偏导数和高阶偏导数

9-2偏导数

(与求导顺序无关时应选择方便的求导顺序与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序) 与求导顺序无关时
练习
y ∂ 2z ∂ 2z （1）设z = arctan ,求 2 , x ∂x ∂x ∂y
（2）设z = xf ( x 2 − y 2 ),
(3) 已知 u = f ( r )，r =
∂u ∂r x = f ′( r ) ⋅ = f ′( r )， ∂x ∂x r
∂z ∂ f , , zy , ∂y ∂y
′ f y ( x, y) , f y ( x, y)
y= y0
显然有
fx (x0, y0 ) = fx( x, y) x=x0 ，
fy ( x0, y0 ) = f y ( x, y) x=x0 .
y= y0
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数
如三元函数 u = f ( x , y , z ) 的偏导数为
这两个二阶混合偏导数相等．这两个二阶混合偏导数相等．相等
即
∂2z ∂2z ( x, y)∈D. = ∂x∂y ∂y∂x
即二阶混合偏导数在连续的条件下, 即二阶混合偏导数在连续的条件下,求导与次序无关
此定理可以推广．此定理可以推广．推广
例8
1 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 证明函数u = 满足方程 2 + 2 + 2 = 0, r ∂x ∂y ∂z 其中r = x 2 + y 2 + z 2 ，
注意思考
∂ 2z ∂ 2z 此时有 = ∂ x ∂ y ∂ y∂ x
混合偏导数都相等吗？混合偏导数都相等吗？
(不一定不一定) 不一定
问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？

