最新高中数学选修1-1《椭圆》教案
人教版数学选修一椭圆的教案
人教版数学选修一椭圆的教案
人教版数学选修一椭圆的教案如下：
一、教学目标
1、知识与技能：理解椭圆的定义和标准方程，掌握求解焦点坐标、顶点坐标、离心率的方法。
2、过程与方法：通过观察、操作、推理、交流等活动，培养学生的探究意识和合作精神。
3、情感态度与价值观：感受数学的美，培养学生的学习兴趣和自信心。
二、教学重难点
1、教学重点：椭圆的定义和标准方程，求解焦点坐标、顶点坐标、离心率的方法。
2、教学难点：椭圆的定义的理解和椭圆标准方程的推导。
三、教学过程
1、导入新课，介绍椭圆的定义和标准方程。
2、引导学生通过操作、推理等活动，探究椭圆的焦点坐标、顶点坐标、离心率等性质。
3、组织学生交流讨论，深化对椭圆的理解。
4、课堂练习，巩固所学知识。
5、课堂小结，回顾椭圆的定义和标准方程，总结求解焦点坐标、顶点坐标、离心率的方法。
高中数学选修1-1教学设计-椭圆的简单几何性质
§2.1.2椭圆的简单几何性质3
【学情分析】：
学生已经掌握了椭圆的概念、标准方程的概念，也能够运用标准方程中的a,b,c的关系解决题目，但还不够熟练。
另外对于求轨迹方程、解决直线与椭圆关系的题目，还不能很好地分析、解决。
【三维目标】：
1、知识与技能：
①进一步强化学生对于椭圆标准方程中a,b,c关系理解，并能运用到解题当中去。
②强化求轨迹方程的方法、步骤。
③解决直线与椭圆的题目，强化数形结合的运用。
2、过程与方法：
通过习题、例题的练讲结合，达到学生熟练解决椭圆有关问题的能力。
3、情感态度与价值观：
通过一部分有难度的题目，培养学生克服困难的毅力。
【教学重点】：
知识与技能②③
【教学难点】：
知识与技能②③
【课前准备】：
学案
【教学过程设计】：。
高中数学选修1-1《椭圆》教案
高中数学选修1-1《椭圆》教案教学目标：1. 能够了解椭圆的定义及基本性质。
2. 能够掌握椭圆的标准方程和参数方程，并能够根据给定条件确定椭圆的方程。
3. 能够掌握椭圆的离心率、焦点和直径等基本概念。
4. 能够熟练地应用椭圆的相关知识解决相关问题。
教学重难点：1. 椭圆的基本概念和性质。
2. 椭圆的标准方程和参数方程的掌握。
3. 熟练应用椭圆的相关知识解决相关问题。
教学方法：教师讲授+学生自主学习+课堂练习+互动讨论。
教学过程：一、导入新课：邀请学生根据图片、视频、动画等展示椭圆的形状和特点，并引导学生探讨椭圆和圆的相同和不同之处。
二、概念解释：1. 什么是椭圆？学生结合图例理解椭圆的定义及基本性质。
2. 椭圆的性质有哪些？学生列出椭圆的基本性质，如对称性、离心率、焦点等等。
三、标准方程和参数方程：1. 什么是椭圆的标准方程和参数方程？学生结合图例，了解椭圆的标准方程和参数方程的含义和区别。
2. 如何根据给定条件确定椭圆的方程？学生结合具体例题，掌握如何根据给定条件确定椭圆的方程。
四、椭圆的离心率、焦点和直径等基本概念：1. 什么是椭圆的离心率？学生理解椭圆离心率的含义，并掌握如何计算。
2. 什么是椭圆的焦点？学生理解椭圆焦点的含义，并掌握如何计算。
3. 什么是椭圆的直径？学生结合图例掌握椭圆直径的含义，并掌握如何计算。
五、课堂练习：1. 练习掌握椭圆的标准方程和参数方程。
2. 练习计算椭圆的离心率、焦点和直径等基本概念。
六、课堂小结：通过本节课的学习，我们了解了椭圆的定义及基本性质，掌握了椭圆的标准方程和参数方程，并熟练应用椭圆的相关知识解决相关问题。
七、作业布置：1. 完成课堂上的练习题。
2. 完成教材上与本节课相关的习题。
3. 自主查阅相关资料，了解椭圆在实际生活和工作中的应用。
教学反思：此次数学选修1-1《椭圆》的教学目标简明明确，并且教学过程也紧密配合教学目标，对学生椭圆的认识和掌握搭建的基础更为牢固。
人教A版高中数学高二选修1-1教案 椭圆及其标准方程
2．1椭圆2．1.1 椭圆及其标准方程(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)了解椭圆的实际背景，经历从具体情景中抽象出椭圆模型的过程；(2)使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过程．2．过程与方法(1)让学生亲身经历椭圆定义和标准方程的获取过程，掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想；(2)学会用运动变化的观点研究问题，提高运用坐标法解决几何问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过主动探究、合作学习，感受探索的乐趣与成功的喜悦；培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索创新的科学精神；(2)通过椭圆知识的学习，进一步体会到数学知识的和谐美、几何图形的对称美，提高学生的审美情趣．●重点、难点重点：椭圆定义及其标准方程．难点：椭圆标准方程的推导过程．椭圆定义是通过它的形成过程进行定义的，揭示了椭圆的本质属性，也是椭圆方程建立的基石．这给学生提供动手操作、合作学习的机会，通过实例使学生去探究椭圆的形成过程，进而顺理成章的可以推导出椭圆标准方程，以实现重、难点的化解与突破．(教师用书独具)●教学建议本节课宜采取的教学方法是“问题诱导—启发讨论—探索结果”以及“直观观察—归纳抽象—总结规律”的一种探究式教学方法，注重“引、思、探、练”的结合．引导学生学习方式发生转变，采用“激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究”的学习方式，形成师生互动的教学氛围．学法方面，通过利用圆的定义及圆的方程的推导过程，从而启发椭圆的定义及椭圆的标准方程的推导，让学生体会到类比思想的应用；通过利用椭圆定义探索椭圆方程的过程，指导学生进一步理解数形结合思想，产生主动运用的意识；通过揭示因椭圆位置的不确定性所引起的分类讨论，进行分类讨论思想运用的指导．●教学流程创设问题情境，引出问题：按问题要求画出什么样的图形？⇒引导学生共同画图，观察、分析画出的图形的特点与满足的要求，引出椭圆定义.⇒通过观察椭圆的形状，结合定义，引导学生求出椭圆的标准方程，理解参数a，b，c的意义.⇒通过例1及其变式训练，使学生理解椭圆的定义，学会使用定义解决问题.⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握用待定系数法求椭圆方程.⇒(对应学生用书第19页)课标解读1.掌握椭圆的定义会用待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)2．了解椭圆标准方程的推导、坐标法的应用．(难点)椭圆的定义1．取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时能在图板上画出一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处(如图)套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出什么样的一个图形？【提示】椭圆．2．在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足的几何条件吗？【提示】笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长．把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．椭圆的标准方程【问题导思】观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程简单？【提示】以椭圆两焦点F1、F2的直线为x(y)轴，线段F1F2的垂直平分线为y(x)轴建系．焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)焦点(－c,0)与(c,0)(0，－c)与(0，c) a，b，c的关系c2＝a2－b2(对应学生用书第20页)椭圆定义的理解及简单应用(1)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，则到F1、F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是________；(2)椭圆x 216＋y 225＝1的两焦点分别为F 1、F 2，过F 2的直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 1的周长为________．【思路探究】 (1)动点的轨迹是椭圆吗？(2)怎样用椭圆的定义求△ABF 1的周长？ 【自主解答】 (1)由于动点到F 1、F 2的距离之和恰巧等于F 1F 2的长度，故此动点的轨迹是线段F 1F 2.(2)由椭圆的定义，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 1|＝2a ， ∴|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ＝20， ∴△ABF 1的周长为20.【答案】 (1)线段F 1F 2 (2)201．定义是判断点的轨迹是否为椭圆的重要依据，根据椭圆的定义可知，集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，a ＞0，c ＞0，且a 、c 为常数．当a ＞c 时，集合P 为椭圆上点的集合； 当a ＝c 时，集合P 为线段上点的集合； 当a ＜c 时，集合P 为空集．因此，只有|F 1F 2|＜2a 时，动点M 的轨迹才是椭圆．2．注意定义的双向运用，即若|PF 1|＋|PF 2|＝2a (a ＞|F 1F 2|)，则点P 的轨迹为椭圆；反之，椭圆上任意点到两焦点的距离之和必为2a .椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8D.32【解析】 如图，F 2为椭圆右焦点，连MF 2，则ON 是△F 1MF 2的中位线，∴|ON |＝12|MF 2|，又|MF 1|＝2，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10， ∴|MF 2|＝8，∴|ON |＝4. 【答案】 B求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)两焦点坐标分别为(－4,0)和(4,0)且过点(5,0)；(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)和(0,1)两点．【思路探究】 (1)焦点的位置确定了吗？怎样求出标准方程？(2)焦点位置不确定时该怎么办？有没有简便的求解方法？【自主解答】 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∴2a ＝(5＋4)2＋(5－4)2＝10，∴a ＝5.又c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9， 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)法一 当椭圆的焦点在x 轴上时， 设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. ∴所求椭圆的方程为：x 24＋y 2＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时， 设方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，∴⎩⎨⎧0a 2＋4b 2＝1，1a 2＋0b 2＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.与a ＞b 矛盾，故舍去． 综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.法二 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )． ∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝1，n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1，综上可知，所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.1．求椭圆的标准方程的常用方法是待定系数法，即先由条件确定焦点位置，设出方程，再设法求出a 2、b 2代入所设方程，也可以简记为：先定位，再定量．2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m ＞0，n ＞0)．因为它包括焦点在x 轴上(m ＜n )和焦点在y 轴上(m ＞n )两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．本例(2)若改为“经过(－23，1)和(3，－2)两点”，其他条件不变，试求椭圆的标准方程．【解】 设椭圆的标准方程为mx 2＋ny 2＝1 (m ＞0，n ＞0，m ≠n )，将点(－23，1)，(3，－2)代入上述方程得⎩⎪⎨⎪⎧12m ＋n ＝1，3m ＋4n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝115，n ＝15，故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.求与椭圆有关的轨迹方程已知圆x 2＋y 2＝9，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，垂足为P ′，点M 在PP ′上，并且PM →＝2MP →，求点M 的轨迹．【思路探究】设动点M (x ，y )，P (x 0，y 0)→找M ，P 的关系→用点M 坐标表示点P 坐标→代入圆方程→得点M 轨迹【自主解答】 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝x ，y 0＝3y . ∵P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝9上，∴x 20＋y 20＝9.将x 0＝x ，y 0＝3y 代入得x 2＋9y 2＝9，即x 29＋y 2＝1. ∴点M 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2＝1.1．转代法(即相关点法)求轨迹方程：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称作“转代法”．2．用转代法求轨迹方程大致步骤是：(1)设所求轨迹上的动点P (x ，y )，再设具有某种运动规律f (x ，y )＝0上的动点Q (x ′，y ′)；(2)找出P 、Q 之间坐标的关系，并表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝φ1(x ，y )，y ′＝φ2(x ，y )；(3)将x ′，y ′代入f (x ，y )＝0，即得所求轨迹方程．设A 、B 是椭圆x 225＋y 216＝1与x 轴的左、右两个交点，P 是椭圆上一个动点，试求AP中点M 的轨迹方程．