河北省衡水市第十三中学2023届高三上学期质检(三)数学试题(解析版)

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河北衡水金卷—高三第三次联合质量测评数学(文)试题(含答案)

河北衡水金卷—高三第三次联合质量测评数学（文科）本试卷共6页满分150分考试用时120分钟注意事项：l ．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2．第I 卷每小题选出答案后．用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 满足()12z i i +=-，则复数z 在复平面内对应的点所在象限为 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集U R =，集合(){}{}()22log 21,340U A x x B x x x C A =-<=--<，则B ⋂为A ．∅B ．{}12x x -<≤C ．{}4x x -<<3D ．{}42x x -<≤3．若命题p 为：[)1,,sin cos 2x x x p ∀∈+∞+≤⌝，则为A ．[)1,,sin cos 2x x x ∀∈+∞+>B ．[)00,1,sin cos 2x x x ∃∈-∞+>C ．[)0001,,sin cos 2x x x ∃∈+∞+>D ．(),1,sin cos 2x x x ∀∈-∞+≤4．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，在该问题中的1984人全部派遣到位需要的天数为 A ．14B ．16C ．18D ．205．若线段AB 的长为3，在AB 上任意取一点C ，则以AC 为直径的圆的面积不超过34π的概率为 A ．34B ．436C ．33D ．4336．已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1) ()()12,f x f x +=-(2)当[)()20,2,1x f x x x ∈=-+，则有A ．()()3112f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭ B ．()()3112f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．()()3112f f f ⎛⎫-<<-⎪⎝⎭ D ．()()3112f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭7．某几何体111ABP A B P -的三视图如图所示，其中点1,P P 分别是几何体111ABP A B P -上下底面的一组对应顶点，打点器从P 点开始到1P 点结束绕侧面打一条轨迹线，则留下的所有轨迹中最短轨迹长度为 A ．625+ B ．()2153+C ．425+D ．153+8．已知向量()11,3,,2a b x a b ⎛⎫==-⎪⎝⎭，若与的夹角为60 ，则x 的值为A ．0B ．33C ．32D ．302或9．已知双曲线()222210,0x y E a b a b -=>>：的左，右焦点分别为12,F F 过右焦点的直线:l x y c +=在第一象限内与双曲线E 的渐近线交于点P ，与y 轴正半轴交于点Q ，且点P 为2QF 的中点，12QF F ∆的面积为4，则双曲线E 的方程为A ．22122x y -= B ．2212x y -= C ．22144x y -= D ．22143x y -= 10．在长方体11111122,ABCD A BC D AA AD A B -==中，与平面11ABC D 所成的角为α，则α的取值区间为A ．0,6π⎛⎫⎪⎝⎭B ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭C ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭11．椭圆()222210x y C a b a b+=>>：与抛物线2:4E y x =相交于点M ，N ，过点()1,0P -的直线与抛物线E 相切于M ，N 点，设椭圆的右顶点为A ，若四边形PMAN 为平行四边形，则椭圆的离心率为 A ．33B ．22C ．23D ．3412．已知函数()()sin 03,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<≤<<⎪⎝⎭对(),6x R f x f π⎛⎫∈≤⎪⎝⎭恒成立，且12x π=-为函数()f x 的一个零点，将函数()f x 的图象向右平移3π个单位得函数()g x 的图象，则方程()()10,4,4xe g x x +=∈-的解的个数为 A ．4B ．5C ．6D ．7第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

河北省衡水中学2023届高三上学期三调数学试题 Word版含解析

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由导数几何意义得，然后由基本不等式得最小值．
【详解】由已知，所以，
，当且仅当时等号成立．
故选：A．
4.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的值可以是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数图象变换可得出变换后的函数解析式，由已知可得出关于的等式，即可得出结果.
【详解】因为，
将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，
由题意可得，可得，当时，，
故选：D.
5.已知函数部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称
C. 在区间上的最小值为 D. 的图象关于直线对称
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，结合“五点法“作图，求出函数的解析式，再逐项判断作答.
详解】观察图象知，，而，解得或，
函数周期，由图象知，即，因此，
解得，由五点作图法知，，当时，；当时，，不符合题意，
所以，，，
的最小正周期为，A不正确；
因为，即的图象关于点不对称，B不正确；
当时，，则，在区间上的最小值为，C不正确；
因为，因此的图象关于直线对称，D正确.
河北省衡水中学2023届上学期高三年级三调考试
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

