第02讲 等差数列及其前n项和 (精讲)(学生版)

第02讲 等差数列及其前n 项和

(精讲）

目录

第一部分：知识点精准记忆 第二部分：课前自我评估测试 第三部分：典型例题剖析

题型一：等差数列基本量的运算 题型二：等差数列的判断与证明 题型三：等差数列的性质及其应用

角度1：等差数列的性质 角度2：等差数列前n 项和的性质 角度3：等差数列的最值问题

第四部分：高考真题感悟

1.等差数列的概念

(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．数学语言表示为1n n a a d +-=(n N *∈)(或者1(2)n n a a d n --=≥），d 为常数．

(2)等差中项：若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 和b 的等差中项，且2

a b

A +=

. 注：证明一个数列是等差数列可以使用①定义法：1n n a a d +-=(n N *∈)(或者1(2)n n a a d n --=≥） ②等差中项法：112(2)n n n a a a n +-+=≥ 2.等差数列的有关公式

(1)若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则其通项公式为1(1)n a a n d =+-，可推广为

()n m a a n m d =+-(,n m N *∈*)．

(2)等差数列的前n 项和公式11()(1)22

n n n a a n n d

S na +-==+(其中n N *∈)． 3.等差数列的常用性质

已知{}n a 为等差数列，d 为公差，n S 为该数列的前n 项和．

(1)等差数列{}n a 中，当m n p q +=+时， m n p q a a a a +=+(,,,m n p q N *∈)．

特别地，若2m n p +=，则2m n p a a a +=(,,m n p N *

∈)．

(2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即k a ，k m a +，2k m a +，…仍是等差数列，公差为md (,k m N *∈)．

(3){

}n S n 也成等差数列，其首项与{}n a 首项相同，公差为1

2

d . (4)n S ，2n n S S -，32n n S S -…也成等差数列，公差为2n d .

（5）若数列{}n a ,{}n b 均为等差数列且其前n 项和分别为n S ,n T ,则

21

21

n n n n a S b T --= 4.等差数列与函数的关系

(1)等差数列与一次函数的关系

1(1)n a a n d =+-可化为1n a dn a d =+-的形式．当0d ≠时，n a 是关于n 的一次函数；当0d >时，

数列为递增数列；当0d <时，数列为递减数列． (2)等差数列前n 项和公式可变形为21()22

n d d

S n a n =

+-.当0d ≠时，它是关于n 的二次函数，表示为2n S An Bn =+(A ，B 为常数)．

1．（2022·四川成都·高一期中）已知数列{}n a 为等差数列，若15915a a a ++=，则28a a +的值为（ ） A ．4

B ．6

C ．8

D ．10

2．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（文））下列数列不是．．等差数列的是（ ） A ．0，0，0，…，0，… B ．－2，－1，0，…，n －3，… C ．1，3，5，…，2n －1，…

D ．0，1，3，…，22

n n

-，…

3．（2022·江苏南京·模拟预测）2022年4月26日下午，神州十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科学计算，运载“神十三”的“长征二号”F 遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是（ ） A ．10秒

B ．13秒

C ．15秒

D ．19秒

4．（2022·北京·101中学三模）已知等差数列{}n a 中2341,25a a a =-+=，则20222020a a -=_______． 5．（2022·全国·高二课时练习）数列{}n a 中，15a =，13n n a a +=+，那么这个数列的通项公式是______．

题型一：等差数列基本量的运算

例题1．（2022·宁夏吴忠·高一期中）已知等差数列{}n a 中，22a =，156a a +=. (1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列的{}n a 前n 项和n S .

例题2．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列{}n a 中，2524a a +=，1766a =． (1)求2021a 的值；

(2)2022是否为数列{}n a 中的项？若是，则为第几项？

例题3．（2022·北京二中高二学业考试）已知数列{}n a 是等比数列，142,16a a ==， (1)求数列{}n a 的通项公式及其前n 项和n S ；

(2)若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .

例题4．（2022·辽宁·高二期中）已知等差数列{}n a 的公差2d =，且252a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． (1)求{}n a 的通项公式；

(2)若m S ，9a ，15a 成等比数列，求m 的值．

题型归类练

1．（2022·广西·高二学业考试）已知等差数列{}n a 中，前4项为1，3，5，7，则数列{}n a 前10项的和10S =（ ） A ．100

B ．23

C ．21

D ．17

2．（2022·云南师大附中模拟预测（理））《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（ ） A ．10

B ．14

C ．23

D ．26

3．（2022·北京·北师大实验中学高二阶段练习）在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正数之和为（ ） A ．1132

B ．1114

C ．1102

D ．10

4．（2022·吉林松原·高二阶段练习）在数列{}n a 中，当2n ≥时，1(1)1n n n a na --=-，若21003,a a ==__________．

5．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来.我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始.已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中夏至到立冬的日晷长的和为______尺