【解】 设P (x 0，y 0)，AP 的中点M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0－52，y ＝y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ＋5，y 0＝2y ，代入椭圆方程x 225＋y 216＝1，得(2x ＋5)225＋y 24＝1，所以AP 中点M 的轨迹方程是(2x ＋5)225＋y 24＝1.已知B 、C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长为18，求这个三角形顶点A 的轨迹方程．【思路探究】 (1)解答本题时如何建系更简单？(2)由△ABC 的周长为18能否得到A 到B 、C 的距离之和为定值？这满足椭圆的定义吗？【自主解答】 以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的中点为原点，建立平面直角坐标系．由|BC |＝8，可知点B (－4,0)，C (4,0)． 由|AB |＋|BC |＋|AC |＝18， 得|AB |＋|AC |＝10＞|BC |＝8.因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两个焦点的距离之和为2a ＝10，即a ＝5，且点A 不能在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．1．本题紧扣椭圆的定义求得了顶点A 的轨迹方程，解答时不要漏掉y ≠0这一条件． 2．用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．已知A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12)2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P 点，则动点P 的轨迹方程为________．【解析】 如图，依题意知|PA |＝|PB |，所以|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝|BF |＝2，所以点P 的轨迹为以A (－12，0)，F (12，0)为焦点的椭圆，其方程可设为x 2＋y 2b 2＝1，又因为c ＝12，a＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝34，从而所求的动点P 的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1.【答案】 x 2＋43y 2＝1(对应学生用书第21页)忽略椭圆标准方程中a ＞b ＞0的条件致误方程x 2m 2＋y 2(m －1)2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的取值范围．【错解】 方程x 2m 2＋y 2(m －1)2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 2＜(m －1)2，解得m ＜12，所以实数m 的取值范围是(－∞，12)．【错因分析】 错解只注意了焦点在y 轴上，而没有考虑m 2＞0且(m －1)2＞0，这是经常出现的一种错误，解题时要注意．【防范措施】 椭圆的焦点在x 轴上时，其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦点在y 轴上时，其方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，应用时一定要注意条件a ＞b ＞0，否则极易将焦点位置弄错．【正解】方程x 2m 2＋y2(m －1)2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＞0，(m －1)2＞0，(m －1)2＞m 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，m ≠1，m ＜12.故实数m 的取值范围是(－∞，0)∪(0，12)．1．熟悉椭圆定义、标准方程，熟练掌握常用基本方法的同时，要注意揣摩解题过程所运用的数学思想方法，以达到优化解题思路、简化解题过程的目的，但切忌只想不算，形成解题思路后，一定要动手计算，没有形成结论就不应该停手．2．在运用椭圆的定义解题时，一定要注意隐含条件a＞c.3．注意焦点分别在x轴和y轴上对应的椭圆方程的区别和联系．4．求椭圆的标准方程常用的方法是定义法和待定系数法．(对应学生用书第22页)1．设P是椭圆x225＋y216＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于() A．10B．8C．5D．4【解析】由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10.【答案】 A2．椭圆x216＋y225＝1的焦点坐标是()A．(±4,0) B．(0，±4)C．(±3,0) D．(0，±3)【解析】∵a2＝25，b2＝16且焦点在y轴上，∴c＝3，焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)．【答案】 D3．一椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )A.x 2100＋y 236＝1 B.y 2400＋x 2336＝1 C.y 2100＋x 236＝1 D.y 220＋x 212＝1 【解析】 由题意c ＝8，a ＝10且焦点在y 轴上，∴b 2＝a 2－c 2＝100－64＝36，∴方程为y 2100＋x 236＝1. 【答案】 C4．已知一椭圆标准方程中b ＝3，c ＝4，求此椭圆的标准方程．【解】 ∵b 2＝9，c 2＝16，∴a 2＝b 2＋c 2＝25.∵此椭圆的焦点不确定，∴标准方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1.。
高中数学选修1-1《椭圆的简单几何性质》教案
课题：椭圆的简单几何性质（第一课时）一、教学目标：1、知识与技能（1）探究椭圆的简单几何性质，初步学习利用方程研究曲线性质的方法；（2）掌握椭圆的简单几何性质，理解椭圆方程与椭圆曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合思想方法解决实际问题。
2、过程与方法（1）通过椭圆的方程研究椭圆的简单几何性质，使学生经历知识产生与形成的过程，培养学生观察、分析、逻辑推理，理性思维的能力。
（2）通过掌握椭圆的简单几何性质及应用过程，培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力。
3、情感、态度与价值观通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求。
二、教学重难点：1、教学重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程2、教学难点：利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率定义的给出过程。
三、教学方法：本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学方法。
先通过多媒体动画演示，创设问题情境；在椭圆简单几何性质的教学过程中，通过多媒体演示，有指导的发现问题，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提高。
四、教学过程：（一）创设情景,揭示课题多媒体展示：模拟“嫦娥一号”升空,进入轨道运行的动画. 解说：2007年10月24日，随着中国自主研制的第一个月球探测器——嫦娥一号卫星飞向太空，自强不息的中国航天人，又将把中华民族的崭新高度镌刻在太空中。
绕月探测，中国航天的第三个里程碑。
它标志着，在实现人造地球卫星飞行和载人航天之后，中国航天又向深空探测迈出了第一步。
“嫦娥一号”卫星发射后首先将被送入一个椭圆形地球同步轨道，这一轨道离地面最近距离为200公里，最远为5.1万公里，,而我们地球的半径R=6371km.根据这些条件,我们能否求出其轨迹方程呢?要想解决这个问题,我们就一起来学习“椭圆的简单几何性质”。
（教师结合多媒体动画展示，生动解说，提出问题。
高中数学新课标人教A版选修1-1《2.1.2椭圆的简单几何性质》教案
1.例1设点 的坐标分别为 ，.直线 相交于点 ，且它们的斜率之积是 ，求点 的轨迹方程.
求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式.
（教师引导——示范书写）
2.练习：1.点 的坐标是 ，直线 相交于点 ，且直线 的斜率与直线 的斜率的商是 ，点 的轨迹是什么？
（教师分析——学生演板——教师点评）
2.求到定点 与到定直线 的距离之比为 的动点的轨迹方程.
（教师分析——学生演板——教师点评）
3.例2在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂足.当点 在圆上运动时，线段 的中点 的轨迹是什么？
相关点法：寻求点 的坐标 与中间 的关系，然后消去 ，得到点 的轨迹方程.（教师引导——示范书写）
4.练习：
1. 第7题.
2.已知三角形 的一边长为 ，周长为 ，求顶点 的轨迹方程.
5.知识小结：
①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式.
②相关点法：寻求点 的坐标 与中间 的关系，然后消去 ，得到点 的轨迹方程.
三
学
过
程
上课时间
第 周星期第节
课型
课题
2.1.2椭圆及其标准方程
教学目的
掌握点的轨迹的求法，坐标法的基本思想和应用.
教学设想
教学重点：求点的轨迹方程，坐标法的基本思想和应用.
教学难点：求点的轨迹方程，坐标法的基本思想和应用.
教
学
过
程
一、复习：
1.椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距.
2.关于椭圆的两个基本等式.
人教课标版高中数学选修1-1《椭圆的简单几何性质(第2课时)》教学设计
2.1.2椭圆的简单几何性质（第2课时）一、教学目标 1.核心素养发展直观想象、 逻辑推理 、数学建模、 等价转化的素养 2.学习目标（1）会判断直线与椭圆的位置关系.（2）能够解决直线与椭圆相交产生的相关弦长、定值、取值范围等问题，初步理解方程思想和“设而不解”思想在解题过程中的应用.（3）理解解析法解决问题的基本思想，掌握用方程研究曲线问题的基本方法. 3.学习重点直线与椭圆的位置关系, 初步理解方程思想和“设而不解”思想在解题过程中的应用. 4.学习难点解决直线与椭圆相交产生的相关弦长、定值、取值范围等问题. 二 、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 任务140P 例4，思考椭圆在生活中还有那些应用?思考直线与椭圆有那些位置关系?任务2回忆椭圆的有那些几何性质? 2.预习自测1. 两个正数,a b 的等差中项是52，，则椭圆22221(0)x ya b a b+=>> 的离心率e 等于( )A.B.C.答案：C解析：椭圆的几何性质2. 已知椭圆2211625x y += 的焦点分别是12,,F F P 是椭圆上一点，若连接12,,F F P 三点恰好能构成直角三角形，则点P 到y 轴的距离是( ) A. 165B ．3 C. 163D. 253答案：A解析：()()120,3,0,3,34F F -<，∴12219090F F P F F P ∠=︒∠=︒或. 设 (),3P x ，代入椭圆方程得165x =±.即点P 到y 轴的距离是165.（二）课堂设计 1.知识回顾（1）一元二次方程02=++c bx ax 的根的判别式为ac b 42-=∆；求根公式为aacb b x 242-±-=．（2）一元二次方程根与系数的关系：若12,x x 是方程02=++c bx ax 的两个根，则a b x x -=+21，acx x =21．（3）平面内两点()()1122,,A x y B x y 之间的距离公式为()()221221y y x x AB -+-=2.问题探究问题探究一 椭圆几何性质在生活中的应用例1.某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为焦点的椭圆，近地点A 距地面()m km ，远地点B 距离地面()n km ，地球半径为()k km ，则飞船运行轨道的短轴长为( ) A ．B.C ． m n ⋅D ．2mn【知识点：椭圆的几何性质】详解：由题意可得,a c m k a c n k -=++=+()()()()a c a c m k n k ∴-+=++． 即()()222a c b m k n k -==++，b ∴=，故选A.★▲问题探究二 直线与椭圆的位置关系1.设直线方程为y kx m =+，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，联立方程得22221y kx m x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩根据方程解得情况，便可确定直线与椭圆的位置关系．通常消去方程组的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，一般地：0∆>⇔直线与椭圆相交⇔直线与椭圆有两个公共点；0∆=⇔直线与椭圆相切⇔直线与椭圆有且只有一个公共点 0∆<⇔直线与椭圆相离⇔直线与椭圆无公共点2.弦长问题设直线方程为y kx m =+交椭圆22221(0)x y a b a b +=>>于点()()111222,,P x y P x y 两点，则12PP =12x =-=同理可得)12120PP y k =-=≠例2 (1) 当m 为何值时，直线y x m =+与椭圆2214x y +=相交、相切、相离?(2)若=1m ，求直线y x m =+与椭圆2214x y +=相交的弦AB 的长.【知识点：直线与椭圆的位置关系，二元二次方程组的解法，判别式与违达定理，弦长公式；数学思想：分类的思想】详解：(1)由 2244y x mx y =+⎧⎨+=⎩消去y 化简得2258440x mx m ++-=()()()222=84544165m m m ∆-⨯-=-()201650,m m ∆>-><当时，则即直线与椭圆相交 ()2=0165=0,=m m ∆-当时，则即直线与椭圆相切()201650,m m ∆<-<<当时，则即直线与椭圆相交(2) 当m =1，则0∆>，直线与椭圆相交，则22144y x x y =+⎧⎨+=⎩得2580x x += 设()()1122,,,A x y B x y ,则：12128,05x x x x +=-=，5AB ∴== 例3. 过点()0,1的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为22的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线x y 21=过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程．【知识点：直线与椭圆的位置关系，对称问题，直线的方程】 详解1：由22==a c e ，得22==a c e ，从而222,a b c b ==. 