 6 6 6 6 6＝4

6 6 6 6 6 6＝5

6 6 6 6 6 6＝6

参考答案：

6÷6+6-6=1，6×6÷6÷6=1，66÷66=1；

6÷6+6÷6=2；(6+6+6)÷6=3；6-(6+6)÷6=4；(6×6-6)÷6=5，66÷6-6=5；(6-6)×6+6=6。

【练习分析——练习场（一）】（参考时间-7分钟）

将下图的三角形分成：（1）2个面积相等的三角形；（2）3个面积相等的三角形：（3）4个面积相等的三角形。

A

C

解析部分：根据等积变形，三角形高确定的情况下，只需把底边相应变化符合题目要求

即可。

给予新学员的建议：学员需要有在纸上进行大量图形绘画的尝试精神，逐渐列举出所有情况。哈佛案例教学法：引导学员对于图形进行观察，并对学员们进行即时性的提问，鼓励积极的课堂发言。

参考答案：

（1）如下图，D、E、F分别是对应边上的中点，这样就将三角形分成了2个面积相等的三角形

（2）如下图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点；答案不唯一

（3）如下图，答案不唯一，以下仅供参考

【练习分析——练习场（二）】（参考时间-7分钟）

在三角形ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB、AC的中点，三角形EBF 的面积是多少平方厘米？

F

E

D C

A

➢如果把高确定了，那么底边要满足什么条件？

➢解决方法唯一吗？