高三数学中档题+详细答案(全)精选

高三数学中档题+详细答案(全) 班级 姓名
1.如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，⊥=11,AC BB AB 平面D BD A ,1为AC 的中点．（1）求证：//1C B 平面BD A 1；（2）求证：⊥11C B 平面11A ABB ；
（3）在1CC 上是否存在一点E ，使得∠1BA E =45°，若存在，试确定E 的位置，并判断平面1A BD 与
平面BDE 是否垂直？若不存在，请说明理由．
2. 设1F 、2F 分别是椭圆1
422
=+y x 的左、右焦点，)1,0(-B ．
（Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1
2PF PF ⋅u u u r u u u u r 的最大值和最小值; （Ⅱ）若C 为椭圆上异于B 一点，且11CF BF
λ=，求λ的值； （Ⅲ）设P 是该椭圆上的一个动点，求1PBF ∆的周长的最大值.
3． 已知定义在R 上的奇函数
()3224f x ax bx cx d =-++ （a b c d R ∈、、、），当1x = 时，()f x 取极小值.23-（1）求a b c d 、、、的值；
（2）当[,]11x ∈-时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论.（3）求
证:对]2,2[,21-∈∀x x ,都有
34)()(21≤-x f x f
4．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，d 为常数，已知对*∈∀N m n ,，当m n >时，总有d m n m S S S m n m n )(-+=--.⑴ 求证：数列｛n a ｝是等差数列；
⑵ 若正整数n , m , k 成等差数列，比较
k n S S +与m
S 2的大小，并说明理由！
高三数学中档题训练27
班级 姓名
1. 在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在直线4y x =+上，半径为的圆C 经过坐标原点O ，椭圆()22
2109x y a a +=>与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
（1）求圆C 的方程；（2）若F 为椭圆的右焦点，点P 在圆C 上，且满足4PF =，求点P 的坐标.
18. 某厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进先进设备，并马上投入生产，第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元.请你根据以上数据，解决下列问题：(1)引进该设备多少年后，开始盈利？(2)引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，哪种方案较为合算？请说明理由′
3.设二次函数
2
()
f x ax bx c
=++在区间[]
2,2
-
上的最大值、最小值分别是M、m，集合
{}
|()
A x f x x
==
.（1）若
{1,2}
A=，且(0)2
f=，求M和m的值；
（2）若
{2}
A=，且1
a≥，记()
g a M m
=+，求()
g a的最小值.
4.设数列{}{}
,
n n
a b
满足112233
6,4,3
a b a b a b
======
，若
{}
1
n n
a a
+
-
是等差数列，
{}
1
n n
b b
+
-
是等
比数列.（1）分别求出数列{}{}
,
n n
a b
的通项公式；
（2）求数列{}n a 中最小项及最小项的值；（3）是否存在*k N ∈，使
10,2k k a b ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，若存在，求满足条件的所有k 值；若不存在，请说明理由.
高三数学中档题训练28
班级 姓名
1、已知E F 、分别是正三棱柱111ABC A B C -的侧面11AA B B 和侧面11AA C C 的对角线的交点,D 是棱
BC 的中点. 求证:(1)//EF 平面ABC ;
(2)平面AEF ⊥平面1A AD .