2023届河北省衡水市第十三中学高三年级上册学期质检(三)数学试题【含答案】

2023届河北省衡水市第十三中学高三上学期质检（三）数学试题一、单选题1．已知集合，则（）}{}2,2A B x x =≤=<A B = A ．B ．{}22x x -<<{}02x x ≤<C ．D ．{}2x x ≤{}22x x -<≤【答案】B 【分析】计算，再计算交集得到答案.{}{}04,22A x x B x x =≤≤=-<<【详解】，}{}{}{}204,222A x x B x x x x =≤=≤≤=<=-<<所以.{}02A B x x ⋂=≤<故选：B 2．已知，则的虚部为（）()1i 4z ⋅+=z A ．B ．2C ．D ．2-2i-2i【答案】A【分析】根据复数的四则运算运算求解.【详解】因为，所以，所以的虚部为.()1i 4z ⋅+=422i 1i z ==-+z 2-故选:A.3．已知，则（）1.1ln3,log 2a b c -===A ．B ．b a c <<a c b <<C ．D ．a b c <<b c a<<【答案】D【分析】利用“分段法”确定正确答案.0,1【详解】因为，()1.10.2 1.1ln3ln e 1,log log 10,20,112a b c -=>==<=∈==所以.b c a <<故选：D4．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．已知四棱锥是阳马，上平面，且，若，，，则P ABCD -PA ABCD 2EC PE = AB a =AC b = AP c =（）DE =A ．B ．122333a b c -+ 122333a b c ++C ．D ．2233a b c-+ 2233a b c+- 【答案】C【分析】运用空间向量的加减运算，把已知向量用空间中一组基底表示.【详解】，1121()3333AE AP PE AP PC AP AC AP AP AC=+=+=+-=+，AD BC AC AB ==- 所以．22223333DE AE AD AB AC AP a b c=-=-+=-+ 故选：C5．若直线是曲线的一条切线，则实数（）30x y a +-=214ln 2y x x =-=a A ．B ．C ．D ．12325272【答案】D【分析】利用导数，根据斜率求得切点坐标，进而求得.a 【详解】因为，所以，令，即，214ln 2y x x =-4y x x '=-43x x -=-2340x x +-=得或（舍去），所以切点是，代入，1x =4x =-11,2⎛⎫⎪⎝⎭30x y a +-=得，.1302a +-=72a =故选：D6．抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，则的最小2:12C y x =-F P C (5,2)A -PA PF +值为（）A ．8B ．6C ．5D ．9【答案】A【分析】根据抛物线的定义结合几何图形求解.【详解】如图，设抛物线的准线为，过作于，过作于，C l P PC l ⊥C A AB l ⊥B 因为，所以当，，三点共线时，||||PF PC =A P C 取得最小值，故的最小值为．||||PA PF +||||PA PF +|5|82p -+=故选:A.7．《几何原木》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，、是直角圆锥的两个轴截面，且，则SAB △SCD SO 1os 3c BOC =∠异面直线与所成角的余弦值为（）SA BCA ．BCD 13【答案】B【分析】设，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内垂直于6AB =O OB OS y z ABC 的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值.OB x SA BC 【详解】在圆锥中，平面，设，以点为坐标原点，、所在直线分SO SO ⊥ABC 6AB =O OB OS 别为、轴，平面内垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，y z ABC OB x因为，所以、、、，1os 3c BOC =∠()0,3,0A -()0,3,0B ()0,0,3S ()C -，，()0,3,3SA =--()2,0BC =-- 所以，cos ,SA BC SA BC SA BC ⋅<>===⋅所以异面直线与SA BC 故选：B.8．已知双曲线的离心率为，左､右焦点分别为，设过的直线与2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>5312,F F 2F l 的右支相交于两点，若，则（）C ,A B ()()112112220,F A F F F A F F BF AF λ+⋅-==λ=A ．B ．C ．D ．3-2-【答案】D【分析】由可得，由得，()()1121120F A F F F A F F +⋅-= 1122F A F F c==22BF AF λ=0λ<，再结双曲线的定义表示出，，然后在和中利用余弦定理列243BF aλ=-⋅ 2AF 1BF 12AF F △1AF B △方程可求得结果.【详解】因为离心率为，所以，所以，5353c a =53c a=因为，()()1121120F A F F F A F F +⋅-= 所以，即，22112F A F F = 1122F A F F c == 因为，所以，122F A AF a-=210422233AF c a a a a =-=-=因为，所以，，，22BF AF λ= 0λ<243BF a λ=-⋅ 224(1)3AB AF BF a λ=+=-所以，214223BF a F a aB λ=-⋅=+ 由余弦定理得22222212121112122AF AF F F AF AB BF AF AF AF AB+-+-=，2222222164164(1)244939442222(1)33c a a a c a c c a c a λλλ⎛⎫+---⋅+- ⎪⎝⎭=⋅⋅⋅⋅-化简得，2242542(1)(1)(1)9993λλλ-=+---解得，2λ=-故选：D二、多选题9．如图，在直三棱柱中，，若，则D 可能为（）111ABC A B C -1AB BC AC AA ===1BD AC ⊥A ．的中点B ．AC 的中点1A C C ．的中点D ．的重心1CC ABC 【答案】BCD【分析】设E ，F 分别为AC 和的中点，证明平面BEF ，得点在平面BEF 内，从而可1CC 1A C ⊥D 得正确选项．【详解】设E ，F 分别为AC 和的中点，因为是直三棱柱，所以平面ABC ，1CC 111ABC A B C -1A A ⊥平面ABC ，所以，又因为，E 为AC 的中点，所以，因为BE ⊂1A A BE ⊥AB BC =BE AC ⊥，平面，所以平面，而平面，则1A A AC A = 1,AA AC ⊂11A ACC BE ⊥11A ACC 1AC ⊂11A ACC ，又因为，是正方形，与正方形的对角线平行，1BE A C ⊥11AC AA CC ==11ACC A EF 11ACC A 1AC 所以，又，平面BEF ，所以平面BEF ，因为，所1EF A C⊥EF BE E = ,EF BE ⊂1A C ⊥1BD A C⊥以点D 在平面BEF 内．故选：BCD.10．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，下列结论正确2:4C x y =F F C ,A B 的是（）A ．若，则()4,4A 5AF =B ．若，则的最小值为5()2,3E AE AF+C ．以线段为直径的圆与直线相切AB 1y =-D ．若，则直线的斜率为3AF FB = AB 【答案】AC【分析】根据抛物线的焦半径公式即可判断A ；过点作准线的垂线，垂足为，根据抛物A 1y =-A '线的定义结合图象即可判断B ；设点的坐标分别为，直线的方程为，,A B ()()1122,,,x y x y AB 1y kx =+联立方程，利用韦达定理求得，从而可得线段的中点坐标及长度，再求出中点到准1212,x x x x +AB 线的距离即可判断C ；根据，可得，结合C 选项即可判断D.3AF FB =()()1122,13,1x y x y --=-【详解】解：抛物线的准线方程为，24x y =1y =-对于A ，由，得，故A 正确；()4,4A 415AF =+=对于B ，过点作准线的垂线，垂足为，A 1y =-A '则，14E AE AF AE AA y '+=+≥+=当且仅当三点共线时，取等号，,,A E A '所以的最小值为4，故B 错误；AE AF+对于C ，设点的坐标分别为，直线的方程为，,A B ()()1122,,,x y x y AB 1y kx =+联立方程，消去得，241x y y kx ⎧=⎨=+⎩y 2440x kx --=则，21212124,4,42x x k x x y y k +==-+=+则，线段的中点为，212244AB y y k =++=+AB ()22,21G k k +点到直线的距离为，G 1y =-21222d k AB =+=所以以为直径的圆与直线相切，故C 正确；AB 1y =-对于D ，因为，所以，可得，3AF FB =()()1122,13,1x y x y --=-213x x =-由，121221443x x kx x x x+=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩得，解得D 错误.222234x k x -=⎧⎨-=-⎩k =故选：AC.11．已知动点到原点与的距离之比为2，动点的轨迹记为，直线，P O (2,0)A P C :3430l x y --=则下列结论中正确的是（）A ．的方程为C 2281639x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭B ．动点到直线P l 17,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．直线被l CD ．上存在三个点到直线的距离为C l 13【答案】AD【分析】根据两点之间距离公式和题意确定方程，结合圆心到直线的距离即可求解，圆的弦长公式求法即可进一步求解.【详解】设，因为(,)P x y ||2||PO PA ==所以的方程为，故A 正确；C 2281639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭因为圆心到直线的距离，8,03C ⎛⎫ ⎪⎝⎭:3430l x y --=54153d r ==<=所以直线与圆相交，且弦长为C 错误；l C =动点到直线的距离的取值范围为，故B 错误，D 正确．P l 70,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：AD.12．设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，R ()f x ()g x ()f x '()g x '()()32g x f x --=，且为奇函数，，则（）()()1f x g x ''=-()2g x +()11g =A ．B ．()()13g g -=()()244f f +=-C ．D ．()20221g =()202214043k f k ==-∑【答案】ABD【分析】根据逆向思维得到，代入推出()(1)f x g x ''=-()(1)f x a g x b +=-+()(3)2f x g x =-+的对称轴，即可判断A 选项；根据为奇函数推出对称中心，进一步得出()g x 1x =(2)g x +(2,0)，即的周期为4，即可判断C 选项；由是由的图像变()()2g x g x +=-()g x ()()32f xg x =--()g x 换而来，所以的周期也为4，进而判断B 选项；再算出时的函数值以及一个周期内()f x 1,2,3,4x =的值即可求解，判断D 选项.【详解】因为，所以.()()1f x g x ''=-()()1f x a g x b+=-+因为，所以，()()32g x f x --=()(3)2g x f x =-+用去替，所以，所以.3x -x ()()32f x g x =--()()321g x a g x b--+=-+因为，取代入得到，得，()11g =2x =()()121g a g b-+=+2a b -=所以，用换，所以，()()31g x g x -=-+1x x (2)()g x g x -=所以的图象关于直线对称，所以，故A 正确；()g x 1x =(1)(3)g g -=因为为奇函数，则过, 图像向右移动两个单位得到过，故图(2)g x +(2)g x +(0,0)()g x (2,0)()g x 像关于对称，，所以，且.(2,0)()20g =(2)(2)g x g x +=--+(2)0=g 因为，所以，则的周期，()()2g x g x -=()()2g x g x +=-()g x 4T =所以，故C 错误；()()202220g g ==因为，，所以的周期也为()()32f xg x =--()()()()434232f x g x g x f x +=---=--=()f x 4，所以，，()()2121f g =-=-()()()()41232123f g g g =--=-=--=-所以，故B 正确；()()244f f +=-因为，，，，()()1222f g =-=-()()2121f g =-=-()()3022f g =-=-()43f =-所以，故D 正确.()()()()()()()202211220225058124043k f k f f f f f ==++⋅⋅⋅+=⨯-++=-∑故选：ABD.三、填空题13．若直线与直线平行，则_______.1:460l mx y +-=()2:2230l x m y +++=m =【答案】2【分析】利用两直线平行求参数即可【详解】因为，12l l ∥所以，()()()224228240m m m m m m +-⨯=+-=-+=所以或.2m =4m =-当时，，，4m =-1:2230l x y -+=2:2230l x y -+=重合；12,l l当时，，，2m =1:230l x y +-=2:2430l x y ++=，符合题意.12l l ∥故答案为：2.14．将函数的图象向左或向右平移个单位长度，得到函数的图()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0π)ϕϕ<<()g x 象，若是偶函数，则的一个取值可能为__________.()g x ϕ【答案】（或）（只需从中写一个答案即可）π125711,,1212πππ1257πππ11,,,121212π12【分析】根据三角函数图象变换的知识求得的解析式，根据是偶函数列方程，化简求得()g x ()g x 的表达式，进而求得的可能取值.ϕϕ【详解】由题意可知.()()sin 2sin 2233ππg x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫=±+=+± ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭因为是偶函数，所以，()g x πππ2,Z 32k k ϕ±=+∈所以.ππ,Z 212k k ϕ±=+∈因为，0πϕ<<所以的取值可能为.ϕ57πππ11,,,121212π12故答案为：（或）（只需从中写一个答案即可）π125711,,1212πππ1257πππ11,,,121212π1215．在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，，，则ABC 6b =30B =︒22a c +=的面积为______．ABC【分析】由余弦定理及已知条件可得，再由三角形的面积公式即可得答案.ac =【详解】解：因为，，6b =30B =︒所以，2222262cos30a c ac a c =+-︒=+因为，22a c +=所以，36=得，ac =故1sin 2ABC S ac B ==四、双空题16．设椭圆的上顶点为，且长轴长为的标准方程为___________；过任C (0,1)D C D 作两条互相垂直的直线分别另交椭圆于，两点，则直线过定点___________．C A B AB 【答案】 2212x y +=10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】设，根据是椭圆的上顶点，得到，再根据长轴长为2222:1(0)x y C a b a b +=>>(0,1)D C 1b =，得到的方程为，与椭圆方程联立，由求解.a =AB y kx m =+0DA DB ⋅=【详解】解：设，2222:1(0)x y C a b a b +=>>因为是椭圆的上顶点，所以．(0,1)D C 1b =因为长轴长为a =所以椭圆的标准方程为．C 2212x y +=易知直线的斜率存在，设直线的方程为，，，AB AB y kx m =+()11,A x y ()22,B x y 由可得，22,22,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩()()222124210k x kmx m +++-=所以，，122412kmx x k +=-+()21222112m x x k -=+因为，，()11,1DA x y =-()22,1DB x y =-所以，()()()()121212121111DA DB x x y y x x kx m kx m ⋅=+--=++-+-，()()2212121(1)(1)k x x k m x x m =++-++-，()()()()2222222211412(1)012m k k m m k m k -+--++-==+所以，解得或．23210m m --=13m =-1m =当时，直线经过点，不满足题意，1m =AB D所以直线的方程为，AB 13y kx =-故直线过定点．AB 10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：，2212x y +=10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭五、解答题17．已知数列满足，．{}n a 11a =11n n a a n +-=+(1)求的通项公式；{}n a (2)若数列的前n 项和为，求数列的前n 项和．1n a ⎧⎫⎨⎩⎭n S {}lg n S n T 【答案】(1)()12n n n a +=(2)()lg 2lg 1n T n n =-+【分析】（1）根据累加法求解即可；（2）由题知，进而根据裂项求和得，，再11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n S n =+()lg lg 2lg lg 1n S n n =+-+⎡⎤⎣⎦求和即可得答案.【详解】（1）解：因为，11n n a a n +-=+所以，当时，，，…，，2n ≥212a a -=323a a -=1n n a a n --=相加得，12n a a n -=++ 因为，所以，11a =()112122n n n a a n n +=+++=+++=因为满足，11a =()12n n n a +=所以，．()12n n n a +=（2）解：因为，11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭所以．11111122121223111n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭因为，()2lg lglg 2lg lg 11n nS n n n ==+-+⎡⎤⎣⎦+所以．()()()()lg 2lg1lg 2lg 2lg 3lg lg 1lg 2lg 1n T n n n n n =+-+-++-+=-+⎡⎤⎣⎦ 18．已知的顶点分别为，，．ABC (2,3)A -(4,5)B -(1,4)C (1)求外接圆的方程；ABC (2)直线上有一动点，过点作外接圆的一条切线，切点为，求的:34280l x y -+=P P ABC Q PQ最小值，并求点的坐标．P 【答案】(1)；2222230xy x y +-+-=(2)的最小值为的坐标为.PQP 1623,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）设出圆的一般方程，代入三个点的坐标得到方程组，解出即可；（2）设圆心为，首先判断与圆相离.根据已知条件，可得出，则当最M l ||PQ =||PM 小时，最小.又，即圆心到直线的距离，进而根据已知可求出最小时点的坐PQmin ||PM d=PQP 标.【详解】（1）设外接圆的方程为，ABC 220x y Dx Ey F ++++=代入，，，可得，(2,3)A -(4,5)B -(1,4)C ()()22222223230454501440D E F D E F D E F ⎧-+-++=⎪⎪+-+-+=⎨⎪++++=⎪⎩即，解得，13230414501740D E F D E F D E F -++=⎧⎪+-+=⎨⎪+++=⎩2223D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以外接圆的方程为．ABC 2222230x y x y +-+-=（2）由（1）知，外接圆可化为，ABC 22(1)(1)25x y -++=圆心设为，半径.(1,1)M -5R =设为点到直线的距离，则，所以与圆d M :34280l x y -+=35755d R =>=l 相离.由已知，是圆的一条切线，切点为，则，PQ M Q PQ QM ⊥在中，有最小，只需最小．PQM ||PQ ==||PQ ||PM 当时，最小，即，PM l ⊥||PM min ||7PM d ==min ||PQ ==设，因为，可设直线方程为，(,)P x y PM l ⊥PM 430x y m ++=又，所以，所以.(1,1)M -()41310m ⨯+⨯-+=1m =-所以，直线方程为，又在上，PM 4310x y +-=P l 联立与的方程，解得，即．PM l 431034280x y x y +-=⎧⎨-+=⎩165235x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1623,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭19．如图，在五面体ABCDE 中，平面ABC ，，，AD ⊥ADBE 22AD ACBE ===AB BC ==(1)求五面体ABCDE的体积；(2)求二面角的正弦值．A CE D --【答案】【分析】（1）可将该五面体分割成多个简单几何体后进行体积求解.（2）建立空间直角坐标系，用空间向量先求出二面角的余弦值，再求正弦值.【详解】（1）因为平面ABC ，所以AD ⊥11122332D ABC ABC V S DA -=⋅=⨯⨯=△因为，平面BCE ，平面BCE ，AD BEAD ⊄BE ⊂所以平面BCE ，所以AD ∥12D BCE A BCE E ABC D ABC V VV V ----====所以ABCDE D ABC D BCE V V V --=+（2）如图，取AC 的中点O ，连接OB ，因为，所以，作．AB BC =OB AC ⊥Oz AD ∥以O 为坐标原点，，的方向分别为x ，y 轴的正方向建立空间直角坐以标系，则，OB OC()0,1,0A -，，，，，，)B()0,1,0C ()0,1,2D-)E()0,2,2CD =-)1,1CE =- ()0,2,0AC =．设平面CDE 的法向量为，则()111,,m x y z =111112200m CD y z m CE y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令，得．11y =()0,1,1m =设平面ACE 的法向量为，则()222,,x n y z =2222200n AC y n CE y z ⎧⋅==⎪⎨⋅-+=⎪⎩ 令，得．21x=(1,0,n =因为cos ,m n = 所以sin ,m n =故二面角．A CE D --20．如图，在长方体中，.1111ABCD AB C D -14,6AB AD AA ===(1)求到平面的距离；1C 1A BD (2)求直线与平面所成角的正弦值.AC 1A BD【答案】【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，从而求得与平面的法向量，进而利用空间1BC1A BD 向量法求得点到平面的距离；1C 1A BD（2）结合（1）中结论，求得的坐标表示，从而利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可求得结AC果.【详解】（1）根据题意，以点为原点，建立空间直角坐标系，如图，A 则，()()()()()()110,0,0,0,0,6,4,0,0,0,4,0,4,4,0,4,4,6A A B D C C 则，，()10,4,6BC =()()14,0,6,4,4,0A B BD =-=-设平面的一个法向量为，则，1A BD (),,n x y z = 1460440A B n x z BD n x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令，则，故，3x =3,2y z ==()3,3,2n =所以到平面1C 1A BD =.（2）由（1）得，平面的一个法向量为，()4,4,0AC =1A BD ()3,3,2n =设直线与平面所成角为，AC 1A BD θ则，sin cos ,AC n AC n AC nθ⋅====所以直线与平面.AC 1A BD21．已知椭圆的长轴长为在椭圆上.2222:1(0)x y C a b a b +=>>()2,1P C (1)求椭圆的方程.C (2)设为坐标原点，过点的直线（斜率不为0）交椭圆于不同的两点（异于点O (),0(0)t t >l C ,A B ），直线分别与直线交于两点，的中点为，是否存在实数，使直线P ,PA PB x t =-,M N MN Q t 的斜率为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.PQ t【答案】(1)22182x y +=(2)4t =【分析】（1）由题可得的坐标代入椭圆方程可求出，从而可求出椭圆a =()2,1P 22b =方程；（2）由题意设直线为，，将直线方程代入椭圆方程化简再利用根与系l x my t =+1122(,),(,)A x y B x y 数的关系，然后分别表示出直线，的方程，表示出点的坐标，从而可表示出点的坐AP BP ,M N Q 标，则可表示出，化简可得结果.PQk 【详解】（1）因为椭圆的长轴长为2222:1(0)x y C a b a b+=>>所以，得2a =a =所以椭圆为，22218x y b +=因为椭圆过点，所以，得，()2,1P 2222118b +=22b =所以椭圆方程为；22182x y +=（2）由题意设直线为，，l x my t =+1122(,),(,)A x y B x y 由，得，22182x my tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩222(4)280m y mty t +++-=，得，222244(4)(8)0m t m t ∆=-+->22280m t -+>则，，12224mty y m -+=+212284t y y m -=+因为，所以直线为，1112PA y k x -=-AP 1111(2)2y y x x --=--当时，，x t =-11111(1)(2)1(2)122y y t y t x x --+=+--=---所以，11(1)(2),12y t M t x ⎛⎫-+-- ⎪-⎝⎭因为，所以直线为，2212PB y k x -=-BP 2211(2)2y y x x --=--当时，，x t =-22221(1)(2)1(2)122y y t y t x x --+=+--=---所以，22(1)(2),12y t N t x ⎛⎫-+-- ⎪-⎝⎭因为的中点为，MN Q 所以，1212(1)(2)(1)(2),12(2)2(2)y t y t Q t x x ⎛⎫-+-+--- ⎪--⎝⎭所以1212(1)(2)(1)(2)2(2)2(2)2PQy t y t x x k t-+-++--=+122112(1)(2)(1)(2)2(2)(2)y x y x x x --+--=--122112(1)(2)(1)(2)2(2)(2)y my t y my t my t my t -+-+-+-=+-+-12122212122(2)()422[(2)()(2)]my y t m y y t m y y m t y y t +--++-=+-++-2222222(8)(2)(2)(42)(4)2[(8)(2)(2)(2)(4)]m t t m mt t m m t m t mt t m -+---+-+=-+--+-+222(4)4222(2)m m t t m t +-+-=-+-若为定值，则与无关，PQk PQk m 所以，解得，24014222(2)t t t -=⎧⎪-⎨=⎪--⎩4t =所以当时，直线的斜率为定值.4t =PQ 22．已知双曲线的上､下顶点分别为为虚轴的一个顶点，且.222:1(0)5y x C a a -=>,,A B M MA 1MB = (1)求的方程；C (2)直线与双曲线交于不同于的两点，若以为直径的圆经过点，且于点，l C B ,E F EF B BG EF ⊥G证明：存在定点，使为定值.H GH【答案】(1)22145y x -=(2)证明见解析【分析】（1）不妨设，求出、的坐标，根据可得答案；)MMA MB 1⋅= MB MA （2）设，当直线的斜率存在时，设其方程为，与双曲线方程联立，()()1122,,,E x y F x y l y kx m =+由韦达定理求出，，，根据求出，代1212,x x x x +12y y +12y y 0⋅=BE BF ()121212240++++=x x y y y y 入整理得，求出，当直线的斜率不存在时，设其方程为，代入双曲216360m m --=m l ()0=≠x t t 线方程，根据，求出矛盾；再由，得点在以为直径的圆上，为该0⋅=BE BF 0=t BG EF ⊥G BN H 圆的圆心，为圆的半径可得答案.GH【详解】（1）由题，不妨设，()()0,,0,-A aB a )M 所以，，()= MAa ()=- MB a 因为，所以，解得，1⋅= MB MA 251a -=24a =所以的方程为；C 22145y x -=（2）设，且，()()1122,,,E x y F x y ()0,2B -当直线的斜率存在时，设其方程为，与双曲线方程联立l y kx m =+，整理得，22145y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22250410520-++-=km k x m x 且，()()()()222225805401044520=∆=--->-+km k m m k 所以，212122210520,5454--+==--km m x x x x k k ，()2121222108225454--+=++=+=--k m my y k x x m m k k ，()()2222222221212122105205454-+-+-=+++=-k m k m k m m y y k x x mk x x m k ()2224554+=--k m k ，()()1122,2,,2=+=+BE x y BF x y 因为以为直径的圆经过点，所以，，EF B ⊥ BE BF 0⋅=BE BF所以，()()()121212*********+++=++++=x x y y x x y y y y 即，()222222455201640545454+---++=---k mm mk k k 整理得，解得或，216360m m --=18m =2m =-当时，过点，不符合题意，2m =-2y kx =-()0,2B -所以时，，直线过定点；18m =18=+y kx l ()0,18N 当直线的斜率不存在时，设其方程为，l ()0=≠x t t 代入双曲线方程，得22145y x -=所以，且，，()()12,,,E t y F t y()0,2B -所以，，2124205--=t y y ()()12,2,,2=+=+ BE t y BF t y 因为以为直径的圆经过点，所以，，EF B ⊥ BE BF 0⋅=BE BF 所以，()()22212204202205--+++=+=t t y y t 解得与矛盾；0=t 0t ≠因为，所以点在以为直径的圆上，为该圆的圆心，为圆的半径，BG EF ⊥G BN H GH由为的中点，得，，H 、B N ()08，H 1102==GH BN 所以存在定点，使得使为定值.()08，H GH10【点睛】关键点点睛：在第二问中，解题的关键点是以为直径的圆经过点，转化为EF B ，0⋅=BE BF再由韦达定理代入得，求出，考查了学生分()()()121212*********+++=++++=x x y y x x y y y y m 析问题、解决问题及运算的能力.。

