第10章电子课本轴对称

第10章轴对称 (2)§10.1 生活中的轴对称 (2)阅读材料 (5)剪正五角星 (5)§10.2 轴对称的认识 (6)1. 简单的轴对称图形 (6)2. 画图形的对称轴 (8)3. 画轴对称图形 (10)4. 设计轴对称图案 (11)阅读材料 (14)对称拼图游戏 (14)§10.3等腰三角形 (14)1. 等腰三角形 (14)2. 等腰三角形的识别 (16)阅读材料 (18)Times and dates (18)小结 (18)复习题 (19)第10章轴对称我们生活在一个充满对称的世界之中，从人体到植物花果树叶；从小巧精致的艺术珍宝到雄伟壮丽的建筑；甚至小到肉眼难见的原子结构，大多具有对称性.这些对称不仅给人以平衡与和谐的美感，而且有助于人类认识自然的规律，探索宇宙的奥秘.§10.1 生活中的轴对称自远古以来，对称的形式被认为是和谐、美丽并且真实的．不论在自然界里还是在建筑中，不论在艺术中还是在科学中，甚至最普通的日常生活用品中，对称的形式都随处可见．山倒映在湖中，这是令人难忘的对称景象．我们每天都从镜子中看到自己的形象，把自己的手掌盖在镜子上，镜中的手和你的手就完全重合在一起了．这其实就是奇妙的数学现象——对称的体现．试一试把一张纸对折，然后从折叠处剪出一个图形，想一想展开后会是一个什么样的图形？观察图10.1.1中的各个图形，它们都是对称图形．这些图形有什么特点呢？如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形（a figure of line symmetry ），这条直线叫做这个图形的对称轴（axis ofsymmetry ）．图10.1.1做一做用一张半透明的纸描出图10.1.2所示的星形图，然后用不同的方式对折，用直尺画出折痕，看看这颗星有多少条对称轴.我们再看图10.1.3中的两组图形．图10.1.3每一组里，左边的图形沿虚线对折之后与右边的图形完全重合．像这样，把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做对称点．做一做 请你标出图10.1.3中 A 、B 、C 三点的对称点A 1、B 1、C 1.试一试在纸上滴几滴墨水，把纸张对折，随后打开，看看形成的两块墨迹是不是关于折痕对称？它的对称轴是什么呢？显然，轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）沿对称轴对折后的两部分是完全重合的，所以它的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等．练 习1．尽可能多地在你的周围环境中找出轴对称的物体和建筑物.2．观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形. 图10.1.2习题10.11.图中三角形4与哪些三角形成轴对称？整个图形中有几条对称轴？2. 下面图形中，哪些是轴对称图形，哪些不是轴对称图形？（第2题）3. 下面哪一个选项的右边图形与左边图形成轴对称？A.B.C.（第3题）4.在图形中标出点A、B和C关于直线l的对称点．（第1题）（第4题）阅读材料剪正五角星节日前夕，常要制作许多五角金星.我们用折纸的方法，可以直接剪出一个五角星.方法是这样的：拿一张长方形（或圆形）的纸，先对折，参见图（1）一幅都折成五等分，参见图（2）.五等份的折线上，取点A和点C，使OC比三分之一的OA稍微长一点，沿斜线AC把图（2）中的阴影部分剪掉，然后把纸展开，就得到了一个正五角星，参见图（3）.若取OC比三分之一的OA长得多（如OC为OA的一半），这时剪出的五角星就不一样了，它的五个角的边比较短.见图（4）；而当沿直角方向剪去，展开后则成了一个正五边形，见图（5）.想一想，这种折纸剪正五角星的方法，其中隐含着什么数学道理呢？§10.2 轴对称的认识1. 简单的轴对称图形线段和角分别是轴对称图形吗？做一做在纸上画出线段AB及它的中点O，再过O点画出与AB垂直的直线CD，沿直线CD将纸对折，看看线段OA与OB是否重合？从上面的操作我们可以看出，线段是轴对称图形．直线CD是线段AB的对称轴，它垂直于线段AB，又平分线段AB，我们把这样垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线（perpendicular bisector）．如图10.2.1，线段AB，直线CD垂直平分AB．在直线CD上任取一点M，连接MA与MB，想一想，如果我们把线段AB沿直线CD对折，线段MA与MB 会重合吗？图10.2.1事实上，由于点A和点B重合，所以无论M点取在直线CD的何处，线段MA和MB都是重合的．