北京大学常微分方程2017春期末考试题
《常微分方程》期末试卷
《常微分方程》期末试卷(16)班级 学号 姓名得分 评卷人 一、填空题（每小题5分，本题共30分）1．方程x x y xy e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是 ． 2．方程04=+''y y 的基本解组是 ．3．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的________________条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W ．4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件．5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间．6．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．得分 评卷人 二、计算题（每小题8分，本题共40分）求下列方程的通解7. x y xy 2e 3d d =+ 8. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x9．0e =-'+'x y y10．求方程x y y 5sin 5='-''的通解．11．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x ty y x t x 4d d d d得分 评卷人 三、证明题（每小题15分，本题共30分）12．设)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数．13．设)(x ϕ在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程y x xy sin )(d d ϕ= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．《常微分方程》期末试卷参考答案一、填空题（每小题5分，本题共30分）1．),(∞+-∞2．x x 2cos ,2sin3．必要4．充分5．n6．必要二、计算题（每小题8分，本题共40分）7．解 齐次方程的通解为x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为x x C y 3e )(-=代入原方程，确定出 C x C x +=5e 51)( 原方程的通解为x C y 3e -=+x 2e 518．解 由于xN xy y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为103023d d )(C y y x xy x y x =++⎰⎰即 C y y x x =++42242 。
数学系常微分方程期末试卷B及答案
试卷(B)试卷份数考试本科考试科目常微分第１页（共5页)年月日第2页（共 5 页)年月日第 3 页（共 5 页）年月日第4页（共５页)年月日12-13—２学期期末考试《常微分方程》B 参考答案及评分标准(数计学院 ）制卷 审核 一、填空题（每小题3分，本题共15分）1。
1±=y 2。
x x 2cos ,2sin3．xoy 平面4．充分必要 5．不能二、单项选择题(每小题3分,本题共15分)６．A 7．C 8。
C 9。
D 10。
Ｄ三、简答题（每小题６分,本题共30分）１１．解 分离变量得x y xyd e d e = （3分)等式两端积分得通积分C x y +=e e（６分）12.解 令u x y =,则xuxu x y d d d d +=,代入原方程,得 u u x u x u tan d d +=+,u xux tan d d = （2分)当0tan ≠u 时,分离变量，再积分，得C xxu u ln d tan d +=⎰⎰ （4分)C x u ln ln sin ln += (5分） 即通积分为：Cx xy=sin（6分）13.解 方程两端同乘以5-y ,得x y xyy +=--45d d （2分） 令 z y=-4,则xz x y y d d d d 45=--，代入上式,得 x z xz=--d d 41 (3分)通解为41e4+-=-x C z x原方程通解为 41e 44+-=--x C yx （6分）14。
解: 因为xNx y M ∂∂==∂∂2,所以原方程是全微分方程 （2分） 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy yx=-⎰⎰20d d 2 （4分）即 C y y x =-3231 (6分)15。
解： 因为方程组是二阶线性驻定方程组，且满足条件00≠=ac cb a ,故奇点为原点（０，0) 2分又由d ｅｔ(A —λＥ）＝0)(02=++-=--ac c a c b a λλλλ得 c a ==21λλ 4分所以,方程组的奇点(0，0)可分为以下类型：ａ,ｃ为实数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧>><<⎭⎬⎫=≠=⎪⎩⎪⎨⎧<⎩⎨⎧>><<>≠不稳定结点，稳定结点奇点为奇结点奇点为退化结点奇点为鞍点（不稳定）不稳定结点稳定结点奇点为结点,0,00,0,0,00,0,0,0,00c a c a b b c a ac c a c a ac c a 6分四、计算题（每小题10分,本题共20分）16．解：对应齐次方程的特征方程为052=-λλ （1分） 特征根为：特征根为01=λ，52=λ, (2分）齐次方程的通解为 xC C y 521e += （4分) 因为0=α是特征根。
常微分方程计算题及答案
计 算 题（每题10分）1、求解微分方程2'22x y xy xe -+=。
2、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dx dt ydydtx y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过点(1,0)的第二次近似解。
7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x ydydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解12、求方程组dxdtx y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解13、求解微分方程x y y e x (')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dxdy+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydtdx x y dt dy dt dx243452的通解 18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。
《常微分方程》试题-5页精选文档
常微分方程试卷1一、填空题（每题3分，共15分）1．一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线．2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是3．方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ．4．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间． 5．方程21d d y xy-=的常数解是 ． 二、单项选择题（每题3分，共15分）6．方程y x xy+=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）．（A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面 7. 方程1d d +=y xy （ ）奇解．（A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个8．)(y f 连续可微是保证方程)(d d y f xy=解存在且唯一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间 （C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间10．方程323d d y xy=过点(0, 0)有（ ）．(A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、计算题（每题６分，共30分） 求下列方程的通解或通积分：11.y y x yln d d = 12. x yx y x y +-=2)(1d d13. 5d d xy y xy+=14．0)d (d 222=-+y y x x xy 15．32y y x y '+'=四、计算题（每题10分，共20分） 16．求方程255x y y -='-''的通解． 17．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x ty ty t x d d sin 1d d五、证明题（每题10分，共20分）18．