金融工程二叉树模型概念
金融工程学(期货)第八单元：二叉树模型
股票价格=$22 期权价格=$1 股票价格 =$20 现时刻 T时刻 股票价格=$18 期权价格=$0
无风险利率为12%(年率)，期权期限是三个月
一个无风险证券组合为 多头:0.25股股票 空头:一个期权 如果股票价格上升到$22，或股票价格下降到 $18，该组合的价值都为$4.5 无套利机会存在，则无风险证券组合的收益率 也是无风险利率。 该组合的现值为:4.5e-0.12*0.25=4.367 即:20*0.25-f=4.367，f是期权的价格 f=0.633
复制组合（Synthetic Portfolio）： 持有N股股票的多头，并出售一个看涨期权， 在一个时期后，将得到确定的收益。也可以通 过投资于无风险债券而获得确定的收益。 N股股票的多头+1个看涨期权的空头=无风险借款 稍加变形我们得到：股票+债券可以复制期权Βιβλιοθήκη ② 一般结论 S 现时刻 f
Su fu
f=e-2rΔt[p2fuu+2p(1-p)fud+(1-p)2fdd] 结论:衍生工具的价格等于它在风险中性世界的 预期收益按无风险利率贴现值.
多步二叉树
• 股票价格树图
SU3 SU2 SU2 SU SU S SD S
SU5
SU4
SU3
SU
S
SD SD2 SD3
SD2
SD
SD2
SD4 SD5
• • •
节点B,提前执行期权的损益为-$8,按公式计算 值为$1.4147.选择$1.4147. 节点C,提前执行期权的损益为$12.0,按公式计 算值为$9.4636.选择$12.0. 节点A,提前执行期权的损益为$2.0,按公式计算 值为$5.0894.选择$5.0894. 72
期权定价的二叉树模型
03
二叉树模型在期权定价中 的应用
二叉树模型在欧式期权定价中的应用
欧式期权定义
二叉树模型原理
欧式期权是一种只能在到期日行权的期权。
二叉树模型是一种离散时间模型，通过构造 一个二叉树来模拟股票价格的演变过程。
模型参数
定价过程
包括无风险利率、股票波动率、期权行权价 等。
从到期日逆推至起始时间，考虑各种可能的 价格路径，计算期权的预期收益，并使用无 风险利率折现至起始时间。
与其他理论的结合
二叉树模型与其它金融理论的结合也是理论研究的一个重要方向，如将二叉 树模型与随机过程理论、博弈论等相结合，以提供更深入、更全面的分析框 架。
二叉树模型的应用研究进展
扩展到其他金融衍生品
二叉树模型在期权定价方面的应用已经非常成熟，研究者们正在将其应用于其他金融衍生品的定价，如期货、 掉期等。
案例一：某公司股票期权定价
背景介绍
某上市公司股票期权激励计划需要为期权定价，以确定向员工发 放的期权数量和行权价格。
模型应用
根据二叉树模型，预测股票价格的上涨和下跌幅度，并计算期权 的内在价值和时间价值。
结论分析
根据计算结果，确定期权的行权价格和数量，实现了员工激励与公 司发展的双赢。
案例二：某交易所债券期权定价
调整利率和波动率
根据市场数据和实际情况，调整利率和波动率的参数，可以提 高模型的拟合度。
模型的选择与比较
1 2
基于误差
比较不同模型的预测误差，选择误差最小的模 型。
基于风险
比较不同模型的风险指标，选择风险最小的模 型。
3
基于解释性
选择更具有解释性的模型，以便更好地理解市 场行为和风险。
05
二叉树定价模型公式
二叉树定价模型公式一、引言二叉树定价模型是金融衍生品定价中常用的一种模型，其基本原理是将金融衍生品的未来现金流量进行离散化，并通过构建二叉树来模拟其未来可能的价格变动，从而计算得到衍生品的定价。
二、二叉树定价模型的基本原理二叉树定价模型是基于离散时间和离散价格的模型，它假设在每个时间点上，价格只有两种可能的变动方向，即上涨或下跌。
根据这种假设，可以构建一棵二叉树，其中每个节点表示一个时间点，每个节点的两个子节点分别表示价格上涨和下跌的情况。
通过计算每个节点的期望价格，可以得到衍生品的定价。
三、二叉树的构建需要确定二叉树的层数，即模拟的时间段。
