材料力学第12章 压杆稳定
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cr
RA
l
Fcr 2 EIw M ( x ) F w F ( l x ) 令： k cr RA y EI m FRA 2 F w k w (l x ) 其通解为： EI FRA w (0) w ( l ) 0 w A sin kx B cos kx (l x) 边界条件： Fcr w(0) (0) 0 FRA 1 w [ sin kx l cos kx (l x)] FRAl Fcr k 1 、w(0) 0 B Fcr 2 最小非零解 FRA EI 2、w(0) (0) 0 A Fcr kFcr (0.7l )2 kl 4.49
材料力学
第12章 压杆稳定
§12-1 压杆稳定的概念 一、工程实例 二、压杆稳定的概念 F
材料力学
第12章 压杆稳定
F
F'
§12-1 压杆稳定的概念 一、工程实例 二、压杆稳定的概念 失稳：细长压杆丧失原有直 线平衡形式的现象称为丧失 稳定性，简称失稳。 Fcr 称为临界压力
F F
F
F
F'
F'
直线平 衡稳定
材料力学
第12章 压杆稳定
FN ≤[ st ] A nst
§12-4 压杆的稳定计算 一、压杆稳定的条件
[ st ]
[ st ] 稳定许用应力
1、由临界应力计算 nst 2、由强度许用应力计算 [ st ] [ ]
（）
cr
稳定安全系数 nst＞1 折减系数（稳定因素）
不同的材料，ψ值可查工程手册。 ＜1 稳定条件满足，则强度条件也满足. 二、压杆稳定计算 1、稳定安全系数法 FN ≤[ st ] cr
A nst
2、折减系数法 注意：
FN ≤[ st ] [ ] A
①当压杆横截面局部有削弱时，稳定计算采用毛面积， 但削弱截面强度校核时，采用净面积。 ②折减系数法设计截面时， ψ或λ与截面的形状和尺寸 有关，需采用试算的方法设计。
FN 270 103 53.68MPa 4 A 2 25.15 10 ≤[ st ](1 5%) 55.5MPa
3、强度校核 削弱截面需进行强度校核
FN ≤[ ] Aj FN 270 103 Aj 2 25.15 104 4 0.01 0.03
z0
Baidu Nhomakorabea
解： 1、求合理间距 单个槽钢
z zc
A0 25.15cm2，I z 0 934.5cm4，I y 0 83.4cm4
z0 1.75cm，t 1cm
h 8.14cm
t
h y yc
2、稳定校核
FN ≤[ st ] [ ] A
0.311 [ st ] [ ] 0.311170 52.87MPa
Fcr
A
两端固定
0.5
l
A
l
B
B
材料力学
第12章 压杆稳定
Fcr
h
§12-2 细长压杆临界压力
EI Fcr ( l )2 1、在哪一个平面内失稳？
b
y z
x
y
六、讨论
2
x
x
杆端约束在各方向上相同，在最小的刚度平面内失稳。 Fcr A 两个平面内失稳的临界压力中取小值。 A 2、在哪一个杆段失稳？
cr
w
B y
w
Fcr M (x )
EIw M ( x) Fcr w
w k 2 w 0
Fcr 令：k EI
2
l
二阶常系数微分方程
x
y
其通解为： w A sin kx B cos kx
0 sin kl 1 0 kl n cos kl
边界条件： w(0) w(l ) 0
§12-2 细长压杆临界压力 五、欧拉公式统一式 l：压杆的计算长度（自由长度、相当长度） 2 EI Fcr l：压杆的实际长度 ( l )2 ：长度因数（长度系数） ，与杆端约束情况有关。
Fcr A
Fcr A
两端铰支
B
1 0.7 2
l
l
B
一端固定一端铰支
Fcr
一端固定一端自由
A 0 B 0 A sin kl B cos kl 0
sin kl 0
A、B要有非零解
n 2 π 2 EI F l2
(n 0,1,2,......)
