数学选修-3学案：计数原理习题课排列与组合含答案

习题课(二)

课时目标1.利用排列、组合知识解决综合性的计数应用题.2.提高学生的应用意识和分析解决问题的能力．

1．排列数公式：A m n＝________________________；

组合数公式：C m n＝A m n

A m m＝____________________.

2．解决计数应用题，可以通过对位置和元素的性质进行分类，对完成事情的步骤进行分步．

一、选择题

1．8人排成一排，其中甲、乙、丙三人不能相邻的排法有几种()

A．A36A55B．A88－A66A33

C．A35A33D．A88－A46

2．8名运动员参加男子100米的决赛，已知运动场有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字(如：4,5,6)，则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有()

A．360种B．4 320种C．720种D．2 160种

3．从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到的不同四面体的个数是()

A．C48－12 B．C48－8

C．C48－6 D．C48－4

4．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有()

A．140种B．84种C．70种D．35种

5．6人被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定．若最终有n个人去的方法是15种，则n的值为()

A．2 B．4 C．2或4 D．2或3

二、填空题

6．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为________．(用式子表示)

7．现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是________．8．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有________种．

三、解答题

9．从6名运动员中选出4人参加4×100 m的接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，则共有多少种不同的参赛方法？

10．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数：

(1)一个唱歌节目开头，另一个压台；

(2)两个唱歌节目不相邻；

(3)两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．

能力提升

11．从集合{1,2,3，…，20}中任选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？

12．某晚会已定好节目单，其中小品3个，歌舞2个，相声2个．后来由于情况有变，需加上诗歌朗诵和快板两个节目，但不能改变原先节目的相对顺序，问节目演出的方式可能有多少种？

1．解计数应用题，分类标准要统一，防止出现遗漏或重复．

2．对同一问题可多角度考虑，深入分析，相互验证，提高解题能力．

习题课(二)

答案

知识梳理

1．n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)

n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)

m！

作业设计

1．A[使用插空法，先排甲、乙、丙外的5人，共A55种方法．然后在形成的6个空中插入甲、乙、丙共有A36种方法．

∴共有A36×A55种排法．]

2．B[三个连续数字的可能情况是6种，被选中的运动员全排，剩下的5名运动员全排，所以这8名运动员安排跑道的方式共有6A33A55＝4 320(种)．]

3．A[在正方体中，6个面和6个对角面上的四个点不能构成四面体，所以一共有C48－12.]

4．C[分两类：(1)甲型1台，乙型2台：C14C25；(2)甲型2台，乙型1台：C24C15.所以一共有C14C25＋C24C15＝70(种)．]

5．C

6．A88A29

解析采用插空法，先排8名学生，共有A88种方法；再在8名学生形成的9个空中排2位老师，有A29种排法，

∴共有排法：A88×A29种．

7．126

解析分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有C23×A33＝18(种)；若有1人从事司机工作，则方案有C13×C24×A33＝108(种)，所以共有18＋108＝126(种)．

8．30

解析方法一可分两种互斥情况：A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类选1门，共有C13C24＋C23C14＝18＋12＝30(种)选法．

方法二总共有C37＝35(种)选法，减去只选A类的C33＝1(种)，再减去只选B类的

C34＝4(种)，故有30种选法．

9．解分两类：若乙跑第一棒，共有A35＝60(种)；

若乙不跑第一棒，则跑第一棒的选择有C14种，此时跑第四棒的选择有C14种，余下的第二、三棒则在剩下的四人中选两人跑，有A24种，所以有C14C14A24＝192(种)．

所以共有192＋60＝252(种)不同的参赛方法．

10．解(1)先排唱歌节目有A22种排法，再排其他节目有A66种排法，所以共有A22·A66＝1 440(种)排法．

(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有A66种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A27种插入方法，所以共有A66·A27＝30 240(种)排法．

(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A 44种排法，再将3个

舞蹈节目插入，共有A 35种插入法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A 2

2种排法，由分步乘

法计数原理，符合要求的排法有：A 44·A 35·A 22＝2 880(种)．

11．解 设a 、b 、c ∈N ，且a 、b 、c 成等差数列，则a ＋c ＝2b ，即a ＋c 应是偶数．因此从1到20这20个数字中任选出三个数成等差数列，则第一个数与第三个数必同为偶数或同为奇数，而1到20这20个数字中有10个偶数和10个奇数．当第一个和第三个数选定后，中间数被唯一确定．因此，选法只有两类．

(1)第一、三个数都是偶数，有A 210种选法； (2)第一、三个数都是奇数，有A 210种选法； 于是，选出3个数成等差数列的个数为

A 210＋A 2

10＝180(个)．

12．解 方法一 若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A 99种排法；但是原先的

节目已经定好顺序，需要消除，故有A 99

A 77

＝A 29＝72(种)排法． 方法二 共有9个元素，9个空，先选2个空，安排朗诵和快板，有A 29种排法；再将

剩下的空安排其他元素，由于顺序已定，故只有1种方法，则共有A 29C 77＝72(种)排法．