北师大版 数学必修四：正切函数的图像与性质
合集下载
《正切函数的图象与性质》公开课教学PPT课件【高中数学必修4(北师大版)】
北师大版·统编教材高中数学必修4
第一章·三角函数
正切函数的图象与性质
新课学习
所谓函数的性质包括：
➢定义域 ➢值域 ➢周期性 ➢奇偶性 ➢单调性
新课学习
定义域：
y tan x
终边不能落在y轴上
定义域： { x | x k , k Z }
2
新课学习
周期性：
y sin x T 2
y cos x T 2
方法：（1）在
2
,
2
（2）在两边加上 k
内找到相应的范围
新课学习
（1）定义域：{ x | x k , k Z }
2
（2）周期：T
（3）f ( x) tan x, x R，为奇函数
（4）单调性：增区间：
2
k
, k
2
kZ
课后作业
课本38页 ： 实践题
再见
新课学习
正切函数和正切线：
新课学习
正切函数图象： y
3
2
2
3
x
2
2
新课学习
正切函数特征：
1.有无穷多支曲线组成，由直线 x k , k Z
2.在每个分支里是单调递隔增开的；；
2
3.有渐近线； 4.中心对称点( k , 0), k Z；关于原点对称（奇函数）。
2
新课学习
正切函数单调性
在每个分支里是单调递增的。
增区间：
2
k
,
2
k
kZ
随堂练习
求函数
y
tan
x
2
3
调性。
的定义域、周期性、奇偶性、单
【解】
（1）定义域
x
第一章·三角函数
正切函数的图象与性质
新课学习
所谓函数的性质包括：
➢定义域 ➢值域 ➢周期性 ➢奇偶性 ➢单调性
新课学习
定义域：
y tan x
终边不能落在y轴上
定义域： { x | x k , k Z }
2
新课学习
周期性：
y sin x T 2
y cos x T 2
方法：（1）在
2
,
2
（2）在两边加上 k
内找到相应的范围
新课学习
（1）定义域：{ x | x k , k Z }
2
（2）周期：T
（3）f ( x) tan x, x R，为奇函数
（4）单调性：增区间：
2
k
, k
2
kZ
课后作业
课本38页 ： 实践题
再见
新课学习
正切函数和正切线：
新课学习
正切函数图象： y
3
2
2
3
x
2
2
新课学习
正切函数特征：
1.有无穷多支曲线组成，由直线 x k , k Z
2.在每个分支里是单调递隔增开的；；
2
3.有渐近线； 4.中心对称点( k , 0), k Z；关于原点对称（奇函数）。
2
新课学习
正切函数单调性
在每个分支里是单调递增的。
增区间：
2
k
,
2
k
kZ
随堂练习
求函数
y
tan
x
2
3
调性。
的定义域、周期性、奇偶性、单
【解】
（1）定义域
x
北师大版高中数学必修四第1章三角函数1.7.1-1.7.2正切函数的图像与性质课件
知识梳理
典例透析
随堂演练
【做一做3-1】 已知直线y=a与函数y=tan x的两条渐近线的交点 分别为A,B,则|AB|的最小值是 . 答案:π
【做一做 3-2】 函数 y= tan������的递增区间是____
答案: ������π,������π +
π 2
(������∈Z)
-13-
7.1 7.2
如图:
-5-
7.1 7.2
1
正切函数的定义 正切函数的图像与性质
3
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
2
【做一做 1-1】 已知角 α 的终边在直线 y=2x 上, 则 tan α 的值 是( ) A. 2 B. ± 2 C.
2 2 D. ± 5 5
2������ tan α= ������
解析:在角 α 的终边上取一点(k ,2k )(k≠0),则
§7 正切函数
-1-
7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的图像与性质
-2-
7.1 7.2
正切函数的定义 正切函数的图像与性质
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
1.理解正切函数的定义,掌握正切函数的符号规律. 2.了解正切线的作法. 3.掌握正切函数的图像与性质,并能运用图像与性质求解一些简 单问题.
题型一
正切函数的定义 正切函数的图像与性质
题型二 题型三 题型四
名师点拨tan α只与角α的大小有关,与点P的位置无关;tan α是一 个整体,离开α的tan是没有意义的,它表示一个比值,而不是tan与α的 积.
