第五章微分方程模型
微分方程模型的建立与求解
微分方程模型的建立与求解微分方程是自然界中许多现象的数学描述，通过建立微分方程模型可以更好地理解和预测各种现象。
本文将介绍微分方程模型的建立与求解方法。
一、微分方程模型的建立微分方程通常用来描述系统内部的变化规律，要建立微分方程模型，首先需要根据具体问题分析系统的特点，确定影响系统变化的因素，并建立相关的数学表达式。
以一个简单的弹簧振子系统为例，假设弹簧的位移为x(t)，弹簧的弹性系数为k，质量为m，外力为f(t)，则可以建立微分方程模型：$$ m\\frac{{d^2x}}{{dt^2}} + kx = f(t) $$二、微分方程模型的求解1. 解析解法对于一些简单的微分方程，可以通过解析的方法求解。
例如，对于一阶线性微分方程：$$ \\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x) $$可以通过积分因子的方法求解。
2. 数值解法对于复杂的微分方程或无法求得解析解的情况，可以借助数值方法进行求解。
常用的数值解法包括欧拉方法、龙格-库塔法等，通过逐步迭代逼近真实解。
3. 计算机模拟借助计算机编程，可以通过数值方法对微分方程进行求解，这在实际工程和科学研究中非常常见。
利用计算机程序，可以模拟出系统的运行状态，观察系统的响应特性。
三、实例分析以简单的振动系统为例，通过建立微分方程模型并利用数值方法进行求解，可以分析系统的振动特性。
通过调节参数值，可以观察到系统振动的变化规律，为系统设计和控制提供重要参考。
结论微分方程模型的建立与求解是数学建模中的重要一环，通过适当的模型建立和求解方法，可以更好地了解和预测系统的行为。
在实际应用中，需要综合运用解析方法、数值方法和计算机模拟，以全面分析和解决问题。
以上是关于微分方程模型的建立与求解的介绍，希望对读者有所帮助。
微分方程模型介绍
微分方程模型介绍在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。
微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。
求解微分方程有三种方法：1）求解析解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。
建立微分方程模型的方法：1）利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
下面我们以生态学模型为例介绍微分方程模型的建立过程： 一. 单种群模型1. 马尔萨斯(Malthus)模型假定只有一个种群，()N t 表示t 时刻生物总数，r 表示出生率，0t 表示初始时刻，则生物总数增长的数学模型为()()()00d ,d (1)t t N t rN t t N t N =⎧=⎪⎨⎪=⎩不难得到其解为()0()0r t t N t N e-=.2. 密度制约模型由马尔萨斯模型知，种群总数将以几何级数增长，显然与实际不符，因为种群密度增大时，由于食物有限，生物将产生竞争，或因为传染病不再按照增长率r 增长，因而有必要修改，在(1)式右端增加一项竞争项。
()()()d (1)(2)d N t N t rN t tK=-其中K 为最大容纳量，可以看出当()N t K =时，种群的规模不再增大。
这个模型就是著名的Logistic 模型，可以给出如下解释：由于资源最多仅能维持K 个个体，故每个个体平均需要的资源为总资源的1K，在t 时刻个体共消耗了总资源的()N t K此时资源剩余()1N t K-，因此Logistic 模型表明：种群规模的相对增长率与当时所剩余的资源份量成正比，这种种群密度对种群规模增长的抑制作用。
培训资料--微分方程模型人口模型等
x0
x0 0
t
人口发展方程
• 年龄分布对于人口预测的重要性 • 只考虑自然出生与死亡，不计迁移
F(r,t) ~ 人口分布函数 (年龄 r的人口） p(r,t) ~ 人口密度函数 N(t) ~ 人口总数 r ( ) ~ 最高年龄
m
F(0,t) 0, F(r ,t) N(t) m p(r, t) F r
人口发展方程
f
(t
)
(t
)r2 r1
h(r,
t
)k
(r,
t
)
p(r,
t
)dr
(t) ~总和生育率——控制生育的多少
h(r, t) ~生育模式——控制生育的早晚和疏密
p(r,t)
p 0
(r
r
t)e (s)ds r t r
,
0
t
r
f (t r)e0(s)ds , t r
p0 (r)
• 正反馈系统
(r,t) p(r,t)dt, dt dr1
p p (r,t) p(r,t) 一阶偏微分方程
r t
p
r
p t
(r, t )
p(r, t )
人口发展方程
p(r,0) p0 (r), r 0 ~已知函数（人口调查）
p(0,
t)
f
(t ),
t0
~生育率（控制人口手段）
p0 (0) f (0) --------相容性条件
b(r,
t)k
(r,
t)
p(r,
t)dr
b(r,t) (t)h(r,t)
0
r2 r1
h(r , t )dr
1
h~生育模式
(t)
微分方程模型
