矩阵分析第四讲

的秩，又
, T ( xn )
( T ( x1 ),T ( x2 ),
T ( x1 ), T ( x2 ),
, T ( xn ) ) = ( x1 , x2 ,
, xn ) A
, T ( xn ) 的秩等于矩阵A的秩
∴ 秩(T ) ＝秩 ( A).
设T为n 维线性空间V的线性变换，则
T 的秩＋ T 的零度＝n
T ( xi ) = α i， i = 1,2,
, n.
,α n , 存在唯一的线性
1．线性变换的矩阵
设 x1 , x2 ,
, xn为数域P上线性空间V的一组基，T
为V的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出,设
T ( x1 ) = a11 x1 + a21 x2 + T ( x2 ) = a12 x1 + a22 x2 + T ( x ) = a x + a x + n 1n 1 2n 2 + a n1 x n + an 2 xn + ann xn
求 在标准基 e1 , e2 , e3 下的矩阵.
( )
(0,0,1) (0,0,0)
例2. 设线性空间 Pn [t ] 的线性变换T为 Tf ( t ) = f ′( t ) t2 tn 基Ⅰ为 f 0 = 1, f1 = t , f 2 = , , f n = 2! n! 基Ⅱ为 g0 = 1, g1 = t , g2 = t 2 , , gn = t n 记T在基Ⅰ下的矩阵为A1 ，在基Ⅱ下的矩阵为A2
任意n个向量 α1 ,α 2 ,
T ( xi ) = α i ,
i = 1,2,
∀y ∈ V , 证：
y = k1 x1 + k2 x2 +
+ k n xn + knα n，
定义 T : V → V ,
T ( y )＝k1α1 + k2α 2 +
易知 T 为V的一个变换，下证它是线性的. 任取 y，z ∈ V , 设 y=∑ bi xi , z = ∑ ci xi
例:
则
在线性空间 Pn [ x ] 中，令 T ( f ( x ) ) = f ′( x )
R ( T ) = Pn−1[ x ] N (T ) = P
R(T ) + N (T ) = Pn−1[ x ]
定理：设x1 , x2 , , xn 为数域K上线性空间V的一组
基，在这组基下，V的每一个线性变换都与 P 的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质： ① 线性变换的和对应于矩阵的和； ②线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； ③线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； ④ 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应 于逆矩阵.
矩阵分析与应用
第四讲 线性变换之二
本讲主要内容

线性变换在给定基下的矩阵 线性变换的矩阵表示 象与原象坐标间的关系 线性变换在不同基下矩阵之间的关系 线性变换的特征值与特征向量
设 x1 , x 2 ,
, xn 是线性空间Vn的一组基，T为Vn
的线性变换. 则对任意 x ∈V n 存在唯一的一组数
kT1 在基 x1 , x2 , , xn下的矩阵为 kA.
+ k n xn ,
, T ( xn ) )
+ knT ( xn )
即 R(T ) ⊆ L ( T ( x1 ), T ( x2 ), 又对 ∀k1T ( x1 ) + k2T ( x2 ) + 有
k1T ( x1 ) + k2T ( x2 ) +
, T ( xn ) )
+ knT ( xn )
+ knT ( xn )
, xn
1）T 的值域 R(T ) 是由基象组生成的子空间，即
R(T ) = L ( T ( x1 ), T ( x2 ),
, T ( xn ) )
2） T 的秩＝A的秩.
证：1） ∀y ∈ V , 设 y = k1 x1 + k2 x2 + 于是
T ( y ) = k1T ( x1 ) + k2T ( x2 ) + ∈ L ( T ( x1 ), T ( x2 ),
但 T ( xi ) = 0, 下证 T ( xr +1 ), 线性无关. 设
kr +1T ( xr +1 ) +
i = 1,2,
,r.
∴ R(T ) = L ( T ( xr +1 ),
, T ( xn ) )
, T ( xn ) 为 R(T ) 的一组基，即证它们
+ knT ( xn ) = 0 + kn xn ) = 0 + kn xn ∈ N (T )
, xn下的矩阵.
注： ① 给定Vn的基 x1 , x2 , , xn 和线性变换T，
矩阵A是唯一的. ② 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵； 零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵； 数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵；
例1. 设线性空间 V 3的线性变换T为
T ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 , x2 , x1 + x2 )
k1 , k2 , , kn ∈ K , 使 x = k1 x1 + k2 x2 +
+ kn x n
T ( x ) = k1T ( x1 ) + k2T ( x2 ) + 从而，
+ knT ( xn ).
由此知， T ( x)
由 T ( x1 ), T ( x2 ), , T ( xn ) 完全确定.
用矩阵表示即为
T ( x1 , x2 ,
, xn ) = ( Tx1 , Tx2 ,
, Txn ) = ( x1 , x2 ,
, xn ) A
a1n a11 a12 a21 a22 a2 n 其中 A= , a a a nn n1 n 2 矩阵A称为线性变换 T 在基 x1 , x2 ,
T2 ( x )＝k1T2 ( x1 ) + k2T2 ( x2 ) + + kn x n
+ knT1 ( xn )
+ knT2 ( xn ) ∴ T1 = T2
由已知，即得 T1 ( x )＝T2 ( x ) 用所决定.
由此知，一个线性变换完全由它在一组基上的作
设 x1 , x2 ,
, xn是线性空间V的一组基，对V中 ,α n , 都存在线性变换T使 ,n
, xn ) ( AB )
, xn 下的矩阵为AB.
