2018届江苏省无锡市普通高中高三上学期期末考试数学试题Word版含答案

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2019-2020学年江苏省无锡市2018级高二上学期期末考试数学试卷及解析

2019-2020学年江苏省无锡市2018级高二上学期期末考试数学试卷★祝考试顺利★ (解析版)一、选择题：1.设x a 0<<,则下列不等式一定成立的是( ) A. 22x ax a << B. 22x ax a >> C. 22x a ax << D. 22x a ax >>【答案】B 【解析】直接利用不等式性质：在两边同时乘以一个负数时,不等式改变方向即可判断．【详解】0x a <<Q ,2ax a ∴>,2x ax >, 22x ax a ∴>>故选B ．2.已知向量()0,1,1a =r ,()1,2,1b =-r .若向量a b +r r与向量(),2,c m n =r 平行,则实数n 的值是（） A. 6 B. -6C. 4D. -4【答案】D【解析】求出向量a b +r r的坐标,利用向量共线定理即可得出．【详解】解：()0,1,1a =r Q ,()1,2,1b =-r()1,1,2a b ∴+=-r r又因为向量a b +r r与向量(),2,c m n =r 平行所以存在实数λ,使得()a b c λ+=r r r22m n λλλ=⎧⎪∴=-⎨⎪=⎩解得224m n λ=-⎧⎪∴=-⎨⎪=-⎩故选：D3.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>,若长轴长为6,且两焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的标准方程为（）A. 2213632x y +=B. 22198x y +=C. 22195x y +=D. 2211612x y +=【答案】B 【解析】Q 椭圆长轴为6,焦点恰好三等分长轴,所以26,3,a a ==2266,1,18,c c b a ∴===-=∴椭圆方程为22198x y +=,故选B. 4.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人,共猎得五鹿,欲以爵次分之,问各得几何？”其意思：“共有五头鹿,5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表达,一般表示等差分配,在本题中表示等差分配）．”在这个问题中,若大夫得“一鹿、三分鹿之二”,则公士得（） A. 三分鹿之一 B. 三分鹿之二 C. 一鹿 D. 一鹿、三分鹿之一【答案】A分析：本题考查阅读理解能力,抽象概括能力,解题关键是从题中得出5人所得依次成等差数列,其中153a =,55S =,要求5a ,由等差数列的前n 项和公式易解得．详解：显然5人所得依次成等差数列,设公士所得为x , 则55()352x +=,解得13x =．故选A ．5.已知等比数列{}n a 为单调递增数列,设其前n 项和为n S ,若22a =,37S =,则5a 的值为（）A. 16B. 32C. 8D.14【答案】A 【解析】利用等比数列的通项公式、前n 项和公式列出方程组,求出首项和公比,由此能求出5a ．【详解】解：Q 等比数列{}n a 为单调递增数列, 设其前n 项和为n S ,22a =,37S =,∴213132(1)71a a q a q S q ==⎧⎪-⎨==⎪-⎩, 解得11a =,2q =,44511216a a q ∴==⨯=．故选：A ．6.下列不等式或命题一定成立的是（）①()21lg lg 04x x x ⎛⎫+≥> ⎪⎝⎭； ②()1sin 2,k sin x x k x π+≥≠∈Z ； ③()212x x x +≥∈R ；④)y x R =∈最小值为2.A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④【答案】C 【解析】根据基本不等式的性质一一验证.【详解】解：①0x Q >,由基本不等式可得211242x x x +≥⋅⋅= ()21lg lg 04x x x ⎛⎫∴+≥> ⎪⎝⎭当且仅当12x =时取等号,故正确；②sin x 可以取负值,故()1sin 2,k sin x x k xπ+≥≠∈Z 不成立,故错误； ③由基本不等式可得21212x x x +≥⋅⋅=当且仅当1x =时取等号,故正确；④当0x =时2y ==<故错误.故选：C7.已知关于x 的不等式()()224210a x a x -+--≥的解集为空集,则实数a 的取值范围是（）A. 62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. 6,25⎛⎤- ⎥⎝⎦D. (][),22,-∞+∞U【答案】C 【解析】由题意得出关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R ,由此得出240a -=或240a ⎧-<⎨∆<⎩,在240a -=成立时求出实数a 的值代入不等式进行验证,由此解不等式可得出实数a 的取值范围.【详解】由题意知,关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .（1）当240a -=,即2a =±．当2a =时,不等式()()224210a x a x -+--<化为10-<,合乎题意；当2a =-时,不等式()()224210a x a x -+--<化为410x --<,即14x >-,其解集不为R ,不合乎题意；（2）当240a -≠,即2a ≠±时．Q 关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .2400a ⎧-<∴⎨∆<⎩,解得265a -<<．综上可得,实数a 的取值范围是6,25⎛⎤- ⎥⎝⎦．故选C ．8.设n S 为数列{}n a 的前n 项和,满足23n n S a =-,则6S =（） A. 192 B. 96C. 93D. 189【答案】D【解析】根据1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求数列{}n a 的通项公式,利用等比数列的前n 项和求6S .【详解】解：23n n S a =-Q当1n =时,1123S a =-,解得13a =,当1n ≥时,1123n n S a --=-,()112323n n n n S S a a --∴-=---,122n n n a a a -∴=- 12n n a a -∴= 12nn a a -∴= 故{}n a 是以13a =,2q =的等比数列,132n n a -∴=⋅()6631218912S -∴==-故选：D【点睛】本题考查利用n S 求n a ,以及等比数列的前n 项和,属于基础题.9.若正数a 、b 满足()25ab a b =++,设()()412y a b a b =+---,则y 的最大值是（） A. 12 B. -12 C. 16 D. -16【答案】A 【解析】根据()25ab a b =++则52ab a b -+=,将式子换元成关于ab 的二次函数,利用二次函数的性质求最值,值得注意ab 的取值范围. 【详解】解：()25ab a b =++Q52ab a b -∴+=0a >Q 、0b >52ab a b -∴+=≥解得25ab ≥()()412y a b a b =+---Q5541222ab ab y --⎛⎫⎛⎫∴=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭132922ab ab y --⎛⎫⎛⎫∴= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2132912116224ab ab y ab --⎛⎫⎛⎫∴==--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭25ab ≥Qmax 12y ∴=当且仅当25ab =时取得最大值故选：A10.正四面体ABCD 的棱长为2,E 、F 分别为BC 、AD 的中点,则AE AF ⋅u u u r u u u r的值为（）A. -2B. 4C. 2D. 1【答案】D 【解析】如图所示,1()2AE AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,12AF AD =u u u r u u u r ．代入AE AF ⋅u u u r u u u r,利用数量积运算性质即可得出．【详解】解：如图所示,1()2AE AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,12AF AD =u u ur u u u r ．∴111()()224AE AF AB AC AD AB AD AC AD =+=+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u rg g g g221(2cos602cos60)4=︒+︒ 1=．故选：D ．11.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,离心率为e ,若椭圆上存在点P ,使得12PF e PF =,则该离心率e 的取值范围是（）A. )1,1B. 2⎫⎪⎪⎣⎭C. (1⎤⎦D. 0,2⎛ ⎝⎦【答案】A 【解析】由12PF e PF =结合椭圆离心率的定义可得121222211PF PF PF a e PF PF PF ++===+,可求得221aPF e =+,而2a c PF a c -+剟,从而可求得离心率e 的取值范围．【详解】解：依题意,得121222211PF PF PF ae PF PF PF ++===+, 221aPF e ∴=+,又2a c PF a c -+剟, 21aa c a c e ∴-++剟,不等号两端同除以a 得,2111e e e -++剟,∴2121e e ⎧-⎪⎨+⎪⎩„解得1e -, 又01e <<,∴11e <„．即)1,1e ∈ 故选：A【点睛】本题考查椭圆的离心率及椭圆的简单几何性质,求得221aPF e =+,利用2a c PF a c -+剟解决问题是关键,也是难点,属于中档题．12.当n 为正整数时,定义函数()N n 表示n 的最大奇因数.如()()()()()()()N 33,105,,1232n N S n N N N N ===++++L L ,则()5S =( )A. 342B. 345C. 341D. 346【答案】A 【解析】()()()2,2121N n N n N n n =-=-Q ,而()()()()()123...2nS n N N N N =++++,()()()()()()()()135...2124...2n n S n N N N N N N N ⎡⎤∴=++++-++++⎣⎦,()()()()()1135...21123...2n n S n N N N N -⎡⎤∴=++++-+++++⎣⎦,()()()()()11212121422n nn S n S n n S n S n -+-∴=⨯+-≥⇒--=,又()()()112112S N N =+=+=,()()()()()()()()()234515443...2144445S S S S S S S S S ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴-=-+-++-=+++⇒⎣⎦⎣⎦⎣⎦23424444=++++342=,故选A. 二、填空题13.命题:p “0x ∀>,都有20x x -≥”的否定：______. 【答案】0x ∃>,使得20x x -< 【解析】根据全称命题的否定是特称命题,即可得到结论．【详解】解：命题是全称命题,则命题的否定是：0x ∃>,有20x x -<；故答案为：0x ∃>,有20x x -< 14.不等式13x x->的解集是______．【答案】1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】将分式不等式转化为整式不等式,解得. 【详解】解：13x x->Q130x x-∴->120xx--∴> ()120x x ∴--> ()210x x ∴+< 102x ∴-<<故不等式的解集为：1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭15.已知双曲线22221x y a b -=的离心率为2,焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同,那么双曲线的渐近线方程为【答案】y =试题分析：因为双曲线22221x y a b -=的离心率为2,所以1+22b a =4,22b a=3,b a =又双曲线焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同,即焦点在x 轴上,故双曲线的渐近线方程为y =．点评：基础题,圆锥曲线中A,b,c,e 的关系要熟悉,并做到灵活运用． 16.已知12ab =,(),0,1a b ∈那么1211a b +--的最小值为______. 【答案】10 【解析】先根据条件消掉b ,即将12b a =代入原式得14121aa a +--,再裂项并用贴“1”法,最后运用基本不等式求其最小值．【详解】解：因为12ab =,所以,12b a =,因此,1212111112a b a a+=+----1412(21)2121121a a a a a a -+=+=+---- 12122()212121221a a a a =++=++---- 112()[(21)(22)]22122a a a a=+-+-+-- 22212[11]22122a a a a--=++++--2(2210++=…, 当且仅当：22212122a a a a --=--,即34a =时,取“=”, 即1211a b+--的最小值为：10, 故答案为：10．三、解答题：17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2525a a +=,555S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设131n n a b n =-,求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)32n a n =+；(2).2(32)n nT n =+试题分析：（1）根据等差数列基本量的运算求得153a d ==，,故可得通项公式．（2）根据数列{}n b 通项公式的特点利用裂项相消法求和．试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ,由题意得2515312525551055a a a d S a a d +=+=⎧⎨==+=⎩,解得15,3,a d =⎧⎨=⎩()5313 2.n a n n ∴=+-=+（2）由（1）得()()()11111.31313233132n n b a n n n n n ⎛⎫===- ⎪--+-+⎝⎭ 121111111325583132n n T b b b n n ⎛⎫=++=-+-++- ⎪-+⎝⎭L L ()111.3232232n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ 18.已知a R ∈,函数1()f x a x=-．（1）若()2f x x ≤对x ∈(0,2)恒成立,求实数a 的取值范围；（2）当a ＝1时,解不等式()2f x x ≥．【答案】（1）a ≤（2）1(,]2-∞-. 【解析】（1）分离参数a,构造函数利用均值不等式求最值即可；（2）分类讨论去绝对值,最后取并集即可．【详解】（1）∵f（x ）≤2x 对x ∈（0,2）恒成立, ∴a≤1x +2x 对x ∈（0,2）恒成立,∵1x ,当且仅当1x =2x,即x=2时等号成立,∴a ≤（2）当a=1时,f （x ）=1﹣1x ,∵f（x ）≥2x ,∴1﹣1x≥2x , ①若x ＞0,则1﹣1x≥2x 可化为：2x 2﹣x+1≤0,所以x ∈∅； ②若x ＜0,则1﹣1x ≥2x 可化为：2x 2﹣x ﹣1≥0,解得：x ≥1或x ≤﹣12,∵x＜0,∴x≤﹣12, 由①②可得1﹣1x ≥2x 的解集为：（﹣∞,﹣12] 19.在平面直角坐标系xoy 中,曲线C 上的动点()(),0M x y x >到点()2,0F 的距离减去M 到直线1x =-的距离等于1.(1)求曲线C 的方程；(2)若直线 ()2y k x =+与曲线C 交于A ,B 两点,求证：直线FA 与直线FB 的倾斜角互补.【答案】（1）28y x =；（2）见解析【解析】（1）利用抛物线定义“到定点距离等2于到定直线距离的点的轨迹”求动点P 的轨迹；（2）设()()1122,,,A x y B x y 直线与抛物线方程联立化为2222(48)40k x k x k +-+=,(0)k ≠．由于>0∆,利用根与系数的关系与斜率计算公式可得：直线FA 与直线FB 的斜率之和0,即可证明【详解】（1）曲线C 上的动点()(),0M x y x >到点()2,0F 的距离减去M 到直线1x =-的距离等于1,所以动点M 到直线2x =-的距离与它到点()2,0F 的距离相等,故所求轨迹为：以原点为顶点,开口向右的抛物线28y x =；（2）证明：设()()1122,,,A x y B x y .联立,得()22224840k x k x k +-+=,（0k ≠）∴>0∆,212284k x x k-+=,124x x =,∴直线线FA 与直线FB 的斜率之和： ()()12121212222222k x k x y y x x x x +++=+----()()()()()()()()()12121212122222242222k x x k x x k x x x x x x +-+-+-==---- 因为124x x =∴直线FA 与直线FB 的斜率之和为0,∴直线FA 与直线FB 的倾斜角互补.20.某种汽车购买时费用为14．4万元,每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元,汽车的维修费为：第一年0.2万元,第二年0.4万元,第三年0.6万元,……,依等差数列逐年递增．（Ⅰ）设使用n 年该车的总费用（包括购车费用）为f(n),试写出f(n)的表达式；（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）．【答案】（1）()2*()0.114.4f n n n n N =++∈;（2）12年.【解析】（I ）由已知中某种汽车购买时费用为14.4万元,每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元,汽车的维修费为：第一年0.2万元,第二年0.4万元,第三年0.6万元,…,依等差数列逐年递增,根据等差数列前n 项和公式,即可得到f （n ）的表达式；（II ）由（I ）中使用n 年该车的总费用,我们可以得到n 年平均费用表达式,根据基本不等式,我们易计算出平均费用最小时的n 值,进而得到结论．【详解】（I ()14.4(0.20.40.60.2)0.9f n n n =++++⋯++ =0.2(1)14.40.92n n n +++ =20.114.4n n ++(Ⅱ)设该车的年平均费用为S 万元,1S= ()f n n ()210.114.4n n n =++ 14.4110n n=++2 1.441≥+2 1.21=⨯+ 3.4= 则有仅当n =12时,等号成立.汽车使用12年报废为宜.21.如图1,在高为6的等腰梯形ABCD 中,//AB CD ,且12AB =,6CD =,将它沿对称轴1OO 折起,使平面1ADO O ⊥平面1BCO O ,如图2,点P 为BC 的中点,点E 在线段AB 上(不同于A ,B 两点),连接OE 并延长至点Q ,使//AQ OB .(1)证明：OD ⊥平面PAQ ；(2)若2BE AE =,求二面角C BQ A --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）6. 【解析】（1）建立空间直角坐标系,把证明OD ⊥平面PAQ 的问题转化为证明0OD AQ ⋅=u u u r u u u r ,0OD PQ ⋅=u u u r u u u r 即可；（2）求出平面CBQ 的法向量为()1,,n x y z =u r 和平面ABQ 的一个法向量为()20,0,1n =u u r ,把求二面角C BQ A --的余弦值的问题转化为求1n u r 与2n u u r 的夹角的余弦值的问题即可.【详解】(1)证明：由题设知OA ,OB ,1OO 两两垂直,所以O 为坐标原点,OA ,OB ,1OO 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,设AQ 的长为m ,则()0,0,0O ,()6,0,0A ,()0,6,0B ,()0,3,6C ,()3,0,6D ,()6,,0Q m ).因为点P 为BC 的中点,所以90,,32P ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 所以()3,0,6OD =u u u r ,()0,,0AQ m =u u u r ,96,,32PQ m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r . 因为0OD AQ ⋅=u u u r u u u r ,0OD PQ ⋅=u u u r u u u r ,所以OD AQ ⊥u u u r u u u r ,OD PQ ⊥u u u r u u u r ,又AQ uuu r 与PQ uuu r 不共线,所以OD ⊥平面PAQ .(2)解因为2BE AE =,//AQ OB ,所以132AQ OB ==, 则()6,3,0Q ,所以()6,3,0QB =-u u u r ,()0,3,6BC =-u u u r .设平面CBQ 的法向量为()1,,n x y z =u r ,由1100n QB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v 得630360x y y z -+=⎧⎨-+=⎩ 令1z =,则2y =,1x =,()11,2,1n =u r .易得平面ABQ 的一个法向量为()20,0,1n =u u r .设二面角C BQ A --的大小为θ,由图可知,θ为锐角,则1212cos 6n n n n θ⋅==u r u u r u r u u r , 即二面角C BQ A --的余弦值为6. 22.已知椭圆1C ：22221x y a b+=(0a b >>),F 为左焦点,A 为上顶点,(2,0)B 为右顶点,若2AB =u u r u u u r ,抛物线2C的顶点在坐标原点,焦点为F ．（1）求1C 的标准方程；（2）是否存在过F 点的直线,与1C 和2C 交点分别是P ,Q 和M ,N ,使得12OPQ OMN S S =V V ？如果存在,求出直线的方程；如果不存在,请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）10x y +=或10x y += 分析：（1）由题设有2a =,2AB =u u r u u u r 可得b 的值,从而得到椭圆的标准方程.（2）因为12OPQ OMN S S ∆∆=,故12PQ MN =,设直线方程为1x ky =-,分别联立直线与椭圆、直线与抛物线的方程,消去x 后利用韦达定理用k 表示,PQ MN ,解出k 后即得直线方程.详解：（12AB =u u r u u u r ,=由右顶点为()2,0B 得2a =,解得23b =,所以1C 的标准方程为22143x y +=. （2）依题意可知2C 方程为24y x =,假设存在符合题意的直线,设直线方程为1x ky =-,()()()()11223344,,,,,,,P x y Q x y M x y N x y ,联立方程组2213412x ky x y =-⎧⎨+=⎩,得()2234690k y ky +--=,由韦达定理得12122269,3434k y y y y k k -+==++,则12y y -=, 联立方程组214x ky y x=-⎧⎨=-⎩,得2440y ky +-=,由韦达定理得34344,4y y k y y +=-=-,所以34y y -=,若12OPQ OMN S S ∆∆=,则123412y y y y -=-,即234k =+解得3k =±,所以存在符合题意的直线方程为103x y ++=或103x y -+=. 点睛：求椭圆的标准方程,关键是基本量的确定,方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置关系中的弦长、面积等问题,可以利用韦达定理把弦长、面积等表示为直线方程中某参数的函数关系式,进而把弦长、面积等问题归结为方程的解或函数的值域等问题.。

