线性代数-行列式(完整版).
线性代数Ⅰ—行列式
例:
a b 0 0 d a d e b e c 0 =? f c f
1 1 1 2 1 1 2 1 0 3 2 2 1 1 1 0
1 2 3 2 3 4 =? 4 6 8
2 1
3 2
4 3
ka kb kc = ?
a1 + 2 a2 + 3 a3 + 4 = ?
例:计算
10
几个特别的行列式
(1)
22
(五) (B) 第一行公因数 2
1 2 D=2 3 4 1 x 3 4 1 3 x 4 1 r2 2r1 3 r3 3r1 2 4 r4 4r1 x 1 1 1 1 0 x2 1 1 =0 0 0 x3 1 0 0 0 x4
得 2( x 2)( x 3)( x 4) = 0 x1 = 2, x2 = 3, x3 = 4
1 5
16 9 49 25 64 27 343 125
15
例题和习题
0 0 0 λ1 (一) 行列式 0 0 λ2 0 的值为[ λn 0 0 0
]
n ( n 1) 2
(A) 0
1 4 (二) 设 A = 2 5
(B) λ1λ2 λn (C) (1)
2 3 0 1 3 2 1 1
λ1λ2 λn (D) λ1λ2 λn
]条,则 Dn = 0
(A) Dn 中0元素个数多于 n 个 (C) D中有一列元素是另外二列之和 (D) D中每个元素均为两数之和
a2 b2 (十五) D = 2 c d2 (a + 1) 2 (b + 1) 2 (c + 1) 2 (d + 1) 2 (a + 2) 2 (b + 2) 2 (c + 2) 2 (d + 2) 2 (a + 3) 2 (b + 3) 2 =[ 2 (c + 3) (d + 3) 2
第1章线性代数
第一节 二阶、三阶行列式
第一章 行列式
hang lie shi
二阶、三阶行列式的概念在中学已有介绍，在此进一步复习巩固。
一、二阶行列式
对于二元线性方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 ， b2 ，
由消元法得
((aa1111aa2222
a12a21 )x1 a12a21 )x2
第一章 行列式
第一章 行列式
行列式的概念是由解线性方程组 引入的，是线性代数中最基本的内容， 也是学习矩阵与线性方程组的理论基 础。本章主要包括行列式的概念、性 质、展开及应用——克莱姆法则。
目录
1 第一节 二阶、三阶行列式 2 第二节 n阶行列式 3 第三节 行列式的性质 4 第四节 行列式的展开 5 第五节 行列式的应用
研究问题的简捷，引入记号
第一章 行列式
hang lie shi
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
来表示变形方程（1-3）中 x1的系数，它是由未知量系数排成三行三列构成的，
称为三阶行列式，即
a11 a12 a13
D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
显然， D1 ，D2 可看作是以 b1 ，b2 为一列分别取代Ｄ中第1列、第2列得到。
于是，方程组的解可表示为
x1
D1 D
，
x2
D
．
由此，二元线性方程组可通过其未知量系数、常数项构成的二阶行列式
线性代数-行列式PPT课件
矩阵的秩和行列式
矩阵的秩和行列式之间也存在关系。矩阵的 秩等于其行向量或列向量生成的子空间的维 数，而行向量或列向量生成的子空间的维数 又等于该矩阵的阶数与非零特征值的个数之 和减去一，而一个矩阵的非零特征值的个数 又等于该矩阵的行列式的值。
05
特殊行列式介绍
二阶行列式
定义
二阶行列式表示为2x2的矩 阵，其计算公式为a11*a22a12*a21。
对于任何n阶方阵A，其行列式|A|和转置行列式|A^T|相等，即|A^T| = |A|。
行列式的乘法规则
总结词
行列式的乘法规则
详细描述
行列式的乘法规则是两个矩阵的行列式相乘等于它们对应元素相乘后的行列式。即，如果矩阵A和B分别是m×n 和n×p矩阵，那么它们的行列式相乘|AB| = |A||B|。
向量和向量的外积
行列式可以用来描述向量的外积，即两个向量的叉积。叉积 的结果是一个向量，其方向垂直于作为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正 弦的乘积。
在线性方程组中的应用
解线性方程组
行列式可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果一个线性方程 组的系数矩阵的行列式不为零，则该线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的行 列式为零，则该线性方程组可能无解、 有唯一解或有无穷多解。
线性代数-行列式ppt课件
• 引言 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 行列式的应用 • 特殊行列式介绍 • 行列式的计算技巧
01
引言
主题简介
01
行列式是线性代数中的基本概念 之一，用于描述矩阵的某些性质 和运算规则。
02
行列式在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用，是解决实际问 题的重要工具。
线性代数第一章行列式课件
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以 一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设
线性代数PPT行列式
性质
行列式的计算公式具有高度的对称性，可以方便地 计算出n阶行列式的值。
计算方法
根据行列式的展开式，将n阶行列式展开成n 个代数余子式的乘积之和。
特殊行列式的计算
01
对角线型行列式
如果一个n阶行列式的主对角线上的元素都是1，其他元素都是0，则该
该行列式称为下三角型行列式。下三角型行列式的值等于副对角线上元
素的乘积的相反数。
03
行列式在几何中的应用