2．在平面区域2100,260,
270x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩≥≥≤内有一个圆,向该区域内随机投点,当点落在圆内的概率最大时的圆记为⊙
M ．（1）试求出⊙M 的方程；（2）过点P （0，3）作⊙M 的两条切线，切点分别记为A ，B ；又过P 作⊙N ：x 2+y 2-4x +λy +4=0的两条切线，切点分别记为C ，D ．试确定λ的值，使AB ⊥CD ．
3. 已知函数
22()ln ()f x x a x ax a R =-+∈．（1）当a=1时，证明函数()f x 只有一个零点；（2）若函数()f x 在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a 的取值范围．
4. 已知函数
2()1f x x x =+-，αβ，是方程()0f x =的两个根()αβ>，()f x '是()f x 的导数．设
11a =，1()(12)()n n n n f a a a n f a +=-
='L ，，．（1）求αβ，的值；
（2）已知对任意的正整数n 有n a α>，记ln
(12)n n n a b n a βα-==-L ，，．求数列{}n b 的前n 项和n S ．
高三数学中档题训练29
班级 姓名
1．
已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ,42x ⎡⎤
∈
⎢⎥⎣⎦． （1）求()f x 的最大值和最小值；（
2）若不等式()2f x m -<在ππ
,42x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围
2、已知椭圆C ：12222=+b y a x )0(>>b a 的两个焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且211F F PF ⊥，341=PF ，3142=PF ．（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线l 过圆
02422=-++y x y x 的圆心M ，交椭圆C 于A ，B 两点，且A ，B 关于点M 对称，求直线l 的方程．
3．已知集合是满足下列性质的函数)(x f 的全体：在定义域D 内存在0x ，使得)1(0+x f )1()(0f x f +=成立．（1）函数x
x f 1)(=是否属于集合M ？说明理由； （2）若函数b kx x f +=)(属于集合M ，试求实数k 和b 的取值范围；
（3）设函数1
lg
)(2+=x a x f 属于集合M ，求实数a 的取值范围．
4．设常数0a ≥，函数
2()ln 2ln 1f x x x a x =-+-((0,))x ∈+∞. （1）令()()g x xf x '=(0)x >，求()g x 的最小值，并比较()g x 的最小值与零的大小；
（2）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数；
（3）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．
高三数学中档题训练30
班级 姓名
1．若函数
)0(cos sin sin )(2>-=a ax ax ax x f 的图象与直线y=m 相切，并且切点的横坐标依次成公差为2π的等差数列.（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若点)(),(00x f y y x A =是图象的对称中心，且]2,0[0π∈x ，求点A 的坐标.
2．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M (1,324), N ( －22
3,2)两点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在椭圆上是否存在点P(x,y)，使P 到定点A(a,0)（其中0＜a ＜3）的距离的最小值为１？若存在，求出a 的值及P 点的坐标；若不存在，请给予证明．
3.设A (x 1 , y 1),B(x 2 , y 2)是函数f(x )=21+log 2x x -1图象上任意两点，且OM =21(+),点M 的横坐标为21.⑴求M 点的纵坐标；⑵若S n =)(11
∑-=n i n i f =f (1n )+f (2n )+…+f (1n n -),n ∈N *,且n ≥2，求S n ; ⑶已知a n =1231(1)(1)n n S S +⎧⎪⎪⎨⎪++⎪⎩(1)(2)n n =≥n ∈N *,T n 为数列{a n
}的前n 项和，若T n <λ(S n+1+1) 对一切n >1且n ∈N *都成立，求λ的取值范围.
4.已知函数f(x)= n +lnx 的图像在点P(m,f(m))处的切线方程为y=x ,
设()2ln n
g x mx x
x =--．
（1）求证：当
()1,0
x g x ≥≥恒成立；
（2）试讨论关于x 的方程：()322n
mx g x x ex tx
x --=-+ 根的个数．
高三数学中档题训练26
1.证明：（1）连接1AB 与B A 1相交于M ，则M 为B A 1的中点.连结MD ，又D 为AC 的中点，
MD C B //1∴，又⊄C B 1平面BD A 1，MD ⊂平面BD A 1
//1C B ∴平面BD A 1 . …………………………………………4′
（2）B B AB 1=Θ，∴平行四边形11A ABB 为菱形，11AB B A ⊥∴， 又⊥1AC Θ面BD A 1
B A A
C 11⊥∴，⊥∴B A 1面11C AB …………………………7′ 111C B B A ⊥∴.又在直棱柱111C B A ABC -中，111C B BB ⊥， ⊥∴11C B 平面A ABB 1. ……………………………………9′
（3）当点E 为C C 1的中点时，∠1BA E
=45°，且平面⊥BD A 1平面BDE .