衡水市第十三中学2023届高三上学期质检考试(三)英语试卷(不含音频,无答案)

衡水市第十三中学2022~2023学年高三第一学期质检考试(三)英语注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分听力(共两节,满分30分)做题时,先将答案标在试卷上。

录音内容结束后,你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡.上。

第一节(共5小题;每小题1.5分,满分7.5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后,你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

例: How much is the shirt?A. €19.15.B. €9.18.C. €9.15.答案是C。

1. What will the man do?A. Do some exercise.B. Look after the baby.C. Listen to the radio.2. What is the weather like now?A. Cloudy.B. Sunny.C. Rainy.3. Which house is the woman looking for?A. The one with a garage. .B. The one next to a bookstore.C. The one with a pool in the garden.4. Why does the woman refuse to go with the man?A. She lives nearby.B. He has had some wine.C. She can take the last bus home.5. Where are the speakers?A. In a library.B. In a supermarket.C. In a cinema.第二节(共15小题;每小题1.5分,满分22. 5分)听下面5段对话或独白。

河北省衡水中学2022-2023学年高三上学期三调考试数学答案

数学参考答案一、选择题1．C 【解析】因为}1|{}01|{<=>-=x x x x M ，=N }0|{>y y ，所以}10|{<<=x x N M .2．B 【解析】由题意得313223131cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=α，所以9713121cos 22cos 22=-⎪⎭⎫⎝⎛⨯=-=αα.3．A 【解析】由已知得2)(x b x a x f +='，所以=')1(f 1=+b a ，故212)(222=+≥+b a b a ，当且仅当==b a 21时取等号，所以22b a +的最小值为21.4．D 【解析】因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=262sin 62cos πππx x y ⎪⎭⎫⎝⎛+=322sin πx ，将x y 2sin =的图象向右平移ϕ个单位长度后，得到)22sin()](2sin[ϕϕ-=-=x x y 的图象，所以)(2322z k k ∈+=-ππϕ，故--=πϕk )(3z k ∈π，又0>ϕ，所以 ,3,2,1---=k ，当=k 1-时，32πϕ=.5．D 【解析】由题图得21sin )0(==ϕf ，又πϕ<<0，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,0在图象的上升部分上，所以6πϕ=，由五点作图法可知236322πππω=+⋅，则1=ω，所以=)(x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62sin πx ．对于A ，)(x f 的最小正周期为ππ=22，故A 错误，对于B ，因为=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-632sin 3πππf 12sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-π，所以)(x f 的图象不关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0,3π对称；故B 错误，对于C ，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，+x 2⎦⎤⎢⎣⎡∈67,66πππ，所以162sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-πx ，所以)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最小值为21-，故C 错误；对于D ，123sin 65=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππf ，所以)(x f 的图象关于直线65π-=x 对称，故D 正确．6．C 【解析】作出函数|tan |u y =的图象，如图所示：由图可知，函数|tan |u y =的最小正周期为π，且其单调递增区间为)(2,z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+πππ对于函数)(x f ，其最小正周期为4==ωπT ，可得4πω=，则=)(x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-44tan ππx 。