然后，在每个时间点上，需要确定上涨和下跌的幅度以及对应的概率。
一般情况下，可以根据历史数据或市场预期来确定这些参数。
根据上涨和下跌的幅度和概率，可以计算出每个节点的期望价格。
四、期权定价对于期权的定价，可以使用二叉树模型来计算。
期权是一种金融衍生品，它给予持有人在未来某个时间点上以指定价格购买或出售某个标的资产的权利。
根据期权的特性，可以将其分为两类：看涨期权和看跌期权。
1. 看涨期权定价对于看涨期权，持有人有权以事先约定的价格在未来购买标的资产。
在二叉树模型中，可以计算每个节点上看涨期权的价值。
对于每个节点，计算看涨期权的价值等于期权在上涨和下跌两种情况下的价值的加权平均值。
最后，通过逐层回溯计算，可以得到期权的定价。
2. 看跌期权定价对于看跌期权，持有人有权以事先约定的价格在未来出售标的资产。
在二叉树模型中，可以计算每个节点上看跌期权的价值。
同样地，计算看跌期权的价值等于期权在上涨和下跌两种情况下的价值的加权平均值。
最后，通过逐层回溯计算，可以得到期权的定价。
五、优缺点分析二叉树定价模型的优点在于它相对简单，易于理解和计算。
它可以在离散的时间点上模拟未来价格变动，并且可以灵活地调整模型参数来适应不同的市场情况。
此外，二叉树定价模型还可以应用于不同类型的金融衍生品的定价，包括期权、期货、利率互换等。
期权定价的二叉树模型介绍
计算期权的价值
计算期权的现值
根据预期收益和折现率，我们可以计算出期权的现值。 看涨期权的现值是每个节点的股票价格与执行价格的差 值与风险中性概率的乘积之和；看跌期权的现值是每个 节点的执行价格与股票价格的差值与风险中性概率的乘 积之和。
校准二叉树模型参数
为了使模型的预测结果与实际期权价格一致，我们需要 校准模型参数。通常，我们使用历史数据来估计参数， 例如股票价格的波动率和无风险利率。
建立二叉树
以时间步长为单位，从最后一个时间步长开始，依 次向前建立二叉树，每个节点代表一个时间步长。
确定初始股票价格
确定股票的当前价格
通常以市场价格为基础确定初始股票价格 。
考虑股息
如果股票在期权有效期内发放股息，需要 在每个时间步长上调整股票价格。
确定无风险利率与时间步长
要点一
确定无风险利率
无风险利率是投资者在相同风险水平下可以获得的最低 回报率。
05
二叉树模型的结果分析
模拟结果展示
假设一个股票价格变动模型，通过二叉树模型模拟股 票价格的涨跌情况，并计算期权的价值。
根据不同的利率和波动率等参数设置，模拟不同的股 票价格路径，从而得到期权价格的模拟结果。
结果分析与比较
将模拟结果与实际期权价格进行比较，分析二叉树模型 定价的准确性。
对比不同参数设置下的模拟结果，分析利率和波动率等 因素对期权价格的影响。
期权定价的二叉树模型介绍
2023-11-06
目 录
• 引言 • 二叉树模型基本原理 • 构建二叉树模型 • 计算期权价值 • 二叉树模型的结果分析 • 二叉树模型在金融实践中的应用 • 结论与展望
01
引言
研究背景与意义
第三节-二叉树模型课件
表示了看涨期权获得完全保值时，所需要的 股票的数量。
思考：当二叉树步数增加时，delta是否会变化？
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28
二、两期二叉树模型与delta动态保值
考虑两期二叉树
22
B
24.2 D 3.2
20 1.2823
A
B点处的delta值：
2.0257
19.8
E
0.0
18
C
0.0
16.2
D 3.20 0.73 24.219.8
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12
一、单期二叉树
无套利定价法的思路 • 首先，构造一个由Δ股股票多头和一个期权空头组
成的证券组合，使得该组合为无风险组合，即：
Su D – ƒu
Sd D – ƒd
D su fuD sd fd
由此计算出该组合为无风险时的Δ值。
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13
