数学与音乐相融

数学与音乐的相融

千百年来，音乐和数学都被紧密的联系在一起。早在公元前500年的毕达哥拉斯时代，人们已经意识到乐音的和谐与否可以用其频率的数学关系来诠释。

在最近几十年，随着数学和计算机科学的发展，一种全新的音乐形式---MIDI音乐诞生了，越来越多的人再次注意到数学和音乐的完美融合。

本文从数学家毕达哥拉斯谈起，阐述了数学与音乐两个学科之间和谐关系，基于数理科学的音乐理论。同时，文章简单介绍了MIDI音乐的数学原理。

关键词：毕达哥拉斯十二平均律节拍MIDI音乐

Abstract：

Music and mathematics always had a close relationship. Since Pythagoras it is known that harmony can be understood simply by the numerical relation of the frequencies.

In the last years ,with the improvement of mathematics and computer science, a new field of music ,MIDI(Musical Instrument Digital Interface) boomed,they who are in an increasing number begun to focus on the intimate relationship of mathematics and music again.

Keywords：Pythagoras,beat, Musical Instrument Digital Interface

一．音乐理论的鼻祖毕达哥拉斯

毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家，公元前572年生于爱琴海中临近小亚细亚的萨摩斯岛，公元前500年卒于他林敦。毕达哥拉斯研究数学的目的并不在于实用，而是为了探索自然的奥秘，他以发现并证明勾股定理著称。

作为数学家，毕达哥拉斯可谓是功绩显赫，不过，他对音乐的贡献也不可低估。有传说，毕达哥拉斯经过一家铁匠铺，听到铁锤打击铁砧的声音，辨认出了四度、五度和八度三种和谐音，他猜想是由于铁锤重量的不同导致了声音的不同，并通过称量不同铁锤的重量确认了其间的关系。

毕达哥拉斯学派是最先用比率将音乐与数学联系起来的。他们发现谐声是由长度成整数比，绷得同样紧的弦发出的，整数比增加弦的长度，能产生整个音阶（音阶概念在下一部分详细阐述）。例如，从产生音符C的弦开始，C的16／15长度给出B，C的6／5长度给出A，C的4／3长度给出G，C的3／2长度给出F，C的8／5长度给出E，C的16／9长度给出D，C的2／1长度给出低音C。

毕达哥拉斯将乐音与数字比例相对应，将一种抽象的感觉--声音的和谐----做了量化，率先建立了音乐理论基础的数学学说。从此，音乐和数学几乎是被注定的融合在了一起。

二．十二平均律中的数学理论

音乐家巴赫（J.S.Bach）首创十二平均律，这是多么“数学”的音乐创新！

十二平均律是目前世界上通用的把一个八度（频率f到频率2f之间的频段称为一个八度，数学上称为一个倍频）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的振动数之比完全相等。这种律制包括了乐音的标准音高、乐音的有关法则和规律，钢琴键盘上共有黑、白键88个，就是根据十二平均律的原理制作的。

十二平均律对应着自然音阶，以C大调为例：

音名： C D E F G A B C

唱名： 1 2 3 4 5 6 7 8

频率（Hz）264 297 330 352 396 440 495 528

频率比 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2

半音数0 2 4 5 7 9 11 12

根据理论：

1和3之间相差4个半音，（3的频率称为f3,其他同理）f3应该是f1的2（1/3）倍。

即: 264*2（1/3）=332.6Hz

4和7之间相差6个半音，理论上讲，f7应该是f4的2（1/2）倍,

即: 352*2（1/2）=497.8Hz

通过简单的计算可以发现，十二平均律和经过严格计算的十二倍频等分是有着一定差异的，但是这个差值很小，人耳几乎无法分辨自然音阶和标准的等程音阶之间的细微区别。在计算科学并不发达的古代，人们通过数学手段将这些频率关系值计算到这样的精确度，已经是难能可贵了！

三．以数学为基础的乐谱记录

远古时期人们靠口传心授将文明传承下来，这是一个危险的过程，一种文化随时有消失的可能，而文字和纸张的发明为历史的保留做出了巨大的贡献。对于音乐来说，我们需要一种特殊的文字来记录，这就是乐谱的书写——一个表现数学对音影响的显著领域。

将在时间上延续的音乐内容用符号表示，里面有一个量化的过程，我们需要定义一个单位，然后把其他的内容与这个单位的关系表达出来。

在乐稿上，我们首先看到速度定义：每分钟多少拍，或者是一个大概的范围；然后是拍号：4／4拍、3／4拍，这和数学里的分数要区分开，“分子”是表示以多少分音符为一拍，“分母”是表示每小节多少拍。在每一个小节里就有各种音符出现了，音符的样子决定它的时间长度，全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符等，而音符的高度决定这个音的音高，在乐谱上可以很形象的看到音乐的走向。

作曲家创作的音乐，在乐谱所显现出来的一个个结构严密而美丽的音符中，毫不费力的融为了一体。

四．数学对音乐的进一步推动

基于以上的理论：音乐是以数学的形式记录和书写的，要想用耳朵听到纸张上的乐谱是不行的，然而，人们进一步想到了，能不能用数学的形式来表达，重放音乐呢？随着计算机技术的发展，这种观念日渐成熟，MIDI音乐诞生了。MIDI（Musical Instrument Digital Interface）本意是乐器数字接口，现在已经成了电脑音乐的代名词。

MIDI音乐从宏观上讲是分离的两个部分，其一是音源，贮存着各种乐器在不同音域，使用不同演奏方式所发出的声音，当然也有各种合成的电子声，音源需要前期采样录音，分软件音源和硬件音源。其二是MIDI文件本身，这才是和数学息息相关的部分。MIDI文件一般很小，以KB为单位衡量，它记录的是在哪一个时间，用哪一种乐器，发出哪一个音调的音，发多长，用什么样的方式，什么样的效果发声，这些细微的参数全部是以二进制数字的形式记录的，举个简单的例子，钢琴的C音，在MIDI中有它自己的编号，需要它发声音的时候MIDI文件会给电脑“1”的命令，不需要它发声时给出“0”的命令。

在音频软件中可以看到，普通的声音波形文件，它的音量，声像等参数都是在0-100之间调节的，而MIDI音乐的音量在0-127之间调节，声像在0-63之间调节，原因很简单，MIDI 文件的各个参数用二进制的数字表示。

MIDI音乐技术正在以飞一般的速度发展，曾经大家会认为，经过这样“量化”过后的音乐肯定听上去很假，很别扭，而如今技术好的音乐制作人可以用MIDI制作交响乐并且让人无法判断是真实录音还是电脑合成的。

五．展望数学与音乐的进一步合作

数学和音乐的确有密不可分的关系，虽然，我们把音乐归为文科，数学归为理科，很多学文科的人对数学十分畏惧，但是，历史上有那么多伟大的科学家对音乐也有比较深厚的研究。

我经常在想：乐音的和谐与否是由频率的比例决定的，音乐中声部间的和谐也遵从这个理论，那么一段旋律在时间上的延伸，与数学有没有什么潜在的关系呢？为什么大调的尾音一般要落在1，而小调的尾音落在6，往往不这么写旋律就觉得别扭，而且很多普通歌曲一段的小节数都是4的倍数，不写够这么多句就总觉得曲子没写完，这些和数学扯不清的细节怎么解释呢？待热爱数学的音乐家们继续来探讨数学和音乐的相融。