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程)(d d x f y xy=+ 的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞→x y x ．19．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．常微分方程试卷1答案及评分标准一、填空题（每题3分，共15分） 1．22．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3．x x x e ,e 4．开5．1±=y二、单项选择题（每题3分，共15分） 6．D 7．C 8．B 9．C 10．A 三、计算题（每题６分，共30分）11．解 当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得 C x y y y+=⎰⎰d ln d （3分）通积分为x C y e ln = （6分）12．解 令xu y =，则xu x u x y d d d d +=，代入原方程，得 21d d u xux-= （3分）分离变量，取不定积分，得 C xxu u ln d 1d 2+=-⎰⎰（0≠C ）通积分为： Cx xyln arcsin= （6分）13．解 方程两端同乘以5-y ，得x y xyy +=--45d d 令 z y =-4，则xzx y y d d d d 45=--，代入上式，得 x z xz=--d d 41（3分） 通解为41e 4+-=-x C z x 原方程通解为41e 44+-=--x C y x （6分）14．解 因为xNx y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． （2分）取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy yx=-⎰⎰020d d 2（4分）即C y y x =-3231 （6分）15．解 原方程是克莱洛方程，通解为32C Cx y += （6分）四、计算题（每题10分，共20分）16．解 对应齐次方程的特征方程为052=-λλ，特征根为01=λ，52=λ，齐次方程的通解为x C C y 521e += （4分）因为0=α是特征根。
最新数学系常微分方程期末试卷B及答案
试卷（B）试卷份数考试本科考试科目常微分方程第1 页（共5页）年月日第 3 页（共 5 页）年月日年月日12-13-2学期期末考试《常微分方程》B 参考答案及评分标准（数计学院 ）制卷 审核 一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．1±=y 2．x x 2cos ,2sin3．xoy 平面4．充分必要 5．不能二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．A 7．C 8．C 9．D 10．D三、简答题（每小题6分，本题共30分）11．解 分离变量得x y xyd e d e = （3分）等式两端积分得通积分C xy+=e e （6分）12．解 令u x y =，则xuxu x y d d d d +=，代入原方程，得 u u x u x u tan d d +=+，u xux tan d d = （2分）当0tan ≠u 时，分离变量，再积分，得C xxu u ln d tan d +=⎰⎰ （4分）C x u ln ln sin ln += （5分） 即通积分为：Cx xy=sin（6分）13．解 方程两端同乘以5-y ，得x y xyy +=--45d d （2分）令 z y=-4，则xzx y y d d d d 45=--，代入上式，得 x z xz=--d d 41 （3分） 通解为41e4+-=-x C z x原方程通解为 41e 44+-=--x C yx （6分）14．解： 因为xNx y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程 （2分） 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy yx=-⎰⎰20d d 2 （4分）即 C y y x =-3231 （6分）15．解： 因为方程组是二阶线性驻定方程组，且满足条件00≠=ac cb a ，故奇点为原点（0，0） 2分又由det(A-λE)=0)(02=++-=--ac c a c b a λλλλ得 c a ==21λλ 4分所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型：a ，c 为实数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧>><<⎭⎬⎫=≠=⎪⎩⎪⎨⎧<⎩⎨⎧>><<>≠不稳定结点，稳定结点奇点为奇结点奇点为退化结点奇点为鞍点（不稳定）不稳定结点稳定结点奇点为结点,0,00,0,0,00,0,0,0,00c a c a b b c a ac c a c a ac c a 6分四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．解：对应齐次方程的特征方程为052=-λλ （1分） 特征根为：特征根为01=λ，52=λ， （2分）齐次方程的通解为 xC C y 521e += （4分） 因为0=α是特征根。
《常微分方程》期末模拟试题
《常微分方程》模拟练习题及参考答案一、填空题（每个空格4分，共80分）1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。
2、一阶微分方程2=dyx dx的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 21=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 24=+y x ，满足条件33ydx =⎰的解为 22=-y x 。
3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。
4、对方程2()dyx y dx=+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。
5、方程21d d y x y -=过点)1,2(π共有 无数 个解。
6、方程''21=-y x的通解为 4212122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为421912264=-++x x y x 。
7、方程x x y xy+-=d d 无 奇解。
8、微分方程2260--=d y dyy dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩dyz dx dz z y dx。
9、方程y xy=d d 的奇解是 y=0 。
10、35323+=d y dy x dx dx是 3 阶常微分方程。
11、方程22dyx y dx=+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。
12、微分方程22450d y dy y dx dx--=通解为 512-=+x xy C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组45⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩dy z dxdz z y dx。
13、二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()y x y x ϕϕ==成为其基本解组的充要条件是 线性无关 。
14、设1342A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则线性微分方程组dXAX dt =有基解矩阵 25253()4φ--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦t t t t e e t ee 。
(完整版)常微分方程期末考试试卷
常微分方程期末考试试卷学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______一． 填空题 （30分）1．)()(x Q y x P dxdy+= 称为一阶线性方程，它有积分因子 ⎰-dx x P e )( ，其通解为 _________ 。
2．函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件，如果_______ 。
3． 若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有)()(x x n ϕϕ-≤ ______ 。
4．方程22y x dxdy+=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 _______ 。
5．函数组t t t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 _______ 。
6．若),,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x -为非齐线性方 程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。