房室具有以下特征：它由考察对象均匀分 布而成，房室中考察对象的数量或浓度（密 度）的变化率与外部环境有关，这种关系被 称为“交换”且交换满足着总量守衡。在本 节中，我们将用房室系统的方法来研究药物 在体内的分布。在下一节中，我们将用多房 室系统的方法来研究另一问题。
单房室系统
交换 环境
内部
均匀分布
，i(t)单 s0 增。但在i(t)增加的同时，伴随地有s(t)单减。当 s(t)减少到小于等于 时， i(t)开始减小，直 至此疾病在该地区消失。
(2)如果
则： s(t ) s
r (t )
1
o
e
di ，则开始时 dt 0
五．稳定性问题
在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并 非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终的发展 趋势。例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了 解它当前或今后的数量，但我们更为关心的却是它最 终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之 免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用到微分 方程或微分方程组的稳定性理论。在下两节，我们将 研究几个与稳定性有关的问题。
容器损失的水量为:
[ R ( R r ) ]dh
2 2
由质量守恒
[ R ( R r ) ]dh sv(t )dt
2 2
其中
v(t ) 0.6 2gh(t)
从而建立方程:
0.6s 2 gh dh 2 2 dt [R (R r) ]
解得
0.6s 2 gh 14 R T dh 2 2 R [R (R r) ] 9s 2 g
微分方程 模型
• 微分方程建模
对于某种现象或提出的问题,通过建立微分方程 来解释或解决.通常可分为两大类:
第五章 微分方程模型讲1
i0
1-1/σ σ
di 1 = −λi[i − (1 − )] σ =λ/ µ dt σ
σ >1
i
σ ≤1
di/dt < 0
i0
0
1-1/σ σ
1 i
i0
0
1 , σ > 1 1 − i(∞ ) = σ 0, σ ≤ 1
t
0
t
接触数σ =1 ~ 阈值
σ >1
σ ≤ 1 ⇒ i (t ) ↓
s i ( s ) = ( s 0 + i0 ) − s + ln σ s0
i
1
1D = {( s ,源自i ) s ≥ 0 , i ≥ 0 , s + i ≤ 1}
D 0
s
1
模型4 模型
相轨线 i ( s ) 及其分析
i
1 D
SIR模型 模型
s i(s) = (s0 + i0 ) − s + ln σ s0
dP dP = kP(10000− P) 把 P t=0 =10, = 100代入微分方程 dt dt t=0
1 得 k= 999 鸟的数量和时间的函数关系为 P =
10000 1+ 999 e
− 10000 t 999
Logistic函数 函数
5.1 传染病模型
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻 • 预防传染病蔓延的手段 • 按照传播过程的一般规律， 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型 已感染者(the infective) 易感染者 易感染者(the susceptible) 已感染者 移出者(the removed) 移出者
方程模型
例2. 解初值问题
x yd x ( x 2 1 ) d y 0
y( 0 ) 1
dy x 解: 分离变量得 dx 2 y 1 x
两边积分得
即
y x2 1 C
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x 1 1
数学建模－ 微分方程模型
关晓飞 同济大学数学科学学院
一、什么是微分方程？
最最简单的例子
引例
一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点 若设曲线方程为 y f ( x) ， (1)
M( x ,y )处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。
解
根据导数的几何意义可知未知函数满足关系式：
dy 2x dx
规律。
解
dM 铀的衰变速度就是 M (t ) 对时间t的导数 dt
，
由于衰变速度与其含量成正比，可知未知函数满足 关系式： dM M (1) ( 0) 是衰变系数
dt
且初始条件 M t 0 M0 dM dt 分离变量得 M 对上式两端积分得：ln M t ln c 因此， M (t ) Cet 代入初始条件得
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 T(t)，t≥0，
“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差” 翻译为
dT 与 T m 成正比 dt
dT k (T m ), dt T ( 0) 60.