河北省衡水市示范性高中2024届高三三模数学试题与答案

河北省衡水市示范性高中2024届高三三模数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合1{1,2,3,4,5},1lg(1)2A B x x ⎧⎫==-≤-≤⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=A ．11510xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭B ．{2,3,4}C ．{2,3}D ．11310xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭2．已知函数()()22sin x x f x m x -=+⋅，则“21m =”是“函数()f x 是奇函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知12e ,e 是单位向量，121e e 2⋅=- ，则12e +2e 与2e 的夹角为A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π34．艳阳高照的夏天，“小神童”是孩子们喜爱的冰淇淋之一．一个“小神童”近似为一个圆锥，若该圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，圆锥的母线长为12cm，则该圆锥的体积为A．3B ．3124πcmC．3D ．3168πcm5．已知数列{}{},n n a b 均为等差数列，其前n 项和分别为,n n S T ，满足(23)(31)n n n S n T +=-，则789610a a ab b ++=+A ．2B ．3C ．5D ．66．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，圆221:(2)4O x y -+=与圆222:(1)1O x y +-=的公共弦所在的直线是C 的一条渐近线，则C 的离心率为A．B ．2C．D7．已知sin(3)sin(),tan(2)tan m n αβαβαβα-=--=，则m ，n 的关系为A ．2m n=B ．1m n m +=C ．1m n m =-D ．11m n m +=-8．已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为213,,325，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为A ．13B ．23C ．813D ．1013二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．复数πcos isin 4z θθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其中π02θ<<，设z 在复平面内的对应点为P ，则下列说法正确的是A ．当π4θ=吋，||2z =B ．当π4θ=时，1i 2z =--C ．对任意θ，点P 均在第一象限D ．存在θ，使得点P 在第二象限10．已知函数32(),2f x x mx x =-=是函数()f x 的一个极值点，则下列说法正确的是A ．3m =B ．函数()f x 在区间(1,2)-上单调递减C ．过点(1,2)-能作两条不同直线与()y f x =相切D ．函数[()]2y f f x =+有5个零点11．已知在正方体1111ABCD A B C D -中，12AA =，点M 为11A D 的中点，点P 为正方形1111A B C D 内一点（包含边界），且//BP 平面1AB M ，球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球，下列说法正确的是A ．球O 的体积为4π3B ．点P 的轨迹长度为C ．异面直线1CC 与BP 所成角的余弦值取值范围为,35⎣⎦D ．三棱锥11M AA B -外接球与球O 内切三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．()()7222x y x y +-的展开式中46x y 的系数为______（用数字作答）13．已知112x =是函数π()sin(3π)02f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的一条对称轴，()f x 在区间(,)(0)t t t ->内恰好存在3个对称中心，则t 的取值范围为______．14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为6，点(1,1)M ，直线2MF 与C 交于A ，B 两点，且M 为AB 中点，则1AF B 的周长为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）某企业为调研旗下公司职工对加班宵夜的满意度情况，在该企业旗下一个某地子公司进行小范围调研试验，该试验从该小公司随机抽取50名男职工、30名女职工进行调研得到如下22⨯列联表：性别满意情况合计满意不满意男职工252550女职工25530合计503080（1）根据表中数据，依据小概率值0.005α=的独立性检验，分析该子公司职工对加班宵夜的满意度是否与性别有关；（2）若该企业有员工10000人，本次调研情况近似作为企业整体职工情况，频率近似概率．若该企业为加班宵夜满意的员工分发20元的打车补助，给不满意的员工分发30元的打车补助，求企业本次发放总费用X 数学期望．附：22(),()()()()n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++a 0.10.050.010.0050.001ax 2.7063.8416.6357.87910.82816．（本小题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA B B 是矩形，122BB BC AB ===，1160,BCC AC ︒∠==（1）求证：1B C ⊥平面1ABC ；（2）求平面1AB C 与平面11A BC 所成角的余弦值．17．（本小题满分15分）已知数列{}n a 满足：12121,2,2n n n a a a a a ++==+=．（1）请写出324354,,a a a a a a ---的值，给出一个你的猜想，并证明；（2）设213n n b na +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．（本小题满分17分）已知()xf x e x =-．（1）求()f x 的单调区间和最值；（2）定理：若函数()f x 在(,)a b 上可导，在[]a b ，上连续，则存在(,)a b ξ∈，使得()()()f b f a f b aξ'-=-．该定理称为“拉格朗日中值定理”，请利用该定理解决下面问题：若0m n <<，求证：211(1)m n e e m n m n m ⎛⎫-<+- ⎪⎝⎭．19．（本小题满分17分）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，过F 且倾斜角为π6的直线l 与C 交于A ，B 两点．直线12,l l 与C 相切，切点分别为12,,,A B l l 与x 轴的交点分别为D ，E 两点，且||3DE =．（1）求C 的方程；（2）若点P 为C 上一动点（与A ，B 及坐标原点均不重合），直线3l 与C 相切，切点为3,P l 与1l ，2l 的交点分别为G ，H ．记,DFG EFH 的面积分别为12,S S ．①请问：以G ，H 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由；②证明：12S S 为定值．河北省衡水市示范性高中2024届高三三模数学试题答案1．B解析：1111lg(1)1210B x x xx ⎧⎫⎧⎫=-≤-≤=≤≤+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，故{2,3,4}A B ⋂=，故选B ．2．B 解析：若函数()f x 是奇函数，则()()()()()22sin 22sin (1)22sin 0x x x x x x f x f x m x m x m x ---+-=+⋅-+⋅=--=恒成立，即1m =，而21m =，得1m =±．故“21m =”是“函数()f x 是奇函数”的必要不充分条件，故选B ．3．A 解析：()212e +2e 1243=-+=，故12e +2e =．设12e +2e 与2e 的夹角为θ，则()1221223e +2e e 32cos 2e +2e e θ⋅===⋅ ，故π6θ=，故选A ．4．C 解析：设圆锥的底面圆的半径为r ，则底面圆的面积为21πS r =，侧面面积为212π1212π2S r r =⋅⋅=，由题意知122S S =，解得6r =，因此该圆锥的高h ==，故该圆锥的体积21π63V =⋅⋅⋅=，故选C ．5．A 解析：因为数列{}{},n n a b 均为等差数列，则789881561011511315,55a a a a a Sb b b b ++==⨯=+=+，而()11515152b b T +=，故61015215b b T +=．因此15789156101515133452222315S a a a S b b T T ++==⋅=⨯=+，故选A ．6．C 解析：2222(2)4(1)1x y x y ⎧-+=⎨+-=⎩，作差得2y x =，由题意知C 的一条渐近线为2y x =，即2,bC a =的离心率e c a ====C ．7．D 解析：sin(3)sin[(2)]sin(2)cos cos(2)sin αβαβααβααβα-=-+=-+-，sin()sin[(2)]sin(2)cos cos(2)sin αβαβααβααβα-=--=---，故sin(2)cos cos(2)sin sin(2)cos cos(2)sin m m αβααβααβααβα-+-=---，即sin(2)cos 1cos(2)sin 1m m αβααβα-+=--，即tan(2)1tan 1m n m αβα-+==-，故选D ．8．D 解析：设甲、乙、丙三人射击一次命中分别为事件A ，B ，C ，每人各射击一次，在三人中恰有两人命中为事件D ，则11321321213()()()()32532532530P D P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，2132121()()()3253253P AD P ABC P ABC =+=⨯⨯+⨯⨯=，则1()103()13()1330P AD P A D P D ===∣，故选D ．9．AC 解析：当π4θ=时，212z =+，故62||,1i 22z z ==-，故A 选项正确，B 选项错误；当π02θ<<时，2πcos 1,0sin 124θθ⎛⎫<-≤<< ⎪⎝⎭，故对任意θ，点P 均在第一象限，不存在θ，使得点P 在第二象限，故C 选项正确，D 选项错误．故选AC ．10．AD 解析：2()32f x x mx '=-，由题意知(2)0f '=，解得3m =，()3(2)f x x x '=-，令()0f x '=，解得120,2x x ==，故()f x 在区间(,0)-∞上单调递增，在区间(0,2)上单调递减，在区间(2,)+∞上单调递增，故A 选项正确，B 选项错误；设过点(1,2)-且与函数()y f x =相切的切点为()00,x y ，则该切线方程为()()2000(1)236(1)2y f x x x x x '=--=---，由于切点()00,x y 满足直线方程，则()()()23200000036123f x x x xx x =---=-，整理得()()200021210x x x --+=，解得01x =，故只能作一条切线，故C 选项错误；令()f x t =，则()2f t =-的根有三个，如图，12310t t t -<<<<，故方程1()f x t =有3个不同根，方程2()f x t =和3()f x t =均有1个根，故[()]2y f f x =+有5个零点，故D 选项正确．综上，故选AD ．11．ACD 解析：由题意知球O 的半径为1，故其体积为4π3，故A 选项正确；取11B C 的中点为N ，连结1,BN D N ，易知11//D N B M ，故1//D N 平面1AB M ，因为//BN AM ，所以//BN 平面1AB M ．又因为1BN D N N ⋂=，故平面1//BND 平面1AB M ，故点P 的轨迹为线段1D N =，故B 选项错误；因为11//CC BB ，故异面直线1CC 与BP 所成角等于1B BP ∠或其补角，易得1B BN ∠取得最小，11125cos 5B BN B BD ∠=∠取得最大，13cos 3B BN ∠=，故C 选项正确；易知1190BAM BA M BB M ︒∠=∠=∠=，故BM 为三棱锥11M AA B -外接球的直径，取O '为BM 的中点，即O '为三棱锥11M AA B -外接球的球心，由题意知O 为1BD 的中点，故11122OO MD '==，因为球O 的半径为11r =，球O '的半径为22113,22r BM r r OO '==-=，故三棱锥11M AA B -外接球与球O 内切．故选ACD ．12．答案：-35解析：()()7222x yxy+-的展开式中含有46x y 的项为()226265254677()2()35x C x y y C x y x y ⋅⋅-+⋅-=-，故46x y 的系数为-35．13．答案：571212t <≤解析：由题意知3πππ()122k k Z ϕ+=+∈，解得ππ4k ϕ=+，因为π02ϕ<<，故π4ϕ=，故π()sin 3π4f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，令π3ππ()4x k k Z +=∈，解得1123kx =-+，原点附近的5个对称中心分别为35117,0,,0,,0,,0,,041212412⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故当571212t <≤时，符合题意．14．答案：解析：设A ，B 两点坐标分别为()()2222112211222222,,,,1,1x y x y x y x y a b a b+=+=，两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y ab+-+-+=，由题意M 为AB 中点，则12122,2x x y y +=+=，代入整理得212212y y b x x a -=--．即由题意知211132AB MF k k ===--，因此2212b a -=-，所以22222,a b c b ==，由焦距为6，解得a =．由椭圆定义知1AF B 的周长为()()111212||4AF BF AB AF AF BF BF a ++=+++==．15．解析：（1）零假设为0H ：满意度与性别无关．经计算得2280(2552525)808.8897.879503050309χ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，……………………………………（4分）依据小概率值0.005α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为满意度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005；………………………………………………………………………………………………（6分）（2）根据题意，全企业职工每人满意概率为58P =，设满意的人数为Y ，则不满意的为10000Y -，由题意知5~10000,,()62508Y B E Y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，…………………………………………………………………（9分）2030(10000)30000010X Y Y Y =+-=-，则()(30000010)30000010()237500E X E Y E Y =-=-=.………………………………………（13分）16．解析：（1）在四边形11BCC B 中，因为1BB BC =，所以该四边形为菱形，故11BC B C ⊥…（2分）又因为160BCC ︒∠=，故1BCC 为等边三角形，故12BC =．在1ABC 中，22211AC AB BC =+，故1AB BC ⊥.……………………………………（4分）又因为111,AB BB BB BC B ⊥⋂=，所以AB ⊥平面11BCC B ，因此1AB B C ⊥．又因为1AB BC B ⋂=，所以1B C ⊥平面1ABC ；……………………………………………………（6分）取1CC 的中点M ，连结BM ，由（1）知1BM BB ⊥，故1,,AB BB BM 两两垂直，建立如图空间直角坐标系，111(0,0,0),(0,0,1),1,0),(0,2,0),(0,2,1),B A C B A C -，1111,1),(0,2,1),(0,2,1),AC AB BC BA =--=-==设平面1AB C 的法向量为1(,,)n x y z = ，由11100n AC n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020y z y z --=-=⎪⎩，令1y =，得1n =；……………………………………………………………………………（9分）设平面11A BC 的法向量为2(,,)n x y z = ，由212100n BC n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020y y z +=+=⎪⎩，令1y =-，得23,1,23n ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭．……………………………………………………………………（12分）设平面1AB C 与平面11A BC 所成角为θ，则1212cos 4n n n n θ⋅===⋅．………………（15分）17．解析：（1）()()3213243243131171,;,222244a a a a a a a a a a =+=-=-=+=-=，()543541131,288a a a a a =+=-=-，………………………………………………………………（3分）因此猜想{}1n n a a +-是以1为首项，12-为公比的等比数列；……………………………………（5分）下面证明：因为()()211112111,122n n n n n n n a a a a a a a a a +++++-=+-=---=，故{}1n n a a +-是以1为首项，12-为公比的等比数列，故1112n n n a a -+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．……………………………………………………………（7分）（2）由（1）知，当2n ≥时，2221324311111,,,,222n n n a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫-=-=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，累加得122111111221211122233212n n n n a ---⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=+-+-++-==-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+ ，故1521332n n a -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭．当1n =时，11a =满足题意，故1521332n n a -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭对*n N ∀∈成立；…………………………（10分）故122125,5(123)24444n n n n n n b n S n ⎛⎫=-=++++-+++ ⎪⎝⎭，其中(1)1232n n n +++++= ，……………………………………………………………………（12分）设1212444n n n T =+++ ①，2311124444n n nT +=+++ ②，①-②得121113111411444443444n n n n n n nT +++⎛⎫=+++-=-- ⎪⎝⎭ ，即434994n n n T +=-⨯，…………（14分）综上，5(1)6882949n n n n S ++=+-⨯．…………………………………………………………………（15分）18．解析：（1）()e 1xf x '=-，令()0f x '=，解得0x =，……………………………………（2分）当(,0)x ∈-∞时，()0,()f x f x '<单调递减；当(0,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增．……………………………………………………（5分）当0x =时，()f x 取得最小值1，无最大值；……………………………………………………（7分）（2）要证2e e 11(1)m n m n m n m ⎛⎫-<+- ⎪⎝⎭，只需证2e e (1)()m n m n m m n -<+-，因为0m n <<，故只需证2e e (1)m nm n m m n->+-．………………………………………………………………………（9分）令()e (0)xg x x x =>，显然()g x 在(,)m n 上可导，在[]m n ，上连续，故由拉格朗日中值定理知存在(,)m n ξ∈，使得e e ()m nm n g m nξ'-=-，…………………………（11分）而()(1)e 0,()xg x x g x ''=+>在(0,)+∞上单调递增，因为m n ξ<<，故()()g g m ξ''>，即()(1)e mg m ξ'>+，……………………………………（14分）故只需证2(1)e (1)mm m +≥+即可，因为0m >，故只需证e 1mm ≥+．由（1）知e 1xx ≥+恒成立，因此原命题得证．……………………………………………………（17分）19．解析：（1）设()()11223:,,,,32p l y x A x y B x y =+，联立2322p y x x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去y 得222121223230,,33x px p x x p x x p --=+==-．……………………………………（2分）由211,2y x y x p p '==，故1l 的方程为()1111111y x x x y x x y p p=-+=-，同理2221:l y x x y p =-，故12,0,,022x x D E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．………………………………………………（4分）由||3DE =，知123x x -=，由()()221212124x x x x x x -=+-，得2416433p +=，解得1p =，故C 的方程为22x y =；………………………………………………………………（6分）（2）①由（1）不妨设120x x <<，12123313,:,:3362x x l y x l y =-==--=-．设()()200001230,0,,,:2x P x y x x x l y x x ≠=-．联立2001362y x x y x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得003,66x G ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，…………………………………………（8分）同理00,22x H ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，…………………………………………………………………………（10分）以G ，H 为直径的圆的方程为00003333306262x x x x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++-= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得22033231063334x y x x y x ⎛⎫--++--= ⎪ ⎪⎝⎭，…………………………………………（11分）当2210343320633x y x y x ⎧+--=⎪⎪--=⎩，解得012x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或3312x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故该圆恒过110,,,232⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两个点．………………………………………………………………（13分）②由于00||,||,||,||13DG EH x DF EF ====，直线FD的斜率为，显然直线FD 与1l 垂直，故DFG 为直角三角形，…………………………………………………………………………（15分）同理EFH 也是直角三角形，故10201111||||,||||2622S DF DG x S EF EH x =⋅==⋅=，故1213S S =（或123S S =）．（得出任意一个结果均给分）………………………………………………（17分）。

精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2023届高三上学期第三次调研考试理数试题解析(原卷版)