7．若)(t Φ是x t A x )('=的基解矩阵，则向量函数)(t ϕ= _______是)()('t f x t A x +=的满足初始条件0)(0=t ϕ的解；向量函数)(t ϕ= _____是)()('t f x t A x +=的满足初始条件ηϕ=)(0t 的解。
8．若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,,21 ，它们对应的特征值分别为n λλλ ,,21，那么矩阵)(t Φ= ______ 是常系数线性方程组Ax x ='的一个基解矩阵。
9．满足 _______ 的点),(**y x ，称为驻定方程组。
二． 计算题 （60分）10．求方程0)1(24322=-+dy y x dx y x 的通解。
11．求方程0=-+x e dxdydx dy的通解。
12．求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=--=0)1(22y y x dx dy1,11:≤≤+y x R 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。
常微分方程期末考试练习题及答案.
0
f ( )dt 2
ln 2 ，则 f （x）是？
解：对给定的积分方程两边关于 x 求导，得：
f ' ( x) 2 f ( x) （变上限求积分求导）
分离变量，解之得： f ( x) Ce2 x
由原方程知： f （0）=ln2 ， 代入上解析式得：
C=ln2
，
B. 可化为分离变量方程的类型。
解决数学题目有一个显而易见的思想： 即把遇到的新问题， 结合已知
sin xe x ，
sin xe xdx
sin xd (e x )
=
sin xe x e xd (sin x)
=
sin xe x e x cos xdx
=
sin xe x cos xd (e x )
=
sin xe x cos xe x e x d(cos x)
e x (sin x cos x) e x sin xdx
dx xy
（2.12 ）
令 z y 1 ， 则 dz y 2 dy ，将之代入（ 2.12 ）
dx
dx
得： dz
dx
6z x .
x
（2.13 ）
dz z
dx 6
x
z
c1 , 记（ 2.13 ）之通解为： z
x6
c1 (x) x6
，
于是： dz dc1( x) x 6 6c1 (x) x 7 ，将以上两式代入（ 2.13 ）
x 转化为齐次方程。
2. 当 a1 b1 时，
a2 b2
dy f ( (a2 x b2 y) c1 ) g( a2x b2 y)
dx
a2 x b2 y c2
a2x b2 y u, 则
常微分方程练习试卷及答案
常微分方程练习试卷一、填空题。
1. 方程23210d xx dt+=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程()x dyf xy y dx=经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程3230d yy x dx--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个.4. 设常系数方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x xy x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= .5. 朗斯基行列式()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的条件.6. 方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 .7. 已知()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = .8. 方程组20'05⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x x 的基解矩阵为 ．9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程.10 .是满足方程251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解.11.方程的待定特解可取 的形式:12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.2．求解方程13dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程222()0d x dx x dt dt+= 。
4．用比较系数法解方程..5．求方程 sin y y x '=+的通解.6．验证微分方程22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.7．设 3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11η ，试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵)(t Φ，求X A dt dX=满足初始条件η=)0(x 的解. 8. 求方程2213dyx y dx=-- 通过点(1,0) 的第二次近似解.9.求 的通解试求方程组x Ax '=的解(),t ϕ 12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt 10.若三、证明题1. 若(),()t t Φψ是()X A t X '=的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C ，使得()()t t C ψ=Φ.2. 设),()(0βαϕ≤≤x x x 是积分方程],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ϕ在],[βα上一致收敛所得的解，而)(x ψ是这积分方程在],[βα上的连续解，试用逐步逼近法证明：在],[βα上)()(x x ϕψ≡.3. 设都是区间上的连续函数, 且是二阶线性方程的一个基本解组. 试证明:(i)和都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零); (ii)和没有共同的零点;(iii) 和没有共同的零点.4.试证：如果)(t ϕ是AX dtdX=满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么ηϕ)(exp )(0t t A t -= .2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦32()480dy dy xy y dx dx -+=答案一.填空题。
常微分方程期末考试试卷
常微分方程期末考试试卷学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______一． 填空题 （30分）1．)()(x Q y x P dxdy+= 称为一阶线性方程，它有积分因子 ⎰-dx x P e )( ，其通解为 _________ 。
2．函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件，如果_______ 。
3． 若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有)()(x x n ϕϕ-≤ ______ 。
4．方程22y x dxdy+=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 _______ 。
5．函数组t t t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 _______ 。
6．若),,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x -为非齐线性方 程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。
7．若)(t Φ是x t A x )('=的基解矩阵，则向量函数)(t ϕ= _______是)()('t f x t A x +=的满足初始条件0)(0=t ϕ的解；向量函数)(t ϕ= _____是)()('t f x t A x +=的满足初始条件ηϕ=)(0t 的解。
8．若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,,21 ，它们对应的特征值分别为n λλλ ,,21，那么矩阵)(t Φ= ______ 是常系数线性方程组Ax x ='的一个基解矩阵。
9．满足 _______ 的点),(**y x ，称为驻定方程组。
二． 计算题 （60分）10．求方程0)1(24322=-+dy y x dx y x 的通解。
11．求方程0=-+x e dxdydx dy的通解。
12．求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=--=0)1(22y y x dx dy1,11:≤≤+y x R 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。
（完整版）常微分方程试题库.