材料力学
第12章 压杆稳定
§12-2 细长压杆临界压力 四种典型杆端约束情况下压杆的临界压力 一、两端铰支 图示压杆在临界压力作用下，在xy面内处于微 x 弯平衡，试求临界荷载。 F 解： 其通解为： w A sin kx B cos kx kl n
l
i
，
为一无量纲的参数，称为压杆的长细比（柔度），
综合反映了压杆的①截面几何形状和尺寸②杆端约束③压杆 的实际长度对临界荷载的影响。 适用条件 临界应力 cr ≤ P比例极限 二、欧拉公式的适用范围 欧拉公式的推导采用了近 2E 2E P 似挠曲线微分方程，压杆失 cr = 2 ≤ P ≥ P 稳时仍处于弹性范围内。 P : 应用欧拉公式的压杆柔度的界限值.
材料力学
第12章 压杆稳定
第十二章 压杆稳定
材料力学
第12章 压杆稳定
• • • • •
本部分主要内容 压杆稳定的概念 细长压杆的临界力 欧拉公式的适用范围及经验公式 提高压杆稳定性的措施
材料力学
第12章 压杆稳定
§12-1 压杆稳定的概念
一、工程实例
①强度 构件的承载能力： ②刚度 ③稳定性
工程中有些构
A为压杆中点的挠度，可以是任意的微小值。 采用近似挠曲线。
材料力学
第12章 压杆稳定
§12-2 细长压杆临界压力 二、一端固定，一端铰支的压杆 x 图示压杆在临界压力作用下，在xy面内处于微 F 弯平衡，试求临界荷载。 A EIw M ( x) F 解： 挠曲线近似微分方程 B端存在约束反力偶，故A端存在支反力。 w 弯矩方程 M ( x) Fcr w FRA (l x)
Fcr上
2 EI
(2 xl )
2
2 EI
(l 2 x)
2
Fcr中
w
l x 4
Fcr
(0.5l ) 2
l/ 4
x
2 EI
B
l/ 2
A、B两点为反弯点，其弯矩为零。 AB段相当于两端简支的情况，上下两端相当于一 端固定，一端自由的情况。
l
A
l/ 4
x
y
材料力学
第12章 压杆稳定
材料力学
第12章 压杆稳定
§12-3 欧拉公式适用范围、临界应力总图 三、临界应力总图
σcr
σu A
B
σcr =a-bλ
σcr =
C
π 2E r
σp
O
λ2
σcr = π E λ2
2
D
小柔 λu 中柔 λp 大柔 度杆 度杆 度杆
λ = ul i
cr与的关系图线 u （ cr s） cr a b （u p） 2E （≥ p） 2 AB段，小柔度杆，短而粗，因强度而破坏. BC段，中柔度杆，因失稳而破坏，但不能 应用欧拉公式. CD段，大柔度杆，细而长，因失稳而破坏.
