电磁学第一章习题答案

第一章 静电场习题答案

1-1 氢原子由一个质子（即氢原子核）和一个电子组成。根据经典模型，在正常状态下，电子绕核作圆周运动，轨道半径是5.29×10-11m 。已知质子质量m p =1.67×10-27kg ，电子质量m e =9.11×10-31kg ，电荷分别为±e=±1.60×10-19C ，万有引力常量G=6.67×10-11N.m 2/kg 2。（1）求电子所受质子的库仑力和引力；（2）库仑力是万有引力的多少倍？（3）求电子的速度。 答：

（1）设电子所受的库仑力为F ，根据库仑定律，其大小

(

)()

N r q q F 82

11

2199

22101023.81029.51060.11099.841

---⨯=⨯⨯⨯

⨯=⋅=πε

设电子所受的万有引力为f ，根据万有引力定律，其大小

()

N r mM G f 472

11

273111

21063.31029.51067.11011.91067.6-----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⋅= （2）3947

8

1027.210

63.31023.8⨯=⨯⨯=--f F （3）设电子绕核做圆周运动的速度为v ，因为F f <<，所以可认

为向心力就是库仑力F ，根据R

v m F 2

=向得

s m m R

F v /1019.210

11.91029.51023.8631118⨯=⨯⨯⨯⨯==

---向 1-3 答：

（1）它们之间的库仑力为

(

)()

N r q q F 4.1410

0.41060.11099.841

2152

199

2210=⨯⨯⨯⨯=⋅=--πε

（2）每个质子所受的重力为：

N Mg P 26271064.18.91067.1--⨯=⨯⨯==

26

26

108.81064.14.14⨯=⨯=-P F 所以P F >> 1-5 答：

设油滴的电量为q ，它受的电场力和重力分别为F 和P ，由F =P ，即mg Eq =，得

()

C E mg q 195

63361002.810

92.18

.91010851.01064.114.334

---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯== 考虑到电荷的正负，C q 191002.8-⨯-=

1-7 根据经典理论，在正常状态下，氢原子中电子绕核做圆周运动，其轨道半径为m 111029.5-⨯，已知质子电荷为C e 191060.1-⨯=，求电子所在处原子核（即质子）的电场强度。 答：根据点电荷的场强公式20

41r

q

E ⋅

=πε，电子所在处原子核（即质子）的电场强度大小：

()

C N r q E /1014.51029.51060.11099.841

112

11

99

20⨯=⨯⨯⨯

⨯=⋅=-πε

1-10

证明：（1）根据电场强度的叠加原理，取向右为正，P 点场强

()()⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡--++=

22202114r l r l r q E πε 化简得

()

4

040243423r

Q r ql E πεπε==

（2）根据电势的叠加原理，P 点电势

()()3

032004242114)(r

Q

r l q r l r l r q r U πεπεπε=⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++= 1-12 答：

（1）如下图所示，x 轴垂直两导线，根据场强的叠加原理，应用公式r

E e

02πεη=

得P 点场强 )

(21120021a x x a x a x E E E e e -=

⎪⎭⎫

⎝⎛--=+=πεηπεη

（2）两均匀带电的直线中任意一条都在另一条的电场中，所以两线单位长度间的吸引力为：

a

E F e e 02

2πεηη=

= 1-13

答：面积分法

球面元面积 ϕθθd d a dS sin 2=

设场强与z 轴同向，则通过半球面的电通量

⎰⎰⎰⎰⎰⎰===⋅=2/0

220

2

sin cos cos πππθθθϕθφE a d d Ea dS E S d E S S e

若场强与z 轴反向，则通过半球面的电通量

⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-=⋅=2/0

220

2

sin cos cos πππθθθϕθφE a d d Ea dS E S d E S S e

1-15

答：（1）设从地面到离地面1.5km 高度的大气中电荷的平均体密度为

e ρ。取垂直于地面，底面积为s ∆的圆柱面S 为高斯面，S 的上、下底

面分别在高度为1.5km 处和靠近地面处，上、下地面上的场强分别为

上E 、下E ，则通过S 面的电通量为

()S E E S d E S ∆-=⋅=⎰⎰

上下

E φ

S 面内的电量

∑⋅⋅∆=内

S e i

h S q

ρ

根据高斯定理得

e h S S E E ρε⋅⋅∆=

∆-0

1

)(上下

()()313120/C 1043.41500

1085.825100m h

E E e

--⨯=⨯⨯-=

-=ερ上下

（2）设地面的面电荷密度e σ。由于电荷只分布在地球表面，所以地表下的场为零。取侧面垂直于地面，上、下底面分别在地面上（靠近地面处）和地面下的圆柱面S 为高斯面，底面积为S ∆。根据高斯定理得：

∑⎰⎰=

⋅内

S i

S q

S d E 0

1

ε

得：0

e S εσS

E ∆=

∆⋅-地 则 210120/109.81001085.8m C E e --⨯-=⨯⨯-=-=地εσ

1-21 在夏季雷雨中，通常一次闪电里两点间的电势差约为100MV ，通过的电量约为30C 。问一次闪电消耗的能量是多少？如果用这些能量来烧水，能把多少水从0℃加热到100℃？ 解：（1）消耗的能量：98100.31030⨯=⨯==qU W

（2）设能把m kg 的水从0℃加热到100℃，由)(12t t cm Q -=，得

()kg t t c Q m 33

912102.7100

1024.0103⨯=⨯⨯⨯=-=