偏导数与高阶偏导数详细解法

第二节偏导数教学目的：使学生了解偏导数的概念；熟练掌握阶及二阶偏导数的计算方法；了解偏导数存在与函数连续的关系。

教学重点：一阶及二阶偏导数的计算教学过程:一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数z 二f(xy)如果只有自变量x 变化而自变量y 固定这时它就是x 的一元函数这函数对x 的导数就称为二元函数z 二f(xy)对于x 的偏导数定义设函数z=f(xy)在点(x o y o )的某一邻域内有定义当y 固定在y o 而x 在X o 处有增量 x 时相应地函数有增量f(x o x y o) —f(x o y o ).如果极限f (X o X, y o ) - f (X o , y o )A x存在则称此极限为函数z=f(xy)在点(x o y o )处对x 的偏导数记作例如f (X o ：x, y o ) - f(x o , y o )A x 类似地函数z 斗(xy)在点(x o y o )处对y 的偏导数定义为Hm f(x °,y o ：y)-f (x °,y o ) .y —.o y偏导函数如果函数zh(xy)在区域D 内每一点(xy)处对x 的偏导数都存在那么这个偏导数就是x 、y 的函数它就称为函数z=f(xy)对自变量x 的偏导函数记作——zx 或 f x (x, y) ■ X x偏导函数的定义式：fx(x,y 円m f(x 2)7("cf — y —y o C X=X o -z x y=y o :z .x x=x ° 或 f x (x o , y o ) y mof x (x o ，yo ^.'r.o 记作各X’ * 0 x=X o ■z yy=y ° y To 或 f y (x o y o ). X =<o y =y °类似地可定义函数z=f(xy)对y的偏导函数记为Z/或f y(x，y) ‘-■y :y偏导函数的定义式:f y(x,y) = limf(x,y：y)-f(x,y)求兰时只要把y暂时看作常量而对x求导数求埜时只要把x暂时看作常量而对y ；x ；y 求导数，讨论下列求偏导数的方法是否正确？f x(><0，y o) = f x(x,y)x^ f y(x o，y o) = f y(X,y) xs .y=y°d df x(X o，y o) =【dxf (x,y o)〕xK fygy o)珂石fd o’y)]© ■偏导数的概念还可推广到二元以上的函数.例如三元函数u=f(xyz)在点(xyz)处对x的偏导数定义为f (x ：x,y,z) —f(x,y,z)Ax其中(xyz)是函数u=f(xyz)的定义域的内点它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题，例1求z=x2+3xy+y2在点(1 . 2)处的偏导数，解—=2x 3y z =3x 2y . z & cyXT =21 3 2=8 ]z例2求z=x2sin 2y的偏导数解—=2xsin2y — -2x2cos2y . & cy例 3 设z=x y(x Qx^)求证――1—■ =2zy ex In x 內证—=yx y A— =x y I nx,x ：y——1 -yx y^ —x y I nx 二x y x y=2z .y :x In x : y y In x例4求x^y^z2的偏导数解』- ______X 仝 [.一__________ y ____ & +'x2+ y2+z2r by Jx2+y2+z2=_yx”31 22 = 7 .例5已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数)•求证空乂 .兀_1证因为p = R L P 一马. "vw V 2V=RL 卫卫p ：:T pT pV 汀 VT = R 亍 R 所以8汎汀=_RT RV-RT-I討贡④ V 2 p R pV ^例5说明的问题偏导数的记号是一个整体记号不能看作分子分母之商二元函数z=f(xy)在点(x o y o )的偏导数的几何意义：f x (x o y o )=[f(x y o )]x 是截线z=f(x y o )在点M o 处切线T x 对x 轴的斜率 f y (x o y o ) =[f(x o y)]y 是截线z=f(x o y)在点M o 处切线T y 对y 轴的斜率偏导数与连续性对于多元函数来说即使各偏导数在某点都存在也不能保证函数在该点连续例如 xyf(x,y) = x 2 y 2I 0 在点(0 0)有f x (0. 0)=0 f y (o. 0)=0但函数在点(0 0)并不连续“提示：f(x,O) =0 f (0, y^of x (O,O)=f [f(x,0)]=0 f y (0, 0^-d [f(0, y)H0 . dx dy当点P(x y)沿x 轴趋于点(0 0)时有lim f(x, y)=lim f (x, 0) = lim 0 =0 (x,y) >(0,0) X r 0 x >0当点P(x y)沿直线y=kx 趋于点(0 0)时有因此.lim f (x,y)不存在故函数f(xy)在(0 0)处不连续(x,y)T(0,0) 类似地可定义函数z=f(xy)对y 的偏导函数记为冷 f zy 或 f y (x,y) • x 2 y 2" x 2 y 2 =0 lim 2 ' 2(x,y)—?(o,o )x 2 y 2y=kx=lim 2 x >0 x 2 kx 2_ k 2x 2 k 2偏导函数的定义式恥心肩“™高阶偏导数设函数Z 二f(xy)在区域D 内具有偏导数^ = f x (x, y)迸二 f y (x,y).那么在D 内f x (xy)、f y (xy)都是xy 的函数如果这两个函数的偏导数也存在贝U 称它们是函数x 二f(xy)的二偏导数按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数如果函数z 二f(xy)在区域D 内的偏导数f x (xy)、f y (xy)也具有偏导数则它们的偏导数称为函数z=f(xy)的二阶偏导数按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数2手(孑•手(勺=2 2 其中ry (：xU x y (x ，y) 称为混合偏导数；：(；：Z )_ ；：2Z 1 ( ：：Z) _ r 2Z ( :：Z) _ ：：2z ；：( ；：z )_ ；：2z :x ；:x ；:x 2 : y . x .x :y ；x ； y y ； x ；:y ；y ；:y 2同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数‘ 例 6 设 z=x 3y 2-3xy 3-xy V 求 f 、-f 、 - x 和 L x 2 ：x 3 :yx : xy解/ =3x 2y 2 -3y 3 -y Z =2x f y-9xy 2 -x :x :y C 2Z 62 ^z 6 2， 2 =6x y 3=6 .x:x -2-2 6^丫-9丫2-1x 6x 2y-9y 2 -1 x x .y y x -2 “2由例6观察到的问题 x xoycx cxcy 定理如果函数z=f(xy)的两个二阶混合偏导数昙及三在区域D 内连续•那么在该 tycx cxcy区域内这两个二阶混合偏导数必相等.x : x ； x 2 :y x :x y:Z = f xy (x, y).2 补評話mx’y)弓許■2Z”yy (x " -3 ：2类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数例7验证函数z = ln . x2—y2满足方程寻•岂=0 . ex cy 证因为z=ln ... x2- y2=2"n" ' y2)所以:z x :z y___________.:x _________ x2y2；:y x2 y2匕(x2y2)-x2x y2-x2戸一(x2y2)2—(x2y2)2悬(x2y2)-y 2y x2-y2旷 (x2y2)2 _(x2y2)2'-2-2 2 2 2 2因此驚+吟=x —y 2+ y 2 -o ■ $2 cy2(x2+y2)2(x2+y2)2例8•证明函数u二1满足方程总•总•岂=0 .r ex2內2ezr其中r = J x2y2z2.证:u _ _丄工—_丄x _ __x_ dx r2ex r2r r3E2u _ 1 +3x 宜=1 +3x2_x2r3r4；x r3r5-2 / -2因此T U Uex2cy2cz2r3-x ' (r3)r6r3-x3r21LExr6同理专：：2u _ —丄.3^:z2r3r5_ _ 3 3(x2y2- z2)r53 3r2—3-0r3 r5r r(。