设AB=a ，CE=x
，∴
111
A B AC =，1C E a x =-，
∴
1A E ==
BE ∴在
1A BE
V 中，由余弦定理得
22211112cos 45BE A B A E A B A E =+-⋅⋅︒
即
222222322a x a x a ax +=++--⋅
2a x =-，
∴x =1
2a ，即E 是C C 1的中点. ………………………………………13′
D Θ、
E 分别为AC 、C C 1的中点，1//AC DE ∴.
1AC Θ平面BD A 1，⊥∴DE 平面BD A 1.
又⊂DE 平面BDE ，∴平面⊥BD A 1平面BDE . …………………………15′ 2
．解：（Ⅰ）易知2,1,a b c ===
所以
(
))12
,F F ，设(),P x y ，则
(
))
2212,,
,3
PF PF x y x y x y ⋅=--=+-u u u r u u u u r
()2
221
133844x x x =+-
-=-
因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅u u u r u u u u r
有最小值2- 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，1
2PF PF ⋅u u u r u u u u r
有最大值1
（Ⅱ）设C （
0x 0
，y ），
)1,0(-
B ()
1F
由11CF BF
λ=
得001
x y λ=
=-
，
又 2
2001
4
x y += 所以有
2670
λλ+-=解得
舍去）01(7>=-=λλ．
（Ⅲ） 因为|P 1F |＋|PB |＝4－|PF 2|＋|PB |≤4＋|BF 2|，
∴1PBF ∆的周长≤4＋|BF 2|＋|B 1F |≤8．
所以当P 点位于直线BF 2与椭圆的交点处时，1PBF ∆周长最大，最大值为8．3．解（1）∵函数()f x 图象关于原点对称，∴对任意实数
()()
x f x f x -=-有，
∴32322424ax bx cx d ax bx cx d ---+=-+--，即2
20bx d -=恒成立 ∴0,0
b d == …………4分
∴
,3)(',)(2
3c ax x f cx ax x f +=+=， ∵1x =时，()f x 取极小值23-
,∴
2
303a c a c +=+=-且， 解得1
,31
-==c a ………8分
（2）当
[1,1]
x ∈-时，图象上不存在这样的两点使结论成立. …………10分
假设图象上存在两点),(),,(2211y x B y x A ，使得过此两点处的切线互相垂直，
则由
,1)('2-=x x f 知两点处的切线斜率分别为,1211-=x k ,12
22-=x k 且2212(1)(1)1
x x -⋅-=-…………（*） …………13分
1
x Q 、
2[1,1]
x ∈-，
2222
121210,10,(1)(1)0
x x x x ∴-≤-≤∴-⋅-≥
此与（*）相矛盾，故假设不成立. ………………16分 4（本小题满分18分）
⑴证明：∵当m n >时，总有d
m n m S S S m n m n )(-+=--
∴ 当2≥n 时，
d
n S S S n n )1(11-+=--即
,
)1(1d n a a n -+= 2分
且1=n 也成立 ………3分
∴ 当2≥n 时，d
d n a d n a a a n n =----+=--)2()1(111
∴数列｛
n
a ｝是等差数列 …………5分
⑵解： ∵正整数n , m , k 成等差数列，∴,2m k n =+