一、单期二叉树
• 如果无风险利率用r表示，则该无风险组合的现值 一定是（SuΔ-fu）e-rT,而构造该组合的成本是SΔf，在没有套利机会的条件下，两者必须相等。即 SΔ-f=（SuΔ-fu）e-rT ，所以
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11
一、单期二叉树
一般的例子
• 假设一个无红利支付的股票，当前时刻t股票价 格为S，基于该股票的某个期权的价值是f，期权 的有效期是T，在这个有效期内，股票价格或者 上升到Su，或者下降到Sd（d<exp(rT)<u）。当 股票价格上升到Su时，我们假设期权的收益为fu， 如果股票的价格下降到Sd时，期权的收益为fd。
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4
一、单期二叉树
例：假设一种不支付红利股票目前的市价为20元， 我们知道在3个月后，该股票价格要么是22元，要 么是18元。假设现在的无风险年利率等于10%（连 续复利），现在我们要找出一份3个月期协议价格 为21元的该股票欧式看涨期权的价值。
金融工程学CH06-期权定价的离散模型——二叉树模型(上财)
Su
S0
VTu
V0
Sd
VTd
书上例子回顾
Su = 22 ƒu = 1 S ƒ Sd = 18 ƒd = 0
p是风险中性概率 20e0.12 ´0.25 = 22p + 18(1 – p ); p = 0.6523
或者我们可以用以下公式求出：
期权V的空头和D份基础资产S组成组合P
DSTu – Vu
P DS -V
DSTd – Vd
假设存在D使得P是无风险的，即使得PT= DST –VT无风险，即P的收益等于 无风险的债券的收益
PT P0
BT B0
PT
P0 DST
- VT
P0
求解D和V0
形成方程组 解得：
DS0u -VTu DS0 -V0
举一个例子，某人投一次硬币。那么样本空间就是正 面和反面。此外如果该硬币是工整的，那么这个试验， 也就是投一次硬币的概率测度就可以确定了。它是： Prob({正面})=Prob({正面})=0.5 Prob(空集)=0 Prob({正面,反面})=1
概率测度Q
定义新的概率测度Q
qu =ProbQ{ST
DS0d
- VTd
DS0
-V0
D VTu - VTd
S0 u - d
V0
-
1
PT
DS0
1
u
-d -d
VTu
u u
-
d
VTd
d u
股票预期收益的无关性
当根据股票价格为期权估值时，我们不需要考 虑股票的预期收益
风险中性定价
VT =e-rT [ p VTu + (1 – p )VTd ] 变量 p 和(1 – p )可以解释为风险中性的上涨和下跌概率
金融工程(第五版)期权损益及二叉树模型
3. 设利率也是取二值的过程
4.设债券面值为D，半年的票息为Ci，i=1,…,2n，若把此债券看成面值 与票息分离的债券，则债券的现金流相当于2n份面值为Ci和一份面值 为D的零息债券。
债券价格树的构造 (一) 风险中性方法
1. 一年期债券的价格树 2. 一年半期债券的价格树
设股票在0时刻的价格为S(0)=S0， 在t=1 时刻价格为S(1)是随机变量，它可能的取值为S11或S12 (S12 > S11 ) 在t=2时刻价格为S(2)，它可能取值为S21<S22 <S23 < S24 假设存在无风险投资，即可在银行存款，每期得到无风险回报为R（=1+r）， 同时假设在银行里存款和从银行贷款，所支付的利率一样。 为了排除套利 机会，下列条件必须满足：
1 r d
q= ud
p=q
所以通常也称p为风险中性概率
例如:设S=21，1+r=1.15，u=1.4，d=1.1，X=22 ，求C。
注1.由此可知套期保值证券组合所需要的投资
21-1 1.869596=19.13
在期末所得到的无风险收益为22。
S-mC=21-1 1.869565=19.13 uS-mCu=1.4 21-1 7.4=22