建立微分方程
数学语言
其中参数k >0，m=18. 求得一般解为
ln(T－m)=－k t+c,
或
T m ce
kt
, t 0,
第五章种群增长
调和学派
米尔恩的观点：
➢ 密度制约和非密度制约因素都具 环境
有决定种群密度的作用，只是前 者在种群高密度区起作用，而后 者在种群低密度区起作用。
有利
非 密 度 制 约 作 用
密 度 制 约 作 用
赫夫克和梅辛杰的观点：
环境 不利
自动调节学派
自动调节学派的三个共同特点： ➢ 自动调节学派强调种群调节的内源性因素；注重
模型的行为：
➢ 0<rT<e-1 ：种群单调地趋向一个平衡点，或称为 单调的阻尼稳定点（monotonically damped stable point）；
➢ e-1<rT< π/2 ：种群减幅振荡并回到平衡水平， 或称为振荡的阻尼稳定点（oscillatorilly damped stable point）；
第五章 种群增长
种群增长模型 自然种群数量变动 种群调节
思考题
种群数量在时间过程中的动态
第一节 种群增长模型
种群的离散增长模型（差分方程） 种群的连续增长模型（微分方程） 具时滞的种群增长模型 种群增长的随机模型
数学模型研究中，生态学工作者最感兴趣的不是 特定公式的数学细节，而是模型的结构，因此， 我们的注意力应首先集中于数学模型中各个量的 生物学意义，而不是其数学推导细节，否则就会 出现只见“数目” ，不见“森林”的危险。
➢ 0< BNeq<0.25: 种群表现为稳定的平衡，不产生 振荡；
微分方程模型-药物中毒急救模型(附matlab编程)
100μg/ml浓度会出现严重中毒, 200μg/ml浓度可致命.
医生需要判断：
（1）孩子的血药浓度会不会达到100~200 μg/ml？
（2）如果会达到，应采取怎样的紧急施救方案？
调查与分析
口服药物
胃肠道 药量x(t)
转移速率
和x成正比
血液系统
体外
了解药物的半衰期，可以帮助制定合理的用药 间隔，并且可以预知药物在体内的变化趋势。
调查与分析
通常，血液总量约为人体体重的7 % ~8%，体重 50~60 kg的成年人有4000ml左右的血液. 目测这个孩子的体重约为成年人的一半，可认为 其血液总量约为2000ml.
调查与分析
临床施救的办法
• 口服活性炭来吸附药物，可使药物的排除率 增加到原来（人体自身）的2倍.
在t=0瞬间进入胃肠道.
dx x, x(0) 1100
dt
y(t)由吸收而增长的速度是λx，由排除而减少的速度与y(t)
成正比(比例系数μ) , t=0时血液中无药物.
dy x y, y(0) 0
dt
模型求解
dx x, x(0) 1100
dt
药物吸收的半衰期为5 h
x(t) 1100et
2. 血液系统中药物的排除速率与y(t) 成正比，比例系数 μ(>0)，t=0时血液中无药物.
3. 氨茶碱被吸收的半衰期为5 h，排除的半衰期为6 h.
4. 孩子的血液总量为2000 ml.