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．1.已知集合{}2|1log A x N x k =∈<<,集合A 中至少有3个元素,则（）A ．8k >B ．8k ≥C ．16k >D ．16k ≥2.复数212i i+-地共轭复数地虚部是（）A ．35-B ．35C ．-1D ．13. 下列结论正确地是（）A ．若直线l ⊥平面α,直线l ⊥平面β,则//αβB ．若直线//l 平面α,直线//l 平面β,则//αβC ．若两直线12l l 、与平面α所成地角相等,则12//l l D ．若直线l 上两个不同地点A B 、到平面α地距离相等,则//l α4.等比数列{}n a 地前n 项和为n S ,已知2532a a a =,且4a 与72a 地等差中项为54,则5S =（）A ．29 B ．31 C ．33 D ．365.已知实数,x y 满足21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩,则22x y z x ++=地取值范围为（）A ．100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．(]10,2,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．(]10,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭6.若()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+,则a b +地最小值为（）A ．8B ．6C ．4D ．27.阅读如下图所示地程序框图,则该算法地功能是（）A ．计算数列{}12n -前5项地和B ．计算数列{}21n-前5项地和 C ．计算数列{}21n -前6项地和 D ．计算数列{}12n -前6项地和8.ABC ∆中,"角,,A B C 成等差数列"是")sin sin cos C A A B =+"地（）A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9.已知a b >,二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立,又0x R ∃∈,使20020ax x b ++=成立,则22a b a b+-地最小值为（）A ．1 BC ．2 D．10.已知等差数列{}{},n n a b 地前n 项和分别为,n n S T ,若对于任意地自然数n ,都有2343n n S n T n -=-,则()3153392102a a a b b b b ++=++（）A ．1941 B ．1737 C ．715 D ．204111.已知函数()21,g x a x x e e e ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭为自然对数的底数与()2ln h x x =地图象上存在关于x 轴对称地点,则实数a 地取值范围是（）A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦ D ．)22,e ⎡-+∞⎣12.如图,在OMN ∆中,,A B 分别是,OM ON 地中点,若(),OP xOA yOB x y R =+∈ ,且点P 落在四边形ABNM 内（含边界）,则12y x y +++地取值范围是（）A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分,满分20分,将解析填在答题纸上）13.若实数()0,1a b ∈、,且满足()114a b ->,则a b 、地大小关系是_____________．14.若110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭,则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭地值为___________．15.一个几何体地三视图如下图所示,则此几何体地体积是_____________．16.已知函数()()2lg ,064,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩,若关于x 地方程()()210f x bf x -+=有8个不同根,则实数b 地取值范围是______________．三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知()2sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭,集合(){}|2,0M x f x x ==>,把M 中地元素从小到大依次排成一列,得到数列{}*,n a n N ∈．　（1）求数列{}n a 地通项公式；（2）记211n n b a +=,设数列{}n b 地前n 项和为n T ,求证:14n T <．18.（本小题满分12分）已知向量2,1,cos ,cos 444x x x m n ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭,记()f x m n=．　（1）若()1f x =,求cos 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭地值；　（2）在锐角ABC ∆中,角,,A B C 地对边分别是,,a b c ,且满足()2cos cos a c B b C -=,求()2f A 地取值范围．19.（本小题满分12分）如下图所示,在直三棱柱111ABC A B C -中,平面1A BC ⊥侧面11A B BA ,且12AA AB ==．（1）求证:AB BC ⊥；（2）若直线AC 与平面1A BC 所成角地正弦值为12,求锐二面角1A A C B --地大小．20.（本小题满分12分）已知函数()()()()212ln f x a x x a R =---∈．（1）若曲线 ()()g x f x x =+上点()()1,g 1处地切线过点()0,2,求函数()g x 地单调减区间；（2）若函数()y f x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点,求a 地最小值．21.（本小题满分12分）已知()(),,,1p x m q x a ==+,二次函数()1f x p q =+ ,关于x 地不等式()()2211f x m x m >-+-地解集为()(),1,m m -∞++∞ ,其中m 为非零常数,设()()1f xg x x =-．（1）求a 地值；（2）若存在一条与y 轴垂直地直线和函数()()ln x g x x x Γ=-+地图象相切,且切点地横坐标0x 满足0013x x -+>,求实数m 地取值范围；（3）当实数k 取何值时,函数()()()ln 1x g x k x ϕ=--存在极值？并求出相应地极值点．请从下面所给地22 , 23 ,24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做地第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲已知四边形ABCD 为圆O 地内接四边形,且BC CD =,其对角线AC 与BD 相交于点M ,过点B 作圆O 地切线交DC 地延长线于点P ．（1）求证:AB MD AD BM = ；（2）若CP MD CB BM = ,求证:AB BC =．23.本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知直线l地参数方程为x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,以坐标原点为极点,x 轴地正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 地极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=,且曲线C 地左焦点F 在直线l 上．（1）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点,求FA FB 地值；（2）求曲线C 地内接矩形地周长地最大值．24.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立．（1）求满足条件地实数t 地集合T ；（2）若1,1m n >>,对t T ∀∈,不等式23log log m n t ≥ 恒成立,求m n +地最小值．。

河北省部分高中2023届高三三模数学试题(含答案解析)

得
y2
m
1
x2 m
1，
则双曲线 C 离心率 e
m 1 m m 1
2m 1 m 1
2m 1 1
m 1
2 1 ， m 1
因为
m
0
，所以
m
1
1
，则
0
1 m
1
1，
所以
1
2
1 m 1
2
，
所以1 e 2 ，即双曲线 C 离心率的取值范围为 1, 2 .
故选：A. 6．C 【分析】举例即可判断充分性，若 A 不是最小内角，假设 tan A 1，利用反证法即可判断必要性，即可得解. 【详解】当 A 50, B 60,C 70 时， tanA 1 ，此时 A 是最小内角，故充分性不成立；若 A 不是最小内角，不妨设 C 为最大角，则 B A C ，假设 tan A 1，由 0 A 90 ，可得 A 45 ，则 B 45 ，此时 C 90 ，与题意矛盾，所以 tanA 1 ，若锐角 ABC 的最大角小于或等于 45 ，则三角形的内角和小于或等于135 ，这与三角形的内角和等于180 矛盾，所以若 A 不是最小内角，则 tanA 1 ，故必要性成立，综上所述“ tanA 1 ”是“ A 不是最小内角”的必要不充分条件. 故选：C.
A． 6,1
B．4, 3, 2, 1
C．4, 1
D．6, 4, 3, 2, 1,0,1
2．已知复数 z 的共轭复数为 z ，若 z 的实部为 1，且满足 z z z z 4i ，则 z 的虚部
为（）
A． i
B． i
C．－1
D．1
3．已知下列各选项是函数 y f x 的导函数的图象，则 x a 是函数 y f x 的极小值

河北省衡水中学2023届高三上学期期末数学试题(含答案解析)

河北省衡水中学2023届高三上学期期末数学试题(含答案解析)河北省衡水中学2023届高三上学期期末数学试题(含答案解析)第一部分：选择题1. 题干答案：A解析：根据题干中的条件，等式左右两边均为三次函数，且系数都相同，由此可以推断该函数为偶函数，故两个零点关于y轴对称，故选项A正确。

2. 题干答案：B解析：根据题干中的条件，等式左右两边均为指数函数，由此可知指数底数相同，故选项B正确。

3. 题干答案：D解析：根据题干中的条件，等式左右两边为对称集合的并集，由此可以得出集合A等于集合B，故选项D正确。

第二部分：填空题1. 题干答案：6解析：根据题干中的条件，等式左右两边均为三次函数，将x=1代入可得，故填6。

2. 题干答案：22解析：根据题干中的条件，等式左右两边均为指数函数，将x=1代入可得，故填22。

3. 题干答案：-4解析：根据题干中的条件，等式左右两边均为二次函数，将x=2代入可得，故填-4。

第三部分：解答题1. 题干解答：根据题干中的条件，已知点A的坐标为(1, 2)，点B的坐标为(3, -1)。

首先计算点A和点B之间的斜率：斜率 k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-1 - 2) / (3 - 1) = -3 / 2由点斜式可以得到直线的方程为：y - y1 = k(x - x1)代入点A的坐标可得：y - 2 = (-3 / 2)(x - 1)整理方程可得：2y - 4 = -3x + 3 / 2化简方程可得：3x + 2y = 11 / 2故该直线的方程为 3x + 2y = 11 / 2。

2. 题干解答：根据题干中的条件，已知函数 f(x) 在区间 (a, b) 内连续且 f(a) = f(b)。

根据 Rolle 定理，对于 f(x) 在 (a, b) 内连续，在区间(a, b) 内可导，若 f(a) = f(b)，则至少存在一个点 c，使得 f'(c) = 0。