行列式与向量叉积的关系
01
行列式可以表示为三个向量的叉积的线性组合，即行列式值 等于三个向量叉积的代数和。
02
当行列式值为零时，三个向量共面，即它们之间存在线性关 系。
03
行列式可以用来判断向量的叉积是否为零，从而判断三个向 量是否共面。
消元法
将方程组中的系数行列式化为0， 然后利用代数余子式求出方程组 的解。
递推法
利用递推关系式求解方程组，通 过将系数行列式展开，得到一系 列递推关系式，从而求解方程组。
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列 式解线性方程组的方法，其 基本思想是将方程组的解表
示为系数行列式的比值。
1
克拉默法则的前提是系数行列 式不为0，否则方程组无解。
程组无解或有无穷多解。
行列式可以用来判断方程组的解 的情况，也可以用来求解方程组 的解。
03
行列式的性质和计算方法在方程 组的求解过程中具有重要的作用
。
04
05
行列式的应用实例
利用行列式求平面上的点
确定点的位置
通过给定的行列式，我们可以确定平面上的一个点。例如，给 定一个行列式$D$和两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，我们可以 使用行列式来找到满足$vec{a} cdot vec{x} = D$和$vec{b} cdot vec{x} = 0$的点$vec{x}$。
线性代数-行列式(完整版)
01
对于二元一次方程组，可以直接应用克拉默法则求解
未知数。
02
对于三元一次方程组，需要先判断系数矩阵的行列式
是否为零，若不为零，则可以使用克拉默法则求解。
03
对于更高元次的线性方程组，克拉默法则同样适用，
但计算量会随着元次的增加而急剧增大。
矩阵可逆性判别方法
01
一个方阵可逆的充分必要条件是其行列式不等于零。
行列式基本性质
行列式中如果有两行（或两列）元素成比例，则此行列式等于零。
若行列式的某一行（或某一列）的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之 和：$a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$，则此行列式等于两个行列式之和，这两个行列式的第i行 分别为$b_{ij}$和$c_{ij}$，其余各行与原行列式的相应的行相同。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|或det(A)， 是一个数值。
行列式的值可以通过对矩阵元素进行特定的运算 得到，该运算满足一定的性质。
行列式基本性质
行列式与它的转置行列式相等。
交换行列式的两行（或两列），行列式变号。 行列式的某一行（或某一列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘 此行列式。
克拉默法则介绍
克拉默法则（Cramer's Rule）是线性 代数中一个关于求解线性方程组的定理。
该法则适用于具有相同数量方程的方程组， 且系数矩阵的行列式不为零的情况。
克拉默法则通过计算系数矩阵的行 列式以及将系数矩阵的某一列替换 为常数项列后得到的新矩阵的行列 式，来求解方程组的解。
克拉默法则在方程组求解中应用
应用领域
范德蒙德行列式在多项式插值、数值分析等领域有广 泛应用。
范德蒙德行列式在多项式拟合中应用
(完整版)行列式习题答案
线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号第一节 n 阶 行 列 式一．选择题1．若行列式 = 0，则[ C ]x52231521-=x （A ）2 （B ）（C ）3（D ）2-3-2．线性方程组，则方程组的解=[ C ]⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ),(21x x （A ）（13，5）（B ）（，5）（C ）（13，）（D ）（）13-5-5,13--3．方程根的个数是[ C ]093142112=x x （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A ]（A ） （B ） 665144322315a a a a a a 655344322611a a a a a a （C ） （D ）346542165321a a a a a a 266544133251a a a a a a 5．若是五阶行列式的一项，则的值及该项的符号为[ B ]55443211)541()1(a a a a a l k l k N -ij a l k ,（A ），符号为正； （B ），符号为负；3,2==l k 3,2==l k （C ），符号为正；（D ），符号为负2,3==l k 2,3==l k 6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ BD ](A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个二、填空题1．行列式的充分必要条件是1221--k k 0≠3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是133．已知排列为奇排列，则r =2,8,5s = 5,2,8，t = 8,5,2397461t s r4．在六阶行列式中，应取的符号为 负 。
