多重比较及方差齐性检验
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8 November 2018
嘉兴学院
第八章 方差分析与回归分析
第16页
8.3.1 Hartley检验
当各水平下试验重复次数相等时，即 m1=m2==mr=m,Hartley提出检验方差相等的检 验统计量： （8.3.2） 这个统计量的分布无明显的表达式，但在诸方差 相等条件下，可通过随机模拟方法获得H分布的 分位数，该分布依赖于水平数r 和样本方差的自 由度f=m1，因此该分布可记为H (r，f)，其分位 数表列于附表10上。
第八章 方差分析与回归分析
第9页
重复数相同时多重比较可总结如下：对给定的的显 著性水平 ，查多重比较的分位数q(r,fe)表，计 算 ，比较诸 与c的大小，若 则认为水平Ai与水平Aj间有显著差异，反之，则认为 水平Ai与水平Aj间无明显差别。这一方法最早由 Turkey提出，因此称为T法。
8 November 2018
诸临界值应在（8.2.2）成立时由P(W)= 确定。下 面分重复数相等和不等分别介绍临界值的确定。
8 November 2018
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第八章 方差分析与回归分析
第7页
8.2.3 重复数相等场合的T法
在重复数相等时，由对称性自然可以要求诸cij 相等，记为c. 记 ，则由给定条件不难 有
8 November 2018
（8.3.1）
8 November 2018
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第八章 方差分析与回归分析
第15页
很多统计学家提出了一些很好的检验方法， 这里介绍几个最常用的检验，它们是：
Hartley检验，仅适用于样本量相等的场合； Bartlett检验，可用于样本量相等或不等 的场合，但是每个样本量不得低于5； 修正的Bartlett检验，在样本量较小或较 大、相等或不等场合均可使用。
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第八章 方差分析与回归分析
由于 ，故
第2页
由此给出i - j的置信水平为1-的置信区间为 (8.2.1)
其中
是 2的无偏估计。
这里的置信区间与第六章中的两样本的t区间基本一致，区别在 于这里 2的估计使用了全部样本而不仅仅是两个水平Ai, Aj下的 观测值。
8 November 2018
同时比较任意两个水平均值间有无明显差异的 问题称为多重比较，多重比较即要以显著性水 平同时检验如下r(r1)/2个假设：
（8.2.2）
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ij
第6页
直观地看，当H0 成立时， 不应过大，因此， 关于假设(8.2.2)的拒绝域应有如下形式
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第八章 方差分析与回归分析
第8页
于是当 (8.2.2) 成立时，1== r = ，可推出
其中 ，称为t化极差统计 量，其分布可由随机模拟方法得到。 于是 , 其中q1(r, fe)表示q(r, fe)的 1 分位数，其值在附表8中给出。
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这说明它们同时发生的概率可能比1 小很多。 为了使它们同时发生的概率不低于1，一个办法是把每个事件发生 的概率提高到1 /k. 这将导致每个置信区间过长，联合置信区间 的精度很差，一般人们不采用这种方法。
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第八章 方差分析与回归分析
第5页
在方差分析中，如果经过F检验拒绝原假设， 表明因子A是显著的，即r个水平对应的水平均 值不全相等，此时，我们还需要进一步确认哪 些水平均值间是确有差异的，哪些水平均值间 无显著差异。
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第八章 方差分析与回归分析
第10页
8.2.4 重复数不等场合的S法 在重复数不等时，若假设 (8.2.2) 成立，则
或
从而可以要求
，在此要求下可推出
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可以证明 从而
，
亦即
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第八章 方差分析与回归分析
8.2.2 多重比较问题
第4页
对每一组(i, j)， (8.2.1) 给出的区间的置信水平都是1 ，但对多个 这样的区间，要求其同时成立，其联合置信水平就不再是1 了。 譬如，设E1 , …, Ek是k个随机事件，且有 P(Ei)=1，i=1 ,…,k ，则其同时发生的概率
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第八章 方差分析与回归分析
第14页
§8.3 方差齐性检验
在进行方差分析时要求r个方差相等，这称为方差齐性。 理论研究表明，当正态性假定不满足时对F检验影响较 小,即F检验对正态性的偏离具有一定的稳健性，而F检 验对方差齐性的偏离较为敏感。所以r个方差的齐性检 验就显得十分必要。 所谓方差齐性检验是对如下一对假设作出检验：
第12页
例8.2.3 在例8.1.4中，我们指出包装方式对食品销量 有明显的影响，此处r=4, fe =6, ，若取 =0.05 ，则F0.95(3,6)=4.76。注意到m1= m4=2，m2= m3=3，故
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第八章 方差分析与回归分析
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由于
这说明A1 , A2 , A3间无显著差异，A1 , A2与A4有 显著差异，但 A4与A3 的差异却尚未达到显著水 平。综合上述，包装A4销售量最佳。
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第八章 方差分析与回归分析
第3页
例8.2.1
继续例8.1.2， 则t1-/2( fe )= t0.975(21)=2.0796，
，fe=21，取＝0.05 ，
于是可算出各个置信区间为
可见第一个区间在0的左边，所以我们可以概率95%断言认为1 小于2，其它二个区间包含0点，虽然从点估计角度看水平均值估 计有差别，但这种差异在0.05水平上是不显著的。
第八章 方差分析与回归分析
第1页
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§8.2 多重比较