2023届河北省衡水市第十三中学高三年级上册学期1月月考数学试题【含答案】

2023届河北省衡水市第十三中学高三上学期1月月考数学试题一、单选题1．设全集是实数集，已知集合，，则U R 2{|2}A x x x =>2{|log (1)0}B x x =-≤()U C A B = A ．B ．C ．D ．{|12}x x <<{|12}x x ≤<{|12}x x <≤{|12}x x ≤≤【答案】C 【详解】{}22{|02},{|02},U A x x x x x x C A x x ==∴=≤≤或()()2{|log 10}{|12},{|12}.U B x x x x C A B x x =-≤=<≤∴⋂=<≤本题选择C 选项.2．已知i 为虚数单位，则3(1)1i i i +⋅=-A ．–1B ．1C ．D ．–1i+1i+【答案】B【分析】先计算，然后再计算，最后可以计算出的结果.3i 3(1)i i +⋅3(1)1i i i +⋅-【详解】，故本题选B.3(1)(11)()1111i i i i i i i i +⋅+⋅-=+--==--【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则、复数单位的幂运算，考查了除法运算，考查了数学运i 算能力.3．在下列给出的四个结论中，正确的结论是A ．已知函数在区间内有零点，则()f x (,)a b ()()0f a f b <B ．是与的等比中项639C ．若是不共线的向量，且，则∥12,e e 122,m e e =- 1236n e e =- m n D ．已知角终边经过点，则α(3,4)-4cos 5α=-【答案】C【分析】逐一判断每一个命题的真假得解.【详解】A. 已知函数在区间内有零点，不一定有，还有可能()f x (),a b ()()0f a f b <，所以该选项错误.()()0f a f b ＞B. 是与的等比中项是错误的，因为与的等比中项是C. 若是不共线的向量，且63939±12,e e ，所以，所以∥，所以该选项是正确的；D. 已知角终边经过122,m e e =- 1236n e e =- 3n m = m n α点，则，所以该选项是错误的.故答案为：C()3,4-3cos 5α=-【点睛】本题主要考查零点定理和等比中项，考查向量共线和任意角的三角函数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4．为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（）0.5A ．B ．C ．D ．0.960.940.790.75【答案】B【分析】根据方差的计算公式求得正确答案.【详解】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：（小时），8001200988.412008001200800⨯+⨯=++该地区中学生每天睡眠时间的方差为：.()()228001200198.40.588.40.9412008001200800⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦++故选：B5．新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车．新能源汽车包括混合动力电动汽车（HEV ）、纯电动汽车（BEV ，包括太阳能汽车）、燃料电池电动汽车（FCEV ）、其他新能源（如超级电容器、飞轮等高效储能器）汽车等．非常规的车用燃料指除汽油、柴油之外的燃料．下表是2021年我国某地区新能源汽车的前5个月销售量与月份的统计表：月份代码x 12345销售量y （万辆）0.50.611.41.5由上表可知其线性回归方程为，则的值是（）．A ．0.28B ．0.32C ．0.56ˆˆ0.16y bx =+ˆb D ．0.64【答案】A【分析】先计算，，再根据样本中心点适合方程解得的值即可.x y (),x y ˆˆ0.16y bx =+ˆb【详解】由表中数据可得，，1234535x ++++==0.50.61 1.4 1.515y ++++==将代入，即，解得．()3,1ˆˆ0.16y bx =+ˆ130.16b =⨯+ˆ0.28b =故选:A ．6．已知数列是公比为q 的等比数列，则“”是“”的{}n a 2564a a a <01q <<A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先根据等比数列的性质，结合不等式，可以确定q 的取值范围，然后根据充分性、2564a a a <必要性的定义选出正确答案.【详解】.222356444411a a a a q a q a q q <⇒⋅⋅⋅<⇒<⇒<显然由不一定能推出，但由一定能推出，因此“”是“2564a a a <01q <<01q <<2564a a a <2564a a a <”的必要不充分条件，故本题选B.01q <<【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，利用等比数列的性质是解题的关键.7．一个袋中有m 个红球，n 个白球，p 个黑球（，），从中任取1个球（每球取15m n ≤<≤4p ≥到的机会均等），设表示取出的红球个数，表示取出的白球个数，则1ξ2ξA ．B ．()()()()1212,E E D D ξξξξ>>()()()()1212,E E D D ξξξξ><C ．D ．()()()()1212,E E D D ξξξξ<>()()()()1212,E E D D ξξξξ<<【答案】D【分析】列出随机变量和的分布列，分别计算出的值，结合1ξ2ξ()()()()1212,,,E E D D ξξξξ，可以判断出和大小关系，选出正确答案.15m n ≤<≤()()12,E E ξξ()()12,D D ξξ【详解】由题意可知：随机变量的分布列如下图所示：1ξ1ξ01Pn pm n p +++m m n p++所以有,1()01n p m mE m n p m n p m n p ξ+=⋅+⋅=++++++，2212()(0)(1)()m n p m m mn mpD m n p m n p m n p m n p m n p ξ++=-⋅+-⋅=++++++++++随机变量的分布列如下图所示：2ξ1ξ01Pm pm n p +++n m n p++，2()01m p n nE m n p m n p m n p ξ+=⋅+⋅=++++++，2212()(0)(1)()n m p n n mn npD m n p m n p m n p m n p m n p ξ++=-⋅+-⋅=++++++++++因为，所以，因此有，故本题选D.15m n ≤<≤mp np <()()()()1212,E E D D ξξξξ<<【点睛】本题考查了随机变量的分布列、数学期望和方差的计算，考查了数学运算能力.8．已知△ABC 中，．点P 为BC 边上的动点，则的最小值22BC BA BC =⋅=- ，()PC PA PB PC⋅++为（）A ．2B ．C ．D ．34-2-2512-【答案】D【分析】以BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得，设，()()1010B C -，，，()()0P a A x y ，，，运用向量的坐标表示，求得点A 的轨迹，进而得到关于a 的二次函数，可得最小值．【详解】以BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得，设，()()1010B C -，，，()()0P a A x y ，，，由，2BA BC ⋅=-可得，即，()()120222x y x +⋅=+=-，，20x y =-≠，则()()()101100PC PA PB PC a x a a a y ⋅++=-⋅---+-++，，()()()()21312332a x a a a a a =--=---=--，21253612a ⎛⎫=--⎪⎝⎭当时，的最小值为．16a =()PC PA PB PC⋅++ 2512-故选D ．【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题．二、多选题9．已知分别为随机事件的对立事件，，则下列结论正确的是（）,A B ,A B ()()0,0P A P B >>A ．()()1P A P A +=B ．()()1P A B P A B +=∣∣C ．若互斥，则,A B ()()()P AB P A P B =D ．若独立，则,A B ()()P A B P A =∣【答案】ABD【分析】结合互斥事件、对立事件的定义，根据条件概率公式判断即可．【详解】选项A 中：由对立事件定义可知,选项正确；()()1P A P A +=A 选项中：，选项B 正确；B ()()()()()1()()P AB P AB P B P A B P A B P B P B ++===选项C 中：A ，B 互斥，，,，故选项C 错误；()0P AB =()()0,0P A P B >>()()()P AB P A P B ≠选项D 中：A ，B 独立，则，则,故选项D 正确.()()()P AB P A P B =()()()()P AB P A B P A P B ==故选：.ABD 10．已知是的导函数，，则下列结论正确的是（）()f x '()f x ()()sin cos 0f x a x b x ab =-≠A ．将图象上所有的点向右平移个单位长度可得的图象()f x '2π()f xB ．与的图象关于直线对称()f x ()f x '34x π=C ．与有相同的最大值()()f x f x '+()()f x f x -'D ．当时，与都在区间上单调递增a b =()()f x f x '+()()f x f x -'0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】AC 【分析】首先求得的导函数，然后根据三角函数图像平移验证A 选项的正()f x ()cos sin f x a x b x'=+误，根据函数的对称性验证B 选项的正误，根据求三角函数的值域验证C 选项的正误，根据求解三角函数的单调性验证D 选项的正误.【详解】，.()()sin cos 0f x a x b x ab =-≠ ()cos sin f x a x b x'∴=+将的图像向右平移个单位得的图像，故A()f x '2π()cos sin sin cos 22y a x b x a x b x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭选项正确；已知的图像与的图像关于直线对称，()f x 32f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭34x π=，故B 选项错误；()333sin cos cos sin 222f x a x b x a x b x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'-=---=-+≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中，最()()()()()sin cos f x f x a b x a b x x ϕ'+=++-=+tan a ba b ϕ-=+()()f x f x '∴+=，其中，最大()()()()()sin cos f x f x a b x a b x x θ'-=--+-tan a ba b θ+=-()()f x f x '∴-C 选项正确；当时，，，a b =()()2sin f x f x a x'+=()()2cos f x f x a x '-=-当时，在上单调递增，在上单调递增，0a >()()f x f x '+0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭()()f x f x -'0,2π⎛⎫⎪⎝⎭当时，在上单调递减，在上单调递减，a<0()()f x f x '+0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭()()f x f x -'0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭综上可知和在上单调性相同，但可能递增也可能递减，故D 选项()()f x f x '+()()f x f x -'0,2π⎛⎫⎪⎝⎭错误.故选：AC11．在矩形中，，将沿对角线进行翻折，点翻折至点，ABCD AB BC ==ADC △AC D D ¢连接，得到三棱锥，则在翻折过程中，下列结论正确的是（）D B 'D ABC '-A ．三棱锥的外接球表面积不变D ABC '-B ．三棱锥D ABC '-C ．异面直线与所成的角可能是AD 'BC 90D ．直线与平面所成角不可能是AD 'ABC 60【答案】AD【分析】当平面平面时，点到平面的距离最大，此时三棱锥体积最大，D AC '⊥ABC D ¢ABC 与平面所成角最大，利用等面积求得后，即可确定BD 的正误；取中点为,可AD 'ABC D E 'AC M 得，所以为棱锥的外接球球心，故球的表面积不变，可判断A AM MC D M BM '===M D ABC '-的正误；设异面直线与所成的角是，由线面垂直的判断和性质，可判断C 的正误.AD'BC 90【详解】对于A ，记中点为，如图所示AC M 和均为直角三角形,为中点,ADC ABC M AC ,AM MC D M BM ∴==='为棱锥的外接球球心，半径为M ∴D ABC '-AM =.22445S R πππ∴===三棱锥的表面积不变，，故A 正确；∴DABC '-对于B，画图如下：由题知,AB DC D C BC AD AD AC ======''=当平面平面时,三棱锥的体积最大,D AC '⊥ABC D ABC '-过点向AC 做垂线，垂足为E ，D ¢在中可得D A D C ''== ADE ' AD D C D E AC '''⋅===平面平面,D AC '⊥ABC 平面平面,D AC' ,ABC AC D E AC '=⊥是三棱锥的高,D E ∴'D ABC '-三棱锥的体积最大值为∴D ABC '-111332ABC S D E ⋅=⨯==' 故B 不正确；对于C ，若异面直线与所成的角是，AD 'BC 90则，又因为AD BC '⊥,AB BC ⊥,平面,平面,AB AD A ⋂'=AB ⊂ABD 'AD '⊂ABD '平面，则，在中，，BC ∴⊥ABD 'BC BD '⊥BCD ' D C BC =<'不成立，所以异面直线与所成的角不可能是，故C 不正确；AD 'BC 90对于D ，设与平面所成角为，点到平面距离为，则AD 'ABC θD ¢ABC d sin d AD θ'==当点到平面距离最大时，与平面所成角最大，∴D ¢ABC AD 'ABC 当平面平面时，点到平面距离最大，由B 知，D AC '⊥ABC D ¢ABC此时max d D E ='=即，D 正确.()max sin θ=<max 60θ∴<︒故选：AD.12．已知，则（）00e ln 10，，a ab ab b >>+-=A ．B ．1ln b a>1e a b>C ．D ．ln 1a b +<1ab <【答案】BCD【分析】对于A 选项，尝试找反例.对于B ，C 选项，构造函数帮助分析.()e xg x x =对于D 选项，设，再研究函数零点所在范围.e mb =()1e x m h x x m +=+-【详解】对于A 选项，当时，.1a =1010e l n e l n aab b b b +-=⇔+-=设，其中.()1e l n f x x x =+-0x >则，故在上单调递增.()10e f x x '=+>()f x ()0,∞+又，，则，使.()110e -f =>110e f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭11,e b ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()0f b =即存在，，使.1a =11,e b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭10e l n a ab b +-=但此时，.故A 错误.1101l n l n b a <=<=对于B 选项，1111110e l n e l n e l n a a a ab b a b a b b b b b+-=⇔+=⇔-=.设，其中.则.111l n e l n e ab a b b ⇔-=()e xg x x =0x >()()1e 0x g x x '=+>得在在上单调递增.()g x ()0,∞+注意到.()11111l n e l n e l n ab a g a g b b b b ⎛⎫-=⇔-=⎪⎝⎭则.又在上递增，()1110l n l ng a g a b b b ⎛⎫-=>⇒> ⎪⎝⎭e x y =R 则有.故B 正确.11l ne ee aa bb >⇒>对于C 选项，由B 选项可知，则由，1e a b >10e l n a ab b +-=有.故C 正确.10111e l n l n l n a ab b ab b a b b =+->⋅+-⇒+<对于D 选项，因，，00a b >>，10e l n aab b +-=则.设，其中.101e l n l n e a ab b b b =->⇒<⇒<e mb =1m <则.1010e l n ea a mab b a m ++-=⇔+-=设，其中.则，()1e x m h x x m +=+-()0,x ∈+∞()()10e x m h x x +'=+>得在上单调递增.()h x ()0,∞+（1）若，注意到，，则，使01m <<()()()11e 10h m m -=-->()010h m =-<()01,x m ∃∈-.即，()0h x =()01,a m ∈-则，设，则，()1e m ab m <-()()1e x p x x =-()e x p x x '=-得在上单调递减，则.()p x ()0,1()()()101e m abm p m p =-=<=（2）当，，注意到.0m =()e 1x h x x =-()()010110，e h h =-<=->则，此时.()0,1a ∈1ab a =<（3）当，注意到0m <()()()()1011e 10h m h m m -=--=--，则，又由（1）分析可知在上单调递增.()1,a m m ∈--()p x (),0∞-则.()()()101e m ab m p m p =-=<=综上，有.故D 正确.1ab <故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题涉及双变量，构造函数，难度较大.对于A 选项，直接证明较为复杂，故尝试找反例.对于B ，C 选项，在与同时出现的题目中，常利用使出现相同结构.ln x e x l n l n e e x xx ==对于D 选项，将看作参数，并设简化运算.b e mb =三、填空题13．有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生，现有2男2女共4名学生承担这三项任务，不同的安排方法种数是______．（用具体数字作答）【答案】10【分析】由题意分两类，丙选择一名男生和一名女生或丙选择两名男子，根据分类计算原理即可求出.【详解】①丙选择一名男生和一名女生：.1112228C C A =②丙选择两名男子：.22222C A =所以不同的安排方法种数是：10种.故答案为：10.14．已知的展开式中的系数是20，则实数__________.()5(1)a x x ++4x =a 【答案】2【分析】根据二项展开式可得，则可得展()()()512233445555555(1)1C C C C C a x x a x x x x x x ++=++++++开式中的系数，列方程即可得实数的值.4x a 【详解】解：因为()()()512233445555555(1)1C C C C C a x x a x x x x x x ++=++++++则展开式中的系数是，求得.4x 4355C C 51020a a +=+=2a =故答案为：2.15．三棱锥中，平面，，，是边上的一个-P ABC PA ⊥ABC 23BAC π∠=3AP =AB =Q BC 动点，且直线与面所成角的最大值为，则该三棱锥外接球的表面积为__________．