问题4.5 数列中整数解问题-2018届高三数学成功在我之尖子生提分精品(江苏版) Word版含解析

2018届高三数学成功在我一、考情分析数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,在高考中占有极其重要的地位．数列中整数解问题逐渐成为一个新的热点．本文试图对与数列有关的不定方程的整数解问题的解法作初步的探讨,以期给同学们的学习带来帮助二、经验分享二元不定方程双变量的不定方程,在高中阶段主要是求出此类不定方程的整数解,方法较灵活,下面介绍3种常用的方法.方法1. 因式分解法：先将不定方程两边的数分解为质因数的乘积,多项式分解为若干个因式的乘积,再由题意分类讨论求解.方法2. 利用整除性质：在二元不定方程中,当其中一个变量很好分离时,可分离变量后利用整除性质解决．方法3.不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围或等式一边的范围,再分别求解.如转化为 ()()f m g n =型,利用()g n 的上界或下界来估计()f m 的范围,通过解不等式得出m 的范围,再一一验证即可. 三、知识拓展 1、整数的基本性质：（1）整数的和,差,积仍为整数（2）整数的奇偶性：若()21n k k Z =+∈,则称n 为奇数；若()2n k k Z =∈,则称n 为偶数,在加,减,乘法运算中,其结果有以下规律：① 奇数±奇数=偶数 ② 奇数±偶数=奇数 ③ 偶数±偶数=偶数 ④ 奇数⨯偶数=偶数 ⑤ 偶数⨯偶数=偶数 ⑥ 奇数⨯奇数=奇数（3）若,a b Z ∈,且a b <,则1a b ≤-（4）已知,,a b R a b ∈<,若n Z ∈,且(),n a b ∈,则n 只能取到有限多个整数（也有可能无解）（5）若aZ b∈,称a 能被b 整除,则有：① b a ≤ ② b 为a 的一个因数（6）最小数原理：自然数集的任何非空子集,均有一个最小的自然数 2、整数性质的应用：（1）若变量属于整数,则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内,若要求得变量的值,通常要依赖方程,而不等式只能解得变量的范围.但是在整数范围内,除了方程,在不等式中也可以利用整数的离散性求出变量的值（即性质（4））,例如：若(),2,5n N n ∈∈,则n 的取值只能是3,4.所以在涉及求整数的值时,思路不要局限于寻找等量关系,构造不等关系依然可以求解.（2）整除问题：若表达式形式较为简单,可通过对常数进行因数分解,进而确定变量的取值；若表达式次数较高,则可以先利用二项式定理去掉高次的项,再进行处理.（3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时,不定方程的解可能有有限多组解.通常的处理方式有两个： ① 通过对表达式进行因式分解,对另一侧的常数进行因数分解,进而将不定方程拆成多个方程的方程组,进而解出变量② 将一个字母视为变量（其余视为参数）并进行参变分离,求出含变量函数的值域,进而将参数置于一个范围内,再利用整数离散性求得参数的值（4）反证法：运用反证法处理整数问题时,常见的矛盾有以下几点： ① 所解得变量非整数,或不符合已知范围 ② 等式两侧为一奇一偶3、整数问题通常会与数列联系起来,其特征就是数列中项的序数,以及前n 项和的项数,均为正整数.四、题型分析 (一) 因式分解法【例1】【解析】【点评】本题中将不定方程变形为,因为分解方式是唯一的,所以可以得到关于k,m,的二元一次方程组求解. (二) 利用整除性质【例2】已知数列{}n a 的通项公式为27n a n =-,若12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项,则m =____【答案】2m =【点评】（1）本题的亮点在于对()()272523m m m ---的变形,在有关整数的问题里,通常可对分式进行“分离常数”的变形,从而将复杂的分式简化,并能立刻找到需处理的部分.例如在本题中通过“分离常数”可迅速将目标锁定在823m -上.（2）本题对823m -的处理有多个角度,还可以从分母出发,观察到23m -应为奇数,而823Z m ∈-,而8的奇因数只有1和1-,同样可确定m 的值.【牛刀小试】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足12a =-,1320n n a S +++=（*n ∈N ）.（1）求2a ,3a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在整数对(,)m n ,使得等式248n n a m a m -⋅=+成立？若存在,请求出所有满足条件的(,)m n ；若不存在,请说明理由.n ,再求出m .解：由（2）得：()()22248nnm m ---=+()()()()()()22282168824242424n n n n n nm ⎡⎤⎡⎤----+⎣⎦⎣⎦∴===--+-+-+-+ m Z ∈ 且()24nZ --∈ ∴只需()824nZ ∈-+,即()241,2,4,8n-+=±±±±经计算可得：1,2,3n =时,()824nZ ∈-+∴ 解得：123,,2114n n n m m m ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨=-==-⎩⎩⎩ ∴ 共有三组符合题意：()()()2,1,1,2,14,3--【点评】（1）在第（2）问中,要注意n 的取值范围变化,并且要把n 所能取到的最小值代入到递推公式中以了解递推公式从第几项开始满足.（2）二元不定方程在求解时,参变分离是一种方式,通过变形让两变量分居不等号的两侧,这样可以以一侧作为突破口（比如本题中的整除问题）,来求得变量的解 (三) 不等式估值法【例3】已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列,n S 是其前n 项和,且满足221n n a S -=,令11n n n b a a +=,数列{}n b 的前n 项和为n T（1）求数列{}n a 的通项公式及n T（2）是否存在正整数(),1m n m n <<,使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在,求出所有的,m n 的值；若不存在,请说明理由.（2）【分析】先假定存在满足条件的,m n ,则由21mn T T T =⋅可得()22132121m n n m =⋅++,无法直接得到不等关系,考虑变形等式：()222163m n m n++=,分离参数可得：24132m m n +-=,以30n >为突破口可解出m 的范围122⎛-+ ⎝⎭,从而确定m 的值后即可求出n【解析】假设存在(),1m n m n <<,则21m n T T T =⋅即()()222222211634416332121m m n n m m n n m n m nm +++++=⋅⇒=⇒=++241346m m n ∴++=+即241320m m n+-=> 222410m m m -++∴>解得：1122m -<<+ 2m ∴=,代入可得：234112224n =+-=,解得：12n = ∴存在2,12m n ==,使得1,,m n T T T 成等比数列【牛刀小试】已知{}n a 为等差数列,前n 项和为n S ,若4224,21n n S S a a ==+ （1）求n a（2）对m N *∀∈,将{}n a 中落入区间()22,2m m 内项的个数记为{}m b① 求m b ② 记2122m m m c b -=-,{}m c 的前m 项和记为m T ,是否存在,m t N *∈,使得111m m t T t T t c +-=-+成立？若存在,求出,m t 的值；若不存在,请说明理由1114122m m t t +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,得到关于,m t 的不定方程,可考虑对,m t 进行变量分离1142142mt t --⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭,以等式左右边的符号作为突破口（左边为正数）,得到40t ->,即{}1,2,3t ∈,然后代入t 解出符合条件的m 即可111144222m mtt -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-⋅-=⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1142142mtt --⎛⎫∴= ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭1110,4022mt-⎛⎫⎛⎫>+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭{}401,2,3t t ∴->⇒∈1t =时,解得：12133log 255mm Z ⎛⎫=⇒=∉ ⎪⎝⎭（舍）2t =时,解得：12111log 233mm Z ⎛⎫=⇒=∉ ⎪⎝⎭（舍）3t =时,解得：11328mm Z ⎛⎫=⇒=∈ ⎪⎝⎭存在这样的33m t =⎧⎨=⎩,满足所给方程【点评】1、本题中②的方程,并没有在一开始就将m T 代入,否则运算会复杂的多,所采取的策略为先化简变形,变形完成之后再代入.可简化不必要的运算2、本题在解,m t 的不定方程所用的方法为变量分离法,将两个只含某一字母的式子用等号连接,则两边式子的范围应当一致.以其中一个式子作为突破口（比如12m⎛⎫⎪⎝⎭）,再结合变量必须取整数的条件,便可用不等关系将变量所能取的值确定下来. (四) 反证法【例4】已知数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,且对任意的n N *∈,都有：311222n n n a b a b a b n ++++=⋅ ,若18a =,则：（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式（2）试探究：数列{}n b 中是否存在某一项,它可以表示为该数列中其它(),2r r N r ∈≥项的和？若存在,请求出该项,若不存在,请说明理由（2）【分析】首先要把命题翻译为等式,将其他r 项可设为12,,,r t t t b b b ,设存在某项m b ,则12122222r r t t t m m t t t b b b b =+++⇒=+++,设12r t t t <<<,则同除以12t ,就会出现左右两侧奇偶不同,从而假设不成立【点评】（1）通过本题要学会如何表示数列中某一串项：如果是相邻项,则可表示为：12,,,m m m a a a ++,如果不一定相邻,则可用12,r t t t 作角标,其中1,2,,r 体现出这一串项所成数列中项的序数,而12,r t t t 表示该项在原数列中的序数（2）本题还有一个矛盾点：题目中的r 项不一定为相邻项,但是可通过放缩将右边的项补全,变为从12 一直加到2r t,即1212222222r r ttt t +++≤+++.则21222221m tr tr +≤+++=-①,由整数性质可得1r r m t m t >⇒≥-,所以112221rr t t m++≥>-,与①矛盾,所以不存在.【牛刀小试】已知数列{}{},n n a b 满足1123,2,,1n n n n n n a a b b a b n N a *+⎛⎫===-∈ ⎪+⎝⎭（1）求证：数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,并求数列{}n b 的通项公式（2）设数列{}n c 满足25n n c a =-,对于任意给定的正整数p ,是否存在正整数(),q r p q r <<,使得111,,p q rc c c 成等差数列？若存在,试用p 表示,q r ；若不存在,请说明理由【解析】（1）12211nn n nn n n n a b a b a b a a +⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭ 22n n n na b a b =⇒=1422221n nn n nb b b b b +∴=-=++p q r << 2,3q r ∴≥≥211,112121q r <+>-- 2112121q r ∴=+--不成立当2p ≥时,111,,p q rc c c 成等差数列,同理可得： 211212121q p r =+--- ()()1214212121212121p q r q p p q --∴=-=-----()()21212221421421p q pq p q r r p q p q --+-∴-=⇒=----∴设21q p =-,此时2452r p p =-+2p ≥ ()2221,4734110q p p r q p p p p ∴=->-=-+=-+->∴21q p =-,2452r p p =-+符合题意综上所述：1p =时,不存在满足条件的,q r2p ≥时,存在21q p =-,2452r p p =-+五、迁移运用1．【江苏省常州2018届高三上学期期末】已知各项均为正数的无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足1a a =（其中a 为常数）,()()111n n nS n S n n +=+++ ()*n N∈.数列{}nb满足)*nbn N =∈.（1）证明数列{}n a 是等差数列,并求出{}n a 的通项公式；（2）若无穷等比数列{}n c 满足：对任意的*n N ∈,数列{}n b 中总存在两个不同的项s b , t b ()*,s t N ∈使得s n t b c b ≤≤,求{}n c 的公比q .因此1nS n a n=-+,即()21n S n a n =+-.因为对任意*n N ∈,总存在数列{}n b 中的两个不同项s b , t b ,使得s n t b c b ≤≤,所以对任意的*n N ∈都有nc∈⎝,明显0q>.若1q>,当1logn≥+时,有111n nnc c q--=>≥不符合题意,舍去；若01q<<,当1logn≥+,有11nnc c q-=≤1n-≤不符合题意,舍去；故1q=.2．【江苏省镇江市2018届高三上学期期末】已知数列{}n a的前n项和n S,对任意正整数n,总存在正数,,p q r使得1nna p-=, nnS q r=-恒成立：数列{}n b的前n项和n T,且对任意正整数n, 2n nT nb=恒成立.（1）求常数,,p q r的值；（2）证明数列{}n b为等差数列；（3）若12b=,记31222224nn n nn bn b n bPa a a+++=++1212222n nn nn nn b n ba a---+++⋯++,是否存在正整数k,使得对任意正整数n, n P k≤恒成立,若存在,求正整数k的最小值,若不存在,请说明理由.∴③-④得： ()121n n n b nb n b -=--,即()()121n n n b n b --=-⑤, 又∵()11n n n b nb +-=⑥∴⑤+⑥得： ()()()112211n n n n b n b n b -+-=-+-,即112n n n b b b -+=+ ∴{}n b 为等差数列.（3）∵10b =, 22b =,由（2）知{}n b 为等差数列 ∴22n b n =-. 又由（1）知12n n a -=,∴122222n n nn n P -+=+ 2322444222n n n n ----+++,3．【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研】若数列{}n a 同时满足：①对于任意的正整数n , 1a n a a +≥恒成立；②对于给定的正整数k , 2n k n k n a a a -++=对于任意的正整数()n n k >恒成立,则称数列{}n a 是“()R k 数列”. （1）已知22,,{2,,n n n a n n -=为奇数为偶数判断数列{}n a 是否为“()2R 数列”,并说明理由；（2）已知数列{}n b 是“()3R 数列”,且存在整数(1)p p >,使得33p b -, 31p b -, 31p b +, 33p b +成等差数列,证明： {}n b 是等差数列.【解析】（1）当n 为奇数时, ()()1212130n n a a n n +-=+--=>,所以1n n a a +≥.22n n a a -++= ()()()2212212212n n n n a --++-=-=.当n 为偶数时, ()121210n n a a n n +-=+-=>,所以1n n a a +≥.22n n a a -++= ()()222242n n n n a -++==.若210d d ->,则当12121b b d n d d -+>-时,②不成立；若210d d -=,则①和②都成立,所以12d d =.同理得： 13d d =,所以123d d d ==,记123d d d d ===. 设31333131p p p p b b b b --+--=- 3331p p b b λ++=-=, 则()()()313231311n n p p b b b n p d b n p d ---+-=+--+--3131p p b b d d λ-+=-+=-.同理可得： 331313n n n n b b b b d λ-+-=-=-,所以1n n b b d λ+-=-. 所以{}n b 是等差数列.【另解】3133p p b b λ--=- ()()()2312b p d b p d =+--+- 23b b d =-+,3131p p b b λ+-=- ()()12121b pd b p d b b d =+-+-=-+, 3331p p b b λ++=- ()3131b pd b pd b b =+-+=-,以上三式相加可得： 32d λ=,所以23d λ=, 所以()3211n b b n d -=+- ()13213db n =+-+,()3121n b b n d -=+- ()11b d n d λ=+-+- ()13113d b n =+--, ()331n b b n d =+- ()11b n d λ=++- ()1313d b n =+-,所以()113n d b b n =+-,所以13n n d b b +-=, 所以,数列{}n b 是等差数列.4．【江苏省南通市如皋中学2017-2018学年第一学期高三第二次阶段测试】已知数列{a n }的首项135a =, 1321n n n a a a +=+, *n N ∈．(1)求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；(2)记12111n nS a a a =+++,若S n <100,求最大正整数n ； (3)是否存在互不相等的正整数m ,s ,n ,使m ,s ,n 成等差数列,且a m －1,a s －1,a n －1成等比数列？如果存在,请给以证明；如果不存在,请说明理由．5．【江苏省徐州市铜山中学2018届高三第一学期期中】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21n n S a =-,*n N ∈,数列{}n b 满足()()111n n nb n b n n +-+=+, *n N ∈,且11b =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n c a =数列{}n c 的前n 项和为n T ,对任意的*n N ∈,都有n n T nS a ≤-,求实数a 的取值范围.（3）是否存在正正数,m n ,使1,,(1)m n b a b n >成等差数列？若存在,求出所有满足条件的,m n ；若不存在,请说明理由.所以12+1n n T n =-⋅（）,由（1）得2121n n n S a =-=-,6．【江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期中】已知数列{}n a 满足1133,1,{1,n n n a n n a a a n n ++==---为奇数，为偶数，记数列{}n a 的前n 项和为2,n n n S b a =, *.n N ∈（1）求证：数列{}n b 为等比数列,并求其通项n b ；（2）求n S ；（3）问是否存在正整数n ,使得212n n n S b S +>>成立？说明理由. 【解析】因为()12221213321363n n n n b a a n a n ++++==++=++ ()22321633n n a n n a =---++=- ,即1123,6n n b b b a +=-==又 ,所以()23nn b =--.（3）假设存在正整数n ,使得212n n n S b S +>> 成立,因为()22121n S n +=-+ , ()22223nn S n =--- , 所以只要()()()222123223nnn n -+>-->---即只要满足 ①：22n > ,和②：()()22321n n -+>+ ,对于①只要2n ≥ 就可以；对于②,当n 为奇数时,满足()22321nn -⋅+>+ ,不成立,当n 为偶数时,满足()22321nn ⋅+>+,即22123nn n +-> 令2213n nn n c +-= ,因为()22222222321812160333n nn n n n n n n n n c c +++++++---+-=-=<即2n n c c +< ,且当2n = 时, 22123nn n +->, 所以当n 为偶数时,②式成立,即当n 为偶数时, 212n n n S b S +>>成立 . 7．【】江苏省徐州市2018届高三上学期期中】已知数列的前项和为,满足,．数列满足,,且．（1）求数列和的通项公式；（2）若,数列的前项和为,对任意的,都有,求实数的取值范围；（3）是否存在正整数,,使,,（）成等差数列,若存在,求出所有满足条件的,,若不存在,请说明理由．从而数列的通项公式为．（2）由（1）得,于是,所以两式相减得, 所以,由（1）得,8．【2017-2018学年度第一学期江苏省常州北郊华罗庚江阴高中三校联考】已知数列{}n a 的首项为2,前n 项的和为n S ,且111241n n n a a S +-=-（*n N ∈）．（1）求2a 的值；（2）设1nn n na b a a +=-,求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在正整数n ,使得3n na a +为整数,若存在求出n ,若不存在说明理由. 【解析】（1）易得2143a =．因为112134a b a a ==-,所以数列{}n b 的通项公式为14n b n =-．（3）由（2）知,114n n n a n a a +=--,所以114311414n na n a n n ++=+=--,所以()141141n n a a n n +=+--,所以数列41n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是常数列．由124113a =⨯-,所以()2413n a n =-．则34111214141n n a n a n n ++==+--, 注意到413n -≥,且41n -为12的约数,所以413,4,6,12n -=,由*n N ∈知1n =．9.已知{}n a 为等差数列,前n 项和为n S ,若4224,21n n S S a a ==+ （1）求n a（2）对m N *∀∈,将{}n a 中落入区间()22,2m m 内项的个数记为{}m b① 求m b ② 记2122m m m c b -=-,{}mc 的前m 项和记为m T ,是否存在,m t N *∈,使得111m m t T t T t c +-=-+成立？若存在,求出,m t 的值；若不存在,请说明理由1114122m m t t +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,得到关于,m t 的不定方程,可考虑对,m t 进行变量分离1142142mt t --⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭,以等式左右边的符号作为突破口（左边为正数）,得到40t ->,即{}1,2,3t ∈,然后代入t 解出符合条件的m 即可解：由①可得：212122m m m c --⎛⎫== ⎪⎝⎭12121411212m m m T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦∴==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-由111m m t T t T t c +-=-+可得：。

