§1.1数列概念导学案
高中数学1-1第1课时数列的概念同步导学案北师大版必修5
本章概括●课程目标1.双基目标（ 1）经过平时生活中的实例，认识数列的看法和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），认识数列是一种特别的函数；（ 2）经过实例，理解等差数列、等比数列的看法；（ 3）研究并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和的公式.在公式的推导过程中，经过察看、实验、猜想、归纳、类比、抽象、归纳等过程，经过反省、沟通，培育学生察看、剖析、研究、归纳的能力，领会由特别到一般，由一般到特别的思想方法；（ 4）领会等差数列与一次函数，等比数列与指数函数的关系；（ 5）能在详细问题情境中，发现等差、等比数列模型，并能运用有关知识解决相应的问题.2.感情目标（ 1）经过本章学习提升察看、剖析、归纳、猜想的能力.（ 2）“兴趣是最好的老师” ，数列中的奇妙与兴趣定会激发你去学习，去思虑，去研究.（3）经过成立数列模型，以及应用数列模型解决实质问题的过程，培育学生提出、剖析、解决问题的能力，提升学生的基本数学修养，为后续的学习确立优秀的数学基础.●要点难点要点：等差数列与等比数列的通项公式.前 n 项和公式及其应用，等差数列的性质及判断，等比数列的性质及应用.难点：等差数列、等比数列的性质及应用.●方法研究1.联合实例，经过察看、剖析、归纳、猜想，让学生经历数列看法、公式、性质的发现和推证过程，发现数列的递推公式，领会递推方法是给出数列和研究有关数列问题的重要方法.2.借助类比、对照，领会数列是一种特别的函数. 经历类比函数研究数列，使用函数的思想方法解决数列问题，对照等差数列研究等比数列，对照一次函数、二次函数、指数函数研究等差数列、等比数列的过程.3.指引学生采集有关资料，经历发现等差（等比）关系，成立等差数列和等比数列的模型的过程，研究它们的看法、通项公式、前n 项和公式及其性质，领会它们的宽泛应用.4.帮助学生不停发现、梳理和体验本章包含着的丰富的数学思想方法，设计适合的训练，进一步感觉“察看、试验、归纳、猜想、证明”的方法和模型化思想，函数与方程、转变与化归、分类议论等数学思想，体验叠加、累乘、迭代、倒序相加、乘以公比错位相减等详细方法.本章注意问题：（1）多联合实例，经过实例去理解数列的有关看法 . 数列与函数亲密有关，多角度比较二者之间的异同，加深对双方面内容的理解 . 在解题或复习时，应自觉地运用函数的思想方法去思虑和解决数列问题，特别是平等差数列或等比数列的问题 . 运用函数思想方法以及利用它所获得的很多结论，不单能够深入对数列知识的理解，并且可使这种问题的解答更加迅速、合理.（2）擅长对照学习 . 学习等差数列后，再学等比数列时，能够把等差数列作为模型，从等差数列研究过的问题下手，再研究出等比数列的相应问题，两相比较，能够发现，在这两种数列的定义、一般形式、通项形式、中项及性质中，用了一些相近似的语句和公式形式，但内容却不同样，之所以有这样的差别，原由在于“差”与“比”不同. 经过对照学习，加深了对两种特别数列实质的理解，会收到事半功倍的成效. （3）要重视数学思想方法的指导作用. 本章包含丰富的数学看法、数学思想和方法，学习时应赐予充足注意，解题时多考虑与之相联系的数学思想方法.§1数列第 1 课时数列的看法知能目标解读1. 经过平时生活中的实例，认识数列的看法.2.掌握并理解数列、数列通项公式、递推公式的看法，能划分项和项数，并能依据数列的前几项写出它的一个通项公式，能依据数列的递推公式写出数列的前几项.3.认识数列的分类 .4. 认识数列的表示方法：列表法、图像法、通项公式法、递推公式法.要点难点点拨要点：认识数列的看法和简单表示方法，领会数列是反应自然规律的数学模型.难点：将数列作为一种函数去认识、认识.学习方法指导1.数列的定义(1)数列与数集是不同的，有序性是数列的基本属性. 两组完整同样的数，因为摆列的次序不同样，就构成了不同的数列. 所以用记号 { a n} 表示数列时，不可以把{ a n} 当作一个会合，这是因为：①数列{ a n} 中的项是有序的，而会合中的元素是无序的；②数列{ a n} 中的数是能够重复的，即数列{ a n} 中能够有相等的项，如1,1,2,2,，但会合中的元素是互异的；③数列中的每一项都是数，而会合中的元素还能够代表除数之外的其余事物 .(2) 数列中的项的表示往常用英文字母加右下角标来表示，如a n.此中的右下角标n 表示项的地点序号.(3){ a n} 与a n是不同的看法，{ a n} 表示数列a1, a2, a3,, a n, ，而a n仅表示数列的第n 项.2.数列的项与项数数列的项与它的项数是两个不同的看法，数列的项是指出此刻这个数列中的某一个确立的数a n，因为数列{ a n} 的每一项的序号n与这一项a n的对应关系能够当作序号会合到项的会合的函数，故数列中的项是一个函数值，即 f ( n).而项数是指这个数在数列中的地点序号，它是这个函数值 f ( n)对应的自变量的值，即n 的会合是自然数集（或其子集）.3.数列的分类判断一个数列是有穷数列仍是无量数列，应明确数列元素的构成以及影响构成元素的因素是有限仍是无穷的 .4.通项公式(1)因为数列可看做是定义域为正整数集N+( 或它的有限子集 ) 的函数，数列中的各项为当自变量从小到大挨次取值时，该函数所对应的一列函数值，所以数列的通项公式就是相应的函数分析式，项数n 是相应的自变量 .(2) 假如知道了数列的通项公式，那么挨次用1,2,3 去代替公式中的n 就能够求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也能够判断某数是不是某数列中的项，假如是的话，是第几项.(3) 如全部的函数关系不必定都有分析式同样，其实不是全部的数列都有通项公式.如 2 的近似值，精准到1,0.1,0.01,0.001,0.0001,所构成的数列1,1.4,1.41,1.414,1.4142，就没有通项公式 .注意：(1) 一个数列的通项公式不独一，能够有不同的形式，如a n=(-1)n，能够写成a n=(-1)n+2，还-1 ( n为奇数 )能够写成a n=，这些通项公式固然形式上不同，但都表示同一数列.1( n为偶数 ),(2)有些数列，只给出它的前几项，并无给出它的构成规律，那么仅由前方几项归纳出的数列通项公式其实不独一 . 如数列 2,4,8, 依占有限项能够写成a n=2n，也能够写成a n=n2- n+2. 只需切合已知前几项的构成规律即可 .5. 数列的递推公式(1)递推公式：假如已知数列的第1 项 ( 或前几项 ) ，且从第二项（或第二项此后的某一项）开始的任一项a n与它的前一项a n-1(或前几项)间的关系能够用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种重要方法.(2)对于递推公式及应用需注意的几个问题：①通项公式和递推公式的差别通项公式直接反应a n和 n 之间的关系，即 a n是 n 的函数，知道随意一个详细的n 值，经过通项公式就能够求出该项的值a n；而递推公式则是间接反应数列的式子，它是数列随意两个（或多个）相邻项之间的推导关系，不可以由n 直接得出 a n.②怎样用递推公式给出一个数列用递推公式给出一个数列，一定给出①“基础” ——数列 { a n} 的第 1 项或前几项；②递推关系——数列{ a n} 的任一项a n与它的前一项a n-1(或前几项)之间的关系，并且这个关系能够用一个公式来表示.注意： (1) 其实不是任何数列都能写出通项公式或递推公式.(2) 此后学习或研究的数列常常以递推公式的方式给出定义或供给信息.(3) 依据数列的递推公式可求数列中的任一项.比如：设数列{ a n} 知足：a1=1，写出这个数的前 5 项 .1 ( n>1)a =1+na n 1由题意可知 a1=1, a2=1+1=1+1=2, a3=1+1=1+1=3， a4=1+1=1+2=5，a5=1+1=1+3=8. a1 a2 2 2 a3 3 3 a4 5 5∴此数列前 5 项分别为： 1，2，3，5，8.23 5本例显示，递推公式和通项公式是反应数列构成规律的两个不同形式. 递推公式反应的是相邻两项或几项之间的关系，它固然揭露了一些数列的性质，但要认识数列的全貌，还需要进行计算，它的计算其实不方便. 而通项公式更着重整体性和一致性，利用通项公式可求出数列中的随意一项.知能自主梳理1.