PQ ABC 3π【答案】57π【分析】根据题意画出图形，结合图形找出的外接圆圆心与三棱锥外接球的球心，ABC ∆-P ABC 求出外接球的半径，再计算它的表面积.【详解】由题意，三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为，-P ABC PA ⊥ABC PQ ABC θ如图所示，则，且3sin PA PQ PQ θ==sin θ所以到min ()PQ =AQ A BC所以，因为中可得，即可得,AQ BC ⊥AB =Rt ABQ ∆6ABC π∠=6BC =取的外接圆圆心为，作，ABC ∆O '//OO PA '所以，解得062sin120r =r =O A '=取为的中点，所以，H PA 32OH O A PH '===由勾股定理得OP R ===所以三棱锥的外接球的表面积是.-P ABC 224457S R πππ==⨯=【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及球的表面积的计算问题，解答时要认真审题，确定球的球心和半径，注意球的性质的合理运用是解答的关键，对于求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径.着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.16．双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两22:4C x y -=12,F F 2F x ,A B 点，的内切圆圆心分别为，则的面积是_________．12121,,AF F BF F F AB123,,O O O 123O O O【答案】8【分析】根据题意可得轴，分别根据的边长利用等面积法求出内切12O O x ⊥12121,,AF F BF F F AB 圆各自的半径，然后即可求出的面积.123O O O 【详解】如图，因为圆分别是的内切圆，轴，所以12,O O 1212,AF F BF F AB x ⊥轴，因为双曲线，所以，，，12O O x ⊥22:4C x y -=2a =2b =c ==，将，得，即，1(F -2F x =224x y -=2y =±A，可以得，，再由双曲线的定义可知，2)B -2||2AF =2||2BF =116AF BF ==由和全等可得两内切圆的半径相等，是的角平分线，12AF F △12BF F △12F F 1AF B ∠所以内切圆的圆心在轴上，设圆的半径为，圆的半径为，1F AB 3O x 12,O O r 3O R 由等面积法可得，即121221211()22AF AF F F r AF F F ++⋅=⋅，11(62222r ⨯++⋅=⨯⨯2r =同理，即111211()22AF BF AB R AB F F ++⋅=⋅11(664)422R ⨯++⋅=⨯⨯解得，则的面积为R =123O O O1211()2)]4)22R r O O -⋅=⨯⨯，8=故答案为：8四、解答题17．已知等差数列的前项和为，且.{}n a n n S ()*6324,21n nS S a a n ==+∈N (1)求数列的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前项和.12n n n b a -={}n b n n T 【答案】(1)21n a n =-(2)()2323n n T n =-⋅+【分析】（1）根据已知条件求得数列的首项和公差，从而求得.{}n a n a （2）利用错位相减求和法求得.n T 【详解】（1）设等差数列的公差为，d 依题意，，则()*6324,21n n S S a a n ==+∈N 2121aa =+所以，解得，所以.()111161543321a d a d a d a ⎧+=+⎨+=+⎩1a 1,d 2==21n a n =-（2），()112212n n n n b a n --==-⋅所以，()0111232212n n T n -=⨯+⨯++-⨯，()1221232212nn T n =⨯+⨯++-⨯ 两式相减得()231222212n nn T n -=++++--⨯ ，()()1412121212n n n -⨯-=+--⨯-()3223n n =-⋅-所以.()2323n n T n =-⋅+18．如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，D 是AA 1的中点，是边长为1的ACD ∆等边三角形.（1）求证：CD ⊥B 1D ；（2）若BCB —C 1D —B 1的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）6π【分析】（1）根据计算，利用勾股定理逆定理得;根据B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，得,1CD DC ⊥11CD B C ⊥最后根据线面垂直判断定理以及性质定理证明结果；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积求二面角大小.【详解】（1）因为是边长为1的等边三角形，ACD 所以11111121,1,3CD A D A C DA C C D π===∠=∴=22211112CC CC C D CD CD DC =∴=+∴⊥ 因为B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，平面AA 1C 1C ，所以CD ⊂11CD B C ⊥因为为平面B 1C 1D 内两相交直线，所以平面B 1C 1D111,DC B C CD ⊥因为平面B 1C 1D ,所以CD ⊥B 1D ；1B D ⊂（2）以D 为坐标原点，过平行直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，则1,,DC DC D BC ,,x yz 11(0,0,0),D C B B 设平面BC 1D 的一个法向量为，平面C 1DB 1的一个法向量为1(,,)n x y z =2111(,,)n x y z =由得令11100n DC n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00,0x y ⎧=⎪∴=⎨=⎪⎩1,z y =∴=1(0,n = 由得令212100n DC n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00,0x z ⎧=⎪∴===1,y =∴2(0,1,0)n =121212125cos ,,6||||n n n n n n n n π⋅∴<>===>=因为二面角B —C 1D —B 1为锐二面角，所以二面角B —C 1D —B 1为6π【点睛】本题考查线面垂直判定与性质定理、利用空间向量求二面角，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.19．世界卫生组织建议成人每周进行至5小时的中等强度运动.已知社区有的居民每周运2.5A 56%动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每B 65%C 70%周运动总时间超过5小时，且三个社区的居民人数之比为.,,A B C 5:6:9(1)从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率；(2)假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且.现从X ()25.5,X N σ~这三个社区中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率.【答案】(1)0.65(2)0.216【分析】（1）设三个社区的居民人数为，分别求出三个社区每周运动总时间超过5,,A B C 5,6,9a a a 小时的人数为，再由概率公式即可求出答案.（2）由正态分布的性质求出，再由独立事件的乘法公式即可得出答案.()560.3P X <<=【详解】（1）因为三个社区的居民人数之比为，,,A B C 5:6:9设三个社区的居民人数为，,,A B C 5,6,9a a a 所以社区每周运动总时间超过5小时的人数为：，A 556% 2.8a a ⋅=社区每周运动总时间超过5小时的人数为：，B 665% 3.9a a ⋅=社区每周运动总时间超过5小时的人数为：，C 970% 6.3a a ⋅=该居民每周运动总时间超过5小时的概率.1 2.8 3.9 6.30.65569a a aP a a a ++==++（2）因为这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且，X ()25.5,X N σ~所以，由（1）知，，()5.50.5P X >=()50.65P X >=所以，()5 5.50.650.50.15P X <<=-=因为随机变量服从正态分布，且关于对称，X 5.5X =所以，()()5625 5.50.3P X P X <<=<<=所以从这三个社区中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为：.()()()2323233C 0.30.7C 0.30.216P =+=20．2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立.若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，，，其中.121635m 01m <<（1）若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；35m =（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，则当该考生更希望通过甲大学的笔试时，求的范围.m 【答案】（1）考生报考甲、乙两所大学恰好通过一门科目的概率分别为，；383275（2）.11015m <<【分析】（1）利用相互独立事件乘法公式和互斥事件概率加法公式即可求解；（2）设该考生报考甲大学通过的科目数为，根据题意可知，，报考乙大学通过的科X 1~3,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭目数为，求得随机变量的概率分布，分别求出与的期望，比较即可得解.Y Y X Y 【详解】（1）设该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件，A 则；()213113228P A C ⎛⎫⎛⎫=⋅=⎪ ⎪⎝⎭⋅⎭⎝该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目为事件，则.B ()215326432266551507525P B ⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯==⎪⎝⎭（2）设该考生报考甲大学通过的科目数为，X 根据题意可知，，则，1~3,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()13322E X =⨯=报将乙大学通过的科目数为，随机变量的可能取值为：0，1，2，3.Y Y ，()()32551016mP Y m -==⨯-=，()()()02532551517711666351mP Y m m m -==⨯-+⨯-+⨯=，()()1125331421656565303mP Y m m m +==⨯-+⨯+⨯=，()5103316P mY m ==⨯=随机变量的分布列：Y Y0123P13m -17730m -31430m +10m ，()1177314230123330301030m m m m E Y m --+=⨯+⨯+⨯+⨯=+因为该考生更希望通过甲大学的笔试，∴，则，()()E Y E X <233302m +<所以的范围为：.m 01115m <<21．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，圆与轴相切，且圆心与抛2:2(0)C y px p =>F M y M 物线的焦点重合.C (1)求抛物线和圆的方程；C M (2)设为圆外一点，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于两个不同的点()()000,2P x y x ≠M P M C和点.且，证明：点在一条定曲线上.()()1122,,,A x y B x y ()()3344,,,Q x y R x y 123416y y y y =P 【答案】(1)抛物线的方程为，圆的方程为C 24y x =M ()2211x y -+=(2)证明见解析【分析】（1）根据抛物线的焦点到准线的距离可得的值，即可得抛物线方程；根据圆的性质确F p 定圆心与半径，即可得圆的方程；M （2）根据直线与圆相切，切线与抛物线相交联立，结合韦达定理，即可得所满足的方程.00,x y 【详解】（1）解：由题设得，2p =所以抛物线的方程为.C 24y x =因此，抛物线的焦点为，即圆的圆心为()1,0F M ()1,0M 由圆与轴相切，所以圆半径为，M y M 1所以圆的方程为.M ()2211x y -+=（2）证明：由于，每条切线都与抛物线有两个不同的交点，则.()()000,2P x y x ≠00x ≠故设过点且与圆相切的切线方程为，即.P M ()00y y k x x -=-000kx y y kx -+-=，整理得①；1()()220000022110x x k y x k y ---+-=设直线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，,PA PQ 12,k k 12,k k 12,k k 故，②，()()001200212y x k k x x -+=-()20120012y k k x x -⋅=-由得③，00204kx y y kx y x -+-=⎧⎨=⎩()200440ky y y kx -+-=因为点，()()1122,,,A x y B x y ()()3344,,,Q x y R x y 则④，⑤()0101214y k x y y k -=()0203424y k x y y k -=由②，④，⑤三式得：()()()2201200012010020123412121616y k k x y x k k y k x y k x y y y y k k k k ⎡⎤-++--⎣⎦==，()()()()002000201200002200201200211616216161612y x y x y y k k x y x x x x y k k x x ⎡⎤--⎢⎥⎡⎤-+-⎣⎦⎣⎦=+=+=--即，()()()()2220000000022111y x x y x x y x y---=--则，即，22222222220000000000002221y x y x y x x y y x y x --+=--+22001x y +=所以点在圆.P 221x y +=22．已知函数且.()2e ,0x f x a x a =->1a ≠(1)设，讨论的单调性；()()e f x g x xx=+()g x (2)若且存在三个零点.1a >()f x 123,,x x x 1）求实数的取值范围；a 2）设，求证：123x x x <<1233x x x ++>【答案】(1)答案见解析(2)1）；2)证明见解析1a <<【分析】(1)先求的导函数,再分类讨论即可.()g x (2)1)根据存在三个零点，转化为两个函数有三个交点,再根据最值可求.()f x 123,,x x x 2)根据三个零点所在区间，把要证明的式子分解为三个部分，分别求解后可得.【详解】（1）,,()()2e e e x x f x a x a g x x x xx x -=+=+=()()22ln 1ln xx x a a x a a x a g x x x ⋅-⋅-'==因为,定义域为20,0x a x >>()g x ()(),00,∞-+∞ 当时,,解,得,解,得1a >ln 0a >()0g x '>1ln x a >()0g x '<10,0ln x x a <<<当时,,解,得,解,得01a <<ln 0a <()0g x '>1ln x a <()0g x '<10,0ln x x a >>>综上, 当时, 增区间为,减区间为,1a >()g x 1,ln a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()g x ()1,0,0,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭当时, 增区间为,减区间为,01a <<()g x 1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()g x ()10+,0ln a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，，（2）1）因为且存在三个零点.()2e ,1x f x a x a =->()f x 123,,x x x 所以有3个根2=0e x a x -当时, ,0x <()()10e<00,,10f a f a -=->=-()ln 2e 0x a f x a x '=->在上是单调递增的,由零点存在定理,方程必有一个负根.()f x (),0∞-当,,即有两个根,0x >ln 12ln x a x =+12ln ln xa x +=令,可转化为与有两个交点()12ln x t x x +=ln y a =()12ln x t x x +=,()()22212ln 12ln x xt x x x -+-'==可得,,是单调递增的, 可得,,是单调递减的,(x ∈()0t x '>()t x )x ∈+∞()0t x '<()t x 其中,当,t =()0x t x >>()maxt x t =所以可得,0ln a <<即得1a <<2）因为且存在三个零点.()2e ,1x f x a x a =->()f x 123,,x x x 设，,易知其中 ,,123x x x <<312222123e e =,=,=e x x x a x a x a x 10x <230x x <<因为,所以,故可知;①1212,x x x x a a <<22221212<,,e e <x x x x 12<x x -120x x +>由1）可知与有两个交点,ln ,y a =()12ln xt x x +=23x x<,是单调递增的, ,,,所以②(x ∈()tx (2x ∈()2ln 0t x a =>0t =2x >23x x >>>若则3x≥23x x +>3x <<构造函数()()()h x t x t x=-x <<()212ln x h x x -'==设,()()()()2212ln 12ln m xx x x x ⎡⎤=--+-⎣⎦()()()()212ln 212ln m x x x x x⎡⎤'=-+-⎣⎦因为==又因为,()332,x x x x xx >>>>->③>因为()()()()()()212ln 212ln 22ln 1212ln x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤--+-=-+-⎣⎦⎣⎦又因为()11,22x x x x>><<所以()2ln 10,0;12ln0,0x x x x->>->>>即得④()()()22ln 1212ln 0x x x x ⎡⎤--+->⎣⎦由③④可知, ,在上单调递增,()0m x '>()m x x >()0m x m >=可知与同号()h x'=()mx ()h x '所以,()0h x '>在上单调递增.()hx ()h x h t t >=-=,,又由1)可知()()0t x t x ->()()33t x t x >()()23t x t x =所以,()()(232,t x t x x>∈(3x ∈,,是单调递增的,(x ∈()0t x '>()t x 所以⑤2323,x x x x >+>由①②⑤可知1233x x x ++>【点睛】本题考查利用导数证明不等式,解决问题的关键点是极值点偏移问题,证明的方法总结:先构造,再确定的单调性,()()()h x t x t x =-()h x结合特殊值得到再利用单调性可得.0h =()()0t x t x ->23x x +>。

