三角形三边关系的公式及例题
三角形三边关系、三角形内角和定理
三角形三边关系、三角形角和定理三角形边的性质 （1）三角形三边关系定理及推论定理：三角形两边的和大于第三边。
推论：三角形两边的差小于第三边。
（2）表达式：△ABC 中，设a ＞b ＞c则b-c ＜a ＜b+c a-c ＜b ＜a+ca-b ＜c ＜a+b（3）应用1、给出三条线段的长度，判断它们能否构成三角形。
方法（设a 、b 、c 为三边的长）①若a+b ＞c ，a+c ＞b ，b+c ＞a 都成立，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形； ②若c 为最长边且a+b ＞c ，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形；③若c 为最短边且c ＞|a-b|，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形。
2、已知三角形两边长为a 、b ，求第三边x 的围：|a-b|＜x ＜a+b 。
3、已知三角形两边长为a 、b(a ＞b)，求周长L 的围：2a ＜L ＜2(a+b)。
4、证明线段之间的不等关系。
复习巩固，引入新课1画出下列三角形是高2、已知：如图△ABC 中AG 是BC 中线，AB=5cm AC=3cm ，则△ABG 和△ACG 的周长的差为多少？△ABG 和△ACG 的面积有何关系？3、三角形的角平分线、中线、高线都是（ ）A 、直线B 、线段C 、射线D 、以上都不对4、三角形三条高的交点一定在（ ）A 、三角形的部B 、三角形的外部C 、顶点上D 、以上三种情况都有可能5、直角三角形中高线的条数是（ ）A 、3B 、2C 、1D 、06、判断：BD E FB C（1） 有理数可分为正数和负数。
（2） 有理数可分为正有理数、正分数、负有理数和负分数。
7、现有10cm 的线段三条，15cm 的线段一条，20cm 的线段一条，将它们任意组合可以得到几种不同形状的三角形？三角形三边的关系一、三角形按边分类（见同步辅导二）练习１、两种分类方法是否正确：不等边三角形 不等三角形三角形 三角形 等腰三角形等腰三角形 等边三角形2、如图，从家A 上学时要走近路到学校B ，你会选哪条路线？ ３、下列各组里的三条线段组成什么形状的三角形？（1）3cm 4cm 6cm （2）4cm 4cm 6cm（3）7cm 7cm 7cm （4）3cm 3cm ７ｃｍ应用举例1已知△ABC 中，a=6，b=14，则c 边的围是练习１、三角形的两边为3cm 和5cm ，则第三边x 的围是２、果三角形的两边长分别为７和２，且它的周长为偶数，那么第三边的长为3、长度分别为12cm ，10cm ，5cm ，4cm 的四条线段任选三条线段组成三角形的个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、44、具备下列长度的各组线段中能够成三角形的是（ ）A 、5，9，3B 、5，7，3C 、5，2，3D 、5，8，3应用举例21、已知一个等腰三角形的两边分别是8cm 和6cm ，则它的周长是______cm 。
三角形三条边公式
三角形三边关系是三角形三条边关系的定则，具体内容是在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
1、三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。
a+b>c，
a>c-b；b+c>a，b>a-c；a+c>b，c>b-a。
2、三角形内角之和等于180度；大边对大角，大角对大边。
在直角三角形中，两锐角之和等于90度，两直角边平方和等于斜边的平方。
3、斜边一定是直角三角形的三条边中最长的。
斜边所对应的那条高是直角三角形的三条边中最短的。
在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方（也称勾股定理）。
4、如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半（称直角三角形斜边中线定理）。
直角三角形的三边关系PPT课件
-
4
每
一
小
方
格 表
A
Sp 9
示
R
Q
SQ 16
1
平 方
B
C
SR 25
厘
P
BC2 + AC2 =AB2
米
-
5
概括
• 数学上可以说明：
c
对于任意的直角三角形， b
∟
如果它的两条直角边分别
a
为a、b，斜边为c，那么一定有
•
a2+b2=c2
• 这种关系我们称为勾股定理
• 勾股定理 直角三角形两直角边的平 方和等于斜边的平方.
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
c2=a2 + b2
c a2 b2
a2=c2 － b2
a c2 b2
c
b
b2 =c2 －a2
b c2 a2
-
a
8
求下列直角三角形中未知边的长:
8
17
x
12 5
x
解：在直角三角形中， 解：在直角三角形中， 依勾股定理可得： 依勾股定理可得：
82+ X2=172
-
6
概括
揭示了直角三角形
三条边的
勾股定理: 直角三角形关两系直角边的平方和等于
斜边的平方.
对于任意的直角三角形，如果它的两条直 角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有
a2+b2=c2
B
几何语言： a c ∵在Rt△ABC中 ∠C=90°（已知）
∴a2+b2=c2（勾股定理）
∟
Cb A
-
7
结论变形
是不是所有的三角形的三边都符合 勾股定理？ 如果不是，那么勾股定理是针对哪一 类三角形 而言的 ?