设椭圆C 的方程为22222b y x =+，()()1122,,,A x y B x y 在椭圆上． 则222222112222,22x y b x y b +=+=，两式相减得，()()0222212221=-+-y y x x，即()212121212y y x x x xy y++-=--.设线段AB 的中点为()00,y x ，则02y x k AB-=.又()00,y x 在直线x y 21=上，所以0021x y =， 于是120-=-y x ，故1-=AB k ， 所以直线l 的方程为1+-=x y .设右焦点()0,b 关于直线l 的对称点为()y x '',，则⎪⎩⎪⎨⎧++'-='=-''1221b x y b x y ，解得⎩⎨⎧-='='b y x 11.由点()b -1,1在椭圆上， 得()222121b b =-+，则1692=b ，故892=a . 所以所求椭圆C 的方程为19169822=+y x ，直线l 的方程为1+-=x y . 详解2：由22==a c e ，得21222=-ab a ， 从而222b a =，bc =.设椭圆C 的方程为22222b y x =+，直线l 的方程为()1-=x k y ． 将直线l 的方程代入椭圆C 的方程，得()02242122222=-+-+b k x k x k ，则2221214k k x x +=+，故()()()2212121212211kkk x x k x k x k y y +-=-+=-+-=+. 又直线x y 21=过线段AB 的中点⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,22121y y x x ， 则2222122121k k kk +⨯=+-，解得0=k 或1-=k . 若0=k ，则直线l 的方程为0=y ，焦点()0,c F 关于直线l 的对称点就是F 点本身，不可能在椭圆C 上，所以0=k 舍去， 从而1-=k ，故直线l 的方程为()1--=x y ， 即1+-=x y ，以下同方法1. 点拔：由题设情境中点在直线x y 21=上，联想“点差法”，从而应用点差法及点在直线x y 21=上而求得直线l 的方程，进一步应用对称的几何性质求得“对称点”，利用“对称点”在椭圆上求得椭圆方程，同时应注意，涉及弦的中点与弦的斜率问题常常可应用“点差法”求解．例4 设直线()1l y k x =+：与椭圆()03222>=+a a y x 相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点．(1)证明：222313kk a +>； (2)若2AC CB =，求OAB 的面积的最大值．【知识点：直线与椭圆的位置关系，二元二次方程组的解法，判别式与违达定理，三角形的面积，基本不等式】【分析】 (1)联立方程、消元、利用0>∆易证． (2)结合条件分析出2121y y OC S OAB -=∆易求． 详解：(1)证明：依题意，当0=k 时，由0>a 知，02>a ，显然成立． 当0≠k 时，()1+=x k y 可化为11-=y kx . 将11-=y k x 代入2223a y x =+，消去x ，得01231222=-+-⎪⎭⎫⎝⎛+a y k y k .①由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得()013142222>-⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆a k k ，化简整理得222313k k a +>.原命题得证(2)设()()1122,,,A x y B x y ，由题意知()0,1-C ． 由①得221312kky y +=+，② 因为()()11221,,1,AC x y CB x y =---=+ 由2AC CB =，得212y y -=.③ 由②③联立，解得22312k ky +-=，△OAB的面积12223132213OAB k S OCy y y k Δ=-===+上式取等号的条件是132=k ，所以OAB S ∆的最大值为23例5. 已知椭圆E 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,离心率为12,且椭圆E 上一点到两个焦点距离之和为124l l ,,是过点P (0,2)且互相垂直的两条直线1l ,交E 于A,B 两点2l ,交E 于C,D 两点,AB ,CD 的中点分别为M ,N . (1)求椭圆E 的方程; (2)求1l 的斜率k 的取值范围; (3)求OM ON ⋅的取值范围.【知识点：直线与椭圆的位置关系，二元二次方程组的解法，判别式与违达定理，平面向量的数量积，直线的斜率】解：(1)设椭圆方程为22221(0)y x a b a b+=>> 由 2221224c a a a b c ⎧=,⎪⎪=,⎨⎪=+,⎪⎩得2a b =,⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆方程为22143y x +=. (2)由题意知,直线1l 的斜率存在且不为零. ∵1l :y =kx +2,∴2l :12y x k=-+.由 221432y x y kx ⎧+=,⎪⎨⎪=+,⎩ 消去y 并化简整理, 得22(34)1640k x kx +++=. 根据题意22(16)16(34)0k k ,∆=-+>,解得214k >.同理得2211()44k k ->,<, ∴21114(2)(2)422k k <<,∈-,-⋃,.(3)设112200()()()A x y B x y M x y ,,,,,,那么1221634k x x k+=-,+∴12028234x xk x k +==-,+0026234y kx k =+=,+∴2286()3434k M k k-,,++同理得2218()6()1134()34()k N k k --,,+-+- 即2286()4433k N k k,++. ∴OM ON ⋅2222228866284413434332512()k k k k k k k k=-⋅+⋅=-++++++. ∵2144k <<,∴2217124k k≤+<.∴22287471192512()k k-≤-<-,++ 即OM ON ⋅的取值范围是74[)719-,-.3.课堂总结 【知识梳理】（1）直线:l y kx b =+，与圆锥曲线C ：(,)0F x y =交于1122(,),(,)A x y B x y 两点.则12AB x =-=或12AB y =-=（2）椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦称为椭圆的通径，通径长为22b a（3）已知弦的中点，研究的斜率和方程AB 是椭圆 的一条弦，00(,)M x y 是AB 的中点，则2020AB b x k a y =-，22AB OM b k k a ⋅=-点差法求弦的斜率步骤是：（1）将端点坐标代入方程：2222112222221,1;x y x y a b a b +=+=（2）两等式对应相减：2222121222220;x x y y a a b b-+-=（3）分解因式整理：22012122212120.AB b x y y b x x k x x a y y a y -(+)==-=--(+) 【重难点突破】1.涉及直线与椭圆位置关系问题时，注意判别式及韦达定理的运用，特别是函数与方程思想在解题中的应用．2.注意数形结合思想的运用要注意数形结合思想的运用.在做题时候，最好先画出草图，注意观察、分析图象的特征，将形与数结合起来. 3.中点弦问题若问题涉及弦的中点及直线斜率问题，可考虑“点差法”，即把两点坐标代入圆锥曲线方程，然后两式作差，同时常与根与系数的关系综合应用. 4.随堂检测1.直线1y kx k =-+与椭圆22194x y +=的位置关系为（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定 答案： A解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】2.直线2y kx =-与椭圆22480x y +=相交于不同的两点P 、Q ，若PQ 的中点的横坐标为2，则弦长|PQ |等于 ____________.答案：解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，弦长】由于222+4y 80y kx x =-⎧⎨=⎩，消去y 整得()221416640k x kx +--=. ()()1122,,,P x y Q x y 设，122162214kx x k+==⨯+则， 得12k =，从而12122644,3214x x x x k -+===-+，因此PQ =（三）课后作业 基础型 自主突破1. 直线y =与椭圆22221(0)x ya b a b +=>> 的两个交点在x 轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e 等于（ ）A.B.C.D.12解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，椭圆的几何性质】 答案：B2. 直线2y kx =+与椭圆22236x y +=有两个交点时，k 的取值范围是 ( )A. k k <>B. k <<C. k k ≤≥D. k ≤≤答案：A解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】 3. 过椭圆2224x y +=的左焦点F 作倾斜角3π为的弦AB ，则弦AB 的长为（ ） A. 67 B. 167C. 716D.12答案：B解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】4．若过椭圆141622=+y x 内一点()1,2的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________．答案：042=-+y x解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】 设直线方程为()21-=-x k y ，与双曲线方程联立得()()0121616816412222=--++-++k k x k k x k ， 设交点()11,y x A ，()22,y x B ，则4418162221=+-=+kk k x x ，解得21-=k ， 所以直线方程为042=-+y x .5. 设椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率23=e .已知点⎪⎭⎫⎝⎛23,0P 到这个椭圆上的点的最远距离为7，求这个椭圆的方程． 答案：见解析解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，椭圆的几何性质】设椭圆方程为()012222>>=+b a by a x ，()y x M ,为椭圆上的点，由23=a c 得b a 2=.()b y b b y y x PM ≤≤-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=342132322222，若21<b ，则当b y -=时，2PM 最大，即7232=⎪⎭⎫ ⎝⎛+b ，则21237>-=b ，故舍去． 若21≥b 时，则当21-=y 时，2PM 最大，即7342=+b ， 解得12=b .∴所求方程为1422=+y x . 能力型 师生共研6.已知直线l 与椭圆2222x y +=交于1P 、2P 两点,线段12PP 的中点为P ,设直线l 的斜率为11(0)k k ≠,直线OP 的斜率为2k ,则12k k 的值等于（ ）A.B.C.D.12-答案：D解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】 设111222()()P x y P x y ,,,,则1212()22x x y y P ++,,2k =2212212111222122121y y y y y y k k k x x x x x x +--,=,=+--. 由 221122222222x y x y ⎧+=,⎨+=,⎩ 相减得222221211()2y y x x -=--. 故1212k k =-.7. 已知椭圆22143yx+=,若在此椭圆上存在不同的两点A、B关于直线y=4x+m对称,则实数m的取值范围是( )A.(B.(C.(D.(答案：B解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】设1122()()A x yB x y AB,,,,的中点为M(x,y),由题意知211212211224ABy yk x x x y y yx x-==-,+=,+=,-213x+21412y=①22223412x y+=②①②两式相减得223(x-222121)4()0x y y+-=,即12123()y y x x+=+,即y=3x,与y=4x+m联立得x=-m,y=-3m,而M(x,y)在椭圆的内部,则229143m m+<,即m<<. 8.若直线4=+nymx和圆4:22=+yxO没有公共点，则过点()nm,的直线与椭圆14522=+yx的交点个数为_______.答案：2解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】由2422>+-+nm，得422<+nm.而120120445222222<-<-+=+mmnmnm，即点()nm,在椭圆内，所以过点()nm,的直线与椭圆相交，即有2个交点.探究型多维突破9.已知焦点为12(20)(20)F F-,,,的椭圆与直线l:x+y-9=0有公共点,则椭圆长轴长的最小值是( )A.170B.170C.70D.852答案：A解析：【知识点：椭圆的标准方程，几何性质，直线与椭圆的位置关系】方法一:依题意,设椭圆方程为22221(yx a ba b+=>>0),且c=2,则224b a=-.将椭圆方程与直线方程联立,得22221490yxa ax y⎧+=,⎪-⎨⎪+-=,⎩消去参数y,整理得：22224(24)18850a x a x a a--+-=. 因为直线l与椭圆有公共点,所以0∆≥,即22224(18)4(24)(85)0a a a a---≥,整理得422933400a a-+≥. 解得2852a≥,或24(a≤舍去),∴2170a≥,即椭圆长轴长的最小值为170.方法二:如图,可设P为椭圆与直线l的公共点,则|1PF|+|2PF|=2a所以问题转化为当P在l上运动时,求|1PF|+|2PF|的最小值.作2F关于l的对称点2F′00()x y,,则000(1)1229022y x x y ⎧-=-,⎪-⎪⎨+⎪+-=,⎪⎩ 解得 0097x y =,⎧⎨=,⎩ 即2F ′(9,7). 所以|1PF |+|2PF |=|1PF |+|2PF ′|≥|12F F′|==10. 已知椭圆22221(y x a b a b+=>>0)的一个焦点在直线l :x =1上,其离心率12e =.设P 、Q 为椭圆上不同的两点,且弦PQ 的中点T 在直线l 上,点1(0)4R ,.(1)求椭圆的方程;(2)试证:对于所有满足条件的P 、Q ,恒有|RP |=|RQ |. 答案：见解析解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，数学思想：等价转化】 (1)椭圆的一个焦点在直线l :x =1上,所以c =1. 