∴ T1T2在基 x1 , x2 ,
( kT1 ) ( x1 , x2 , , xn ) = ( ( kT1 )( x1 ) , , ( kT1 ) ( xn ) ) = ( kT1 ( x1 ) , , kT1 ( xn ) ) = k ( T1( x1 ) , , T1 ( xn ) ) = kT1 ( x1 , x2 , , xn ) = k ( x1 , x2 , , xn ) A = ( x1 , x2 , , xn ) ( kA )
i =1 i =1 n n
则
y＋z＝∑ （bi＋c） i xi ,
i =1 n
n
ky = ∑ (kbi ) xi
i =1 n n
n
（bi＋c） 于是 T ( y＋z ) = ∑ i α i = ∑ biα i + ∑ ciα i
i =1 i =1 i =1
= T ( y) + T ( z) T ( kx ) = ∑ (kbi )α i = k ∑ biα i = kT ( y )
定义：线性变换T的值域 R(T ) 的维数称为T的秩
T的核 N (T ) 的维数称为T的亏（零度）
例:
在线性空间 Pn [ x ] 中，令
T ( f ( x ) ) = f ′( x )
则
T ( Pn [ x ]) = Pn−1[ x ] N (T ) = P
T的零度为1. 所以T的秩为n ，
定理: 设T是n 维线性空间V的线性变换，x1 , x2 , 是V的一组基，T在这组基下的矩阵是A，则
Tf 0 = 0, Tf1 = f 0 , Tf 2 = f1 , , Tf n = f n−1 Tg0 = 0, Tg1 = g0 , Tg2 = 2 g1 , , Tgn = ngn−1
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 ∴ A1 = , A2 = 0 1 0 n 0 0
n×n
中
证：设T1 , T2为两个线性变换，它们在基 x1 , x2 , 下的矩阵分别为A、B，即
T1 ( x1 , x2 , T2 ( x1 , x2 , , xn ) = ( x1 , x2 , , xn ) = ( x1 , x2 , , xn ) A , xn ) B
, xn
①
( T1 + T2 ) ( x1 , x2 , , xn ) = T1 ( x1 , x2 , , xn ) + T2 ( x1 , x2 , , xn ) = ( x1 , x2 , , xn ) A + ( x1 , x2 , , xn ) B = ( x1 , x2 , , xn ) ( A + B )
即
dim R(T ) + dim N (T ) = n.
证明：设 T 的零度等于r ，在核 N (T ) 中取一组基 x1 , x2 , , xr 并把它扩充为V的一组基：x1 , x2 ,
R(T ) 是由基象组 T ( x1 ), T ( x2 ),
, xr ,
, xn
, T ( xn ) 生成的.
则有 T ( kr +1 xr +1 +
∴ y = k r +1 xr +1 +
即 y 可被 x1 , x2 ,
, xr 线性表出.
设
y = k1 x1 + k2 x2 +
+ k r xr
于是有 k1 x1 + k2 x2 + 由于
x1 , x2 , , xn = kn = 0
+ k r xr , − k r +1 xr +1 −
= T ( k1 x1 + k2 x2 + ... + kn xn ) ∈ R(T ) ∴ L ( T ( x1 ), T ( x2 ),
, T ( xn ) ) ⊆ R(T ). , T ( xn ) ) .
因此，R(T ) = L ( T ( x1 ), T ( x2 ),
2）由1）， T 的秩等于基象组 T ( x1 ), T ( x2 ),
i =1 i =1 n n
∴ T 为V的线性变换.
又 xi = 0 x1 +
∴ T ( xi ) = α i ,
+ 0 x i −1 + x i + 0 x i + 1 + i = 1,2, ,n
+ 0 xn
由此即得
定理 设 x1 , x2 , , xn 为线性空间V的一组基，
对V中任意n个向量 α1 ,α 2 , 变换T使
设 x1 , x2 ,
, xn 是线性空间V的一组基，T1,T2 为 , n.
V的线性变换，若 T1 ( xi ) = T2 ( xi ), i = 1, 2, 则 T1 = T2 证：对 ∀x ∈V , x = k1 x1 + k2 x2 +
T1 ( x )＝k1T1 ( x1 ) + k2T1 ( x2 ) +
− k n xn = 0
为V的基.
∴ k1 = k2 =
故T ( xr +1 ),
, T ( xn ) 线 性无Leabharlann Baidu，即它为 R(T ) 的一组基.
∴ T 的秩＝n－r .
因此，T 的秩＋ T 的零度＝n.
注意：
虽然 R(T ) 与 N (T ) 的维数之和等于n ，但是
R(T ) + N (T ) 未必等于V.
线性变换T的值域： 线性变换T的核：
R(T ) = { y | y = Tx , x ∈ V } N (T ) = { x | Tx = 0, x ∈ V }
定理：线性空间V的线性变换T的值域和核都是V的 线性子空间
V ≠ ∅ ⇒ R(T ) ≠ ∅ , ∀y1 ∈ R(T ) ⇒ ∃x1 ∈ V ,st y1 ∈ Tx1 ∀y2 ∈ R(T ) ⇒ ∃x2 ∈ V ,st y2 ∈ Tx2 ky1 = k ( Tx1 ) = T ( kx1 ) ∈ R(T ) 所以，R(T ) 是V的线性子空间 y1 + y2 = Tx1 + Tx2 = T ( x1 + x2 ) ∈ R(T )
∵ , xn下的矩阵为A＋B.
∴ T1 +T2 在基 x1 , x2 ,
② ∵
= ( x1 , x2 ,
③∵
( T1T2 ) ( x1 , x2 , , xn ) = T1 ( T2 ( x1 , x2 , , xn ) ) = T1 ( ( x1 , x2 , , xn ) B )= T1 ( x1 , x2 , , xn ) B