自学初中数学资料 三角形及其三边关系 (资料附答案)
自学资料一、三角形及其三边关系【知识探索】1．三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边．【说明】三角形任意两边的差小于第三边．【错题精练】例1．四根长度分别为3、4、6、x（x为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个第1页共21页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训三角形，则（）A. 组成的三角形中周长最小为9；B. 组成的三角形中周长最小为10；C. 组成的三角形中周长最大为18；D. 组成的三角形中周长最大为16．【答案】D例2．在课题学习时，老师布置画一个三角形ABC，使∠A=30∘，AB=10cm，∠A的对边可以在长为4cm、5cm、6cm、11cm四条线段中任选，这样的三角形可以画个．【答案】4．(AB+BC+CA),请例3．如图，D是ΔABC内任意一点，连接DA、DB、DC，则有DA+DB+DC >12说明理由。
【解答】在ΔABC中, DB+DA>AB,同理,DA+DC>AC,DB+DC>BC三式相加得2(DA+DB+DC)>(AB+BC+CA)AB+BC+CA，即DA+DB+DC >12【答案】见解答例4．（1）请你在△ABC中作出一条线段，把△ABC分成面积相等的两部分。
（2）请你用三种不同方法将△ABC的面积四等份，在图上直接画出即可。
第2页共21页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【解答】（1）作△ABC的中线AD，线段AD把△ABC分成面积相等的两部分．如下图所示，（2）将△ABC的面积四等份的方法如图所示，（方法见图中说明）【答案】【举一反三】1．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许将火柴棒折断，并且全部用完），能摆出不同形状的三角形的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C2．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（）D. 10A. 6B. 7C. 8【解答】解：已知4条木棍的四边长为2、3、4、6；①选2+3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6；5﹣4＜6＜5+4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为6；②选3+4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6；6﹣2＜7＜6+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；③选4+6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3；2+3＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；④选6+2、3、4作为三角形，则三边长为8、3、4；而3+4＜8，不能构成三角形，此种情况不成立；综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7．故选：B．第3页共21页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【答案】B3．在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把△ABC的周长分别24和18两部分，求三角形三边的长．【解答】【答案】16，16，10和12，12，184．如图所示，已知P是△ABC内一点，试说明PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）．【解答】【答案】略二、三角形的初步知识综合复习【错题精练】例1．如图，在△ABC中，P是BC上的点，作PQ∥AC交AB于点Q，分别作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若PR=PS，则下面三个结论：①AS=AR；②AQ=PQ；③△PQR≌△CPS；④AC−AQ=2SC，其中正确的是（）第4页共21页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训A. ②③④B. ①②C. ①④D. ①②③④【答案】B例2．如图，点I为△ABC角平分线交点，AB=8，AC=6，BC=4，将∠ACB平移使其顶点C与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A. 9；B. 8；C. 6；D. 4．【答案】B例3．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D 处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（）;A. 35B. 4；5；C. 23D. √3．2【答案】B．第5页共21页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训例4．（1）如图1所示，已知△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，试说明∠BOC=90∘+∠A．（2）如图2所示，在△ABC中，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线，试说明∠D=90∘−∠A．（3）如图3，B、C、D在一条直线上，∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，求证∠BPC＝∠BAC．【解答】（1）证明：∵在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x∘∴∠OBC+∠OCB=12(180∘−∠A)=12×(180∘−x∘)=90∘−12∠A故∠BOC=180∘−(∠OBC+∠OCB)=180∘−(90∘−12∠A)=90∘+12∠A（2）证明：∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x∘∴∠BCD=12(∠A+∠ABC)、∠DBC=(∠A+∠ACB)，由三角形内角和定理得，∠BDC=180∘−∠BCD−∠DBC=180∘−12[∠A+(∠A+∠ABC+∠ACB)]=180∘−12(∠A+180∘)=90∘−12∠A（3）证明：∵BD为△ABC的角平分线，交AC与点ECD为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D∴∠1=∠2，∠5=12(∠A+2∠1)，∠3=∠4，在△ABE中，∠A=180∘−∠1−∠3∴∠1+∠3=180∘−∠A−−−−①在△CDE中，∠D=180∘−∠4−∠5=180∘−∠3−(∠A+2∠1)，即2∠D=360∘−2∠3−∠A−2∠1=360∘−2(∠1+∠3)−∠A−−−−②，把①代入②得：2∠D=∠A．