模型建立
口服药物
胃肠道 药量x(t)
转移率和
x成正比
血液系统
体外
药量y(t)
排除速率 和y成正比
《数学建模》习题及参考答案 第五章 微分方程模型
第五章部分习题1. 对于5.1节传染病的SIR 模型，证明：（1）若σ/10>s ，则()t i 先增加，在σ/1=s 处最大，然后减少并趋于零；()t s 单调减少至∞s 。
（2）若σ/10>s ，则()t i 单调减少并趋于零，()t s 单调减少至∞s 。
9. 在5.6节人口的预测和控制模型中，总和生育率()t β和生育模式()t r h ,是两种控制人口增长的手段，试说明我国目前的人口政策，如提倡一对夫妇只生一个孩子、晚婚晚育，及生育第2胎的一些规定，可以怎样通过这两种手段加以实施。
*16. 建立铅球掷远模型，不考虑阻力，设铅球初速度为v ，出手高度为h 出手角度为∂（与地面夹角），建立投掷距离与∂,,h v 的关系式，并在h v ,一定的条件下求最佳出手角度。
参考答案1. SIR 模型（14）式可写作().,1si dt di s i dt di λσμ-=-=由后一方程知()t s dtds ,0<单调减少。
1) 若σ10>s ，当01s s <<σ时，()t i dt di ,0>增加；当σ1=s 时，()t i dt di ,0=达到最大值m i ；当σ1<s 时，()t i dt di ,0<减少且()()式180=∞i 2) 若σ10<s ，()t i dt di ,0<单调减少至零 9. 一对夫妻只生一个孩子，即总和生育率()1=t β；晚婚晚育相当于生育模式()r h 中（5。
6节（13）式）使1r 和c r 增大；生育第2胎一些规定可相当于()t β略高于1，且()r h 曲线（5。
6节图19）扁平一些（规定生2胎要间隔多少年）*16. 在图中坐标下铅球运动方程为()()()().sin 0,cos 0,0,00,,0ααv y v x h y x g yx ====-== 解出()t x ，()t y 后，可以求得铅球掷远为,cos 2sin cos sin 2/12222ααααv g h g v g v R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=这个关系还可表为()ααtan cos 2222R h v g R +=由此计算0*=ααd dR，得最佳出手角度()gh v v +=-21*2sin α，和最佳成绩gh v g v R 22*+=设m h 5.1=，s m v /10=，则0*4.41≈α，m R 4.11*=。
数学建模公选课：第五讲-微分方程模型
详细描述
龙格-库塔方法具有较高的精度和稳定性，适用于求解各种复杂的一阶和二阶常微分方程。
04
微分方程模型的应用实例
人口增长模型
总结词
描述人口随时间变化的规律
详细描述
人口增长模型通常使用微分方程来描述人口随时间变化的规律。该模型基于假设，如人口增长率与当 前人口数量成正比，来建立微分方程。通过求解该微分方程，可以预测未来人口数量。
模型建立
如何根据实际问题建立合适的微分方 程模型是一个挑战。
02
高维问题
对于高维微分方程，如何求解是一个 难题。
01
03
非线性问题
非线性微分方程的求解更加复杂和困 难。
未来展望
随着科学技术的发展，微分方程模型 的应用领域将更加广泛，求解技术也 将更加成熟和多样化。
05
04
多尺度问题
如何处理不同时间尺度的微分方程是 一个挑战。
数学建模公选课：第五讲 -微分方程模型
• 微分方程模型简介 • 微分方程模型的建立 • 微分方程模型的求解方法 • 微分方程模型的应用实例 • 微分方程模型的发展趋势与展望
01
微分方程模型简介
微分方程的基本概念
微分方程是描述数学模型中变量随时间变化的数学表达式，通常表示为包含未知函 数及其导数的等式。
05
微分方程模型的发展趋势与展望
微分方程模型在各领域的应用前景
物理领域
描述物体的运动规律，如牛顿 第二定律、波动方程等。
经济领域
分析市场供需关系和预测经济 趋势。
工程领域
预测和控制系统的动态行为， 如电路、机械系统等。
生物医学领域
数学建模实验答案_微分方程模型
数学建模实验答案_微分⽅程模型实验07 微分⽅程模型（2学时）（第5章微分⽅程模型）1.（验证）传染病模型2（SI 模型）p136~138传染病模型2（SI 模型）：0(1),(0)dik i i i i dt=-= 其中，i (t )是第t 天病⼈在总⼈数中所占的⽐例。
