线性相关的等价条件
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线性相关性
1,2 , ,s , 线性相关，则 可经向量组
1,2 , ,s 线性表出，且表示式唯一。(习题3)
3、线性相关性的重要性质
1）充要条件
判断向量组 i (ai1,ai2 , ,ain ), i 1, 2, , s 是否线性相关就是看方程 x11 xss 0
有无非零解，即齐次线性方程组
a11 x1 a21 x2 as1 xs 0
1 (1, 2,3), 2 (2,1,0), 3 (1, 7,9)
是否线性相关？若线性相关，求一组非零数
k1, k2 , k3 , 使 k11 k22 k33 0.
解： 设 k11 k22 k33 0, 即有方程组
k21k12kk22
k3 0 7k3 0
,
3k1 9k3 0
3) 向量组{1,2,3}线性相关 其中一向量可由其余两向量线性 表示（共面），如1 k2 l3 （1 在2 和3 所确定的平面上）.
lα3 α3
α2
α1 kα2
定义1'：向量组 1,2 , ,s (s 1) 称为线性相关
的, 如果存在 P 上不全为零的数 k1, k2 , , ks，使
②向量组和它的任一极大无关组等价.
③一个向量组的极大无关组不一定是唯一的. ④一个向量组的任意两个极大无关组都等价. ⑤Th3:一个向量组的任意两个极大无关组都含有相 同个数的向量.
（根据定理2的推论1即得）
(二)、向量组的秩
1.定义 向量组的极大线性无关组所含向量个数
称为这个向量组的秩.
注 全部由零向量组成的向量组无极大无关组，
推论2 任意 n＋1 个 n 维向量必线性相关. （任意 m( n) 个 n 维向量必线性相关.）
推论3 两个线性无关的等价向量组必含相同个数 的向量.
1,2 , ,s 线性表出，且表示式唯一。(习题3)
3、线性相关性的重要性质
1）充要条件
判断向量组 i (ai1,ai2 , ,ain ), i 1, 2, , s 是否线性相关就是看方程 x11 xss 0
有无非零解，即齐次线性方程组
a11 x1 a21 x2 as1 xs 0
1 (1, 2,3), 2 (2,1,0), 3 (1, 7,9)
是否线性相关？若线性相关，求一组非零数
k1, k2 , k3 , 使 k11 k22 k33 0.
解： 设 k11 k22 k33 0, 即有方程组
k21k12kk22
k3 0 7k3 0
,
3k1 9k3 0
3) 向量组{1,2,3}线性相关 其中一向量可由其余两向量线性 表示（共面），如1 k2 l3 （1 在2 和3 所确定的平面上）.
lα3 α3
α2
α1 kα2
定义1'：向量组 1,2 , ,s (s 1) 称为线性相关
的, 如果存在 P 上不全为零的数 k1, k2 , , ks，使
②向量组和它的任一极大无关组等价.
③一个向量组的极大无关组不一定是唯一的. ④一个向量组的任意两个极大无关组都等价. ⑤Th3:一个向量组的任意两个极大无关组都含有相 同个数的向量.
（根据定理2的推论1即得）
(二)、向量组的秩
1.定义 向量组的极大线性无关组所含向量个数
称为这个向量组的秩.
注 全部由零向量组成的向量组无极大无关组，
推论2 任意 n＋1 个 n 维向量必线性相关. （任意 m( n) 个 n 维向量必线性相关.）
推论3 两个线性无关的等价向量组必含相同个数 的向量.
线性代数中的几个等价关系
线性代数中的几个等价关系作者：李斐郭卉来源：《课程教育研究·上》2013年第08期【摘要】本文讨论了线性代数之中的四个等价关系：矩阵等价，向量组等价，矩阵相似，矩阵合同；以及和四个等价关系相关的基本性质。
【关键词】等价关系矩阵向量组相似矩阵合同矩阵【中图分类号】O151.2 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）08-0144-01一、等价关系的定义在一个给定的集合S上，我们可以定义元素之间的某种关系。
如果该关系满足三个性质：（1）自反性（2）对称性（3）传递性，我们称该关系为等价关系（equivalence relation[1]），记为～。
自反性就是S中的任意元素和自身有该种关系，即A～A；对称性是若对于S中两个元素A、B，如果A～B，则有B～A；传递性是指对于S中三个元素A、B、C，如果A～B，则有B～C，则有A～C。
二、等价关系与分类若集合S上具有等价关系～，则按照该等价关系对S中的元素进行分类，就是把具有等价关系的元素归为一类，称为等价类，使得S成为成为各等价类的无交并。
这样当S有一个等价关系，S也就有了一个分类标准。
反之，对于集合S，若给一个分类标准，则可以对S进行分类。
籍于此分类，我们对S中的元素可以定义一个关系～如下：A、BS，A～B当且仅当A和B属于同一类。
易于验证该关系是一个等价关系。