第6页共21页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【答案】略．例5．如图：∠AEB、∠AFD的平分线相交于O点．(1)求∠EOF，∠A，∠α，∠β之间的关系．（∠DAB＋∠BCD）．(2)求证∠EOF＝12【解答】（1）解：延长EO交AF于点G．∵∠EOF是△OGF的外角，∴∠EOF=∠β+∠EGF，∵∠EGF是△AEG的外角，∴∠EGF=∠A+∠α，∴∠EOF=∠A+∠α+∠β；（2）证明：连接EF．∵∠EOF=180∘−（∠1+∠2）−（∠α+∠β），∠DCB=∠ECF=180∘−（∠1+∠2），∴∠EOF=∠BCD−（∠α+∠β），又∵∠EOF=∠DAB+∠α+∠β，∴∠α+∠β=∠EOF−∠DAB，∴∠EOF=∠BCD−（∠EOF−∠DAB），即∠EOF=∠BCD−∠EOF+∠DAB，∴2∠EOF=∠DAB+∠BCD第7页共21页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训（∠DAB＋∠BCD）∴∠EOF=12【答案】略．【举一反三】1．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是100，110，120，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形。
三角形三边关系公式三角函数
三角形三边关系公式三角函数三角形是平面几何中一种基本的图形，由三条边和三个角组成。
研究三角形的关系和性质，可以帮助我们解决很多与三角形相关的问题，如计算三角形的周长、面积，确定三角形的形状等。
在三角形中，三边之间的关系是三角函数的基础。
本文将详细介绍三角形三边关系公式和三角函数的相关知识。
首先，我们来看一下三角形的基本属性。
假设我们有一个三角形ABC，边a对应角A，边b对应角B，边c对应角C。
根据三角形的性质，我们可以得到以下结论：1.三角形的三个内角之和等于180度，即A+B+C=180度。
2.三角形的每个内角都小于180度。
3.三角形的任意两边之和大于第三边。
即a+b>c，b+c>a，c+a>b。
接下来，我们来介绍三角形的三边关系公式。
这些公式可以帮助我们计算三角形的周长、面积以及判断三角形的形状。
我们以边a、b、c来表示三角形的三边长度。
1.周长公式三角形的周长是三边长度之和，即P=a+b+c。
2.海伦公式对于任意三角形，可以使用海伦公式来计算其面积。
海伦公式的表达式为：S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))其中，p是半周长，即p=(a+b+c)/23.直角三角形的斜边长度公式对于直角三角形，我们可以使用勾股定理来计算其斜边长度。
勾股定理的表达式为：c=√(a^2+b^2)其中，c为斜边的长度，a和b分别为直角三角形的两个直角边的长度。
4.三角形的面积公式根据三角形的性质，我们可以将任意三角形划分为两个直角三角形，并使用直角三角形的面积公式来计算三角形的面积。
面积公式的表达式为：S=1/2*b*h其中，b为三角形的底边长度，h为底边对应的高的长度。
三角函数是三角形内角和三边之间关系的另一种表达形式。
常用的三角函数包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)、正切函数(tan)、余切函数(cot)、正割函数(sec)和余割函数(csc)。
这些函数可以通过三角形的内角和三边之间的关系来定义。
初二数学知识点归纳及例题
初二数学知识点归纳及例题初二数学知识点归纳（人教版）一、三角形。
1. 三角形的三边关系。
- 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
- 例如：已知三角形的两边长分别为3和5，则第三边x的取值范围是2 < x <8。
- 解析：根据三边关系，5 - 3 < x < 5+3，即2 < x <8。
2. 三角形的内角和定理。
- 三角形内角和为180°。
- 例如：在△ABC中，∠A = 50°，∠B = 60°，则∠C=180° - 50°-60° = 70°。
- 解析：直接利用三角形内角和定理，用180°减去已知的两个角的度数。
3. 三角形的外角性质。
- 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
- 例如：在△ABC中，∠ACD是∠ACB的外角，∠A = 50°，∠B = 60°，则∠ACD=50° + 60°=110°。
- 解析：根据外角性质，∠ACD等于∠A与∠B的和。
二、全等三角形。
1. 全等三角形的判定。
- SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。
- 例如：在△ABC和△DEF中，AB = DE，BC = EF，AC = DF，则△ABC≌△DEF。
- 解析：因为三边分别相等，满足SSS判定定理。
- SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
- 例如：在△ABC和△DEF中，AB = DE，∠A = ∠D，AC = DF，则△ABC≌△DEF。
- 解析：两边及夹角对应相等，符合SAS判定定理。
- ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
- 例如：在△ABC和△DEF中，∠A = ∠D，AB = DE，∠B = ∠E，则△ABC≌△DEF。
- 解析：两角及其夹边相等，满足ASA判定定理。
三角形各边关系公式
三角形各边关系公式三角形是几何学中的基本图形之一，它由三条边和三个角组成。
三角形的边有着一定的关系，通过研究这些关系，可以帮助我们更好地理解三角形的性质和特点。
一、三角形边的关系公式之勾股定理勾股定理是三角形边关系中最为经典的定理之一。
它描述了直角三角形中直角边和斜边之间的关系。
勾股定理的数学表达式为：c^2 = a^2 + b^2，其中c代表斜边的长度，a和b分别代表直角边的长度。
勾股定理是三角形边关系的基础，应用广泛。
例如，已知一个直角三角形的两条直角边的长度分别为3和4，我们可以使用勾股定理来求解斜边的长度。
根据勾股定理，斜边的长度为5。
二、三角形边的关系公式之三角不等式定理三角不等式定理描述了三角形边之间的关系，它指出三角形的任意两边之和大于第三边的长度。
三角不等式定理的数学表达式为：a + b > c，b + c > a，c + a > b。