k 是每个病⼈每天有效接触的平均⼈数（⽇接触率）。
i 0是初始时刻（t =0）病⼈的⽐例。
1.1 画~dii dt曲线图p136~138取k =0.1，画出i dt di ~的曲线图，求i 为何值时dtdi达到最⼤值，并在曲线图上标注。
提⽰：fplot, fminbnd, plot, text, title, xlabel 1）画曲线图⽤fplot 函数，调⽤格式如下： fplot(fun,lims)fun 必须为⼀个M ⽂件的函数名或对变量x 的可执⾏字符串。
若lims取[xmin xmax]，则x轴被限制在此区间上。
若lims取[xmin xmax ymin ymax]，则y轴也被限制。
本题可⽤fplot('0.1*x*(1-x)',[0 1.1 0 0.03]);2）求最⼤值⽤求解边界约束条件下的⾮线性最⼩化函数fminbnd，调⽤格式如下：x=fminbnd('fun',x1,x2)fun必须为⼀个M⽂件的函数名或对变量x的可执⾏字符串。
返回⾃变量x在区间x1本题可⽤x=fminbnd('-0.1*x*(1-x)',0,1)y=0.1*x*(1-x)3）指⽰最⼤值坐标⽤线性绘图函数plot，调⽤格式如下：plot(x1,y1, '颜⾊线型数据点图标', x2,y2, '颜⾊线型数据点图标',…)本题可⽤hold on; %在上⾯的同⼀张图上画线（同坐标系）plot([0,x],[y,y],':',[x,x],[0,y],':');4）图形的标注使⽤⽂本标注函数text，调⽤格式如下：格式1text(x,y,⽂本标识内容, 'HorizontalAlignment', '字符串1')x,y给定标注⽂本在图中添加的位置。
微分方程模型
微分方程模型引言微分方程是描述自然界中很多现象和问题的数学模型。
通过建立微分方程模型，我们可以定量地描述和预测各种物理、化学、生物和工程问题的演化和变化。
本文将介绍微分方程模型的基本概念、常见类型和求解方法，并给出一些应用实例。
基本概念微分方程是含有未知函数及其导数的方程。
通常用符号形式表示如下：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0其中，y是未知函数，x是自变量，n是方程中最高阶导数的阶数。
微分方程模型是以微分方程为基础，结合具体物理、化学、生物和工程问题的特点所建立的数学模型。
通过对问题的建模，我们可以将真实世界中复杂的问题简化为数学形式，从而利用微分方程的性质和解析方法求解或近似解。
常见类型微分方程可以分为多种类型，常见的包括：•一阶常微分方程：包含一个未知函数的一阶导数的方程，形式如下：y' = f(x, y)•高阶常微分方程：包含一个未知函数的高阶导数的方程，形式如下：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0•偏微分方程：包含多个未知函数及其偏导数的方程，形式如下：F(x, y, z, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z, ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2, ∂^2u/∂z^2, ..., ∂^nu/∂x^n, ∂^nu/∂y^n, ∂^nu/∂z^n) = 0求解方法求解微分方程模型的方法包括解析解和数值解。
解析解对于一些简单的微分方程模型，可以通过解析方法求得解析解。
解析解是指能够用数学公式精确表示的解。
解析解求解的基本思路是尝试找到满足微分方程的函数形式，并通过代入求导的方式得到方程中的常数。
一些经典的微分方程模型如线性微分方程、齐次线性微分方程、可分离变量的微分方程等可以通过解析方法求解。
数值解对于一些复杂的微分方程模型，无法找到解析解或解析解难以求得，我们可以采用数值解法进行近似求解。
第五章 微分方程建模 第四节 铅球掷远模型
a = sin
和最佳成绩为
∗
−1
v ; 2 2(v + gh)
v 2 R = v + 2gh . g
∗
第四节
铅球掷远模型
如果测得该运动员的出手高度 h = 1.5 m，铅球初速 ， 度为 v = 10m/s，则有 ， 得最佳出手角度为 最佳成绩为
a ∗ ≈ 41.4 ,
R∗ = 11.4m .