也就是说S上的一个分类标准就会给出一个S上的等价关系。
一般地我们有结论：集合S上的等价关系和分类方法是一一对应的。
三、线性代数中的四个等价关系3.1 矩阵的等价关系不妨设S是实数域上的矩阵组成的集合，对于矩阵A、B，如果A、B同型，即有相同的行数和列数，且A经过有限次初等变换成为B，则称A与B等价[2]。
矩阵等价，这个“等”字之后意味着什么相等呢？该“等”实际是指矩阵的行数和列数相等，同时矩阵的秩相等。
我们有如下关于矩阵等价的定理。
定理1：矩阵A和B等价的充要条件是它们同型且秩相等。
3§3 线性相关性
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结束
定理2 定理2
设α1 ,α 2 ,⋯,α r 与 β1 , β 2 ,⋯, β s是两个向量组，如果 1）向量组α1 ,α 2 ,⋯,α r 可以经 β1 , β 2 ,⋯, β s 线性表 出， 2）r > s， 则向量组α1 ,α 2 ,⋯,α r 必线性相关 . 证明： 1 推论1
向量组
α i = (ai1 , ai 2 ,⋯, ain ), (i = 1,2,⋯, s )
线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组
a11x1 + a21x2 +⋯+ as1xs = 0 a x + a x +⋯+ a x = 0, 12 1 22 2 s2 s ⋯ ⋯ ⋯ a1n x1 + a2n x2 +⋯+ asn xs = 0
§3 线性相关性
定义
所谓向量 α 与 β 成比例就是说有一数k使 成比例 α = kβ. 定义9 线性组合） 定义9（线性组合） 向量 α 称为向量组 β1 , β 2 ,⋯, β s 的一个线性组合 线性组合， 线性组合 如果有数域P中的数 k1 , k2 ,⋯, ks , 使 α = k1β1 + k2 β 2 + ⋯ + k s β s . 也称向量 α 可经向量组 β1 , β 2 ,⋯, β s 线性表出 .
结束
命题1 命题
任一个n为向量α = (a1 , a2 ,⋯, an ) 都是向量组
ε1 = (1,0,⋯,0),
ε 2 = (0,1,⋯,0),
⋯⋯⋯ ε n = (0,0,⋯,1)
的一个线性组合 . 事实上， α = a1ε1 + a2ε 2 + ⋯ + anε n . 向量 ε1 , ε 2 ,⋯, ε n 称为n维单位向量 . 维单位向量
向量组等价、线性相关性
等价？ 等价？
向量组的等价与矩阵的等价 向量组的等价与矩阵的等价 的等价与矩阵
行 变 换 若矩阵A m×n Bm×n ⇔ ∃可逆阵K m , ∋ K m A = B →
⇔ B = Km A
β 1T k11 T β 2 = k21 ⇔ M L T β m km 1
⇔ R( A) = R( B ) = R( A, B ).
其 中 A = ( a1 , a2 L , am ), B = ( b1 , b2 L , bl )
例2(p86)
设
1 3 2 1 3 1 0 1 −1 , b = , b = b = −1 a1 = ,a = 1 2 1 1 1 2 0 3 2 3 1 2 −1 0
α1T T α2 L km ) M T α m
求出方程组 x α + x α + L + x α = β 1 1 2 2 m m 的解作组合系数
向量用向量组的线性表示问题归结为线性方程组解的问题！ 向量用向量组的线性表示问题归结为线性方程组解的问题！ 归结为线性方程组解的问题
所以， 的行的向量组可由 的行的向量组线性表示。 的行的向量组可由B的行的向量组线性表示 所以，A的行的向量组可由 的行的向量组线性表示
∴ 矩 阵 A r B ⇒ A的 行 组 与 B 的 行 组 等 价
同理， ~ 同理，A c B
重要
⇒
A的列组与 的列组等价 的列组与B的列组等价 的列组与 的列组等价.
⇒ 等价的必要条件 ⇒ 向量组与单位向量组等价的条件
反之不一定！ 反之不一定！
线性相关
具有反身性、对称性、传递性
第二节
线性相关, 线性无关及其几何说明
1、定义 给定向量组 A : α 1 , α 2 , , α m , 如果存在不全为零实数 k 1 , k 2 ,
使 k 1α 1 + k 2α 2 +
, km ,
+ k mα m = 0
称向量组 A线性相关 , 否则称向量组 A线性无关 .
例1：用定义判断线性相关性。
(1) 向量 o,α , β , γ 线性______关。 相 (2) 向量 α ,α , β , γ 线性______关。 相
结论1： 包含零向量的任何向量组线性相关； 结论2： 有两个向量相等的向量组线性相关； 结论3： 单个零向量线性相关,单个非零向量线性无关； 结论4：两个向量对应分量成比例，线性相关 几何意 义： (1)两向量线性相关：两向量共线. (2)三向量线性相关：三向量共面.