其中a、b、c分别代表三角形的三条边的长度。
例如，已知一个三角形的三条边的长度分别为3、4、5，我们可以使用三角不等式定理来验证这是否是一个合法的三角形。
根据三角不等式定理，3 + 4 > 5，4 + 5 > 3，5 + 3 > 4，三条不等式都成立，所以这是一个合法的三角形。
三、三角形边的关系公式之正弦定理正弦定理描述了三角形边和角之间的关系。
对于一个任意的三角形，正弦定理的数学表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别代表三角形的三条边的长度，A、B、C分别代表三角形的三个角的大小。
例如，已知一个三角形的两条边的长度分别为3和4，夹角为60度，我们可以使用正弦定理来求解第三条边的长度。
根据正弦定理，3/sin60 = 4/sinB，可得sinB = (4*sin60)/3，再通过反正弦函数可以求得B的角度，最后再利用三角函数的关系求得第三条边的长度。
四、三角形边的关系公式之余弦定理余弦定理描述了三角形边和角之间的关系。
三角形三条边的三边关系
三角形三条边的三边关系
三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
用字母可表示为：a+b大于c，a+c大于b，b+c大于a；|a-b|小于c，|a-c|小于b，|b-c|小于a。
特殊：
直角三角形：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余；
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积；
性质5：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
（1）AD^2=BD·DC；
（2）AB^2=BD·BC；
（3）AC^2=CD·BC；
（4）ABXAC=ADXBC（可用面积来证明）；
（5）直角三角形的外接圆的半径R=1/2BC；
（6）直角三角形的内切圆的半径r=1/2（AB+AC-BC）；
（公式一）r=AB*AC/（AB+BC+CA）；
（公式二）等腰直角三角形三边之比：1：1：根号二。
直角三角形三条边的关系公式
直角三角形三条边的关系公式在直角三角形中，有一个角度为90度，我们把这个角称为直角。
在直角三角形中，还有两个非直角角度，我们称为锐角和钝角。
1.勾股定理：勾股定理是直角三角形最基本的关系定理之一，它表达了直角三角形斜边的长度和直角边的长度之间的关系。
勾股定理可以表示为：c²=a²+b²其中，c表示斜边的长度，a和b表示两个直角边的长度。
2.正弦定理：正弦定理是三角形中最为常用的定理之一，也适用于直角三角形。
正弦定理可以表示为：sin(A) = a / csin(B) = b / c其中，A和B分别表示锐角的度数，a和b分别表示与锐角A和B相对的直角边的长度，c表示直角三角形的斜边的长度。
3.余弦定理：余弦定理也是常用的三角定理之一，适用于任何三角形，包括直角三角形。
余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2ab * cos(C)其中，C表示两个直角边之间的夹角，a和b分别表示与夹角C相对的两个边的长度，c表示直角三角形的斜边的长度。
使用勾股定理、正弦定理和余弦定理，我们可以解决各种与直角三角形相关的问题，比如求解三角形中一些角的度数、边的长度等。
此外，我们还有一些特殊的直角三角形的关系：1.等腰直角三角形：在等腰直角三角形中，两个直角边的长度相等。
a=b其中，a和b表示两个直角边的长度。
2.30-60-90三角形：在30-60-90三角形中，较小的直角边长度为x，较大的直角边长度为2x，斜边长度为x√3、可以表示为：a=xb=2xc=x√3其中，a和b分别表示两个直角边的长度，c表示斜边的长度。
综上所述，我们可以使用勾股定理、正弦定理和余弦定理来处理直角三角形的各种问题，同时还可以利用等腰直角三角形和30-60-90三角形的关系来推导解决一些特殊的直角三角形问题。
直角三角形的三边关系与计算
直角三角形的三边关系与计算直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。
在直角三角形中，三条边之间存在着一定的关系，可以通过已知条件计算出未知边的长度。
本文将详细介绍直角三角形的三边关系与常见的计算方法。
1. 三边关系在直角三角形中，三条边分别称为斜边、邻边和对边。
根据三边关系，我们可以得出以下结论：1.1 斜边与邻边的关系斜边是直角三角形中最长的一条边，通常用字母c表示。
邻边是直角三角形中与直角相邻的边，通常用字母a表示。
根据勾股定理，斜边的长度c可以通过邻边的长度a和对边的长度b计算得出，即c^2 = a^2 + b^2。
1.2 对边与邻边的关系对边是直角三角形中与直角相对的边，通常用字母b表示。
根据三角函数定义，正弦函数（sin）可以用对边与斜边的比值来表示，即sin(A) = b / c，其中A为直角对边所对的角。
1.3 对边与斜边的关系根据三角函数定义，正切函数（tan）可以用对边与邻边的比值来表示，即tan(A) = b / a。
2. 计算方法在已知直角三角形的一些条件下，可以使用上述三边关系来计算未知边的长度。
2.1 已知斜边和一边如果已知斜边c的长度和邻边a（或对边b）的长度，可以使用勾股定理来计算未知的边。
例如，已知斜边c = 5，邻边a = 3，可以使用勾股定理计算对边b 的长度：b = √(c^2 - a^2) = √(5^2 - 3^2) = √(25 - 9) = √16 = 42.2 已知对边和邻边如果已知对边b和邻边a的长度，可以使用正切函数来计算斜边c 的长度。
例如，已知对边b = 4，邻边a = 3，可以使用正切函数计算斜边c 的长度：tan(A) = b / ac = √(a^2 + b^2) = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 52.3 已知斜边和对边如果已知斜边c和对边b的长度，可以使用正弦函数来计算邻边a 的长度。
三角形三条边的关系公式
三角形三条边的关系公式三角形的三边关系公式是指三角形的三条边之间的关系。
对于一个任意的三角形ABC，其三条边分别为a，b，c。
而三角形的三边关系公式主要包括三角不等式、余弦定理和正弦定理。
一、三角不等式三角不等式是指任何一个三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
具体表达为：a+b>c，a+c>b，b+c>aa-b<c，a-c<b，b-c<a。
这个公式的意义在于，如果这个不等式不成立，那么这三条边无法构成一个三角形。
二、余弦定理余弦定理（Law of Cosines）主要用于计算三角形的其中一边的长度或者夹角。
它是由三角形的三边和其夹角之间的关系导出的。