第1节多元函数的概念(二)

lim 多元函数的连续定义 p p f ( P ) f ( P0 )
0
由于这种形式上的统一，使得多元函数的一些主要概念、性质与二元函数类似. 因此，对于多元函数微积分的研究主要以二元函数为主,多元函数微积分可以由二元函数微积分类似推广.
小结
一.多元函数的连续性
x x 0 , y y0
2.二元函数z=f (x, y)在区域D上的连续性如果二元函数z=f (x, y)在平面区域D内每一点都连续，则函数z=f (x, y)在区域D内连续，并称z=f (x, y)为区域D上的连续函数. 二元连续函数的图形是空间中的一个不断开 (无孔无缝)的连续曲面。
四.多元函数的连续性
z
z f ( x, y )
x 0 y 0
lim
f ( x, y ) f ( x0 , y0 )
lim z 0
二.闭区域上连续函数的性质
作业:P302 5(1)
四.多元函数的连续性
思考题1
设为空间任一有界闭区域，P为外一点。问上是否一定有到P点最远和最近的点存在？为什么？
四.多元函数的连续性
思考题1解答有. 设P点的坐标为 ( x0 , y0 , z0 )，Q( x , y , z )为上任意一点 , 则两点间距离为
PQ ( x x 0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z 0 ) 2
它上连函，是的续数由闭区域上连续函数的性质可知，一定有最大值和最小值存在
在(0,0)的连续性．解取 y kx
xy k kx 2 lim 2 2 lim 2 2 2 2 x 0 x y x 0 x k x 1 k y0
y kx

new 第二节偏导数

2 2
∂2 f ∂2 f = 。 ∂x∂y ∂y∂x
∂u ∂u ∂u , . 例8 u = x + ln 1 + z ，求 2 ， ∂x ∂y∂x ∂z∂y
2 2 2 2y 2
∂u 2 y −1 ∂ u [解] , = 2 x 2 y ln x , = 2 yx ∂x ∂y 1 z z ∂u ∂ 2u 2 y−2 ; = ⋅ = 2 2 = 2 y ( 2 y − 1) x 2 2 1 + z ∂x ∂z 1+ z 1+ z
类似于一元函数的求导法则, 成立下述求导公式 ur ur uur ur ur r dC d ( A + B) d A d B = 0 (C为常向量 ), = + dt dt dt dt
ur ur r ur d ( A ⋅ B ) d A ur ur d B = ⋅ B + A⋅ dt dt dt ur ur ur ur d ( A × B ) d A ur ur d B = × B + A× dt dt dt
2
∂z xy 2 2 xy 2 [解 ] = e ( xy ) x = e ⋅ y 2 ∂x
2
∂z ∂ 2z ,求和 . ∂x ∂x∂y
∂ z ∂ ∂z xy 2 xy 2 2 = ( ) = (e ) y ⋅ y + (e )( y 2 ) y ∂ x∂ y ∂ y ∂ x =e
xy 2
⋅ 2 xy ⋅ y + e
r ∂A( x , y , z , t ) ∂Ax ∂Ay ∂Az , , 类似地, 有 = ∂y ∂y ∂y ∂y ur ur ∂ A ∂Ax ∂Ay ∂Az ∂ A ∂Ax ∂Ay ∂Az , , , , = = , ∂z ∂ z ∂ z ∂z ∂ t ∂t ∂ t ∂t r ur 特别地，若向量函数A = A( t )仅依赖于一个自变量t , ur r r u r A( t ) = Ax ( t )i + Ay ( t ) j + Az ( t )k , 则 ur r dAx r dA y r dAz u d A r′ i+ j+ k = A (t ) = dt dt dt dt

偏导数的概念

f ( x x, y ) f ( x, y ) lim , ( x, y ) D x 0 x
存在，显然这个偏导数仍是x，y的函数，称它为函数
z=f(x,y)对x的偏导函数，记作
z f , , f x ( x, y )或z x ( x, y ). x x
类似地，可以定义函数z=f(x,y)在区域D内对自变
求导.
若求函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，只需先求偏导函数fx(x,y)，然后再求fx(x,y)在点(x0,y0)处的函数值，即 f x ( x, y ) |( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 )，这样就得到了函数
z =f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数.也可以先将y=y0代入
z f ( x, y ), y y0 .
上式表示y=y0平面上的一条曲线z=f(x,y0).根据导数的几
何意义可知：fx(x0,y0)就是这
条曲线在点M0(x0,y0,z0)处的
切线关于x轴的斜率.
同样，fy(x0,y0)是这条曲线z=f(x,y)与平面x=x0的交线
z f ( x, y ), x x0
f xy ( x, y, z ) 2 y, f xyz ( x, y, z ) 0, f xyz (1,1,1) 0.
1 例9 证明函数 u t
u 证 t 2
x2 3 1 2 4t t e
3 1 2 t
x2 e 4t
u 2u 满足方程 2. t x
f(x0,y0).
同样还可以举出函数在(x0,y0)点连续，而在该点的偏导数不存在的例子. 例如，二元函数 f ( x, y ) x 2 y 2 ，在点(0,0)处是连续的，但在(0,0)点偏导数不存在. 事实上，f ( x, y ) x 2 y 2 是初等函数，(0,0)点是定义区域内的一点，故f(x,y)在点(0,0)点是连续的. 固定y=0，让x→0，考察在(0,0)点处对x的偏导数.此时 f ( x,0) x 2 0 | x |，已知函数|x|在x=0处是不可导的，即f(x,y)在点(0,0)处对x的偏导数不存在，同样可证f(x,y)在(0,0)点对y偏导数也不存在.