它是牛市价差买卖与熊市价差买卖的组合，即购入一份执行价格为 X1 和其一中份，执X2>行X价3 格> 为X1X，2的且看涨X3期权X，1 再2 X卖2出两份执行价格为X3的看涨期权。 4.底部马鞍式组合（ bottom straddle 或买马鞍式）： 购入一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格均为 X
Bd,t+1 +票息- mCd,t+1= B u,t+1 +票息- mCu,t+1
金融工程二叉树模型概念
金融工程二叉树模型概念一. 概述金融工程是将金融理论、数学和计算技术应用于金融市场、金融产品和金融机构的实践领域。
金融工程的一个重要模型是二叉树模型，它是一种对金融市场价格和风险进行建模和评估的数学工具。
本文将对金融工程二叉树模型的概念进行全面、详细、完整且深入地探讨。
二. 二叉树模型的原理二叉树模型是一种离散时间的、离散状态的模型，它将金融市场的演化过程划分为若干个时间步长，并假设每个时间步长内市场处于两种状态之一。
每个时间步长内，根据给定的概率，市场可能上涨或下跌。
根据这种二叉树结构，可以模拟金融产品的价格和风险变化。
1. 二叉树结构二叉树是一种树形结构，它由根节点、左子树和右子树构成。
在金融工程中，根节点表示当前时刻的市场价格，左子树和右子树分别表示市场可能上涨和下跌的价格。
每个节点都有一个概率与之关联，表示市场在下一个时间步长内上涨或下跌的概率。
2. 风险中性概率在二叉树模型中，风险中性概率是一个关键的概念。
它是指在不考虑利率的情况下，市场上涨和下跌的概率之比。
通过计算风险中性概率，可以确定期权等金融衍生品的价格。
3. 价格的演化在二叉树模型中，价格的演化是通过计算每个节点的价格得到的。
从根节点开始，根据给定的概率，计算出左子节点和右子节点的价格。
递归地进行这个过程，直到达到最后一层节点。
通过这种方式，可以得到整个期权或衍生品的价格变化路径。
三. 二叉树模型的应用二叉树模型在金融工程领域有着广泛的应用。
它可以用于定价期权、衍生品和其他金融产品，进行风险管理和投资决策。
1. 期权定价二叉树模型可以用于定价欧式期权和美式期权。
通过构建二叉树，计算每个节点的价格，可以得到期权的合理价格。
对于美式期权，可以在每个节点上比较立即行权和持有到下一个时间步长行权的收益，选择较高的收益。
2. 风险管理二叉树模型可以用于评估金融产品的风险。
通过计算每个节点的价格，可以得到金融产品价格的分布。
通过分析这个分布，可以评估产品在不同市场状态下的风险水平，为风险管理提供参考。
期权定价的二叉树模型
期权定价的二叉树模型期权定价是金融领域中的重要问题之一，而二叉树模型是一种经典的期权定价工具。
二叉树模型的主要思想是将期权到期日之间的时间划分为多个等长的时间段，并根据每个时间段内的股价变动情况来计算期权的价值。
下面将介绍二叉树模型的构建过程以及期权定价的基本原理。
首先，我们需要确定二叉树模型的参数。
主要包括股票价格的初始值、期权到期日、无风险利率、每个时间段的长度等。
其中，股票价格的初始值可以通过市场价格获取，期权到期日通常由合约确定，无风险利率可以参考国债收益率，而每个时间段的长度可以根据需要自行设置。
接下来，根据二叉树模型的思想，我们构建一个二叉树。
树的每个节点表示一个时间段，而每个节点下方的两个子节点分别表示股票价格在该时间段内上涨和下跌的情况。
具体构建二叉树的方式有很多种，常见的有Cox-Ross-Rubinstein模型和Jarrow-Rudd模型。
其中，Cox-Ross-Rubinstein模型是一种离散时间模型，每个时间段内股价上涨或下跌的幅度是固定的；而Jarrow-Rudd模型是一种连续时间模型，股价的变动是连续的。
在构建好二叉树之后，我们需要从期权到期日开始反向计算每个节点的期权价值。
通过回溯法，我们可以计算出每个节点的期权价值。
具体计算的方式是，对于期权到期日的节点，其价值等于股价与行权价格的差值（对于欧式期权而言）或者最大值（对于美式期权而言）。