具体表达为：c² = a² + b² - 2abcosCb² = a² + c² - 2accosBa² = b² + c² - 2bccosA。
其中，a，b，c分别表示三角形ABC的三边长度，A，B，C表示对应的夹角。
应用余弦定理，我们可以根据已知条件来计算三角形的其中一边的长度或者夹角。
例如，已知一个三角形的两边长度a和b，以及它们夹角的大小C，我们可以使用余弦定理中的第一个公式求解第三条边的长度c。
三、正弦定理正弦定理（Law of Sines）用于计算三角形的三边和夹角之间的关系。
与余弦定理类似，它也是由三角形的三边和夹角之间的关系导出的。
具体表达为：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
其中，a，b，c分别表示三角形ABC的三边长度，A，B，C表示对应的夹角。
正弦定理可以用于计算三角形的夹角，也可以用于计算三角形的边长。
例如，已知一个三角形的两边长度a和b，以及它们夹角的大小C，我们可以使用正弦定理求解第三条边的长度c。
总结三角形的三边关系公式包括三角不等式、余弦定理和正弦定理。
三角不等式用于判断一组边长是否能构成一个三角形。
三角形三边关系课件
三角形三边关系课件一、引言三角形是几何学中最基础、最重要的概念之一。
三角形三边关系是三角形研究的重要内容，它揭示了三角形三边之间的内在联系和数量关系。
本课件旨在阐述三角形三边关系的概念、性质和判定方法，以及其在实际应用中的意义。
二、三角形三边关系的概念三角形三边关系指的是三角形三边之间的长度关系。
根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
设三角形的三边分别为a、b、c，则有：1.a+b>c2.a+c>b3.b+c>a4.-ab-<c5.-ac-<b6.-bc-<a三、三角形三边关系的性质1.不变性：三角形的形状和大小可以变化，但其三边关系保持不变。
2.对称性：三角形三边关系中的任意两边可以互换，不改变三边关系的性质。
3.传递性：若a>b，b>c，则a>c。
4.最小值和最大值：三角形中最长的一边称为最大边，最短的一边称为最小边。
最小边的对角称为最小角，最大边的对角称为最大角。
四、三角形三边关系的判定方法1.直观判定：通过观察三角形三边的长度，判断是否符合三角形三边关系。
2.代数判定：将三角形三边关系转化为代数不等式，求解不等式，判断是否符合条件。
3.逻辑判定：利用逻辑推理，分析三角形三边关系是否成立。
五、三角形三边关系的应用1.几何作图：根据三角形三边关系，可以确定三角形的形状和大小。
2.解三角形：利用三角形三边关系，可以求解三角形的面积、周长、角度等几何量。
3.工程计算：在建筑工程、机械制造等领域，三角形三边关系可用于计算各种几何体的尺寸和形状。
4.日常生活：在日常生活中，三角形三边关系可用于判断三角形的稳定性，如三角架、自行车架等。
六、结论三角形三边关系是三角形研究的基础，它揭示了三角形三边之间的内在联系和数量关系。
掌握三角形三边关系对于理解几何学、解决实际问题具有重要意义。
通过本课件的学习，希望读者能够深入了解三角形三边关系的概念、性质和应用，为后续几何学学习打下坚实基础。
直角三角形三边长公式
直角三角形三边长公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：直角三角形是指其中一个角是90度的三角形。
直角三角形的三边分别为斜边、底边和高。
在直角三角形中，斜边的长度可以用底边和高的长度来计算。
这个计算方法就称为直角三角形的三边长公式。
直角三角形的三边长公式可以表示为：斜边的长度s = sqrt(a^2 + b^2)其中a和b分别为直角三角形的底边和高的长度，sqrt代表开平方。
直角三角形的三边长公式在几何学和实际应用中都有广泛的应用。
下面将从几何学和实际应用两个方面来介绍直角三角形三边长公式。
从几何学的角度来看，直角三角形的三边长公式是基于勾股定理推导出来的。
勾股定理是直角三角形的一个重要定理，它描述了直角三角形的两个直角边长的平方和等于斜边长的平方。
在地理学中，测量地表上两点的直线距离时也可以使用直角三角形的三边长公式。
地图上标注的两点的纬度和经度可以看作直角三角形的两个直角边的长度，通过直角三角形的三边长公式可以计算出它们之间的直线距离。
直角三角形的三边长公式是一个简单而又实用的数学工具，它不仅在几何学领域有着重要的应用，而且在实际生活和工作中也有广泛的用途。
熟练掌握这个公式可以帮助我们更方便地解决实际问题，提高工作效率。
所以，对于学生来说，要认真学习直角三角形的三边长公式，并在实践中灵活运用。
第二篇示例：直角三角形是一种特殊的三角形，其中包含一个角为90度。
直角三角形的三边分别为斜边、底边和垂直于底边的高。
直角三角形的三边长之间存在一个重要的数学关系，即直角三角形三边长公式。
直角三角形三边长公式又被称为毕达哥拉斯定理，这个定理是数学家毕达哥拉斯在古希腊时期发现的。
毕达哥拉斯定理指出，在直角三角形中，斜边的平方等于底边的平方加上高的平方。
换句话说，就是a^2 = b^2 + c^2，其中a为斜边长，b为底边长，c为高长。
这个定理的证明可以通过几何方法、代数方法或三角函数方法来完成。
其中最常见的是几何方法，利用直角三角形的几何特性来推导出毕达哥拉斯定理。
三角形三边关系的典型题例析
三角形三边关系的典型题例析三角形的三条边之间主要有这样的关系：三角形的两边的和大于第三边，三角形的两边的差小于第三边.利用这两个关系可以解决许多典型的几何题目.现举例说明.一、确定三角形某一边的取值范围问题根据三角形三边之间关系定理和推论可得结论：已知三角形的两边为a、b，则第三边c满足|a－b|＜c＜a＋b.例1 用三条绳子打结成三角形(不考虑结头长)，已知其中两条长分别是3m和7m，问第三条绳子的长有什么限制.简析设第三条绳子的长为x m，则7－3＜x＜7＋3，即4＜x＜10.故第三条绳子的长应大于4m且小于10m.二、判定三条线段能否组成三角形问题根据三角形的三边关系，只需判断最小的两边之和是否大于第三边即可.例2（1）（2003年福建三明市中考试题）下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是（）A.5cm、7cm、10cmB.7cm、10cm、13cmC.5cm、7cm、13cmD.5cm、10cm、13cm（2）（2004年哈尔滨市中考试题）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A.1cm,2cm,4cmB.8cm,6cm,4cmC.12cm,5cm,6cmD.2cm,3cm,6cm简析由三角形的三边关系可知：(1)5+7＜13，故应选C；(2)6+4＞8，故应选B.例3 有下列长度的三条线段能否组成三角形？（1）a－3，a，3(其中a＞3)；（2）a，a＋4，a＋6(其中a＞0)；（3）a＋1，a＋1，2a(其中a＞0).简析（1）因为(a－3)＋3=a，所以以线段a－3，a，3为边的三条线段不能组成三角形.