π ������ ������
π 2
-4-
高中数学北师大版必修4第一章《正切函数的图像与性质》ppt课件1
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
奇函数 （ k， k）,k Z 22
对称中心
( k , 0)k Z 2
（3）思想方法：
1、作图：平移三角函数线
2、比较大小：利用单调性
3、类比归纳、整体代换、数形结合
作业：
课本P39第1、2题
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
cos(x k ) cos x
(其中x
2
k
,
k
z)
∴正切函数是周期函数，周期为 k (k 0且k z)
最小正周期为
探究活动: 如何作出正切函数的图像呢？
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
奇函数 （ k， k）,k Z 22
对称中心
( k , 0)k Z 2
（3）思想方法：
1、作图：平移三角函数线
2、比较大小：利用单调性
3、类比归纳、整体代换、数形结合
作业：
课本P39第1、2题
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
cos(x k ) cos x
(其中x
2
k
,
k
z)
∴正切函数是周期函数，周期为 k (k 0且k z)
最小正周期为
探究活动: 如何作出正切函数的图像呢？
北师版数学必修4正切函数ppt
复习回顾：
请同学们想一想，对正弦和余弦函数， 在作业和练习中，我们已涉及了多少类 型的问题？
正弦，余弦函数的定义域 正弦，余弦函数的最值（值域） 正弦，余弦函数的图象 正弦，余弦函数的奇偶性 正弦，余弦函数的单调性 正弦，余弦函数性质的应用 正弦，余弦函数的周期 （最小正周期）
4.10 正切函数的图像和性质
, ) 2 2
利用正切函数的周期性,把图象向左,右扩展,得到正切函数
y tgx, x R且x
叫做正切曲线.
2
k , (k Z )的图象 , 并把它
y
3 2
2
0
2
3 2
x
从图中可以看出,正切曲线是由被相互平行的直线
2 （渐进线）
x
k , (k Z ) 所隔的无穷多支曲线组成的.
3 8
y
O1
4 8
2
3 8 4 8
O
A
8
8
4
3 8
2
x
4
3 8
现在利用正切线画出函 数y tgx , x (
, )的图象 2 2
y
1
2
4
o1
0
4
2
x
1
y tgx , x (
返 回
例3.求下列函数的周期. y 3tg ( 2 x ) 4 4 解： f（x） 3tg（2 x ）
3tg ( 2 x
请同学们想一想，对正弦和余弦函数， 在作业和练习中，我们已涉及了多少类 型的问题？
正弦，余弦函数的定义域 正弦，余弦函数的最值（值域） 正弦，余弦函数的图象 正弦，余弦函数的奇偶性 正弦，余弦函数的单调性 正弦，余弦函数性质的应用 正弦，余弦函数的周期 （最小正周期）
4.10 正切函数的图像和性质
, ) 2 2
利用正切函数的周期性,把图象向左,右扩展,得到正切函数
y tgx, x R且x
叫做正切曲线.
2
k , (k Z )的图象 , 并把它
y
3 2
2
0
2
3 2
x
从图中可以看出,正切曲线是由被相互平行的直线
2 （渐进线）
x
k , (k Z ) 所隔的无穷多支曲线组成的.
3 8
y
O1
4 8
2
3 8 4 8
O
A
8
8
4
3 8
2
x
4
3 8
现在利用正切线画出函 数y tgx , x (
, )的图象 2 2
y
1
2
4
o1
0
4
2
x
1
y tgx , x (
返 回
例3.求下列函数的周期. y 3tg ( 2 x ) 4 4 解： f（x） 3tg（2 x ）
3tg ( 2 x
高中数学下学期 1.7.11.7.2正切函数的图象与性质课件 北师大版必修4
区间,而不能写成闭区间－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z). 正切函数无单调减区间.
3.正切函数是奇函数,图像关于原点对称,并且 有无穷多个对称中心,对称中心坐标是k2π，0(k ∈Z).正切函数的图像无对称轴,但图像以直线 x ＝kπ＋π2(k∈Z)为渐近线.
◎求函数 y＝ 3tan x＋ 3的定义域.
1.已知角 α 的终边过点 P(－3cos
θ,4cos θ),其中 θ∈π2，π,求 sin α,cos α,tan α 的 值.
解析: 因为 θ∈π2，π,所以 cos θ<0, 所以 r＝ －3cos θ2＋4cos θ2＝5|cos θ|＝－
5cos θ. 于是 sin α＝－4c5ocsosθθ＝－45,cosα＝－ －35ccooss θθ＝
2.正切函数的图像:如图所示.