偏导数的概念【重点】

自变量y 看成常数(即将z看成x的一元函数)，只需z对x 求导.
若求函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，只需先求偏导函数fx(x,y)，然后再求fx(x,y)在点(x0,y0)处的函数值，即 fx (x, y) |(x0,y0) fx (x0, y0 )，这样就得到了函数 z =f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数.也可以先将y=y0代入 z=f(x,y)中，得z=f(x,y0)，然后对x求导数fx(x,y0)，再以 x=x0代入.两种做法是一致的.因为在这个过程中，y为常数y0.
同样，fy(x0,y0)是这条曲线z=f(x,y)与平面x=x0的交
线
z f (x, y), x x0 在点M0(x0,y0,z0)处的切线关于y 轴的斜率.
二、偏导数的求法
求多元函数的偏导数就相当于求一元函数导数.一元函数的求导法则和求导公式对求多元函数的偏导数仍然适用.
例如，给定一个二元函数z=f(x,y)，求 z 时，可将 x
固定y=0，让x→0，考察在(0,0)点处对x的偏导数.此时 f (x,0) x2 0 | x |，已知函数|x|在x=0处是不可导的，即f(x,y)在点(0,0)处对x的偏导数不存在，同样可证f(x,y)在(0,0)点对y偏导数也不存在.
在点(x0,y0)处二元函数连续，推不出偏导数存在，而偏导数存在也推不出函数在该点处连续，所以二元函数连续与偏导数存在这二者之间没有因果关系.
2.二元函数偏导数的几何意义二元函数z=f(x,y)的图形表示空间一张曲面.当y=y0
时，曲面z=f(x,y)与平面y=y0的交线方程为
z f (x, y),
y
y0.
上式表示y=y0平面上的一条曲线z=f(x,y0).根据导数的几何意义可知：fx(x0,y0)就是这条曲线在点M0(x0,y0,z0)处的切线关于x轴的斜率.

偏导数与高阶导数

解
将点(1,3)代入上式，得
可得
所以
在求定点处的导数时，
先代入固定变量取值，
然后再求导，可简化求导计算。
或
2.偏导数的计算
例4 设
求
解
所以
二元以上多元函数的偏导数可类似地定义和计算
例求函数的偏导数.
对x求偏导数就是视y, z为常数，对x求导数
曲线
即
fx (x0, y0),
第二节偏导数与高阶偏导数
4.偏导数与连续的关系
对于二元函数偏导数与连续的关系如何？
连续
解
一元函数可导与连续的关系：
可导
由偏导数定义
例
所以，函数在(0, 0) 处对变量 x，y 的偏导数存在.
让沿直线而趋于（0,0），
这里为常数，
当劳动力投入不变时,产量对资本投入的变化率为
当资本投入不变时，产量对劳动力投入的变化率
该问题说明有时需要求二元函数在某个变量不变的条件下，
Q表示产量.
别表示投入的劳动力数量和资本数量，
分
数为
引例
对另一个变量的变化率.
第二节偏导数与高阶偏导数
此时沿着平行坐标轴的方向
偏导数存在连续.
一元函数中在某点可导连续，
可见，多元函数的理论除了与一元函数的理论有许多类似之处，也是还有一些本质的差别。
二、高阶偏导数
设函数 z = f (x, y) 在区域 D内有偏导函数与
则称此极限值为z=f (x,y)在点(x0,y0)处对x的
记为
一元函数导数
如果极限存在,
函数有增量
相应
(1)定义
当y 固定在y0 , 而 x 在x0 处有增量△x时,