（2）因为(a＋6)－a =6，而6与a＋4的大小关系不能确定，所以以线段a，a＋4，a＋6为边的三条线段不一定能组成三角形.（3）因为(a ＋1)＋(a ＋1)=2a ＋2＞2，(a ＋1)＋2a =3a ＋1＞(a ＋1)，所以以线段a ＋1，a ＋1，2a 为边的三条线段一定能组成三角形.三、求三角形某一边的长度问题此类问题往往有陷阱，即在根据题设条件求得结论时，其中可能有一个答案是错误的，需要我们去鉴别，而鉴别的依据就是这里的定理及推论.例4 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，求这个三角形的腰长.简析 如图1，设腰AB =x cm ，底BC =y cm ，D 为AC 边的中点.根据题意，得x +12x ＝12，且y +12x ＝21；或x +12x ＝21，且y +12x ＝12. 解得x ＝8，y ＝17；或x ＝14，y ＝5.显然当x =8，y =17时，8＋8＜17不符合定理，应舍去.故此三角形的腰长是14cm. 例5 一个三角形的两边分别是2厘米和9厘米，第三边长是一个奇数，则第三边长为______.简析 设第三边长为x 厘米，因为9-2<x <9+2，即7<x <11，而x 是奇数，所以x =9.故应填上9厘米.四、求三角形的周长问题 此类求三角形的周长问题和求三角形某一边的长度问题一样，也会设计陷阱，所以也应避免答案的错误.例6 已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,则它的周长等于_______.简析 已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6，并没有指明是腰还是底，故应由三角形的三边关系进行分类讨论，当5是腰时，则底是6，即周长等于16； 当6是腰时，则底是5，即周长等于17.故这个等腰三角形的周长是16或17.B C 图2图1D C BA五、判断三角形的形状问题判断三角形的形状主要是根据条件寻找边之间的关系.例7 已知a 、b 、c 是三角形的三边，且满足a 2+b 2+c 2－ab －bc －ca =0.试判断三角形的形状.简析 因为a 2+b 2+c 2－ab －bc －ca =0，则有2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca =0.于是有（a －b ）2+（ｂ－ｃ）2+（ｃ－a ）2＝0.此时有非负数的性质知（a －b ）2=0；（ｂ－ｃ）2=0；（ｃ－a ）2＝0，即a －b =0；ｂ－ｃ=0；ｃ－a =0.故a =b =c .所以此三角形是等边三角形.六、化简代数式问题这里主要是运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从而确定代数式的符号. 例8 已知三角形三边长为a 、b 、c ，且|a ＋b －c|＋|a －b －c|=10，求b 的值.简析 因a ＋b ＞c ，故a ＋b －c ＞0`因a －b ＜c ，故a －b －c ＜0.所以|a ＋b －c|＋|a －b －c |= a ＋b －c －(a －b －c )=2b =10.故b =5.七、确定组成三角形的个数问题要确定三角形的个数只需根据题意，运用三角形三边关系逐一验证，做到不漏不重. 例9 现有长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4简析 由三角形的三边关系知：若以长度分别为2cm 、3cm 、4cm ，则可以组成三角形；若以长度分别为3cm 、4cm 、5cm ，则可以组成三角形；若以长度分别为2cm 、3cm 、5cm ，则不可以组成三角形；若以长度分别为2cm 、4cm 、5cm ，则也可以组成三角形.即分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为3，故应选C .例10 求各边长互不相等且都是整数、周长为24的三角形共有多少个？简析 设较大边长为a ，另两边长为b 、c .因为a ＜b ＋c ，故2a ＜a ＋b ＋c ，a ＜21(a ＋b ＋c ).又a ＋a ＞b ＋c ，即2a ＞b ＋c .所以3a ＞a ＋b ＋c ，a ＞31(a ＋b ＋c ). 所以，31(a ＋b ＋c )＜a ＜21(a ＋b ＋c ).31×24＜a ＜21×24. 所以8＜a ＜12.即a 应为9，10，11.由三角形三边关系定理和推论讨论知：⎪⎩⎪⎨⎧===,7,8,9c b a⎪⎩⎪⎨⎧===,6,8,10c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,5,9,10c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,6,7,11c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,5,8,11c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,4,9,11c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===.3,10,11c b a 由此知符合条件的三角形一共有7个.八、说明线段的不等问题在平面几何问题中，线段之间的不等关系的说明，很多情况下必须借助三角形三边之间的关系定理及推论.有时可直接加以运用，有时则需要添加辅助线，创造条件才能运用.例11 已知P 是△ABC 内任意一点，试说明:AB ＋BC ＋CA ＞P A ＋PB ＋PC ＞21(AB ＋BC ＋CA )的理由. 简析 如图2，延长BP 交AC 于D 点.在△ABD 中，可证明AB ＋AD ＞BP ＋PD . 在△PDC 中，可证明PD ＋DC ＞PC .两式相加，可得AB ＋AC ＞BP ＋PC ，同理可得AB ＋BC ＞P A ＋PC ，BC ＋CA ＞P A ＋PB .把三式相加后除以2，得AB ＋BC ＋CA ＞P A ＋PB ＋PC .在△P AB 中，P A ＋PB ＞AB ；在△PBC 中，PB ＋PC ＞BC ；在△P AC 中，P A ＋PC ＞CA .上面三式相加后除以2，得P A ＋PB ＋PC ＞21(AB ＋BC ＋CA )， 综上所述：AB ＋BC ＋CA ＞P A ＋PB ＋PC ＞21(AB ＋BC ＋CA ).。
2024年三角形三边的关系
三角形三边的关系三角形是由三条线段组成的闭合图形，这三条线段被称为三角形的边。
三角形的三边之间存在一定的关系，这些关系在几何学中有着重要的应用。
本文将介绍三角形三边的基本关系，包括三角形的边长关系、角度关系和面积关系。
一、三角形的边长关系三角形的三边之间存在着一定的长度关系。
根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
这是三角形存在的基本条件。