又因为离心率12e =,即12c a =,所以a =2,从而23b =.所以椭圆的方程为22143y x +=. (2)证明:设01122(1)()()T y P x y Q x y ,,,,,, 则021213()()4RT y PQ x x y y =,,=-,-,210213()()4RT PQ x x y y y ⋅=-+-.又因为P 、Q 都在椭圆22143y x +=上, 所以22221122114343x y x y +=,+=,两式相减得1212121211()()()()043x x x x y y y y -++-+=, 因为点T 是PQ 的中点,所以1212022x x y y y +=,+=, 于是1201212()()023x x y y y -+-=,所以120123()()04x x y y y -+-=,即0RT PQ ⋅=,所以RT PQ ⊥,即R T 是线段PQ 的垂直平分线,所以恒有|RP |=|RQ |.四、自助餐1.直线1y x =+被椭圆22142y x +=所截得的弦的中点坐标为（ ） A. 25,33⎛⎫⎪⎝⎭B. 47,33⎛⎫⎪⎝⎭C. 21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.13,42⎛⎫- ⎪⎝⎭答案：C解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】2.已知直线():310l ax y a a R +-+=∈，椭圆22:12536y x C +=，则直线l 与椭圆C 的公共点的个数为（ ） A. 1 B. 12或 C. 2D.0 答案：C解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】3.过椭圆22154y x +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆相交于,A B O 两点，为坐标原点，则OAB ∆的面积为（ ） A. 53B.34C. 2D.76 答案：A解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】4.已知椭圆2288x y +=，在椭圆上求一点P ，使点P 到直线:40l x y -+=的距离最小，并求出这个最小值. 答案：见解析解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】设与直线:40l x y -+=平行且与椭圆相切的直线方程为0x y m -+=由22088x y m x y -+=⎧⎨+=⎩消去x 得229280x my m -+-=则()2243680m m ∆=--= 得3m =±，当3m =-时，由图不符合题意，舍去.则所求切线方程为30x y -+=则两平行线之间的距离P l 到距离的最小值，即d 又由223081,3388x y P x y -+=⎧⎛⎫⇒-⎨ ⎪+=⎝⎭⎩5.在平面直角坐标系xoy 中，点P 到两点((120,,F F 的距离之和等于4，设P 的轨迹为C . （1）写出C 的方程.（2）设直线1y kx =+与C 交于,A B 两点，则k 为何值时，?OA OB ⊥此时AB 的值时多少? 答案：见解析解析：【知识点：椭圆的定义，标准方程，直线与椭圆的位置关系】（1）由椭圆的定义知C 的轨迹方程为221.4y x += （2）设()()1122,,,A x y B x y 由()22221423044y kx k x kx x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩则()22122122412402434k k k x x k x x k ⎧∆=++>⎪⎪-⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩又OA OB ⊥，12120OA OB x x y y ∴⋅=+=而()()()2121212121+1=1y y kx kx k x x k x x =++++2221212222233241104444k k k x x y y k k k k ---+∴+=+-+==++++12121412,,21717k x x x x ∴=±+=±=-此时，117AB ∴=+== 6．已知点P 是⊙O ：922=+y x 上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ，动点Q 满足23DQ DP =. (1)求动点Q 的轨迹方程；(2)若点()1,1G ，则在动点Q 的轨迹上是否存在不重合的两点M 、N ，使()12OG OM ON =+ (O 是坐标原点)．若存在，求出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由． 答案：见解析解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，向量及运算,轨迹问题】 (1)设()00,y x P ，()y x Q ,，依题意，则点D 的坐标为()0,0x ， ∴()0,DQ x x y =-， ()00,DP y =．又23DQ DP =，∴⎪⎩⎪⎨⎧==-00320y y x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 2300. ∵点P 在⊙O 上，∴9220=+y x ，∴14922=+y x ， ∴点Q 的轨迹方程为14922=+y x .(2)假设14922=+y x 上存在不重合的两点()11,y x M ，()22,y x N ， 使()12OG OM ON =+，则()1,1G 是线段MN 的中点， 有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+12122121y y x x ，即⎩⎨⎧=+=+222121y y x x .(3)又()11,y x M ，()22,y x N 在椭圆14922=+y x 上， ∴22112222194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得()()()()04921212121=+-++-y y y y x x x x ，∴942121-=--=x x y y k AB ，∴直线MN 的方程为01394=-+y x ， ∴椭圆上存在不重合的两点M 、N ，使()12OG OM ON =+，此时直线MN 的方程为01394=-+y x .7.已知椭圆中心在原点O ，焦点在坐标轴上，直线1y x =+与该椭圆交于P 和Q ，若OP OQ ⊥，且PQ =，求椭圆方程． 【知识点：直线与椭圆的位置关系，二元二次方程组的解法，判别式与违达定理，】解法一：设椭圆方程为22221x y a b+=，依题意知，点,P Q 的坐标满足方程组：2222 1 1x y ab y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩222222()2(1)0a b x a x a b +++-= ③设方程③的两根为12,x x 那么直线1y x =+与椭圆交点为1122(,1)(,1)P x x Q x x ++、．由OP OQ ⊥得：1212(1)(1)0x x x x +++=即12122()10x x x x +++=．由2PQ =得：21252(),2x x -= 即212125()44x x x x +-=． ∴121221212()21204()1650x x x x x x x x +++=⎧⎨+--=⎩． 解得12121432x x x x ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩或12121412x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩．由③式结合韦达定理得：2222222232(1)14a a b a b a b ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩或2222222212(1)14a a b a b a b ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=-⎪+⎩．解得22223a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩或22232a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴221223x y +=或223122x y +=． 解法二：设椭圆方程为221mx ny +=依题意知，点P Q 、的坐标满足方程组2211mx ny y x ⎧+=⎨=+⎩，整理得：2()210m n x nx n +++-=． 则121221n x x m n n x x m n -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩设直线1y x =+与椭圆的交点为1122(,1)(,1)P x x Q x x ++、由OP OQ ⊥得：1212(1)(1)0x x x x +++=即12122()10x x x x +++=∴2m n +=，∴121212x x n n x x +=-⎧⎪⎨-=⎪⎩由2PQ =得：21252(),2x x -=即212125()44x x x x +-= ∴248(1)50n n ---=．解得32n =或12n =代入得： 3212n m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1232n m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴223122x y +=或223122x y +=． 8．(本小题满分15分)已知椭圆C ：22221(y x a b a b+=>>的离心率 22=e ，原点到过点()b A -,0和()0,a B 的直线的距离为36. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知定点()0,2M ，若过点M 的直线l (斜率不等于零)与椭圆C 交于不同的两点E 、F (E 在M 与F 之间)，记OMFOME S S ∆∆=λ，求λ的取值范围． 答案：见解析 解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，二元二次方程组的解法，判别式与违达定理，】(1)由题知直线AB 的方程为1=-+by a x ，即0=--ab ay bx . 依题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==362222222ba ab b ac a c ，解得2=a ，1=b ，∴椭圆C 的方程为1222=+y x .(2)由题意知直线l 的斜率存在且不为零，故可设l 的方程为()2y k x =-，将l 的方程代入椭圆方程1222=+y x ，整理得 ()028*******=-+-+k x k x k . 由0>∆，得()()()028********>-+--k k k ，即0122<-k ，∴2102<<k . 设()11,y x E ，()22,y x F ，则21x x >，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+122812822212221k k x x k k x x ，(*) 由OMF OME S S ∆∆=λ，得ME MF λ=，由此可得：ME MF λ= 则2221--=x x λ，且10<<λ. 由(*)知，()()12422221+-=-+-k x x ， ()()()12242222212121+=++-=-⋅-k x x x x x x ，∴()()()()81242212221212+=-+-⋅-=+k x x x x λλ， 即()21211422<-+=λλk ， ∵2102<<k ，∴()21211402<-+<λλ，又∵10<<λ， 解得1223<<-λ.即λ的取值范围是()1,223-．法二.由题意知直线l 的斜率存在且不为零，故可设l 的方程为2my x =- 代2x my =+到椭圆方程中，运算量会大大减少．【知识点：直线与椭圆的位置关系】五、数学视野我们将上一节中椭圆的标准方程的推导过程作如下改变：2a =，经过化简，得到2a cx -= 将①式平方并整理得()2222222()a c x a y a a c -+=-②2a e x c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，表示点P 到定点2F 的距离，而式子2a x c ⎛⎫- ⎪⎝⎭表示点P 到定直线2a x c =（即与2F 相应准线的距离）.考虑到椭圆的对称性,2()a e x c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.于是动点P 的集合又可以描述为/,01PF P e e d ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，即平面内到一定点F 的距离和到定直线l (F 不在l 上)的距离d 的比是一定值()01e e <<(e 为椭圆离心率)的点P 的轨迹是椭圆．其中定点F 为椭圆的焦点，定直线l 为准线．这就是椭圆的第二定义，在教材第41页【例6】有所体现．②即()2222222()a c x a y a a c -+=-，移项整理得，()222222()a y a x a c =--，当 22a x ≠时，我们有222222y c a x a a -=-，也即21y y e x a x a ⋅=--+，从几何的角度来说，便是平面内与两个定点连线的斜率之积为定值的点P 的轨迹是椭圆．其中的定点为椭圆长轴的顶点，定值为21e -．这就是椭圆的第三定义，这个定义也恰是教材第35页【例3】的一般背景．。
《椭圆及其标准方程》教学设计
《椭圆及其标准方程》教学设计霞浦第一中学郑德松一、概述1．课名是《椭圆及其标准方程》，是高中数学选修1-1（人教版）2.1.1中的内容。
2．分三课时完成. 第一课时讲解椭圆的定义及其标准方程；第二课时讲解运用椭圆的定义及其标准方程解题，巩固求曲线方程的两种基本方法，即待定系数法、定义法；第三课时讲解运用中间变量法求动点轨迹方程的基本思路。
本节是第一课时.3．主要学习内容是运用多媒体形象地给出椭圆，通过让学生自已动手作图，“定性”地画出椭圆，再通过坐标法“定量”地描述椭圆，使之从感性到理性抽象概括，形式概念，推出方程。
4．本节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线的方程的概念有了一定了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。
椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础. 因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一。
二、教学目标分析知识与技能：（1）学生能够归纳椭圆的定义，理解椭圆标准方程的推导过程，掌握椭圆标准方程的两种形式；（2）明确焦点、焦距的概念；（3）学生能根据条件求出椭圆的标准方程。