3.正切函数的性质:如下表所示
函数 性质
y＝tan x
定义域 值域
x|x≠kπ＋π2，x∈R,(k∈Z) _R__
周期 奇偶性
_π_ _奇__函__数___
单 增区间 调 性 减区间
kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)
无
1.角 θ 的终边经过点(－ 23,12),那么 tanθ 的值
1.如图,若角α的终边与单位圆 交于P(a,b),则sin α＝__b,cos α＝ _a_,若PQ⊥x轴,则QP为_正__弦__线__, OQ为_余__弦__线__. 2.正弦函数y＝sin x和余弦函 数y＝cos x都是_周__期___函数, _2_k_π_(_k_∈__Z_)都是它们的周期,最 小正周期都是_2_π_.
由 kπ－π2<12x－π6<kπ＋π2,k∈Z 得 2kπ－23π<x<2kπ＋43π,k∈Z. 所以函数 y＝tan12x－π6的单调增区间为 2kπ－23π，2kπ＋43π(k∈Z).
3.正切函数是奇函数,图像关于原点对称,并且 有无穷多个对称中心,对称中心坐标是k2π，0(k ∈Z).正切函数的图像无对称轴,但图像以直线 x ＝kπ＋π2(k∈Z)为渐近线.
◎求函数 y＝ 3tan x＋ 3的定义域.
1.已知角 α 的终边过点 P(－3cos
θ,4cos θ),其中 θ∈π2，π,求 sin α,cos α,tan α 的 值.
解析: 因为 θ∈π2，π,所以 cos θ<0, 所以 r＝ －3cos θ2＋4cos θ2＝5|cos θ|＝－
5cos θ. 于是 sin α＝－4c5ocsosθθ＝－45,cosα＝－ －35ccooss θθ＝
2.正切函数的图像:如图所示.
3.正切函数的性质:如下表所示
函数 性质
y＝tan x
定义域 值域
x|x≠kπ＋π2，x∈R,(k∈Z) _R__
周期 奇偶性
_π_ _奇__函__数___
单 增区间 调 性 减区间
kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)
无
1.角 θ 的终边经过点(－ 23,12),那么 tanθ 的值
1.如图,若角α的终边与单位圆 交于P(a,b),则sin α＝__b,cos α＝ _a_,若PQ⊥x轴,则QP为_正__弦__线__, OQ为_余__弦__线__. 2.正弦函数y＝sin x和余弦函 数y＝cos x都是_周__期___函数, _2_k_π_(_k_∈__Z_)都是它们的周期,最 小正周期都是_2_π_.
由 kπ－π2<12x－π6<kπ＋π2,k∈Z 得 2kπ－23π<x<2kπ＋43π,k∈Z. 所以函数 y＝tan12x－π6的单调增区间为 2kπ－23π，2kπ＋43π(k∈Z).
高中数学《正切函数的图像与性质》课件2 北师大必修4
•
正 切 函
线
渐 进
数
图 像
线
渐 进
性质 :
⑴
定义域：{x|xk,kZ}
⑵ 值域： R
2
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性：
(k,k)
22
在每一个开区间
k，Z 内都是增函数。
(6)渐近线方程：x
k
2
,
kZ
(7)对称中心(
kπ 2
,0 )
问题讨论
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
y 3 2 ta n t k 的 k单 调 xx增 区 4 间 是 2 k - k 2 k,2 k ,k Z
4
4
函 数 的 单 调 增 区 间 是 k 3 4,k 4 ,k Z
反馈演练
1、比较大小：
(1)tan1380 ____<_tan1430。
2
2
(7)渐近线方程： x k , kZ
2
内都是增函数。
3
这说明自变量 x ,至少要增加
才能重 ytan3复x 取得，所以函数
3
3
，函数的值 的周期
是
反馈练习：求下列函数的周期：
(1) y 5 tan x
2 2
(2)ytan(4x) 4
例题分析
例 ４ 解 不 等 式 ： tanx3
解：
y
3
T
A
0
x
解法1 解法2
由图 x 可 k 3 知 ,k ： 2 (k Z )
）
3
A
0
3
正 切 函
线
渐 进
数
图 像
线
渐 进
性质 :
⑴
定义域：{x|xk,kZ}
⑵ 值域： R
2
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性：
(k,k)
22
在每一个开区间
k，Z 内都是增函数。
(6)渐近线方程：x
k
2
,
kZ
(7)对称中心(
kπ 2
,0 )
问题讨论
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
y 3 2 ta n t k 的 k单 调 xx增 区 4 间 是 2 k - k 2 k,2 k ,k Z
4
4
函 数 的 单 调 增 区 间 是 k 3 4,k 4 ,k Z
反馈演练
1、比较大小：
(1)tan1380 ____<_tan1430。
2
2
(7)渐近线方程： x k , kZ
2
内都是增函数。
3
这说明自变量 x ,至少要增加
才能重 ytan3复x 取得，所以函数
3
3
，函数的值 的周期
是
反馈练习：求下列函数的周期：
(1) y 5 tan x
2 2
(2)ytan(4x) 4
例题分析
例 ４ 解 不 等 式 ： tanx3
解：
y
3
T
A
0
x
解法1 解法2
由图 x 可 k 3 知 ,k ： 2 (k Z )
）
3
A
0
3
数学北师大版高中必修4正切函数的性质与图像
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
y
的终边 的终边
y
y
y
的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
y
的终边 的终边
y
y
y
的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
y
讲授新课
例1. 比 较tan 13 与tan 17
4 5 的 大 小.