数列的看法（ 1）数列：一般地，依据必定摆列的一列数叫做数列.（ 2）项：数列中的每个数都叫做这个数列的.（3）数列的表示：数列的一般形式能够写成a1, a2, a3, , a n, , 简记为： . 数列的第 1 项a1也称，a n是数列的第 n 项，叫数列的.2.数列的分类项数有限的数列叫作，项数无穷的数列叫作.3.数列的通项公式假如数列｛ a ｝的第n 项 a 与n 之间的函数关系能够用一个式子表示成 a = ( ) ，那么式子叫作数列 { a } n n n n的 .4.数列的表示方法数列的表示方法一般有三种：、、.［答案］ 1.(1)序次(2) 项(3) ｛a n｝首项通项2. 有穷数列无量数列3.通项公式4.列表法图像法分析法思路方法技巧命题方向数列的看法［例 1］以下各式哪些是数列？假如数列，哪些是有穷数列？哪些是无量数列？(1){0,1,2,3,4};(2)0,1,2,3,4;(3)0,1,2,3,4;(4)1, -1,1,-1,1,-1 ;(5)6,6,6,6,6.［剖析］此类问题的解决，一定要对数列及其有关看法理解认识到位，联合有关看法及定义来解决. ［分析］（ 1）是会合，不是数列；（2）、（ 3）、（ 4）、（5）是数列 .此中（ 3）、（ 4）是无量数列，（2）、（ 5）是有穷数列 .变式应用 1 以下说法正确的选项是 ()A. 数列 2,3,4 与数列 4,3,2 是同一数列B. 数列 1,2,3 与数列 1,2,3, 是同一数列C. 1,4,2, 1， 5不是数列3D. 数列 {2 n-3} 与 -1,1,3,5, 不必定是同一数列［答案］ D［分析］由数列的看法知 A 中的两个数列中的数固然同样，但摆列次序不同样， B 中的两个数列前者为有穷数列，后者为无量数列，故A、 B 均不正确， C中明显是数列， D 中数列 {2 n-3} 是确立数列，通项公式为a n=2n-3，但-1,1,3,5，前4项切合 a n=2n-3,但后边的项不必定切合此规律，故不必定是同一数列.命题方向数列的通项公式［例 2］写出下边各数列的一个通项公式(1)3,5,9,17,33, ;(2)2，4，6，8， ；3153563(3) 1,2,9，8，25， ;222(4) 221， 322，423， 524， .135 7［剖析］ 经过察看，找出所给出的项与项数 n 关系的规律，再写通项公式.［分析］(1) 经过察看，发现各项分别减去1，变成 2,4,8,16,32,其通项公式为 2n ，故原数列的一个通项公式为 a n =2n +1.(2) 经过察看，发现分子部分为正偶数数列{2 n } ，分母各项分解因式： 1· 3,3 · 5， 5·7 ，7· 9, 为相邻奇数的乘积，即 (2 n -1) · (2 n +1) ，故原数列的一个通项公式为2n.a =n(2n 1)(2n 1)(3) 因为在所给数列的项中，有的是分数，有的是整数，可将各项都一致成分数，再察看，在数列1 , 4 ，2 29，16，25， 中，分母为 2，分子为 n 2，故 a n =n 2.2 2 22(4) 数列中每一项由三部分构成，分母是从1 开始的奇数列，其通项公式为2n -1 ；分子的前一部分是从 2 开始的自然数的平方，其通项公式为 ( n +1) 2，分子的后一部分是减去一个自然数，其通项公式为 n ，综合得原数列的一个通项公式为(n 1)2n n 2 n 1a == .n2n 12n 1［说明］在依据数列的前 n 项求数列的一个通项公式时，要注意察看每一项的特色 . 解题的注意力应集中到追求数列的项与项数的关系上来，察看这几项的表示式中哪些部分是变化的，哪些部分是不变的，再研究各项中变化部分与对应的项数之间的关系，进而归纳出项与项数关系的规律，写出通项公式.变式应用 2 写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是以下各数：（ 1） 1， 3， 7， 15，31， ;（ 2）1， 1， 1， 1， ；234第n 项有 n 个 9（ 3） 0.9 ，0.99 ， 0.999 ， ， 0. 99 9， .［分析］（ 1）注意察看各项发现各项分别加上1，变成 2,4,8,16,32,, 其通项公式为2n , 故原数列通项公式为 an∈ N +;=2 -1,n（ 2）调整为 1 ，1 ， 1 ， 1 ，它的前几项都是自然数的倒数，∴ 1 ；a =1 2 3 4nn（ 3） 0.9=1 － 0.1 ， 0.99=1 －0.01 ， 0.999=1 － 0.001 ，n 个9n 个 0∴第 n 项 a n =0. 999 =1－ 0. 00 0 1=1－1.10n命题方向数列通项公式的简单应用［例 3］在数列｛ a n ｝中通项公式是 a n ＝（ -1 ）n-1· n 2, 写出该数列的前 5 项，并判断 81 是(2n 1)(n1)170否是该数列中的项？假如是，是第几项，假如不是，请说明原由.［剖析］由通项公式写出数列的前5 项，令 a = 81, 判断能否有正整数解即可 .n170［分析］12 ＝ 1 ，a =(-1) 1 · 22＝－ 42·32＝ 9 .a =(-1) ·， a =(-1)11 2 223 3935 4204=(-1) 3·42＝－16， a 5=(-1) 4 · 52＝25.a7 5359 6 54∴该数列前 5 项分别为：1，－4，9 ，- 16, 25 .2920 35 54令 (-1) n-1 ·(2n n 21) =81得1)( n 170n >1 且为奇数8n 2-81 n +81=0.∴ n =9. 所以81是该数列中的第 9 项 .170［说明］ 已知数列的通项公式能够写出该数列中的随意一项，能够判断一个数（或代数式）能否为该数 列中的项 . 令通项公式等于这个数，若方程有正整数解，则该数是数列中的项，不然不是 .变式应用 3以下四个数中，哪个是数列 { n （ n ＋ 1） } 中的项（）A. 380B. 39C. 32D. 23［剖析］ 数列 { a } 的通项公式 f ( n )= n · ( n +1) ，对于某个数 m ，若 m 是数列 { a } 中的项，则 n ·（ n +1） =mnn必有正整数解 . 若无正整数解，则 m 必定不是 { a } 中的项 .n［答案］ A［分析］ 挨次令 n ( n +1)=23 或 32 或 39 查验知无整数解 . 只有 n ·（ n +1） =380 有整数解 n =19.研究延拓创新命题方向 数列的递推公式［例 4］在数列 { a n } 中， a 1=2, a 2=1, 且 a n+2=3a n+1- a n , 求 a 6+a 4-3 a 5.［剖析］ 由 a 1=2， a 2=1 及递推公式 a n+2=3a n+1- a n , 挨次找出 a 3, a 4, a 5, a 6 即可 . ［分析］ 解法一：∵ a 1=2, a 2=1, a n+2 =3a n+1- a n ,∴ a 3=3a 2- a 1=3× 1-2=1,a 4 =3a 3- a 2=3× 1-1=2,a 5 =3a 4- a 3=3× 2-1=5,a 6 =3a 5- a 4=3× 5-2=13,∴ a 6+a 4-3 a 5=13+2-3 × 5=0.解法二：∵ a n+2 =3a n+1 - a n ,令 n =4, 则有 a 6=3a 5- a 4, ∴ a 6+a 4-3 a 5=0.［说明］递推公式是给出数列的一种方法，应用递推公式能够求数列中的项，但需要一项一项递推，故在运算过程中要特别仔细 .变式应用 4已知数列 { an }的首项1=1,an=2 n-1 +1( n ≥ 2) ，那么 a 5=.a a［答案］ 31［分析］由递推关系式 a n =2a n-1 +1 和 a 1=1 可得a 2 =2a 1+1=3, a 3=2a 2+1=7,a 4 =2a 3+1=15, a 5=2a 4+1=31.名师辨误做答［例 5］已知数列 { a } 的前 4 项为 1,0,1,0，则以下各式能够作为数列{ a } 的通项公式的有（）nn① a1 ［ 1+(-1) n+1 ］ ; ② a =sin2 nπ， ( ∈ N +); ③ a1 ［ 1+(-1) n+1 ］ +( -1)( n -2); ④ a1 cosn π===;n2n2n2n21 ( n 为偶数 )⑤ a n =0 ( n 为奇数 )A.4 个B. 3 个C.2 个D. 1 个［误会］ D［辨析］ 误会的原由是以为通项公式只有一个而致使错误.［正解］B 将 n =1,2,3,4 分别代入考证可知①②④均正确. 