∴
)2)
1((22)1(2)1(2111d m m ma d k k ka d n n na S S S m k n -+--++-+
=-+
))2(2(2)2(2222222k n k n d m k n d +-+=-+=
2)(4k n d
-=
……9分
∴ ① 当0>d 时，k n S S +m
S 2> ② 当0<d 时，k n S S +m
S 2<
③ 当0=d 时，k n S S +m
S 2= ……10分 高三数学中档题训练
27
1. 解：（1）由已知可设圆心坐标为
(),4t t +， …………………………2'
∴
()2
248
t t ++=得2t =-，∴圆心坐标为
()2,2-， …………………………4'
所以圆的方程为
()()2
2
228
x x ++-= ……………………………6'
（2）由题意，椭圆中210a =，即5a =
Q 29b =，∴2
16c =，∴()4,0F …………………………8'
设
()
,P m n ，则
()()22
4016
m n -+-=，
()()
2
2
228
m n ++-= ……………………………11'
解之得：
405
012
5m m n n ⎧=
⎪=⎧⎪⎨
⎨=⎩⎪=⎪⎩或
即
()4120,0,55P P ⎛⎫
⎪
⎝⎭或 …………………………………………14' 2. 解：(1)设引进设备几年后开始盈利，利润为y 万元
则y =50n -[12n +n(n -1)
2×4]-98=-2n 2
+40n -98
由y >0
可得10n <10 ∵n ∈N *
，∴3 ≤n ≤17，即第3年开始盈利 …………………… 5′
(2)
方案一：年平均盈利y 98=-2n -+40≤40=12
n 2
当且仅当
98
2n =
n 即n =7时取“＝”
共盈利12×7+26=110万元 …………………………………………9′ 方案二：盈利总额y =-2n 2
+40n -98=-2(n -10)2
+102 当n =10时，y max =102
共盈利102+8=110万元………………………………………13′
方案一与方案二盈利客相同，但方案二时间长，∴方案一合算…………153. (1)由(0)22f c ==可知， ……………………1′ 又
{}2A 1212(1)0.
ax b x c =+-+=，，故，是方程的两实根
1-b 1+2=a ,
c 2=a ⎧
⎪⎪∴⎨⎪⎪⎩ ……………………………………………3′
1,2a b ==-解得 ………………………………………4′ []
22()22(1)1,
2,2f x x x x x ∴=-+=-+∈-
min 1()(1)1,1x f x f m ====当时，即 ………………………5′ max 2()(2)10,10.x f x f M =-=-==当时，即 ……………………6′
（2）
2
(1)0ax b x c +-+=由题意知，方程有两相等实根x=2,
,4c
a ⎧
⎪⎧⎪∴⎨⎨
⎩⎪=⎪⎩1-b 2+2=b=1-4a a 即c=4a ………………………8′ []
2()(14)4,2,2f x ax a x a x ∴=+-+∈-
411
2,22a a a -=
=-其对称轴方程为x
131,2,222a a ⎡⎫≥-
∈⎪⎢⎣⎭又故 ……………………………10′
(2)162,M f a ∴=-=- ………………………11′
4181
,24a a m f a a --⎛⎫==
⎪⎝⎭ ………………………12′
1
()164g a M m a a ∴=+=-
…………………………13′
[)min 63()1,1().