讲授新课
例2. 求下列函数的周期：
讲授新课
例3. 求函数 y tan 3x 的定义域、
3
值域，指出它的周期性、单调性.
讲授新课
例3. 求函数 y tan 3x 的定义域、
6
4
2
x
讲授新课
y
4
6
2
o
6
4
2
x
讲授新课Biblioteka y 4
6
2
o
6
4
2
x
讲授新课
y
4
6
2
o
6
4
2
x
讲授新课
y
4
6
2
o
6
4
2
x
讲授新课
y
4
6
2
练习：画出下列各角的正切线：
y
的终边 的终边
y
y
y
的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
y
的终边 的终边
y
y
y
的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
y
讲授新课
例1. 比 较tan 13 与tan 17
4 5 的 大 小.
讲授新课
例2. 求下列函数的周期：
讲授新课
例3. 求函数 y tan 3x 的定义域、
3
值域，指出它的周期性、单调性.
讲授新课
例3. 求函数 y tan 3x 的定义域、
6
4
2
x
讲授新课
y
4
6
2
o
6
4
2
x
讲授新课Biblioteka y 4
6
2
o
6
4
2
x
讲授新课
y
4
6
2
o
6
4
2
x
讲授新课
y
4
6
2
o
6
4
2
x
讲授新课
y
4
6
2
高中数学第一章1.7正切函数1.7.1_1.7.2正切函数的定义正切函数的图像与性质课件北师大版必修4
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解:(1)依题意得12x-π3≠kπ+π2,k∈Z,
所以 x≠2kπ+53π,k∈Z.
所以函数的定义域是
������
������
≠
2������π
+
5π 3
,������∈Z
.
由正切函数的值域可知该函数的值域也是(-∞,+∞).
(2)依题意 3-tan x≥0,
所以 tan x≤ 3.
+
������
≠
π 2
+
������π,������∈Z 的周期与常数 ω 的值有关,最小正周期 T=|���π���|.
(4)奇偶性:若 φ=������2π(k∈Z)时为奇函数,否则,不具备奇偶性.
(5)单调性:将(ωx+φ)视为一个整体,若ω<0,一般先用诱导公式化
为ω>0,使x的系数为正值,然后求单调区间.A>0(A<0)时,函数
易错辨析
纠错心得1.在应用函数的单调性解题时,要弄清是在整个定义域
上是单调的,还是在每个区间上是单调的,否则会出现错误.
2.本题错解在解不等式 tan x≥- 33时,误认为 y=tan x 在整个定义域
上都是增函数而致错,正切函数应是在每个开区间
-
π 2
+
������π,
π 2
+
������π (k∈Z)上是增函数.
,
π 4
+
������π 3
(k∈Z).
探究一
探究二
探究三
易错辨析
因误认为正切函数在整个定义域上都是增函数而出错
高中数学北师大版必修四 正切函数 课件(共24张PPT)
知识点 4 正切函数的图象及特征 π (1)y＝tanx，x∈R 且 x≠ ＋kπ，k∈Z 的图象； 2
(2)正切曲线是间断的 π 正切曲线是被相互平行的直线 x＝kπ＋ (k∈Z)所隔开的无穷多支 2 曲线组成的． π (3)正值区间：即 y＞0 时，x∈kπ，kπ＋2(k∈Z)；负值区间：即 y π ＜0 时，x∈kπ－2，kπ(k∈Z).
变式训练 1
求函数 y＝
3－tanx的定义域．
解析：由 3－tanx≥0，即 tanx≤ 3， π π ∴kπ－ <x≤kπ＋ ， 2 3 π π 故函数的定义域为kπ－2，kπ＋3(k∈Z).