1 常微分方程一、填空题1．微分方程0)(22=+-+x y dxdy dx dy n 的阶数是____________ 答：12．若),(y x M 和),(y x N 在矩形区域R 内是),(y x 的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件是_________________________答：)()1)((y Mx N y M φ=-∂∂-∂∂3．_________________________________________ 称为齐次方程.答：形如)(x y g dx dy =的方程4．如果),(y x f ___________________________________________ ,则),(y x f dxdy =存在唯一的解)(x y ϕ=,定义于区间h x x ≤-0上,连续且满足初始条件)(00x y ϕ=,其中=h _______________________ .答：在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件),min(mb a h =5．对于任意的),(1y x ,),(2y x R ∈(R 为某一矩形区域),若存在常数)0(>N N 使______________________ ,则称则称),(y x f 在R 上关于y 满足利普希兹条件.答：2121),(),(y y N y x f y x f -≤-6．方程22y x dxdy +=定义在矩形区域R :22,22≤≤-≤≤-y x 上,则经过点)0,0(的解的存在区间是___________________ 答：4141≤≤-x 7．若),.....2,1)((n i t x i=是齐次线性方程的n 个解,)(t w 为其伏朗斯基行列式,则)(t w 满足一阶线性方程___________________________________答：0)(1'=+w t a w8．若),.....2,1)((n i t x i =为齐次线性方程的一个基本解组，)(t x 为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_____________________答：x x c x n i i i +=∑=1 9．若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有≤-)()(x x n ϕϕ __________________答：1)!1(++n nh n ML 10．______________________称为黎卡提方程，若它有一个特解)(x y ，则经过变换，则经过变换 ___________________ ，可化为伯努利方程．，可化为伯努利方程．答：形如)()()(2x r y x q y x p dxdy ++=的方程的方程 y z y += 11．一个不可延展解的存在区间一定是．一个不可延展解的存在区间一定是 区间．区间．答：开答：开12．方程1d d +=y x y 满足解的存在唯一性定理条件的区域是满足解的存在唯一性定理条件的区域是． 答：}0),{(2>∈=y R y x D ，（或不含x 轴的上半平面）轴的上半平面）13．方程y x x ysin d d 2=的所有常数解是的所有常数解是 ．答：Λ,2,1,0,±±==k k y π14．函数组)(,),(),(21x x x n ϕϕϕΛ在区间I 上线性无关的上线性无关的 条件是它们的朗斯基行列式在区间I 上不恒等于零．上不恒等于零．答：充分答：充分15．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 ．答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）16．方程02=+'-''y y y 的基本解组是的基本解组是 ．答：x x x e ,e17．若)(x y ϕ=在),(∞+-∞上连续，则方程y x xy )(d d ϕ=的任一非零解的任一非零解 与x 轴相交．轴相交．答：不能答：不能18．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，如果)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续，那么它的任一非零解在xoy 平面上平面上 与x 轴相切．轴相切．答：不能答：不能19．若)(),(21x y x y ϕϕ==是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们则它们 共同零点．零点．答：没有答：没有20．方程21d d y xy -=的常数解是的常数解是 ． 答：1±=y21．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y Λ在其定义区间I 上线性相关的上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．答：必要答：必要22．方程22dd y x x y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 答：答： xoy 平面平面23．方程0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是所有常数解是 ．答：1,1±=±=x y24．方程04=+''y y 的基本解组是的基本解组是 ．答：x x 2cos ,2sin25．一阶微分方程的通解的图像是．一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线．维空间上的一族曲线． 答：2二、单项选择题1．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A ）个．）个．（A ）n （B ）n -1 （C ）n +1 （D ）n +22．如果),(y x f ，y y x f ∂∂),(都在xoy 平面上连续，那么方程),(d d y x f x y =的任一解的存在区间（区间（ D ）． （A ）必为),(∞+-∞ （B ）必为),0(∞+（C ）必为)0,(-∞ （D ）将因解而定）将因解而定3．方程y x x y +=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ DD D ））． （A ）上半平面）上半平面 （（B ）xoy 平面平面（C ）下半平面）下半平面 （（D ）除y 轴外的全平面轴外的全平面4．