普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案

普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案普通高等学校招生全国统一考试模拟试题——文科数学（二）本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 $A=\{x|x-\frac{1}{2}<0\}$，$B=\{x|x-\frac{(2a+8)}{a(a+8)}<0\}$，若 $A\cap B=A$，则实数 $a$ 的取值范围是A。

$(-4,-3)$B。

$[-4,-3]$C。

$(-\infty,-3)\cup(4,+\infty)$D。

$(-3,4)$2.已知复数 $z=\frac{3+i}{2-3i}$，则 $z$ 的实部与虚部的和为A。

$-\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$B。

$-\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$C。

$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$D。

$\frac{3}{5}+\frac{2}{5}i$3.某景区管理部门为征求游客对景区管理方面的意见及建议，从景区出口处随机选取 $5$ 人，其中 $3$ 人为跟团游客，$2$ 人为自驾游散客，并从中随机抽取 $2$ 人填写调查问卷，则这 $2$ 人中既有自驾游散客也有跟团游客的概率是A。

$\frac{2}{3}$B。

$\frac{1}{5}$C。

$\frac{2}{5}$D。

$\frac{3}{5}$4.已知双曲线 $E:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为$\frac{\sqrt{10}}{3}$，斜率为 $-\frac{3}{2}$ 的直线 $l$ 经过双曲线的右顶点 $A$，与双曲线的渐近线分别交于 $M$，$N$ 两点，点 $M$ 在线段$AN$ 上，则 $\frac{AN}{AM}$ 等于A。

江苏省无锡市南菁高级中学2018年高三数学理联考试题含解析

江苏省无锡市南菁高级中学2018年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则( )A. B. C. D.参考答案：D略2. 已知数列满足（），则a10 =A．e26 B．e29C．e32 D．e35参考答案：C3. 设等差数列的前n项和为，若，则必有A．且 B．且C．且 D．且参考答案：A4. 函数y＝xe x的最小值是()A. －1B. －eC. －D. 不存在参考答案：C【分析】先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，进而确定最值. 【详解】y′＝e x＋xe x＝(1＋x)e x，令y′＝0，则x＝－1，因为x<－1时，y′<0，x>－1时，y′>0，所以x＝－1时，y min＝－.选C.【点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用得可疑最值点，如导函数不变号，则根据函数单调性确定最值点在对应区间端点取得；第二步：比较极值同端点值的大小．在应用题中若极值点唯一，则极值点为开区间的最值点.5. 已知数列{a n}中，，，若，则n的最大取值为（）A. 4B. 5C. 6D. 7参考答案：D【分析】利用等比数列的定义求出，解不等式，即可求出。

【详解】，数列是公比，首项为的等比数列，，由，得的最大值为.故选D。

【点睛】本题主要考查等比数列的定义的应用。

6. 已知椭圆的左焦点为与过原点的直线相交于两点，连接若则的离心率为 ( )（A）（B）（C）（D）参考答案：C7. 已知a＞0，b＞0，且ab＝1，α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值为()A．8 B．9 C．10 D．12参考答案：C8. 函数y=x+cosx的大致图象是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】函数的图象与图象变化；函数的图象．【专题】计算题；数形结合．【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、C两个选项，再看此函数与直线y=x的交点情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f（x）=x+cosx，∴f（﹣x）=﹣x+cosx，∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A、C；又当x=时，x+cosx=x，即f（x）的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为，排除D．故选：B．【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，属于中档题．9. 函数的图像可以是参考答案：C略10. 已知、均为正数，且满足，则的最大值是（）A. B. 4 C. 5 D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是 .参考答案：12. 已知函数，则________.参考答案：-213. 函数，使的的值是 .参考答案：－214. 二项式（x﹣）6的展开式中x4的系数是．参考答案：6考点：二项式定理．专题：二项式定理．分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项；令x的指数为4，求出展开式中x4的系数解答：解：展开式的通项为T r+1=，令6﹣r﹣r=4，解得r=1，此时T2=C61x4=6x4，则展开式中x4的系数是6，故答案为：6点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，求出展开式的通项公式是解决本题的关键．15. 函数的定义域为____________.参考答案：16. 函数的最大值为．参考答案：略17. 观察下列各式：13=1，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…，由此推得：13+23+33…+n3= ．参考答案：【考点】F1：归纳推理．【分析】根据题意，分析题干所给的等式可得：13+23=（1+2）2=32，13+23+33=（1+2+3）2 =62，13+23+33+43=（1+2+3+4）2 =102，进而可得答案．【解答】解：根据题意，分析题干所给的等式可得：13+23=（1+2）2=32，13+23+33=（1+2+3）2 =62，13+23+33+43=（1+2+3+4）2 =102，则13+23+33+43+…+n3=（1+2+3+4+…+n）2 =[]2=，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

江苏无锡市2018年高三年级上学期期末检测数学试题含解析

无锡市普通高中2017年秋学期高三期终调研考试试卷数学一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．.）1. 已知集合，，若，则实数__________．【答案】3【解析】 ,故2. 若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数__________．【答案】6【解析】为纯虚数，故3. 某高中共有学生2800人，其中高一年级960人，高三年级900人，现采用分层抽样的方法，抽取140人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为__________．【答案】47【解析】由已知，高二年级人数为，采用分层抽样的方法，则抽取高二的人数为 .4. 已知，直线，，则直线的概率为_________．【答案】【解析】由已知，若直线与直线垂直，则，使直线的，故直线的概率5. 根据如图所示的伪代码，当输入的值为3时，最后输出的的值为__________．【答案】21【解析】由图中的伪代码逐步运算：，;①是，,，;②是，,，;③是，,，;④否，输出。

6. 直三棱柱中，已知，，，，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________．【答案】【解析】是直三棱柱，，又三棱柱的所有顶点都在同一球面上，是球的直径，；，，；故该球的表面积为7. 已知变量满足，目标函数的最小值为5，则的值为__________．【答案】5【解析】如图为满足条件的可行域，由得，当直线过点时有最小值5，此时，解得坐标为，代入得 .【点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：1.在坐标系中作出可行域；2.根据目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；3. 确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从面确定最优解；4.求最值：将最解代入目标函数即可求最大值与最小值.8. 函数的图像向右平移个单位后，与函数的图像重合，则__________．【答案】【解析】平移后的函数的解析式为，此时图像与函数的图像重合，故, 即 .9. 已知等比数列满足，且，，成等差数列，则的最大值为__________．【答案】1024【解析】由已知得；当或时得最大值 . 【点睛】本题有以下几个关键之处：1.利用方程思想求得首项和公比，进而求得通项；2.利用转化化归思想将问题转化为二次函数最值问题；3.本题易错点是忽视的取值是整数，而误取 .10. 过圆内一点作两条相互垂直的弦和，且，则四边形的面积为__________．【答案】19【解析】根据题意画出上图，连接，过作，，为的中点，为的中点，又，，∴四边形为正方形，由圆的方程得到圆心，半径，【点睛】本题的关键点有以下：1.利用数形结合法作辅助线构造正方形；2.利用勾股定理求解.11. 已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为__________．【答案】8【解析】由已知，，；又双曲线与椭圆焦点重合，离心率互为倒数，，则双曲线；在右支上，根据双曲线的定义有，，故的最小值为 .【点睛】解答本题有3个关键步骤：1、利用双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数求出曲线方程；2、利用双曲线定义求出；3、将代入整理后再利用基本不等式求出最小值.12. 在平行四边形中，，，，为的中点，为平面内一点，若，则__________．【答案】6【解析】13. 已知函数，.若存在，使得，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】当时，在恒成立在为减函数，当时；当时，.综上，欲使成立需：.【点睛】本题的解题关键是利用导数工具和函数的单调性取得函数，再利用图像的对称原原理将问题转化为，从而求得正解.14. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由已知可得，当时，要使得原命题成立需：；当时，要使得原命题成立需：.综上 .二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 如图，是菱形，平面，，.（1）求证：平面；（2）求证：平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析...............................试题解析：（1）证明：因为平面，所以.因为是菱形，所以，因为所以平面.（2）证明：设，取中点，连结，所以，且.因为，，所以且，从而四边形是平行四边形，.因为平面，平面，所以平面，即平面.16. 在中，角的对边分别为，，. （1）求的值；（2）若，求的周长.【答案】（1）.（2）15.【解析】试题分析：（1）由三角形内角关系结合两角和与差公式有，所以根据已知条件求出即可求出 . （2）根据正弦定理结合，即可求出的值，再利用余弦定理，求出的值.试题解析：（1）因为，所以.在中，因为，所以，因为，所以，所以.（2）根据正弦定理，所以，又，所以，.，.所以的周长为15.17. 如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以为圆心，半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线，其中为上异于的一点，与平行，设.（1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小；（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：（1）利用扇形弧长公式求出，利用直角三角形边角关系求出，则总长为，求出为减函数，命题得证.（2）设单位成本为，则总成本为，，求出，求出，分两区间讨论的单调性，以证明为极小值点.试题解析：（1）由题意，，所以，又，所以观光专线的总长度，，因为当时，，所以在上单调递减，即观光专线的总长度随的增大而减小.（2）设翻新道路的单位成本为，则总成本，，，令，得，因为，所以，当时，，当时，.所以，当时，最小.答：当时，观光专线的修建总成本最低.【点睛】在一定条件下“成本最低”、“用料最省”、“面积最大”、“效率最高“等问题，在生产、生活中经常遇到，在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外，还可用求导法求函数的最值，但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.18. 已知椭圆的离心率为，分别为左，右焦点，分别为左，右顶点，原点到直线的距离为.设点在第一象限，且轴，连接交椭圆于点.（1）求椭圆的方程；（2）若三角形的面积等于四边形的面积，求直线的方程；（3）求过点的圆方程（结果用表示）.【答案】（1）.（2）.（3）.【解析】试题分析：（1）由离心率为，得，，利用两点坐标可得的方程为，由圆心到时直线的距离公式求得，则.（2）设，，由两点的坐标可得直线的方程，与椭圆的方程联立可得的坐标（的横、纵坐标分别是的高），代入三角形的面积公式结合面积相等的条件即得关于的方程求出，最后再将代入PA方程即可得所求. （3）所求圆的圆心为的垂直平分线的交点，利用三点的坐标即可得的垂直平分线的方程，两个方程联立即可求得圆心的坐标，再代入圆的标准方程即可得所求.试题解析：（1）因为椭圆的，所以，，所以直线的方程为，又到直线的距离为，所以，所以，，所以椭圆的方程为.（2）设，，直线的方程为，由，整理得，解得：，则点的坐标是，因为三角形的面积等于四边形的面积，所以三角形的面积等于三角形的面积，，，则，解得.所以直线的方程为.（3）因为，，，所以的垂直平分线，的垂直平分线为，所以过三点的圆的圆心为，则过三点的圆方程为，即所求圆方程为.19. 已知数列满足，，是数列的前项的和.（1）求数列的通项公式；（2）若，，成等差数列，，18，成等比数列，求正整数的值；（3）是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）.（2），.（3）或14.【解析】试题分析：（1）当时，，，当时，由列是首项为2，公差为1的等差数列.（2）建立方程组，或.当，当无正整数解，综上，.（3）假设存在正整数，使得，，或，，，（舍去）或14.试题解析：（1）因为，，所以当时，，，当时，由和，两式相除可得，，即所以，数列是首项为2，公差为1的等差数列.于是，.（2）因为，30，成等差数列，，18，成等比数列，所以，于是，或.当时，，解得，当时，，无正整数解，所以，.（3）假设存在满足条件的正整数，使得，则，平方并化简得，，则，所以，或，或，解得：，或，，或，（舍去），综上所述，或14.20. 已知函数，，其中.（1）求过点和函数的图像相切的直线方程；（2）若对任意，有恒成立，求的取值范围；（3）若存在唯一的整数，使得，求的取值范围.【答案】（1），.（2）.（3）.【解析】试题分析：（1）先设切点为，切线斜率为，再建立切线方程为，将代入方程可得，即，进而求得切线方程为：或.（2）将问题转化为对任意有恒成立，①当时，，利用导数工具求得，故此时；②当时，恒成立，故此时；③当时，，利用导数工具求得，故此时.综上：.（3）因为，由（2）知，当，原命题等价于存在唯一的整数成立，利用导数工具求得；当，原命题等价于存在唯一的整数成立，利用导数工具求得.综上：.试题解析：（1）设切点为，，则切线斜率为，所以切线方程为，因为切线过，所以，化简得，解得.当时，切线方程为，当时，切线方程为.（2）由题意，对任意有恒成立，①当时，，令，则，令得，，故此时.②当时，恒成立，故此时.③当时，，令，，故此时.综上：.（3）因为，即，由（2）知，令，则当，存在唯一的整数使得，等价于存在唯一的整数成立，因为最大，，，所以当时，至少有两个整数成立，所以.当，存在唯一的整数使得，等价于存在唯一的整数成立，因为最小，且，，所以当时，至少有两个整数成立，所以当时，没有整数成立，所有.综上：.数学（加试题）说明：解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21. 选修4-2：矩阵与变换已知矩阵，若矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.【答案】.【解析】试题分析：先由和求得和求得，从而求得，可得.试题解析：由矩阵属于特征值的一个特征向量为可得，，即；得，由矩阵属于特征值的一个特征向量为，可得，即；得，解得.即，22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆的极坐标方程是，且直线与圆相交，求实数的取值范围.【答案】【解析】试题分析：由，得的方程为，求出圆心半径；由的参数方程得；与圆相交,则圆心到直线的距离，即可得.试题解析：由，得，所以，即圆的方程为，又由，消，得，由直线与圆相交，所以，即.【点睛】已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离与半径的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围.23. 某公司有四辆汽车，其中车的车牌尾号为0，两辆车的车牌尾号为6，车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车.已知两辆汽车每天出车的概率为，两辆汽车每天出车的概率为，且四辆汽车是否出车是相互独立的.该公司所在地区汽车限行规定如下：（1）求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率；（2）设表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）.（2）见解析.试题解析：（1）记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件，则：该公司在星期四最多有一辆汽车出车.∴.答：该公司在星期四至少有两辆汽车出行的概率为.（2）由题意，的可能值为0，1，2，3，4；；；；..答：的数学期望为.【点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥人事件的和；二是先求对立事件的概率，进而求所求事件的概率，本题词的第（1）题采用的是法二.24. 在四棱锥中，是等边三角形，底面是直角梯形，，，是线段的中点，底面，已知.（1）求二面角的正弦值；（2）试在平面上找一点，使得平面.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）为坐标原点，建立空间直角坐标系，即可得到各点的坐标及平面的法向量为，并求得，进而求出平面的法向量为，即可求出，最后求出.（2）设，根据平面法向量定义得，即， ,再利用建立方程求得，，进而求得点的坐标.试题解析：（1）因为底面，过作，则，以为坐标原点，方向为轴的正半轴，方向为轴的正半轴，方向为轴的正半轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，则，，解得，又平面的法向量为，所以，所以.（2）设点的坐标为，因为平面，所以，即，也即，，又，，，所以，所以得，，即，，，所以，所以点的坐标为.。