过程与方法：（1）学生通过对椭圆概念的学习，达到提高观察分析、动手操作、概括能力，同时能养成分类讨论的数学思想方法；（2）学生通过亲身经历椭圆标准方程的推导，进一步掌握求曲线方程的一般方法——坐标法，并学会处理比较复杂根式化简的思想方法。
情感态度与价值观：（1）通过对椭圆的学习，感受数学的对称、简洁、和谐美；（2）通过查找“神舟7号”有关材料，增强数学应用意识；（3）通过主动探究，讨论交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，增强对物理学习的兴趣。
三、学习者特征分析1．在此之前，学生已学过坐标法解决几何问题，学过圆的定义与标准方程，但掌握不够，2．从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生思维上存在障碍.3．在求椭圆标准方程时，会遇到比较复杂的根式化简问题，而这些在目前初中代数中都没有详细介绍，初中代数不能完全满足学习本节的需要。
苏教版选修1-1高中数学椭圆教案
椭圆【考点透视】 一、考纲指要1．熟练掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质及参数方程．2．考查椭圆的离心率，直线的方程，平面向量的坐标表示，方程思想等数学思想方法和综合解题能力. 二、命题落点圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题，主要考查直线方程,平面向量及椭圆的几何性质等基本知识,考查综合运用数学知识解决问题以及推理能力. 【典例精析】例1：已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线． （1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值．解析:（1）设椭圆方程为22221(0),(,0)x ya b F c a b +=>>,则直线AB 的方程y x c =-代入22221x ya b +=,化简得22222222()20a b x a cx a c a b +-+-=． 令1122(,),(,)A x y B x y ,则22222222212122,a c a c a b x x x x a b a b -+==++． 由1212(,),(3,1),OA OB x x y y a OA OB +=++=-+ 与a 共线, 得12123()()0y y x x +++=,又1122,y x c y x c=-=-，12121233(2)()0,2cx x c x x x x ∴+-++=∴+=．即222232a c c a b=+,所以223a b =，c ∴==，故离心率3c e a ==．（2）由（１）知223a b =,所以椭圆22221x ya b +=可化为22233x y b +=设(,)OM x y =,由已知得1122(,)(,)(,)x y x y x y λμ=+，1212,.x x x y y y λμλμ=+⎧⎪∴⎨=+⎪⎩ (,)M x y 在椭圆上,2221212()3()3x x y y b λμλμ∴+++=，即222222211221212(3)(3)2(3)3x y x y x x y y bλμλμ+++++= ①由（1）知222212331,,222x x c a c b c +===，222222212121212123,833()()a c ab x xc a bx x y y x x x c x c -∴==+∴+=+--2121222243()3393220.x x x x c c c c c =-++=-+=又222222112233,33x y b x y b+=+=代入①，得221λμ+=．故22μλ+为定值,定值为1 ．例2：如图，点A 、B 分别是椭圆2213620x y +=长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA PF ⊥． （1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．解析:（1）由已知可得点A （－6，0），F （4，0） 设点P 的坐标是},4{},,6{),,(y x y x y x -=+=则， 由已知得.623,018920)4)(6(120362222-===-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+x x x x y x x y x 或则由于).325,23(,325,23,0的坐标是点于是只能P y x y ∴==>（2）直线AP 的方程是.063=+-y x设点M 的坐标是（m ，0），则M 到直线AP 的距离是2|6|+m ，于是,2,66|,6|2|6|=≤≤--=+m m m m 解得又椭圆上的点),(y x 到点M 的距离d ，有,15)29(94952044)2(222222+-=-++-=+-=x x x x y x d由于.15,29,66取得最小值时当d x x =∴≤≤-例3：（2005·福建）已知方向向量为)3,1(=v 的直线l 过点（32,0-）和椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的焦点，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C的x右准线上.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点E （－2，0）的直线m 交椭圆于点M 、N，满足OM ON ⋅= cot ∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m 说明理由.解析:（1）直线:l y =- ①过原点垂直l 的直线方程为xy 33-=， ②解①②得.23=x∵椭圆中心（0，0）关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上，.32322=⨯=∴c a∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）..2,6,222===∴b a c 故椭圆C 的方程为.12622=+y x ③（2）设M （11,y x ），N （22,y x ）.当直线m 不垂直x 轴时，直线)2(:+=x k y m 代入③，整理得,061212)13(2222=-+++k x k x k,13612,131222212221+-=⋅+-=+∴k k x x k k x x,13)1(62136124)1312(14)(1||22222222212212++=+-⋅-+-+=-++=kkkkkkkxxxxkMN点O到直线MN的距离21|2|kkd+=．,cot634MONOM∠=⋅即||||cos0,OM ON MON⋅∠=≠||.632,634sin||||⋅∴=∴=∠⋅∴∆dMNSMONONOMOMN即).13(6341||6422+=+kkk整理得.33,312±=∴=kk当直线m垂直x轴时，也满足632=∆OMNS.故直线m的方程为,33233+=xy或,33233--=xy或.2-=x经检验上述直线均满足0≠⋅ONOM.所以所求直线方程为,33233+=xy或,33233--=xy或.2-=x【常见误区】 解析几何问题，基本上都与方程思想相结合，因而要注意直线方程与曲线方程联立起来，结合根与系数的关系，或直接解出根，是高考常用的方法，要注意有关方法的练习、归纳，要注意运算的优化，要注意利用数形结合，挖掘隐含性质,这也是考生思维的一个障碍点. 【基础演练】1．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m= （ ）A ．3B ．23C ．38D ．322．设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是 （ ）A ．22-B ．335-C ．－3D ．27-3． 设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）A ．2B ．12 C ．2 D 14．点)1,3(-P 在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左准线上，过点P 且方向为)5,2(-=的光线经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为（ ）A ．33B ．31C ．22D ．215．已知B A ),0,21(-是圆221:()4(2F x y F-+=为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 . 6．如图所示, 底面直径为12cm 的圆柱被与底面成30的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长 ， 短轴长 ，离心率为 ．7． 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x)0,(1c F -、)0,(2c F ，Q 是椭圆外的动点，满足F ||1=点Ｐ是线段Q F 1与该椭圆的交点，点Ｔ在线段Q F 2满足0||,022≠=⋅TF TF ．（1）设x 为点Ｐ的横坐标，证明 x a c a F +=||1；（2）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；（3）试问：在点Ｔ的轨迹Ｃ上，是否存在点Ｍ，使△21MF F 的面积2b S =．若存在，求∠21MF F 的正切值；若不存在，请说明理由．8．已知椭圆C ：22a x ＋22b y ＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为e. 直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F1关于直线l 的对称点，设AM ＝λAB . （1）证明：λ＝1－e2； （2）若43=λ，△PF1F2的周长为6，写出椭圆C 的方程；（3）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.9． 设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点. （1）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（2）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.。
人教课标版高中数学选修1-1：《_椭圆及其标准(第1课时)》教案-新版
2.1.1 椭圆及其标准方程（第1课时）一、教学目标 1．核心素养发展数学抽象、直观想象素养，培养解析法解题能力，提高数学运算素养． 2.学习目标（1）了解椭圆的实际背景，熟悉从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义．（2）椭圆标准方程的推导与化简过程，掌握椭圆的标准方程的两种形式． （3）能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法,定义法求椭圆的标准方程． 3.学习重点椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式． 4.学习难点椭圆标准方程的建立和推导． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务1预习教材3234P P -，思考平面内满足什么条件的动点轨迹是椭圆? 观察椭圆的形状，如何建立坐标系才能使椭圆的方程简单? 求椭圆的方程时，应该怎样列式? 列式时需要哪些量?任务2 预习教材3436P P -完成36P 相应练习题1,2 2．预习自测1. 椭圆22116925x y +=的焦点坐标是（ ） A ．(5,0)± B ．(0,5)±C ．(0,12)±D ．(12,0)± 解：D2. 设1F 、2F 为椭圆221259y x +=的焦点，P 为椭圆上一点，则△12PF F 的周长为（ ） A ．16 B ．18 C ．20 D ．不能确定 解：B（二）课堂设计 1．知识回顾(1)已知点()111222,,(,)P x y P x y 则()()22121212PP x x y y =-+-(2)我们预习本课的椭圆的标准方程得两种形式是怎样的? 2．问题探究问题探究一 椭圆的定义 ●活动一取一根定长的无弹性细绳,把它的两个端点固定在图板上,套上铅笔,移动笔尖,按照以下要求试一试看能画出什么图形?想一想笔尖到两个端点的距离在移动的过程中满足什么条件?①把两个端点固定在同一处； ②把两个端点拉开一段距离．(平面内两个定点分别是12,F F ，且该两点之间的距离是2c ，点M 是平面内任意一点，M 到两点1F 和2F 的距离之和是2a ，显然2a >2c )又阅读教材32P 的探究．试猜想平面内M 到两定点距离的和(或差)等于常数的点的轨迹是什么呢？ ●活动二平面内与两个定点12,F F 的距离的__和____等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的__焦点______，___两焦点__间的距离叫做椭圆的焦距．问题探究二 椭圆的标准方程建立与推导 ●活动一. 推导过程给定椭圆，它的焦点为12,F F ，焦距()1220F F c c =>，设椭圆上任意一点到焦点之和等到于()2a a c >.（1）建系：以经过椭圆两焦点12,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则焦点12,F F 的坐标分别为()(),0,,0c c -.（2）列式：设点(),P x y 是椭圆上任意一点，由椭圆的定义得122PF PF a +=，即()()2222x c y x c y a +++-+=.（3）化简：上式化简可得222221x y a a c +=-.由a c >得220a c ->，令222b ac =-（其中0b >），可得()222210x y a b a b+=>>.●活动二 椭圆的两种标准方程焦点在x 轴上的椭圆标准方程为()222210x y a b a b +=>>焦点在y 轴上的椭圆标准方程为 ()222210y x a b a b+=>>其中a ，b ，c 的关系为 222a b c =+★▲问题探究三 根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法,定义法求椭圆的标准例1已知12,F F 为椭圆2212516x y +=的两个焦点，过点1F 的直线交椭圆于,A B 两点，若2212AF BF +=，则AB =______8_________【知识点：椭圆的定义，椭圆的标准方程，数学思想：数形结合】 详解：112220AF FB AF BF +++=，又2212AF BF +=，故：8AB = 点拨：椭圆定义可双向运用，即若()121222PF PF a a FF +=>,则点P 的轨迹为椭圆，反之，椭圆上的任意一点到两焦点的距离之和必为2a ，因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题，应先考虑是否能够使用椭圆定义求解． 