均能够作为数列的通项公式，而③⑤不是数列的通项公式，答案选B.讲堂稳固训练一、选择题1. 数列 2 ， 5 ， 2 2 ， 11 ， ，则 2 5 是该数列的（）A.第6项B.第7项C.第10项D.第 11 项［答案］B［分析］数列 2， 5 ，2 2 ， 11 ， 的一个通项公式为 a n = 3n 1 ( n ∈ N ＋), 令 2 5 ＝ 3n 1 ,得 n =7. 应选 B.2. 数列 0， 1 ， 1 ， 3 ， 2， 的通项公式为（）32 53n 2B. a n 1C. a = n1D. a n2 A. a ===nnn nn1n2nn［答案］ C［分析］解法一：考证当 n =1 时， a 1=0, 清除 A 、D ；当 n =2 时， a 2= 1, 清除 B ，应选 C.3解法二：数列 0，1，1，3，2， 即数列0，1，2，3，4， ，3253 234 56∴该数列的一个通项公式为a n =n 1,应选 C.n 13. 数列 1，3， 6， 10， x ， 21， 中， x 的值是（） A.12B.13C.15D.16［答案］C［分析］∵ 3-1=2,6-3=3,10-6=4,x -10=5∴,∴x =15.21-x =6二、填空题4. 已知数列 {a n }的通项公式为n=2 +1, 则k +1=.a n a［答案］2k +3［分析］∵ a n =2n +1, ∴a k +1=2( k +1)+1=2 k +3.5. 已知数列｛ a n ｝的通项公式 a n =1 ( n ∈ N +), 则1是这个数列的第项 .n(n 2) 120［答案］ 10［分析］令 a1 , 即11 ,==n120 n( n 2) 120解得 n =10 或 n =-12 （舍去） . 三、解答题6. 依据数列的前四项的规律，写出以下数列的一个通项公式 .(1)-1,1,-1,1;(2)-3,12,-27,48;(3)3，1, 5，3;5211 7(4)2，4，6，8.315 35 63［分析］ (1) 各项绝对值为1，奇数项为负，偶数项为正，故通项公式为a n =(-1)n;(2) 各项绝对值能够写成 3×12 ,3 × 22,3 × 32,3 × 42, ，又因为奇数项为负， 偶数项为正， 故通项公式为 a n =(-1) n 3n 2;(3) 因为 1=4,3 =6，各项分母挨次为5,8,11,14 ，为序号 3n +2；分子挨次为3,4,5,6 为序号 n +2，故28 7 14通项公式为 a n = n 2 ;3n 2(4) 因为分母 3,15,35,63可看作2 22-1 ，2a =2n=2n.2 -1,4-1, 6 8 -1 ，故通项公式为n(2n) 2 1 4n 21课后加强作业一、选择题1. 已知数列 1 , 2 , 3 ,4, ,n , 则 0.96 是该数列的（）2 3 4 5n 1A.第 22 项B.第 24 项C.第 26 项D.第 28 项［答案］ B［分析］因为数列的通项公式为a n =n, 由n=0.96 得 n =24，应选 B.n 1n 12. 已知 a n =n 2+n , 那么（）A.0 是数列中的项B.20 是数列中的项C.3 是数列中的项D.930 不是数列中的项［答案］B［分析］∵ a n =n ( n +1), 且 n ∈N +,∴ a n 的值为正偶数，故清除A 、C ；令 n 2+n =20, 即 n 2+n -20=0, 解得 n =4 或 n =-5( 舍去 ).∴ a 4=20, 故 B 正确；令 n 2+n =930, 即（ n +31） ( n -30)=0.∴ n =30 或 n =-31( 舍去 )∴ a 30 =930, 故 D 错 .3. 下边四个结论：①数列能够看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1 ， 2， 3 ， n } ）上的函数 .②数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点.③数列的项数是无穷的.④数列通项的表示式是独一的.此中正确的选项是（ ）A. ①②B. ①②③C. ②③D. ①②③④［答案］ A［分析］数列的项数能够是有限的也能够是无穷的 . 数列通项的表示式能够不独一 . 比如数列 1， 0， -1 ，0， 1， 0， -1 ， 0 的通项能够是 a n =sinn，也能够是 a n =cos(n 3)等等 .224. 数列 2，0， 4， 0， 6， 0， 的一个通项公式是（）A. a n = n［ 1+(-1) n ］B. a n =n 2 1［ 1+(-1) n +1］2n ［ 1+(-1) n+1 ］n 1 ［ 1+(-1) nC. a =D. a =］nn22［答案］ B［分析］经考证可知 B 切合要求 .3n +1( n 为奇数 )5. 已知数列 { a } 的通项公式是 a =,则2 3等于（）nn2n -2( n 为偶数 )A.70B.28C.20D.8［答案］ C［分析］由通项公式可得a 2=2, a 3=10, ∴ a 2 a 3=20.+45，则以下表达正确的选项是A.20 不是这个数列中的项B. 只有第5项是 20C. 只有第 9 项是 20D. 这个数列第 5 项、第9 项都是 20［答案］ D［分析］令 a n=20,得 n2-14 n+45=0,解得 n=5或 n=9,应选D.7. 已知数列5, 11 , 17 ， 23, 29 , ,则5 5 是它的第（）A.18 项B.19 项C.20 项D.21 项［答案］ D［分析］察看可得 { a } 的通项公式 : a = 6n 1 ,(n∈N ),5 5 = 125 = 6n 1 ,所以n=21.n n +8. 已知数列 { a } 对随意的p 、q∈N+知足 a = + a，且a 2=-6，那么a 10 等于（）n p+q p qA.-165B.-33C.-30D.-21［答案］ C［分析］∵对随意p 、q ∈N+都有a = + a.p+q p q∴a10=a8+a2=a4+a4+a2=5a2=-30.二、填空题9. 已知数列 3 ,3,15 ,21 ,3 3 ,,3(2n 1) ,, 则 9 是这个数列的第项.［答案］14［分析］数列可写为 3 , 3 3 ， 3 5 ， 3 7 ， 3 9 ，，3(2n 1) ,,所以 a n= 3(2n 1) , 令3( 2n 1) =9.∴n=14.10. 已知数列 { a } 中，a = 2a n 对随意正自然数n 都成立，且 a = 1 ，则 a =.n n+1a n 2 725［答案］ 1［分析］由已知 a = 2a6 = 1 27a6 2 2 6 3又∵a 6=2a5 =2, ∴5=1. a5 2 3a11. 已知数列｛a n｝的通项公式是a n= n2 n 1, 则它的前4项为.n 1 ［答案］3，7，13， 21.2 3 4 5［分析］取 =1,2,3,4, 即可计算出结果 .n当 n=1时， a 1 1 1 3= = ,11 1 2当 n=2时， a 4 2 1 7= = ,22 1 311 / 12当 n =3 时， a 3=931 =13,3 14当 n =4 时， a 4=1641 =21.4 1512. 以下有四种说法，此中正确的说法是 .①数列 a,a,a , 是无量数列；②数列 0,-1,-2,-3,的各项不行能为正数；③数列｛ f ( n ) ｝可 以看作是一个定义域为正整数N +或它的有限子集｛ 1， 2， ， n ｝的函数值；④已知数列｛ a n ｝，则数列｛ a n+1- a n ｝也是一个数列 .［答案］①④［分析］题中①④明显正确，对于②，数列只给出前四项，后边的项是不确立的，所以②不正确，对于③，数列能够看作是一个定义域为正整数 N +或它的有限子集｛ 1， 2, , n ｝的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，所以③不正确.三、解答题13. 依据数列的通项公式，写出它的前4 项：（ 1） a = n;nn 2n （ 2） a n =( 1).n［分析］(1) 在通项公式中挨次取 n =1,2,3,4, 即可得数列｛ a n ｝的前 4 项为 :a 1 = 1 , a 2= 2 = 1 , a 3= 3 , a 4= 4 = 2.3 4 2 5 6 3(2) 在通项公式中挨次取n =1,2,3,4, 即可得数列｛ a ｝的前 4 项为： a =-1, a = 11 1, a =-, a= .n1 2 3442 314. 