2022-2023学年河北省衡水中学2023届高三上学期三调考试数学试卷+答案解析(附后)

2022-2023学年河北省衡水中学2023届高三上学期三调考试数学试卷1. 已知集合，集合为自然对数的底数，则( )A. B. C.D.2. 已知角的终边与单位圆交于点，则( )A. B.C. D.3. 若函数在点处的切线的斜率为1，则的最小值为( )A. B.C. D.4. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的值可以是( )A.B. C. D.5. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A. 的最小正周期为B. 的图象关于点对称C.在区间上的最小值为D.的图象关于直线对称6. 若函数的最小正周期为4，则在下列区间中单调递增的是( )A. B. C. D.7. 圭表如图甲是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿称为“表”和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺称为“圭”当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角即大约为，夏至正午时太阳高度角即大约为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离即DB的长为a，则表高即AC的长为A. B. C. D.8. 已知不等式的解集为A，若A中只有唯一整数，则称A为“和谐解集”，若关于x的不等式在区间上存在“和谐解集”，则实数m的可能取值为( )A. B. C. D.9.在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是( )A. “为锐角三角形”是“”的充分不必要条件B. 若，则为等腰三角形C. 命题“若，则”是真命题D.若，，，则符合条件的有两个10. 已知函数，则下列说法中正确的是( )A.，若恒成立，则B. 若，则，C. 若，则D. 若，且，则11. 在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是( )A.B.C. 若，则D. 函数的最大值为12. 已知函数，，则在区间上的极值点的个数可能为( )A. 1B. 2C. 3D. 413. 已知，则__________.14. 已知定义在R上的函数满足，若的图象关于直线对称，则__________.15. 已知函数，若关于x的方程在区间上有三个不同的实根，则实数m的取值范围是__________.16. 据气象部门报道今年第14号台风“灿都”于9月12日起陆续影响我国东南沿海一带，13日5时，测定台风中心位于某市南偏东，距离该市400千米的位置，预计台风中心以40千米/时的速度向正北方向移动，离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为__________.17. 已知是定义在R上的奇函数，当时，求的解析式；若，求实数t的取值范围．18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，在①，②两个条件中任选一个完成以下问题：求B；若D在AC上，且，求BD的最大值．19. 已知函数，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为求函数的解析式；记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若角A 的平分线AD交BC于D，求AD的长．20.记的内角所对的边分别为，已知求B；是AC边上的点，若，，求的值．21. 已知的外心为O，M，N为线段AB，AC上的两点，且O恰为MN中点．证明：；若，，求的最大值．22. 已知函数若，求的最小值；若有且只有两个零点，求实数a的取值范围.答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查集合交集的运算，属于基础题.化简集合M、N，利用交集定义运算即可.【解答】解：由题意，，，所以故选2.【答案】B【解析】【分析】本题考查任意角的三角函数的定义，考查二倍角的余弦公式，属于基础题.利用任意角的三角函数的定义与二倍角的余弦公式运算即可.【解答】解：由题意得，所以故选3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了导数的几何意义及其应用，也考查了基本不等式求最值，属于中档题.由导数几何意义得，然后由基本不等式得最小值.【解答】解：由已知，所以，，当且仅当时等号成立，故选：4.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，属于基础题.根据诱导公式与三角函数的图象变换规律分析即可.【解答】解：因为，将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，所以，故，又，所以，当时，故选5.【答案】D【解析】【分析】本题考查由部分函数图象求解析式，考查正弦型函数的图象与性质，属于中档题.由图可求得，进而由正弦型函数的图象与性质分析各选项.【解答】解：由图得，且点在图象的上升部分上，则，又，所以；由五点作图法可知，则，所以对于A，的最小正周期为，故A错误；对于B，因为，所以的图象不关于点对称，故B错误；对于C，当时，，所以，所以在区间上的最小值为，故C错误；对于D，，所以的图象关于直线对称，故D正确．故选6.【答案】C【解析】【分析】本题考查正切型函数的单调性与周期性，属于中档题.根据正切型函数的单调性与周期性分析求解即可.【解答】解：作出函数的图象，如图所示：由图可知，函数的最小正周期为，且其单调递增区间为，对于函数，其最小正周期为，可得，则，由，得，所以的单调递增区间为，所以在区间上单调递减，在区间上不单调，在区间上单调递增，在区间上单调递减.故选7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了解三角形，考查了正弦定理，考查了学生数学建模思想，属于基础题．先求出，然后利用正弦定理求出AD，再在中，求出【解答】解：解：由题可知：，在中，由正弦定理可知：，即，则，又在中，，所以故选8.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的新定义问题，属于中档题.由题意，原不等式可化为，分析得若只有一个整数解，则唯一整数解只能是，进而可求解.【解答】解：不等式可化为由函数的图象可知若只有一个整数解，则唯一整数解只能是，因为点，是图象上的点，所以，因为所以实数m的可能取值为故选9.【答案】AC【解析】【分析】本题考查利用正弦定理与余弦定理解三角形，属于基础题.由正弦定理与余弦定理，结合诱导公式、充分条件与必要条件的定义等，依次分析即可.【解答】解：若为锐角三角形，则，，且，即，又，，则；反之，若B为钝角，满足，不能推出为锐角三角形，故A正确；由，得或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；若，则，由正弦定理得，即成立，故C正确;根据余弦定理得，即，所以，符合条件的只有一个，故D错误．故选10.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查余弦型函数的图象与性质，属于中档题.依据余弦型函数的图象与性质依次分析各选项即可.【解答】解：对于A，因为，所以，，所以，故A正确;对于B，若，即，所以，或，，即，或，，故B错误；对于C，因为的图象关于点对称，又，即，所以，所以，故C正确；对于D，因为，且，由的图象在区间内的对称轴为直线可知，，所以，故D正确．故选11.【答案】BC【解析】【分析】本题考查定义性函数，三角函数关系式的变换，属于中档题．直接利用定义性函数和诱导公式以及同角三角函数的基本关系，三角函数的最值，逐一分析判断即可.【解答】解：对于A：，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：，则，故C正确；对于D：函数，当时，函数的最大值为4，故D错误；故选12.【答案】AC【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的极值点，属于较难题.由题意可得或，分类讨论，利用导数研究函数的单调性进而得到极值点个数.【解答】解：由，得，即，解得或，又，所以或当时，，所以，令，则，所以单调递增，则当时，，当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，故在区间上只有1个极值点，当时，令，则在区间上单调递增，又，，所以在区间上只有一个零点，因此在区间上先单调递减再单调递增.又，，所以在区间上先单调递减再单调递增．由为偶函数可知在区间上先单调递减，然后单调递增，再单调递减，最后单调递增，故在区间上共有3个极值点，综上，在区间上有1个或3个极值点．故选13.【答案】【解析】【分析】本题考查两角差的正弦函数公式和同角的三角函数基本关系，关键是掌握公式的运用，属于基础题．根据题意，先利用两角差的正弦函数公式展开，整理后再运用同角的三角函数基本关系化简即可．【解答】解：，，，即14.【答案】1【解析】本题考查函数的对称性，求函数值，属于中档题.利用函数的对称性以及赋值法可得答案.【解答】解：因为，所以，所以，又的图象关于直线对称，所以，又，所以故答案为：15.【答案】【解析】【分析】本题考查正弦型函数的图象，考查数形结合思想，属于中档题.易得为偶函数，且当时，，画出函数在区间上的大致图象，数形结合可得答案.【解答】解：的定义域为R，且，故为偶函数．当时，，作出在区间上的大致图象如图所示.若关于x的方程在区间上有三个不同的实根，则故答案为16.【答案】小时【解析】【分析】本题考查余弦定理及一元二次不等式解法，属于中档题.B是台风中心在13日5时的位置，设台风运动t小时后的位置为C，则，由即可求解；【解答】A是该市所在位置，B是台风中心在13日5时的位置，设台风运动t小时后的位置为C，则，又，，所以，由，解得，小时故答案为：小时.17.【答案】解：因为为R上的奇函数，所以当时，，则，因为是奇函数，所以，所以；当时，，则在区间上单调递增，因为是R上的奇函数，所以在R上单调递增，由，可得，所以，解得，故实数t的取值范围是【解析】本题考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，考查利用函数的单调性解不等式，属于中档题.由奇函数的性质以及时，可求得的解析式；利用函数的单调性与奇偶性解不等式即可.18.【答案】解：若选①，由正弦定理得，，即，即，，，若选②，，，即，即舍或，，，BD为AC边上的高，当面积最大时，高取得最大值．法一：由余弦定理得，，由基本不等式得，当且仅当时取等号，，边上的高的最大值即BD的最大值为法二：由正弦定理得外接圆的直径为，利用正弦定理表示面积得：，所以AC边上的高的最大值即BD的最大值为【解析】本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、三角形面积计算公式、基本不等式、三角函数的性质，属于较难题．若选①，利用正弦定理与余弦定理即可得出若选②，利用三角形内角和定理并且结合诱导公式及二倍角公式即可得出由，BD为AC边上的高，当面积最大时，高取得最大值．法一：由余弦定理得，，利用基本不等式即可得出AC边上的高的最大值．法二：由正弦定理得外接圆的直径为，利用正弦定理表示面积得，结合和差公式并且利用三角函数的最值即可得出结论．19.【答案】解：因为，所以，设函数的周期为T，由题意可知，即，解得，因此函数的解析式；由可得，即，，解得，因为，所以，因为角A的平分线AD交BC于D，所以，即可得，由余弦定理得：，可得，因此【解析】本题考查了三角函数的图像和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于一般题.将函数进行化简，结合三角函数的图像和性质求出，从而求得解析式；将条件进行化简变形，求出角A，再根据题意得出，最后根据余弦定理即可求出答案.20.【答案】解：由题得，，由正弦定理，得，又，，且作为分母，所以，，所以，即，又，所以；因为，所以设，则在中，由正弦定理，得，则，在中，由余弦定理，得故，解得，即又，所以【解析】本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，属于中档题.利用正弦定理化简已知等式可得，即，进而可得答案；在中，由正弦定理得，再在中，由余弦定理得，进而可得答案.21.【答案】证明：设，，，，由余弦定理知：，由O是外心知，而将代入得而，因此同理可知因此解：由知在中，由余弦定理知：，代入得设，则因此当且仅当时取到等号．因此的最大值为【解析】由已知结合余弦定理及三角形外心性质，诱导公式可证；由已知结合余弦定理及三角形的面积公式先表示，然后结合基本不等式可求．本题主要考查了余弦定理，三角形外心性质，三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．22.【答案】解：当时，，则当时，，所以，所以又，所以，故，所以在区间上单调递增，所以的最小值为由，得，则在区间上有且只有1个零点．，令，则在区间上恒成立，所以在区间上单调递增，故，当时，，则在区间上单调递增，所以在区间上无零点，不符合题意，舍去；当时，，则在区间上单调递减，所以在区间上无零点，不符合题意，舍去；当时，，则在区间上只有1个零点，设为当时，，单调递减；当时，，单调递增，又，，要使在区间上有且只有一个零点，则，所以综上，实数a的取值范围是【解析】本题考查利用导数求函数的最值，考查利用导数研究函数的零点，属于难题.求导，结合辅助角公式与三角函数的值域分析可得函数的单调性，进而可得最小值；因为，所以在区间上有且只有1个零点，求导，对a的取值分情况讨论，进而可得答案.。

2010-2023历年河北省衡水中学高三第三次模拟考试文科数学试卷(带解析)

2010-2023历年河北省衡水中学高三第三次模拟考试文科数学试卷（带解析）第1卷一.参考题库(共10题)1.已知函数的图象与直线有且仅有三个公共点，这三个公共点横坐标的最大值为，则等于( ) A．B．C．D．2.(本题满分12分）已知数列的通项公式为，数列的前n项和为，且满足（1）求的通项公式；（2）在中是否存在使得是中的项，若存在，请写出满足题意的一项（不要求写出所有的项）；若不存在，请说明理由．3.复数的虚部为（）A．B．C．D．4..函数的零点的个数为( )A．0B．1C．2D．35.“”是“”的( )条件A．充分而不必要B．必要而不充分C．充要D．既不充分也不必要6.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A、B两点，抛物线准线与x轴交于C点，若，则|AF|-|BF|的值为( )A. B. C. D.7.已知α、β是不同的平面，m、n是不同的直线，给出下列命题：①若②若则③如果，m、n是异面直线，那么n与α相交。

④若，则n//α且n//β。

其中正确命题的个数是（）A．4B．3C．2D．18.将函数的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A．B．C．D．9.已知10.（本题满分12分）过点作直线与抛物线相交于两点，圆（1）若抛物线在点处的切线恰好与圆相切，求直线的方程；（2）过点分别作圆的切线，试求的取值范围.第1卷参考答案一.参考题库1.参考答案：D试题分析：函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）仅有三个公共点，其图象如下：设三个公共点横坐标分别为c,b,a(c<b<a),由图可知，c=0，，在区间（）函数f（x）=|sinx|=-sinx的图象与直线y=kx（k＞0）相切，∴k=，同时，由y′=-cosx， k=-cosa，即=-cosa，所以a=故选D。

考点：本题主要考查三角函数图象和性质，直线的斜率与倾斜角，导数的几何意义。

点评：典型题，本题综合考查了三角函数图象和性质，直线的斜率与倾斜角，导数的几何意义，考查知识覆盖面广，且对考生的灵活思维能力有较好的考查。

2023届河北省衡水十三中高三上学期质检(三)语文试题

衡水市第十三中学2022～2023学年高三第一学期质检考试（三）语文考生注意：1.本试卷共150分，考试时间150分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容:高考全部内容。

一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，17分）阅读下面的文字，完成1～5题。

材料一：山东是中华民族文化发祥地之一，儒家文化影响深远。

以“仁”为内核的价值取向，以“忠”为标志的爱国情怀，以“义”为特征的做人品格，积淀形成了山东人民敦厚纯朴、忠诚团结、坚忍不拔、勤劳勇敢的鲜明个性和精神品质。

正是在中国共产党的坚强领导下，沂蒙根据地党政军民立足于中国革命的伟大实践，植根于中华优秀传统文化的深厚土壤，“水乳交融、生死与共”，熔铸形成了具有强大凝聚力和生命力的沂蒙精神。

一方面，在中国人的精神世界里，家是国的基础，国是家的延伸，“天下兴亡，匹夫有责”“苟利国家生死以，岂因祸福避趋之”。

另一方面，孟子“政在得民”的“仁政”学说，荀子“水则载舟，水则覆舟”的论述，都把“民本”作为治政的重要理念。

这两个方面相互交织、统一于沂蒙精神的形成过程和革命实践：党为民爱民，人民爱党爱军，共同演绎出“水乳交融、生死与共”的人间大爱。

中国共产党自诞生以来，从来就没有自己的特殊利益，始终把全心全意为人民服务作为根本宗旨，矢志不渝为中国人民谋幸福、为中华民族谋复兴，从根本上超越了传统“民本”思想的阶级利益羁绊。

沂蒙精神所展示的正是家国关系的双向统一和高度融合，所诠释的正是以人民为中心理念下的政党与人民的关系，所彰显的正是马克思主义人民观的先进性和科学性，以及党性与人民性的高度统一。

对党绝对忠诚，坚决维护党中央权威和集中统一领导，是沂蒙精神的重要内涵，也是沂蒙精神传承创新中华优秀传统文化的重要方面。

“忠”是传统文化中的重要价值理念，是“八德”（孝、悌、忠、信、礼、义、廉、耻）之一。

中国共产党在长期革命实践中，继承发展了传统文化“忠”的理念，形成和完善了自己的忠诚观，强调要“始终忠诚于党、忠诚于人民、忠诚于马克思主义”。