(完整版)2018江苏高考数学试题及答案word版

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绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每题5小分，共计70分。

请把答案填写在答题卡相应位置上。

1.已知集合==-{0,1,2,8},{1,1,6,8}A B ,那么A B ⋂=__________.2.若复数z 满足12i z i ⋅=+,其中i 是虚数单位,则z z 的实部为__________.3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为__________.4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为__________.5.函数()2log 1f x =-__________.6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率是__________.7.已知函数sin(2)()22y x ππϕϕ=+-<<的图像关于直线3x π=对称,则ϕ的值是__________.8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为32c ,则其离心率的值是__________. 9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x R +=∈,且在区间(2,2)-上cos ,022()1||,202x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩,则((15))f f 的值为__________.10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为__________.11.若函数32()21()f x x ax a R =-+∈在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为__________.12.在平面直角坐标系xOy 中, A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点, ()5,0B 以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ,若0AB CD ⋅=,则点A 的横坐标为__________. 13.在ABC ∆中,角,,A B C 所对应的边分别为,,,120,a b c ABC ABC ∠=∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为__________.14.已知集合{}{}**|21,,|2,n A x x n n N B x x n N ==-∈==∈,将A B ⋃的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列的前n 项和,则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为__________.二、解答题15.在平行四边形1111ABCD A B C D -中, 1111,AA AB AB B C =⊥1.求证: //AB 平面11A B C2.平面11ABB A ⊥平面1A BC 16.已知,αβ为锐角, ()45tan ,cos 35ααβ=+=- 1.求cos2α的值。

江苏省无锡市北高级中学2018年高三数学文上学期期末试卷含解析

江苏省无锡市北高级中学2018年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设集合，集合，则=（A）（B）（C）（D）参考答案：B2. 在区间上随机取一个数，则事件：“”的概率为（）A． B ． C．D．参考答案：C3. 若命题，则对命题p的否定是( ) A．?x∈[﹣3，3]，x2+2x+1＞0B．?x∈（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），x2+2x+1＞0C．D．参考答案：A【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．解：命题为特称命题，则命题的否定是全称命题，故命题的否定为：?x∈[﹣3，3]，x2+2x+1＞0，故选：A．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4. 已知函数，则关于x的方程的实根个数不可能为（）A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个参考答案：A【分析】以f（x）＝1的特殊情形为突破口，解出x＝1或3或或﹣4，将x+﹣2看作整体，利用换元的思想方法进一步讨论．【详解】∵函数，即f（x）＝，因为当f（x）＝1时，x＝1或3或或﹣4，则当a＝1时，x+﹣2＝1或3或或﹣4，又因为x+﹣2≥0或x+﹣2≤﹣4，所以，当x+﹣2＝﹣4时只有一个x＝﹣2与之对应．其它情况都有2个x值与之对应，故此时所求的方程有7个根，当1＜a＜2时，y＝f（x）与y＝a有4个交点，故有8个根；当a＝2时，y＝f（x）与y＝a有3个交点，故有6个根；综上：不可能有5个根，故选：A．【点睛】本题考查分段函数、函数的零点等知识，属于中档题．5. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是参考答案：B略6. 已知命题,使命题,都有给出下列结论：①命题“”是真命题②命题“”是假命题③命题“”是真命题④命题“”是假命题其中正确的是（）A.①②③B.③④C.②④D.②③参考答案：D.试题分析：由，知命题是假命题，由，知命题是真命题，可判断②、③正确.考点：全称命题的真假判断.7. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D.参考答案：B【知识点】由三视图求面积、体积．BG2解析：几何体是一个简单组合体，是一个圆柱里挖去一个圆锥，所以体积为,故选B.【思路点拨】几何体是一个简单组合体，是一个圆柱里挖去一个圆锥，用圆柱的体积减去圆锥的体积即可．8. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A． B．C． D．参考答案：D略9. 已知函数,则（）A． B． C． D．参考答案：A10. 定义在R上的可导函数满足，记的导函数为，当时恒有．若，则m的取值范围是A．B．C．D．参考答案：D构造函数，所以构造函数，，所以的对称轴为，所以，是增函数；是减函数。