3.1-2 偏导数与高阶偏导

f yx ( x 2x, y 1y) f xy ( x 3x, y 4y)
由于f xy , f yx连续, 令x 0, y 0得 : f xy ( x , y ) f yx ( x , y )
( x0 , y0 ) 处的函数值。偏导函数简称偏导数。
偏导数的概念还可以推广到二元以上的多元函数。例如三元
函数 u f ( x, y, z ) 在点 ( x, y, z ) 处对 x 的偏导数定义为
函数 u f ( x, y, z ) 在点 ( x , y, z ) 处对 x 的偏导数定义为 f ( x x , y , z) f( x , y , z) f x ( x , y , z ) lim 。 x 0 x 5
第三节
偏导数与全微分
第五章
多元函数微分学及其应用
3.1 偏导数概念与几何意义
1.函数 z f ( x , y ) 在点 M 0 ( x0 , y0 ) 处的偏导数的定义
定义 3.1 设 z f ( x, y) 在点 M0 ( x0 , y0 ) 的某一邻域 N ( M0 )
上有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ，
f xy (0,0) f yx (0,0)
例1 中 2 y 2 y 2 y 2 y , 而例 2 中 , xy yx xy yx
问：混合偏导数相等需要什么条件？
18
第五章
多元函数微分学及其应用
定理 3.1：如果 f xy ( x, y) ， f yx ( x, y) 在点 ( x, y) 的某邻域内连续，则有 f xy ( x, y) f yx ( x, y) 。

一偏导数的定义及其计算法二高阶偏导数三小结

一偏导数的定义及其计算法二高阶偏导数三小结一、偏导数的定义及其计算法偏导数是多元函数在其中一点上关于其中一个自变量的导数，偏导数描述了函数在其中一点上沿着不同自变量方向的变化率。

对于二元函数（两个自变量的函数），偏导数可以分为两种类型：偏导数∂f/∂x表示函数关于x的偏导数；偏导数∂f/∂y表示函数关于y的偏导数。

在计算中，偏导数可以使用极限的定义进行求取，也可以通过求取对应变量的偏导数公式进行计算。

1.偏导数的计算法（1）使用极限的定义对于函数f(x,y)，若要求取关于x的偏导数，可以将y固定为常数，然后使用极限的定义计算：∂f/∂x = lim(h→0) (f(x + h, y) - f(x, y)) / h对于函数f(x,y)，若要求关于y的偏导数，可以将x固定为常数，然后使用极限的定义计算：∂f/∂y = lim(h→0) (f(x, y + h) - f(x, y)) / h（2）使用偏导数公式对于特定类型的函数，可以通过使用相应的偏导数公式来计算偏导数。

以下列举了几种常见的偏导数公式：a.对于幂函数f(x,y)=x^n，其中n为常数，偏导数公式为：∂f/∂x=n*x^(n-1)b.对于指数函数f(x,y)=e^x，其偏导数公式为：∂f/∂x=e^xc. 对于对数函数f(x, y) = log(x)，其偏导数公式为：∂f/∂x=1/xd. 对于三角函数f(x, y) = sin(x)，其偏导数公式为：∂f/∂x = cos(x)e.对于常数乘积规则，偏导数的计算法为：∂(c*f)/∂x=c*(∂f/∂x)二、高阶偏导数高阶偏导数是指对于多元函数的不同自变量求取多次偏导数的过程。

高阶偏导数描述了函数在其中一点上的更高阶导数信息，它可以对函数的多个变量进行多次的偏导运算。

1.二阶偏导数二阶偏导数是指对于二元函数，对其中一个变量求取一次偏导数后，再对另一个变量求取一次偏导数。

二阶偏导数可以通过求取一次偏导数的偏导数来计算，也可以通过直接求取函数的二阶导数来计算。

偏导数与高阶偏导数

x
y
2z x 2
6
xy2
,
3z x 3
6
y2,
2z y 2
2x3
18xy;
2z xy 6x2 y 9 y2 1,
2z yx 6x2 y 9 y2 1.
观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：
原函数图形
偏导函数图形
偏导函数图形
数二图阶形混
斜率.
偏导数 f y ( x0 , y0 )就是曲面被平面 x x0 所截得的曲线在点 M0 处的切线 M0Ty 对 y 轴
的斜率.
二、高阶偏导数
函数z f ( x, y)的二阶偏导数为
x
z x
2z x 2
f xx ( x, y),
y
z y
2z y 2
f yy ( x, y)
纯偏导
解
z 2x 3y ; x
z y
3x 2y .
z x
x 1 y2
2132 8 ,
z y
x 1 y2
3122 7 .
例 2 设z x y ( x 0, x 1)，求证 x z 1 z 2z . y x ln x y
证
z yx y1,
x
z x y ln x, y
x z 1 z x yx y1 1 x y ln x
2r x 2
2r y 2
2r z 2
z. r
七、设
f
( x,
y)
x
2
arctan
y x
y2
arctan
x y
,
xy
0
0, xy 0
求 f x , f xy .