h 8.14cm
0.311
材料力学
第12章 压杆稳定
例题1 厂房钢柱长7m，由两根16号槽钢组成，两端用螺栓借助连接板 与基础、梁连接，同一截面最多有四个螺栓孔，长度因素 1.3， 钢柱承受的压力位270kN,[ ]=170MPa，
d
（1）试确定槽钢的合理间距h，（2）校核其稳定性和强度
B
B cr
3、w(l ) 0 tan kl kl
x
材料力学
第12章 压杆稳定
x Fcr
§12-2 细长压杆临界压力 三、一端自由，一端固定 其临界压力同样可根据用挠曲线方程求出。 但根据其变形形态，也可用类比法得到： 2 EI
Fcr (2l ) 2
l
y
l
四、两端固定
Fcr
l-2x
两个平面内同时失稳
h y yc
两端约束在各个方向相同 则应使得I y I z 单个槽钢 A0 25.15cm2，I z 0 934.5cm4，I y 0 83.4cm4
z0 1.75cm，t 1cm
t
h 2 I y 2[ I y 0 A0 ( z0 ) ] I z 2I z 0 2、稳定校核 i 2 I z 0 934.5 61mm 2 2 A0 25.15 h 2 F I y 0 A0 ( z0 ) I z 0 N ≤[ st ] [ ] l 1.3 7 149 2 A i 0.061 h 2 83.4 25.15(1.75 ) 934.5 Q235钢，b类截面，查表可得： 2
l
Fcr
C 不同杆段失稳的临界压力中取小值。 3、弹性支承 B B 会定性分析，约束越强，临界压力越大。 0.7＜＜2 4、安全因素 欧拉公式理想力学模型：均质直杆，轴向压力 工程实际的压杆往往存在①初曲率②材质不均匀③荷载偏心 等不利的因素，可在安全系中考虑。
l2
l1
材料力学
第12章 压杆稳定
（） 1 F＜Fcr
弯曲平 衡构型
弯折 破坏
（2）F =Fcr
（3）F＞Fcr
是中心受压直杆在直线形态下的平衡，由稳定平衡转化为不稳定 平衡时所收轴向压力的界限值。 其他薄壁结构失稳 失稳破坏特点： F 突发性造成的后 果也是很严重的。
材料力学
第12章 压杆稳定
§12-2 细长压杆临界压力 四种典型杆端约束情况下压杆的临界压力 一、两端铰支 图示压杆在临界压力作用下，在xy面内处于微 x 弯平衡，试求临界荷载。 F EIw M ( x) 解： 挠曲线近似微分方程 A 弯矩方程 M ( x) Fcr w
§12-3 欧拉公式适用范围、临界应力总图 一、压杆的临界应力
临界应力：压杆在临界荷载作用下，直线平衡时， 横截面上的正应力。
F cr = cr A
2 EI Fcr ( l ) 2
I i A
2
2E cr l 2
( i )
令
l
i
2E cr 2
件具有足够的强度、 刚度，却不一定能 安全可靠地工作。
材料力学
第12章 压杆稳定
§12-1 压杆稳定的概念
一、工程实例
压杆失稳造成的灾难 1907年8月9日,在加拿大离魁北克城14.4km横跨圣劳伦斯 河的大铁桥在施工中倒塌.灾变发生在当日收工前15分钟,桥上 74人坠河遇难.原因是在施工中悬臂桁架西侧的下弦杆有二节失 稳所致. 1909年汉堡一60万m3储气罐由于支撑结构失稳而破坏。 杭州某研发生产中心的厂房屋顶为园弧形大面积结构,屋面 采用预应力密肋网架结构,密肋大梁横截面(600mm×1400mm), 屋面采用现浇板,板厚120mm .2003年2月18日晚19时,当施工到 26～28轴时,支模架失稳坍塌,造成重大伤亡事故。 美国哈特福特城的体育馆网架结构，平面92m×110m,突然 于1978年破坏而落地，破坏起因可能是压杆屈曲。以及1988年 加拿大一停车场的屋盖结构塌落，1985年土耳其某体育场看台 屋盖塌落，这两次事故都和没有设置适当的支撑有关。
cr
A
w
B
w
Fcr M (x )
x
n2 π 2 EI Fcr (n 0,1, 2,......) 2 l 理论上只有n=0的解不符合，取其最小解
当n = 1 时： F cr
x
l
l
y
y
2 EI
l2 瑞士科学家欧拉1774年提出，通常称为欧拉公式。
挠曲线方程
w A sin
半波正炫曲线
材料力学
第12章 压杆稳定
例题1 厂房钢柱长7m，由两根16号槽钢组成，两端用螺栓借助连接板 与基础、梁连接，同一截面最多有四个螺栓孔，长度因素 1.3， 钢柱承受的压力位270kN,[ ]=170MPa，
d