数列｛ a n ｝的通项公式是 a n =n 2-7 n +6.（ 1）这个数列的第 4 项是多少？（ 2） 150 是不是这个数列的项？假如这个数列的项，它是第几项？（ 3）该数列从第几项开始此后各项都是正数？［分析］（ 1）当 n =4 时， a 4=42-4 × 7+6＝－ 6.（ 2）令 a n =150, 即 n 2-7 n +6=150, 解得 n =16( n =-9 舍 ) ，即 150 是这个数列的第 16 项.(3) 令 a n =n 2-7 n +6>0，解得 n >6 或 n <1( 舍 ) ，∴从第 7 项起此后各项都是正数 .15. 已知数列｛ a n ｝中， a 1=2, a 17=66, 通项公式是项数n 的一次函数 .（ 1）求数列 { a n } 的通项公式；（ 2） 88 是不是数列｛ a n ｝中的项？［分析］（ 1）设 a=,n∴ a 1=a+b =2,①a 17 =17a+b =66,②1112 / 12② - ①得 16a =64, ∴ a =4, b =-2,∴ a n =4n -2( n ∈ N +).(2) 令 4n -2=88 ，∴ 4n =90, n =45+舍去 )，2 N (∴ 88 不是数列｛ a n ｝中的项 .16. （ 1）在数列 1, 5 ,3, 13 , 17 , 中， 3 5 是数列的第几项？（ 2）已知无量数列： 1× 2,2 × 3,3 × 4, , n ( n +1), , 判断 420 与 421 能否为该数列的项？假如，应为第几项？［分析］(1) ∵ 1=1=1 ,a 2= 5 = 1 4,a 3= 1 4 2 ,4= 1 4 3 ,aa由此归纳得 a n = 1 4(n 1) = 4n 3 .令 a n = 4n3 =3 5 , ∴ n =12.故 3 5 是此数列的第 12 项.(2) 由 n = ( +1)=420, 解得 n =20 或 n =-21 （舍去），故 420 是此数列的第 20 项.a n n由 a n =n ( n +1)=421, 得 n 2+n -421=0 ，此方程无正整数解，故 421 不是该数列中的项 .［说明］数列 { a } 的通项公式为 a =f ( n ) ，对于一个数 m , 若 m 是此数列中的项，则方程 f ( n )= m 必有正整nn数解；反之，若 f ( n )= m 无正整数解，则 m 必定不是此数列中的项 .12。
北师大版高中数学必修5《一章 数列 1 数列 1.1数列的概念》赛课导学案_26
《数列的概念》教学设计一.教学内容解析本节课为北师大版必修五第一章第一节内容，主要讲授数列的概念及数列的通项公式，这部分内容是后续学习等差数列、等比数列及数列应用的基础。
教材中通过大量的实例引入了数列的概念，将生活实际与数学有机地联系在一起。
这能让学生能够体会到数学就在身边，是符合学生的认知规律。
作为数列概念的第一节课，要着重于培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，营造一个良好的教学开端。
教学过程中从日常生活中的实例入切入，直观感受并掌握其中的一些基本关系，感受数列在日常生活中的广泛应用。
基于以上教材分析，我将本节课教学重点确定为：理解数列的概念，认识到数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的简单表示法。
二.学生学情分析数列对于学生来说虽然是一个全新的概念，但由于数列与函数有关内容有着密切的联系。
小初阶段有过找寻数字规律的训练，前期学习的函数相关知识也为他们学习数列奠定了基础。
但是在稍复杂的数列通项公式找寻过程中学生还是会遇到困难。
基于以上学情分析，我将本节课教学难点确定为：认识数列是一种特殊的函数，发现规律并找出数列可能的通项公式。
三.教学目标设置1.理解数列的基本知识，会用数列的通项公式表示数列。
2.通过类比函数学习数列，能够参悟转化与化归的数学基本思想。
在整个教学过程中渗透抽象概括、数学建模、数学运算的核心素养。
3.学习过程中通过大量生活中的实例导入、观察与思考，体验数学魅力，感受数学在解决实际问题中的作用。
四.教学策略分析数列是高中数学的重要内容，作为数列部分的起始内容，在整个教学过程中我将展示实际问题，借鉴生活规律，展现数学之美，从而营造不一样的课堂。
营造“生态课堂”、引导学生进行“动态学习”，让学生参与到整个课堂教学中来。
所以本节课对于教师角色的定位为引导教学者，成为学生学习条件的提供者、学习环境的营造者、学习动力的激励者。
五.教法与学法为了突出重点、突破难点实现教学目标，本节课我将采用直观教学法、讨论教学法、启发式教学、多媒体辅助教学法。
高中数学 1.1.1 数列的概念 教案 北师大必修5
1.1.1 数列的概念教学目标1、知识与技能：了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；了解数列是一种特殊的函数；2、过程与方法：通过三角形数与正方形数引入数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；3、情态与价值：体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。
教学重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）；难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。
教学方法：讲授法为主教学过程:一．揭示课题:今天开始我们研究一个新课题．先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列．二．讲解新课:要研究数列先要知道何为数列，即先要给数列下定义，为帮助同学概括出数列的定义，再给出几列数：①自然数排成一列数：②3个1排成一列：③无数个1排成一列：④的不足近似值，分别近似到排列起来：⑤正整数的倒数排成一列数：⑥函数当依次取时得到一列数：⑦函数当依次取时得到一列数：⑧请学生观察8列数，说明每列数就是一个数列，数列中的每个数都有自己的特定的位置，这样数列就是按一定顺序排成的一列数．数列的定义：按一定次序排成的一列数叫做数列．为表述方便给出几个名称：项--------数列中的每一个数叫做这个数列的项.首项-------其中数列的第一项也称首项.通项-------数列的第n项叫数列的通项．以上述八个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数．由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系．2．数列与函数的关系数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值，数列的定义域是正整数集，或是正整数集的有限子集．于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列．遇到数学概念不单要下定义，还要给其数学表示，以便研究与交流，下面探讨数列的表示法．3．数列的表示法数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第一项，……，用表示第项，依次写出成为（1）列举法:．简记为．一个函数的直观形式是其图象，我们也可用图形表示一个数列，把它称作图示法．（2）图示法:启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．有些函数可以用解析式来表示，解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关系，类似地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来，即，这个函数式叫做数列的通项公式．（3）通项公式法:如数列的通项公式为；的通项公式为；的通项公式为；数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．例如，数列的通项公式，则．值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一．除了以上三种表示法，某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．（4）递推公式法:如前面所举的钢管的例子，第层钢管数与第层钢管数的关系是，再给定，便可依次求出各项．再如数列中，，这个数列就是．像这样，如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系用一个公式来表示，这个公式叫做这个数列的递推公式．递推公式是数列所特有的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可．可由学生举例，以检验学生是否理解．三．小结: 1．数列的概念2．数列的四种表示四．作业习题1---1 P9 A组第4题；B组第1题。