偏导数概念及其计算高阶偏导数偏导数第八章偏导数的定义及其计算法

偏导数概念及其计算高阶偏导数偏导数第八章偏导数的定义及其计算法偏导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在其中一点上沿着特定方向的变化率。

在多元函数中，一个函数可以依赖于多个自变量，而偏导数就是用来描述其中一个自变量对函数的变化的影响。

在定义上，对于一个函数$f(x, y)$，偏导数$\frac{\partialf}{\partial x}$表示函数在点$(x, y)$处沿着$x$轴方向的变化率。

类似地，偏导数$\frac{\partial f}{\partial y}$表示函数在点$(x, y)$处沿着$y$轴方向的变化率。

偏导数是通过将函数对应的自变量看作常数来计算的。

计算偏导数的方法与计算普通导数的方法类似，只需将未涉及到的变量视为常数进行求导即可。

例如，对于函数$f(x, y) = x^2 + 2xy +y^2$，我们可以先计算偏导数$\frac{\partial f}{\partial x}$，即将$y$视为常数，对$x$求导。

这样得到的结果是$2x + 2y$。

同理，计算偏导数$\frac{\partial f}{\partial y}$，即将$x$视为常数，对$y$求导，得到结果为$2x + 2y$。

因此，在该例中，$\frac{\partial f}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial y}$都等于$2x + 2y$。

高阶偏导数是指对一个函数进行多次求导得到的偏导数。

高阶偏导数的计算方法与一阶偏导数的计算方法类似，只需多次对相应的自变量求导即可。

例如，对于函数$f(x, y) = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$，我们可以首先计算一阶偏导数$\frac{\partial f}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial y}$，分别得到$3x^2 + 6xy + 3y^2$和$3x^2 + 6xy + 3y^2$。

一偏导数的定义及其计算法二高阶偏导数三小结

一偏导数的定义及其计算法二高阶偏导数三小结一、偏导数的定义及其计算方法偏导数是多变量函数的导数的一种特殊形式，它描述了函数在其中一给定点沿着坐标轴的变化率。

在多变量函数中，每个自变量的变化都可能对函数的整体形态产生影响。

因此，偏导数的计算方法就是在保持其他自变量不变的情况下，对其中一自变量求导。

偏导数的定义：设有函数 f(x₁, x₂, ..., xn)，如果函数在点 P(x₁₀, x₂₀, ..., xn₀) 的其中一邻域内对自变量 xi(i=1,2,...,n)的偏分之存在极限，那么称函数 f 在点 P 对 xi 的偏导数为 f 在点 P 对 xi 的偏导数。

记作∂f/∂xi 或 fxi'(x₁₀, x₂₀, ..., xn₀)，即∂f/∂xi = fxi'(x₁₀, x₂₀, ..., xn₀) = lim[h→0] (f(x₁₀, ...,xi₀+h, ..., xn₀) - f(x₁₀, ..., xi₀, ..., xn₀))/h其中 xi₀是点 P 在第 i 个坐标轴上的对应坐标。

偏导数的计算方法：计算偏导数涉及多个自变量，按照求导的规则进行计算，只对关心的自变量求导，其它自变量视为常数，然后再将结果代入原函数。

二、高阶偏导数高阶偏导数是指对多变量函数连续求导的过程。

一般我们首先计算一阶偏导数，然后继续对一阶偏导数进行求导，得到二阶偏导数，以此类推。

高阶偏导数的求导规则与一阶偏导数相同，只需要按照规则连续求导即可。

高阶偏导数可以提供更多的信息，用于描述函数的曲率、凸凹性等性质。

例如，对于函数f(x,y)，首先计算一阶偏导数：∂f/∂x = fx'(x, y) = ...∂f/∂y = fy'(x, y) = ...然后对一阶偏导数继续求导，得到二阶偏导数：∂²f/(∂x)² = (fx')' = ...∂²f/(∂y)² = (fy')' = ...∂²f/∂x∂y = (fx')'(y) = ...∂²f/∂y∂x = (fy')'(x) = ...其中，∂²f/∂x²表示对x进行两次求导，即x的二阶偏导数。

偏导数公式大全

以下是常见的偏导数公式大全：
1. 一阶偏导数：
-对于函数f(x, y)：
-∂f/∂x：对x 求偏导数
-∂f/∂y：对y 求偏导数
2. 高阶偏导数：
-对于函数f(x, y)：
-二阶偏导数：
-∂²f/∂x²：对x 求二阶偏导数
-∂²f/∂y²：对y 求二阶偏导数
-∂²f/∂x∂y：先对x 求偏导数，再对y 求偏导数
-∂²f/∂y∂x：先对y 求偏导数，再对x 求偏导数
-更高阶的偏导数类似地进行推导
3. 链式法则：
-对于复合函数z = f(g(x, y))：
-∂z/∂x = (∂f/∂g) * (∂g/∂x)
-∂z/∂y = (∂f/∂g) * (∂g/∂y)
4. 常见函数的偏导数：
-对于指数函数e^x：
-∂(e^x)/∂x = e^x
-对于对数函数ln(x)：
-∂(ln(x))/∂x = 1/x
-对于三角函数sin(x) 和cos(x)：
-∂(sin(x))/∂x = cos(x)
-∂(cos(x))/∂x = -sin(x)
以上是一些常见的偏导数公式，但并不是完整的列表。