1 2 3⎞ ⎛ 2 1 3 5⎟→ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎜ 0 1 2⎟ ⎝ 0 ⎠ 3⎞ ⎛ 2 0 1 1 ⎟→ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0 0 0 ⎠ ⎝
一个极大无关组。 求向量组的秩和
⎛ −7 ⎜ −2 解：8
3 1
5 3 −7 0 5 −1 1 8
−1 4 ⎛ 1 ⎜ −2 →⎜ ⎜ −7 ⎜ ⎝ − 11
−4 ⎞ −2 ⎟ ⎟ 1 ⎟ ⎟ − 11 ⎠ −1 −7 1 3 3 5 4 0
1 ⎞ −2 ⎟ ⎟ −4 ⎟ ⎟ − 11 ⎠
2. 向量组的秩
定义2：向量组的极大无关组所含向量的个数 称为这个向量组的秩, 记作 r (α 1 ,α 2 ,
,α s )
⎛ 2⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ −1 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎟ ,α 2 = ⎜ ⎟ ,α 3 = ⎜ ⎟ 的 例如： 向量组 α 1 = ⎜ ⎜ 3⎟ ⎜ 5⎟ ⎜ 4⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ −1 ⎠
向量组等价、线性相关性
方程组线性组合 方程组有解 方程组由方程组表 示方程组等价（同解）
R (A ) R (B ) R (A ,B )
n
方程组 A: ajixi bj(j1,2, m), 有解 i1 常数项列向量可由未知数的系数列向量组线性表示
增广矩阵与系数矩阵的列向量组等价
两个方程组等价（同解）
P80.19、证明
b R(A)1存在非零列向量a 及非零行向量 T ，
使得 A abT .
证
" "
R(A)1A
1
1 O
O O
可逆矩阵P,Q,
1
A PO1
其中
1
O
1
O O
0 0
1
0
0
A
P
1、 一 个 向 量 可 由 向 量 组 A : 1 ,2 ,,m 线 性 表 示 ，
存 在 数 k 1 ,k 2 ， ,k m ,使 得 k 11 k 22 k mm
方 程 组 x 1 1 x 2 2 x m m 有 解
R(A)R(B).其 A 中 (a 1 ,a 2 , ,a m )B,A
1
7
,
其标准型
2
1
F
0
0
0 1 0
0
0
,
0
R(A) 2 R(F) 2
但
R(A,F)3
A
R
F
3
所以 A F , 但其列、行组都不等价
反之 设 有 n 维 向 量 组 A : 1 ,2 , m 及 B : 1 ,2 , l ,
3-2向量的线性相关性
T T T
构成一个m n矩阵
1T T 2 B T m
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
x1b1ห้องสมุดไป่ตู้ x2b2 x3b3 0
即 x1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0, （
亦即 x1 x3 ) 1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0, （ 因 1， 2， 3线性无关，故有 x1 x 3 0, 方程组只有零解1 x2 x3 0， x x1 x 2 0, 所以向量组 1 , b2 , b3线性无关 b . x x 0. 2 3
有解；
定义２ 设 有 两 个 向 量 组 A : 1 , 2 , , m 及B : 1 , 2 , , s .
若B组 中 的 每 个 向 量 都 能 向 量 组 线 性 表 示 ， 则 由 A 称 向 量 组 能 由 向 量 组 线 性 表 示. 若 向 量 组 与 向 B A A 量 组B能 相 互 线 性 表 示 ， 则 这 两 个向量组等价, 称
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2
T 1 T 2
a1 n a2n a in a mn
构成一个m n矩阵
1T T 2 B T m
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
x1b1ห้องสมุดไป่ตู้ x2b2 x3b3 0
即 x1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0, （
亦即 x1 x3 ) 1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0, （ 因 1， 2， 3线性无关，故有 x1 x 3 0, 方程组只有零解1 x2 x3 0， x x1 x 2 0, 所以向量组 1 , b2 , b3线性无关 b . x x 0. 2 3
有解；
定义２ 设 有 两 个 向 量 组 A : 1 , 2 , , m 及B : 1 , 2 , , s .
若B组 中 的 每 个 向 量 都 能 向 量 组 线 性 表 示 ， 则 由 A 称 向 量 组 能 由 向 量 组 线 性 表 示. 若 向 量 组 与 向 B A A 量 组B能 相 互 线 性 表 示 ， 则 这 两 个向量组等价, 称
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2
T 1 T 2
a1 n a2n a in a mn
3.3 线性相关性
7）若向量组 α i = (ai 1 , ai 2 ,L , ain ), i = 1,2,L , s ） 线性无关， 线性无关，则向量组
β i = (ai 1 , ai 2 ,L , ain , ai ,n+1 ), i = 1,2,L , s
也线性无关 . 反之， 反之，若向量组 β 1 , β 2 ,L , β s 线性
4）一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向 ）一个向量组中若部分向量线性相关， 量组也线性相关； 量组也线性相关； 一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组 一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组 都线性无关. 都线性无关 5）如果向量组 α1 ,α 2 ,L ,α s 线性无关 而向量组 ） 线性无关，而向量组
线性无关的. 则称向量组 α1 ,α 2 ,L ,α s 为线性无关的
换句话说， 换句话说，对于一个向量组α1 ,α 2 ,L,α s , 若由
k1α1 + k2α 2 + L + k sα s = 0
必有
k1 = k2 = L = k s = 0,
则称向量组 α1 ,α 2 ,L ,α s 为线性无关的 线性无关的.
二、向量组的等价 1、定义 、
若向量组 α1 ,α 2 ,L ,α s 中每一个向量 α i ( i = 1,2,L , s ) 皆可经向量组 β 1 , β 2 ,L , β t 线性表出，则称向量组 线性表出，
α1 ,α 2 ,L ,α s 可以经向量组 β 1 , β 2 ,L , β t 线性表出； 线性表出；
若两个向量组可以互相线性表出，则称这两个 若两个向量组可以互相线性表出， 向量组等价. 向量组等价.