具体来说，假设三角形的三边分别为a、b、c，则有：1.a+b>c2.a+c>b3.b+c>a同时，三角形的任意两边之差小于第三边，即：1.ab<c2.ac<b3.bc<a这两个条件可以保证三角形的稳定性，即三角形的三个顶点不会相互塌陷。
在解决实际问题时，我们可以利用这两个条件来判断一个图形是否为三角形。
二、三角形的角度关系三角形的三边与三个角之间也存在一定的关系。
根据三角形的内角和定理，三角形的三个内角之和等于180度。
假设三角形的三个内角分别为A、B、C，则有：A+B+C=180°1.正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC，其中a、b、c分别为三角形的边长，A、B、C分别为三角形的对应角。
2.余弦定理：c²=a²+b²2abcosC，其中a、b、c分别为三角形的边长，C为夹角。
这两个定理在解决三角形问题时具有重要意义，可以帮助我们求出三角形的角度和边长。
三、三角形的面积关系三角形的面积与其三边之间也存在一定的关系。
根据海伦公式，设三角形的三边分别为a、b、c，p为半周长（即p=(a+b+c)/2），则三角形的面积S可以表示为：S=√[p(pa)(pb)(pc)]根据正弦定理，三角形的面积还可以表示为：S=1/2absinC其中，C为夹角。
这个公式在解决实际问题中具有重要意义，可以帮助我们求出三角形的面积。
三角形的三边之间存在着边长关系、角度关系和面积关系。
高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题
解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
三角三边长度关系公式
三角三边长度关系公式
一、三角形三边长度关系基本公式（人教版）
1. 三角形三边关系的基本定理。
- 三角形任意两边之和大于第三边。
- 用字母表示，对于三角形ABC，三边分别为a、b、c，则有a + b>c，a +
c>b，b + c>a。
2. 三角形三边关系的推论。
- 三角形任意两边之差小于第三边。
- 同样对于三角形ABC，三边为a、b、c，有| a - b|，| a - c|，| b - c|。
二、应用示例。
1. 判断三条线段能否组成三角形。
- 例：判断三条线段长分别为3、4、5能否组成三角形。
- 解：根据三角形三边关系，3 + 4 = 7>5，3+5 = 8>4，4 + 5=9>3，满足任意两边之和大于第三边，所以这三条线段能组成三角形。
2. 求第三边的取值范围。
- 例：已知三角形的两边长分别为2和5，求第三边的取值范围。
- 解：设第三边为x，根据三边关系可得5 - 2，即3。
三角形第三边计算公式
三角形第三边计算公式
三角形是在平面内拥有三个节点及三条边表示的一个几何图形，它是最融入人体和日常生活中的一种基本图形，而三角形第三边的计算是数学中的基本概念，也是中学的重要内容。
下面就来详细介绍三角形第三边的计算公式。
一般情况下，三角形的第三边可以通过两边长和夹角来求解，并且根据不同的边角关系，所使用的计算公式也不尽相同，具体如下：
1、如果已知三角形的两边，求第三边
此时需要使用余弦定理，即a2=b2+c2-2bc*cosA，其中，a、b、c为三角形的三边，A代表夹
角的角度。
2、如果已知三角形的一边和夹角，求第三边
此时可以使用正弦定理，即c2=a2+b2-2ab*sinA，其中，a、b、c为三角形的三边，A代表夹
角的角度。
3、如果已知三角形的两角，求第三边
此时可以使用余弦与正弦定理来求解，令tanA=sinA/cosA，则c2=a2+b2-2ab*tanA。
以上三种计算公式，使用起来都很简单，但是在计算之前要注意按照给出的格式设计出计算题：给出所有已知数据以及求解的数据，在求解过程中按照公式顺序进行运算，具体操作步骤如下：
1、根据实际情况，先识别出未知数的类型（是三角形的一边还是夹角）；
2、根据上文所述的计算公式，将所有已知边角的值代入；
3、按公式中的运算方式算出未知数的值；
4、将算出的未知数值与原来给出的条件进行核实，确认是否正确。
以上就是最常用的三角形第三边计算公式，如果要正确使用这些公式，首先要仔细读懂公式，其次，要根据实际情况准确判断出未知数的类型，此外，也要注意按照算式，正确运算，最后验证结果的正确性等。
三角形典型题(三边关系)
一、已知△ABC，（1）如图1，若D点是△ABC内任一点、求证：∠D=∠A+∠ABD+∠ACD．（2）若D点是△ABC外一点，位置如图2所示．猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD有怎样的关系？请直接写出所满足的关系式．（不需要证明）（3）若D点是△ABC外一点，位置如图3所示、猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD之间有怎样的关系，并证明你的结论．考点：三角形的外角性质．专题：计算题．分析：（1）由∠BDC=∠2+∠CED，∠CED=∠A+∠1，可以得出∠D=∠A+∠ABD+∠ACD．（2）由∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=∠A+∠ABC+∠ACB+∠D+∠DBC+DCB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠D+∠DBC+DCB=180°，可以得出∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=360°．（3）根据三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可知∠AED=∠1+∠A，∠AED=∠D+∠2，所以可知∠A+∠1=∠D+∠2即∠D+∠ACD=∠A+∠ABD．解答：解：（1）证明：延长BD交AC于点E．∵∠BDC是△CDE的外角，∴∠BDC=∠2+∠CED，∵∠CED是△ABE的外角，∴∠CED=∠A+∠1．∴∠BDC=∠A+∠1+∠2．即∠D=∠A+∠ABD+∠ACD．（2）∵∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=∠A+∠ABC+∠ACB+∠D+∠DBC+DCB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠D+∠DBC+DCB=180°，∴∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=360°．（3）证明：令BD、AC交于点E，∵∠AED是△ABE的外角，∴∠AED=∠1+∠A，∵∠AED是△CDE的外角，∴∠AED=∠D+∠2．∴∠A+∠1=∠D+∠2即∠D+∠ACD=∠A+∠ABD．点评：本题主要考查三角形的外角性质及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．