我们可以得出这样的结论：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．例1如图10.2.2，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D．BE＝6，求△BCE的周长．图10.2.2解∵DE是线段BC的垂直平分线，即BE＝CE＝6，∴△BCE的周长＝BE＋CE＋BC＝6＋6＋10＝22．试一试如图10.2.3，在半透明纸上画出∠AOB，对折，使角的两条边完全重合，然后用直尺画出折痕OM，看看射线OM与∠AOB是什么关系？从上面的操作可以看出，角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线所在的直线．如图10.2.4，OA是∠POQ的角平分线，M是OA上任一点，过点M分别作∠POQ两条边的垂线，垂足分别为点C和点D．线段MC和MD相等吗？图10.2.4做一做在半透明纸上描出图10.2.4，然后沿射线OA对折，看看线段MC和MD是否重合？我们会发现线段MC和MD是完全重合的．仿照线段垂直平分线的结论，大家讨论一下，选一个最准确的句子来叙述这件事：_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________练习1.如图，△ABC中，AD垂直平分边BC，AB＝5，那么AC＝_________.(第1题) （第2题）2.在△ABC中，用刻度尺和量角器画出线段AB、BC、CA的垂直平分线，看看三条垂直平分线的位置有什么关系.3.如图，如果M点在∠ANB的角平分线上，那么AM＝___________.(第3题) （第4题）4.用直尺和量角器在图中的直线MN上找一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等.2. 画图形的对称轴有时我们感觉一个图形是轴对称的，那么如何来验证呢？这就需要找到它的对称轴，看看沿对称轴翻折后两部分是否重合．试一试如图10.2.5，方格子内的两图形都是成轴对称的，请画出它们的对称轴．图10.2.5由于图形在方格子内，我们可以凭直觉很准确地画出两个图形的对称轴，你能想想是什么原因吗？如果没有方格子，而又不能折叠，你还能比较准确地画出图形的对称轴吗？做一做请试着画出图10.2.6所示图形的对称轴.（1）（2）图10.2.6你可以用折叠的方法来检验自己画的对称轴是否准确，如果准确的话，能总结你的方法吗？你是如何判断对称轴位置的呢？做一做如图10.2.7，点A和点A'关于某条直线成轴对称，你能画出这条直线吗？图10.2.7 图10.2.8其实，如图10.2.8，我们只要连结点A和A'，画出线段A A'的垂直平分线l，直线l就是点A和A'的对称轴.我们现在可以总结出其他复杂的轴对称图形的对称轴的画法：先找出轴对称图形的任意一组对称点，连结对称点，再画出对称点所连线段的垂直平分线，就可以得到该图形的对称轴．通过以上的操作，我们有这样的结论：如果一个图形关于某一条直线对称，那么连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴．练习1.平面上的两条相交直线是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？画画试试看.2.把一张正方形的纸折叠两次，然后剪出下列图形.3.下面的一些虚线，哪些是图形的对称轴，哪些不是？（第3题）3. 画轴对称图形如果给出一个图形和一条直线，那么如何画出这个图形关于这条直线的对称图形呢？试一试如图10.2.9，实线所构成的图形为已知图形，虚线为对称轴，请画出已知图形的轴对称图形．画好之后，你可以通过折叠的方法来验证你画得是否正确．(1)(2)图10.2.9在格点图中，大家会很容易画出已知图形的轴对称图形，如果没有格点图，我们还能比较准确地画出已知图形的轴对称图形吗？做一做如图10.2.10，已知点A 和直线l ，试画出点A 关于直线l 的对称点A .看看你是不是按下面的方法来画的：（1）从点A 出发画直线l 的垂线，与l 交于O 点；（2） 把垂线AO 延长到直线l 的另一侧，取OA ′＝OA ，从而得到对称点A ′．（如图10.2.11）画好之后，你可以通过折叠的方法来验证一下A 和A ′是否关于直线l 对称．例2 已知△ABC ，直线l ，画出△ABC 关于直线l 对称的图形． 图10.2.10 图10.2.11图9.2.12解如图10.2.12，我们可以按这样的步骤来画：（1）画出点A、B和C关于直线l的对称点A1、B1和C1．