2018-2019学年江苏省无锡市高三(上)期末数学试卷

2018-2019学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷副标题题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共42.0分）1. 设集合A ={x |x ＞0}，B ={x |-2＜x ＜1}，则A ∩B =______．2. 设复数z 满足（1+i ）z =1-3i （其中i 是虚数单位），则z 的实部为______．3. 有A ，B ，C 三所学校，学生人数的比例为3：4：5，现用分层抽样的方法招募n名志愿者，若在A 学校恰好选出9名志愿者，那么n =______．4. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为______．5. 执行如图的伪代码，则输出x 的值为______．6. 已知x ，y 满足约束条件{x −y +1≥02x −y ≤0x ≥0，则z =x +y 的取值范围是______．7. 在四边形ABCD 中，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +2b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-4a ⃗ -b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a ⃗ -3b ⃗ ，其中，a ⃗ ，b ⃗ 是不共线的向量，则四边形ABCD 的形状是______． 8. 以双曲线x 25-y 24=1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是______．9. 已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于______． 10. 设公差不为零的等差数列{a n }满足a 3=7，且a 1-1，a 2-1，a 4-1成等比数列，则a 10等于______ 11. 已知θ是第四象限角，且cosθ=45，那么sin(θ+π4)cos(2θ−6π)的值为______．12. 已知直线y =a （x +2）（a ＞0）与函数y =|cos x |的图象恰有四个公共点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），其中x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则x 4+1tanx 4=______．13. 已知点P 在圆M ：（x -a ）2+（y -a +2）2=1上，A ，B 为圆C ：x 2+（y -4）2=4上两动点，且AB =2√3，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是______． 14. 在锐角三角形ABC 中，已知2sin 2A +sin 2B =2sin 2C ，则1tanA +1tanB +1tanC 的最小值为______．二、解答题（本大题共10小题，共132.0分）15. 在△ABC 中，设a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知向量m⃗⃗⃗ =（a ，sin C -sin B ），n ⃗ =（b +c ，sin A +sin B ），且m ⃗⃗⃗ ∥n ⃗ （1）求角C 的大小（2）若c =3，求△ABC 的周长的取值范围．16. 在四棱锥P -ABCD 中，锐角三角形PAD 所在平面垂直于平面PAB ，AB ⊥AD ，AB ⊥BC ．（1）求证：BC ∥平面PAD ；（2）平面PAD ⊥平面ABCD ．17. 十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2020年底全面脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作．经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收人为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数．从2018年初开始，若该村抽出5x 户（x ∈Z ，1≤x ≤9）从事水果包装、销售．经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收人每户平均比上一年提高x20，而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为（3-14x ）万元（参考数据：1.13=1.331，1.153≈1.521，1.23=1.728）．（1）至2020年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫（每户年均纯收人不低于1万6千元），至少抽出多少户从事包装、销售工作？（2）至2018年底，该村每户年均纯收人能否达到1.35万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由．18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，且过点（√3，12），点P 在第四象限，A 为左顶点，B 为上顶点，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点 D ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求△PCD 面积的最大值．19. 已知函数f （x ）=e x -a2x 2-ax （a ＞0）．（1）当a =1时，求证：对于任意x ＞0，都有f （x ）＞0成立；（2）若函数y =f （x ）恰好在x =x 1和x =x 2两处取得极值，求证：x 1+x 22＜ln a ．20. 设等比数列{a n }的公比为q （q ＞0，q =1），前n 项和为Sn ，且2a 1a 3=a 4，数列{b n }的前n 项和Tn 满足2T n =n （b n -1），n ∈N *，b 2=1．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）是否存在常数t ，使得{S n +12t }为等比数列？说明理由；（3）设c n =1bn +4，对于任意给定的正整数k （k ≥2），是否存在正整数l ，m （k ＜l＜m ），使得c k ，c 1，c m 成等差数列？若存在，求出l ，m （用k 表示），若不存在，说明理由．21. 设旋转变换矩阵A =[0−110]，若[ab12]•A =[34c d ]，求ad -bc 的值．22. 自极点O 作射线与直线ρcosθ=3相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM •OP =12，若Q 为曲线{x =−1+√22ty =2+√22t（t 为参数）上一点，求PQ 的最小值．23. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 上的动点M （x ，y ）（x ＞0）到点F （2，0）的距离减去M 到直线x =-1的距离等于1．（1）求曲线C 的方程；（2）若直线y =k （x +2）与曲线C 交于A ，B 两点，求证：直线FA 与直线FB 的倾斜角互补． 24. 已知数列{a n }满足a 1=23，1an−1=2−a n−1an−1−1（n ≥2）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{a n }的前n 项和为S n ，用数学归纳法证明：S n ＜n +12-ln （n+32）．答案和解析1.【答案】{x|0＜x＜1}【解析】解：∵A={x|x＞0}，B={x|-2＜x＜1}；∴A∩B={x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．进行交集的运算即可．考查描述法表示集合的定义，以及交集的运算．2.【答案】-1【解析】解：由（1+i）z=1-3i，得z=，∴z的实部为-1．故答案为：-1．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】36【解析】解：∵学生人数比例为3：4：5，A高校恰好抽出了9名志愿者，∴n=9÷=36，故答案为：36．学生人数比例为3：4：5，用分层抽样方法抽取n名志愿者，每个个体被抽到的概率相等，A高校恰好抽出了9名志愿者，即可求出一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本．这样使得样本更具有代表性．4.【答案】13【解析】解：现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，基本事件总数n=3×3=9，田忌的马获胜包含的基本事件有：m=3种，∴田忌的马获胜的概率p===．故答案为：．基本事件总数n=3×3=9，田忌的马获胜包含的基本事件有：m=3种，由此能求出田忌的马获胜的概率．本题考查概率的求法，考查等可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5.【答案】25【解析】解：模拟程序的运行过程，如下；x=0，执行循环体，x=1，x=1不满足条件x＞20，执行循环体，x=2，x=4不满足条件x＞20，执行循环体，x=5，x=25满足条件x＞20，终止循环，程序运行后输出x=25．故答案为：25．分析程序的功能，计算x的值，根据循环条件得出程序运行后输出的x值．本题考查了程序语言的应用问题，考查了对应思想的应用，属于基础题．6.【答案】[0，3]【解析】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数为y=-x+z，由图可知，当直线y=-x+z与原点（0，0）时，z有最小值0；当直线y=-x+z过A（1，2）时，z有最大值3．∴z=x+y的取值范围是[0，3]．故答案为：[0，3]．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．7.【答案】梯形【解析】解：∵，，，∴=++=-8=2故AD与BC平行，且长度不等故四边形ABCD是以AD和BC为底边的梯形故答案为：梯形由已知四边形ABCD中，，，，且不共线，我们可以求出向量，结合向量平行的性质，我们易判断向量与的关系，进而判断出四边形ABCD的形状．本题考查的知识点是平面向量共线的性质，其中根据=2，判断线段AD与BC的平行关系及长度关系是解答本题的关键．8.【答案】y2=12x【解析】解：双曲线-=1的右焦点为（3，0），∴抛物线的焦点为（3，0），∴抛物线标准方程为y2=12x，故答案为：y2=12x．由双曲线的性质，确定抛物线的焦点坐标，即可求出抛物线标准方程．本题考查双曲线、抛物线的性质，考查抛物线的标准方程，考查学生的计算能力，比较基础．9.【答案】3π【解析】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则母线长为2r，高为．则其侧面积S=2πr2=6π，解得r=．∴圆锥的高为3．其体积V=×π×3×3=3π，故答案为：3π．由题意画出图形，设圆锥的底面半径为r，则母线长为2r，由侧面面积求得r，再由圆锥体积公式求解．本题考查柱、锥、台体体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．10.【答案】21【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，则d≠0，则a1=a3-2d=7-2d，a2=a3-d=7-d，a4=a3+d=7+d，由于a1-1，a2-1，a4-1成等比数列，则，即（6-d）2=（6-2d）（6+d），化简得d2-2d=0，由于d≠0，解得d=2，因此，a10=a3+7d=7+7×2=21．故答案为：21．由已知条件得出，并列出有关公差的方程，求出公差的值，利用等差数列的性质可求出a10的值．本题考查等比数列的性质，解决本题的关键在于将题中条件进行转化，考查计算能力，属于中等题．11.【答案】5√214【解析】解：∵θ是第四象限角，且cosθ=，∴sinθ=-=-，∴===•=•=，故答案为：．利用同角三角函数的基本关系求得sinθ的值，再利用诱导公式、两角和的三角公式求得要求式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式、两角和的三角公式的应用，属于基础题．12.【答案】-2【解析】解：分别作出直线y=a（x+2）（a＞0）与函数y=|cosx|的图象，可得当直线y=a（x+2）与y=|cosx|的图象相切，它们恰有四个公共点，且D为切点，可得y=-cosx的导数为y′=sinx，即a=sinx4，a（x4+2）=-cosx4，即sinx4（x4+2）=-cosx4，则x4+2=-=-，则x4+=-2．故答案为：-2．分别作出直线与函数y=|cosx|的图象，可得当直线y=a（x+2）与y=|cosx|的图象相切，它们恰有四个公共点，D为切点，运用导数的几何意义和同角的商数关系，即可得到所求值．本题考查函数方程的转化思想和数形结合思想，考查导数的几何意义、同角的商数关系，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．13.【答案】19-12√2【解析】解：如图，圆M：（x-a）2+（y-a+2）2=1的圆心M在直线y=x-2上，圆心C到AB的距离为1，点C到直线y=x-2的距离d=，∴AB的中点E到圆心M的最短距离为3-1，∴PE的最小值为3-2．可得•==（PE2-=PE2-3∴•的最小值是19-12．故答案为：19-12．由向量数量积可得•=PE2-=PE2-3，只需求得PE的最小值即可得•的最小值．本题考查了向量的数量积运算，考查了转化思想，属于难题．14.【答案】√132【解析】解：2sin2A+sin2B=2sin2C，由正弦定理得2a2+b2=2c2，结合余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得3b=4ccosA，再由正弦定理得3sinB=4sinCcosA，则3（sinAcosC+cosAsinC）=4sinCcosA，即3tanA=tanC．tanB=-tan（A+C）=．∴++==．当且仅当时取等号．∴++的最小值为．故答案为：．由已知条件结合正弦定理和余弦定理即可求出3tanA=tanC，再利用两角和的正切三角函数公式求出tanB，然后利用基本不等式即可求出答案．本题考查了正弦定理和余弦定理，考查了基本不等式的应用，是中档题．15.【答案】解：（1）由向量m⃗⃗⃗ =（a，sin C-sin B），n⃗=（b+c，sin A+sin B），且m⃗⃗⃗ ∥n⃗，得：a（sin A+sin B）=（b+c）（sin C-sin B）由正弦定理，得：a（a+b）=（b+c）（c-b）化为：a2+b2-c2=-ab，由余弦定理，得：cos C=-12，所以，C=2π3，（2）因为C=2π3，所以，B=π3-A，由B＞0，得：0＜A＜π3，由正弦定理，得：asinA =bsinB=csinC=2√3，△ABC的周长为：a+b+c=2√3（sin A+sin B）+3=2√3[sin A+sin（π3-A）]+3，=2√3sin（A+π3）+3，由0＜A＜π3，得：π3＜A+π3＜2π3，√32＜sin（A+π3）≤1，所以，周长C=2√3sin（A+π3）+3∈（6，2√3+3]．【解析】（1）由向量平行的性质，正弦定理可得a2+b2-c2=-ab，由余弦定理得：cosC=-，即可得解C的值．（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求周长为：a+b+c=2sin（A+）+3，由0＜A＜，利用正弦函数的性质即可求解．本题主要考查了向量平行的性质，正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.【答案】证明：（1）四边形ABCD中，因为AB⊥AD，AB⊥BC，所以，BC∥AD，BC在平面PAD外，所以，BC∥平面PAD，（2）作DE⊥PA于E，因为平面PAD⊥平面PAB，而平面PAD∩平面PAB=AB，所以，DE⊥平面PAB，所以，DE⊥AB，又AD⊥AB，DE∩AD=D，所以，AB⊥平面PAD，AB在平面ABCD内，所以，平面PAD⊥平面ABCD．【解析】（1）证明BC∥AD，然后证明BC∥平面PAD．（2）作DE⊥PA于E，说明DE⊥平面PAB，推出DE⊥AB，结合AD⊥AB，证明AB⊥平面PAD，然后证明平面PAD⊥平面ABCD．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．17.【答案】解：（1）设至2020年底，种植户平均收人=(100−5x)(1+x20)3100−5x≥16，设其解为x≥x0=20（√163-1），由题意所给数据知11.5＜1+x 020＜12，解得3＜x 0＜4，又x ∈Z ，1≤x ≤9，则x ≥4，即至少抽取20户，答：至少抽出20户从事包装、销售工作，（2）设至2018年底，每户平局收入为f （x ）万元，则f （x ）=5x(3−14)x+(100−5x)(1+x 20)100，假设能达到1.35万元，则f （x ）≥1.35，x ∈Z ，1≤x ≤9，则−310x 2+3x+2020≥1.35，即3x 2-30x +70≤0，x ∈Z ，1≤x ≤9，解得x ∈{4，5，6}，答：当抽出从事包装、销售的户数不少于20户且不超过30户时，能达到，否则，不能．【解析】（1设至2020年底，种植户平均收人=≥16，解不等式得x ，即可求出答案；（2）设至2018年底，每户平局收入为f （x ）万元，≥1.35，解不等式得x ，即可求出答案本题主要考查函数在实际生活中的应用、也是高考的热点，它可以综合地考查中学数学思想与方法，体现知识的交汇．18.【答案】解：（1）由已知得c a =√32，⇒ba =12，点（√3，12）代入x 2a 2+y 2b 2=1可得3a 2+14b 2=1．代入点（√3，12）解得b 2=1， ∴椭圆C 的标准方程：x 24+y 2=1．（2）可得A （-2，0），B （0，1）．设P （m ，n ），m ＞0，n ＞0，且.m 24+n 2=1PA ：y =nm+2(x +2)，PB ：n−1mx +1，可得C （0，2nm+2），D （m1−n ，0）．由{y =n−1m x +1y =2n m+2可得x =m(2n−m−2)(n−1)(m+2)． S△PCD=12⋅m(2n−m−2)(n−1)(m+2)⋅(−n)=nm 2+2mn−2mn 22(n−1)(m+2)=n(4−4n 2)+2mn(1−n)2(n−1)(m+2)=-n(2n+m+2)m+2=12(m −2n −2)．设P 处的切线为：x -2y +t =0，t ＜0．{x 2+4y 2−4=0x=2y−t⇒8y 2-4ty +t 2-4=0，△=-16t 2+128=0⇒t =-2√2．此时，方程组的解{x =√2y =−√22即点P （√2，-√22）时，S △PCD 取得最大值，最大值为√2-1．【解析】（1）利用椭圆的离心率求得，将（，）代入椭圆方程，即可求得a 和b的值．（2）设P （m ，n ），m ＞0，n ＞0，且.可得 S ===-=．设P 处的切线为：x-2y+t=0，t ＜0．由⇒8y 2-4ty+t 2-4=0，△=-16t 2+128=0⇒t=-2时．S △PCD 取得最大值，本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19.【答案】证明：（1）当a =1时，f （x ）=e x -12x 2-x ，则f ′（x ）=e x -x -1，∴f ″（x ）=e x -1＞0，（x ＞0）， ∴f ′（x ）=e x -x -1单调递增， ∴f ′（x ）＞f ′（0）=0， ∴f （x ）单调递增，∴f （x ）＞f （0）=1＞0，故对于任意x ＞0，都有f （x ）＞0成立；（2）∵函数y =f （x ）恰好在x =x 1和x =x 2两处取得极值 ∴x 1，x 2是方程f ′（x ）=0的两个实数根，不妨设x 1＜x 2， ∵f ′（x ）=e x -ax -a ，f ″（x ）=e x -a ，当a ≤0时，f ″（x ）＞0恒成立，∴f ′（x ）单调递增，至多有一个实数解，不符合题意，当a ＞0时，f ″（x ）＜0的解集为（-∞，ln a ），f ″（x ）＞0的解集为（ln a ，+∞）， ∴f ′（x ）在（-∞，ln a ）上单调递减，在（ln a ，+∞）上单调递增， ∴f ′（x ）min =f ′（ln a ）=-a lna ，由题意，应有f ′（ln a ）=-a lna ＜0，解得a ＞1，此时f ′（-1）=1e ＞0，∴存在x 1∈（-1，ln a ）使得f ′（x 1）=0，当f （2a -1）=e 2a -1-2a 2，设s =2a -1＞1， ∴h （s ）=e s -12（s +1）2， ∴h ′（s ）e s -s -1，由（1）可知h （s ）＞h （1）=e -2＞0， ∴存在x 2∈（ln a ，2a -1）使得f ′（x 2）=0， ∴a ＞1满足题意，∵f ′（x 1）=f ′（x 2）=0， ∴e x 1−ax 1-a =e x 2−ax 2-a =0， ∴a =e x 2−e x 1x 2−x 1， ∴f ″（x 1+x 22）=ex 1+x 22-a =ex 1+x 22-e x 2−e x 1x 2−x 1=e x 1（ex 2−x 12-e x 2−x 1−1x 2−x 1），设x 2−x 12=t ＞0，∴ex 2−x 12-e x 2−x 1−1x 2−x 1=e t -e2t −12t=(2t−et )e t +12t，设g （t ）=（2t -e t ）e t +1， ∴g ′（t ）=2（t +1-e t ）e t ，由（1）可知，g ′（t ）=2（t +1-e t ）e t ＜0恒成立， ∴g （t ）单调递减， ∴g （t ）＜g （t ）=0，即f ″（x 1+x 22）＜0，∴x 1+x 22＜ln a ．【解析】（1）先求导，根据导数和函数的最值得关系即可求出，（2）根据题意可得x 1，x 2是方程f′（x ）=0的两个实数根，不妨设x 1＜x 2，可以判断a ＞1，分别根据函数零点存在定理可得f′（x 1）=f′（x 2）=0，可得-a=-a=0，即可得到a=，则f″（）=（-），设=t ＞0，再根据函数g （t ）=（2t-e t ）e t +1，求导，借助于（1）的结论即可证明本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值、不等式的解法、等价转化方法、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 20.【答案】解：（1）等比数列{a n }的公比为q （q ＞0，q =1），∵2a 1a 3=a 4，∴2a 12q 2=a 1q 3，可得a 1=q2．∴a n =q2×q n -1=q n2．数列{b n }的前n 项和Tn 满足2T n =n （b n -1），n ∈N *，b 2=1． ∴n ≥2时，2b n =2（T n -T n -1）=n （b n -1）-（n -1）（b n -1-1），化为：（n -2）b n =（n -1）b n -1+1，当n ≥3时，两边同除以（n -2）（n -1），可得：b nn−1-b n−1n−2=1n−2-1n−1，利用累加求和可得：b nn−1=b 2+1-1n−1，化为：b n =2n -3（n ≥3），当n =1时，2b 1=b 1-1，解得b 1=-1，经过验证n =1，2时也满足． ∴b n =2n -3．（2）由（1）可知：a n =q n2，q ＞0，q ≠1．∴S n =q2(1−q n )1−q =q n+12(q−1)-q2(q−1)．①若t =q−1q时，则S n +12t =q n+12(q−1)，∴S n+1+12t S n +12t=q ．即数列{S n +12t }是公比为q 的等比数列． ②若t ≠q−1q时，则S n +12t =q n+12(q−1)-q2(q−1)+12t ．设q2(q−1)=A ，12t -q2(q−1)=B ．（其中A ，B ≠0）．则S n+1+12t S n +12t=Aq n+1+B Aq n +B=q +B(1−q)Aq n +B 不为常数．综上：存在t =q−1q时，使得数列{S n +12t }是公比为q 的等比数列．（3）由（1）可知：b n =2n -3． c n =1bn+4=12n+1，假设对于任意给定的正整数k （k ≥2），存在正整数l ，m （k ＜l ＜m ），使得c k ，c 1，c m成等差数列．则12k+1+12m+1=22l+1，整理得：2m +1=(2l+1)(2k+1)4k−2l+1，取l =2k ，则2m +1=（4k +1）（2k +1），解得m =4k 2+3k ．即存在l =2k ，m =4k 2+3k ．符合题意．【解析】（1）等比数列{a n }的公比为q （q ＞0，q̸=1），根据2a 1a 3=a 4，利用通项公式可得=，可得a 1．可得通项公式a n ．数列{b n }的前n 项和Tn 满足2T n =n（b n -1），n ∈N *，b 2=1．利用n≥2时，2b n =2（T n -T n-1），化为：（n-2）b n =（n-1）b n-1+1，当n≥3时，两边同除以（n-2）（n-1），可得：-=-，利用累加求和即可得出b n ．（2）由（1）可知：a n =，q ＞0，q≠1．可得S n =-．分类讨论：t=时，计算=q 即可得出结论．②若t≠时，则S n +=-+．设=A ，-=B ．（其中A ，B≠0）．==q+不为常数，即可判断出结论．（3）由（1）可知：b n =2n-3．c n ==，假设对于任意给定的正整数k（k≥2），存在正整数l ，m （k ＜l ＜m ），使得c k ，c 1，c m 成等差数列．则+=，整理得：2m+1=，取l=2k ，即可得出结论．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、累加求和方法、数列递推关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 21.【答案】解：由题意，可知：[a b 12]•[0−110]=[34c d ]．即：[b −a 2−1]=[34cd ]． ∴{a =−4b =3c =2d =−1， ∴ad -bc =（-4）×（-1）-3×2=-2．【解析】本题可先将矩阵A 代入，然后计算等于号左边的两个矩阵相乘，然后根据矩阵相等得到a 、b 、c 、d 的值，即可得到结果．本题主要考查矩阵的乘法运算及两个矩阵相等的概念．本题属基础题．22.【答案】解：设点P 的极坐标为（ρ，θ），设点M 的极坐标为（ρ1，θ），由于OM •OP =12，所以，ρ1•ρ=12，则ρ1=12ρ，由于点M 在直线ρcosθ=3上，所以，12cosθρ=3，化简得ρ=4cosθ，在该极坐标方程两边同时乘以ρ，得ρ2=4ρcosθ，化为普通方程得x 2+y 2=4x ，即（x -2）2+y 2=4，所以，点P 在圆（x -2）2+y 2=4上，在曲线{x =−1+√22ty =2+√22t （t 为参数）的参数方程中消去参数t 得x -y +3=0，圆心到该直线的距离为√12+(−1)2=5√22，因此，PQ 的最小值为5√22−2．【解析】先求出点P 的轨迹的极坐标方程，并化为普通方程，可知点P 在圆上，求出圆心到直线的距离，在该距离的基础上减去圆的半径，可得出PQ 的最小值．本题考查简单曲线的极坐标方程，解决本题的关键在于求出动点的轨迹方程，属于中等题．23.【答案】解：（1）线C 上的动点M （x ，y ）（x ＞0）到点F （2，0）的距离减去M到直线x =-1的距离等于1，所以动点M 到直线x =-2的距离与它到点F （2，0）的距离相等，故所求轨迹为：以原点为顶点，开口向右的抛物线y 2=8x ，证明（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．联立{y 2=8x y=k(x+2)，化为k 2x 2+（4k 2-8）x +4k 2=0，（k ≠0）．由于△＞0， ∴x 1+x 2=8−4k 2k 2，x 1x 2=4．∴直线FA 与直线FB 的斜率之和=y 1x1−2y 2x 2−2=k(x 1+2)(x 2−2)+k(x 2+2)(x 1−2)(x 1−2)(x 2−2)，分子=k （2x 1x 2-8）=0，∴直线FA 与直线FB 的斜率之和为0， ∴直线FA 与直线FB 的倾斜角互补．【解析】（1）利用抛物线定义“到定点距离等于到定直线距离的点的轨迹”求动点P 的轨迹；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．直线与抛物线方程联立化为k 2x 2+（4k 2-8）x+4k 2=0，（k≠0）．由于△＞0，利用根与系数的关系与斜率计算公式可得：直线FA 与直线FB 的斜率之和0，即可证明本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24.【答案】解：（1）∵1a n −1=2−an−1a n−1−1，（n ≥2）． ∴1an−1=1−a n−1+1a n−1−1=-1+1an−1−1，∴1an−1-1an−1−1=-1，∵a 1=23，∴a 1-1=-13， ∴数列{1a n −1}是以-3为首项，以-1为公差的等差数列，∴1an −1=-3-（n -1）=-2-n ，可得a n =1-1n+2．（2）由（1）可得：S n =n -13−14-……-1n+2．下面利用数学归纳法证明：S n ＜n +12-ln （n+32）．①n =1时，左边=S 1=23，∵5ln e -6ln2=ln e 526＞0， ∵56＞ln2．右边=1+12-ln2=23+56-ln2＞23=左边．此时不等式成立．②假设n =k ∈N *时成立，即S k ＜k +12-lnk+32．则n =k +1时，S k +1=S k +1-1k+3＜k +1+12-1k+3-ln k+32，下面证明：k +1+12-1k+3-ln k+32＜k +1+12-lnk+42，即证明：1k+3+lnk+32＞lnk+42，即证明：1k+3＞ln(1+1k+3)，令1k+3=x ∈(0，14]．令f （x ）=x -ln （1+x ），x ∈(0，14]． f ′（x ）=1-11+x =x1+x ＞0，∴函数f （x ）在x ∈(0，14]内单调递增． ∴f （x ）＞f （0）=0．∴x ＞ln （1+x ），即1k+3＞ln(1+1k+3)成立，因此n =k +1时不等式也成立．综上可得：不等式对于∀n ∈N *都成立．【解析】（1）由=，（n≥2）．化简可得-=-1，利用等差数列的通项公式可得a n与S n．（2）由（1）可得S n，下面利用数学归纳法证明：S n＜n+-ln （）．①n=1时，左边=S1=，根据5lne-6ln2=＞0，可得ln2．可得n=1时不等式成立．②假设n=k∈N*时成立，即S k＜k+-ln．则n=k+1时，S k+1=S k +1-＜k+1+--ln，下面证明：+ln＞ln，即证明：＞，令=x ∈．令f（x）=x-ln（1+x），x ∈．利用导数研究函数的单调性即可证明结论．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、数学归纳法、利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．第21页，共21页。

江苏省无锡市2017-2018学年高三上学期期末数学试卷(有答案)