而对于其他节点，其价值等于期权在上涨和下跌情况下的期望值，即其左右子节点的价值经过贴现后得到的值。
通过不断回溯，最终我们可以得到二叉树的根节点即为期权的实际价值。
需要注意的是，期权定价的准确性与二叉树模型的参数设定和树的构建方法有关。
参数的选择需基于市场数据和合理的假设，而构建二叉树的方法应能很好地反映实际股价的变动规律。
此外，二叉树模型也有一定的局限性，特别是在处理股价波动较为剧烈的情况下，可能无法准确地定价。
总之，二叉树模型是一种常用的期权定价工具，可以通过构建二叉树和回溯计算的方式来估计期权的价值。
金融工程概论课件 - 期权(二叉树)
z 期权合约及市场运作 z 期权交易策略 z 股票期权的性质 z 期权定价
¾ 二叉树 ¾ BS模型
z 股指期权、货币期权与期货期权 z 期权价格的敏感性及套期保值
期权定价——二叉树 (binomial tree)
z 二叉树用来表示在期权期限内可能会出现的股票 价格变动的路径。
Su
fu
S
f
Sd
40
9.4636
72
0
48
4
32
20
p = e0.05*1 − 0.8 = 0.6282 1.2 − 0.8
fu = e−0.05 (0.6282 * 0 + 0.3718 * 4) = 1.4147
fd = e−0.05 (0.6282 * 4 + 0.3718 * 20) = 9.4636
f = e−0.05 (0.6282*1.4147 + 0.3718*9.4636)
d = 1 = 0.7408 1.3499
p = e0.05 − 0.7408 = 0.5097 1.3499 − 0.7408
e0.05 = 1.0513
e0.3 = 1.3499
期权定价——二叉树 (binomial tree)
z 二叉树定价的一般方法
(ud (=u1)d = 1)
倒推定价法
j
9 支付红利率 9 支付红利额
期权定价——二叉树 (binomial tree)
z 对于不同标的资产
p= a−d u−d
a = e(r−q)Δt a = e(r−rf )Δt
a =1
支付连续股息收益率股票或股指 货币
期货
u = eσ Δt d = e−σ Δt
金融工程第11章二叉树模型介绍课件
风险中性定价
在3个月末，看涨期权价值为1美元的概率为0.6523,价值为零的概率 为0.3477。因此，看涨期权的期望值为：
0.6523×1+0.3477×0=0.6523美元 用无风险利率贴现后，该期权的今天价值为：
0.6523e -0. 12x0.25
即0.633美元。这个结果与前面所得结果相同，说明无套利理论和风 险中性定价方法的结论相同。
第11章二叉树模型
● 本章导读 -单步二叉树模型 -风险中性定价 -两步二叉树模型 -看跌期权定价 -美式期权定价 -奇异期权定价 -N 步二叉树模型 -考虑红利的影响 - Delta - 实际应用
1
11.1单步二叉树模型
我们从一个非常简单的例子开始。假设一种股票当前价格为20美元， 我们知道3个月后的价格将可能为22美元或18美元。假设股票不付红 利，我们打算对3个月后以21美元的执行价格买人股票的欧式看涨期权进 行定价。若到时股票价格为22美元，期权的价值将是1美元；若股票价格 为18美元，期权的价值将是0。
从(10.2)式可得：
f=e-0. 12x0.2[0.6523×1+0.3477×0]=0.633
这个结果与本节开始时所得结果相同。
15
11.2风险中性定价
就推导方程式(10.2)的过程而言，虽然我们不需要对股票价格上升和 下降的概率做任何假设，但将方程式(10.2)中的变量p 解释为股票价格上
升的概率是很自然的。于是变量1-p 就是股票价格下降的概率。表达 式：
该问题的关键是：我们并不是在完全的条件下为期权定价。我们只是 根据标的股票的价格估计期权的价值。未来上升和下降的概率已经包含在 股票的价格中。这说明：当根据股票价格为期权定价时，我们不需要股票价 格上升和下降的概率。
金融工程学金融衍生工具知识点总结