《数列的概念》示范公开课教案【高中数学北师大】
第一章 数列1.1 数列的概念1.理解数列的概念，了解数列通项公式的意义与分类；2.能由通项公式求出数列的各项，反之能根据数列的前几项发现规律，写出数列的通项公式；3.通过学习，培养学生观察抽象的能力，认识数列是刻画自然规律的数学模型.教学重点：理解数列的概念，认识数列是刻画自然规律的数学模型． 教学难点：根据数列的前几项发现规律，写出数列的通项公式．一、情境导入在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象.例如:1、从2000年到2022年我国共参加了6次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为：28,32,52,38,26,38.2、拉面师傅在拉面过程中，随着拉的次数增多，面条根数依次增多：1,2,4,8,16，... 3.人们在1740年发现了一颗彗星，并且每隔83年出现一次.从发现那次算起，这颗彗星近五次出现的年份依次为:1740，1823，1906，1989，2072.4.庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完.如果将“一尺之棰”视为一份，那么每日剩下的部分依次为:问题1：这几列数的共同特点是什么？ 答：①规律都用一列数表示 ②都有一定顺序设计意图：从生活实例引入课题，让学生认识数学是刻画自然规律的数学模型.二、新知探究定义概念1.数列：一般地，按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项.数数列的一般形式： 123,,,,,n a a a a ⋯⋯ , 简记为数列 {}n a .其中数列第一项 1a ，也叫首项，n a 是数列的第n 项，也叫数列的通项.11111,,,,,2481632⋯◆教学目标◆教学重难点◆教学过程想一想：将数列：1，2，3，4，5，6改成：6，5，4，3，2，1.两个数列一样吗？ 答：不一样.2.数列的分类：✮以项数来分类：(1) 有穷数列：项数有限的数列； (2) 无穷数列：项数无限的数列. ✮ 以各项的大小关系来分类：(1) 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列.即对任意n ∈N ∗，总有a n+1>a n (或a n+1−a n >0).(2) 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列.即对任意n ∈N ∗，总有a n+1<a n (或a n+1−a n <0). (3) 常数列：各项都相等的数列；(4) 摆动数列：从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.问题2： 数列与数集有什么异同？答：（1）数列{}n a 中是一列数，而集合中的元素不一定是数； （2）数列{}n a 中的数是有一定次序的，而集合中的元素没有次序； （3）数列{}n a 中的数可以重复，而集合中的元素不能重复. 问题3：数列{}n a 的项与序号n 有怎样的关系？答：数列的每一项都对应一个序号，反之，数列的每一个序号都对应着一个项. 如数列:2,4,8,16,32,64,⋯这个数列的每一项的序号n 与这一项的对应关系可用如下公式表示： 这样，只要依次用序号1,2,3,4,⋯代替求出数列相应的项.总结：1.对任意数列 {}n a ，其每一项的序号与项都有对应关系：2.如果数列 {}n a 的第 n 项n a 与序号 n 之间的关系可以用一个式子表示成:(),.n a f n n N +=∈这个式子叫做数列的通项公式.a n =2n问题4： 任意一个数列都能写出通项公式吗？它是唯一的吗？ 答：不是每一个数列都能写出它的通项公式；如：1248319，，，， ② 一些数列的通项公式不是唯一.如：数列 1-11-1，，，，1(1)n n a +=-1(1)n n a -=-或11,n n a n ⎧=⎨-⎩，为奇数或为偶数设计意图：从具体的一个数列出发，分析数列项与序号间的关系，培养学生从特殊到一般的思想与分析问题习惯.三、应用举例例1 根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项.(1)1;1n a n =+(2)sin .2n n a π=解：(1)依次取 1,2,3,4,5,n = 得到数列 {}n a 前5项为11111,,,,;23456(2)依次取 1,2,3,4,5,n = 得到数列 {}n a 前5项为1,0,1,0,1.-例2 如果数列 {}n a 的通项公式为2328n a n n =-，那么 -49和 68 是不是这个数列的项? 如果是，是第几项?解：令 232849n n -=-， 解得：77().3n n ==或舍去 .∴-49是这个数列的第7项令 232868n n -=， 解得：342.3n n =-=或均不符合题意， .∴68不是这个数列的项总结：数列的通项公式给出了第n 项a n 与它的项数n 之间的关系.已知数列的通项公式,只要用项数代替通项公式中的n ,即可求出相应的项.反过来,判断某一个数是不是数列中的项,就用数列的通项公式建立以n 为变量的方程,若方程有正整数解,则该数为数列中的项,n 的值即为该数在数列中的项数;若方程没有正整数解,则该数不是数列中的项.例3 写出下列数列的一个通项公式. (1)1,4,9,16,25,(2)1,3,5,7,9,--(3)9,99,999,9999,解：（1）2n a n =；(2) ()+1(1)21n n a n =--;(3)101nn a =- ；总结：用观察归纳法写出一个数列的通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律，可以： (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等；(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的关系式；(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(−1)^k 处理符号；设计意图：通过例1、例2、例3，加深对数列通项公式的理解，同时培养学生观察与归纳能力.四、课堂练习1．下列说法:①数列{}31n -的第 5 项是10 ;②数列22222,1,,,,,,345n可以记为 2n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭;③数列 3,6,9 与数列 6,9,3 是相同的数列;④数列 1,1,2,3,5,8,13,21,是无穷数列. 其中，正确的有 .2.写出下列数列的一个通项公式:（1）1,3,7,15,（2）7,77,777,7777,（3) 1,3,1,3,1,3,参与答案： 1．② ④2．(1) 21nn a =- ;(2) 7(101)9nn a =-(3) {1,3,n n n a =为奇数,为偶数. 或 2(1)n n a =+- .3．古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…．这些数量的（石子），排成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数．那么把三角形数从小到大排列，第10个三角形数是_________．解：根据题意，三角形数的每一项都是数列{}n 的前n 项的和，即10123,55n a n a =++++=故答案为:55设计意图：巩固数列的概念和数列的通项公式，强调数列的有序性，加深学生对数列的概念的认识.五、课堂小结一、知识：1.数列的有关概念：定义、分类、表示;2.数列的通项公式； 二、数学素养：培养观察、分析、归纳思维能力设计意图：总结与归纳本节课所学知识，培养学生的归纳概括能力.六、布置作业教材第7页练习1、2、3、4.。