2、性质 、
向量组之间的等价关系具有： 向量组之间的等价关系具有： 1) 反身性 2) 对称性 3) 传递性
第四章 向量组的线性相关性总结
第四章 向量组的线性相关性§1 n 维向量概念一、向量的概念定义1 n 个有次序的数12,,,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数i a 称为第i 个分量.注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2 n 维向量可以写成一行的形式()12,,,n a a a a =,出可以写成一列的形式12n a a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ⨯矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ⨯矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置.注3 用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1 设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-.解 12v v -(1,1,0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =-12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+-(31203,31214,30210)T =⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-(0,1,2)T =定义 设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。
§2 向量组的线性相关性一、向量组的线性组合 定义3 给定向量组A :12,,,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,,,m k k k 称为这个线性组合的系数.定义4 给定向量组A :12,,,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,,,m λλλ,使得1122m m a a a b λλλ=+++则称向量b 是向量组A 的一个线性组合,或称向量b 可由向量组A 线性表示.注1任一个n 维向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭都可由n 维单位向量组12,,,n e e e 线性表示:1122n n a a a a e e e =+++ .注2向量b 可由向量组A :12,,,n a a a 线性表示（充要条件）⇔方程组1122n n a a a x x x b +++=有解m n A x b ⨯⇔=有解()(,)R A R A b ⇔=注3 由于线性方程组的解分为：无解，有唯一解，有无穷多解三种情况，所以向量β由向量12,,,n a a a 线性表示的情形也分为三种：不能线性表示，唯一线性表示，无穷多种线性表示，且线性表示式中的系数就是对应线性方程组的解。
向量的线性相关性
证明 充分性 设 a 1 , a 2 , , a m 中有一个向量（比如 a m ） 能由其余向量线性表示. 即有
a m 1 1 2 2 m 1 m 1
故
1 1 2 2 m 1 m 1 1 a m 0
a1 x1 a 2 x 2 an xn b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
定义１ 给定向量组 A : 1 , 2 , , m ，对于任何一
向量 组实数 k 1， k 2， , k m ， k 1 1 k 2 2 k m m 称为向量组的一个
向量 b 能
即线性方程组 x 1 1 x 2 2 x m m b 有解 .
定理1 向量 b 能由向量组 A 线性表示的充分必要
条件是矩阵 A ( 1， 2， , m )的秩等于矩阵 B ( 1， 2， , m , b )的秩 .
定义２ 设有两个向量组
a 11 a 21 a m1
a 12 a 22 am2
设矩阵 A 经初等行变换变成 向量都是 A 的行向量组的线性组合 组能由 A 的行向量组线性表示 可知， A 的行向量组能由 于是 A 的行向量组与
, 则只有当
1 n 0时 , 才有 1 1 2 2 n n 0 成立 .
2. 对于任一向量组 线性相关 . , 不是线 性无关就是
3. 向量组只包含一个向量
时 , 若 0 则说
.
线性相关 , 若 0 , 则说 线性无关
（ b1 , b 2 , , b s ) 1 , 2 , , m （
a m 1 1 2 2 m 1 m 1
故
1 1 2 2 m 1 m 1 1 a m 0
a1 x1 a 2 x 2 an xn b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
定义１ 给定向量组 A : 1 , 2 , , m ，对于任何一
向量 组实数 k 1， k 2， , k m ， k 1 1 k 2 2 k m m 称为向量组的一个
向量 b 能
即线性方程组 x 1 1 x 2 2 x m m b 有解 .
定理1 向量 b 能由向量组 A 线性表示的充分必要
条件是矩阵 A ( 1， 2， , m )的秩等于矩阵 B ( 1， 2， , m , b )的秩 .
定义２ 设有两个向量组
a 11 a 21 a m1
a 12 a 22 am2
设矩阵 A 经初等行变换变成 向量都是 A 的行向量组的线性组合 组能由 A 的行向量组线性表示 可知， A 的行向量组能由 于是 A 的行向量组与
, 则只有当
1 n 0时 , 才有 1 1 2 2 n n 0 成立 .
2. 对于任一向量组 线性相关 . , 不是线 性无关就是
3. 向量组只包含一个向量
时 , 若 0 则说
.
线性相关 , 若 0 , 则说 线性无关
（ b1 , b 2 , , b s ) 1 , 2 , , m （
线性代数：3.2 向量的线性相关性
,
是线性无关的.
n
例：判断向量组
1 1, a, a2, a3 ,2 1, b, b2, b3 , 4 1, c, c2, c3 ,4 1, d, d 2, d 3
线性相关还是线性无关。（a, b, c, d各不相同）
考虑齐次线性方程组
x1 x2 x3 x4 0 ax1 bx2 cx3 dx4 0 a2 x1 b2 x2 c2 x3 d 2 x4 0 a3 x1 b3 x2 c3 x3 d 3 x4 0 其系数行列式是范德蒙德行列式
即齐次线性方程组有非零解，
所以向量 1,2 ,3 线性相关。
而向量 1,2 对应分量不成比例，所以线性无关。
例： 已知向量组 1 , 2 , 3 线性无关,
1 1 2, 2 2 3,3 3 1
试证 : 1 , 2 , 3线性无关.