在实际应用中，还会涉及更复杂的函数和多元变量的情况，需要根据具体问题进行推导和计算。

偏导数

z f ( x , y ) 在点(x , y , f (x , y )) 0 0 0 0 , x x0
x x0 y y0
处的切线的斜率，即 z y
tan .
二、高阶偏导数
函数 z = f ( x , y ) 的两个偏导数
z f x ( x, y), x
z 如 x
处的切线的斜率, 即 z x
z f ( x , y ) , 在点 (x , y , f (x , y ) ) 是曲线 0 0 0 0 x x0 y y0 y y
0
x x0 y y0
tan .
z 同理 y
x x0 y y0
是曲线
RT V R 由V , 得 , P T P
T V PV . 由T , 得 P R R
代入等式左边得
P V T RT R V RT RT 2 1 . V T P V P R VP RT
所以
P V T 1 V T P
2
2z x y x x x 2 y 2 2 2 2 2 y x 1 ( x y ) x ( 2 x 0) 2 , 2 2 2 2 2 (x y ) (x y )
验证了
2z 2z . x y y x
z , f ( x, y ), z 或 f x ( x , y ). x x x 可以定义函数 z = f (x , y) 对自变量 y 的偏导类似地，
函数，记作
z f ( x , y ), z y 或 f y ( x, y ). , y y
在不致混淆的情况下，偏导函数也称偏导数.

偏导

z=f(x, y0) z=f(x0, y)
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偏导数的几何意义 fx(x0, y0)=[ f(x, y0)]x′ 是截线z=f(x, y0)在点(x0, y0)处的切线Tx 对x轴的斜率. fy(x0, y0)=[ f(x0, y)]y′ 是截线z=f(x0, y)在点(x0, y0)处的切线Ty 对y轴的斜率.
§8.2 偏导数
一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数
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一、偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某一邻域内有定义, 若极限
f (x0 +∆x, y0)− f (x0, y0) lim ∆x ∆x→0 存在, 则称此极限为函数z=f(x, y)在点(x0, y0)处对x的偏导数, 记作
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一、偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义
f (x0 +∆x, y0)− f (x0, y0) . fx(x0, y0)= lim ∆x ∆x→0 偏导数的符号
偏导函数
∂f ∂z x=x0 , x=x0 , zx ∂x y=y0 ∂x y=y0
x=x0 , y=y0
fx(x0, y0) .
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1 满足方程∂2u + ∂2u + ∂2u =0 , 例8 证明函数u = r ∂x2 ∂y2 ∂z2
其中r = x2 + y2 +z2 .
证
∂u = − 1 ⋅ ∂r = − 1 ⋅ x = − x , ∂x r3 r2 ∂x r2 r ∂2u =− 1 +3x ⋅ ∂r =− 1 + 3x2 . ∂x2 r3 r4 ∂x r3 r5

偏导数

2

2u abeax sin by. yx
观察
问题：二阶混合偏导数都相等吗？北京理工大学数学系
x3 y 例 8 设 f ( x, y ) x 2 y 2 0
解
( x, y ) (0, 0) ( x, y ) (0, 0)
求 f ( x, y )在（0，0）点的二阶混合偏导数.
z f ' ' ' , , z x , f x , f1 x x
北京理工大学数学系
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 u f ( x, y, z ) 在 ( x , y, z ) 处
f ( x x , y , z ) f ( x , y , z ) f x ( x , y , z ) lim , x 0 x
二、高阶偏导数
函数 z f ( x , y ) 的二阶偏导数为
z 2 z '' '' 2 f xx ( x, y) f 11 ( x, y), x x x
z 2 z '' '' 2 f yy ( x, y) f 22 ( x, y) y y y z 2 z '' '' f xy ( x, y) f12 ( x, y), y x xy z 2 z '' '' f yx ( x, y) f 21 ( x, y) x y yx
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) 如果 lim 存在， x 0 x 则称此极限为函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处对 x的偏导数，记为：