二、观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．（1）如图，△ABC中，P为边BC上一点，试观察比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由．（2）将（1）中点P移至△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．（3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得下图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由．（4）将（3）中的点P1、P2移至△ABC外，并使点P1、P2与点A在边BC的异侧，且∠P1BC＜∠ABC，∠P2CB＜∠ACB，得图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．（5）若将（3）中的四边形BP1P2C的顶点B、C移至△ABC内，得四边形B1P1P2C1，如图⑤，试观察比较四边形B1P1P2C1的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．考点：三角形三边关系．分析：（1）、（2）、（3）通过作辅助线，利用三角形的第三边小于两边之和，大于两边之差进行解答；（4）通过将四边形BP1P2C沿直线BC翻折，使点P1、P2落在△ABC内，转化为（3）情形，从而问题得解；（5）延长B1P1、C1P2分别与AB相交，再利用三角形的第三边小于两边之和，大于两边之差进行解答．解答：解：（1）BP+PC＜AB+AC，理由：三角形两边之和大于第三边，或两点之间线段最短．（2）△BPC的周长＜△ABC的周长．理由：如图，延长BP交AC于M，在△ABM中，BP+PM＜AB+AM，在△PMC中，PC＜PM+MC，两式相加得BP+PC＜AB+AC，于是得：△BPC的周长＜△ABC的周长．（3）四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长．理由：如图，分别延长BP1、CP2交于M，由（2）知，BM+CM＜AB+AC，又P1P2＜P1M+P2M，可得，BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，可得结论．或：作直线P1P2分别交AB、AC于M、N（如图），△BMP1中，BP1＜BM+MP1，△AMN 中，MP1+P1P2+P2M＜AM+AN，△P2NC中，P2C＜P2N+NC，三式相加得：BP1+P1P2+P2C ＜AB+AC，可得结论．（4）四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长．理由如下：将四边形BP1P2C沿直线BC翻折，使点P1、P2落在△ABC内，转化为（3）情形，即可．（5）比较四边形B1P1P2C1的周长＜△ABC的周长．理由如下：如图，分别作如图所示的延长线交△ABC的边于M、N、K、H，在△BNM中，NB1+B1P1+P1M ＜BM+BN，又显然有，B1C1+C1K＜NB1+NC+CK，及C1P2+P2H＜C1K+AK+AH，及P1P2＜P2H+MH+P1M，将以上各式相加，得B1P1+P1P2+P2C+B1C1＜AB+BC+AC，于是得结论．点评：比较线段的长短常常利用三角形的三边关系以及不等式的性质，通过作辅助线进行解答．三如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明；（4）若点P在C、D两点外侧运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．考点：平行线的性质；三角形的外角性质．专题：证明题；探究型．分析：此题四个小题的解题思路是一致的，过P作直线l1、l2的平行线，利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角，然后结合这些等角和∠3的位置关系，来得出∠1、∠2、∠3的数量关系．解答：解：（1）证明：过P作PQ∥l1∥l2，由两直线平行，内错角相等，可得：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；∵∠3=∠QPE+∠QPF，∴∠3=∠1+∠2．（2）∠3=∠2-∠1；证明：过P作直线PQ∥l1∥l2，则：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；∵∠3=∠QPF-∠QPE，∴∠3=∠2-∠1．（3）∠3=360°-∠1-∠2．证明：过P作PQ∥l1∥l2；同（1）可证得：∠3=∠CEP+∠DFP；∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°，即∠3=360°-∠1-∠2．（4）过P作PQ∥l1∥l2；①当P在C点上方时，同（2）可证：∠3=∠DFP-∠CEP；∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，∴∠DFP-∠CEP+∠2-∠1=0，即∠3=∠1-∠2．②当P在D点下方时，∠3=∠2-∠1，解法同上．综上可知：当P在C点上方时，∠3=∠1-∠2，当P在D点下方时，∠3=∠2-∠1．点评：此题主要考查的是平行线的性质，能够正确地作出辅助线，是解决问题的关键．。
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三角形的相关知识点一直都是考试的重点知识，那么三角形的三边关系指的是什么？打击一起来看看吧。
三角形三边关系公式
三角形是由不在同一直线上的三条线段，首尾顺次相接所组成的封闭图形。
在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
若两条较短边的和小于最长边，则不能构成三角形。
三角形边长公式：c²=a²+b²。
已知三角形两条直角边的长度，可按公式
c²=a²+b²计算斜边。
三角形三边关系例题
1、若等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为_______；若等腰三角形的两边长分别是3和4，则它的周长为_____。
2、长为10、7、5、3的四跟木条，选其中三根组成三角形有___种选法。
3、已知线段3cm，5cm，xcm，x为偶数，以3，5，x为边能组成______个三角形。
4、在△ABC中，下列a与bsinA的关系正确的是()
A．a>bsinA
B．a≥bsinA
C．a<bsinA
D．a≤bsinA
5、△ABC中，a＝5，b＝3，sinB＝22，则符合条件的三角形有()
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个
以上就是三角形三边关系的相关知识以及一些例题，希望对大家有所帮助。