ij a 623551461423a a a a a a 三、计算下列行列式：1．=181322133212．=5598413111３．yxyx x y x yyx y x +++332()x y =-+４．=10001100000100100５．000100002000010n n -1(1)!n n -=-６．0011,22111,111 n n nn a a a a a a --(1)212,11(1)n n n n n a a a --=-线性代数练习题 第一章 行 列 式系专业 班 姓名 学号第二节 行列式的性质一、选择题：1．如果， ，则 [ C ]1333231232221131211==a a a a a a a a a D 3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---==1D （A ）8（B ）（C ）（D ）2412-24-2．如果，，则 [ B ]3333231232221131211==a a a a a a a a a D 2323331322223212212131111352352352a a a a a a a a a a a a D ---==1D （A ）18（B ） （C ）（D ）18-9-27-3． = [ C ]2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a （A ）8 （B ）2（C ）0（D ）6-二、选择题：1．行列式 12246000 2. 行列式-3=30092280923621534215=11101101101101112．多项式的所有根是0211111)(321321321321=+++++=x a a a a x a a a a x a a a a x f 0,1,2--3．若方程= 0 ，则225143214343314321x x --1,x x =±=4．行列式 5==2100121001210012D 三、计算下列行列式：1．2605232112131412-21214150620.12325062r r +=2．xa a a x a a a x 1[(1)]().n x n a x a -=+--线性代数练习题 第一章 行 列 式系专业 班 姓名 学号第三节 行列式按行（列）展开一、选择题：1．若，则中x 的一次项系数是[D]111111111111101-------=x A A （A ）1（B ）（C ）（D ）1-44-2．4阶行列式的值等于 [D ]443322110000000a b a b b a b a （A ） （B ）43214321b b b b a a a a -))((43432121b b a a b b a a --（C ）（D ）43214321b b b b a a a a +))((41413232b b a a b b a a --3．如果，则方程组 的解是 [B]122211211=a a a a ⎩⎨⎧=+-=+-0022221211212111b x a x a b x a x a （A ）， （B ），2221211a b a b x =2211112b a b a x =2221211a b a b x -=2211112b a b a x =（C ）， （D ），2221211a b a b x ----=2211112b a b a x ----=2221211a b a b x ----=2211112b a b a x -----=二、填空题：1．行列式 中元素3的代数余子式是 -6122305403--2．设行列式，设分布是元素的余子式和代数余子式，4321630211118751=D j j A M 44,j a 4则 =，=-6644434241A A A A +++44434241M M M M +++3．已知四阶行列D 中第三列元素依次为，2，0，1，它们的余子式依次分布为1-5，3，4，则D = -15,7-三、计算行列式：1．321421431432432112341234134101131010141201311123031111310131160.311-==---=-=-2.12111111111na a a +++ ==121111011101110111n a a a+++121111100100100na a a---211112111110010010n c c a a a a a+--+111223211111100001000na a cc a a a a++-+11121101111000000ni ni iia a a c a c a=+++∑1211()(1)nn i i a a a a =+∑或121123113111111000000nn a r r a r r a r r a a a a+------211211212311111000000na a aa a a c c a a a a+++--11122313311111100000ni in nnaa a c c a a a c c a a a a=++++∑1122()(1)nn i ia a a a a =++∑或11221121121110111110111111111(1).n n n n nn i ia a a a a a D a a a a a a a --=++++=+=+=+∑线性代数练习题 第一章 行 列 式系专业 班 姓名学号综 合 练 习一、选择题：1．如果，则 = [ C ]0333231232221131211≠==M a a a a a a a a a D 3332312322211312111222222222a a a a a a a a a D =（A ）2 M（B ）－2 M（C ）8 M（D ）－8 M2．若，则项的系数是[ A ]xxx x x x f 171341073221)(----=2x （A ）34 （B ）25 （C ）74 （D ）6二、选择题：1．若为五阶行列式带正号的一项，则 i = 2 j = 154435231a a a a a j i 2. 设行列式，则第三行各元素余子式之和的值为 8。
线性代数-行列式(完整版)
a11a22 a12a21
数a（ ij i, j 1,2)称为它的元素。
今后对任何行列式，横 排称为行， 竖排称为列 ,
aij中i称为行标, j称为列标, aij 表示第i行第j列元素, 左上角到右下角表示主对角线，
4
右上角到左下角表示次对角线， 例１
5 1 3 2
5 2 (1) 3 13
a21 a22 a31 a32
可以用对角线法则来记忆如下.