江苏省无锡市2017-2018学年高三上学期期末数学试卷2018.01 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70)1,已知集合A={1,3},B={1,2,m},若AUB=B,则实数m=____________ 2.若复数ii213a -+(a ∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数a=__________ 3某高中共有学生2800人,其中高一年级900人,高三年级900，用分层抽样的方法,抽取140人进行体育达标检测,则抽取高二年级学生人数为__________ 4.已知a,b ∈{1,2,3,4.5,6},直线1l :012=+-y x :2l 01=+-by ax ,则1l ⊥2l 的概率为__________5根据如图所示的伪代码,当输入a 的值为3时,最后输出的S 的值为_______ 6.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB ⊥BC,AB=3，BC=4，AA 1=5,若三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为__________7.已知变量x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+≥c y x y x 242x ,目标函数=3x+y 的最小值为5,则c 的值为______8.函数y=cos(2x+ϕ)(0<ϕ<π)的图像向右平移2π个单位后,与函数y=sin(2x −3π)的图像重合,则ϕ=__________9.已知等比数列{a n }满足a 2a 5=2a3,且a 4,45,2a 7成等差数列,则a 1·a 2·…·a n 的最大值为________ 10过圆x 2+y 2=16内一点P(−2,3)作两条相互垂直的弦AB 和CD,且AB=CD,则四边形ACBD 的面积为__________11.已知双曲线C ：22a x −22by =1(a>0,b>0)与椭圆162x +12y 2=1的焦点重合,离心率互为倒数,设F 1,F 2分别为双曲线C 的左,右焦点,P 为右支上任意一点,则221PF PF 的最小值为__________12.在平行四边形ABCD 中,AB=4,AD=2,∠A=3π,M 为DC 的中点,N 为平面ABCD 内一点,若 |−|=|AM −|,则·=___________13.已知函数f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+-≤-+21),21(log 21,122122x x x x x x .g(x)= −x 2−2x −2,若存在a ∈R,使得f(a)+g(b)=0,则实数b 的取值范围是_______________14.若函数fx)=(x+1)2|x −a|在区间[−1,2]上单调递增,则实数a 的取值范围是___________ 二、解答题;{本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,)15.如图,ABCD 是菱形,DE ⊥平面ABCD,AF ∥DE,DE=2AF.(1)求证：AC ⊥平面BDE (2)求证：AC ∥平面BEF16.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,cosA=43,C=2A (1)求cosB 的值;(2)若ac=24,求△ABC 的周长17.如图,点C 为某沿海城市的高速公路出入口,直线BD 为海岸线,∠CAB=3,AB ⊥BD,是以A 为圆心,半径为1km 的圆弧型小路,该市拟修建一条从C 通往海岸的现光专线,其中P 为上异于B,C 的一点,PQ 与AB 平行,设∠PAB=θ(1)证明:观光专线的总长度随θ的增大而减小;(2)已知新建道路PQ 的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍,当θ取何值时,观光专线的修建总成本最低?请说明理由,18已知椭圆E:22a x +22by =1(a>0,b>0)的离心率为22,F 1，F 2分别为左,右焦点,A,B 分别为左,右顶点,原点O 到直线BD 的距离为36,设点P 在第一象限,且PB ⊥x 轴,连接PA 交椭圆于点C.(1)求椭圆E 的方程(2)若三角形ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积,求直线PA 的方程; (3)求过点B,C,P 的圆方程(结果用t 表示)19.已知数列{a n |满足(1−11a )(1−21a )…-(1−n a 1)=n a 1,n ∈N*,S n 是数列{a n }的前n 项的和 (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若p a ,30,S q 成等差数列,p a ,18, S q 成等比数列,求正整数P,q 的值;(3)是否存在k ∈N*,使得161++k k a a 为数列{a n }中的项?若存在,求出所有满足条件的k 的值;若不存在,请说明理由20.已知函数f(x)=xe (3x −2),g(x)=a(x −2),其中a,x ∈R (1)求过点(2,0)和函数y=f(x)图像相切的直线方程(2)若对任意x ∈R,有f(x)≥g(x)恒成立,求a 的取值范围 (3)若存在唯一的整数0x ,使得f(0x )<g(0x ),求a 的取值范围无锡市普通高中2017年秋学期高三期终调研考试卷数学(加试题)注意事项及说明;本卷考试时间30分钟,企卷满分为40分说明:鲜答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤21.(本小题满分10分)选修4-2:矩阵与变换已知矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a 43,若矩阵A 属于特征值1λ的一个特征向量为=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,属于特征值2λ的一个特征向量为=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,求矩阵A22.(本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==m t y t x 2321(t 是参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若圆C 的极坐标方程是ρ=4sin θ,且直线l 与圆C 相交,求实数m 的取值范围23.(本小题满分10分)某公司有A,B,C,D 四辆汽车,其中A 车的车牌尾号为0,B,C 两辆车的车牌尾号为6,D 车的车牌尾号为5,已知在非限行日,每辆车都有可能出车或不出车,已知A,D 两辆汽车每天出车的概率为43,B,C 两辆汽车每天出车的概率为21,且四辆汽车是否出车是相互独立的,该公司(1)求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率(2)设ζ表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和,求ζ的分布列和数学期望24.(本小题满分10分)在四棱锥P −ABCD 中,△ABP 是等边三角形,底面ABCD 是直角梯形,∠DAB=90°,AD ∥BC,E 是线段AB 的中点,PE ⊥底面ABCD,已知DA=AB=2BC=2(1)求二面角P-CD-AB 的正弦值;(2)试在平面PCD 上找一点M,使得EM ⊥平面PCD。

江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期末考试物理试题Word版含答案

无锡市2019年秋学期高三期末考试试卷物理命题单位：江阴市教师发展中心制卷单位：无锡市教科院第Ⅰ卷（选择题，共31分）一．单项选择题：本题共5小题，每小题3分，共计15分。

每小题只有一个．．．．选项符合题意。

1．如图，轻质细绳AC 、BC 系于天花板上，在结点C 的下方吊一个重力为G 的物体而处于静止状态。

下列说法正确的是A ．BC 绳和AC 绳的拉力大小之比为1：3B ．BC 绳和AC 绳的拉力大小之和为GC ．天花板所受拉力的合力竖直向下D ．物体对竖直轻绳的拉力及竖直轻绳对物体的拉力是一对平衡力2．2017年9月25日至9月28日期间，微信启动新界面，其画面视角从人类起源的非洲（左）变成为华夏大地中国（右）。

新照片由我国新注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1、本试卷共6页，包含选择题（第1题～第9题，共9题）、非选择题（第10题～第16题，共7题）两部分。

本卷满一代静止轨道卫星“风云四号”拍摄，见证着科学家15年的辛苦和努力。

下列说法正确的是A ．“风云四号”可能经过无锡正上空B ．“风云四号”的向心加速度大于月球的向心加速度C ．及“风云四号”同轨道的卫星运动的动能都相等D ．“风云四号”的运行速度大于7.9km/s3．真空中两个等量异种电荷（电荷量均为q ）连线的中点处电场强度为E ，则两个电荷之间的库仑力大小是A ．qE /8B ．qE /4C ．qE /2D ．qE4．如图，单匝线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的固定轴OO /匀速转动（按俯视沿逆时针的方向），某时刻磁感线及线圈平面所成锐角为30°，从此时开始计时，流过边AB 的电流随时间变化的图线是（以A-B-C-D-A 为电流正向）A B C D 5．如图，MN 和M /N /之间为一竖直方向的风洞实验区，可对置于其中的物体产生一个竖直方向恒定的风力。

现将一质量为m 的小球从A 点斜向上抛出，小球将沿图示轨迹击中P 点。

江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期末考试物理试题Word版含答案

无锡市2017年秋学期高三期末考试试卷物理命题单位：江阴市教师发展中心制卷单位：无锡市教科院第Ⅰ卷（选择题，共31分）一．单项选择题：本题共5小题，每小题3分，共计15分。

每小题只有一个．．．．选项符合题意。

1．如图，轻质细绳AC、BC系于天花板上，在结点C的下方吊一个重力为G的物体而处于静止状态。

下列说法正确的是A．BC绳和AC绳的拉力大小之比为1：3B．BC绳和AC绳的拉力大小之和为GC．天花板所受拉力的合力竖直向下D．物体对竖直轻绳的拉力与竖直轻绳对物体的拉力是一对平衡力2．2017年9月25日至9月28日期间，微信启动新界面，其画面视角从人类起源的非洲（左）变成为华夏大地中国（右）。

新照片由我国新一代静止轨道卫星“风云四号”拍摄，见证着科学家15年的辛苦和努力。

下列说法正确的是A ．“风云四号”可能经过无锡正上空B ．“风云四号”的向心加速度大于月球的向心加速度C ．与“风云四号”同轨道的卫星运动的动能都相等D ．“风云四号”的运行速度大于7.9km/s3．真空中两个等量异种电荷（电荷量均为q ）连线的中点处电场强度为E ，则两个电荷之间的库仑力大小是A ．qE /8B ．qE /4C ．qE /2D ．qE 4．如图，单匝线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的固定轴OO /匀速转动（按俯视沿逆时针的方向），某时刻磁感线与线圈平面所成锐角为30°，从此时开始计时，流过边AB 的电流随时间变化的图线是（以A-B-C-D-A 为电流正向）A B C D5．如图，MN 和M /N /之间为一竖直方向的风洞实验区，可对置于其中的物体产生一个竖直方向恒定的风力。

现将一质量为m 的小球从A 点斜向上抛出，小球将沿图示轨迹击中P 点。

若将风力等值反向，小球抛出时初速度不变，则可垂直于M /N /击中M /N /上Q 点（未画出）。

下列说法错误．．的是 A ．开始时风力竖直向下B ．小球在P 点的速度大于在Q 点的速度C ．小球在AP 间运动的时间等于在AQ 间运动的时间D ．在开始情况下，若仅增大小球质量m ，小球可能垂直击中Q 点二．多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共计16分。

2018-2019无锡高三期末考试全卷解析

2018-2019无锡数学期末统考试卷解析2019.1.20一、填空题.1.设集合{}{}0,B 21A x x x x =>=-<<，则_______.A B = 2.设复数z 满足(1)13i z i +=-（其中i 为虚数单位），则z 的实部为_____________.3.有,,A B C 三所学校，学生人数的比例为3:4:5，现用分层抽样的方法招募n 名志愿者，若在A 学校恰好选出9名志愿者，那么_____.n =4.史上常有赛马论英雄的记载，田忌欲与齐王赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，先从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为_________.5.执行如图的伪代码，则输出x 的值为___________.6.已知,x y 满足约束条件10200x y x y x -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z x y =+的取值范围是___________.7.在四边形ABCD 中，已知2,4,53AB a b BC a b CD a b =+=--=-- ，其中，,a b是不共线的向量，则四边形ABCD 的形状是_____________.8.以双曲线22154x y -=的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是______________.9.已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于_______.10.设公差不为零的等差数列{}n a 满足37a =，且1241,1,1a a a ---成等比数列，则10a 等于___________.{}21|01136253[0,3]1232123456789110x x y x p <<-=、、、、、、梯形、、、、11.已知θ是第四象限的角，且4cos ,5θ=那么sin()4cos(26)πθθπ+-的值为________.3sin cos 152sin 5142cos 22(cos sin )q qq q =-Þ===-解：易得：所求12.已知直线(2)(0)y a x a =+>与函数cos y x=的图像恰好有四个公共点11(,),A x y 22(,),B x y 33(,),C x y 44(,),D x y 其中1234,x x x x <<<则441________.tan x x +=44444(2)cos (,)2cos sin 22y a x y x x x x a x x pp =+=-Î-Þ==Þ=-+解：数形结合知：与切于，其中所求．13.已知点P 在圆()()22:21M x a y a -+-+=上，,A B 为圆22:(4)4C x y +-=上两动点，且3AB =，则PA PB ⋅的最小值是________.222222431(6)2(3)1821213223192AB D AB CD CD CM a a a PCCM PD PC CD PD =-===+-=-+-=³-=-=-³-解：取中点，又，故则，故所求．14.在锐角ABC △中，已知2222sin sin 2sin ,A B C +=则111tan tanB tanCA ++的最小值为_________.2222222222222222()2()3111tan tan 1431313tan tan tan tan 4442a b c b c a BD AC D AD x CD y BD h x y x y x y h A C x y y h y y h xy h h A C A C h h h yh h y x y+=Þ=-^===Þ+=-Þ=---=++=++=+=+³++解：由正弦定理得：如图，作于，设，，则所求二、解答题.15.在ABC ∆中，设c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，已知向量)sin sin ,(B C a m -=，)sin sin ,(B A c b n ++=，且n m //.（1）求角C 的大小；（2）若3=c ，求ABC ∆的周长的取值范围.2222221(sin sin )()(sin sin )0()()()01cos 2(0,)322323sin 23si sin sin sin a A B b c C B a a b b c c b a b c a b c ab C C C a b ca Ab A B Cpp +-+-=+-+-=+-+-=-==-Î======解：（）由题意知：由正弦定理得：即：，由余弦定理知：又，故；（）由正弦定理知：，n 1,(0,)33333)3(sin cos cos sin )3cos 3sin 33333cos 33)332(0,)(,)s 3333BA B C B A A B A b B A A A A Aa b c A A A A A p p p p p p ppp p p p +=-==-ÎÞ==-=-=-=++=++=+++ 由（）知：，则，均为三角形内角，故周长 3in()(6,33]32A p +周长．16.在四棱锥ABCD P -中，锐角三角形PAD 所在平面垂直平面PAB ，AD AB ⊥，BC AB ⊥.（1）求证：//BC 平面PAD ；（2）平面⊥PAD 平面ABCD .1////2ABCD AB AD BC AD AB BC BC PAD AD PAD BC PAD DE PA E PAD PABPAD PAB PA DE P üüïïïï^Þýïïï^ïïþÞýïÌïïïïËþ^^=Ì 证：（）平面中平面；平面平面（）作于点平面平面平面平面平面 DE PAB AB DE AD DE PA AB PAD AB AD AD DE D üüïïïïïïÞ^ýïÞ^ïýïï^ïïþïïÌþ^= 平面平面 AB PAD PAD ABCD AD PAD DE PAD AB ABCD üüïïïïïïïïïïïïïïÞ^ýïÞ^ïýïïïïïïïïïïïïþïïÌþ平面平面平面平面，平面平面17.十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2020年底全面脱贫.现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作.经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均农户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数.从2018年初开始，若该村抽出x 5户)91 ,(≤≤∈x Z x 从事包装、销售.经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高20x ，而从事包装、销售农户的年纯收入每户平均为)413(x -万元.（参考数据：331.11.13=，521.115.13≈，728.12.13=）（1）至2020年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫（每户年均收入不低于1万6千元），至少抽出多少户从事包装、销售工作？（2）至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到35.1万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由.33000(1005)(1)2012020 1.620(1.61)10051.151 1.23420194202022018()x x xx xx x xZ xxf x -+==--<+<Þ<<解：（）设至年底，种植户平均收入，设其解为由题所给数据知：又，，则，即至少抽出户答：至少抽出户从事包装、销售工作．（）设至年底，每户平均收入为万元{}2215(3)(1005)(1)420() 1.35100332010() 1.3519 1.3520330700194,5,62030x x x x f x x x f x x Z x x x x Z x x -+-+=-+++Î 则，假设能达到万元，则：，，，，解得：答：当抽出从事包装、销售工作的户数不少于户且不超过户时，能到达，否则，不能．18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的离心率为32，且过点13,),2点P 在第四象限，A 为左顶点，B 为上顶点，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点.D （1）求椭圆C 的标准方程；（2）求PCD ∆面积的最大值.2222222222314121(3,)1124c x y a b a b a cx b y 解：（）代入点解得：标准方程为：；ìï=ïÞ=Þ+=íï=-ïî=Þ+=2221(2,0)(0,1)(,)00142(2)(0,)(,0)11(22)1(22)()2(1)(2)2(1)(2)2PCD P m A B P m n m n n n n mPA y x PB C D n PB y x m n m m n m mx S n n n m n m y m S △△ （）由（）知：，，设，，，且：，：，易得：，：即：-><+==+++-ì-=+ï----ï-í-+-+ï=ï+î22222222(44)2(1)(22)2(1)(2)2(1)(2)2(22)(2)1(22)4212002284440CD PCD nm mn mn n n mn n n n m n m n m m n m m m n n S P P x y t t x y t y ty x y △ 显然最大时椭圆在点处的切线斜率为，设处的切线为， +--+-++===--+-++++-==---+=<ì=-ïÞ-+í+-=ïî2240161280222(2,2122PCD t t t y P S x △，△ 此时方程组的解为，即时，取最大值，最大面积为．-==-+=Þ=-ìï=-ï-íï=ïî19.已知函数2(0).2xa e x ax a =-->（1）当1a =时，求证：对于任意0,x >都有()0f x >成立；（2）若()y f x =恰有12,x x x x ==两处取得极值，求证：12ln .2x x a +<解：（1）当1a =时，()21e 2xf x x x =--，则()()()'e 1,''e 100x x f x x f x x =--=-≥＞，所以()'f x 单调递增，因为()()''00f x f =＞，所以()f x 单调递增，所以()()010f x f =＞＞；（2）由题意可知，12,x x 是方程()'0f x =的两个实数解，不妨设12x x ＜，()()'e ,''e x x f x ax a f x a =--=-，当0a ≤时，()''0f x ＞恒成立，()'f x 单调递增，多只有一个实数解，不符题意，当0a ＞时，()''0f x ＜的解集为(),ln a -∞，()''0f x ＞的解集为()ln ,a +∞，所以()'f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，所以()()min ''ln ln f x f a a a ==-，由题意，应有()min 'ln 0f x a a =-＜，解得1a ＞，此时()1'10f -=＞，所以存在()11,ln x a ∈-，使得()1'0f x =，()21221e 2a f a a --=-，设211s a =-＞，则()()21e 12s h s s =-+，()'e 1s h s s =--，由（1）可知，()'e 10s h s s =--＞在()1,+∞上恒成立，所以()h s 单调递增，所以()()1e 20h s h =-＞＞，即存在()2ln ,21x a a ∈-，使得()2'0f x =，所以1a ＞满足题意，因为()()12''0f x f x ==，所以1212e e 0x x ax a ax a --=--=，所以2121e e x x a x x -=-，12122121211122222121e e e 1''e e e e 2x x x x x x x x x x x x x f a x x x x ++--⎛⎫+--⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，设2102x x t -=＞，则()21212212e e 1e 1e 1e=e 22t tx x x x t t t x x t t---+----=-，设()()2e e 1t t F t t =-+，则()()'21e e ttF t t =+-，由（1）可知，()()'21e e 0ttF t t =+-＜恒成立，所以()F t 单调递减，所以()()0=0F t F ＜，即12''02x x f +⎛⎫⎪⎝⎭＜，所以12ln 2x x a +＜.20.设等比数列{}n a 的公比为(0,1),q q q >≠前n 项和为,n S 且1342,a a a =数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足*22(1),, 1.n n T n b n N b =-∈=（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）是否存在常数t ，使得1{}2n S t+为等比数列？说明理由；（3）设1,4n n c b =+对于任意给定的正整数(2),k k ≥是否存在正整数,(),l m k l m <<使得,,k l m c c c 成等差数列？若存在，求出,l m （用k 表示），若不存在，说明理由.解：（1）因为数列{}n a 为等比数列，且公比0q ＞，所以1342a a a =，所以4132a q a a ==，即12q a =，所以122nn n q q a q -=⋅=，因为()21n n T n b =-，所以()()()112112n n T n b n --=--≥，两式相减，整理得()()1211n n n b n b --=-+，当3n ≥时，两边同除以()()12n n --，可得1111221n n b b n n n n -=+-----，由累加法可知，()211311n b b n n n =+---≥，即()233n b n n =-≥，当1n =时，1121b b =-，所以11b =-，验证可知12,b b 均满足23n b n =-，所以()*23n b n n =-∈N；（2）由（1）可知2nn q a =，且1q ≠，所以()()()11212121n n n qq q qS q q q +-==----，①若1q t q -=，则()11n n q S ++=-，所以2111212n n n n S q t q q S t++++==+，即数列12n S t ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是公比为q 的等比数列；②若1q t -≠，则()()111221212n n q q S t q q t++=-+--，设()()1,21221q q A B q t q =-=--（其中,0A B ≠），则()1111212n n n nn S B q Aq B t q Aq B Aq B S t+++-+==++++，不为常数，所以数列12n S t ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭不是等比数列；综上，存在1q t q -=，使得数列12n S t ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是公比为q 的等比数列；（3）由（1）可知23n b n =-，所以11421n n c b n ==++，假设存在符合题意的,l m ，则112212121k m l +=+++，整理得()()212121421l k m k l +++=-+，取2l k =，则()()214121m k k +=++，解得243m k k =+，故存在2l k =，243m k k =+符合题意.以上解析由苏锡【纸短情长】工作室：王举、李光亮、杨继斌提供；郑重申明：未经允许，不得转载或进行商业用途！。