8.2.1 效应差的置信区间
如果方差分析的结果因子A显著，则等于说 有充分理由认为因子A各水平的效应不全相 同，但这并不是说它们中一定没有相同的。 就指定的一对水平Ai与Aj，我们可通过求i j的区间估计来进行比较。
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当各水平下试验重复次数相等时，即 m1=m2==mr=m,Hartley提出检验方差相等的检 验统计量： （8.3.2） 这个统计量的分布无明显的表达式，但在诸方差 相等条件下，可通过随机模拟方法获得H分布的 分位数，该分布依赖于水平数r 和样本方差的自 由度f=m1，因此该分布可记为H (r，f)，其分位 数表列于附表10上。
第八章 方差分析与回归分析
第9页
重复数相同时多重比较可总结如下：对给定的的显 著性水平 ，查多重比较的分位数q(r,fe)表，计 算 ，比较诸 与c的大小，若 则认为水平Ai与水平Aj间有显著差异，反之，则认为 水平Ai与水平Aj间无明显差别。这一方法最早由 Turkey提出，因此称为T法。
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诸临界值应在（8.2.2）成立时由P(W)= 确定。下 面分重复数相等和不等分别介绍临界值的确定。
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8.2.3 重复数相等场合的T法
在重复数相等时，由对称性自然可以要求诸cij 相等，记为c. 记 ，则由给定条件不难 有
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很多统计学家提出了一些很好的检验方法， 这里介绍几个最常用的检验，它们是：
Hartley检验，仅适用于样本量相等的场合； Bartlett检验，可用于样本量相等或不等 的场合，但是每个样本量不得低于5； 修正的Bartlett检验，在样本量较小或较 大、相等或不等场合均可使用。
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由于 ，故
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由此给出i - j的置信水平为1-的置信区间为 (8.2.1)
其中
是 2的无偏估计。
这里的置信区间与第六章中的两样本的t区间基本一致，区别在 于这里 2的估计使用了全部样本而不仅仅是两个水平Ai, Aj下的 观测值。
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同时比较任意两个水平均值间有无明显差异的 问题称为多重比较，多重比较即要以显著性水 平同时检验如下r(r1)/2个假设：
（8.2.2）
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直观地看，当H0 成立时， 不应过大，因此， 关于假设(8.2.2)的拒绝域应有如下形式
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于是当 (8.2.2) 成立时，1== r = ，可推出
其中 ，称为t化极差统计 量，其分布可由随机模拟方法得到。 于是 , 其中q1(r, fe)表示q(r, fe)的 1 分位数，其值在附表8中给出。
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这说明它们同时发生的概率可能比1 小很多。 为了使它们同时发生的概率不低于1，一个办法是把每个事件发生 的概率提高到1 /k. 这将导致每个置信区间过长，联合置信区间 的精度很差，一般人们不采用这种方法。
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在方差分析中，如果经过F检验拒绝原假设， 表明因子A是显著的，即r个水平对应的水平均 值不全相等，此时，我们还需要进一步确认哪 些水平均值间是确有差异的，哪些水平均值间 无显著差异。
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8.2.4 重复数不等场合的S法 在重复数不等时，若假设 (8.2.2) 成立，则
或
从而可以要求
，在此要求下可推出
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可以证明 从而
，
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对每一组(i, j)， (8.2.1) 给出的区间的置信水平都是1 ，但对多个 这样的区间，要求其同时成立，其联合置信水平就不再是1 了。 譬如，设E1 , …, Ek是k个随机事件，且有 P(Ei)=1，i=1 ,…,k ，则其同时发生的概率
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§8.3 方差齐性检验
在进行方差分析时要求r个方差相等，这称为方差齐性。 理论研究表明，当正态性假定不满足时对F检验影响较 小,即F检验对正态性的偏离具有一定的稳健性，而F检 验对方差齐性的偏离较为敏感。所以r个方差的齐性检 验就显得十分必要。 所谓方差齐性检验是对如下一对假设作出检验：
第12页
例8.2.3 在例8.1.4中，我们指出包装方式对食品销量 有明显的影响，此处r=4, fe =6, ，若取 =0.05 ，则F0.95(3,6)=4.76。注意到m1= m4=2，m2= m3=3，故
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由于
这说明A1 , A2 , A3间无显著差异，A1 , A2与A4有 显著差异，但 A4与A3 的差异却尚未达到显著水 平。综合上述，包装A4销售量最佳。
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例8.2.1
继续例8.1.2， 则t1-/2( fe )= t0.975(21)=2.0796，
，fe=21，取＝0.05 ，
于是可算出各个置信区间为
可见第一个区间在0的左边，所以我们可以概率95%断言认为1 小于2，其它二个区间包含0点，虽然从点估计角度看水平均值估 计有差别，但这种差异在0.05水平上是不显著的。
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§8.2 多重比较
8.2.1 效应差的置信区间
如果方差分析的结果因子A显著，则等于说 有充分理由认为因子A各水平的效应不全相 同，但这并不是说它们中一定没有相同的。 就指定的一对水平Ai与Aj，我们可通过求i j的区间估计来进行比较。
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