4g a a g a +∞∴==
又在区间上为单调递增的，当时， ……15′
4.解：（1）21322,1
a a a a -=--=-由
{}1n n a a +-成等差数列知其公差为1，
故
()12113
n n a a n n +-=-+-⋅=- ……………………3'
21322,1,b b b b -=--=-由{}1n n b b +-等比数列知，其公比为12，
故
1
1122n n n b b -+⎛⎫-=-⋅ ⎪
⎝⎭ …………6'
11223211
()()()()n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-+⋅⋅⋅+-+=
()
()()12(1)21
2
n n n ---⋅-+⋅+6=232282n n n -+-+=2718
2n n -+ ………8'
11223211
()()()()n n n n n n n b b b b b b b b b b -----=-+-+-+⋅⋅⋅+-+
＝2121()2112n -⎛⎫
-- ⎪
⎝⎭-+6=2+42n
- …………………………………………………10'
(2)由(1)题知,n a =27182n n -+ ,所以当3n =或4n =时，n a 取最小项，其值为3…12' （3）假设k 存在，使k k a b -=27182n n -+-2-42n -=27142n n -+-42
n -10,2⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭ 则0<27142n n -+-42
n
-1
2< 即2527132714n n n n n --+<<-+ …………15' ∵22
713714n n n n -+-+与是相邻整数 ∴52
n
Z -∉，这与52n Z -∈矛盾，所以满足条件的k 不存在 ………………17'
高三数学中档题训练28
2、证明：（1）连结
11A B A C
和，因为E F 、分别是侧面
11AA B B
和侧面
11AA C C
的对角线的交点，所以
E F 、分别是11A B A C 和的中点…………………………………………4分
所以//EF BC ，且BC 在平面ABC 中，而EF 不在平面ABC 中，故//EF 平面ABC (7)
分
（2）因为三棱柱
111
ABC A B C -为正三棱柱，所以
1A A ⊥
平面ABC ，∴
1BC A A
⊥，故由//EF BC 得
1EF A A
⊥……9分
又因为D 是棱BC 的中点，且ABC ∆为正三角形，∴BC AD ⊥，故由//EF BC 得EF AD ⊥，……11分 而
1A A AD A
=I ，
1,A A AD ⊂
平面
1A AD
，所以EF ⊥平面1A AD
，又EF ⊂平面AEF ，故平面
AEF ⊥平面1A AD .……………………………………14分
2. （1）设⊙M 的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2(r ＞0)，则点(a ，b )在所给区域的内部．2分
于是有
,,.r r r ==⎪= ………………………………………………8分
（未能去掉绝对值，每个方程给1分）
解得 a =3，b =4，r
(x -3)2+(y -4)2=5． …………………10分
（2）当且仅当PM ⊥PN 时，AB ⊥CD ． ………………………………14分
因
1
3PM k =
，故
λ323
2PN
k --==-，解得λ=6． …………………………18分
当λ=6时，P 点在圆N 外，故λ=6即为所求的满足条件的解．（本验证不写不扣分）3. 解：
（1）当a=1时，2
()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,)+∞，
2121
()21x x f x x x x --'∴=-+=-
令()0f x '=，即2210x x x ---=，解得
1
2x =-
或1x =．
0x >Q ，
1
2x ∴=-
舍去．
当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．
∴函数()f x 在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减
∴当x=1时，函数()f x 取得最大值，其值为
2
(1)ln1110f =-+=． 当1x ≠时，()(1)f x f <，即()0f x <． ∴函数()f x 只有一个零点．
（2）法一：因为
22
()ln f x x a x ax =-+其定义域为(0,)+∞， 所以222
121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x -++-+-'=-+==
①当a=0时，
1
()0,()f x f x x '=
>∴在区间(0,)+∞上为增函数，不合题意
②当a>0时，()0(0)f x x '<>等价于(21)(1)0(0)ax ax x +->>，即
1
x a >
．
此时()f x 的单调递减区间为1
(,)
a +∞．
依题意，得1
1,0.
a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩解之得1a ≥．
③当a<0时，()0(0)f x x '<>等价于(21)(1)(0)ax ax x +->>，即
1
2x a >-
·
此时()f x 的单调递减区间为1(,)2a -+∞，1
1,0.