（2）连结A1B1、A1C1、B1C1，△A1B1C1就是△ABC关于直线l对称的三角形．从上例可以知道，如果图形是由直线、线段或射线组成时，那么在画出它关于某一条直线的对称图形时，只要画出图形中的特殊点（如线段的端点、角的顶点等）的对称点，然后连结对称点，就可以画出关于这条直线的对称图形．练习1. 在图中分别画出点A关于两条直线的对称点A'和点A''.2. 画出所示图形关于直线l的对称图形.（第1题）（第2题）4. 设计轴对称图案在商标、衣料图案和众多的日用品上，我们可以看到不少丰富多彩的装饰图案，仔细观察这些装饰图案，你会发现其中有许多轴对称图形．图10.2.13是两个轴对称图形，它们有多少条对称轴呢？我们可以利用轴对称性来画出它们吗？（1）（2）图10.2.13请准备一张正方形纸片，按图10.2.14的5个步骤一起来画：图10.2.14（1）在正方形纸片上用虚线画出四条对称轴．（2）如图，在其中一个三角形中，画出图形形状的基本线条．（注意：不同的线条最终会得到不同的图案，你可以自己设计线条，而不必和书上的一样）（3）按照其中一条斜的对称轴画出（2）中图形的对称图形．（4）按照另一条斜的对称轴画出（3）中图形的对称图形．（5）按照水平（或垂直）对称轴画出（4）中图形的对称图形，即得图10.2.13 中的图（1）．画好之后，你可以在图案上涂上你喜欢的颜色，擦掉其他多余的线条，一幅对称的图案就完成了．画轴对称图形，这只是图案设计的一种方法，我们以后还会接触更多的方法．当然如果我们懂一些美术知识，就可以设计出许多更漂亮的图案了．练习1.用四块如右图的瓷砖拼成一个正方形，形成轴对称的图案，和你的同伴比一比，看谁的拼法多.2. 仿照课本的过程，利用下图设计出一个轴对称图案.（第1题）（第2题）习题10.21. 下列图形中，哪一些是轴对称图形？哪一些不是轴对称图形？如果是轴对称图形，请画出对称轴．（1） （2）（3）（第1题） 2. 如图，分别以AB 为对称轴，画出各图形的对称图形，并观察图形（3）和它的轴对称图形构成什么三角形，说说你的想法．（第2题）3．已知：在△ABC 中，AB ＜AC ， BC 边上的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AC 于点E ，AC ＝8 cm ，△ABE 的周长是14 cm ，求AB 的长．对于上述问题，将下列解答过程补充完整．解：∵ED 是线段BC 的垂直平分线（已知），∴EB ＝EC （ ）4．已知∠BAC 等于60°，点E 、F 分别位于∠BAC 的两边上．试用带刻度的直尺和量角器，在∠BAC 的内部寻找一点O ，使点O 到点E 、F 的距离相等，且到∠BAC 的两边距离相等．（第3题）阅读材料对称拼图游戏1.游戏准备（1）如图，有5种同样大小的画有阴影的小方块，每种各5块，共25块.（2）含有25个方格的大正方形板，每一方格与（1）中的小方块同样大小.（3）成绩表.2.游戏规则将你所拿到的25个画有阴影的小方块一块块地放在大正方形板上，注意最后要使你所放的所有小方块（连同它的阴影）在大正方形板上出现一个轴对称图形.一直放到你无法放上为止，你的成绩点数就是你放上去的小方块数.谁的点数高谁就是最后的胜者.怎么样？与你的小伙伴们比比看！§10.3等腰三角形1. 等腰三角形我们知道两条边相等的三角形叫做等腰三角形（isosceles triangle）.如图10.3.1，AB＝AC，△ABC就是等腰三解形.图10.3.1等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.做一做做一张等腰三角形的半透明纸片，每个人的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图10.3.2，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD.你能发现什么现象吗？图10.3.2可以发现折叠的两个部分是互相重合的，所以等腰三角形是一个轴对称图形，折痕AD所在的直线就是它的对称轴．由于AB与AC重合，因此点B与点C重合，这样线段BD与CD也重合，所以∠B＝∠C．由此我们可以得出结论：等腰三角形的两个底角相等．（简写成“等边对等角”）例1已知：在△ABC中，AB＝AC，∠B＝80°．求∠C和∠A的度数．解∵AB＝AC（已知），∴∠C＝∠B＝80°（等边对等角）．∵∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形的内角和等于180°），∴∠A＝180°－∠B－∠C（等式的性质）＝180°－80°－80°＝20°．