有限元法理论及应用参考答案

有限元法理论及应用大作业1、试简要阐述有限元理论分析的基本步骤主要有哪些？答：有限元分析的主要步骤主要有：（1）结构的离散化，即单元的划分；（2）单元分析，包括选择位移模式、根据几何方程建立应变与位移的关系、根据虚功原理建立节点力与节点位移的关系，最后得到单元刚度方程；（3）等效节点载荷计算；（4）整体分析，建立整体刚度方程；（5）引入约束，求解整体平衡方程。

2、有限元网格划分的基本原则是什么？指出图示网格划分中不合理的地方。

题2图答：一般选用三角形或四边形单元，在满足一定精度情况，尽可能少一些单元。

有限元划分网格的基本原则:1.拓扑正确性原则。

即单元间是靠单元顶点、或单元边、或单元面连接2.几何保持原则。

即网络划分后，单元的集合为原结构近似3.特性一致原则。

即材料相同，厚度相同4.单元形状优良原则。

单元边、角相差尽可能小5.密度可控原则。

即在保证一定精度的前提下，网格尽可能的稀疏一些。

（a）(b)中节点没有有效的连接，且（b）中单元边差相差很大。

（c）中没有考虑对称性，单元边差很大。

3、分别指出图示平面结构划分为什么单元？有多少个节点？多少个自由度？题3图答：（a ）划分为杆单元， 8个节点，12个自由度。

（b ）划分为平面梁单元，8个节点，15个自由度。

（c ）平面四节点四边形单元，8个节点，13个自由度。

（d ）平面三角形单元，29个节点，38个自由度。

4、什么是等参数单元？。

答：如果坐标变换和位移插值采用相同的节点，并且单元的形状变换函数与位移插值的形函数一样，则称这种变换为等参变换，这样的单元称为等参单元。

5、在平面三节点三角形单元中，能否选取如下的位移模式，为什么？(1).⎪⎩⎪⎨⎧++=++=26543221),(),(y x y x v yx y x u αααααα (2). ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=2652423221),(),(yxy x y x v yxy x y x u αααααα 答：（1）不能，因为位移函数要满足几何各向同性，即单元的位移分布不应与人为选取的 坐标方位有关，即位移函数中的坐标x,y 应该是能够互换的。

所以位移多项式应按巴斯卡三角形来选择。

（2）不能，位移函数应该包括常数项和一次项。

6、设位移为线性变化，将图示各单元边上的载荷等效到相应的节点上去。

（1）集中力F 平行于x 轴，e 点到i 、j 点的距离分别为ｌie ，ｌje ； （2）边长为ｌij 的ij 边上有线性分布载荷，最大值为q 。

题6图答：（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=0jeie ieja l l l FF ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=0je ie je ia l l l F F （2）i,j 两节点受到的力分别为ij ql 61，ij ql 31⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=θθcos 61sin 61ij ij i ql ql P ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=θθcos 31sin 31ij ij jql ql P 7、图示三角形ijm 为等边三角形单元，边长为ｌ，单位面积材料密度位ρ，集中力F 垂直作用于mj 边的中点，集度为q 的均布载荷垂直作用于i m 边。

写出三角形单元的节点载荷向量。

题7图 题8图答：将q 移置到m,i 节点：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=ql ql P m 41431 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=ql ql P i 41431将F 移置到m,j 两节点：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=F F P m 41432 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=F F P j 41432 将重力移置到i,j,m 点：33231230j i m P P l P ==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=ρ叠加后得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=212341414343l F ql F ql P m ρ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=21234143l ql ql P i ρ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=21234143l F F P j ρ8、如图所示为线性位移函数的三角形单元，若已知i 、j 两个节点的位移为零，试证明ij 边上任意一点的位移都为零。

证：设ij 边上任一点坐标为x,y ，则其位移为：∵i 、j 点位移为0 ∴所以u i ,v i ,u j ,v j 均为0 要证 {δ}=0，只需证 N m =0∵N m =(a m +b m x +c m y)/2A ，a m =x i y j -x j y i ，b m =y i -y j ，c m =x j -x i ∴N m = [x i y j -x j y i +(y i -y j )x+(x j -x i )y]/2A=[xy i -yx i ]/2A ∵该点为ij 边上任一点 ∴y i /x i =y/x ∴Nm = 09、已知图示的三角形单元，其jm 边和mi 边边长均为a ，单元厚度为t ，弹性模⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=m m j j i i m jim j iv u v u v u N N N N N N 0000}{δ量为E ，泊松比为μ＝0，试求： （1）行函数矩阵N ； （2）应变矩阵B ； （3）应力矩阵S ； （4）单元刚度矩阵K 。

