第五章微分方程模型

第五章 微分方程模型

、 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量41868焦，问此人的体重如何随时间而变化

解：

设此人的体重为w ，则根据题意有，每天获取的热量，减去新陈代谢，减去运动消耗的热量，剩余的按利用率100% 转化为脂肪，即有下列等式成立：

1046750386941868

w dw dt --= 经化简有：

232313956139565429()41868t t w e t e c -

=-⋅+ 假设此人现在的体重为0w ，则此人的体重随时间的变化如下：

2323139561395605429()41868t t w e

t e w -

=-⋅+ 、 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus 增长模型)(003.0)(t p dt

t dp = 其中t 以分钟计。在0=t 时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。鲨鱼捕杀鲑鱼的速率是)(001.02t p ，其中)(t p 是t 时刻鲑鱼总数。此外，由于在它们周围出现意外情况，平均每分钟有条鲑鱼离开此水域。

（1）考虑到两种因素，试修正Malthus 模型。

（2）假设在0=t 是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数

)(t p ，并问∞→t 时会发生什么情况

解：

（1），由题可知， 在考虑两种因素后，修正后的Malthus 模型如下：

2()0.003()0.001()0.002dp t p t p t dt

=-- （2），假设在0t = 时，存在100万条鲑鱼，即(0)1000000p = ，解下列初值问题

2()0.003()0.001()0.002(0)1000000

dp t p t p t dt p ⎧=--⎪⎨⎪=⎩ 解得

0.0010.0012999998()11000001t

t ae p t a ae

--+==-其中 当t

→∞ 时，2p →。

、 根据罗瑟福的放射性衰变定律，放射性物质衰变的速度与现存的放射性物质的原子数成正比，比例系数成为衰变系数，试建立放射性物质衰变的数学模型。若已知某放射性物质经时间21T 放射物质的原子下降至原来的一半（21T 称为该物质的半衰期）试决定其衰变系数。

解：

假设初始时刻该放射性物质的原子数位0N ，在时间t 时，该放射性物质的原子个数为N ，设衰变系数为k ，则有下列微分方程：

0,(0)dN kN N N dt

=-= 解得

0()kt N t N e =

由题可知，当1/2=t T 时，该放射性物质的原子个数下降到原来的一半，即有

1/20012

kT N N e

N == 则有 1/2ln 2/k T =-

即为该放射性物质的衰变系数。

、 用具有放射性的14C 测量古生物年代的原理是：宇宙线轰击大气层产生中子，中子与氮结合产生14C 。植物吸收二氧化碳时吸收了14C ，动物食用植物从植物中得到14C 。在活组织中14C 的吸收速率恰好与14C 的衰变速率平衡。但一旦动植物死亡，它就停止吸收14C ，于是14C 的浓度随衰变而降低。由于宇宙线轰击大气层的速度可视为常数，既动物刚死亡时14C 的衰变速率与现在取的活组织样本（刚死亡）的衰变速率是相同的。若测得古生物标本现在14C 的衰变速率，由于14C 的衰变系数已知，即可决定古生物的死亡时间。试建立用14C 测古生物年代的模型（14C 的半衰期为5568年）。

解：

假设现在取的活组织样本（刚死亡）的衰变速率为0v ，古生物标本现在14C 的衰变速率为0t v ，设动物死亡后，经过时间t 后，动物体内14C 的浓

度为()c t 。

再根据上题（题）解得某物质的衰变系数为1/2ln 2/c k T =其中1/2T 为14C 的半衰期，则有

()()(),()c dc t v t k N t v t t dt ==-为时衰变速度

当00t t t ==、时，根据上述公式可得到

0000c c v v k N N k =-⇒=- ，0000t t c t t c

v v k N N k =-⇒=- 又因为0()c k t N t N e =，则有

0000000001ln c c t t k t k t t c c c v v v N N e e t k k k v ==-=-⇒= 由题可知1/21/2

ln 25568,c T k T ==-，则只要测出现在活组织样本和古生物标本中14C 的衰变速率，代入上式即可估算出古生物标本距今的时间。

、 试用上题建立的数学模型，确定下述古迹的年代：

（1）1950年从法国Lascaux 古洞中取出的碳测得放射性计数率为计数（min ⋅g ），而活树木样本测得的计数为计数（min ⋅g ），试确定该洞中绘画的年代；

（2）1950年从某古巴比伦城市的屋梁中取得碳标本测得计数率为计数（min ⋅g ），活数标本为计数（min ⋅g ），试估计该建筑的年代。

解：

（1），根据上题建立的模型，由已知条件可以确定00 6.68,0.97t v v ==，

代入上题模型中可算出

000

1ln 15500t c v t k v == 年 （2），同理可得，该古建筑距今的年代

000

1ln 3940t c v t k v == 年

、 一容器用一薄膜分成容积为A V 和B

V 的两部分，分别装入同一物质不同浓度的溶液。设该物质分子能穿透薄膜由高浓度部分向低浓度部分扩散，扩散速度与两部分浓度差成正比，比例系数称为扩散系数。试建立描述容器中溶液浓度变化的数学模型。设)(l V V B A ==，每隔100s 测量其中一部分溶液的浓度共10次，具体数据为454，499，535，565，590，610，626，650，659，单位为3/m mol 。试建立扩散系数，并决定2h 后两部分中溶液的浓度各为多少。

解：

假设浓度较高的部分为B V ，则测得的十组数据是A V 中溶液浓度的变化，设 A V 和B V 中溶液浓度分别为()A C t 和()B C t 。

因为扩散速度与两部分溶液浓度差成正比，则

()()A B A dC t k C C dt

=- 又因为在整个容器中，溶液的浓度是定值，设为0C ，所以02B A C C C =-，代入上式并解得：

2220()(2)kt kt A C t e k C t e C -=-⋅+

然后用所给的十组数据进行数据拟合，求出上式中的参数。

、 建立耐用消费品市场销售量的模型。如果已知了过去若干时期销售量的情况，如何确定模型的参数。

解：

因为是耐用消费品，所以随着人们对它的拥有量的增加，其销售量()N t 的下降速度与()N t 成正比。则可建立模型如下：

()()dN t kN t dt

=-