第四节
铅球掷远模型
在右图坐标系下， 在右图坐标系下，铅球运动方程为
x ɺɺ = 0 ; ɺ x(0) = 0 , x(0) = v cos a .
y ɺɺ = − g ; ɺ y(0) = h , y(0) = v sin a .
第四节
铅球掷远模型
分= x(t ) = sinacos a + 2 sin a + v cos a , g g g
这个关系式还可以表示为
1 2
R2 g = 2v2 cos2 a(h + Rtana) .
第四节
铅球掷远模型
dR = 0 ，得最佳出手角度为 由此计算 da a∗
x ( t ) = ( v cos a )t ;
1 2 y ( t ) = (v sin a )t − gt + h . 2
又令 y ( t ) = 0 ，可得
1 t = v sin a + v 2 sin 2 a + 2 gh , g
∗
(
)
第四节
铅球掷远模型
代入 x ( t ) 可以求得铅球的投掷距离为
第四节
铅球掷远模型
某铅球运动员正在训练，如果不考虑阻力， 某铅球运动员正在训练，如果不考虑阻力，设铅球初 与地面夹角)， 速度为 v，出手高度为 h，出手角度为 a (与地面夹角 ， ， ， 与地面夹角 试建立投掷距离 R 与 v，h，a 的关系式的数学模型。并 ， ， 的关系式的数学模型。 在 v，h 一定的条件下求该运动员的最佳出手角度和最佳 ， 成绩。 成绩。
大学高数第五章第5节-微分方程在医学中的应用
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
t(hour)
c/c0
23
2、恒速静脉注射
恒速静脉注射：相当于药物以恒定速率k0进入 中心室，此时中心室的初始药量为零。
中心室内药量减小的速率与体内当时的药量 成正比。
D
dx dt
k0
kx,
V,x
x(0) 0.
则通解为 y c1er1x c2er2x.
2. r1 r2 (特征方程有两个相等的实根r1, r2 ), 则通解为 y (c1 c2x)er1x.
3. r1,2 i (特征方程有一对共轭复根), 则通解为 y ex (c1 cos x c2 sin x).
12
三、二阶常系数线性非齐次微分方程 一般形式为
其中l maxm, n l次多项式
k由特征根的情况决定
15
~y xkex[Ql (x)cosx Rl (x)sin x]
k由特征根的情况决定
i不是特征根 k 0
i是单根
k 1
16
第5节 微分方程在医学上的应用
目的与要求
❖了解用微分方程解决一些简单的医学问题
17
一、药物动力学模型
f
(x0 x) f (x0)
f
(
x0
)
x
37
导数的定义
1
lim
x0
f
(x0)
f
(x0 x) f (x0)
f
(
x0
)
第五章 微分方程模型 5.1 传染病模型5.2 经济增长模型5.3 正规战与游击战5.4 药物在体内的分布与排除5
每个劳动 力的产值
z
Q L
每个劳动 力的投资
y
K L
模型假设 z 随着 y 的增加而增长，但增长速度递减
z Q / L f0g( y) g(y) y , 0 1
Q f0L(K / L)
g(y)
Q(K , L) f0K L1 Douglas生产函数
Q , Q 0 K L
2Q 2Q K 2 , L2 0
dt
L(t) L0et
Q f Lg( y) g(y) y 0
dK f Ly
dt
0
y K , K Ly L
dK L dy Ly
dt dt
dK f Ly
dt
0
dK L dy Ly
dt dt
dy y f y
dt
0
Bernoulli方程
1
y(t)
f 0
( y1
0
f 0
)e (1 ) t
y
dxy
x(0) x0 , y(0) y0
y(t)
m0
dy d dx c
cy dx m
m cy dx
0
0
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乙方胜
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y0 d rx srx sx 线性律 x0 c ry sry s y 模型
m 0 甲方胜
x(t)
m 0 平局
混合战争模型 甲方为游击部队，乙方为正规部队
增加假设 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率
建模 N[i(t t) i(t)] Ns(t)i(t)t Ni(t)t