《数列的概念》 导学案
《数列的概念》导学案一、学习目标1、理解数列的概念，了解数列的分类。
2、掌握数列的通项公式，能根据通项公式写出数列的项。
3、理解数列的递推公式，能根据递推公式写出数列的前几项。
二、学习重难点1、重点（1）数列的概念及数列的通项公式。
（2）根据数列的通项公式或递推公式写出数列的项。
2、难点（1）根据数列的前几项归纳出数列的通项公式。
（2）理解数列的递推公式，并能运用递推公式求出数列的项。
三、知识链接1、集合的概念：具有某种特定性质的事物的总体。
2、函数的概念：设 A、B 是非空数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。
四、学习过程（一）数列的概念1、观察下列实例：（1）堆放的钢管，自上而下每层的钢管数分别为 4，5，6，7，8，9，10。
（2）正整数 1，2，3，4，5，…（3）－1 的 1 次幂，2 次幂，3 次幂，4 次幂，…，分别为－1，1，－1，1，…（4）无穷多个 1 排成一列数：1，1，1，1，…思考：以上这些例子有什么共同特点？这些例子的共同特点是：都是按照一定次序排列的一列数。
2、数列的定义按照一定次序排列的一列数称为数列。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
排在第一位的数称为这个数列的第 1 项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第 2 项，……，排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项。
3、数列的表示数列通常用大写字母 A、B、C、…表示，如数列 A，数列 B 等。
数列的一般形式可以写成：a₁，a₂，a₃，…，aₙ，…，简记为{ aₙ ｝。
其中 aₙ 是数列的第 n 项。
4、数列的分类（1）按照项数的多少，数列可以分为有穷数列和无穷数列。
项数有限的数列叫做有穷数列；项数无限的数列叫做无穷数列。
例如，上述例子（1）是有穷数列，例子（2）（3）（4）是无穷数列。
《数列的概念与简单表示法》教案
《数列的概念与简单表示法》教案第一章：数列的概念1.1 数列的定义引导学生理解数列是由按照一定顺序排列的一列数。
强调数列的有序性，即数列中每个数的位置是固定的。
1.2 数列的项解释数列中的每一个数称为数列的项。
举例说明数列的项与数列的关系。
1.3 数列的表示方法介绍数列的表示方法，包括顺序列举法和通项公式法。
举例说明如何用通项公式表示数列。
第二章：数列的通项公式2.1 通项公式的定义引导学生理解通项公式是用来表示数列中任意一项的公式。
强调通项公式中变量的含义和作用。
2.2 常见数列的通项公式举例讲解等差数列和等比数列的通项公式。
引导学生通过观察数列的特点来确定通项公式。
2.3 通项公式的应用解释如何利用通项公式来求解数列中的特定项。
举例说明通项公式在解决数列问题中的应用。
第三章：数列的性质3.1 数列的项数解释数列的项数是指数列中项的个数。
引导学生理解项数与数列的定义和表示方法的关系。
3.2 数列的单调性讲解数列的单调性，包括递增和递减。
举例说明如何判断数列的单调性。
3.3 数列的周期性解释数列的周期性是指数列中存在重复的项的模式。
举例说明如何判断数列的周期性。
第四章：数列的求和4.1 数列的求和公式引导学生理解数列的求和是指将数列中所有项相加得到的结果。
讲解数列的求和公式，包括等差数列和等比数列的求和公式。
4.2 数列的求和应用解释如何利用数列的求和公式来求解数列的和。
举例说明数列的求和公式在解决数列问题中的应用。
4.3 数列的求和性质讲解数列的求和性质，包括数列的错位相减法和分组求和法。
举例说明如何利用数列的求和性质来简化计算。
第五章：数列的综合应用5.1 数列的极限引导学生理解数列的极限是指数列项趋近于某个值的过程。
讲解数列的极限的定义和性质。
5.2 数列的极限应用解释如何利用数列的极限来解决数列问题。
举例说明数列的极限在数学分析中的应用。
5.3 数列的实际应用讲解数列在实际问题中的应用，包括数列在物理学和经济学中的例子。
数列的概念
§1.1 数列的概念学习目标：1、理解数列的概念，表示，分类等基本概念。
2、了解数列的通项公式，会根据此写出任意一项。
3、会根据数列的前几项写出它的通项公式。
重点难点：1、重点：数列概念理解及用通项公式写出任一项。
2、难点：根据数列前几项归纳出数列通项公式。
学法指导：自学，小组讨论交流，师生点评提高。
知识链接：一、知识梳理. 认真阅读课本3-6页完成下列问题。
1. 写出：所有正偶数组成的一列数：2. 5的正整数倍组成的一列数：结合课本实例，给数列下一定义：叫数列中的项。
它可以表示成 或 。
其中数列的第一项称为第二项可以表示为 。
是数列的通项。
3. 数列可以根据 分为有穷数列和无穷数列。
试各举一例。
4.、项数 1， 2， 3， 4，…，n, …项 1， 31， 51， 71，…，121-n ，…我们可以看出，这个数列的每一项的序号n 与这一项a n 之间有这样的对应关系：121-=n a n ，这就是这个数列的一个通项公式。
概括通项公式的概念：。
（注：有了通项，任给一个n 的值，我们就可以得到它对应的项） 二、预习交流、解决问题 1、设数列, 则 （ ） A .第六项 B .第七项 C .第八项 D .第九项3、在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55，…中，x 的值是（ ） A 、19 B 、 20 C 、 21 D 、224、已知数列1，－1，1，－1，…，则下列各式中，不能作为它的通项公式的是 哪一 个（ ）A ．1)1(--=n n aB ．2)12(sin π-=n a n C ．⎩⎨⎧-=)(1)(1为偶数为奇数n n a n D ．n na )1(-=探究案例：1、已知数列{}n a 的通项公式n d a cn n=+，且2433,22a a ==，求10a ．2、已知{}n a 满足13a =，121n n a a +=+，试写出该数列的前5项，并用观察法写出这个数列的一个通项公式.3、已知数列{a n }的通项公式为a n =3n 2-28n. (1)写出数列的第4项和第6项；（2）问-49和68是该数列的项吗？若是，是第几项；若不是，请说明理由目标检测：1、在数列{}n a 中，12n n n a a a ++=+，122,5a a ==，则6a 的值是 （ ） A.3- B.11- C.5- D.192、数列3，5，9，17，33，…的通项公式n a 等于（ ）A ．n 2B ．12+nC ．12-nD ．12+n3、600是数列1×2,2×3,3×4,4×5,…的( )(A)第20项 (B)第24项 (C)第25项(D)第30项4、数列{}n a 中，11,111+==-n n a a a ，则=4a5、根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第n 个图中有___________个点.（1） （2） （3） （4） （5）总结提升： 学后反思：作业布置：自我评价：我的疑惑：。
人教版高中数学全套教案导学案1.数列概念教案1
教师课时教案备课人授课时间课题 2.1数列的概念与简单表示法（1）课标要求理解数列及其有关概念，掌握通项公式及其应用教学目标知识目标理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，技能目标会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。
情感态度价值观体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