证明: 设 k11 k2 2 k3 3 0 k1(1 2 ) k2 ( 2 3 ) k3 ( 3 1 ) 0
设 k11 k22 l11 l22
两式相减得
kmm lmm
（k1 l1 )1 (k2 l2 )2 (km lm )m 0
因为1,2 ,,m线性无关，
所以系数k1 l1 0, k2 l2 0,, km lm 0, 于是有ki li , i 1, 2, , m.
k11 k22 kmm 0
不妨设ki 0，于是
i
k1 ki
1
ki 1 ki
i 1
ki 1 ki
i 1
即i可由其余m-1个向量线性表示。
km ki
m
（充分性）设i可由其余m 1个向量线性表示， 即i l11 li1 i1 li1 i1 lmm
于是l11 l i1 i1 (1) i l i1 i1 lm m 0
向量组等价、线性相关性
R(A) 2, R(B) 2, R(A,B)2. R (A ) R (B ) R (A ,B )
所以 向 量 组 a 1 ,a 2 与 向 量 组 b 1 ,b 2 ,b 3 等 价
向 量 组 A :a 1,a2, ,am 与 向 量 组 B : b 1 ,b 2, ,b l等 价 R (A ) R (B ) R (A ,B ) .
R(A)n. 其 中 A (a 1 ,a 2 , ,a m ) , n m
1 1 3
1 0 0
向量组
1
2,2
0,3
0
1
2
4
与
e1
0
,
e2
1
,
e3
0
0 0 1
等价的必要条件
反之不一定！
向量组A与向量组B等价 R(A)R(B)
向量组与单位向量组等价的条件
n 维 单 位 向 量 组 E : e 1 ,e 2 , ,e n 能由向量组A线性表示
向 量 组 A :a1,a2, ,am与 单 向 量 组 E : e 1 ,e 2 , ,e n 等 价
0
1
0
0
0Q
OOQ,
令
a
P
0
,
bT10 0 0Q ,
0
则 a 为非零列向量, (P的第一列非零)
b T 为非零行向量, （Q的第一行非零）
且 A abT 成立。
" " 存在非零列向量a b 及非零行向量 T ，使得 A abT .
所以 向 量 组 a 1 ,a 2 与 向 量 组 b 1 ,b 2 ,b 3 等 价
向 量 组 A :a 1,a2, ,am 与 向 量 组 B : b 1 ,b 2, ,b l等 价 R (A ) R (B ) R (A ,B ) .
R(A)n. 其 中 A (a 1 ,a 2 , ,a m ) , n m
1 1 3
1 0 0
向量组
1
2,2
0,3
0
1
2
4
与
e1
0
,
e2
1
,
e3
0
0 0 1
等价的必要条件
反之不一定！
向量组A与向量组B等价 R(A)R(B)
向量组与单位向量组等价的条件
n 维 单 位 向 量 组 E : e 1 ,e 2 , ,e n 能由向量组A线性表示
向 量 组 A :a1,a2, ,am与 单 向 量 组 E : e 1 ,e 2 , ,e n 等 价
0
1
0
0
0Q
OOQ,
令
a
P
0
,
bT10 0 0Q ,
0
则 a 为非零列向量, (P的第一列非零)
b T 为非零行向量, （Q的第一行非零）
且 A abT 成立。
" " 存在非零列向量a b 及非零行向量 T ，使得 A abT .
5.2 向量组的线性相关性
5.2 向量组的线性相关
一、向量组的线性组合
二、向量组的线性相关性
1
由若干个相同维数的列向量(或相同维数 的行向量)所组成的集合称为列(行)向量组。
设矩阵A (aij )m n , 若按列分块, 则得 a11 a12 a1n a21 a22 a2 n A (a1 a2 an ) a am 2 amn m1
11
(2)关于向量组等价的性质
两向量组的等价 ,显然满足下列性质 : (1) 自身性 A ~ A
(2) 对称性 若A ~ B, 则B ~ A (3) 传递性 若A ~ B, B ~ C 则A ~ C
12
(3)线性表示的矩阵表达法 如果向量组A : a1, a2 , , ar可由向量组B : b1, b2 ,
其中bi (ai1, ai 2 , , ain ) (i 1, 2, , m)是n维 行向量。
即矩阵可构成一个n维行向量组成的行向量组。 反之, 有限个同维行向量也可以构成一个矩阵。
由此可见, 矩阵问题可以就转化为向量的问题。
3
若对A按列分块, 记作A (a1 a2 an ), 则 方程组 Ax b x1 x 2 b a1 a2 an xn 即 x1a1 x2a2 xnan b 这里a1, a2,, an, b都是m维列向量。 由此可见,方程组的问题也可以就转化为向量的
15
设向量组A : a1, a2 , , am , 那么向量组A 线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组 k1a1 k2a2 kmam 0 有非零解。
即Ax 0有非零解,其中A (a1, a2,, am )。
定理2 设n维向量组a1, a2 , , am ,记矩阵 A (a1, a2 , , am ), x ( x1, x2 , , xm )T ,那么下列 三个命题等价: (1)向量组a1, a2 , , am线性相关 (2)齐次线性方程组Ax 0有非零解。 (3)R( A) m,即矩阵A的秩小于向量组所含 向量的个数m。