（1）试确定槽钢的合理间距h，（2）校核其稳定性和强度
z0
解： 1、求合理间距
z zc
a b 2 （ p）
σcr σu σp
O
σcr =a-bλ
2
σcr = π E λ2
2
2E （≥ p） 2 2 MPa Q235钢: cr 235 0.00668
cr
λp
λ = ul i
16锰钢:
cr 343 0.0142 2 MPa
RA
l
Fcr 2 EIw M ( x ) F w F ( l x ) 令： k cr RA y EI m FRA 2 F w k w (l x ) 其通解为： EI FRA w (0) w ( l ) 0 w A sin kx B cos kx (l x) 边界条件： Fcr w(0) (0) 0 FRA 1 w [ sin kx l cos kx (l x)] FRAl Fcr k 1 、w(0) 0 B Fcr 2 最小非零解 FRA EI 2、w(0) (0) 0 A Fcr kFcr (0.7l )2 kl 4.49
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§12-1 压杆稳定的概念 一、工程实例 二、压杆稳定的概念 F
材料力学
第12章 压杆稳定
F
F'
§12-1 压杆稳定的概念 一、工程实例 二、压杆稳定的概念 失稳：细长压杆丧失原有直 线平衡形式的现象称为丧失 稳定性，简称失稳。 Fcr 称为临界压力
F F
F
F
F'
F'
直线平 衡稳定
材料力学
第12章 压杆稳定
FN ≤[ st ] A nst
§12-4 压杆的稳定计算 一、压杆稳定的条件
[ st ]
[ st ] 稳定许用应力
1、由临界应力计算 nst 2、由强度许用应力计算 [ st ] [ ]
（）
cr
稳定安全系数 nst＞1 折减系数（稳定因素）
不同的材料，ψ值可查工程手册。 ＜1 稳定条件满足，则强度条件也满足. 二、压杆稳定计算 1、稳定安全系数法 FN ≤[ st ] cr
A nst
2、折减系数法 注意：
FN ≤[ st ] [ ] A
①当压杆横截面局部有削弱时，稳定计算采用毛面积， 但削弱截面强度校核时，采用净面积。 ②折减系数法设计截面时， ψ或λ与截面的形状和尺寸 有关，需采用试算的方法设计。
FN 270 103 53.68MPa 4 A 2 25.15 10 ≤[ st ](1 5%) 55.5MPa
3、强度校核 削弱截面需进行强度校核
FN ≤[ ] Aj FN 270 103 Aj 2 25.15 104 4 0.01 0.03
z0
Baidu Nhomakorabea
解： 1、求合理间距 单个槽钢
z zc
A0 25.15cm2，I z 0 934.5cm4，I y 0 83.4cm4
z0 1.75cm，t 1cm
h 8.14cm
t
h y yc
2、稳定校核
FN ≤[ st ] [ ] A
0.311 [ st ] [ ] 0.311170 52.87MPa
Fcr
A
两端固定
0.5
l
A
l
B
B
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Fcr
h
§12-2 细长压杆临界压力
EI Fcr ( l )2 1、在哪一个平面内失稳？
b
y z
x
y
六、讨论
2
x
x
杆端约束在各方向上相同，在最小的刚度平面内失稳。 Fcr A 两个平面内失稳的临界压力中取小值。 A 2、在哪一个杆段失稳？
cr
w
B y
w
Fcr M (x )
EIw M ( x) Fcr w
w k 2 w 0
Fcr 令：k EI
2
l
二阶常系数微分方程
x
y
其通解为： w A sin kx B cos kx
0 sin kl 1 0 kl n cos kl
边界条件： w(0) w(l ) 0
§12-2 细长压杆临界压力 五、欧拉公式统一式 l：压杆的计算长度（自由长度、相当长度） 2 EI Fcr l：压杆的实际长度 ( l )2 ：长度因数（长度系数） ，与杆端约束情况有关。
Fcr A
Fcr A
两端铰支
B
1 0.7 2
l
l
B
一端固定一端铰支
Fcr
一端固定一端自由
A 0 B 0 A sin kl B cos kl 0
sin kl 0
A、B要有非零解
n 2 π 2 EI F l2
(n 0,1,2,......)