类型二 求与正切函数有关的函数的值域 5 【例 2】 求函数 y＝ 的值域． 2tan2x－4tanx＋3 思维启迪：通过换元将原三角函数化成分母上是二次函数的分式 函数，再由二次函数求值域的方法即可解决．
π 在直角坐标系中(如图所示)，如果角 α 满足：α∈R，α≠ ＋kπ(k 2 b ∈Z)，那么，角 α 的终边与单位圆交于点 P(a，b)，唯一确定比值 . a b 根据函数的定义， 比值 是角 α 的函数， 我们把它叫作角 α 的正切函数， a π 记作 y＝tanα，其中 α∈R，α≠ ＋kπ，k∈Z. 2
知识点 5 正切函数的诱导公式 (1)tan(2π＋α)＝tanα；(2)tan(－α)＝－tanα； (3)tan(2π－α)＝－tanα；(4)tan(π－α)＝－tanα； π (5)tan(π＋α)＝tanα；(6)tan2＋α＝－cotα； π (7)tan2－α＝cotα.
(2)形如 tanx＞a 不等式的求解 利用正切函数的图象，可解不等式 tanx＞a，其解题步骤是： π π ①作出正切曲线在－2，2的图象； π π ②求出在－2，2内使 tanx＝a 成立的 x 的值； π π ③利用图象确定 tanx＞a 在－2，2内的解； ④把解扩展到整个定义域内，由此也可解形如 tanx＜a 及 a＜tanx ＜b 的不等式.
高中数学第1章三角函数7正切函数课件北师大版必修4
阶 段
§7 正切函数
阶 段
一
三
7．1 正切函数的定义
7．2 正切函数的图像与性质
学
阶 段 二
7．3 正切函数的诱导 2．能画出y＝tan xx∈R，x≠π2＋kπ，k∈Z的图像．(重点) 3．理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间－π2，π2 内的单调性．(重点) 4.正切函数诱导公式的推导及应用．(难点)
1．三点两线画图法 “三点”是指－π4，－1，(0,0)，π4，1；“两线”是指 x＝－π2和 x＝π2.在三点、 两线确定的情况下，类似于五点法作图，可大致画出正切函数在－π2，π2上的简图， 然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．
2．如果由 y＝f(x)的图像得到 y＝f(|x|)及 y＝|f(x)|的图像，可利用图像中的对称 变换法完成；即只需作出 y＝f(x)(x≥0)的图像，令其关于 y 轴对称便可以得到 y＝ f(|x|)(x≤0)的图像；同理只要作出 y＝f(x)的图像，令图像“上不动下翻上”便可得 到 y＝|f(x)|的图像．
(2)若已知Q35，45，试求tan α.
图1－7－2
1．解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tan α＝ba. 2．已知角终边上的一点M(a，b)(a≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α 的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过 程中，应注意分子、分母的位置． 3．tan α＝csoins αα知其中两个，可求另一个．
[基础·初探]
教材整理1 正切函数的定义、图像及性质
阅读教材P36～P38“动手实践”以上部分，完成下列问题．
1．正切函数的定义 在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠ π2＋kπ(k∈Z) ，且角α的终边与
§7 正切函数
阶 段
一
三
7．1 正切函数的定义
7．2 正切函数的图像与性质
学
阶 段 二
7．3 正切函数的诱导 2．能画出y＝tan xx∈R，x≠π2＋kπ，k∈Z的图像．(重点) 3．理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间－π2，π2 内的单调性．(重点) 4.正切函数诱导公式的推导及应用．(难点)
1．三点两线画图法 “三点”是指－π4，－1，(0,0)，π4，1；“两线”是指 x＝－π2和 x＝π2.在三点、 两线确定的情况下，类似于五点法作图，可大致画出正切函数在－π2，π2上的简图， 然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．
2．如果由 y＝f(x)的图像得到 y＝f(|x|)及 y＝|f(x)|的图像，可利用图像中的对称 变换法完成；即只需作出 y＝f(x)(x≥0)的图像，令其关于 y 轴对称便可以得到 y＝ f(|x|)(x≤0)的图像；同理只要作出 y＝f(x)的图像，令图像“上不动下翻上”便可得 到 y＝|f(x)|的图像．
(2)若已知Q35，45，试求tan α.