一、向量组的线性组合
二、向量组的线性相关性
1
由若干个相同维数的列向量(或相同维数 的行向量)所组成的集合称为列(行)向量组。
设矩阵A (aij )m n , 若按列分块, 则得 a11 a12 a1n a21 a22 a2 n A (a1 a2 an ) a am 2 amn m1
11
(2)关于向量组等价的性质
两向量组的等价 ,显然满足下列性质 : (1) 自身性 A ~ A
(2) 对称性 若A ~ B, 则B ~ A (3) 传递性 若A ~ B, B ~ C 则A ~ C
12
(3)线性表示的矩阵表达法 如果向量组A : a1, a2 , , ar可由向量组B : b1, b2 ,
其中bi (ai1, ai 2 , , ain ) (i 1, 2, , m)是n维 行向量。
即矩阵可构成一个n维行向量组成的行向量组。 反之, 有限个同维行向量也可以构成一个矩阵。
由此可见, 矩阵问题可以就转化为向量的问题。
3
若对A按列分块, 记作A (a1 a2 an ), 则 方程组 Ax b x1 x 2 b a1 a2 an xn 即 x1a1 x2a2 xnan b 这里a1, a2,, an, b都是m维列向量。 由此可见,方程组的问题也可以就转化为向量的
15
设向量组A : a1, a2 , , am , 那么向量组A 线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组 k1a1 k2a2 kmam 0 有非零解。
即Ax 0有非零解,其中A (a1, a2,, am )。
定理2 设n维向量组a1, a2 , , am ,记矩阵 A (a1, a2 , , am ), x ( x1, x2 , , xm )T ,那么下列 三个命题等价: (1)向量组a1, a2 , , am线性相关 (2)齐次线性方程组Ax 0有非零解。 (3)R( A) m,即矩阵A的秩小于向量组所含 向量的个数m。
相关性的判定及有关重要结论
a1, j
ar, j ar1, j
r( A) r Dr1 0
将D j按最后一列展开，有：
a1j A1 a2 j A2 arj Ar ar1, j Dr 0
按向量形式写，上式为：
j 1,2,, n
1A1 2 A2 r Ar r1Dr 0
Dr 0, 1,2,,r1线性相关, 从而1, 2 ,, m线性相关。
a12 a22
as2
a1s 1 a2s 2
ass s
a11
K
a21
as1
a12 a22
as2
a1s a2s
ass
证明: 若r(K) s，则1, 2,, s线性无关。 1,2,,s与1, 2,, s等价。
向量组的秩的求法
定理4：向量组的秩与该向量组所构成的矩阵的秩相等。
3 （2，3，2，2，5），4 （1，3，1，1，）线性相关？并
求秩及一个极大无关组。
4时，r( A) 3 4,1,2 ,3,4线性相关。
1, 2 , 3是一个极大无关组。但，行摆行变换不行！
反例： 1 (1,0,0),2 (1,1,0),3 (1,1,0)
1 1 A 2 1
若向量组(I )线性无关，且可由向量组(II )线性表
示，则r s.
证：设 1 a11 a12
A
2
a21
a22
r ar1 ar2
1 b11 b12
B
2
b21
b22
s bs1 bs2
a1n a2n
arn
b1n b2n
bsn
1 2
2.相关性的判定定理
定理3：在一个向量组中，若有一个部分向量组线性相关， 则整个向量组也必定线性相关。
向量组等价 线性相关性
同理，A c~ B A的列组与B的列组等价.
但A~B 不能保证A与B的行向量组或列向量组等价 思考
思考
但A~B 不能保证A与B的行向量组或列向量组等价 A :B 可 逆 阵 P , Q B P A Q
B与PA的列向量组等价， B与AQ的行向量组等价
B与A的列向量组等价， B与A的行向量组等价
矩阵的全部行（列）向量 构成行（列）向量组
一个方程的系数及 常数项构成行向量
一个未知数的系数 构成列向量
系数矩阵、增广矩阵 对应行（列）向量组
向量组线性组合
矩阵的初等变换
向量由向量组表示 矩阵的初等变换
向量组由向量组表示 矩阵的乘法
向量组A与B等价 矩阵的行或列等价
方程组线性组合 方程组有解 方程组由方程组表 示方程组等价（同解）
例：
1
A
2
3
5 0 5
1
7
,
2
其标准型
1
F
0
0
0 1 0
0
0
,
0
R(A) 2
R(A,F)3
但
R(F) 2
R
A F
3
所以 A : F, 但其列、行组都不等价
反之 设 有 n 维 向 量 组 A : 1 ,2 , L m 及 B : 1 ,2 , L l ,
构 造 矩 阵 A ( 1 ,2 , L m ) , B ( 1 ,2 , L l ) ,
BKmA
1T 2T
M
k11 k21 L
k12 k22 L
L L L
k1m k2m
12TT
L M
mT
km1
km2
L
kmmmT
向量组的线性相关性
k2 k3 km 1 2 3 m . k1 k1 k1
即 1 能由其余向量线性表示. 证毕.