无锡市2018年秋学期高三期末考试试卷(审题会议调整版3)

NB MAC D无锡市2018年秋学期高三期末考试试卷物理命题单位：惠山区教师发展中心制卷单位：无锡市教科院说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试时间100分钟第Ⅰ卷（选择题，共31分）一、单项选择题：本题共5小题，每小题3分，共计15分．每小题只有一个选项符合题意． 1．超级电容的容量比通常的电容器大得多，其主要优点是高功率脉冲应用和瞬时功率保持，具有广泛的应用前景。

如图所示，某超级电容标有“2.7V ，100F”，将该电容接在1.5V 干电池的两端，则电路稳定后该电容器的负极板上所带电量为A ．-150CB ．-75C C ．-270CD ．-135C 2．避雷针上方有雷雨云时避雷针附近的电场线分布如图所示，图中中央的竖直黑线AB 代表了避雷针，CD 为水平地面。

MN 是电场线中两个点，下列说法中正确的有 A ．M 点的场强比N 点的场强大B ．试探电荷从M 点沿直线移动到N 点，电场力做功最少C ．M 点的电势比N 点的电势高D ．CD 的电势为零，但其表面附近的电场线有些位置和地面不垂直3．矩形线框与理想电流表、理想变压器、灯泡连接电路如图（1）所示。

灯泡标有“36 V 、40W”的字样且阻值可以视作不变，变压器原、副线圈的匝数之比为2∶1。

线框产生的电动势随时间变化的规律如图（2）所示。

则下列说法正确的是注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1、本试卷共6页，包含选择题（第1题～第9题，共9题）、非选择题（第10题～第16题，共7题）两部分。

本卷满分120分，答题时间为100分钟。

2、作答选择题时必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。

3、如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

江苏省无锡市高三上学期期末数学试卷(有答案)

江苏省无锡市2017-2018学年高三上学期期末数学试卷2018.01 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70)1,已知集合A={1,3},B={1,2,m},若AUB=B,则实数m=____________ 2.若复数ii213a -+(a ∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数a=__________ 3某高中共有学生2800人,其中高一年级900人,高三年级900，用分层抽样的方法,抽取140人进行体育达标检测,则抽取高二年级学生人数为__________ 4.已知a,b ∈{1,2,3,4.5,6},直线1l :012=+-y x :2l 01=+-by ax ,则1l ⊥2l 的概率为__________5根据如图所示的伪代码,当输入a 的值为3时,最后输出的S 的值为_______ 6.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB ⊥BC,AB=3，BC=4，AA 1=5,若三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为__________7.已知变量x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+≥c y x y x 242x ,目标函数=3x+y 的最小值为5,则c 的值为______8.函数y=cos(2x+ϕ)(0<ϕ<π)的图像向右平移2π个单位后,与函数y=sin(2x −3π)的图像重合,则ϕ=__________9.已知等比数列{a n }满足a 2a 5=2a3,且a 4,45,2a 7成等差数列,则a 1·a 2·…·a n 的最大值为________ 10过圆x 2+y 2=16内一点P(−2,3)作两条相互垂直的弦AB 和CD,且AB=CD,则四边形ACBD 的面积为__________11.已知双曲线C ：22a x −22by =1(a>0,b>0)与椭圆162x +12y 2=1的焦点重合,离心率互为倒数,设F 1,F 2分别为双曲线C 的左,右焦点,P 为右支上任意一点,则221PF PF 的最小值为__________12.在平行四边形ABCD 中,AB=4,AD=2,∠A=3π,M 为DC 的中点,N 为平面ABCD 内一点,若 |AB −NB |=|AM −AN |,则AM ·AN =___________13.已知函数f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+-≤-+21),21(log 21,122122x x x x x x .g(x)= −x 2−2x −2,若存在a ∈R,使得f(a)+g(b)=0,则实数b 的取值范围是_______________14.若函数fx)=(x+1)2|x −a|在区间[−1,2]上单调递增,则实数a 的取值范围是___________ 二、解答题;{本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,)15.如图,ABCD 是菱形,DE ⊥平面ABCD,AF ∥DE,DE=2AF. (1)求证：AC ⊥平面BDE (2)求证：AC ∥平面BEF16.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,cosA=43,C=2A (1)求cosB 的值;(2)若ac=24,求△ABC 的周长17.如图,点C 为某沿海城市的高速公路出入口,直线BD 为海岸线,∠CAB=3,AB ⊥BD, 是以A 为圆心,半径为1km 的圆弧型小路,该市拟修建一条从C 通往海岸的现光专线,其中P 为上异于B,C 的一点,PQ 与AB 平行,设∠PAB=θ(1)证明:观光专线的总长度随θ的增大而减小;(2)已知新建道路PQ 的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍,当θ取何值时,观光专线的修建总成本最低?请说明理由,18已知椭圆E:22ax+22by=1(a>0,b>0)的离心率为22,F1，F2分别为左,右焦点,A,B分别为左,右顶点,原点O到直线BD的距离为36,设点P在第一象限,且PB⊥x轴,连接PA交椭圆于点C.(1)求椭圆E的方程(2)若三角形ABC的面积等于四边形OBPC的面积,求直线PA的方程;(3)求过点B,C,P的圆方程(结果用t表示)19.已知数列{a n|满足(1−11a)(1−21a)…-(1−na1)=na1,n∈N*,S n是数列{a n}的前n项的和(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若pa,30,Sq成等差数列,pa,18, Sq成等比数列,求正整数P,q的值;(3)是否存在k∈N*,使得161++kkaa为数列{a n}中的项?若存在,求出所有满足条件的k的值;若不存在,请说明理由20.已知函数f(x)=x e(3x−2),g(x)=a(x−2),其中a,x∈R(1)求过点(2,0)和函数y=f(x)图像相切的直线方程(2)若对任意x∈R,有f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值范围(3)若存在唯一的整数x,使得f(x)<g(x),求a的取值范围无锡市普通高中2017年秋学期高三期终调研考试卷数学(加试题)注意事项及说明;本卷考试时间30分钟,企卷满分为40分说明:鲜答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤21.(本小题满分10分)选修4-2:矩阵与变换已知矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a 43,若矩阵A 属于特征值1λ的一个特征向量为=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,属于特征值2λ的一个特征向量为=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,求矩阵A22.(本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==m t y t x 2321(t 是参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若圆C 的极坐标方程是ρ=4sin θ,且直线l 与圆C 相交,求实数m 的取值范围23.(本小题满分10分)某公司有A,B,C,D 四辆汽车,其中A 车的车牌尾号为0,B,C 两辆车的车牌尾号为6,D 车的车牌尾号为5,已知在非限行日,每辆车都有可能出车或不出车,已知A,D 两辆汽车每天出车的概率为43,B,C 两辆汽车每天出车的概率为21,且四辆汽车是否出车是相互独立的,该公司汽车车牌尾号车辆限行日 0和5 星期一 1和6 星期二 2和7 星期三 3和8 星期四 4和9星期五(1)求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率(2)设ζ表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和,求ζ的分布列和数学期望24.(本小题满分10分)在四棱锥P −ABCD 中,△ABP 是等边三角形,底面ABCD 是直角梯形,∠DAB=90°,AD ∥BC,E 是线段AB 的中点,PE ⊥底面ABCD,已知DA=AB=2BC=2(1)求二面角P-CD-AB 的正弦值;(2)试在平面PCD 上找一点M,使得EM ⊥平面PCD。