重点数列及其有关概念，通项公式及其应用难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动Ⅰ.课题导入三角形数：1，3，6，10，…正方形数：1，4，9，16，25，…Ⅱ.讲授新课⒈数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.⒊数列的一般形式：,,,,,321naaaa，或简记为{}n a，其中na是数列的第n项结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义.②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“31”是这个数列的第“3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序有这样的对应关系：项151413121↓↓↓↓↓序 1 2 3 4 5这个数的第一项与这一项的序可用一个公式：nan1=来表示学生阅读理解概念老师评价讲解1教师课时教案教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动⒋数列的通项公式：如果数列{}n a的第n项n a与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=nna，也可以是|21cos|π+=nan.⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．5.数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()na f n=，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
《数列的概念与简单表示法》教案
《数列的概念与简单表示法》教案章节一：数列的概念1.1 学习目标：理解数列的定义掌握数列的基本性质1.2 教学内容：数列的定义数列的项、公差、公比数列的性质1.3 教学活动：1. 引入数列的概念，引导学生思考数列的定义。
2. 通过示例，让学生理解数列的项、公差、公比的概念。
3. 引导学生探索数列的性质，如单调性、周期性等。
1.4 练习与作业：完成练习题，巩固数列的概念和性质。
章节二：数列的表示法2.1 学习目标：掌握数列的常见表示法理解数列的图像表示法2.2 教学内容：数列的列举表示法数列的公式表示法数列的图像表示法2.3 教学活动：1. 引导学生学习数列的列举表示法，通过示例让学生理解其应用。
2. 讲解数列的公式表示法，让学生能够根据公式写出数列的项。
3. 引入数列的图像表示法，让学生通过图像理解数列的性质。
2.4 练习与作业：完成练习题，巩固数列的表示法。
章节三：数列的通项公式3.1 学习目标：掌握数列的通项公式的求法能够运用通项公式解决问题3.2 教学内容：数列的通项公式的定义求数列的通项公式的方法通项公式的应用3.3 教学活动：1. 引入数列的通项公式的概念，让学生理解其意义。
2. 讲解求数列的通项公式的方法，通过示例让学生掌握。
3. 引导学生运用通项公式解决实际问题。
3.4 练习与作业：完成练习题，巩固数列的通项公式的求法和应用。
章节四：数列的前n项和4.1 学习目标：理解数列的前n项和的概念掌握数列的前n项和的求法4.2 教学内容：数列的前n项和的定义数列的前n项和的求法数列的前n项和的性质4.3 教学活动：1. 引入数列的前n项和的概念，让学生理解其意义。
2. 讲解数列的前n项和的求法，通过示例让学生掌握。
3. 引导学生探索数列的前n项和的性质。
4.4 练习与作业：完成练习题，巩固数列的前n项和的概念和求法。
章节五：数列的单调性5.1 学习目标：理解数列的单调性的概念能够判断数列的单调性5.2 教学内容：数列的单调性的定义数列的单调性的判断方法数列的单调性的性质5.3 教学活动：1. 引入数列的单调性的概念，让学生理解其意义。
必修五1.1数列的概念及简单表示导学案
§１数列的概念及简单表示【学习要求】1．理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型．2．探索并掌握数列的几种简单表示法．3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．【学法指导】1．在理解数列概念时，应区分数列与集合两个不同的概念．2．类比函数的表示方法来理解数列的几种表示方法．3．由数列的前几项，写出数列的一个通项公式是本节的难点之一，突破难点的方法：把序号标在项的旁边，观察项与序号的关系，从而写出通项公式．【知识要点】1．按照一定顺序排列的一列数称为，数列中的每一个数叫做这个数列的．2．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做___项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n 位的数称为这个数列的第项．3．数列的一般形式可以写成a1,a2,…,a n,…,简记为．4．项数有限的数列叫做数列，项数无限的数列叫做_____数列．５.如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的公式．【问题探究】探究点一数列的概念问题先看下面的几组例子：（1）全体自然数按从小到大排成一列数：0,1,2,3,4，…；（2）正整数1,2,3,4,5的倒数排成一列数：1，12，13，14，15；（3）π精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值排成一列数：3,3.1,3.14,3.141，…；（4）无穷多个1排成一列数：1,1,1,1,1，…；（5）当n分别取1,2,3,4,5，…时，(－1)n的值排成一列数：－1,1，－1,1，－1，….请你根据上面的例子尝试给数列下个定义．探究数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有怎样的性质？探究点二数列的几种表示方法问题数列的一般形式是什么？回忆一下函数的表示方法，想一想除了列举法外，数列还有哪些表示方法？探究下面是用列举法给出的数列，请你根据题目要求补充完整．（1）数列：1,3,5,7,9，…①用公式法表示：a n＝；②用列表法表示：（2）数列：1，12，13，14，15，…①用公式法表示：a n＝.②用列表法表示：③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出)：探究点三数列的通项公式问题什么叫做数列的通项公式？谈谈你对数列通项公式的理解？探究根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察数列的特征，并进行联想、转化、归纳，同时要熟悉一些常见数列的通项公式．下表中的一些基本数列，你能准确快速地写出它们的通项公式吗？【典型例题】例1根据数列的通项公式，分别写出数列的前5项与第2 012项．（1）a n＝cos nπ2；（2）b n＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n n＋1.小结由数列的通项公式可以求出数列的指定项，要注意n＝1,2,3，….如果数列的通项公式较为复杂，应考虑运算化简后再求值．跟踪训练1根据下面数列的通项公式，写出它的前4项．（1）a n＝2n＋1；（2）b n＝1(1)2n +-例2根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：（1）1，－3,5，－7,9，…；（2）12，2，92，8，252，…；（3）9,99,999,9 999，…；（4）0,1,0,1，….小结据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．跟踪训练2写出下列数列的一个通项公式：（1）212，414，618，8116，…；（2）0.9,0.99,0.999,0.999 9，…；（3）－12，16，－112，120，….例3已知数列{a n}的通项公式a n＝ｎ（－１）（ｎ＋１）（２ｎ－１）（２ｎ＋１）（1）写出它的第10项；（2）判断233是不是该数列中的项．小结判断某数列是否为数列中的项，只需将它代入通项公式中求n的值，若存在正整数n，则说明该数是数列中的项，否则就不是该数列中的项．跟踪训练3已知数列{a n}的通项公式为a n＝1n n ＋2(n∈N*)，那么1120是这个数列的第______项．【当堂检测】1．下列叙述正确的是 ( )A．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列 B．数列0,1,2,3，…可以表示为{n}C．数列0,1,0,1，…是常数列 D．