2020年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷含答案

F

第2题图

E

D

B

A

C

第2题图

2020年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷

（考试时间：2020年3月4日下午3：00—5：00）

班级：: 姓名： 成绩：

考生注意：

1、本试卷共五道大题，全卷满分140分；

2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答；

3、解题书写不要超出装订线；

4、不能使用计算器。

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1、已知实数a 、b 满足31|2||3|=+-+-+-a a b a ，则b a +等于（ ） A 、1-

B 、2

C 、3

D 、5

2、如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，BE 、CD 相交于点F ，设四边形EADF 、BDF ∆、

BCF ∆、CEF ∆的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，则31S S 与42S S 的大小关系为（ ）

A 、4231S S S S

B 、4231S S S S =

C 、4231S S S S

D 、不能确定

3、对于任意实数a ，b ，c ，d ，有序实数对（a ，b ）与（c ，d ）之间的运算“*”定义为：

()*b a ，()=d c ，()bc ad bd ac +-，.如果对于任意实数m ，n 都有()*n m ，()=y x ，()m n -，，那么()y x ，为（ ）

A 、（0，1）

B 、（1，0）

C 、（-1，0）

D 、（0，-1）

4、如图，已知三个等圆⊙1O 、⊙2O 、⊙3O 有公共点O ，点A 、B 、C 是这些圆的其他交点，

则点O 一定是ABC ∆的（ ）

A 、外心

B 、内心

C 、垂心

D 、重心

5、已知关于x 的方程()0|2|422

=----k x x 有四个根，则k 的范围为（ ） A 、01 k -

B 、04 k -

C 、10 k

D 、40 k

6、设在一个宽度为w 的小巷内搭梯子，梯子的脚位于P 点，小巷两边的墙体垂直于水平的地面。将梯子的顶端放于一堵墙的Q 点时，Q 离开地面的高度为k ，梯子的倾斜角为︒45，将该梯子的顶端放于另一堵墙的R 点时，R 离开地面的高度为h ，梯子的倾斜角为︒75，则小巷的宽度w 等于（ ）

A 、h

B 、k

C 、hk

D 、

2

k

h + 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分） 7、化简3232-++的值为 ．

8、如果关于x 的实系数一元二次方程()033222=++++k x k x 有两个实数根α、β，那么

()()2211-+-βα的最小值是 ．

9、设四位数abcd 满足b d c a d +++=101001000103，则这样的四位数有 个． 10、如图，MN 是⊙O 的直径，2=MN ，点A 在⊙O 上，︒=∠30AMN ，B 为⌒

AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PB PA +的最小值为 ．

三、（本大题满分20分）

11、设实数a ，b ，c 满足：0≠abc 且()()2

2

2

2

3214c b a c b a ++=++，求bc

ac ab c b a ++++22232的值。

N

四、（本大题满分25分）

12、已知抛物线()3122++++-=m x m x y 与x 轴相交于两点A 、B （点A 在x 轴的正半轴上，点B 在x 轴的负半轴上），与y 轴交于点C .

（1）求m 的取值范围；

（2）若1:3||:||=OB OA ，在该抛物线对称轴右边图像上求一点P 的坐标，使得BCO PCO ∠=∠.

五、（本大题满分25分）

13、如图，等腰三角形ABC 中，AC AB =，D ，E 分别在AB ，AC 边上，且AE AD =.P 在AB 的延长线上，QR 分别在线段CE 、DB 上，且DR CQ BP ==，连结直线PQ 与BC 交于点L ，QR 与CD ，BE 分别交于点M ，N .求证：

（1）LQ PL =； （2）NR MQ = L

Q M E R

N P D B

A

2020年全国初中数学联赛初赛试卷

（考试时间：2020年3月13日下午3：00—5：00）

一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、C ． 2、C ． 3、D ． 4、C ． 5、B ． 6、A ． 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）

7．

8、18．

9、3．

10．

三、（本大题满分20分）

11、解：由14(a 2+b 2+c 2)=(a +2b +3c )2，

得13a 2+10b 2+5c 2-4ab -6ac -12bc =0， ············································· （5分） 配方得(3a -c )2+(2a -b )2+(3b -2c )2=0， ············································· （10分） 所以3a -c =0，2a -b =0，3b -2c =0，

即c =3a ，b =2a ． ······································································· （15分）

代入22223a b c ab ac bc

++++得

22223a b c ab ac bc ++++=222222827236a a a a a a ++++=36

11． ··········································· （20分）

解法二：由14(a 2+b 2+c 2)=(a +2b +3c )2，

得13a 2+10b 2+5c 2-4ab -6ac -12bc =0， ············································· （5分）

5[c 2-2(365a b +)c +(365

a b +)2]+13a 2+10b 2

-4ab -2(36)5a b +=0，

5(c -365a b +)2+565a 2+145b 2-565ab =0，

所以5(c -

365a b +)2+14

5(2a -b )2=0， ··············································· （10分） 由此得，c -

365

a b

+=0，2a -b =0， 解得b =2a ，c =3a ． ···································································· （15分）

代入22223a b c ab ac bc

++++得

22223a b c ab ac bc ++++=222222827236a a a a a a ++++=36

11． ··········································· （20分）

四、（本大题满分25分）

12、解：（1）由已知得，-x 2+2(m +1)x +m +3=0有两个不相同的实数解， 所以∆=[2(m +1)]2+4(m +3)= 4m 2+12m +16=(2m +3) 2+3＞0，

可知m 是任意实数． ································································· （5分） 又因为点A 在x 轴的负半轴上，点B 在x 轴的正半轴上． 所以方程，-x 2+2(m +1)x +m +3=0的两根一正一负， 所以- (m +3)＜0，解得m ＞-3．

所以所求m 的取值范围是m ＞-3． ··············································· （10分）