函数值域求法大全

函数值域求法大全函数的值域是由定义域和对应法则共同确定。

确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。

本文介绍了十一种函数值域求法。

首先是直接观察法，对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。

例如，对于函数y=1/x，由于x不等于0，因此函数的值域为(-∞,0)U(0,+∞)。

再比如，对于函数y=3-x，由于x的取值范围为(-∞,+∞)，因此函数的值域为(-∞,3]。

其次是配方法，这是求二次函数值域最基本的方法之一。

例如，对于函数y=x^2-2x+5，将其配方得到y=(x-1)^2+4，由此可得出函数的值域为[4.+∞)。

还有判别式法，例如对于函数y=(1+x+x^2)/(1+x^2)，可以将其化为关于x的一元二次方程，然后根据判别式的值来确定函数的值域。

除此之外，还有其他的函数值域求法，如利用导数、利用反函数、利用奇偶性等方法。

这些方法各有特点，应根据具体情况选择合适的方法来求解。

总之，确定函数的值域是研究函数的重要一环，掌握好函数值域的求法可以帮助我们简化运算过程，事半功倍。

换元法是一种数学方法，可以通过简单的换元将一个函数变为简单函数。

其中，函数解析式含有根式或三角函数公式模型是其题型特征之一。

换元法不仅在求函数的值域中发挥作用，也是数学方法中几种最主要方法之一。

例如，对于函数 $y=x+x^{-1}$，我们可以令 $x-1=t$，则$x=t+1$。

代入原函数，得到$y=t^2+t+1=(t+1)^2+\frac{1}{4}$。

由于 $t\geq 0$，根据二次函数的性质，当 $t=0$ 时，$y$ 取得最小值 $1$，当 $t$ 趋近于正无穷时，$y$ 也趋近于正无穷。

因此，函数的值域为 $[1,+\infty)$。

又如，对于函数 $y=x^2+2x+1-(x+1)^2$，我们可以将 $1-(x+1)^2$ 化简为 $\frac{1}{2}-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2$，然后令 $x+1=\cos\beta$，则 $y=\sin\beta+\cos\beta+1$。

由于 $-1\leq\cos\beta\leq 1$，因此 $-\frac{\pi}{2}\leq\beta\leq\frac{\pi}{2}$。

根据三角函数的性质，$-\sqrt{2}\leq\sin\beta+\cos\beta\leq\sqrt{2}$，因此 $0\leq y\leq1+2\sqrt{2}$。

因此，函数的值域为 $[0,1+2\sqrt{2}]$。

再如，对于函数 $y=\frac{x^3-x}{4x+2x^2+1}$，我们可以将其变形为 $y=\frac{x(x^2-1)}{2x^2+1}=\frac{(x^2-1)+x}{2x^2+1}$。

令 $x=\tan\beta$，则$y=\frac{\sin\beta+\cos\beta}{2\cos^2\beta+1}$。

由于 $-\frac{\pi}{2}<\beta<\frac{\pi}{2}$，因此 $0<\cos^2\beta<1$，从而 $1<2\cos^2\beta+1<3$。

因此，$0<\frac{\sin\beta+\cos\beta}{2\cos^2\beta+1}<\frac{\sqrt{2}+1} {3}$。

因此，函数的值域为 $(0,\frac{\sqrt{2}+1}{3})$。

在x轴的同侧，例18的A，B两点坐标分别为（3，2）和（2，-1）。

使用基本不等式a+b≥2ab和a+b+c≥3abc（a，b，c∈R），可以求出函数的最值。

题型特征是和式时要求积为定值，积时要求和为定值。

有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例19中要求解sinxcosx的值域。

原函数变形为y=(sinx+1/2)+(cosx-2)-4.y=1+cos2x+1/sin2x=3+tan2x+cot2x≥3(3tan2xcot2x+2)=5，当且仅当tanx=cotx时取等号。

因此，原函数的值域为[5,+∞)。

例20要求解y=2sinxsin2x的值域。

y=4sinxsinxcosx=16sin4xcos2x=8sin2xsin2x(2-2sin2x)≤8[(sin2x+sin2x+2-2sin2x)/3]3=64/27，当且仅当sin2x=2/3时取等号。

因此，函数的值域为[-64/27,8/27]。

例21要求解y=(ax+b)/(cx+d)的值域，其中c≠0.在定义域上，x与y是一一对应的。

因此，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。

令t=x+2(t≥2)，则x+3=t+1.当t>1时，y>0；当t=1时，y=0.因此，0<y≤1.例22要求解y=(x+2)/(x+3)的值域。

令t=x+2(t≥2)，则x+3=t+1.因此，2≤t≤3.当t>3时，y1/3.因此，1/3<y≤1/2.例23.求函数 $y=\frac{1+x-2x^2+x^3+x^4}{1+2x^2+x^4}$ 的值域。