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第五章 微分方程模型、 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量41868焦，问此人的体重如何随时间而变化解：设此人的体重为w ，则根据题意有，每天获取的热量，减去新陈代谢，减去运动消耗的热量，剩余的按利用率100% 转化为脂肪，即有下列等式成立：1046750386941868w dw dt --= 经化简有：232313956139565429()41868t t w e t e c -=-⋅+ 假设此人现在的体重为0w ，则此人的体重随时间的变化如下：2323139561395605429()41868t t w et e w -=-⋅+ 、 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus 增长模型)(003.0)(t p dtt dp = 其中t 以分钟计。
在0=t 时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。
鲨鱼捕杀鲑鱼的速率是)(001.02t p ，其中)(t p 是t 时刻鲑鱼总数。
此外，由于在它们周围出现意外情况，平均每分钟有条鲑鱼离开此水域。
（1）考虑到两种因素，试修正Malthus 模型。
（2）假设在0=t 是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数)(t p ，并问∞→t 时会发生什么情况解：（1），由题可知， 在考虑两种因素后，修正后的Malthus 模型如下：2()0.003()0.001()0.002dp t p t p t dt=-- （2），假设在0t = 时，存在100万条鲑鱼，即(0)1000000p = ，解下列初值问题2()0.003()0.001()0.002(0)1000000dp t p t p t dt p ⎧=--⎪⎨⎪=⎩ 解得0.0010.0012999998()11000001tt ae p t a ae--+==-其中 当t→∞ 时，2p →。
、 根据罗瑟福的放射性衰变定律，放射性物质衰变的速度与现存的放射性物质的原子数成正比，比例系数成为衰变系数，试建立放射性物质衰变的数学模型。
若已知某放射性物质经时间21T 放射物质的原子下降至原来的一半（21T 称为该物质的半衰期）试决定其衰变系数。
解：假设初始时刻该放射性物质的原子数位0N ，在时间t 时，该放射性物质的原子个数为N ，设衰变系数为k ，则有下列微分方程：0,(0)dN kN N N dt=-= 解得0()kt N t N e =由题可知，当1/2=t T 时，该放射性物质的原子个数下降到原来的一半，即有1/20012kT N N eN == 则有 1/2ln 2/k T =-即为该放射性物质的衰变系数。
、 用具有放射性的14C 测量古生物年代的原理是：宇宙线轰击大气层产生中子，中子与氮结合产生14C 。
植物吸收二氧化碳时吸收了14C ，动物食用植物从植物中得到14C 。
在活组织中14C 的吸收速率恰好与14C 的衰变速率平衡。
但一旦动植物死亡，它就停止吸收14C ，于是14C 的浓度随衰变而降低。
由于宇宙线轰击大气层的速度可视为常数，既动物刚死亡时14C 的衰变速率与现在取的活组织样本（刚死亡）的衰变速率是相同的。
若测得古生物标本现在14C 的衰变速率，由于14C 的衰变系数已知，即可决定古生物的死亡时间。
试建立用14C 测古生物年代的模型（14C 的半衰期为5568年）。
解：假设现在取的活组织样本（刚死亡）的衰变速率为0v ，古生物标本现在14C 的衰变速率为0t v ，设动物死亡后，经过时间t 后，动物体内14C 的浓度为()c t 。
再根据上题（题）解得某物质的衰变系数为1/2ln 2/c k T =其中1/2T 为14C 的半衰期，则有()()(),()c dc t v t k N t v t t dt ==-为时衰变速度当00t t t ==、时，根据上述公式可得到0000c c v v k N N k =-⇒=- ，0000t t c t t cv v k N N k =-⇒=- 又因为0()c k t N t N e =，则有0000000001ln c c t t k t k t t c c c v v v N N e e t k k k v ==-=-⇒= 由题可知1/21/2ln 25568,c T k T ==-，则只要测出现在活组织样本和古生物标本中14C 的衰变速率，代入上式即可估算出古生物标本距今的时间。