图1－7－2
1．解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tan α＝ba. 2．已知角终边上的一点M(a，b)(a≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α 的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过 程中，应注意分子、分母的位置． 3．tan α＝csoins αα知其中两个，可求另一个．
[基础·初探]
教材整理1 正切函数的定义、图像及性质
阅读教材P36～P38“动手实践”以上部分，完成下列问题．
1．正切函数的定义 在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠ π2＋kπ(k∈Z) ，且角α的终边与
高中数学北师大版必修四 正切函数的定义、正切函数的图像与性质 ppt课件(41张)
sin α a 与正弦函数、余弦函数的定义可知 tan α ＝ (比值 叫作 b cos α 角 α 的余切函数，记作 y＝ cot α ，其中 α∈ R 且 α≠kπ ， k ∈ Z)．
2．正切线 (1)定义：
在直角坐标系中，设 单位圆 与x轴的非负半轴的交点为A(1， A(1，0)作x轴的垂线，与角α的终边或其终边 0)，过点____________
tan（2π －θ）sin（－2π －θ）cos（6π －θ ） 4．化简： ＝ cos（θ－ π ）sin（5π ＋θ） tan θ ． ________
tan（－ θ） sin（－ θ） cos（－θ） 解析：原式＝ （－cos θ ）（－sin θ ） （－tan θ ）（－sin θ ）cos θ ＝ cos θ si(k∈Z) 2 2 在开区间___________________________________ 上都是
增函数 kπ 正切曲线是中心对称图形，其对称中心是 ， 0 (k∈ Z) 2
对称性
4.正切函数的诱导公式 tan α (1)tan(2π ＋ α)＝ ____________ (1.16)；
第一章
三角函数
正切函数的定义、正切函数的图像与性
质
1．问题导航 (1)用正切线作正切函数的图像与作哪个三角函数的图像的方 法类似？该方法有什么优缺点？ π π (2)正切函数的定义域能写成 － ＋ kπ ， ＋ kπ (k∈ Z) 2 2 吗？为什么？ (3)正切函数的诱导公式的实质是什么？
b a 且角 α 的终边与单位圆交于点 P(a，b)，那么比值 _________ y＝tan α 叫作角 α 的正切函数，记作 ____________ ，其中 π α∈R，α ≠ ＋kπ ，k∈Z 2 _______________________________________ ．根据正切函数
高中数学北师大版必修4《第1章77.2正切函数的图像与性质》课件
该图像的对称中心为_k_2π_，__0_，_k_∈_Z_____
7
思考 2：能否说正切函数在整个定义域内是增函数？ [提示] 不能．正切函数 y＝tan x 在每段区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈ Z)上是增函数，但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数．
8
1．若角 α 的终边上有一点 P(2x－1,3)，且 tan α＝15，则 x 的值为
的点都是对称中心．]
10
3．函数 y＝tan 2x 的定义域为________．
xx≠k2π＋π4，k∈Z
[由正切函数的定义知，若使 y＝tan 2x 有
意义，则 2x≠kπ＋2π(k∈Z)．解得 x≠k2π＋π4(k∈Z)．]
11
4．函数 y＝tan x，x∈0，4π的值域是________． [0,1] [函数 y＝tan x 在0，π4上是增加的，所以 ymax＝tanπ4＝1， ymin＝tan 0＝0.]
32
2．函数 f(x)＝tanx＋4π的单调递增区间 为( )
A．kπ－π2，kπ＋π2，k∈Z B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z C．kπ－34π，kπ＋π4，k∈Z D．kπ－π4，kπ＋34π，k∈Z
C [由 kπ－π2<x
＋π4<kπ＋2π，k∈Z.
解得
kπ
－
3π 4
<x<kπ＋π4，故选 C.]
35
∴当 k＝2 时，θ＝π3； 当 k＝1 时，θ＝－π6. ∴满足题意的 θ 为π3或－π6.
36
谢谢大家
14
1．解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即 tan α＝ba. 2．已知角终边上的一点 M(a，b)(a≠0)，求该角的正切函数值， 或者已知角 α 的正切值，求角 α 终边上一点的坐标，都应紧扣正切函 数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置．
7
思考 2：能否说正切函数在整个定义域内是增函数？ [提示] 不能．正切函数 y＝tan x 在每段区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈ Z)上是增函数，但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数．
8
1．若角 α 的终边上有一点 P(2x－1,3)，且 tan α＝15，则 x 的值为
的点都是对称中心．]
10
3．函数 y＝tan 2x 的定义域为________．
xx≠k2π＋π4，k∈Z
[由正切函数的定义知，若使 y＝tan 2x 有
意义，则 2x≠kπ＋2π(k∈Z)．解得 x≠k2π＋π4(k∈Z)．]
11
4．函数 y＝tan x，x∈0，4π的值域是________． [0,1] [函数 y＝tan x 在0，π4上是增加的，所以 ymax＝tanπ4＝1， ymin＝tan 0＝0.]