2017-2018学年江苏省高三(上)10月段考数学试卷(文科)Word版含答案

2017-2018学年江苏省高三（上）10月段考数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．1．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2x+1≤0”的否定形式为．2．（5分）已知U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3}，集合B={3，5}，则A∩（∁U B）= ．3．（5分）已知向量=（1，2）与向量=（x，2﹣2x）平行，则x= ．4．（5分）已知函数f（x）=f′（）sinx+cosx，则f（）= ．5．（5分）函数y=lgsinx+的定义域为．6．（5分）已知tanα=3，则sinαcosα= ．7．（5分）已知函数f（x）=alog2x﹣blog3x+2，若f（）=4，则f（2016）的值为．8．（5分）若将函数f（x）=sinωx的图象向右平移个单位得到的图象，则|ω|的最小值为．9．（5分）若f（x）=log a（2﹣ax）在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是．10．（5分）函数的值域是．11．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A、B、C所对的边，设向量=（b﹣c，c﹣a），=（b，c+a），若向量，则角A的大小为．12．（5分）在△ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是．13．（5分）给出下列四个命题：①当x＞0且x≠1时，有lnx+≥2；②△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要条件；③函数y=a x的图象可以由函数y=2a x（其中a＞0且a≠1）的图象通过平移得到；④函数y=f（1+x）与函数y=f（1﹣x）的图象关于直线x=1对称；其中正确命题的序号为．14．（5分）已知三次函数f（x）=x3+x2+cx+d（a＜b）在R上单调递增，则的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣2）、B（2，3）、C（﹣2，﹣1）．（1）求||；（2）设实数t满足（﹣t）•=0，求t的值．16．（14分）设集合A={x|≤2﹣x≤4}，B={x|x2﹣3mx+2m2﹣m﹣1＜0}．若A⊇B，求m的取值范围．17．（16分）已知向量=（sinα，cosα），=（6sinα+cosα，7sinα﹣2cosα），设函数f（α）=•．（1）求函数f（α）的最大值；（2）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（A）=6，且△ABC的面积为3，b+c=2+3，求a的值．18．（15分）已知函数f（x）=5sinxcosx﹣5cos2x+（x∈R）．（1）求f（x）的周期和最值；（2）求f（x）的单调增区间；（3）写出f（x）的图象的对称轴方程和对称中心坐标．19．（15分）甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格）．（1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙生产影响的经济损失金额y=0.002t2（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？20．（16分）设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）若f（1）＞0，试求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0的解集；（2）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．2017-2018学年江苏省高三（上）10月段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．1．（5分）（2015秋•淮安校级期末）命题“∃x∈R，x2﹣2x+1≤0”的否定形式为∀x∈R，x2﹣2x+1＞0 ．【分析】利用特称命题的否定是全称命题来求解．【解答】解：因为命题是特称命题，所以根据特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，x2﹣2x+1≤0”的否定形式为：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0．故答案为：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0．【点评】本题主要考查特称命题的否定，比较基础．2．（5分）（2011•通州区校级模拟）已知U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3}，集合B={3，5}，则A∩（∁U B）= {2} ．【分析】由题意全集U={1，2，3，4，5，6}，集合B={3，5}，可以求出集合∁U B，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6}，集合B={3，5}，∴∁U B={1，2，4，6}∵A={2，3}∴A∩（∁U B）={2}故答案为{2}．【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．3．（5分）（2015秋•南通校级月考）已知向量=（1，2）与向量=（x，2﹣2x）平行，则x= ．【分析】由向量平行的充要条件可得1×（2﹣2x）﹣2x=0，解之即可．【解答】解：∵向量=（1，2）与向量=（x，2﹣2x）平行，∴1×（2﹣2x）﹣2x=0，解得x=故答案为：【点评】本题考查向量平行的充要条件，属基础题．4．（5分）（2016春•宜春校级月考）已知函数f（x）=f′（）sinx+cosx，则f（）= 0 ．【分析】求函数的导数，先求出f′（）的值即可得到结论．【解答】解：函数的导数为f′（x）=f′（）cosx﹣sinx，令x=，得f′（）=f′（）cos﹣sin=﹣1，则f（x）=﹣sinx+cosx，则f（）=﹣sin+cos=，故答案为：0．【点评】本题主要考查函数值的计算，求函数的导数，求出f′（）的值是解决本题的关键．5．（5分）（2015秋•南通校级月考）函数y=lgsinx+的定义域为（2kπ，2kπ+），k∈Z ．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，即2kπ＜x＜2kπ+，k∈Z，即函数的定义域为（2kπ，2kπ+），k∈Z，故答案为：（2kπ，2kπ+），k∈Z【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．6．（5分）（2010•海安县校级模拟）已知tanα=3，则sinαcosα= ．【分析】把所求式子的分母“1”根据同角三角函数间的基本关系变形为sin2α+cos2α，然后分子分母同时除以cos2α，利用同角三角函数间的基本关系弦化切得到关于tanα的关系式，把tanα的值代入即可求出值．【解答】解：∵tanα=3，∴．故答案为：．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，把所求式子的分母“1”变形为sin2α+cos2α是解本题的关键．7．（5分）（2015秋•泰兴市校级期中）已知函数f（x）=alog2x﹣blog3x+2，若f（）=4，则f（2016）的值为0 ．【分析】利用对数的运算性质，可得f（）+f（2016）=4，即可求出f（2016）的值．【解答】解：由函数f（x）=2+alog2x+blog3x，得f（）=2+alog2x+blog3x=2﹣alog2x﹣blog3x=4﹣（2+alog2x+blog3x），因此f（x）+f（）=4，再令x=2016得f（）+f（2016）=4所以f（2016）=4﹣f（）=0，故答案为：0．【点评】本题考查了对数的运算性质，和函数的简单性质，属于基础题．利用互为倒数的两个自变量的函数值之间的关系，是解决本题的关键．8．（5分）（2011•启东市校级模拟）若将函数f（x）=sinωx的图象向右平移个单位得到的图象，则|ω|的最小值为 4 ．【分析】根据：“左加右减”法则和条件，列出方程，进而由k的取值范围求出|ω|的最小值．【解答】解：由题意得到，，（k∈Z）所以ω=8﹣12k，k∈Z，则k=1时，|ω|min=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换法原则：“左加右减，上加下减”，注意左右平移时必须在x的基础进行加减，这是易错的地方．9．（5分）（2008•丰台区二模）若f（x）=log a（2﹣ax）在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是1＜a ＜2 ．【分析】本题必须保证：①使log a（2﹣ax）有意义，即a＞0且a≠1，2﹣ax＞0．②使log a（2﹣ax）在[0，1]上是x的减函数．由于所给函数可分解为y=log a u，u=2﹣ax，其中u=2﹣ax在a＞0时为减函数，所以必须a＞1；③[0，1]必须是y=log a（2﹣ax）定义域的子集．【解答】解：因为f（x）在[0，1]上是x的减函数，所以f（0）＞f（1），即log a2＞log a（2﹣a）．∴⇔1＜a＜2故答案为：1＜a＜2．【点评】本题综合了多个知识点，需要概念清楚，推理正确．（1）复合函数的单调性；（2）真数大于零．10．（5分）（2013秋•潮南区校级期中）函数的值域是[﹣3，0）．【分析】由于x＜0，所以把函数式的分子分母同时除以x，把分母的提取“﹣”，然后借助于基本不等式求值域．【解答】解：，∵x＜0，∴上式当且仅当（﹣x）=，即x=﹣1时“=”成立．所以．所以原函数的值域为[﹣3，0）．故答案为[﹣3，0）．【点评】本题考查了函数值域的求法，训练了利用基本不等式求最值的方法，解答此题的关键是把函数式分子变为常数，属基础题．11．（5分）（2010•江苏模拟）在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A、B、C所对的边，设向量=（b﹣c，c﹣a），=（b，c+a），若向量，则角A的大小为．【分析】由向量，可以求得三角形三边的关系，在利用三边关系求得角A．【解答】解：∵，∴，∴（b﹣c）b+（c﹣a）=0，∴b2+c2﹣a2=bc，∴cosA=，又因为是在三角形中，∴A=故答案为．【点评】向量与三角形的交汇是近几年高考命题的一个热点方向，由于向量兼有代数和几何两个方面的重要特征，所以往往成为知识交会的载体．解决这类问题时，首先要重视对向量表达式的理解；其次要善于运用向量的坐标运算，解决问题．12．（5分）（2005•江苏）在△ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是﹣2 ．【分析】利用向量的运算法则：平行四边形法则作出，判断出共线，得到的夹角，利用向量的数量积公式将转化成二次函数求出最小值，【解答】解：以OB和OC做平行四边形OBNC．则因为M为BC的中点所以且反向∴=，设OA=x，（0≤x≤2）OM=2﹣x，ON=4﹣2x∴=2x2﹣4x（0≤x≤2）其对称轴x=1所以当x=1时有最小值﹣2故答案为﹣2【点评】本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件、向量的数量积公式、二次函数最值的求法．13．（5分）（2015春•淄博期末）给出下列四个命题：①当x＞0且x≠1时，有lnx+≥2；②△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要条件；③函数y=a x的图象可以由函数y=2a x（其中a＞0且a≠1）的图象通过平移得到；④函数y=f（1+x）与函数y=f（1﹣x）的图象关于直线x=1对称；其中正确命题的序号为②③④．【分析】由基本不等式可判断①；由正弦定理可判断②；由函数图象的平移变换，可判断③；由函数图象的对称变换法则，可判断④．【解答】解：①当x＞1时，lnx＞0，lnx+≥2=2；当0＜x＜1时，lnx＜0，lnx+≤﹣2=﹣2，故①错误；②△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔2RsinA＞2RsinB⇔sinA＞sinB，故A＞B是sinA＞sinB成立的充要条件，故②正确；③函数y=2a x=，故函数y=a x的图象可以由函数y=2a x（其中a＞0且a≠1）的图象向右平移log a2个单位得到，故③正确；④函数y=f（1+x）与函数y=f（1﹣x）的图象关于直线x=1对称，故④正确；故正确命题的序号是：②③④【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了基本不等式，充要条件，正弦定理，函数图象变换等知识点，难度不大，属于基础题．14．（5分）（2015•张家港市校级模拟）已知三次函数f（x）=x3+x2+cx+d（a＜b）在R上单调递增，则的最小值为 3 ．【分析】由题意得f'（x）=ax2+bx+c在R上恒大于或等于0，得a＞0，△=b2﹣4ac≤0，将此代入，将式子进行放缩，以为单位建立函数关系式，最后构造出运用基本不等式的模型使问题得到解决．【解答】解：由题意f'（x）=ax2+bx+c≥0在R上恒成立，则a＞0，△=b2﹣4ac≤0．∴≥令，≥≥3．（当且仅当t=4，即b=c=4a时取“=”）故答案为：3【点评】本题考查了利用导数工具研究三次函数的单调性以及函数与方程的综合应用问题，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）（2015秋•南通校级月考）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣2）、B（2，3）、C（﹣2，﹣1）．（1）求||；（2）设实数t满足（﹣t）•=0，求t的值．【分析】（1）利用向量坐标运算性质、模的计算公式即可得出．（2）利用数量积运算性质即可得出．【解答】解：（1）=（3，5），=（﹣1，1），∴+=（2，6），∴||==．（2）由题设知：=（﹣2，﹣1），﹣t=（3+2t，5+t）．由（﹣t）•=0，得：（3+2t，5+t）•（﹣2，﹣1）=0．从而5t=﹣11，t=﹣．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、模的计算公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（14分）（2010秋•崇川区校级期中）设集合A={x|≤2﹣x≤4}，B={x|x2﹣3mx+2m2﹣m﹣1＜0}．若A⊇B，求m的取值范围．【分析】化简集合A={x|﹣2≤x≤5}，①当B=∅即 m=﹣2时，满足条件．②当B≠∅时，分m＜﹣2和m＞﹣2两种情况，分别由B⊆A，求得m的取值范围，再取并集．【解答】解：化简集合A={x|﹣2≤x≤5}，集合B可写为B={x|（x﹣m+1）（x﹣2m﹣1）＜0}．（4分）①当B=∅即 m=﹣2时，B=∅⊂A．（6分）②当B≠∅即m≠﹣2时，（ⅰ）当m＜﹣2 时，B=（2m+1，m﹣1），要B⊆A，只要 2m+1≥﹣2，且 m﹣1≤5，解得﹣≤m≤6，所以m的值不存在；（ⅱ）当m＞﹣2 时，B=（m﹣1，2m+1），要B⊆A，只要 m﹣1≥﹣2，2m+1≤5，解得﹣1≤m≤2，综合知m的取值范围是：m=﹣2或﹣1≤m≤2．（14分）【点评】本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，体现了分类讨论的数学思想．17．（16分）（2010•广东模拟）已知向量=（sinα，cosα），=（6sinα+cosα，7sinα﹣2cosα），设函数f（α）=•．（1）求函数f（α）的最大值；（2）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（A）=6，且△ABC的面积为3，b+c=2+3，求a的值．【分析】（1）根据向量点乘运算表示出f（α）==4sin（2α﹣）+2，再由三角函数的最值求出函数f（α）的最大值．（2）根据（1）中函数f（α）的解析式表示出f（A）=4sin（2A﹣）+2=6，可得sin（2A﹣）=，再根据角A的范围确定A=由三角形ABC的面积可求出b乘以c的值，最后根据余弦定理可得答案．【解答】解：（Ⅰ）f（α）==sinα（6sinα+cosα）+cosα（7sinα﹣2cosα）=6sin2α﹣2cos2α+8sinαcosα=4（1﹣cos2α）+4sin2α﹣2=4sin（2α﹣）+2∴（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（A）=4sin（2A﹣）+2=6，sin（2A﹣）=因为 0＜A＜，所以所以：2A﹣=，A=∵S△ABC=bcsinA=bc=3∴bc=6，又b+c=2+3∴a2=b2+c2﹣2bccosA===10∴a=【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算和三角函数里的正余弦定理．这里要熟练掌握正余弦定理的基本内容．18．（15分）（2015秋•南通校级月考）已知函数f（x）=5sinxcosx﹣5cos2x+（x∈R）．（1）求f（x）的周期和最值；（2）求f（x）的单调增区间；（3）写出f（x）的图象的对称轴方程和对称中心坐标．【分析】化简函数f（x）=5sinxcosx﹣5cos2x+=，然后根据三角函数的性质解答即可．【解答】解：=．（1）；当，即时，f（x）max=5；当即x=kπ﹣（k∈Z）时，f（x）min=﹣5．（2）由（k∈Z）解得（k∈Z）．故f（x）的单调增区间为：．（3）由（k∈Z）得．故f（x）的图象的对称轴方程是；由（k∈Z）得（k∈Z）．f（x）的图象的对称中心坐标是．【点评】本题主要考查三角函数的性质，属于中档题．19．（15分）（2004•辽宁）甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格）．（1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙生产影响的经济损失金额y=0.002t2（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？【分析】（1）由已知中赔付价格为s元/吨，所以乙方的实际年利润为．我们利用导数法易求出乙方取得最大年利润的年产量（2）由已知得，若甲方净收入为v元，则v=st﹣0.002t2．再由．我们可以得到甲方净收入v 与赔付价格s之间的函数关系式，利用导数法，我们易求出答案．【解答】解：（1）因为赔付价格为s元/吨，所以乙方的实际年利润为．由，令w'=0，得．当t＜t0时，w'＞0；当t＞t0时，w'＜0，所以t=t0时，w取得最大值．因此乙方取得最大年利润的年产量t0为（吨）；（2）设甲方净收入为v元，则v=st﹣0.002t2．将代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式．又，令v'=0，得s=20．当s＜20时，v'＞0；当s＞20时，v'＜0，所以s=20时，v取得最大值．因此甲方应向乙方要求赔付价格s=20（元/吨）时，获最大净收入．【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．20．（16分）（2012•梁子湖区校级模拟）设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）若f（1）＞0，试求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0的解集；（2）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．【分析】（1）根据f（x）是定义域为R的奇函数，可得k=1，从而f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0，且a≠1），利用f（1）＞0，可得a＞1，从而可证f（x）在R上单调递增，故原不等式化为x2+2x＞4﹣x，从而可求不等式的解集；（2）根据f（1）=确定a=2的值，从而可得函数g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x ﹣2﹣x）+2．令t=f（x）=2x﹣2﹣x，由（1）可知f（x）=2x﹣2﹣x为增函数，可得t≥f（1）=，令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2（t≥），分类讨论，利用最小值为﹣2，可求m的值．【解答】解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，可k﹣1=0，即k=1，故f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0，且a≠1）∵f（1）＞0，∴a﹣＞0，又a＞0且a≠1，∴a＞1．f′（x）=a x lna+∵a＞1，∴lna＞0，而a x+＞0，∴f′（x）＞0，∴f（x）在R上单调递增原不等式化为：f（x2+2x）＞f（4﹣x），∴x2+2x＞4﹣x，即x2+3x﹣4＞0∴x＞1或x＜﹣4，∴不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣4}．（2）∵f（1）=，∴a﹣=，即2a2﹣3a﹣2=0，∴a=2或a=﹣（舍去）．∴g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．令t=f（x）=2x﹣2﹣x，由（1）可知f（x）=2x﹣2﹣x为增函数∵x≥1，∴t≥f（1）=，令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2（t≥）若m≥，当t=m时，h（t）min=2﹣m2=﹣2，∴m=2若m＜，当t=时，h（t）min=﹣3m=﹣2，解得m=＞，舍去综上可知m=2．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的综合，考查解不等式，考查二次函数最值的研究，解题的关键是确定函数的单调性，确定参数的范围．。

【期末试卷】江苏省无锡市2018届高三上学期期末检测数学试题Word版含答案

【期末试卷】江苏省⽆锡市2018届⾼三上学期期末检测数学试题Word版含答案⽆锡市普通⾼中2017年秋学期⾼三期终调研考试试卷数学⼀、填空题：（本⼤题共14⼩题，每⼩题5分，共计70分.请把答案填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．.） 1.已知集合{1,3}A =，{1,2,}B m =，若A B B = ，则实数m = ． 2.若复数312a ii+-（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a = ． 3.某⾼中共有学⽣2800⼈，其中⾼⼀年级960⼈，⾼三年级900⼈，现采⽤分层抽样的⽅法，抽取140⼈进⾏体育达标检测，则抽取⾼⼆年级学⽣⼈数为．4.已知,{1,2,3,4,5,6}a b ∈，直线1:210l x y +-=，2:30l ax by -+=，则直线12l l ⊥的概率为．5.根据如图所⽰的伪代码，当输⼊a 的值为3时，最后输出的S 的值为．6.直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB BC ⊥，3AB =，4BC =，15AA =，若三棱柱的所有顶点都在同⼀球⾯上，则该球的表⾯积为．7.已知变量,x y 满⾜242x x y x y c ≥??+≤??-≤?，⽬标函数3z x y =+的最⼩值为5，则c 的值为．8.函数cos(2)(0)y x ??π=+<<的图像向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=-的图像重合，则?= ．9.已知等⽐数列{}n a 满⾜2532a a a =，且4a ，54，72a 成等差数列，则12n a a a 的最⼤值为．10.过圆2216x y +=内⼀点(2,3)P -作两条相互垂直的弦AB 和CD ，且AB CD =，则四边形ACBD 的⾯积为．11.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>与椭圆2211612x y +=的焦点重合，离⼼率互为倒数，设12,F F 分别为双曲线C 的左，右焦点，P 为右⽀上任意⼀点，则212PF PF 的最⼩值为．12.在平⾏四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，3A π∠=，M 为DC 的中点，N 为平⾯ABCD 内⼀点，若||||AB NB AM AN -=-，则AM AN ?= ．13.已知函数()f x =2212211,211log (),22x x x x x x ?+-≤-?+>-，2()22g x x x =---.若存在a R ∈，使得()()0f a g b +=，则实数b 的取值范围是．14.若函数2()(1)||f x x x a =+-在区间[1,2]-上单调递增，则实数a 的取值范围是．⼆、解答题（本⼤题共6⼩题，共90分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，ABCD 是菱形，DE ⊥平⾯ABCD ，//AF DE ，2DE AF =.（1）求证：AC ⊥平⾯BDE ；（2）求证：//AC 平⾯BEF .16.在ABC ?中，⾓,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3cos 4A =，2C A =. （1）求cosB 的值；（2）若24ac =，求ABC ?的周长.17.如图，点C 为某沿海城市的⾼速公路出⼊⼝，直线BD 为海岸线，3CAB π∠=，AB BD ⊥，BC是以A 为圆⼼，半径为1km 的圆弧型⼩路.该市拟修建⼀条从C 通往海岸的观光专线 CPPQ -，其中P 为 BC 上异于,B C 的⼀点，PQ 与AB 平⾏，设PAB θ∠=.（1）证明：观光专线 CPPQ -的总长度随θ的增⼤⽽减⼩；（2）已知新建道路PQ 的单位成本是翻新道路 CP的单位成本的2倍.当θ取何值时，观光专线 CPPQ -的修建总成本最低？请说明理由.18.已知椭圆2222:1(0,0)x y E a b a b +=>>12,F F 分别为左，右焦点，,A B 分别为左，右顶点，原点O 到直线BD 的距离为3设点P 在第⼀象限，且PB x ⊥轴，连接PA 交椭圆于点C .（1）求椭圆E 的⽅程；（2）若三⾓形ABC 的⾯积等于四边形OBPC 的⾯积，求直线PA 的⽅程；（3）求过点,,B C P 的圆⽅程（结果⽤t 表⽰）. 19.已知数列{}n a 满⾜121111(1)(1)(1)n na a a a ---= ，*n N ∈，n S 是数列{}n a 的前n 项的和.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若p a ，30，q S 成等差数列，p a ，18，q S 成等⽐数列，求正整数,p q 的值；（3）是否存在*k N ∈{}n a 中的项？若存在，求出所有满⾜条件的k 的值；若不存在，请说明理由.20.已知函数()(32)x f x e x =-，()(2)g x a x =-，其中,a x R ∈. （1）求过点(2,0)和函数()y f x =的图像相切的直线⽅程；（2）若对任意x R ∈，有()()f x g x ≥恒成⽴，求a 的取值范围；（3）若存在唯⼀的整数0x ，使得00()()f x g x <，求a 的取值范围.数学（加试题）说明：解答时应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.21.选修4-2：矩阵与变换已知矩阵34A a b ??=??，若矩阵A 属于特征值1λ的⼀个特征向量为112α??=??-??，属于特征值2λ的⼀个特征向量为23α??=?-.求矩阵A . 22.选修4-4：坐标系与参数⽅程在平⾯直⾓坐标系xOy 中，直线l的参数⽅程是122x t y m ?=??=+（t 是参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建⽴极坐标系，若圆C 的极坐标⽅程是4sin ρθ=，且直线l 与圆C 相交，求实数m 的取值范围.23.某公司有,,,A B C D 四辆汽车，其中A 车的车牌尾号为0，,B C 两辆车的车牌尾号为6，D 车的车牌尾号为5，已知在⾮限⾏⽇，每辆车都有可能出车或不出车.已知,A D 两辆汽车每天出车的概率为34，,B C 两辆汽车每天出车的概率为12，且四辆汽车是否出车是相互独⽴的. 该公司所在地区汽车限⾏规定如下：（1）求该公司在星期四⾄少有2辆汽车出车的概率；（2）设ξ表⽰该公司在星期⼀和星期⼆两天出车的车辆数之和，求ξ的分布列和数学期望. 24.在四棱锥P ABCD -中，ABP ?是等边三⾓形，底⾯ABCD 是直⾓梯形，90DAB ∠=?，//AD BC ，E 是线段AB 的中点，PE ⊥底⾯ABCD ，已知22DA AB BC ===.（1）求⼆⾯⾓P CD AB --的正弦值；（2）试在平⾯PCD 上找⼀点M ，使得EM ⊥平⾯PCD .。