a a ⎧-≤⎪∴⎨⎪<⎩得
1
2a ≤- 综上，实数a 的取值范围是1
(,][1,)
2-∞-+∞U
法二：
22
()ln ,(0,)f x x a x ax x =-+∈+∞Q 2221()a x ax f x x -++'∴=
由()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，可得
22
210a x ax -++≤在区间(1,)+∞上恒成立．
① 当0a =时，10≤不合题意
② 当0a ≠时，可得11,4(1)0a f ⎧<⎪⎨⎪≤⎩即210,4210a a a a ⎧><⎪⎨⎪-++≤⎩或10,4
112a a a a ⎧><⎪⎪∴⎨
⎪≥≤-⎪⎩或或 1
(,][1,)
2a ∴∈-∞-+∞U
4. (1) 由 2
10x x +-=
得
x =
α∴=
β=
(2) ()21f x x '=+
22
111
2121n n n n n n n a a a a a a a ++-+=-=
++
(
22112
2
112n n n n n n n n
n n a a a a a a a a βαβα+++++++
-==-⎛⎫ ⎪⎛⎫-== ⎪
-⎝⎭
⎝
⎭
∴
12n n
b b += 又
111ln
a b a βα-===- ∴数列{}
n b 是一个首项为
14ln
2+，公比为2的等比数列；
∴
)()12242112n n n S -=
=--
高三数学中档题训练29
1
．解：（1
）
π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤
⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵π12sin 23x ⎛⎫=+-
⎪⎝⎭． 又ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π212sin 23
3x ⎛
⎫+- ⎪⎝⎭≤≤， max min ()3,()2f x f x ==∴．
（2）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ,42x ⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦， max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，
14m <<∴，即m 的取值范围是(1,4)．2.（1）1492
2=+y x …………7分 （2）02598=+-y x …………7分
3．（本小题满分16分）
解：（1）),0()0,(+∞-∞=Y D ，若M x
x f ∈=
1
)(，则存在非零实数0x ，使得
11110
0+=+x x ，……（2分）即0102
=++x x ，……（3分） 因为此方程无实数解，所以函数M x
x f ∉=
1
)(．……（4分） （2）R D =，由M b kx x f ∈+=)(，存在实数0x ，使得 b k b kx b x k +++=++00)1(，……（6分） 解得0=b ，……（7分）
所以，实数k 和b 的取得范围是R k ∈，0=b ．……（8分） （3）由题意，0>a ，R D =．由M x a
x f ∈+=1
lg
)(2，存在实数0x ，使得 2lg 1
lg 1)1(lg
2
020a
x a x a =+=++，……（10分） 所以，)
1(21)1(2
02
20+=++x a x a ， 化简得0222)2(2
02202=-++-a a x a x a a ，……（12分）
当2=a 时，2
1
0-
=x ，符合题意．……（13分） 当0>a 且2≠a 时，由△0≥得0))(2(842
2
4
≥---a a a a a ，化简得
0462
≤+-a a ，解得]53,2()2,53[+-∈Y a ．……（15分）
综上，实数a 的取值范围是]53,53[+-．……（16分）4．解（Ⅰ）∵
()(ln )(ln )2ln 1f x x x x a x =-+-，(0,)x ∈+∞
∴
112()1[ln (ln )]a f x x x x x x '=-⨯+⨯+2ln 21x a
x x =-+，
∴()()2ln 2g x xf x x x a '==-+，(0,)x ∈+∞∴22()1x g x x x -'=-
=，令()0g x '=，得2x
=，列表如
下：
∴()g x 在x 处取得极小值， 即()g x 的最小值为(2)22ln 22g a =-+．
(2)2(1ln 2)2g a =-+，∵ln 21<，∴1ln 20->，又0a ≥，∴(2)0g >． （Ⅱ）证明由（Ⅰ）知，()g x 的最小值是正数，∴对一切(0,)x ∈+∞，恒有()()0g x xf x '=>从而当
0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，∞上是增函数． （Ⅲ）证明由（Ⅱ）知：()f x 在(0)+，
∞上是增函数， ∴当1x >时，()(1)f x f >， 又
2
(1)1ln 12ln110f a =-+-=， ∴()0f x >，即21ln 2ln 0x x a x --+>，∴2
ln 2ln 1x x a x >-+
故当1x >时，恒有2
ln 2ln 1x x a x >-+．高三数学中档题训练30
1．解析：解：（1）
)42sin(23212sin 2122cos 1)(π
+-=--=
ax ax ax x f 3分
由于y=m 与)(x f y =的图象相切，
则
22
1221-=+=
m m 或； 5分
（2）因为切点的横坐标依次成公差为2π等差数列，所以4
2,2=∴=a T π
).