32
2．函数 f(x)＝tanx＋4π的单调递增区间 为( )
A．kπ－π2，kπ＋π2，k∈Z B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z C．kπ－34π，kπ＋π4，k∈Z D．kπ－π4，kπ＋34π，k∈Z
C [由 kπ－π2<x
＋π4<kπ＋2π，k∈Z.
解得
kπ
－
3π 4
<x<kπ＋π4，故选 C.]
35
∴当 k＝2 时，θ＝π3； 当 k＝1 时，θ＝－π6. ∴满足题意的 θ 为π3或－π6.
36
谢谢大家
14
1．解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即 tan α＝ba. 2．已知角终边上的一点 M(a，b)(a≠0)，求该角的正切函数值， 或者已知角 α 的正切值，求角 α 终边上一点的坐标，都应紧扣正切函 数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置．
高中数学北师大版必修4《正切函数的图像与性质及其应用》ppt导学课件
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
4
2
4
2.函数 y=sin x·tan x 是( B ).
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
【解析】f(-x)=sin(-x)·tan(-x)=(-sin x)·(-tan x)= sin xtan x=f(x),故 f(x)是偶函数,故选 B.
3.tan 2 与 tan 3 的大小关系是tan 2<tan .3
α=
2 1
=-
3.
2
2 如果 x∈(0,2π),则函数 y= sin������+ -tan������的定
义域是( C )
A.{x|0<x<π} C.{x|π <x≤π}
2
B.{x|π <x<π}
2
D.{x|3π <x<2π}
2
【解析】由
s-itna���n������� tan������
4
α
=1.
3
求函数 y=tan(x+π)的单调区间.
3
【解析】由 x+π≠kπ +π(k∈Z)得,x≠kπ +π(k∈Z),
3
2
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
4
2
4
2.函数 y=sin x·tan x 是( B ).
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
【解析】f(-x)=sin(-x)·tan(-x)=(-sin x)·(-tan x)= sin xtan x=f(x),故 f(x)是偶函数,故选 B.
3.tan 2 与 tan 3 的大小关系是tan 2<tan .3
α=
2 1
=-
3.
2
2 如果 x∈(0,2π),则函数 y= sin������+ -tan������的定
义域是( C )
A.{x|0<x<π} C.{x|π <x≤π}
2
B.{x|π <x<π}
2
D.{x|3π <x<2π}
2
【解析】由
s-itna���n������� tan������
4
α
=1.
3
求函数 y=tan(x+π)的单调区间.
3
【解析】由 x+π≠kπ +π(k∈Z)得,x≠kπ +π(k∈Z),
3
2
高中数学北师大版必修4《7.2正切函数的图像与性质》课件
.
值域 R.
单调性 在（1 k , 1 k 5）上是增函数； 3 18 3 18
奇偶性 非奇非偶函数；
周期性 最小正周期是 π . 3
3.解不等式（1）1 tan x 0；
（2）
tan(x ) 3 . 63
答案:（1）
x
k
4
x
k
2
,
k
；
（2）
x
k
3
x
k
2 3
,
k
又y tan x在(0，2)是增函数 ，
tan tan 2 ，
4
5
tan(11 ) tan(13 ).
4
5
例2.解不等式 tan x 3.
解：(方法一)利用正切线
y
3
T
由图形可知： 原不等式的解集为：
x
k
3
, k
2
(k
)
A
0
x
(方法二)利用正切曲线 由图形可知： 原不等式的解集为:
3 x
2
正切曲线是由被相互平行的直线 x= k, k Z 所隔开的 2
无穷多支曲线组成的.这些直线叫作正切曲线各支的渐进线.
正切函数图像的草图画法：三点两线法.
“三点”:
“两线”:
y
1
3
O
2
2
2
-1
3 2
x
探究点5 正切函数的性质
O
1.定义域 2.值域 3.周期性 4.单调性 5.奇偶性 6.对称性 7.渐近线方程
谢谢大家
作法: (1) 等分
(2) 作正切线， 平移 o1
(3) 连线
y
2
北师大版第1章73正切函数的图象与性质课件(24张)
令 − =-,解得 x=-,所以函数 f(x)=tan -
的图象与 x 轴的一个交点坐标为 , ,在这
个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为
x=-和
x= .故函数在一个周期内的函数图象
如答图 1-7-1.
答图1-7-1
反思感悟 熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数
2x+θ= ,k∈Z,其中 x= ,即 θ=
又-<θ<,则当 k=1 时,θ=-;
当 k=2 时,θ=,故 θ=- 或 .
答案:- 或
,
Hale Waihona Puke − ,k∈Z.
,k∈Z,故令
= ,k∈Z,解得 x=π+kπ,k∈Z,
故对称中心为
+ , (k∈Z).