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是 (3,0),(3,0)-，椭圆经过点 (5,0)；(2)两个焦点坐标分别是 ()0,5,(0,5)-，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. 【知识点：椭圆的定义，椭圆的标准方程】详解： (1)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为()222210x y a b a b +=>>． 222(53)0(53)010,?26a c =+++-+==Q222225,3,5316a c b a c ∴==∴=-=-=∴所求椭圆的方程为：2212516x y +=. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为：()222210y x a b a b+=>>222226,210,13,5,144a c a c b a c ==∴==∴=-=Q∴所求椭圆方程为：221169144y x +=. 点拔 在椭圆的标准方程22221x y a b +=和22221y x a b+=中，一般规定0a b >>.如果给出具体的方程可由22,x y 的分母的大小确定焦点所在的坐标轴．2x 的分母大时，焦点在x 轴上，2y 的分母大时，焦点在y 轴上；反过来，如果焦点在x 轴上，则2x 的分母大，如果焦点在y 轴上，则2y 的分母大． 例3 根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)经过两点1(0,2),(,3)2A B .(2)经过点()2,3-且与椭圆229436x y +=有共同的焦点． 【知识点：待定系数法求椭圆的标准方程】详解：(1)设所求椭圆的方程为221(0,0)mx ny m n m n +=>>≠，，∵椭圆过1(0,2),(,3)2A B∴041314n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得114m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，即所求椭圆方程为2214y x += (2)∵椭圆229436x y +=的焦点为()0,5±，则可设所求椭圆方程为()22105x y m m m +=>+， 又椭圆经过点()2,3-，则有4915m m +=+， 解得10m =或 2m =- (舍去)，即所求椭圆的方程为2211015x y +=. 点拔：求椭圆方程时，若没有指明焦点位置， 当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为221(0,0)mx ny m n m n +=>>≠，．将点的坐标代入解方程组求得系数. 3.课堂总结 【知识梳理】1.平面内点M 到两定点12,F F 的距离和为常数，即122MF MF a += 当122a F F >时，点M 的轨迹是椭圆； 当122=a F F 时，点M 的轨迹是一条线段12F F ； 当122a F F <时，点M 的轨迹不存在2.椭圆()222210x y a b a b +=>>，()222210y x a b a b+=>>的相同点为它们的形状、大小都相同，都有222a b c =+，不同点为它们在坐标系中位置不同，焦点坐标也不相同．3.求椭圆标准方程的常用方法(1)待定系数法：先由题目的条件确定方程得类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数，这种方法叫做待定系数法．(2)定义法：利用椭圆的定义先求出a,再由222=-，求出b，从而得出方b a c程．【重点难点突破】(1)．推导椭圆的标准方程是本节学习的一个关键环节．应重点理解下述方面：一是如何建立坐标系才能使椭圆的方程比较简单．二是在方程的推导过程中无理方程的化简，这类方程的化简方法：(1)方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移到另一侧；(2)方程中有两个根式时，需将它们放在方程的两侧，并使其中一侧只有一个根式，然后两边平方．(2)．椭圆的两种标准方程中，总是a>b>0，即椭圆的标准方程中，哪个项的分母大焦点就在相应的那个轴上；反过来，焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就大．a、b、c始终满足c2＝a2－b2，焦点总是在长轴上．如果焦点在x轴上，焦点坐标是(－c,0)，(c,0)；如果焦点在y轴上，焦点坐标是(0，－c)，(0，c)．(3)．用待定系数法求椭圆的标准方程时，要首先进行“定位”，即确定焦点的位置；其次是进行定“量”，即求a、b的大小，a、b、c满足的关系有：①a2＝b2＋c2；②a>b>0；③a>c>0. 若不能确定焦点的位置，可进行分类讨论或设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)的形式．(4)．对椭圆的定义要正确理解、熟练运用，解决过焦点的问题时，要结合图形看能否运用定义．4.随堂检测1. 椭圆22+=的两焦点之间的距离是( )x y2312A．210B.10C.2D．22答案：D解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程】2. 已知12,F F 是椭圆221169x y +=的两个焦点，过2F 的直线交椭圆于点A 、B ，若|AB |＝4，则11||||AF BF +等于( ) A ．12 B ．10 C ．9 D ．16 答案：A解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程，数学思想：数形结合】3．已知椭圆上一动点到两定点1F 、2F 的距离之和为20，1216F F =，则椭圆的方程为（ ）A ．22110036x y += B ．22110036y x += C ．221106x y +=或221610x y += D ．22110036x y +=或22110036y x +=． 答案：D解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程】 （三）课后作业 基础型 自在突破1．椭圆2255x ky +=的一个焦点是( ()0,2，那么k 的值为( ) A ．－1 B ．1 C. 5 D ．5-答案：B解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程】2. 平面上到两点()()5,05,0A B-、距离之和为8的点的轨迹是()A．椭圆B．圆C．线段D．轨迹不存在答案：D解析：【椭圆的定义】3．若△ABC的两个顶点坐标为()()4,04,0A B-、，ABC∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是（）A．221 259x y+=B．221(0) 259y xy+=≠C．221(0) 169x yy+=≠D．221(0) 259x yy+=≠答案：D解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程】8,10AB AC BC AB=+=>，故点C轨迹为椭圆且两焦点为A、B，又因为C 点的纵坐标不能为零，所以选D.4.椭圆2214x ym+=的焦距等于2，则m的值为（）A．5或3 B．8 C．5 D．16答案：A解析：【椭圆的标准方程的两种形式】考虑焦点分别在两个数轴上. 5. 动点到P 两定点()()3,0,3,0A B -距离之和为10，则点P 的轨迹方程为________．答案：2212516x y += 解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程】∵ 610AB =<，∴所求轨迹为以,A B 为焦点的椭圆，由定义知5,3,4a c b ==∴=， ∴方程为2212516x y += 6. 椭圆221259x y +=上的点P 到焦点1F 的距离为2，Q 是1PF 的中点，则OQ 的值为 ． 答案：4解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程，思想方法：数形结合】 考虑线段OQ 是线段2PF 的中位线. 能力型 师生共研7. 过点()3,2-且与22194x y +=有相同焦点的椭圆的方程是（ ） A ．2211510x y += B ．221225100x y += C ．2211015x y += D ．221100225x y += 答案：A解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程】8．“0mn>”是“方程221mx ny+=表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分而必要条件D.既不充分也不必要条件答案：B解析：【椭圆的标准方程】9. 已知椭圆过3,45P⎛⎫-⎪⎝⎭和点4,35Q⎛⎫-⎪⎝⎭，则此椭圆的标准方程是()A.221 25yx+=B.22125xy+=或22125yx+=C.221 25xy+=D．以上都不对答案：A解析：【椭圆的标准方程】10. 椭圆2214xy+=的两个焦点为1F、2F，过1F作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则2PF的值为（）．A．3 2B．3C．7 2D．4答案：C解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程，椭圆的通径，思想方法：数形结合】探究型多维突破11. 已知P 点在以1F 、2F 为焦点的椭圆上，点P 到两个焦点的距离分别为453和253，2PF ⊥坐标轴，求椭圆的标准方程． 答案：见解析解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程，椭圆的通径，思想方法：数形结合】 由题意得：1453PF =，2253PF =，则225,5a a ==． 当焦点在x 轴上时，由2PF ⊥坐标轴可设25(,)3P c ，此时椭圆的方程为222155x y c +=-，把25(,)3P c 代入方程得222253155c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=-，解之得：2253c =（舍去）或253c = 所以2103b =，即椭圆的方程为2211053x y +=．同理可得，焦点在y 轴上时，椭圆的方程为2211053y x +=，所以椭圆的方程为2211053x y +=或2211053y x +=． 12.已知椭圆22:12516x y C +=内有一点()2,3M ，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上的一点，求：（1）1PM PF -的最大值与最小值； （2）1PM PF +的最大值与最小值. 答案：见解析解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程，思想方法：数形结合】（1）由椭圆方程知()125,3,0,(3,0)a F F =-.由于三角形两边之差小于第三边，连接1MF 并延长交椭圆于点1P ，则1P 是使1PM PF -取得最大值的点，于是()()221max 1)=233034PM PF MF -=++-=（.1=PM PF -1()PF PM --则求1PM PF -的最小值，即求1PF PM -的最大值，连接1F M 并延长交椭圆于点2P ，则2P 是使1PF PM -取得最大值的点，即1PM PF -取得最小值的点，于是1min 1)= =34PM PF MF -（－－ （2）由椭圆的定义知12210PF PF a +==，则12=10PF PF －，所以1221010()PM PF PM PF PM PF +=+-=+-， 由（1）知21010PM PF -≤-≤所以1min 1010PM PF +=-（），1max 1010PM PF +=+（）四、 自助餐1. 椭圆22:1925x y C +=的焦点坐标是 （ ） A ．(4,0)± B ．(0,4)± C ．(0,5)± D ．(5,0)± 答案：B解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程】2. 设P 是椭圆2211612x y +=上一点，P 到两个焦点1F 、2F 的距离之差为2，则△12PF F 是（ ）． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形． 答案：B解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程，思想方法：数形结合】3. 已知椭圆的方程是2221(5)25x y a a +=> ，它的两个焦点分别为1F 、2F ，且128F F =弦AB 过1F ，则2ABF ∆的周长为（ ）． A ．10B ．20C ．41D ．441 答案：D解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程，思想方法：数形结合】4. 已知方程221259x y m m +=-+ 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( )A ．925m -<<B ．825m <<C ． 1625m <<D ．8m > 答案：B解析：【椭圆的标准方程】由题意得90250925m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得825m <<.5. 已知椭圆的两个焦点分别是12,,F F P 是椭圆上的一个动点，如果延长1F P 到Q ，使得2PQ PF =，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．射线D ．直线 答案：A解析：【椭圆的定义，圆的定义,数学思想：等价转化】 ∵ 212,2PQ PF PF PF a =+=，∴12PQ PF a += 又∵1,,F P Q 三点共线，∴11PQ PF FQ +=，∴12FQ a =， 即Q 在以1F 为圆心，以2a 为半径的圆上6. 我们把由半椭圆()22122:10x y C x a b +=≥与半椭圆()22222:10y x C x b c+=<合成的曲线称作“果圆”（其中222,0a b c a b c =+>>>），设点0F 是椭圆1C 的右焦点，12,F F 是椭圆2C 的上下焦点，12,A A 和12,B B 是“果圆”与x 轴和y 轴的交点，若012F F F ∆是边长为1的等边三角形，则,a b 的值分别为（ ）7.,12A .3,1B.5,3C .5,4D答案：A解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程，思想方法：数形结合】7.已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．答案： 22143x y += 解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程】由题意可得31a c a c +=⎧⎨-=⎩，∴21a c =⎧⎨=⎩，故2223b a c =-=，所以椭圆方程为22143x y += 8. 