8
主对角线法
a11
a12
a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a21 a22 a31 a32
9
例4 计算三阶行列式
定理1.1：任一排列经过一个对换后奇偶性改变。
证明：
19
对换在相邻两数间发生，即
设排列 …jk… (1) 经j,k对换变成 …kj… (2) 此时，排列(1)、(2)中j,k与其他数是否构成逆序的情形未 发生变化；而j与k两数构成逆序的情形有变化： 若(1)中jk构成逆序,则(2)中不构成逆序(逆序数减少1) 若(1)中jk不构成逆序,则(2)中构成逆序(逆序数增加1)
n!个） 称为一个n级排列（总数为 . 如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个： 123 132 213 231 312 321 注意:上述排列中只有第一个为自然顺序(小大),其 他则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相
反)——构成逆序.
15
(2)排列的逆序数
定义： 在一个n 级排列i1i2…in中，若某两数的前 后位置与大小顺序相反,即is>it(t>s),则称这两数构 成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数， 记为N (i1i2…in).
线性代数第一章行列式
04
式可以表示为三个向量的向量积的 二倍，即 |a b c| = 2abc。
向量积的符号由行列式的值决定，当行列式 值为正时，向量积为正；当行列式值为负时， 向量积为负。
行列式可以用来判断平行四边形的 形状，当行列式值为正时，平行四 边形为锐角；当行列式值为负时， 平行四边形为钝角。
行列式与平行四边形面积的关系
行列式可以表示平行四边形的面积，即 |a b| = ab/2。
当行列式值为正时，平行四边形的面积为正； 当行列式值为负时，平行四边形的面积为负。
行列式可以用来判断平行四边形的方向，当行 列式值为正时，平行四边形为顺时针方向；当 行列式值为负时，平行四边形为逆时针方向。
行列式与空间向量的关系
01
02
03
行列式可以表示空间向量的模长，即 |a b c| = abc。
当行列式值为正时，空间向量的模长 为正；当行列式值为负时，空间向量 的模长为负。
行列式可以用来判断空间向量的方向 ，当行列式值为正时，空间向量为右 手系；当行列式值为负时，空间向量 为左手系。
05
行列式的应用实例
在线性方程组中的应用
定义
代数余子式是去掉一个元素所在的行和列后，剩 下的元素构成的二阶行列式。
性质
代数余子式与去掉的元素所在的行和列的符号有 关。
计算方法
可以通过二阶行列式的计算法则来计算代数余子 式。
行列式的展开定理
01
定理内容
一个n阶行列式等于它的任一行 （或列）的所有元素与其对应的 代数余子式的乘积之和。
02
03
定性。
求解线性方程组
03
在求解线性方程组时，可以利用展开定理计算系数矩阵的行列
式值，从而判断方程组是否有解。
线性代数行列式课件
行列式与空间向量的关系
总结词
行列式可以用来表示空间向量的方向和大小。
详细描述
在三维空间中，行列式可以用来表示向量的 方向和大小。通过行列式，我们可以计算出 向量的模长以及向量的方向余弦值，从而确 定向量的方向和大小。此外，行列式还可以 用来表示向量的外积和混合积，进一步揭示 了行列式与空间向量的关系。
END
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PART 05
行列式的应用实例
在线性方程组中的应用
总结词
行列式在解决线性方程组问题中起到关键作 用，通过克拉默法则，我们可以利用行列式 值来求解线性方程组的解。
详细描述
在解决线性方程组问题时，克拉默法则是一 个重要的工具。该法则指出，如果一个线性 方程组中的系数行列式不为零，则该方程组 有唯一解。通过计算系数行列式和将系数行 列式设置为零，我们可以找到使方程组无解
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线性代数行列式课件
目 录
• 行列式的定义与性质 • 行列式的展开定理 • 行列式的计算技巧 • 行列式在几何中的应用 • 行列式的应用实例
PART 01
行列式的定义与性质
行列式的定 义
总结词
行列式是n阶方阵所有可能的二阶子 方阵的行列式之积。
详细描述