另外，由于折痕AD是它的对称轴，因此我们可以得到以下的结论：BD＝CD，AD为底边上的中线；∠BAD＝∠CAD，AD为顶角的平分线；∠ADB＝∠ADC＝90°，AD又为底边上的高．所以折痕AD既是底边上的中线，又是顶角的平分线和底边上的高．由此可以知道，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”．例2 如图10.3.3，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝30 °，求∠ADC和∠1的度数．图10.3.3解∵AB＝AC，AD＝DC（已知）∴AD⊥BC，∠1＝∠2，（等腰三角形的三线合一），∴∠ADC＝∠ADB＝90°∵∠1＋∠B＋∠ADB=180°（三角形的内角和等于180°）∴∠1＝180°－∠B－∠ADB（等式的性质）＝180°－30°－90°＝60°试一试三条边都相等的三角形是等边三角形（equilateral triangle ）．如图10.3.4，在等边三角形中，每个角的度数是多少呢？图10.3.4显然，△ABC 也是一个等腰三角形，根据三角形中等边对等角，可以得到 ∠A ＝∠B ＝∠C ，而 ∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以也就是说：等边三角形的各个内角都相等，并且每一个内角都等于60°．所以我们把等边三角形也称为正三角形．练 习1.等腰三角形的底角可以是直角或钝角吗？为什么？2.填空题：（1） 如果等腰三角形的一个底角为50°，那么其余两个角为______和_____.（2） 如果等腰三角形的顶角为80°，那么它的一个底角为___________.3．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝60°，AD 为边BC 上的高，试写出图中所有各角的度数，并用推理格式写出其中两个角的解答过程．2. 等腰三角形的识别对于一个三角形，怎样识别它是不是等腰三角形呢？我们已经知道的方法 是看它是否有两条边相等，现在再学习另一种识别方法．我们知道，等腰三角形两底角相等．反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗？做一做在半透明纸上画一线段BC ，然后以BC 为始边，分别以点B和点C 为顶点，画两个相等的角（使用量角器），如图10.3.5所示，两角终边的交点为点A ，那么在△ABC 中，∠B ＝∠C .用刻度尺找出边BC 的中点D ，连接AD ，然后沿AD 对折，观察边AB 与AC是否重合. 可以发现： 边AB 与AC 是完全重合的，即AB ＝AC ，由此，我们可以得出结论：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等图9.3.5角对等边”）例3 在△ABC 中，已知∠A ＝40°， ∠B ＝70°．判断△ABC 是什么三角形．为什么？解 ∵ ∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°（三角形内角和等于180°）∴ ∠C ＝180°－∠A －∠B （等式的性质）＝180°－40°－70°＝70°，∴ ∠C ＝∠B ．∴ △ABC 是等腰三角形．思 考三个角都是60°的三角形是等边三角形吗？你能说明理由吗？顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形．做一做△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，CD 是底边上的高，那么图10.3.6中共有哪几个等腰直角三角形？练 习1. 底角等于顶角一半的等腰三角形是____________三角形.2. 剪四个同样大小的等边三角形，你能将这四个三角形拼成一个三角形吗?是一个什么三角形?3. 如图，在等腰△ABC 中，两底角的平分线BE 和CD 相交于 O 点，那么△OBC 是什么三角形？为什么？试用推理格式写出推理过程．习题10.31. 等腰三角形的周长为16米，其中一条边的长是6，求另两条边的长.2. 等腰三角形的底角比顶角大15°，求各内角的度数.3. 如图，已经AB ＝AC ，BD ＝BC ，图中有哪几个三角形是等腰三角形？与∠C 相等的角有哪几个？请简单说明原因.4. 如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ACD ＝112°，求△ABC 各内角的度数.5．两个三角形，它们的内角分别为： （1） 20°，40°，120°；（2） 20°，60°，100°．