、 试用上题建立的数学模型，确定下述古迹的年代：（1）1950年从法国Lascaux 古洞中取出的碳测得放射性计数率为计数（min ⋅g ），而活树木样本测得的计数为计数（min ⋅g ），试确定该洞中绘画的年代；（2）1950年从某古巴比伦城市的屋梁中取得碳标本测得计数率为计数（min ⋅g ），活数标本为计数（min ⋅g ），试估计该建筑的年代。
解：（1），根据上题建立的模型，由已知条件可以确定00 6.68,0.97t v v ==，代入上题模型中可算出0001ln 15500t c v t k v == 年 （2），同理可得，该古建筑距今的年代0001ln 3940t c v t k v == 年、 一容器用一薄膜分成容积为A V 和BV 的两部分，分别装入同一物质不同浓度的溶液。
设该物质分子能穿透薄膜由高浓度部分向低浓度部分扩散，扩散速度与两部分浓度差成正比，比例系数称为扩散系数。
试建立描述容器中溶液浓度变化的数学模型。
设)(l V V B A ==，每隔100s 测量其中一部分溶液的浓度共10次，具体数据为454，499，535，565，590，610，626，650，659，单位为3/m mol 。
试建立扩散系数，并决定2h 后两部分中溶液的浓度各为多少。
解：假设浓度较高的部分为B V ，则测得的十组数据是A V 中溶液浓度的变化，设 A V 和B V 中溶液浓度分别为()A C t 和()B C t 。
因为扩散速度与两部分溶液浓度差成正比，则()()A B A dC t k C C dt=- 又因为在整个容器中，溶液的浓度是定值，设为0C ，所以02B A C C C =-，代入上式并解得：2220()(2)kt kt A C t e k C t e C -=-⋅+然后用所给的十组数据进行数据拟合，求出上式中的参数。
、 建立耐用消费品市场销售量的模型。
如果已知了过去若干时期销售量的情况，如何确定模型的参数。
解：因为是耐用消费品，所以随着人们对它的拥有量的增加，其销售量()N t 的下降速度与()N t 成正比。
则可建立模型如下：()()dN t kN t dt=-解上述微分方程得到：()kt N t ce -=根据已有数据用matlab 拟合指数曲线，可确定c k ，。
、 根据经验当一种新产品投入市场后，随着人们对它拥有量的增加，其销售量)(t s 的下降速度与)(t s 成正比。
广告宣传可给销售量添加一个增长速度，它与广告费)(t a 成正比，但广告只能影响这种商品在市场上尚未饱和的部分（设饱和量为M ）。
建立销量)(t s 的模型。
若广告宣传只进行有限时间t ，且广告费为常数a ，问)(t s 如何变化解：假设在没有广告宣传的情况下，销售量()s t 的模型为1()()ds t k s t dt=- 在加入广告宣传后，销售量()s t 随时间的变化情况如下：120()()()(())t ds t k s t k a t M s x dx dt=-+-⎰ 其中0()ts x dx ⎰为0~t 时间内的销售总量。
如果广告宣传只进行有限时间t ，则上述模型变为120001()(())()()t k s t k a M s x dx t t t ds t dt k s t t ⎧-+-≤≤+⎪=⎨⎪-⎩⎰其他时间、 对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型（1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与已采用新技术的人数成正比，推广是无限的。
（2）总人数有限，因而推广速度随着尚未采用的新技术人数的减少而降低。
（3）在（2）的前提下还要考虑广告等媒介的传播作用。
解：（1），假设推广的人数为()N t ，因为推广是无限的，则()N t 可以达到无限大，建立模型如下()()dN t kN t dt= （2），总人数有限，推广速度随着推广人数()N t 的增加而降低，即推广速度与推广人数成反比，所以建立模型如下：()()dN t kN t dt =- （3），假设投入的广告费随时间的函数为()a t ，广告宣传的影响力与投入的广告费成正比，比例系数为1k ，所以建立模型如下：()1()()dN t k a t kN t dt=-、 某种细菌的增长率不知道，但假设它是常数，试验开始时估计大约有11500个细菌，一时后有2000个，问四时后大约有多少细菌解：设经过时间t 后细菌数量为()N t ，增长率为常数x 。
()()dN t xN t dt=- 求解上述微分方程，有()xt N t ce -=由题可知，0(0)1150011500N ce c ==⇒=(1)115002000 1.7492x N e x -==⇒=则有 1.7492*4(4)1150010.5203N e -== 个。