1.3偏导数

f (0 + ∆x,0) − f (0,0) = lim 0 − 0 = 0 解 : f x (0,0) = lim ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x
f (0,0 + ∆y ) − f (0,0) = lim 0 − 0 = 0 f y (0,0) = lim ∆y →0 ∆y ∆y →0 ∆y
x + y ≠ 0时, 2 3 x y 2 xy ′ f x ( x, y ) = ( 2 ) = 2 2 x 2 2 x +y (x + y )
解
当x 2 + y 2 ≠ 0时，利用求导法则求；当x + y = 0时由偏导数定义求,
2 2
可得
x2 − y2 4x2 y 2 + 2 , x 2 + y 2 ≠ 0, y 2 2 2 2 f x ( x, y ) = x + y (x + y ) x 2 + y 2 = 0. 0,
再由偏导数定义可得
f x (0, ∆y ) − f x (0,0) f xy (0,0) = lim ∆y →0 ∆y
− ∆y = lim = −1, ∆y →0 ∆y
0 0
x = x0 y = y0
或 f x ( x 0 , y0 )
同理,可定义函数同理可定义函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 可定义的偏导数，处对 y 的偏导数，为记为或
f ( x 0 , y 0 + ∆ y ) − f ( x 0 , y0 ) lim ∆y → 0 ∆y ∂f ∂z ， x = x ， f y ( x 0 , y0 ) ∂y y = y 0 ∂y x = x0

偏导数公式大全范文

偏导数公式大全范文1.一阶偏导数一阶偏导数是指函数对单个自变量的偏导数，常用于分析函数在不同自变量方向上的变化率。

对于函数f(x1, x2, ..., xn)，它的一阶偏导数可以表示为：∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn2.高阶偏导数高阶偏导数是指函数对多个自变量的连续偏导数，用于描述函数在多个自变量方向上的变化率。

对于函数f(x1, x2, ..., xn)，它的二阶偏导数可以表示为：∂^2f/∂x1^2, ∂^2f/∂x1∂x2, ..., ∂^2f/∂xn^23.导数运算法则导数运算法则是求解偏导数的基本规则，包括：-常数导数法则：常数的导数为0，即∂/∂x(c)=0- 幂导数法则：幂函数（x^n）的导数为nx^(n-1)，即∂/∂x(x^n) =nx^(n-1)-指数函数导数法则：指数函数（e^x）的导数为e^x，即∂/∂x(e^x)=e^x- 对数函数导数法则：对数函数(ln(x))的导数为1/x，即∂/∂x(ln(x)) = 1/x- 乘法法则：对于函数f(x)和g(x)，其乘积的导数为(fg)' = f'g + fg'- 除法法则：对于函数f(x)和g(x)，其商的导数为(f/g)' = (f'g - fg')/g^24.链式法则链式法则用于求解复合函数的导数。

对于函数z=f(g(x))，其中f(x)和g(x)都可导，则其导数可以表示为：dz/dx = (df/dg)(dg/dx) = f'(g(x)) * g'(x)5.雅可比矩阵雅可比矩阵是多元函数的一阶偏导数按照特定顺序排列而成的矩阵。

J(f) = [∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn]6.黑塞矩阵黑塞矩阵是多元函数的二阶偏导数按照特定顺序排列而成的矩阵。

对于函数f(x1, x2, ..., xn)，它的黑塞矩阵可以表示为：H(f) = [[∂^2f/∂x1^2, ∂^2f/∂x1∂x2, ..., ∂^2f/∂x1∂xn],[∂^2f/∂x2∂x1, ∂^2f/∂x2^2, ..., ∂^2f/∂x2∂xn], ..., [∂^2f/∂xn∂x1,∂^2f/∂xn∂x2, ..., ∂^2f/∂xn^2]]以上是偏导数的公式总结，可以帮助您在求解偏导数的过程中快速正确地进行推导和计算。

高中数学(人教版)偏导数课件

在区域D内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等. 注本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.
2u 2u 2u 1 例8 证明函数 u 满足拉普拉斯方程 2 2 2 0 x y z r 2 2 2 r x y z . 其中
z 2z ( ) 2 f x x ( x , y ); x x x
z 2z ( ) f y x ( x , y ); x y y x
2z z ( ) f x y ( x, y) y x x y
z 2z ( ) 2 f y y ( x, y) y y y
结论偏导数存在连续
偏导数
一、偏导数
二、高阶偏导数
偏导数
一、偏导数
二、高阶偏导数
概念设 z = f (x , y)在区域 D 内具有偏导数
z f x ( x, y) , x
z f y ( x, y) y
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f (x, y) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数
z
M0
z f ( x , y ) 在点 M0 处的切线是曲线 y y0 M 0Tx 对 x 轴的斜率.
f y
x x0 y y0
Tx
y0
Ty
o x
y
d f ( x0 , y) y y0 dy
x0
z f ( x, y ) 在点M 处的切线是曲线 M 0T y 对 y 轴的斜率. 0 x x0
0 0 0
y y0
y y0
0
定义2 如果函数z=f (x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在 , 那么这个偏导数就是x 、y的函数，它就称为函数z=f (x,y)对自变量x的偏导函数，记作： z f , , zx , f x x x 类似地，可以定义函数z=f (x,y)对自变量y的偏导函数, z f 记作： , , zy , f y y y 通常把偏导函数简称为偏导数