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第12章 压杆稳定
§12-2 细长压杆临界压力 四种典型杆端约束情况下压杆的临界压力 一、两端铰支 图示压杆在临界压力作用下，在xy面内处于微 x 弯平衡，试求临界荷载。 F 解： 其通解为： w A sin kx B cos kx kl n
l
i
，
为一无量纲的参数，称为压杆的长细比（柔度），
综合反映了压杆的①截面几何形状和尺寸②杆端约束③压杆 的实际长度对临界荷载的影响。 适用条件 临界应力 cr ≤ P比例极限 二、欧拉公式的适用范围 欧拉公式的推导采用了近 2E 2E P 似挠曲线微分方程，压杆失 cr = 2 ≤ P ≥ P 稳时仍处于弹性范围内。 P : 应用欧拉公式的压杆柔度的界限值.
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第12章 压杆稳定
第十二章 压杆稳定
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• • • • •
本部分主要内容 压杆稳定的概念 细长压杆的临界力 欧拉公式的适用范围及经验公式 提高压杆稳定性的措施
材料力学
第12章 压杆稳定
§12-1 压杆稳定的概念
一、工程实例
①强度 构件的承载能力： ②刚度 ③稳定性
工程中有些构
A为压杆中点的挠度，可以是任意的微小值。 采用近似挠曲线。
材料力学
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§12-2 细长压杆临界压力 二、一端固定，一端铰支的压杆 x 图示压杆在临界压力作用下，在xy面内处于微 F 弯平衡，试求临界荷载。 A EIw M ( x) F 解： 挠曲线近似微分方程 B端存在约束反力偶，故A端存在支反力。 w 弯矩方程 M ( x) Fcr w FRA (l x)
Fcr上
2 EI
(2 xl )
2
2 EI
(l 2 x)
2
Fcr中
w
l x 4
Fcr
(0.5l ) 2
l/ 4
x
2 EI
B
l/ 2
A、B两点为反弯点，其弯矩为零。 AB段相当于两端简支的情况，上下两端相当于一 端固定，一端自由的情况。
l
A
l/ 4
x
y
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第12章 压杆稳定
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第12章 压杆稳定
§12-3 欧拉公式适用范围、临界应力总图 三、临界应力总图
σcr
σu A
B
σcr =a-bλ
σcr =
C
π 2E r
σp
O
λ2
σcr = π E λ2
2
D
小柔 λu 中柔 λp 大柔 度杆 度杆 度杆
λ = ul i
cr与的关系图线 u （ cr s） cr a b （u p） 2E （≥ p） 2 AB段，小柔度杆，短而粗，因强度而破坏. BC段，中柔度杆，因失稳而破坏，但不能 应用欧拉公式. CD段，大柔度杆，细而长，因失稳而破坏.
h 8.14cm
0.311
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第12章 压杆稳定
例题1 厂房钢柱长7m，由两根16号槽钢组成，两端用螺栓借助连接板 与基础、梁连接，同一截面最多有四个螺栓孔，长度因素 1.3， 钢柱承受的压力位270kN,[ ]=170MPa，
d
（1）试确定槽钢的合理间距h，（2）校核其稳定性和强度
B
B cr
3、w(l ) 0 tan kl kl
x
材料力学
第12章 压杆稳定
x Fcr
§12-2 细长压杆临界压力 三、一端自由，一端固定 其临界压力同样可根据用挠曲线方程求出。 但根据其变形形态，也可用类比法得到： 2 EI
Fcr (2l ) 2
l
y
l
四、两端固定
Fcr
l-2x
两个平面内同时失稳
h y yc
两端约束在各个方向相同 则应使得I y I z 单个槽钢 A0 25.15cm2，I z 0 934.5cm4，I y 0 83.4cm4