解：令m 点为坐标原点，则m 点坐标为（0,0），j 点坐标为（0,a ），i 点坐标为（a,0）0a =-=j m m j i y x y x ，0=-=m i i m j y x y x a ，2a y x y x a i j j i m =-=a y yb m j i =-=，0=-=i m j y y b ，a y y b j i m -=-=; 0=-=j m i x xc ，a x x c m i j =-=，a x x c i j m -=-=.m j i y c x b a A N i i i i ,,),(21++=x a ax a N i 1*12==,y a ay a N j 1*12==,)(1)(*122y x a a ay ax a aN m --=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y -x -a 0y0x 00y -x -a 0y 0x 1N 0N 0N 00N 0N 0N m jim j ia N ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∆=110101010100100001100000000001000000212a a a a a a a a a a b c c b b c c b b c c b B m m mm jj jj ii i i ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=10002000222100010112E E D μμμμ[][][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==120102020100100002211010101010010000111000200022a E a E B D S [][][][]21101010101001000011100020002211010101010010000112a t a E a t B D B K TT e⋅⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=∆=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------=3121302021101100201101101101100200024Et题9图 题10图10、如图所示，设桁架杆的长度为ｌ，截面积为A ，材料弹性模量为E ，单元的位移函数为u (x)=α1＋α2x ，导出其单元刚度矩阵。

答：：1点：x=0 u=u12点： x=l u=u2⎩⎨⎧+==l u u 21211ααα ⎪⎩⎪⎨⎧-==l u l u u 12211αα lx N l x u lxu l x x l u l u u u =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=2121121;1N 1令[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=21212211u u N N u N u N u dxdudx u du u =-+=ε{}{}[]{}eeeB l l l x l x dx d δδδ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=111[]{}{}[]{}eee S l E lEB E E δδδεσ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=== [K] e=∫∫V[B]T[D][B]dv[D] -----为弹性矩阵(对于一维问题,为E)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎰22220e1111[K]l EA l EA l EA l EAAdxl l E l l l11、如图为一悬臂梁，其厚度为1m ，长度为2 m ，高度为1 m ，弹性模量为E ，泊松比为μ＝1/3，在自由端面上作用有均匀载荷，合力为F ，若用图示两个三角形单元进行有限元分析，试计算各个节点的位移；若将悬臂梁离散为四个平面三角形单元，令μ＝0，试求整体刚度矩阵。

解：离散为两个单元求各节点位移,假设t 很小,则该问题为平面应力问题： 一、单元编号、节点坐标各节点的坐标为：1(0,0),2(2,0),3(2,1),4(0,1)面积A=1; 二、求单元刚度矩阵（１）对单元① (i=1,j=2,m=4)由ai=xjym-xmyj bi=yi-ym ci=xm-xj 得 b1= -1 c1=-2 b2=1 c2=0 b4=0 c4=2由[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-+-+-=s r s r sr s r s r s r s r s r rs b b c c cb bc b c c b c c b b A Et k 21212121)1(42μμμμμμμ r,s = i,j,m 令329)1(42EtA Et P =-=μ 得:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=37343437][11P k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=3132321][12P k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=4323234][14P k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=3132321][21P k ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=31001][22P k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=032320][24P k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=4323234][41P k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=032320][42P k ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=40034][44P k ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------------=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡403243203432032340323103132320013214323132373432343213437444241242221141211P k k k k k k k k k （１）、对单元② (i=2,j=3,m=4)同理求得：b2 = 0 c2 = -2 b3 = 1 c3 = 2 b4 = -1 c4=0求得：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=40034][22P k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=4323234][23P k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=032320][24P k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=313343437][33P k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=3132321][34P k ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=31001][44P k可得单元②的单元刚度矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------------=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=310313203201321320313231334432321343732303243240320323403444434234333223232224k k k k k k k k k P k 三、整理刚度矩阵将两个单元刚度矩阵的子矩阵对号入座，组成整体刚度矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------------------------------=31303132034432037321340323431323133443200321343732340003443231303132340323403732143200313237343234003213437][P K 四、单元等效节点力和整体等效节点载荷∵单元①不受分布力作用 ∴{R} ① = 0单元②有分布力F/t 作用，利用tds q N R l T⎰=}{][}{②ds F N tds t F N L T L T⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡==0][}{][ds F L LjL L L L L Tm im j i⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000000 ∵ij 边上 Lm = 0∴ds F Lj L L LR L Tij i⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000000000}{② []ds L L F R LTji⎰=0000}{②由l ds L L Lj i ⋅++=⎰)!1(!!βαβαβα 得2121==⎰⎰ds L ds L Li L i T FR ]001010[2}{=② 将两个单元的等效节点力以对号入座的方式迭加，再加上节点1和4 上的未知集中力，得整体等效节点载荷为T Y X F F Y X R ]22[}{4114=五、求解整体平衡方程 整体平衡方程：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------------------------------4411443322112020130120412207234024121344200234724000412213012402407231220012742402347163Y X F F Y X v u v u v u v u Et约束边界条件为： u1 = v1 = u4 = v4 = 0 将这四个零位移的行划去，剩下方程为：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------2020134122472412213024073233322F F v u v u Et得整体节点位移列阵：T EtF]00000.9878.1420.8494.100[}{=δ题11图12、利用对称性或反对称性等原理建立图示结构的有限元计算模型。