而 1 ,, m , 线性 定理7 设 1 , 2 ,, m 线性无关, 相关, 则 能由1 ,, m 线性表示, 且表示式是唯一的 .
k1 k3 0 k1 2k 2 3k3 0 k 5k 6k 0 2 3 1
显然k1=k2=1，k3=-1，满足上式。所以存在不全为零 的数1，1，-1使 k11 k2 2 k33 0 所以 1， 2，3
线性相关。
方法二：由克莱姆法则，此方程组的系数行列式
1 0 1 1 0 1 1 0 1 R(A)=2<3,所以 A 1 1 0 0 1 1 0 1 1 方程组有非零解。 0 1 1 0 1 1 0 0 0
故 1 , 2 , , m 线性相关. 必要性 设 1 , 2 , , m 线性相关， 则有不全为0的数 k1 , k 2 ,, k m , 使
k1 1 k2 2 km m 0.
因 k1 , k2 , , km 中至少有一个不为0， 不妨设 k1 0, 则有
1 c D 1 1
1
1
1 c 1 1 1 c
r2 r1 r3 (1 c ) r1
1 c c 2 c
1
1
c 0 c 2 (3 c ) c 0
由克莱姆法则
(1)当D 0即c 0且c -3时 ， 方 程 组 只 有 零 解 ， 向 量 组 线 性 无 关 ； ( 2)当D 0即c 0或c -3时 ， 方 程 组 有 非 零 解 ， 向 量 组 线 性 相 关 。
线性相关和线性无关
, , , 12
, m
线性相关,则
能由 , , 12
, m
线性表
示, 且表示法是唯一的.
18
四、线性相关/无关的基本性质
1、m个n维向量（m > n)一定线性相关， 即向量个数比向量维数大的时候向量组一定线性相关
2、若R n中的n个向量1 , 2 , ...., n 线性无关, 则R n中 任何一个向量 都可以由1 , 2 , ...., n线性表示,
9
R(A)=? m
否 有非零解
是 只有零解
1 0 1
Q 2 2
0
0
1
,
2
,
线性相关
3
3 5 2
10
总结：
设1 , 2 , ...., m是一组n维向量,则判断线性相关或者线性无关
主要看是否存在一组不全为0的数k1, k2,L , km , 使得:
k11 k22 L kmm 0
a1i
a11 a12 K
引例：
如果向量 与 方向相同或方向相反，则称为共线或平行
如果若干个向量平行于同一个平面，则称它们共面
我们很明显可以得到与 之间的代数关系：
存在唯一的实数 ， .
r
或者 存在不全为0的实数 与，使得k1 k2 0.
1
2
3
1
也可以得到1,2,3 之间的代数关系：
存在唯一的实数 与，使得1 2 3. r
且表示方法唯一 3、向量组线性无关,其部分组线性无关 4、向量组线性相关,其扩大组线性相关
19
2
,
线性无关,证明:
3
(1)1 2 ,2 3,3 1 线性相关
(2)1 2 ,2 3,3 1 线性无关
2线性相关性的结论、极大线性无关组
推论 (相关组减少分量仍相关)
若k+l维向量组 1,2,L ,m线性相关，则缩短向量组 1,2，L ,m 也线性相关 . 注： 无关向量组减少分量可能变成相关向量组；相
关向量组增加分量可能变成无关向量组.
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
定理2、3的解析图
减
加
分
向
量
量
相关组 相关组 相关组
A
0 0 0
3 1 2
3 1 2
0 0 4
3
1 2
0 0 0
0 1 0
0 1 0
0 0 4
0 14
1 0 3 1 2 1 0 3 0 1
0 0 0
1 0 0
1 0 0
0 4 0
1 4 0
0 0 0
1 0 0
1 0 0
0 1 0
1
1 0
B
由矩阵 B 知 1,2 ,4 线性无关且为极大无关组.
1 , 2 ,5
1 , 3 ,4
1 , 3 ,5
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
三、向量组的线性表示与等价
定义3
若向量组 1, 2 ,L , s 中每一个向量 i (i 1, 2,L , s) 皆可由向量组 1,2,L ,m 线性表示，则称向量组 1, 2 ,L , s 可由向量组 1,2 ,L ,m 线性表示；
推论5 若 1, 2 ,L , s与 1,2 ,L ,m等价，且它们
都线性无关，则 s m. 推论6 一个向量组的任意两个极大无关组所含
的向量的个数相同.
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
若k+l维向量组 1,2,L ,m线性相关，则缩短向量组 1,2，L ,m 也线性相关 . 注： 无关向量组减少分量可能变成相关向量组；相
关向量组增加分量可能变成无关向量组.
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
定理2、3的解析图
减
加
分
向
量
量
相关组 相关组 相关组
A
0 0 0
3 1 2
3 1 2
0 0 4
3
1 2
0 0 0
0 1 0
0 1 0
0 0 4
0 14
1 0 3 1 2 1 0 3 0 1
0 0 0
1 0 0
1 0 0
0 4 0
1 4 0
0 0 0
1 0 0
1 0 0
0 1 0
1
1 0
B
由矩阵 B 知 1,2 ,4 线性无关且为极大无关组.
