正弦函数图像和性质(单调性)

k
Z
上，是减函数.
1
-3 5π -2 3π - π o
2
2
2
-1
x
π 2
3π 2
2
5π 2
3
7π 2
4
例• 复1合求函数yy＝＝fs[gi(nx)]3x－π3的单调区间．
• 由函数y＝f(t)和函数t＝g(x)复合而成 • 单调性的判定方法是：
当y＝f(t)和t＝g(x)同为增(减)函数时，y＝f[g(x)]为增函数； 当y＝f(t)和t＝g(x)一个为增函数，一个为减函数时，y＝ f[g(x)]为减函数．
4
5 6x
对称轴：x k
2
(k Z )
对称中心：（ k，0） (k Z )
正弦函数的单调性
观察正弦函数图象
x
π 2
…
sinx -1
0… 0
π…
2
1
…
3π 2
0
-1
在闭区间 π22π2k，π,π2π2 2kπ, k Z 上, 是增函数；
在闭区间
π 2
2π2k，π,323π2π
2kyπ,
对称中心坐标为(kπ，0)，k∈Z， ∴令 2x＋π3＝kπ＋π2，得 x＝k2π＋1π2，k∈Z， 令 2x＋π3＝kπ，得 x＝k2π－π6，k∈Z， 故函数 y＝sin(2x＋π3)的对称轴方程为 x＝k2π＋1π2，k∈Z， 对称中心坐标为k2π－6π，0，k∈Z.
例3 不通过求值，比较下列各式的大小 与
得23kπ－1π8≤x≤23kπ＋158π，
故原函数的单调递增区间为23kπ－1π8，23kπ＋51π8，k∈Z.
由 2kπ＋π2≤3x－π3≤2kπ＋32π，k∈Z，
得23kπ＋158π≤x≤23kπ＋1118π，
2 5π 2 11π
故原函数的单调递减区间为 kπ+ ， kπ＋ ，k∈Z.
3 18 3
∴函数 y＝sinπ4－2x的单调增区间为38π＋kπ，78π＋kπk∈Z.
例 2 函数 y＝sin2x＋3π的对称轴方程为________， [对解]称中∵函心数坐y标＝s为inx_，__x∈__R__的_[答对．案称]轴x方＝程k2π为＋1πx2＝，kk∈π＋Z π2，k2πk－∈π6Z，，0k∈Z
最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期．
正弦函数的周期性
图象特点: 间隔一定长度图象重复出现
公式依据： sin(x 2k ) sin x, k Z
周期性是三角函数的一大特点
周期（最小正周期） T 2
正弦型函数 y A sin(x )
周期（最小正周期） y
T
2
y=sinx xR
上是减函数，
sin 2 sin 3
3
4
定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性
最值
实数集R
[-1,1]
2π
奇函数
在
2k
2
,
2k
2
（ k
Z）上是增函数；
在
2k
2
,
2k
3
2
(k
Z
)上是减函数；
当x
2k
2
时，ymax
1
对称轴：x k
2
对称中心：（ k，0）
(k Z )
(k Z )
正弦函数的图像与性质
函数
y 1
o
2
2
-1
3
2
x
2
正弦函数y=sinx 的性质
y
1
-4 -3
-2
- o
2
-1
3 2
2
2
3
4
1.定义域：x R
5 6x
2.值域： y [-1,1]
当且仅当x 2k , k Z时，sin x 1
2 当且仅当x 2k , k Z时，sin x 1
解：(1)因为－ ,且函数y sin x在区间
2 10 18 2
[ , ]上是增函数. 所以sin( ) sin( ),
22
10
18
y
1
2
o
2
-1
3
2
x
2
练习
不求值，比较下列各对正弦值的大小
sin 2 与sin 3
3
4
解：
2
23
3
4
3 ,
2
且y=sinx在2
,
3
2
1
-4 -3
-2
-
o
-1
2
3
4
5 6x
正弦函数的奇偶性
由公式 sin(－x)＝－sin x
正弦函数是奇函数．
图象关于原点成中心对称 .
y
1
-3 5π -2 3π - π o
2
2
2
-1
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱπ 2
3π 2
2
5π 2
3 7π 4 2
正弦函数的对称性
-4 -3
-2
y
1
- o
2
-1
3 2
2
2
3
2
-4 -3
-2
y
1
-
o
-1
2
周期的概念
3
4
5 6x
一般地，对于函数 f (x)，如果存在一个非零常数 T ，
使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有
f ( x＋T )＝ f (x)
那么函数 f (x) 就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函
数的周期．
对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个
“同增异减”
[分析] 令 t＝3x－π3，当 x∈R 时单调递增，所以当函数 y＝sint 递增
时，复合函数 y＝sin3x－3π也单调递增；当函数 y＝sint 递减时，复合函数
y＝sin3x－3π也单调递减．
例 1 求 y＝sin3x－π3的单调区间．
解：由 2kπ－π2≤3x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，
18
练习
函数 y＝sinπ4－2x的单调[增答案区] 间3的8π＋_k_π_，__78π_＋__kπ．k∈Z
[解] y＝sinπ4－2x＝－sin2x－π4， ∴函数 y＝sinπ4－2x的单调增区间， 即为函数 y＝sin2x－π4的单调减区间， 令π2＋2kπ≤2x－π4≤32π＋2kπ，k∈Z， ∴38π＋kπ≤x≤78π＋kπ，k∈Z，