行列式是由n阶方阵的元素构成的，按 照一定的排列顺序形成的n阶方阵，其 值是一个标量，表示n阶方阵的线性变 换对单位体积的改变量。
行列式的性 质
总结词
行列式的性质包括转置、交换、代数余子式等。
详细描述
行列式的一个重要的性质是转置，即把行列式的行变为列，得到的新的行列式的值与原行列式的值互为转置。交 换行列式的两行，行列式的值变号。代数余子式是去掉一个子行列式后剩下的元素构成的行列式，其值等于原行 列式值的负一倍。
(完整版)线性代数重要知识点及典型例题答案
线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式TD D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。
化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵n （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注：把分出来的小块矩阵看成是元素N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆倍乘阵 倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩 若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
行列式-线性代数
也可记为 D
a
j 1
n
ain Ain aij Aij
j 1
n
(i 1, 2,
, n)
sj
Atj 当 s t 时，若
s t,
D ？
推论 行列式中任一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的
代数余子式的乘积之和 ， 等于零. 即
a A a A i1 j 1 i2 j2 a in A jn 0
所以 Dn
1i j n
(a
j
ai )
n2 n2 n2 n 2 n 2 a a a 3 nn 2 a22 a a 3 n
1 1 a ann (a j ai ) 2 i j n
展开定理 D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2
较一般 一般
, n)
证明分三步： 特殊
(1)
(2)
(3)
D a11 A11 0 A12 0 A1n D 0 Ai1 0 Aij 1 aij Aij 0 Aij 1 D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
0 Ain
证 （ 1）
1 1 1 1
3 9 1 1 2 4 4 16
27 1 12 8 64
D1
(a 1)2 (a 2) 2 (a 3) 2 (a 4) 2 a 1 1 a2 1 a 3 1 a4 1
a 1 (a 1)2 r2 r3 (a 1)3
r1 r4
1 1 1 a2 a 3 a4 (a 2)2 (a 3)2 (a 4)2 (a 2)3 (a 3)3 (a 4)3
a11 a 1n a in a
线性代数行列式
上三角形方阵
a11 0 A 0
a12 a22 0
a1n a2 n ann
下三角形方阵
a11 0 a21 a22 A a n1 a n 2
a11 0 A 0 0 a22 0
骣11 a21 ça ç ça12 a22 ç T A =ç çL ç L ç ç ça 桫1n a 2 n
a1n ÷ ÷ ÷ a2 n ÷ ÷ ÷ ÷ L ÷ ÷ ÷ ÷ amn ÷
m´ n
am1 ÷ ÷ ÷ am 2 ÷ ÷ ÷ ÷ L ÷ ÷ ÷ ÷ amn ÷
n´ m
2、性质
( AT )T A （1）
k 1 n
即: ai 1 ain m n
b1 j bnj
n s
cij
, m s
记作 C AB . 要点：左看行，右看列。
【注 1】相乘条件：前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数。
a12 a 22
a m 2
a1n a2 n a mn
2、性质 （1） A （2） (
( ) A ( A) ( A)
)A A A
（3） ( A B) A B 3、负矩阵
第二章
矩 阵
§2.1
矩阵的定义
一、定义
a11 a12 a a22 21 A am1 am 2
a1n a2 n ( aij ) mn amn mn
m n 称为矩阵 A 的型.