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ C ）． （A ）不是其对应齐次微分方程组的解）不是其对应齐次微分方程组的解 （B ）是非齐次微分方程组的解）是非齐次微分方程组的解 （C ）是其对应齐次微分方程组的解）是其对应齐次微分方程组的解 （D ）是非齐次微分方程组的通解）是非齐次微分方程组的通解5. 方程21d d y x y -=过点)1,2(π共有（共有（B ）个解．）个解． （A ）一）一 （B ）无数）无数 （C ）两）两 （D ）三）三 6. 6. 方程方程2dd +-=y x x y （ B B ）奇解．）奇解．）奇解． （A ）有三个）有三个 （（B ）无）无 （（C ）有一个）有一个 （（D ） 有两个有两个7．n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（阶线性齐次方程的所有解构成一个（ A A A ）线性空间．）线性空间．）线性空间．（A ）n 维 （（B ）1+n 维 （（C ）1-n 维 （（D ）2+n 维8．方程323d d y x y =过点（过点（ A A A ））． （（A ）有无数个解）有无数个解 （（B ）只有三个解）只有三个解 （（C ）只有解0=y （（D ）只有两个解）只有两个解 9. ),(y x f y '连续是保证),(y x f 对y 满足李普希兹条件的（满足李普希兹条件的（ B B B ）条件．）条件．）条件．（A ）充分）充分 （（B ）充分必要）充分必要 （（C ）必要）必要 （（D ）必要非充分）必要非充分1010．二阶线性非齐次微分方程的所有解（．二阶线性非齐次微分方程的所有解（．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ C C C ））． （（A ）构成一个2维线性空间维线性空间 （（B ）构成一个3维线性空间维线性空间（C ）不能构成一个线性空间）不能构成一个线性空间 （（D ）构成一个无限维线性空间）构成一个无限维线性空间11．方程y x y =d d 的奇解是（的奇解是（ D ）． （A ）x y = （B ）1=y （C ）1-=y （D ）0=y1212．若．若)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（通解可用这两个解表示为（ C C C ））． （（A ）)()(21x x ϕϕ- （（B ）)()(21x x ϕϕ+（C ）)())()((121x x x C ϕϕϕ+- （（D ）)()(21x x C ϕϕ+1313．．),(y x f y '连续是方程),(d d y x f xy =初值解唯一的（初值解唯一的（ D D D ）条件．）条件．）条件． （A ）必要）必要 （（B ）必要非充分）必要非充分 （（C ）充分必要）充分必要 （（D ）充分）充分14.14. 方程方程1dd+=y x y （ C C ）奇解．）奇解．）奇解． （A ）有一个）有一个 （（B ）有两个）有两个 （（C ）无）无 （（D ）有无数个）有无数个1515．方程．方程323d d y x y =过点过点(0, 0)(0, 0)(0, 0)有（有（有（ A A ）． (A) (A) 无数个解无数个解无数个解 (B) (B) 只有一个解只有一个解只有一个解 (C) (C) (C) 只有两个解只有两个解只有两个解 (D) (D) 只有三个解只有三个解只有三个解三、求下列方程的通解或通积分1．3yx y dx dy += 解：23y y x y y x dy dx +=+= ，则，则 )(121⎰+⎰⎰=-c dy e y e x dy y dy y 所以所以 cy y x +=23 另外另外 0=y 也是方程的解也是方程的解2．求方程2y x dxdy +=经过)0,0(的第三次近似解的第三次近似解 解：0)(0=x ϕ[]2020121)()(x dx x x x x =+=⎰ϕϕ []52021220121)()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕϕ[]81152022316014400120121)()(x x x x dx x x x x +++=+=⎰ϕϕ 3．讨论方程2y dx dy = ，1)1(=y 的解的存在区间的解的存在区间 解：dx ydy =2 两边积分两边积分 c x y+=-1 所以所以 方程的通解为方程的通解为 cx y +-=1 故 过1)1(=y 的解为的解为 21--=x y 通过点通过点 )1,1(的解向左可以延拓到∞-，但向右只能延拓到，但向右只能延拓到 ２，２， 所以解的存在区间为所以解的存在区间为 )2,(-∞4． 求方程01)(22=-+y dxdy 的奇解的奇解 解: 利用p 判别曲线得判别曲线得⎩⎨⎧==-+020122p y p 消去p 得 12=y 即 1±=y 所以方程的通解为所以方程的通解为 )sin(c x y += , 所以所以 1±=y 是方程的奇解是方程的奇解5．0)1()1(cos 2=-++dy yx y dx y x 解: y M ∂∂=2--y , xN ∂∂=2--y , y M ∂∂=xN ∂∂ , 所以方程是恰当方程. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+=∂∂211cos y x y y v y x x u 得 )(sin y y x x u ϕ++=)('2y xy y u ϕ+-=∂∂- 所以y y ln )(=ϕ 故原方程的解为故原方程的解为 c y y x x =++ln sin6． x x x y y y 22'sin cos sin 2-=-+解: x x x y y y 22'sin cos sin 2-++-= 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为它的一个特解为x y sin = ,令x z y sin += , 则方程可化为2z dx dz -= , c x z +=1 即 c x x y +=-1sin , 故 c x x y ++=1sin 7．0)37()32(232=-+-dy xy dx y xy解: 两边同除以2y 得037322=-+-xdy dy y ydx xdx0732=--yd xy d dx 所以所以 c y xy x =--732, 另外另外 0=y 也是方程的解也是方程的解 8．