三角函数基础知识整理

三角函数基础知识整理

一、三角函数的基本概念 1．终边相同的角的表示方法:

终边在x 轴上；终边在y 轴上；终边在直线y x =上；终边在第一象限等 2.理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算；

⑴角度制与弧度制的互化：π弧度ο180=，180

1π

=ο弧度，1弧度ο)180

(

π

='1857ο≈

⑵弧长公式：R l α=；扇形面积公式：Rl S 2

1

=

。 3．任意角的三角函数的定义（三个三角函数）、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、

⑴三角函数定义：角α中边上任意一点P 为),(y x ，设r OP =||则：

,cos ,sin r x r y ==

ααx

y =αtan ⑵三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；

4.同角三角函数的关系式（三个：平方关系、商数关系、倒数关系）、 同角三角函数的基本关系：x x

x

x x tan cos sin ;

1cos sin 22==+ α

αcot 1

tan =

5.诱导公式（奇变偶不变，符号看象限．．．．．．．．．．．

πα-、πα+、α-、2πα-、2()k k Z πα+∈、

2

π

α-、

απ

+2

）

；

⑴

2

α

、α2所在的象限的讨论： ⑵sin cos αα+和sin cos αα-的符号规律：

二、两角和与差的三角函数 1．和（差）角公式

①;sin cos cos sin )sin(βαβαβα±=± ②;sin sin cos cos )cos(βαβαβαμ=± ③β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(μ±=

±

2．二倍角公式

①αααcos sin 22sin =；

②ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； ③α

α

α2tan 1tan 22tan -=

41

2

3

432

1

⑴升（降）幂公式：21cos 2sin 2αα-=

、21cos 2cos 2αα+=、1

sin cos sin 22

ααα=；

⑵辅助角公式：sin cos )a b αααϕ+=+（ϕ由,a b 具体的值确定）； ⑶正切公式的变形：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-⋅. 4．有用的解题思路

⑴“变角找思路，范围保运算”；

⑵“降幂——辅助角公式——正弦型函数”； ⑶巧用sin cos αα±与sin cos αα⋅的关系； ⑷巧用三角函数线——数形结合.

三、三角函数的图象与性质

1．列表综合三个三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象与性质，并挖掘：

⑴最值的情况；

⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求sin()y A x ωϕ=+的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期．．．．．．．．．．．情况．．

；

⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；

sin y x =的对称轴是2

x k π

π=+

()k Z ∈，对称中心是(,0)k π()k Z ∈；

cos y x =的对称轴是x k π=()k Z ∈，对称中心是(,0)2

k π

π+()k Z ∈

tan y x =的对称中心是(,0)()2

k k Z π

∈ ⑷写单调区间注意0ω>.

2．了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ωϕ=+的简图，并能由图象写出解析式． ⑴“五点法”作图的列表方式；

⑵求解析式sin()y A x ωϕ=+时处相ϕ的确定方法：代（最高、低）点法、 3．正弦型函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换

四、解三角形 Ⅰ．正、余弦定理 ⑴正弦定理

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===（R 2是AB

C ∆外接圆直径） 注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=； ②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===； ③

C

B A c

b a C

c B b A a sin sin sin sin sin sin ++++=

==。

⑵余弦定理：A bc c b a cos 22

2

2

-+=等三个；注：bc

a c

b A 2cos 2

22-+=等三

个。

Ⅱ。几个公式:

⑴三角形面积公式：C ab ah S ABC sin 2

1

21==∆； ⑵外接圆直径2R=

;sin sin sin C

c B b A a == ⑶在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：

∆ABC 中，sin sin A B A B >⇔>

Ⅲ．已知A b a ,,时三角形解的个数的判定：

A

其中h=bsinA,⑴A 为锐角时：①a

⑵A 为直角或钝角时：①a ≤ b 时，无解；②a>b 时，一解（锐角）。