金融工程学金融衍生工具知识点总结金融衍生工具在现代金融市场中扮演着至关重要的角色，它们为投资者和金融机构提供了多样化的风险管理和投资策略选择。
金融工程学作为一门将金融理论、数学方法和计算机技术相结合的学科，对于深入理解和运用金融衍生工具具有重要的指导意义。
接下来，让我们一同深入探讨金融工程学中金融衍生工具的相关知识点。
一、金融衍生工具的定义与分类金融衍生工具是基于基础金融资产（如股票、债券、货币、商品等）的价值而衍生出来的金融合约。
其价值取决于基础资产的价格、利率、汇率等变量的变化。
常见的金融衍生工具主要包括以下几类：1、远期合约远期合约是指交易双方约定在未来某一特定日期，按照事先确定的价格买卖一定数量的某种资产的合约。
由于远期合约是在场外交易市场（OTC）进行的非标准化合约，因此其流动性相对较差，违约风险也较高。
2、期货合约期货合约与远期合约类似，也是在未来某一特定日期按照约定价格买卖一定数量资产的合约。
但期货合约是在交易所内进行交易的标准化合约，具有较高的流动性和较低的违约风险。
期货合约实行每日结算制度，通过保证金制度来控制风险。
3、期权合约期权合约赋予持有者在未来某一特定日期或之前，以约定价格买入或卖出一定数量资产的权利，但持有者并不负有必须买卖的义务。
期权合约分为看涨期权和看跌期权。
4、互换合约互换合约是指交易双方约定在未来一定期限内，按照约定的条件相互交换一系列现金流的合约。
常见的互换合约包括利率互换和货币互换。
二、金融衍生工具的特点1、杠杆性金融衍生工具通常只需要支付少量的保证金或权利金，就可以控制较大金额的基础资产。
这种杠杆效应在放大收益的同时，也放大了风险。
2、高风险性由于金融衍生工具的价值取决于基础资产价格的波动，其价格变化往往较为剧烈，加之杠杆效应的存在，使得金融衍生工具具有较高的风险。
3、复杂性金融衍生工具的设计和交易涉及到复杂的数学模型和金融理论，对于投资者的专业知识和风险承受能力要求较高。
期权定价-二叉树模型
期权定价-二叉树模型期权定价是金融市场中的重要内容，它是根据期权的特点和市场条件来确定期权价格的过程。
二叉树模型是一种常用的期权定价方法之一，其基本思想是将时间离散化，并通过构建一个二叉树来模拟标的资产价格的变动。
在二叉树模型中，每个节点代表了一个特定的时刻，而每个节点之间的关系是通过上涨和下跌两种情况进行连接的。
通过调整上涨和下跌的幅度，可以模拟出不同标的资产的价格变动情况。
期权的定价在二叉树模型中可以通过回溯法进行计算。
首先，在最后一个节点上，根据期权的特点以及市场条件来确定期权的价值。
然后，逐步向前回溯，通过考虑不同的路径来计算每个节点上的期权价值。
在回溯过程中，需要考虑每个节点的两个子节点的权重，即上涨和下跌的概率。
这可以根据市场条件来确定，通常是基于历史数据进行估计。
然后，在回溯过程中，可以根据节点上的期权价值和子节点的权重来计算每个节点的期权价格。
通过不断回溯，最终可以得到期权的初始价值，即在当前市场条件下，期权价格应该是多少。
这个初始价值可以用作参考，帮助投资者做出合理的投资决策。
需要注意的是，二叉树模型是一个简化的模型，它有一些假设和限制。
首先，它假设标的资产的价格只有上涨和下跌两种情况，而忽略了其他可能的情况。
其次，它假设市场条件在整个期权有效期内保持不变，而实际情况可能是变化的。
因此，在使用二叉树模型进行期权定价时，需要注意这些假设和限制。
总而言之，期权定价是金融市场中的重要内容，二叉树模型是一种常用的定价方法。
通过构建二叉树模型，并根据回溯法计算每个节点上的期权价值，可以得到期权的初始价格。
然而，需要注意二叉树模型的假设和限制，并结合实际情况进行综合分析和判断。
期权定价是金融市场中的重要内容，其旨在确定期权的合理价格。
期权是一种金融工具，赋予购买者在期权到期时以约定价格购买或出售标的资产的权利。
很多投资者都希望能够在市场上买入或者卖出期权，以便于在未来某个时刻获得利润。
因此，了解期权的合理价格对投资者来说至关重要。
6-2金融工程 二叉树定价
S0 V0=?