21d d xxy x y += 解 当0≠y 时，分离变量得时，分离变量得 x x xy yd 1d 2+=等式两端积分得等式两端积分得C x y ln )1ln(21ln 2++= 即通解为即通解为 21x C y +=9. x y xy 2e 3d d =+ 解 齐次方程的通解为齐次方程的通解为 x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为令非齐次方程的特解为x x C y 3e)(-=代入原方程，确定出代入原方程，确定出 C x C x +=5e 51)( 原方程的通解为原方程的通解为x C y 3e-=+x2e 51 10. 5d d xy y xy += 解 方程两端同乘以5-y ，得，得x yx y y+=--45d d 令 z y =-4，则x z x y yd d d d 45=--，代入上式，得，代入上式，得 x z x z =--dd 41 通解为通解为41e4+-=-x C z x 原方程通解为原方程通解为41e 44+-=--x C yx11．0)d (d 222=-+y y x x xy 解 因为xN x y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程．，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为，原方程的通积分为C y y x xy yx =-⎰⎰020d d 2 即 C y y x =-323112． y y x y ln d d = 解：当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得时，分离变量取不定积分，得 C x y y y +=⎰⎰d ln d 通积分为通积分为 x C ye ln =13．03)(22=+'+''x y y y解 原方程可化为原方程可化为0)(2='+'x y y 于是于是 12d d C x x y y =+积分得通积分为积分得通积分为23123121C x x C y +-= 14．x y x y x y+-=2)(1d d解：令xu y =，则x u x u x y d d d d +=，代入原方程，得，代入原方程，得 21d d u x u x -= 分离变量，取不定积分，得分离变量，取不定积分，得 C xx u uln d 1d 2+=-⎰⎰ （0≠C ） 通积分为：通积分为： Cx x yln arcsin =15． x y x y xy tan d d += 解 令u x y =，则x u x u x y dd d d +=，代入原方程，得，代入原方程，得 u u x u x u tan d d +=+，u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，分离变量，再积分，得时，分离变量，再积分，得C xx u u ln d tan d +=⎰⎰ C x u ln ln sin ln +=即通积分为：即通积分为： Cx xy =sin 16． 1d d +=xy x y 解：齐次方程的通解为解：齐次方程的通解为Cx y = 令非齐次方程的特解为令非齐次方程的特解为x x C y )(=代入原方程，确定出代入原方程，确定出 C x x C +=ln )( 原方程的通解为原方程的通解为Cx y =+x x ln 17. 0d d )e (2=+-y x x y x y解 积分因子为积分因子为 21)(xx =μ 原方程的通积分为原方程的通积分为1012d d )(e C y x x y y x x =+-⎰⎰ 即 1e ,e C C C x y x +==+18．0)(2='+''y y y解：原方程为恰当导数方程，可改写为解：原方程为恰当导数方程，可改写为 0)(=''y y 即1C y y =' 分离变量得分离变量得x C y y d d 1= 积分得通积分积分得通积分21221C x C y += 19．1)ln (='-'y x y解 令p y ='，则原方程的参数形式为，则原方程的参数形式为⎪⎩⎪⎨⎧='+=py p p x ln 1 由基本关系式由基本关系式y x y '=d d ，有，有p p p p x y y )d 11(d d 2+-⋅='=p p )d 11(-=积分得积分得 C p p y +-=ln得原方程参数形式通解为得原方程参数形式通解为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=Cp p y p p x ln ln 1 20．022=+'+''x y y y解 原方程可化为原方程可化为0)(2='+'x y y于是于是 12d d C x xyy =+ 积分得通积分为积分得通积分为23123121C x x C y +-= 21． 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x解：由于x N xy y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程．，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为，原方程的通积分为103023d d )(C y y x xy x y x =++⎰⎰即 C y y x x =++42242 四、计算题1．求方程xy y e 21=-''的通解．的通解． 解 对应的齐次方程的特征方程为：对应的齐次方程的特征方程为：012=-λ特征根为：特征根为： 1,121-==λλ故齐次方程的通解为：故齐次方程的通解为： x x C C y -+=e e 21因为1=α是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为 xAx x y e )(1=代入原方程，有代入原方程，有 x x x x Ax Ax A e 21e e e 2=-+， 可解出可解出 41=A ． 故原方程的通解为故原方程的通解为 x x x x C C y e 41e e 21++=-2．求下列方程组的通解．求下列方程组的通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=y x t y y x t x 43d d 2d d ． 解 方程组的特征方程为方程组的特征方程为04321=----=-λλλE A即 0232=+-λλ特征根为特征根为 11=λ，22=λ11=λ对应的解为对应的解为t b a y x e 1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡其中11,b a 是11=λ对应的特征向量的分量，满足对应的特征向量的分量，满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----0014321111b a 可解得1,111-==b a ．同样可算出22=λ对应的特征向量分量为对应的特征向量分量为 3,212-==b a ．所以，原方程组的通解为所以，原方程组的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t tt t C C y x 2221e 32e e e 3．求方程x y y 5sin 5='-''的通解．的通解．解：方程的特征根为01=λ，52=λ齐次方程的通解为齐次方程的通解为 x C C y 521e +=因为i i 5±=±βα不是特征根。