例如：如学生成绩汇算机图形学等等。
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第1.1节
n阶行列式的定义
本节从二、三阶行列式出发，给 出n阶行列式的概念. 基本内容： 二阶与三阶行列式 排列及其逆序数 n阶行列式定义 转置行列式
3
a11 a12 记号： a21 a22
它表示数：
称其为二阶行列式 .
a11a22 a12a21
即
a11 a12 a21 a22
奇偶排列: 若排列i1i2…in的逆序数为奇（偶）数， 称它为奇（偶）排列.
17
逆序数的计算方法
并规定从小到大 不妨设元素为 1至n的自然数， 设i1i2 in为一个n级排列。 为标准次序。 考虑元素i j (i 1,2 n), 如果比i j 大，且排在 i j前面的元素有 t j 个， 那么ji的逆序是t j 个， 全体元素
逆序之和就是 i1i2 in的逆序数， 即
N (i1i2 in ) t n t n1 t1
例2
t
j 1
n
j
N(n(n-1)…321) =0+1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2
n!个） 称为一个n级排列（总数为 . 如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个： 123 132 213 231 312 321 注意:上述排列中只有第一个为自然顺序(小大),其 他则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相
反)——构成逆序.
15
(2)排列的逆序数
定义： 在一个n 级排列i1i2…in中，若某两数的前 后位置与大小顺序相反,即is>it(t>s),则称这两数构 成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数， 记为N (i1i2…in).
例２
1 (1)当 为何值时，D 0,
(2)当 为何值时
设 D
3
2
3
,
D 0.
2 3 0 0，或 3 2 2 D
解
3
1
例3
求二阶行列式
a 1 b 2
(2)三阶行列式 记号
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
1 0 1 3 5 0 4
2
0 1
x 1 x2
1 0 1 3 5 0 4
( x 1) ( x x 1) 1 x 2 x2 x 1 x3 1 2 x
1
0 1 5 1 1 3 4 7 1
§1.2
1.排列及其逆序数
n阶行列式
(1)排列 由自然数1,2,…,n,组成的一个有序数组i1i2…in
a21 a22 a31 a32
可以用对角线法则来记忆如下.
8
主对角线法
a11
a12
a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a21 a22 a31 a32
9
例4 计算三阶行列式
6 2 8
例6 a, b R,
a , b 满足什么条件时有
a b 0 b a 0 0 1 0 1
解
a b 0 2 a b a 0 b2 1 0 1
由题可得，即使
a 2 b2 0,
a, b R, a b 0.
即 a b 0 时， 给定的行列式为零．
1 2 4 D 2 2 1 3 4 2
解:由主对角线法，有
D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4 ( 4 ) 2 ( 3 ) 2 ( 2 ) ( 2 ) 1 1 4 4 6 32 24 8 4
例7
a
1 0
1 a 0 0 的充分必要条件是什么？ 4 1 1
解
a 1 4
2
1 a 1
0 0 a2 1 1
a1
或 a 1
a 1 0
1 a 0 0 a 1 或 a 1
4 1 1
a 1 0
练习： 计算下列行列式
x 1 x
解
2 2
1 x x 1
10
14
例5
1 4 1 1 0 1 2 0 0 0 2 0 3 5 1 0 6 2 5 (1) 3 4 0 3 0 (1) 2 4 6 1 5 0) 1 0 0 3 1 2 ( 1) 0 0 3 1 0 1
a11a22 a12a21
数a（ ij i, j 1,2)称为它的元素。
今后对任何行列式，横 排称为行， 竖排称为列 ,
aij中i称为行标, j称为列标, aij 表示第i行第j列元素, 左上角到右下角表示主对角线，
4
右上角到左下角表示次对角线， 例１
5 1 3 2
5 2 (1) 3 13
第1章 行列式
行列式是线性代数的一个重要组 成部分.它是研究矩阵、线性方程组、 特征多项式的重要工具.本章介绍了n 阶行列式的定义、性质及计算方法， 最后给出了它的一个简单应用——克 莱姆法则.
第1章
行列式
n阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克莱姆法则—行列式的一个简单应用 数学实验
称为三阶行列式.
它表示数
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
即
7
a11
a12
a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
例1
N (2413)=3
N(312) =2
16
(2)排列的逆序数
定义： 在一个n 级排列i1i2…in中，若某两数的前 后位置与大小顺序相反,即is>it(t>s),则称这两数构 成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数， 记为N (i1i2…in).
例1
N (2413)=3
N(312) =2