怎样把每个三角形分成两个等腰三角形?画出图形试试看． 6. 试写出本页中“做一做”的结论，并用推理格式写出推理过程．图10.3.6 （第3题）(第3题) （第4题）阅读材料Times and datesWang Bei’s computer shows the time on the screen.The times are sometimes symmetrical, like this:1.（a）Which of these times are symmetrical?（b）Do any of the times have two lines of symmetry?（c）Write three more times that have one line of symmetry.（d）Write one more time that has two lines of symmetry.Wang Bei’s computer shows the date in a similar way.2. 11 November 2011 looks like this.How many lines of symmetry does it have?3. August 2001 looks like this.Is this date symmetrical?4. Say whether each of these dates has one, two or no lines of symmetry.（a）（b）（c）（d）5. Write these dates the way the computer shows them, and say how many lines of symmetry each one has.（a） 4 February 2033（b）31 October 2081（c）8 November 2080（d）8 January 20806. Write two more dates that have only one line of symmetry.7. Write two more dates that have two lines of symmetry.小结一、知识结构二、概括本章介绍了现实世界中图形对称的形式之一――轴对称.“两个图形成轴对称”是反映图形与图形之间的关系，“轴对称图形”是反映一个图形的特征.轴对称中的对应部分（如对应线段、对应角等）的形状、大小是完全一样的，并且对应点的连线被对称轴垂直平分.我们今后要学到的许多图形都是轴对称图形.在空间中，也存在这样的对称形式，如照镜子、物体和它在水中成的像等，我们习惯上称之为镜面对称.等腰三角形是一种特殊的三角形，它也是轴对称图形.三角形的“等边对等角”、“等角对等边”及等腰三角形的“三线合一”都是必须掌握的重要性质.复习题A组1.指出下列图形中的轴对称图形，画出它们的对称轴.（第1题）2.如图，两个三角形关于某条直线成轴对称，其中已知某些边的长度和某些角的度数，问x是多少？（第2题）（第3题）3. 如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE ＝3cm ，△ABC 的周长为13cm ，求△ABC 的周长.4. 等腰三角形顶角与底角的度数比为4：1，求其各个角的度数.5. 已知等腰三角形的一个内角为140°，求另外两个内角的度数.6. 在△ABC 中，AB ＝AC ， 它的两条边长分别为2 cm 和4 cm ，那么它的周长为多少?B 组7. 以AB 为对称轴，画出图形的对称图形.8. 下图是从镜中看到的一串数字，这串数字应为多少？（第8题）9. 如图所示，在等腰三角形ABC 中，两底角的平分线分别与AB 、AC 交于点D 、E ，图中有一些两两相等的角，请试着找出来. （第9题）（第10题）10. 如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，过点O 作EF ∥BC ，交AB 于E 、交AC 于F ，写出图中所有的等腰三角形，并说明理由C 组11. 纸上画出5个点，任意3个点组成的三角形都是等腰三角形.问这5个点该怎么放？画出你认为可能的一种情况.12. 某居民小区搞绿化，要在一块矩形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设（第7题）计的图案由圆和正方形组成（个数不限），并且使整个矩形场地成轴对称图形．请你试试看．13.对任意△ABC，是否能找到一点P，使（1）该点P与△ABC的三个顶点的距离相等？（2）该点P与△ABC的三条边的距离相等？说说你的想法.。