(2)令 − =0,解得 x= ,令 − = ,解得 x= ,
令 − =-,解得 x=,令 − = ,解得 x= ,
-,
时,函数 y=|tan x|的图象(
A.关于原点对称 B.关于y轴对称
C.关于x轴对称 D.没有对称轴
答案:B
).
二、正切函数的性质
【问题思考】
1.从正切曲线上看,在区间 - , 内,正切函数值是逐渐增大的
吗?
提示:是.
2.当 x∈
-,
(北师大版)必修四：1.7.1-2《正切函数的定义、正切函数的图像与性质》课件
t在开区间
-
2
k
,
2
k
（ k
Z）上是增加的，
所以
2
k
x
4
2
k，k
Z
解得 3 k x k，k Z
4
4
所以函数在区间
k
3
4
,
k
4
,
k
Z 上是增加的.
1. 已知 a tan1,b tan 2, c tan 3,则( C )
a
角α的正切值不存在.
这里的角是指的角的弧度数.
由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自 变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数 值的函数，我们统称它们为三角函数.
根据正切函数的定义，我们知道：当角在第一 和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和 第四象限时，其正切函数值为负.
探究点2 正切线和正切函数的周期 正切线
最小正周期是π
例1． 若 tanα ＝ 2 ，借助三角函数定义求角α 的正弦函 3
数值和余弦函数值.
解：因为 tanα＝ 2 ＞0，所以α是第一象限或第三象限的角. 3
(1)如果α是第一象限的角，则由 tanα＝ 2 可知，角α终边上必有一点 3
P（3，2）.所以 x＝3，y＝2. 因为 r＝|OP|＝ 13 , 所以 sinα＝ y ＝ 2 13 ， r 13
§7 正切函数 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的图像与性质
在前两节中，我们学习了任意角的正、余弦 函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
tan1670 tan1730
(2)tan(11 ) tan( 3 )
tan(134 ) tan(43 )
5
5
又 3 3 , 且 y tan x, x ( , ) 是增函数
2 4 52
22
tan( 3 ) tan( 3 )
4
5
即
tan(11 ) tan(13 )
4
5
例3 求下列的单调区间：
x
|
x
2
k
,
k
Z
全体实数R
tan(x ) tan(x)
正切函数是周期函
数，T=
tan(x) tan(x)
zxxk
例1 求函数 y tan(x )的定义域。
解：令 z x ,
4
4
那么函数 y tan z 的定义域是：
所以由
z
z |
x
z ,
4
2
k
,
k
Z
可得：x
4
2
k
24
变题(2) y 3tan( x )
24
解 :因为原函数可化为: y 3tan( );
24
令u x ;所以y tan u的单调递增区间为:
2 4 k u k ,k Z
2
2
由u 1 x 得 :
24
k 1 x k 22 4 2
y 3 tan( 1 x )的单调递减区间为:
(1) y 3tan(1 x );
24
解 : (1)令u 1 x ,则y 3tan u
24
u 1 x 为增函数;且y tan u的单调区间为:
2
4
k
u
k
,k
Z
2
2
由u 1 x 得 :
24
k 1 x k 22 4 2
y 3 tan(1 x )的单调递增区间为:
24
2k 3 x 2k
2
2
2k x 2k 3
2
2
zxxk
（1）正切函数的图像
（2）正切函数的性质：
➢定义域：x
|
x
2
k
,
k
Z
➢值域：全体实数R
➢周期性：正切函数是周期函数，
最小正周期T=
➢奇偶性：奇函数
➢单调性：正切函数在开区间
内都是增函数。
➢对称性：有对称中心
k
2
k , k
2
2
,0 , k
, k
Z
Z
所以函数 y tan(x ) 的定义域是：
4
x
|
x
4
k
,
k
Z
zxxk
例2 不通过求值，比较下列各组中两个正
切函数值的大小：
(1) tan167 0 与 tan173 0;
(2) tan(11 )
与
tan( 13 )
4
解： (1)900 167 0 173 0 180 0
5
又 y tan x, 在 (900,270 0)上是增函数
zxxk
作法如下：
➢作直角坐标系，并
在直角坐标系y轴左
侧作单位圆。
➢找横坐标（把x轴
上
2
到
到这
一段分成8等份）
➢在单位圆右半圆中
作出正切线。
2
➢找对应点。
➢连线。
3
3
2
2
2
3
3
2
2
2
正切函数是奇函数，正切曲线
关于原点对称
单调递增区间 k , k , k Z 2 2
有对称中心 k ,0, k Z 2