1 , 2 ,5
1 , 3 ,4
1 , 3 ,5
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
三、向量组的线性表示与等价
定义3
若向量组 1, 2 ,L , s 中每一个向量 i (i 1, 2,L , s) 皆可由向量组 1,2,L ,m 线性表示，则称向量组 1, 2 ,L , s 可由向量组 1,2 ,L ,m 线性表示；
推论5 若 1, 2 ,L , s与 1,2 ,L ,m等价，且它们
都线性无关，则 s m. 推论6 一个向量组的任意两个极大无关组所含
的向量的个数相同.
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
线性相关性的结论极大线性无关组
证明：（必要性）（反证法）
假设1,2 ,
,
线性相关.
m
则存在不全为零的数 k1, k2 , , km
使k11 k22 kmm 0. (1)
向量 可由 1,2 , ,m 线性表示.
有l11 l22 lmm , (2)
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
(1) (2)
(k1 l1 )1 (k2 l2 )2 (km lm )m
2
0
0
( 3)
(1 2
2
)
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
所以
1. 1and 3, R(1,2,3, ) R(1,2,3 ) 3,
向量 可由 1,2,3 唯一线性表示.
2. 0, R(1,2,3, ) R(1,2,3 ) 1 3; 向量 可由1,2 ,3 线性表示，但不唯一.
一、线性相关性的结论 二、极大线性无关组 三、向量组的线性表示与等价
一、线性相关性的结论
定理1 若向量组1,2 , ,m线性无关，而向量组
1,2, ,m , 线性相关，则 可由向量组
1,2 , ,m 唯一线性表示.
证明： 1,2 , ,m线性无关，则秩(1,2 , ,m )=m;
又 1,2 , ,m , 线性相关， 则秩(1,2 , ,m , )<m 1; 于是有 m=秩(1,2 , ,m ) 秩(1,2 , ,m , )<m 1; 秩(1,2 , ,m , )=m 秩(1,2 , ,m );
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
解：
1 1 1 0
因为
(1
,
2
பைடு நூலகம்
,
3
,
)
1 1
假设1,2 ,
,
线性相关.
m
则存在不全为零的数 k1, k2 , , km
使k11 k22 kmm 0. (1)
向量 可由 1,2 , ,m 线性表示.
有l11 l22 lmm , (2)
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
(1) (2)
(k1 l1 )1 (k2 l2 )2 (km lm )m
2
0
0
( 3)
(1 2
2
)
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
所以
1. 1and 3, R(1,2,3, ) R(1,2,3 ) 3,
向量 可由 1,2,3 唯一线性表示.
2. 0, R(1,2,3, ) R(1,2,3 ) 1 3; 向量 可由1,2 ,3 线性表示，但不唯一.
一、线性相关性的结论 二、极大线性无关组 三、向量组的线性表示与等价
一、线性相关性的结论
定理1 若向量组1,2 , ,m线性无关，而向量组
1,2, ,m , 线性相关，则 可由向量组
1,2 , ,m 唯一线性表示.
证明： 1,2 , ,m线性无关，则秩(1,2 , ,m )=m;
又 1,2 , ,m , 线性相关， 则秩(1,2 , ,m , )<m 1; 于是有 m=秩(1,2 , ,m ) 秩(1,2 , ,m , )<m 1; 秩(1,2 , ,m , )=m 秩(1,2 , ,m );
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
解：
1 1 1 0
因为
(1
,
2
பைடு நூலகம்
,
3
,
)
1 1
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线性相关的等价条件
1.向量组的线性相关性的定义∶若存在一组不全为零的数入;=(i = 1,2，…, n)，使得, A +A2a+…+入n a。
=入a =o,则称向量组A线性相关，否则，称向量组A线性无关。
2.若向量组(或矩阵)A的秩R(A)= r，则r<m时，向量组A线性相关，r = m时，向量组线性无关。
3.若齐次线性方程组XA=0有非零解,则向量组A线性相关，否则(方程组只有零解)，向量组A线性无关。
4.若m = n，若矩阵A可逆，则向量组A线性无关，否则向量组A线性相关。
[1][2]
5. m > n时，向量组A必线性相关。
6.若矩阵A有一个m阶非零子式，则向量组A线性无关。
7.向量组等价的概念:若向量组B中的每一个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向曩组A线性表示;若向量组A与向量组B能互相线性表示，则称向量组A与向量组B等价，记为A ~B。
8.所含向量个数相等的两个等价的向量组具有相同的线性相关性。
9.矩阵乘积后秩不可能变大，即对任意矩阵A和B，有R( AB)≤R( A)， R(AB)≤R(B)[1][2]
10.矩阵A乘一个非奇异阵(可逆阵)P后，不改变矩阵A的秩，从而不改变向量组A的线性相关性。
11.对任意实矩阵A，有矩阵ATA 与矩阵A秩相等，即R( ATA)
12.设有n维列向量组A:aj, a2，…,à,线性无关，显然r<n。
即
矩阵A=(&, a2,…, az)= ( aj)..的秩六, . 4TA是,阶非奇异的对称阵。