21,167()21,163(,
21),(21640),(164)(44,0)44sin(.21)44sin(22)(000πππππππππ
ππ或点或得由则令A k k Z k k Z k k x Z k k x x x x f ∴==∈≤-≤∈-=∴∈=+=+++-
=2．解：（Ⅰ）设椭圆方程为mx 2
+ny 2
=1(m ＞0,n,＞0且m≠n) ……………2分
∵椭圆过M,N 两点，∴m+,1932=n 1
229
=+n m …………………4分
∴m=41
,9
1=
n ………………………………………………6分 ∴椭圆方程为 1492
2=+y x …………………………………………7分
（Ⅱ）设存在点P(x,y)满足题设条件，∴|AP|=(x-a)2
+y 2
,
又14922=+y x ,∴y 2=4(1 -92
x ),
∴|AP|=(x-a)2+ 4(1 -92
x )=95(x-59a)2+4-54a 2
(|x|≤3)，…………………10分 若时，即350,359≤≤＜a a |AP|的最小值为4-54a 2
，依题意，
4-54a 2
=1 ，∴a=
215±⎥⎦⎤ ⎝⎛∉35,0;………………………………………12分 若,359〉a 即335
＜a＜时，当x=3时,
|AP|2
的最小值为（3-a ）2
,（3-a ）2
=1,
∴a=2,此时点P 的坐标是（3，0） .…………………………………………15分 故当a=2时，存在这样的点P 满足条件，P 点的坐标是（3，0）.…………16分
3.解:(1) ∵x 1+x 2=1,∴y M =2)
()(21x f x f +=
21log 1log 122
2112
x x
x x -+-+=21
； 4分
(2) ∵对任意x ∈(0,1)都有f(x)+f(1-x)=1∴f(i n )+f(1-i n )=1,即f(i n )+f(n i
n -)=1
而S n =
)
(1
1
∑
-=n i n i f =f （1n )+f(2n )+…+f(1n n -),
又S n =
)(1
1
∑
-=n i n i f =f(1
n n -)+f(2n n -)+…+f(1n )
两式相加得2S n =n-1,∴S n =21
-n . 10分
(3) n≥2时，a n =)2)(1(4++n n =4(2111+-+n n ),T n =22+n n <λ
22
+n ,λ>
n n 444
++,而n n 444+
+≤4
424
+⋅n n =21，等号成立当且仅当n=2,∴λ>21
. 16分
4．（本小题满分16分）
（1）由k=1
1=m 得m=1∴f(m)=1=n+0,n=1 ∴()1
2ln 2ln n g x mx x x x
x x =--=--． ———2′
∴()()2
22221122110x x x g x x x x x --+'=+-==≥，
∴
()
g x 在
[)1,+∞是单调增函数，
∴
()g x ()1112ln10g ≥=--=对于
[)
1,x ∈+∞恒成立．———6′
（2）方程()322n
mx g x x ex tx x --=-+，∴32
2ln 2x x ex tx =-+．
∵ 0x >，∴ 方程为22ln 2x
x ex t
x =-+． 令
22ln (),()2x
L x H x x ex t x =
=-+，
21ln ()2
x
L x x -'=Q ，当()()(0,),0,(0,]x e L x L x e ''∈≥∴时在上为增函数；
()()[,),0,[0,)
x e L x L x e ''∈+∞≤∴时在上为减函数，
当e x =时，
max 2
()().
L x L e e == ———11′ ()()2
22
2H x x ex t x e t e =-+=-+-，
∴()x 函数L 、()H x 在同一坐标系的大致图象如图所示，
∴①当
2222
,t e e e e ->>+
即t 时，方程无解． ②当
2222
,t e e e e -==+
即t 时，方程有一个根． ③当
2222
,t e e e e -<<+
即t 时，方程有两个根．—16′15、。