点P 为椭圆x 25＋y 24＝1上第二象限的一点，以点P 以及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积为1，则P 点的坐标为____________答案： 15,12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程，思想方法：数形结合】9.已知椭圆2214924x y +=上一点P 与椭圆两焦点1F 、2F 连线的夹角为直角，则12PF PF =g ．答案： 48解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程，思想方法：数形结合】10．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，求椭圆的标准方程． 答案：见解析解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程】 由题意216c =，291524a =+=， ∴280b =． 又焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，∴所求方程为：22114480x y +=或22114480y x +=． 11．已知椭圆的中心在原点，且经过点()3,03P a b =，，求椭圆的标准方程． 答案：见解析解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程】当焦点在x 轴上时，设其方程为()222210x y a b a b +=>>．由椭圆过点()3,0P ，知22901a b +=，又3a b =，解得221,9b a ==，故椭圆的方程为2219x y +=. 当焦点在y 轴上时，设其方程为()222210y x a b a b+=>>．由椭圆过点()3,0P ，知22091a b+=，又3a b =，联立解得229,81b a ==，故椭圆的方程为221819y x +=.故椭圆的标准方程为2219x y +=或221819y x +=.12.设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，12112121,22,F F DF F F DF F DF ⊥=∆的面积为22，求椭圆的标准方程. 答案：见解析解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程，思想方法：数形结合】设()()12,0,,0F c F c -，其中222c a b =-，由12122F F DF =得122DF c =，又122112122222DF F S DF F F c ∆===，所以1c =且122DF = 由112DF F F ⊥，得222211292DF DF F F =+=，所以2322DF = 12222a DF DF =+=，故2222,1a b a c ==-=所求椭圆标准方程为2212x y +=。
高中数学知识点《椭圆》教案
高中数学知识点《椭圆》教案高中数学知识点《椭圆》教案授人以鱼，不如授人以渔。
要求学生动手实验，自主探究，合作交流，抽象出椭圆定义，并用坐标法探究椭圆的标准方程，使学生的学习过程成为在教师引导下的再创造过程。
下面和一起看看有关高中数学知识点《椭圆》教案。
高中数学选修1-1《椭圆》教案1教学准备教学目标教学目标：1.掌握求适合条件的椭圆的标准方程的方法.2.理解椭圆的比值定义，椭圆的准线的定义.3.掌握椭圆的准线方程并能运用准线方程判定椭圆的焦点位置.教学重难点教学重点：椭圆的比值定义，椭圆的准线的定义及其运用.教学难点：椭圆的准线的运用教学过程教学过程:一、知识回顾：求椭圆16x2+9y2=144中x，y的范围，长轴和短轴长、离心率、半焦距的大小、焦点及顶点坐标。
二、课堂新授：例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点P（-3，0）、Q（0，-2）；（2）长轴的长等于20，离心率等于.解：（1）由椭圆的几何性质可知，点P、Q分别是椭圆长轴和短轴的一个端点.于是得a=3，b=2.又长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程为（2）由已知，2a=20，e=，a=10，c=6.b2=102-62=64.由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为例1.如图，我国发射的第一颗人造卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）F2为一个焦点的椭圆。
已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面439KM。
远地点B（离地面最远的点）距地面2384km，并且F2、A、B在同一直线上，地球半径约为6371km.求卫星运行的轨道方程（精确到1km）.点评：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=（0一、随堂练习：P102练习4，6二、课堂小结：五、课后作业：P103 习题8.24，5，6，7高中数学选修1-1《椭圆》教案2一、教材分析（一）教材的地位和作用本节是继直线和圆的方程之后，用坐标法研究曲线和方程的又一次实际演练。
高中数学选修1,1《椭圆》教案
高中数学选修1,1《椭圆》教案高中数学选修1-1《椭圆》教案【一】一、教材分析(一)教材的地位和作用本节是继直线和圆的方程之后，用坐标法研究曲线和方程的又一次实际演练。
椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。
因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一。
(二)教学重点、难点1.教学重点：椭圆的定义及其标准方程2.教学难点：椭圆标准方程的推导(三)三维目标1.知识与技能：掌握椭圆的定义和标准方程，明确焦点、焦距的概念，理解椭圆标准方程的推导。
2.过程与方法：通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义，培养学生观察、辨析、类比、归纳问题的能力。
3.情感、态度、价值观：通过主动探究、合作学习，相互交流，对知识的归纳总结，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，增强学生学习的信心。
二、教学方法和手段采用启发式教学，在课堂教学中坚持以教师为主导，学生为主体，思维训练为主线，能力培养为主攻的原则。
“授人以鱼，不如授人以渔。
”要求学生动手实验，自主探究，合作交流，抽象出椭圆定义，并用坐标法探究椭圆的标准方程，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。
三、教学程序1.创设情境，认识椭圆：通过实验探究，认识椭圆，引出本节课的教学内容，激发了学生的求知欲。
2.画椭圆：通过画图给学生一个动手操作，合作学习的机会，从而调动学生的学习兴趣。
3.教师演示：通过多媒体演示，再加上数据的变化，使学生更能理性地理解椭圆的形成过程。
4.椭圆定义：注意定义中的三个条件，使学生更好地把握定义。
5.推导方程：教师引导学生化简，突破难点，得到焦点在x轴上的椭圆的标准方程，利用学生手中的图形得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程，并且对椭圆的标准方程进行了再认识。
6.例题讲解：通过例题规范学生的解题过程。
7.巩固练习：以多种题型巩固本节课的教学内容。
8.归纳小结：通过小结，使学生对所学的知识有一个完整的体系，突出重点，抓住关键，培养学生的概括能力。
北师大版高中数学选修1-1椭圆的简单几何性质教案
圆的简单几何性质（第一课时）（一）教学目标掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率这四个几何性质，掌握标准方程中、以及、的几何意义，、、、之间的相互关系，明确怎样用代数的方法研究曲线的几何性质．（二）教学过程【复习引入】由学生口述，教师板书：问题1．椭圆的标准方程是怎样的？问题2．在直角坐标系内，关于轴、轴、原点对称的点的坐标之间有什么关系？【探索研究】1．椭圆的几何性质根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一．根据曲线的条件列出方程．如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究曲线的性质、画图、就可以说是解析几何的目的．下面我们根据椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质．（1）范围引导学生从标准方程，得出不等式，，即，．这说明椭圆的直线和直线所围成的矩形里（如图），注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．（2）对称性先让学生阅读教材中椭圆的几何性质2．设问：为什么“把换成，或把换，或把、同时换成、时，方程解不变．则图形关于轴、轴或原点对称”呢？事实上，在曲线方程里，如果把换成，而方程不变，那么当点在曲线上时，点关于轴的对称点也在曲线上，所以曲线关于轴对称．类似地可以证明其他两个命题．同时应向学生指出：如果曲线具有关于轴对称，关于轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称．最后强调：轴、轴是椭圆的对称轴．原点是椭圆的对称中心即椭圆中心．进而说明椭圆的中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点的连线及其中垂线与坐标系无关．因而是曲线的固有性质．（3）顶点引导学生从椭圆的标准方程分析它与轴、轴的交点，只须令得，点、是椭圆与轴的两个交点；令得，点、是椭圆与轴的两个交点．应该强调：椭圆有四个顶点、、、．同时还需指出：（1°）线段和分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和；（2°）、的几何意义：是椭圆长半轴的长，是椭圆短半轴的长．（3°）椭圆的顶点即是椭圆与对称轴的交点，一般二次曲线的顶点即是曲线与其对称轴的交点．这时教师可作如下小结：由椭圆的范围，对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形．（4）离心率由于离心率的概念比较抽象，教师可直接给出离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率．先分析离心率的取值范围：∵，∴．再结合图表分析离心率的大小对椭圆形状的影响：（1）当趋近于1时，趋近于，从而越小，因此椭圆越扁平：（2）当趋近于0时，趋近于0，从而趋近于，因此椭圆越接近于圆．【例题分析】例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．分析：只要化为椭圆的标准方程即可求解．解：把已知方程化成标准方程是这里，，∴．因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是和，离心率，两个焦点分别是和，椭圆的四个顶点是、、、．（前一部分请一位学生板演，教师予以纠正，后一部分教师讲解，以引起学生重视．）步骤如下：①列表：将已知方程变形为，根据，在的范围内算出几个点的坐标．②描点作图：先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆（如图）．例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程（1）经过点，；（2）长轴长等于20，离心率等于．解：由椭圆的几何性质可知，、分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，于是得，．又因为长轴在轴上，所以所求椭圆的标准方程为．（2）由已知得，∴，∴．由于椭圆的焦点可能在轴上，也可能在轴上，所以所求椭圆的标准方程为或．（三）随堂练习（四）总结提炼，，轴、，<, /SUB>，（五）布置作业（六）板书设计一）教学目标进一步掌握椭圆的几何性质，掌握椭圆的第二定义，能应用椭圆的第二定义解决椭圆的有关问题，明确椭圆的第一定义与椭圆的第二定义是等价的，可以互相推出．（二）教学过程【复习引入】前一节学习了椭圆的几何性质，哪一位同学回答：问题1．椭圆有哪些几何性质？问题2．什么叫做椭圆的离心率？以上两个问题学生的回答应该不会有大的问题．教师可进一步提出问题：离心率的几何意义是什么呢？让我们先来看一个问题．点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数（），求点的轨迹．【探索研究】椭圆的第二定义．（按求轨迹方程的步骤，学生回答，教师板演．）解：设是点直线的距离，根据题意，如图所求轨迹就是集合由此得．将上式两边平方，并化简得设，就可化成这是椭圆的标准方程，所以点的轨迹是长轴长为，短轴长为的椭圆．由此可知，当点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是椭圆，一般称为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数是椭圆的离心率．对于椭圆，相应于焦点的准线方程是．根据椭圆的对称性，相应于焦点的准线方程是，所以椭圆有两条准线．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．至此教师可列出下表，由学生归纳．、、、、【例题分析】例1 求椭圆的长轴与短轴的长、焦点坐标、顶点坐标、离心率和准线方程．可请一位学生演板，教师纠正，答案为，，焦点，顶点，，，准线方程．例2 已知椭圆上一点到其左、右焦点距离的比为1：3，求点到两条准线的距离．可在学生练习后请一位学生回答．解答如下：由椭圆标准方程可知，，∴，．由于，．∴，．设到左准线与右准线的距离分别为与，根据椭圆的第二定义，有∴，．即到左准线的距离为，到右准线的距离为．例3 已知椭圆内有一点，是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点，使的值最小，求的坐标．（如图）分析：若设，求出，再计算最小值是很繁的．由于是椭圆上一点到焦点的距离，由此联想到椭圆的第二定义，它与到相应准线的距离有关．故有如下解法．解：设在右准线上的射影为．由椭圆方程可知，，．根据椭圆的第二定义，有即．∴．显然，当、、三点共线时，有最小值．过作准线的垂线．由方程组解得．即的坐标为．（四）总结提炼1．列出椭圆的几何意义．（投影展示上表）．2．通过椭圆的第二定义，可进一步了解椭圆的离心率的几何意义，它反映椭圆的圆扁程度，决定着椭圆的形状．两准线间的距离为是不变量．（五）布置作业（六）板书设计椭圆的简单几何性质（第三课时）（一）教学目标1．能利用椭圆中的基本量 、 、 、熟练地求椭圆的标准方程．2．掌握椭圆的参数方程，会用参数方程解一些简单的问题．（二）教学过程【复习引入】由一位学生回答，教师板书列表或用投影仪给出．问题1．椭圆有哪些几何性质？问题2．确定椭圆的标准方程需要几个条件？通过对椭圆标准方程的讨论，研究了椭圆的几何性质，必须掌握标准方程中 、 和 、的几何意义以及、、、之间的相互关系，这样就可以由椭圆的几何性质确定它的标准方程．【例题分析】例1 求中心在原点，过点，一条准线方程为的椭圆方程．