S 0u VTu S 0d VTd
续（1）
构造无风险组合Φ：买入D
份股票，同时 卖空 1 份衍生品，Φ= D S - V
DS0u – VTu DS0d – VTd
Φ0 ΦT确定，
S0uD – VTu = S0dD – VTd ，
u T d T
V -V D= S0 u - S 0 d
若u<erT，则在期初卖空股票S，得到S0，存入 银行，到期S0erT，然后到市场上买入股票平仓， 到期获益为正。 若d>erT，则在期初借钱买入股票，到期股价即 使下跌到dS0，也要卖出股票，偿还银行借款， 到期获益为正。
重做例1
S0=20 V0=? S0u = 22 Vu = 1 S0d = 18 Vd = 0
p=0.6523
Delta值
在两步二叉树模型中，每一步都可以计算 出看涨期权的delta： 在第一个时间步中，
Δ0=(2.0257-0)/(22-18)=0.506； 对于向上变动的股价(S=22) Δ1u=(3.2-0)/(24.2-19.8)=0.727； 对于向下变动的股价(S=18), Δ1d =0。
若S2=24.2，则买入的股票值17.59, 借款支付为 13.97*1.03=14.39，故组合价值=期权值3.2。 若S2=19.8，则买入的股票值14.39，借款支付为14.39，故组 合价值=期权值0.
多时段二叉树定价模型
两步二叉树时，期权的价格为 V0 = e-2rT[p2Vuu + 2p(1-p) Vud +(1-p)2Vdd] N等分有效期[0,T]，S在每一段上遵循单时 段-双状态模型。记
金融工程二叉树模型介绍PPT课件
22
B
24.2 D 3.2
20 1.2823
A
2.0257 18
C
19.8
E
0.0
0.0
16.2
节点B的价值
F 0.0
= e–0.12×0.25(0.6523×3.2 + 0.3477×0) =
2.0257
节点A的价值
= e–0.12×0.25(0.6523×2.0257 +
0.3477×0)
1111..118
一个例子
K = 52, 时间步= 1年 r = 5%
50 4.1923
A
60
B
1.4147
40
C
9.4636
72 D1111..119
当期权为美式期权时 会如何？
50 5.0894
A
60
B
1.4147
40
C
12.0
72 D0
48
E
4
32 F 20
1111..220
构造一个无风险证券组合
考虑一个证券组合: D 股股票多头 一个看涨期权空头
22D – 1
18D
证券组合是无风险的，当22D – 1 = 18D 或 D = 0.25
1111.5
证券组合的价值
无风险证券组合是:
0.25 股股票多头 1 个看涨期权空头
证券组合价值3个月时是 22×0.25 – 1 = 4.50
证券组合的现值是 4.5e – 0.12×0.25 = 4.3670
1111.6
期权的估值
证券组合为 0.25 股股票多头 1个看涨期权空头
现值是4.367 股票价值是
金融工程二叉树模型介绍
11.8 红利的影响
红利的影响
11.9 Delta
股票期权的Delta是股票期权价格的变化与标的股票价格变化之比 。即为了构造一个无风险对冲，对每一个卖空的期权头寸而应该 持有的股票数目。
看涨期权的Delta为正值，看跌期权的Delta为负值。
1 0 0.25 22 18
1.4147 9.4636 0.4024 60 40
0 4 0.1667 72 48
4 20 1.0 48 32
11.10 实际应用
u e t
d 1 e t u
p ert d ud
通常将期权有效期分成30或 更多的时间步。30个时间步 有31个终端股票价格，230即 大约10亿个可能的股票价格 路径。
应用举例
第11章 二叉树模型
本章导读 单步二叉树模型 风险中性定价 两步二叉树模型 看跌期权定价 美式期权定价 奇异期权定价 N步二叉树模型 考虑红利的影响 Delta 实际应用
11.1 单步二叉树模型
二叉树图
构造无风险组合
构造无风险组合
到期日无风险组合的价值
期权的价格
进一步说明
其他构造方法
股票+期权=无风险资产 无风险资产+股票=期权 无风险资产+期权=股票
练习
推广：一般性结论
二叉树图
构造无风险投资组合
二叉树期权定价公式
应用期权定价公式
11.2 风险中性定价