z0 1.75cm，t 1cm
t
h 2 I y 2[ I y 0 A0 ( z0 ) ] I z 2I z 0 2、稳定校核 i 2 I z 0 934.5 61mm 2 2 A0 25.15 h 2 F I y 0 A0 ( z0 ) I z 0 N ≤[ st ] [ ] l 1.3 7 149 2 A i 0.061 h 2 83.4 25.15(1.75 ) 934.5 Q235钢，b类截面，查表可得： 2
l
Fcr
C 不同杆段失稳的临界压力中取小值。 3、弹性支承 B B 会定性分析，约束越强，临界压力越大。 0.7＜＜2 4、安全因素 欧拉公式理想力学模型：均质直杆，轴向压力 工程实际的压杆往往存在①初曲率②材质不均匀③荷载偏心 等不利的因素，可在安全系中考虑。
l2
l1
材料力学
第12章 压杆稳定
（） 1 F＜Fcr
弯曲平 衡构型
弯折 破坏
（2）F =Fcr
（3）F＞Fcr
是中心受压直杆在直线形态下的平衡，由稳定平衡转化为不稳定 平衡时所收轴向压力的界限值。 其他薄壁结构失稳 失稳破坏特点： F 突发性造成的后 果也是很严重的。
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第12章 压杆稳定
§12-2 细长压杆临界压力 四种典型杆端约束情况下压杆的临界压力 一、两端铰支 图示压杆在临界压力作用下，在xy面内处于微 x 弯平衡，试求临界荷载。 F EIw M ( x) 解： 挠曲线近似微分方程 A 弯矩方程 M ( x) Fcr w
§12-3 欧拉公式适用范围、临界应力总图 一、压杆的临界应力
临界应力：压杆在临界荷载作用下，直线平衡时， 横截面上的正应力。
F cr = cr A
2 EI Fcr ( l ) 2
I i A
2
2E cr l 2
( i )
令
l
i
2E cr 2
件具有足够的强度、 刚度，却不一定能 安全可靠地工作。
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第12章 压杆稳定
§12-1 压杆稳定的概念
一、工程实例
压杆失稳造成的灾难 1907年8月9日,在加拿大离魁北克城14.4km横跨圣劳伦斯 河的大铁桥在施工中倒塌.灾变发生在当日收工前15分钟,桥上 74人坠河遇难.原因是在施工中悬臂桁架西侧的下弦杆有二节失 稳所致. 1909年汉堡一60万m3储气罐由于支撑结构失稳而破坏。 杭州某研发生产中心的厂房屋顶为园弧形大面积结构,屋面 采用预应力密肋网架结构,密肋大梁横截面(600mm×1400mm), 屋面采用现浇板,板厚120mm .2003年2月18日晚19时,当施工到 26～28轴时,支模架失稳坍塌,造成重大伤亡事故。 美国哈特福特城的体育馆网架结构，平面92m×110m,突然 于1978年破坏而落地，破坏起因可能是压杆屈曲。以及1988年 加拿大一停车场的屋盖结构塌落，1985年土耳其某体育场看台 屋盖塌落，这两次事故都和没有设置适当的支撑有关。
cr
A
w
B
w
Fcr M (x )
x
n2 π 2 EI Fcr (n 0,1, 2,......) 2 l 理论上只有n=0的解不符合，取其最小解
当n = 1 时： F cr
x
l
l
y
y
2 EI
l2 瑞士科学家欧拉1774年提出，通常称为欧拉公式。
挠曲线方程
w A sin
半波正炫曲线
材料力学
第12章 压杆稳定
例题1 厂房钢柱长7m，由两根16号槽钢组成，两端用螺栓借助连接板 与基础、梁连接，同一截面最多有四个螺栓孔，长度因素 1.3， 钢柱承受的压力位270kN,[ ]=170MPa，
d
（1）试确定槽钢的合理间距h，（2）校核其稳定性和强度
z0
解： 1、求合理间距
z zc
a b 2 （ p）
σcr σu σp
O
σcr =a-bλ
2
σcr = π E λ2
2
2E （≥ p） 2 2 MPa Q235钢: cr 235 0.00668
cr
λp
λ = ul i
16锰钢:
cr 343 0.0142 2 MPa