数列{nn＋1}是递增数列2．观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，3，5，7，___，11，…. 3．已知下列数列：（1）2 000,2 004,2 008,2 012；（2）0，12，23，…，n－1n，…；（3）1，12，14，…，12n－1，…；（4）1，－23，35，…，1n－1·n2n－1，…；（5）1,0，－1，…，sin nπ2，…；（6）6,6,6,6,6,6.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________，周期数列是________．(将合理的序号填在横线上)【拓展提高】4．写出下列数列的一个通项公式：（1）a，b，a，b，…；（2）－1，85，－157，249，….【课堂小结】1．{a n}与a n是不同的两种表示，{a n}表示数列a1，a2，…，a n，…，是数列的一种简记形式．而a n只表示数列{a n}的第n项，a n与{a n}是“个体”与“整体”的从属关系．2．数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法．3．由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系．同时，要善于利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而达到问题的解决．。
《1.1 数列的概念》导学案4
《1.1 数列的概念》导学案4学习目标1.使学生理解数列的定义、能够区分项与项数这两个不同概念；2.使学生掌握通项公式概念，能够用不完全归纳法写出一些数列的通项公式.3.了解数列的表示方法，体会数列和函数的关系。
学习重点数列的定义、通项公式，并能根据函数观点、方法研究数列的增减性和最值问 学习难点应用不完全归纳法推导出数列的通项公式.自主学习课前准备一、知识梳理、双基再现⒈ 数列的定义： 的一列数叫做数列.⒉ 数列的项：数列中的 都叫做这个数列的项.反思：⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗？3. 数列的一般形式：123,,,,na a a a L L ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第 项.4. 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项na 与n 之间的关系可以用 来表示，那么 就叫做这个数列的通项公式.反思：⑴所有数列都能写出其通项公式？⑵一个数列的通项公式是否唯一？5．数列的分类：根据数列项数的多少分 数列和 数列；阅读课本第6页实例分析部分得到：函数图像呈上升的是 ，函数图像呈下降的是 ，图1-7的图像显示此数列为 .从而发现数列的图像是由一些 构成的① 递增数列： ② 递减数列： ③ 常数列：二、小试身手、轻松过关1. 下列说法正确的是( ).A. 数列中不能重复出现同一个数B. 1，2，3，4与4， 3，2，1是同一数列C. 1，1，1，1…不是数列D. 两个数列的每一项相同，则数列相同2. 在横线上填上适当的数：3，8，15， ，35，48.3. 写出数列2{}n n 的前5项，第n ＋1项.4.已知数列3，7，11，15，19，… 那么311是这个数列的第 项.合作探究【学始于疑】探究1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴ 1，13，15，17；⑵ 1，2，3，2 .(3) 12，45，910，1617；(4) 1，－1， 1，－1；提示：要由数列的若干项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中的项的构成规律，将项表示为项数的函数关系.例2 已知数列{}na的通项公式是()221+=nnan，写出这个数列的前5项，并判断220是不是这个数列的项，如果是，是第几项.提示：已知数列的通项公式，只要将数列中的项代入通项公式，就可以求出项数和项.效果检测课后作业1. 下列四个数中，哪个是数列{(1)}n n +中的一项( ).A. 380B. 392C. 321D. 2322.数列(1)2{(1)}n n --的第4项是 .3. 写出数列121-⨯，122⨯，123-⨯，124⨯的一个通项公式 .4. 写出数列｛2n ｝的前5项.5.写出数列2212-，2313-，2414-，2515-的一个通项公式为.【我的小结】数列是通项公式是。
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数列概念
一.学习目标：
1、熟练掌握数列的概念，准确理解通项公式与函数的关系，提高归纳猜想能力。
2、自主学习、合作探究，总结求数列通项公式的规律方法。
3、激情投入，惜时高效，培养良好的数学思维品质，体验数字变化之美。
重难点：数列的概念以及数列的通项公式
二.问题导学：
阅读课本P3-6思考并回答下列问题: 1.数列的概念：
①你能根据自己的理解写出数列的定义吗？
②数列的一般形式12,,...,...n a a a ，简记{}n a ，那么n a 与{}n a 有什么不同？
2.数列的通项公式：
给定一个数列：1、3、5、7……你能写出数列的第5项，第7项吗？第n 项呢？ ○
1你能试着写出数列通项公式的定义吗？
○2通项公式可看作是一个函数吗？它的定义域是什么？图像有什么特点？
3.数列的分类：
按项数分可以分为哪几类？
【小试牛刀】
1.下列说法不正确的是（ ）
A 、所有数列都能写出通项公式
B 、数列的通项公式不唯一
C 、数列中的项不能相等
D 、数列可以用一群孤立的点表示
2.已知数列{}n a 中，n a =2n-1，则3a 等于___________
3.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数:
（1）2，3，4，5； 则n a = （2）1416
,,3,;333
；则n a =
（3）
1111
,,,;24816
则n a = （4）1，-3，5，-7； 则n a = 三.合作探究
例1、根据下面数列{}n a 的通项公式，写出它的前5项：
（1） 21
;21
n n a n -=+ （2）cos 2n n a π=; （3）2(1);n n a n =-
拓展：根据下面数列{}n a 的通项公式，写出它的第10项： （1） 2910n a n n =-+; （2）(1)1cos ;2
n n a π
-=+
（3）请判断2是不是第（1）小题中的那个数列的项. 小结：
例2、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）1，3，5，7； （2）0，2，0，2； （3）10,100,1000,10000;
变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）9，99，999，9999； （2）5，55，555，5555；
四.深化提高：
1.已知数列1,3,5,7,...,21,...
n-，则35是该数列的第项.
2.观察下列各式：1+3=4；
1+3+5=9；
1+3+5+7=16；
请写出第4，第5个等式，并写出第n个等式.
五.我的学习总结：
（1）我对知识的总结
（2）我对数学思想及方法的总结 __________________ 当堂检测
1. 下列说法正确的是（）.
A. 数列中不能重复出现同一个数
B. 1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列
C. 1，1，1，1…不是数列
D. 两个数列的每一项相同，则数列相同
2.下列式子不能作为数列0，1，0，1，...的通项公式的是( )
A. 0()
1(n)
n
n
a
⎧
=⎨
⎩
为奇数
为偶数
； B.
2
1
sin
2
n
n
aπ
+
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
；
C. 1(1)
2
n
n
a
+-
=； D.
1
1(1)
2
n
n
a
-
+-
=；
3. 在横线上填上适当的数：
3，8，15，，35，48.
4. 写出数列1，3，6，10，15，...;的一个通项公式 .
我的疑问：我的收获与发现：。