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常微分方程期终考试试卷(1)一、 填空题（30%）1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（ ）。
有只含y 的积分因子的充要条件是______________。
２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。
３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。
４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。
５、形如___________________的方程称为欧拉方程。
６、若()t φ和()t ψ都是'()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。
７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。
二、计算题（６０％）1、3()0ydx x y dy -+= ２、sin cos2x x t t ''+=-３、若2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt ４、32()480dy dyxy y dx dx -+=５、求方程2dyx y dx =+经过（0，0）的第三次近似解6.求1,5dx dyx y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性. 三、证明题（１０％）１、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。
试卷答案一填空题１、()M N y x x N ϕ∂∂-∂∂= ()M Ny xy M ϕ∂∂-∂∂=-２、 2()()()dyp x y Q x y R x dx =++ y y z =+ ３、 ()()n dyp x y Q x y dx =+ (1)()(,)n p x dxn u x y y e --⎰= ４、12[(),(),,()]0n w x t x t x t ≠５、11110n n nn n nn d y d dyx a a a y dx dxdx ---++++=６、()()t t C ψφ=７、零 稳定中心 二计算题１、解：因为1,1M Ny x∂∂==-∂∂，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子22ln 21()dyy y y eey μ--⎰===，两边同乘21y 得320dx x y dy y y +-=所以解为 321x x y y dx dy c y y y⎡⎤∂⎢⎥-++-=⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰22x y c y +=即22()x y y c =+另外y=0也是解 ２、线性方程0x x ''+=的特征方程210λ+=故特征根i λ=±1()sin f t t = i λ=是特征单根，原方程有特解(cos sin )x t A t B t =+代入原方程A=-12B=0 2()cos 2f t t =- 2i λ=不是特征根，原方程有特解cos2sin 2x A t B t =+代入原方程13A =B=0所以原方程的解为1211cos sin cos cos223x c t c t t t t=+-+３、解：221()69014p λλλλλ--==-+=-解得1,23λ=此时 k=112n =12v ηηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦111123322120()()(3)()!i t i t i t t t e A E e t i ηηηηϕηηηη=⎡⎤+-+⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ 由公式expAt= 10()!in t ii te A E i λλ-=-∑得[]33310111exp (3)01111ttt t t At e E t A E e t e t t ⎧-⎫-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-=+=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭ ４、解：方程可化为3284dy y dx x dy ydx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=令dy p dx =则有3284p y x yp +=（*） （*）两边对y 求导：322322(4)(8)4dpy p y p y p y p dy -+-=即32(4)(2)0dp p y y p dy --=由20dp y p dy -=得12p cy =即2()p y c =将y 代入（*）2224c p x c =+即方程的 含参数形式的通解为：22224()c px c p y c ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩p 为参数又由3240p y -=得123(4)p y =代入（*）得：3427y x=也是方程的解５、解：00210022520041072511830002()4220()4400202204400160xx x y x y xdx x x x y x dx x x x x x x x y x dx ϕϕϕϕ===+==++=+=++++=+++⎰⎰⎰ ６、解：由1050x y x y --+=⎧⎨--=⎩解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则dxx y dt dy x y dt ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩因为1111---=1+1 ≠0故有唯一零解（0，0）由221121122011λλλλλλ+=+++=++=-+得1i λ=-±故（3，-2）为稳定焦点。