股票预期收益无关性
风险中性概率
风险中性定价
单步二叉树模型再考察
风险中性定价
练习
11.3 两步二叉树模型
看涨期权定价
逆推法
期权价格的决定
练习
推广：一般性结论
7金融工程 二叉树进一步讨论
若S1=60，卖空股票值24.24，银行收益25.67=(4.23+0.4*50)(1+5%), 这时该操作价值= 25.67- 24.24=期权价值1.43。 如果S1=40，这时该操作价值-40* 0.404+ 25.67 =9.5 =期权价值。
续
t=1时，如果S1=60，那么卖空0.1667份股票后， 总收益为0.1667*60+1.43=11.43，存入银行。
看涨期权的价格
22 B 20 A 1.2823 2.0257 18 C 0.0
每步的时间间隔是3 个月
24.2 D 3.2 19.8 0.0 E 16.2 F 0.0
欧式看涨期权的K=21, r=12% u=1.1, d=0.9, T=0.25，故概率不变p=0.6523
初始时刻期权的价值为
VN 1 e r [ pVN (1 p )VN 1 ] V
N h
e
rh
h h l T l N p (1 p ) V , , 0 N h. l N l 0 l
h
Gamma()
Delta(D)是随时间变化的。 Delta变化量与股票价格变化量的比为Gamma,即
19.8
看涨期权在节点处价格
22 B 20 A 1.2823 2.0257 18 C 0.0
在节点
24.2 D 3.2 19.8 0.0 E 16.2 F 0.0
B 期权价值为 e–0.12×0.25(p×3.2 + q×0) = 2.0257 在节点 A 期权价值为 e–0.12×0.25(p×2.0257 + q×0) = 1.2823
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金融工程二叉树模型概念
一、引言
金融工程是指将数学、统计学、计算机科学等方面的知识应用于金融领域，以解决金融市场中的问题。
而二叉树模型则是其中的一个重要工具，在金融工程领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍金融工程中二叉树模型的概念及其应用。
二、二叉树模型概述
1. 什么是二叉树？
二叉树是一种数据结构，由节点和连接它们的边组成。
每个节点最多有两个子节点，一个称为左子节点，一个称为右子节点。
如果一个节点没有子节点，则称该节点为叶子节点。
2. 什么是二叉树模型？
在金融工程中，我们可以利用二叉树来建立模型，以便对金融市场进行分析和预测。
这种利用二叉树建立模型的方法就被称为“二叉树模型”。
三、基本原理
1. 二叉树模型的构建
在构建二叉树模型时，我们需要确定以下几个参数：
（1）时间步数：即我们需要将时间划分成多少个步骤；
（2）上涨幅度：即在每个时间步骤中，股票价格上涨的幅度；（3）下跌幅度：即在每个时间步骤中，股票价格下跌的幅度；（4）无风险利率：即在每个时间步骤中，我们所假设的无风险利率。
2. 二叉树模型的计算
在确定了以上参数后，我们可以利用二叉树模型来计算股票价格在未来某个时刻的可能取值。
具体方法如下：
（1）将当前时刻的股票价格作为二叉树模型的根节点；
（2）对于每个节点，分别计算其左子节点和右子节点所对应的股票价格；
（3）不断重复上述步骤，直到达到所设定的时间步数为止。
四、应用案例
1. 期权定价
期权是一种金融衍生品，其价值取决于标的资产价格变化。
利用二叉树模型可以对期权进行定价，并且可以通过调整各种参数来预测未来期权价格。
2. 风险管理
利用二叉树模型可以对投资组合进行风险管理。
我们可以通过建立多个二叉树模型来分析不同情况下投资组合可能出现的收益和风险，并且可以根据分析结果进行调整，以达到最优的风险收益比。
3. 股票价格预测
利用二叉树模型可以对股票价格进行预测。
我们可以通过建立多个二
叉树模型来分析不同情况下股票价格可能出现的变化，并且可以根据
分析结果进行调整，以达到最优的投资策略。
五、总结
二叉树模型是金融工程领域中一个重要的工具，可以用来对期权定价、风险管理和股票价格预测等方面进行分析和预测。
在实际应用中，我
们需要根据具体情况来确定二叉树模型的参数，并且需要不断地进行
调整和优化，以达到最优的效果。