解：将分子分母分别因式分解得：y=\frac{(x-1)(x^3-1)}{(x^2+1)^2}$$令 $t=x^2$，则：y=\frac{(t-1)(t^2-1)}{(t+1)^2}$$为了方便计算，我们先求出 $t$ 的取值范围。

因为$t=x^2\geq 0$，所以 $t-1\geq -1$，$t^2-1\geq -1$，$t+1>0$。

又因为 $t+1>0$，所以 $t\neq -1$。

因此，$t$ 的取值范围为$[0,+\infty)$。

对于 $y$ 的值域，我们可以先求出 $y$ 的最大值和最小值。

令 $y=\frac{(t-1)(t^2-1)}{(t+1)^2}=k$，则：t-1)(t^2-1)=k(t+1)^2$$化___：t^3+(k-2)t^2+(k+2)t-(k+2)=0$$由于 $t\geq 0$，所以 $t$ 是上述方程的一个实数根。

因此，根据___定理，有：t_1+t_2+t_3=2-k$$t_1t_2+t_2t_3+t_3t_1=k+2$$t_1t_2t_3=k+2$$其中 $t_1,t_2,t_3$ 是方程的三个实数根。

由于 $t\geq 0$，所以 $t+1>0$，即 $t\neq -1$。

因此，$t=-1$ 不是方程的实数根。

又因为 $t$ 是实数，所以$t_1,t_2,t_3$ 都是实数。

对于最大值，我们要使得 $t$ 取到最大值。

由于 $t\geq 0$，所以 $t_1,t_2,t_3$ 中至少有一个为 $0$。

如果 $t_1=0$，则$t_2t_3=k+2$，由于 $t_2,t_3\geq 0$，所以$t_2=t_3=\sqrt{k+2}$。

因此。

t_1+t_2+t_3=2-k$$t_1=0,t_2=t_3=\sqrt{k+2}$$代入得：sqrt{k+2}=1-\frac{k}{2}$$解得 $k_{\max}=\frac{17}{16}$，此时$t_1=0,t_2=t_3=\frac{\sqrt{17}}{4}$，从而：y_{\max}=\frac{(t_1-1)(t_2^2-1)}{(t_2+1)^2}=\frac{1}{16}$$对于最小值，我们要使得 $t$ 取到最小值。

由于 $t\geq 0$，所以 $t_1,t_2,t_3$ 都不为 $0$。

因此，它们都是方程 $t^3+(k-2)t^2+(k+2)t-(k+2)=0$ 的三个实数根。

根据___定理，有：t_1+t_2+t_3=2-k$$t_1t_2+t_2t_3+t_3t_1=k+2$$t_1t_2t_3=k+2$$由于$t_1,t_2,t_3$ 都不为$0$，所以它们都是正数或负数。

又因为 $t_1t_2t_3=k+2>0$，所以它们要么都是正数，要么都是负数。

如果它们都是正数，那么 $t_1,t_2,t_3$ 都是方程 $t^3+(k-2)t^2+(k+2)t-(k+2)=0$ 的三个正实数根。

根据均值不等式，有：frac{t_1+t_2+t_3}{3}\geq \sqrt[3]{t_1t_2t_3}$$即：2-k\geq 3\sqrt[3]{k+2}$$解得$k\leq -\frac{1}{3}$。

但是，当$k=-\frac{1}{3}$ 时，方程 $t^3+(k-2)t^2+(k+2)t-(k+2)=0$ 的三个实数根分别为$t_1=-\frac{1}{3},t_2=t_3=\frac{2}{3}$。

此时。

y=\frac{(t_1-1)(t_2^2-1)}{(t_2+1)^2}=-\frac{2}{3}$$不满足 $y\geq -2$ 的条件，因此，当 $k>-\frac{1}{3}$ 时，$t_1,t_2,t_3$ 中至少有一个是负数。

如果 $t_10$，$t_2t_3=k+2-t_1(t_2+t_3)>0$。

因此，$t_2,t_3$ 都是正数。

从而：y=\frac{(t_1-1)(t_2^2-1)}{(t_2+1)^2}<0$$不满足 $y\geq -2$ 的条件，因此，当 $k>-\frac{1}{3}$ 时，$t_1,t_2,t_3$ 中至少有一个是正数。

综上所述，当$k>-\frac{1}{3}$ 时，$y$ 的最小值为$-2$，此时 $y_{\min}=-2$。

因此，当 $k>-\frac{1}{3}$ 时，$y$ 的值域为 $[-2,\frac{1}{16}]$。