(完整版)数学系常微分方程期末试卷A及答案
(A)试卷说明：1、该门考试课程的考试方式：闭卷;2、 考试所用时间：120分钟。
3、 考试班级：数计学院数 11级一、填空题（每小题3分，本题共15分）1.方程x （y 2 1）dx y （x 2 1）dy 0所有常数解是2.方程y 4y 0的基本解组是3 .方程dy x 2 siny 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ___________________________ . 4•线性齐次微分方程组的解组 Y,X ）,Y 2（X ）, ,Y n （x ）为基本解组的 ________________ 条件 是它们的朗斯基行列式 W （x ） 0 .5 .一个不可延展解的存在在区间一定是区间.、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6 .方程—x 3 y 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）.（A ）上半平面 （B ） xoy 平面（C ）下半平面（D ）除y 轴外的全平面7. 方程dy y 1（）奇解.dx（A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个8. n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个. （A ） n（B ） n -1（ C ） n +1（D ） n +2系院学计数考试本科考试科目常微分方程人题审师教课任号学一一名姓 班试卷份数年月 日9、微分方程xlnx y y 的通解 （）B 、y c 1x l n x 1 D 、y GX In x 1c 2）.（B ）构成一个n 1维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间三、简答题（每小题6分，本题共30分） “解方程dy e x y12•解方程（x 2y ）dx xdy 0A 、y c 1xln x c 2 C 、y xlnx10. n 阶线性非齐次微分方程的所有解（（A ）构成一个线性空间 C ）构成一个n 1维线性空间年月日dy y13.解方程1dx x14•解方程e y dx (xe y 2y)dy 0d x dx15•试求 3 2x 0的奇点类型及稳定性dt2dt四、计算题（每小题10分，本题共20分）1 X16.求方程y y _e的通解217.求下列方程组的通解dxdt dy dt2x y五、综合能力与创新能力测试题(每小题10分，本题共20分)18.在方程y p(x)y q(x)y 0中，p(x), q(x)在(，)上连续，求证：若p(x)恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W(x)是(，)上的严格单调函数.19 .在方程y p(x)y q(x)y 0中，已知p(x)，q(x)在(，)上连续.求证：该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.12-13-2学期期末考试《常微分方程》A 参考答案及评分标准（数学与计算机科学学院）制卷____ 审核 _____________、填空题（每小题3分，本题共15分）1. y 1, x 12. sin 2x, cos2x3. xoy 平面 4 .充分必要5 .开、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6. D7. C8. A 9. D 10. D三、简答题（每小题6分，本题共30分）11•解分离变量得e y dy e x dx等式两端积分得通积分e y e x C12.解方程化为业1 2》 dx x令y xu ，贝U u x-du ，代入上式，得dx dxdu x 1 u dx分量变量，积分，通解为u Cx 1原方程通解为y Cx 2 x13.解 对应齐次方程 d ' 的通解为dx xy Cx（2 分）令非齐次方程的特解为y C （x ）x（3 分）（3分）（6分）（2分）（4分）（5分）代入原方程，确定出// \ 1 c （X ）-X再求初等积分得C （x ） ln x C因此原方程的通解为y Cx + xl nx14 •解： 由于卫 e y —，所以原方程是全微分方程.y x取（X 0, y 。
16、2017年期末试题解答 微分方程-10页 文字版
可猜测方程有解形如
a x
,
a
为待定常数.
带入方
程可知知 a = 2. 于是做变换
21 y= + ,xz带入方程x2y′ + xy + x2y2 = 4, 并加以化简得到关于新的未知函数 z 的方程
z′ = 5z + 1. x
这是一阶线性方程.
根据求解公式不难求得其通解为
z
=
C x5
−
x 4
.
于是原方程
y′ = sin(xy), y(ξ) = η
的解. 计算解 ϕ(x, ξ, η) 在初始点 (ξ, η) = (0, 0) 处的两个偏导数
∂ϕ(x, ξ, η)
和 ∂ϕ(x, ξ, η)
.
∂ξ
(ξ,η)=(0,0)
∂η
(ξ,η)=(0,0)
6
解；考虑解 ϕ(x, ξ, η) 所满足的微分方程以及初值条件
(9)
注意到当 η = 0 时, ϕ(x, ξ, 0) ≡ 0. 这是由解的唯一性所得. 为表述清楚起见, 记
∂ϕ(x, ξ, η)
∂ϕ(x, ξ, η)
u(x) :=
, v(x) :=
,
∂ξ
(ξ,η)=(0,0)
∂η
(ξ,η)=(0,0)
我们就得到关于待求函数 u(x) 和 v(x) 的 Cauchy问题
很容易求得其通解为
dx = −x + e−y. dy x = e−y(y + C), ∀C ∈ IR.
这也是原方程(e−y − x)y′ = 1 的通解.
另解：关于方程(e−y − x)y′ = 1两边同乘函数 ey 并稍加整理得
y′ = (xey)′.