分析：根据准线方程可知椭圆的焦点在轴上，由于思路不同有两种不同的解法，可让学生练习后，教师再归纳小结，解法如下：解法一：设椭圆方程为．∵点在椭圆上∴即①又∵一条准线方程是∴②将①、②代入，得整理得解得或．分别代入①得或．故所求椭圆方程为或．解法二：设椭圆的右焦点为，点到椭圆右准线的距离为，由椭圆的第二定义得，即．①又由准线方程为．②将②代入①，整理得解得或．代入②及得或故所求椭圆的方程为或．例2 如图，以原点心圆心，分别以、为半径作两个圆，点是大圆半径与小圆的交点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，求当半径绕点旋转时点的轨迹的参数方程．解：设点的坐标为，是以为始边，为终边的正角．取为参数，那么即这就是所求点的轨迹的参数方程．消去参数后得到，由此可知，点的轨迹是椭圆．点评：这道题还给出了椭圆的一种画法，按照这种方法，在已知椭圆的长、短轴长的情况下，给出离心角的一个值，就可以画出椭圆上的一个对应点，利用几何画板画椭圆都用此法．例3 已知椭圆，（，，为参数）上的点，求：（1）、的取值范围；（2）的取值范围．解：（1）∵，，∴，．∴，为所求范围．（2）∴．（其中为第一象限角，且）．而．∴，即这所求．例4 把参数方程（为参数）．写成普通方程，并求出离心率．解：由参数方程得平方相加得为所求普通方程．∵，，∴．∴椭圆的离心率．（三）随堂练习1．焦点在轴上的椭圆上一点到两准线间的距离之和为36，到两焦点的距离分别为9和15的椭圆的标准方程为______________．2．参数方程（为参数）表示的曲线的焦点坐标是______________．3．椭圆（为参数）的离心率为_________________．答案：1．2．，3．（四）总结提炼1．求曲线方程的基本程序是若已知条件涉及到焦点，准线方程式时，往往利用定义求解较简便．2．椭圆的参数方程（为参数）中，表明、分别是椭圆的长轴、短轴长，且焦点在轴上，参数的几何意义是椭圆的离心角，利用椭圆的参数方程求的最值较方便．（五）布置作业1．已知椭圆中心在原点，一个焦点是，点在椭圆上，则点到与相应准线的距离为（）A．B．C．D．2．椭圆的左焦点为，，是两个顶点，如果到直线的距离等于，那么椭圆的离心率等于（）A． B．C．D．4．椭圆（为参数）的两准线间距离为_______________．5．已知椭圆的一条准线方程是，且过点，求椭圆的标准方程．6．求椭圆的内接矩形面积的最大值．答案：1．A 2．C 3．D 4．5．7．设是椭圆上的任一点，则（为参数）内接矩形面积∴．（六）板书设计椭圆的简单几何性质（第四课时）（一）教学目标1．能推导并掌握椭圆的焦半径公式，能利用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问题．2．能利用椭圆的有关知识解决实际应用问题．3．能综合利用椭圆的有关知识，解决最值问题及参数的取值范围问题．（二）教学过程【复习引入】1．利用投影仪显示椭圆的定义，标准方程及其几何性质（见第二课时）．2．求椭圆上到焦点距离的最大值与最小值．【探索研究】为研究上述问题，可先解决例1，教师出示问题．例1 求证：椭圆上任一点与焦点所连两条线段的长分别为．分析：由距离公式和椭圆定义可以有两种证法，先由一位学生演板，教师最后予以补充．证法一：设椭圆的左、右焦点分别为．，则∵，∴．∴．又，∴故得证．证法二：设到左右准线的距离分别为，，由椭圆的第二定义有，又，∴．又，∴．故得证．说明：、叫做椭圆的焦半径．利用焦半径公式在椭圆的有关计算、证明中，能大大简化相应的计算．至此可解决开始提出的问题．∵，，∴，．∴．即椭圆上焦点的距离最大值为，最小值为，最大值与最小值点即是椭圆长轴上的顶点．例2 如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球中心）为一个焦点的椭圆．已知它们近地点（离地面最近的点）距地面439，远地点（离地面最）距地面2384，并且、、在同一条直线上，地球半径约6371，求卫星运行的轨道方程（精确到1）．分析：这是一个介绍椭圆在航天领域应用的例子，关键是理解近地点和远地点与椭圆的关系．由于数字大，计算较繁，可教师讲解．解：如图，建立直角坐标系，使点、、在轴上，为椭圆的右焦点（记为左焦点）．因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的方程为则解得∴．因此，卫星的轨道方程是．点评：由例1可知椭圆上到焦点的距离的最大和最小的点，恰是椭圆长轴的两个端点，因而可知所有卫星的近地点、远地点、及轨道的焦点都在同一直线上．例3 已知点在圆上移动，点在椭圆上移动，求的最大值．分析：要求的最大值，只要考虑圆心到椭圆上的点的距离，而椭圆上的点是有范围的．可在教师指导下学生完成，解答如下：设椭圆上一点，又，于是．而∴当时，有最大值5．故的最大值为6．点评：椭圆中的最值问题常转化为二次函数在闭区间上的最值问题．例4 已知椭圆与轴的正半轴交于点，是原点．若椭圆上存在一点，使，求椭圆离心率的取值范围．分析：依题意点的横坐标，找到与、的关系式．教师讲解为好．解：设的坐标为，由，有于是下面方程组的解为的坐标消去整理得．解得或．即为椭圆的右顶点∴即．即，而，故．（三）随堂练习1．如图在中，，，则以为焦点，、分别是长、短轴端点的椭圆方程是______________．2．设椭圆上动点到定点的距离最小值为1，求的值．答案：1．2．（四）总结提炼椭圆的焦半径是椭圆的基础问题，在解题中有其独特的作用，椭圆的范围在解决椭圆的元素的范围及与其有关的最大值（最小值）问题时是很有效的方法．（五）布置作业1．椭圆短半轴的长为1，离心率的最大值是，则长半轴长的取值范围是___________．2．若椭圆两焦点为，，在椭圆上，且的最大面积是12，则椭圆方程是_______________．3．已知是椭圆的一个焦点，是过其中心的一条弦，记，则面积的最大值是（）A．B．C．D．4．已知是椭圆上的任意一点，以过的一条焦半径为直径作圆，以椭圆长轴为直径作圆，则圆与圆的位置关系是（）A．内切B．内含C．相交D．相离5．设是椭圆上的任一点，求点到椭圆两焦点、距离之积的最大值与最大值，并求取得最大值与最小值时点的坐标．6．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点的距离等于的点的坐标．答案：1．2．3．D 4．A5．设则，∵∴当即或时，最大，最大值为．当即或时，最小，最小值为．6．设所求椭圆方程是依题意可得，其中如果，则当时，有最大值，即．由此得，与矛盾．因此必有成立，于是当时，有最大值，即．由此得，，故所求椭圆方程为．由代入椭圆方程得点和到点的距离都是．注：本题也可设椭圆的参数方程是，其中，，利用三角函数求解．（六）板书设计。
高中数学人教A版选修1-1教案-2.1 椭圆_教学设计_教案
教学准备1. 教学目标教学目标：1.使学生了解并掌握椭圆的范围；2.使学生掌握椭圆的对称性，明确标准方程所表示的椭圆的对称轴、对称中心；3.使学生掌握椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长、以及a、b、c的几何意义，明确标准方程所表示的椭圆的截距；4.使学生掌握离心率的定义及其几何意义。
2. 教学重点/难点教学重点：掌握椭圆的几何性质教学难点：理解坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法3. 教学用具4. 标签教学过程一、知识回顾：复习：椭圆的标准方程下面我们将利用椭圆的标准方程（1）来研究椭圆的几何性质。
一、椭圆的几何性质：1. 范围：椭圆上点的坐标（x，y）满足于是知椭圆落在直线所围成的矩形中。
（如图所示）1. 对称性：⑴复习：如何判断曲线的对称性？⑵指明：标准方程表示的椭圆关于x轴、y轴及原点都对称；原点是椭圆的对称中心简称中心；x轴、y轴叫椭圆的对称轴。
非标准方程表示的椭圆的对称轴不是坐标轴，椭圆的对称轴不是坐标轴时，椭圆的方程不是标准方程，但无论椭圆在什么位置，它都有互相垂直的两条坐标轴, 都有中心.1. 顶点：观察：上图中，椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等，且等于长半轴长，即|B1F1|= |B2F1|= |B1F2|= |B2F2|=a在Rt△O B2F2中|OF2|2=| B2F2|2- |OB2|2 ,即c2= a2 -b24.离心率：（1）定义：椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率; （2）范围：因为a>c>0,所以0<e<1;（3）说明：e的变化对椭圆的影响。
(课本P98)三、例题讲解：四、随堂练习：课本P102第1、2题。
五、课堂小结：椭圆的标准形式下的简单几何性质。
六、课后作业：P103习题8.2 第1，2，3题。
高中数学椭圆优秀教案范文
高中数学椭圆优秀教案范文年级：高中科目：数学教学目标：1.了解椭圆的定义和性质；2.学会如何画椭圆的图形；3.掌握椭圆的标准方程和一般方程；4.能够利用椭圆的性质解决实际问题。
教学重点：1.椭圆的定义和性质；2.椭圆的标准方程和一般方程；3.椭圆的图形和性质。
教学难点：1.椭圆的推导和证明；2.椭圆的参数化表达式；3.椭圆的应用问题解决。
教学准备：1.教师准备教学课件、板书等教学辅助工具；2.学生准备笔记本、铅笔等学习用具；3.教师提前准备椭圆的相关习题和实例。
教学过程：一、引入教师介绍椭圆的定义和形式，让学生了解椭圆与圆的区别，激发学生的学习兴趣。
二、椭圆的性质1.椭圆的几何定义；2.椭圆的焦点和离心率；3.椭圆的参数化表达式。
三、椭圆的标准方程和一般方程1.标准方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$2.一般方程：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$四、椭圆的图形和性质1.绘制椭圆的图形；2.探讨椭圆的性质：离心率、焦点等；五、椭圆的应用问题解决1.解决实际问题：如椭圆轨道的运动问题；2.综合练习：应用椭圆的性质解决综合问题。
六、课堂练习教师布置相关椭圆习题，让学生巩固所学知识。
七、作业布置椭圆相关习题作为作业，让学生巩固所学知识，加深理解。
教学反思：通过本次教学，学生不仅掌握了椭圆的基本定义和性质，还学会了如何画出椭圆的图形，并且能够应用椭圆的性质解决实际问题。
同时，通过课堂练习和作业的布置，学生的数学能力和思维能力得到了进一步的提升。
希望在以后的教学中，能够继续引导学生掌握更多数学知识，提高他们的学习兴趣和能力。
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最新高中数学选修1-1《椭圆》教案
高中数学选修1-1《椭圆》教案【一】
一、教材分析
(一)教材的地位和作用
本节是继直线和圆的方程之后，用坐标法研究曲线和方程的又一次实际演练。
椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。
因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一。
(二)教学重点、难点
1.教学重点：椭圆的定义及其标准方程
2.教学难点：椭圆标准方程的推导
(三)三维目标
1.知识与技能：掌握椭圆的定义和标准方程，明确焦点、焦距的概念，理解椭圆标准方程的推导。
2.过程与方法：通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义，培养学生观察、辨析、类比、归纳问题的能力。
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3.情感、态度、价值观：通过主动探究、合作学习，相互交流，对知识的归纳总结，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，增强学生学习的信心。
二、教学方法和手段
采用启发式教学，在课堂教学中坚持以教师为主导，学生为主体，思维训练为主线，能力培养为主攻的原则。
“授人以鱼，不如授人以渔。
”要求学生动手实验，自主探究，合作交流，抽象出椭圆定义，并用坐标法探究椭圆的标准方程，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。
三、教学程序
1.创设情境，认识椭圆：通过实验探究，认识椭圆，引出本节课的教学内容，激发了学生的求知欲。
2.画椭圆：通过画图给学生一个动手操作，合作学习的机会，从而调动学生的学习兴趣。
3.教师演示：通过多媒体演示，再加上数据的变化，使学生更能理性地理解椭圆的形成过程。
4.椭圆定义：注意定义中的三个条件，使学生更好地把握定义。
5.推导方程：教师引导学生化简，突破难点，得到焦点在x轴上的椭圆的标准方程，利用学生手中的图形得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程，并且对椭圆的标准方程进行了再认识。
6.例题讲解：通过例题规范学生的解题过程。
7.巩固练习：以多种题型巩固本节课的教学内容。
8.归纳小结：通过小结，使学生对所学的知识有一个完整的体系，突出重点，抓住关键，培养学生的概括能力。
9.课后作业：面对不同层次的学生，设计了必做题与选做题。
10.板书设计：目的是为了勾勒出全教材的主线，呈现完整的知识结构体系并突出重点，用彩色增加信息的强度，便于掌握。
四、教学评价
本节课贯彻了新课程理念，以学生为本，从学生的思维训练出发，通过学习椭圆的定义及其标准方程，激活了学生原有的认知规律，并为知识结构优化奠定了基础。
高中数学选修1-1《椭圆》教案【二】
教学准备
教学目标
教学目标：1.掌握求适合条件的椭圆的标准方程的方法.
2.理解椭圆的比值定义，椭圆的准线的定义.
3.掌握椭圆的准线方程并能运用准线方程判定椭圆的焦点位置.
教学重难点
教学重点：椭圆的比值定义，椭圆的准线的定义及其运用.
教学难点：椭圆的准线的运用
教学过程
教学过程:
一、知识回顾：
求椭圆16x2+9y2=144中x,y的范围，长轴和短轴长、离心率、半焦距的大小、焦点及顶点坐标。
二、课堂新授：
例1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 经过点P(-3,0)、Q(0，-2);
(2) 长轴的长等于20，离心率等于.
解：(1)由椭圆的几何性质可知，点P、Q分别是椭圆长轴和短轴的一个端点.
于是得a=3,b=2.
又长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程为
(2) 由已知，2a=20,e=,
a=10,c=6.
b2=102-62=64.
由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为
例1. 如图，我国发射的第一颗人造卫星的运行轨道，是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆。
已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439KM。
远地点B(离地面最远的点)距地面2384km,并且
F2、A、B在同一直线上，地球半径约为6371km.求卫星运行的轨道方程(精确到1km).
点评：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=(0
一、随堂练习：P102 练习4,6
二、课堂小结：
五、课后作业：P103 习题8.24,5，6,7。