偏导数和高阶偏导数

第二节
偏导数与高 阶偏导数
一、偏导数
1. 概念 定义4 定义4 设z = f ( x, y ),
( x, y ) ∈ D f , 且N ( P0 , δ ) ⊂ D f
(1)令 y = y0 , 而 x0取 ∆ x , 则对 x0的偏增量为： ∆ f x = f ( x0 + ∆ x , y 0 ) − f ( x0 , y 0 ) f ( x0 + ∆ x , y 0 ) − f ( x0 , y 0 ) ∆f x = lim ∃ 若极限 lim ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x 则称此极限为 f ( x , y )在点 ( x0 , y0 )处对 x的偏导数， ∂f 常记为： ∂x ∂z , , z ′ ( x0 , y0 ), f x′( x0 , y0 ) x ( x 0 , y 0 ) ∂x ( x 0 , y 0 )
一、偏导数
注： (1)定义中 :
对 f ( x , y )求 f x′ ( x , y )时，就是视 y 为常数 , 求 x 的导数；
对 f ( x , y )求 f y′ ( x , y )时，就是视 x 为常数 , 求 y 的导数；
(2)一元函数导数的四则运算法则也适合于多元函数；
∂z (3) 是一个整体，即 ∂z、 ∂x不能象 dy 、 dx 一样可 ∂x 以拆开单独运算。
2 2 2
6. 高阶偏导数 函数z = f ( x, y )的偏导数z x = f x′( x, y ), z y = f y′ ( x, y )一般都是x、y
的二元函数。如果这两 个函数的偏导数也存在 ，则称它们是 z = f ( x, y )的二阶偏导数。
按照对自变量求导次序的不同，有下列四个二阶偏导数： 按照对自变量求导次序的不同，有下列四个二阶偏导数：
( x , y ) ≠ ( 0,0 ) ( x , y ) = ( 0,0 )
, 讨论 f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 )点的
1 / 2 xy kx 2 k 解： lim 2 Q = lim = = 2 x→ 0 x + y 2 x → 0 (1 + k 2 ) x 2 1+ k 2 / 5 y = kx
( x0 , y0 )
∆f y
一、偏导数
(3)如果z = f ( x, y )在D f 内每一点P ( x, y )处对x的 偏导数都存在，则函数 对x的偏导函数存在
且记为： ∂z ∂f = = f x′ ( x , y ) = z ′ ( x , y ) x ∂x ∂x
同理，函数对 y的偏导函数记为： ∂z ∂f = = f y′ ( x , y ) = z ′y ( x , y ) ∂y ∂y
x→ 0 y→0
讨论 f ( x, y ) =| x + y | 在(0,0)点的连续性与可偏导性 。
∴⇒ f ( x, y ) =| x + y | 在(0,0)点连续；
f (0 + ∆x,0) − f (0,0) | ∆x | (2) Q f x′(0,0) = lim = lim ∃ / ∆x→0 ∆x →0 ∆x ∆x f ( 0, 0 + ∆ y ) − f ( 0 , 0 ) | ∆y | f y′ (0,0) = lim = lim ∃ / ∆y → 0 ∆y → 0 ∆ y ∆y ∴ f x′ ( 0 , 0 ) 、 f y′ ( 0 , 0 ) 都不存在。
y −1 1+ 2 2 x +y ∴ f x′(0,1) = 0 + 1 = 1
2
法1： f x′( x, y ) = − Q
( y − 1)2 x 2 2 2 (x + y )
2 2
+
y
2 2
1+ x
类似可求得：f y′ ( x, y ) = L更难、更繁！
4. 例子
0 = 0 ∆x 0 = 0 ∆y
例2
3. 可偏导数与连续的关系 是否
z = f ( x, y )在( x0 , y 0 )点连续
⇒ z = f ( x, y )在( x0 , y 0 )点
? f x′ ( x0 , y 0 )和f y′ ( x0 , y 0 )都存在
解： ) Q f ( 0 , 0 ) = 0 且 lim | x + y |= 0 = f ( 0 , 0 ) (1
3. 偏导数的几何意义
z Tx
L
M
复习一元函数导数
z = f ( x, y)
f ( x 0 + ∆x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) ∂z = lim ∆x ∂x M ∆ x → 0
z= f (x,y)
固定 y =y0
得曲线
z = f ( x, y) L： y = y 0
那么二元函数： 那么二元函数：
z = f ( x, y)在( x0 , y0 )点f x′( x0 , y0 )和f y′ ( x0 , y0 )都存在
是否
⇒ z = f ( x, y)在( x0 , y0 )点连续?
3. 可偏导数与连续的关系
xy 例1 设 z = f ( x , y ) = x 2 + y 2 0 连续性与可偏导性。
∆
一、偏导数
(2)令x = x0 , 而y0 取∆y, 则对y0的偏增量为：
f ( x0 , y 0 + ∆y ) − f ( x0 , y 0 ) 若极限 lim = lim ∃ ∆y →0 ∆y ∆y →0 ∆y 则称此极限为f ( x, y )在点( x0 , y 0 )处对y的偏导数，
∂f 常记为： ∂y ∂z , ∂y ( x0 , y0 ) , z ′y ( x 0 , y 0 ), f y′ ( x 0 , y 0 )
∴ f x′(0,1) = 1 1 同理：f (0, y) = arctan( − 2 ) 1 y 2 ⇒ f y′(0, y) = ⇒ f y′(0,1) = = 2 2 1 y 2 −1 1+ 2 wenku.baidu.com y 2 / y3
4. 例子
例5
∂z ∂z 设z = f ( x, y ) = x sin 2 y 求： , ∂x ∂y
得曲线
z = f ( x , y) x = x 0
0
由一元函数导数的几何意义： 由一元函数导数的几何意义：
∂z ∂y
x =x0
= tanβ
M
( x0 , y0 )
y
.
x
α
.
β
3. 可偏导数与连续的关系
一元函数有： 一元函数有：
y = f ( x)在x0点可导 ⇒ y = f ( x)在x0点连续
x x
z xx = ( x + 2)e sin y, z yy = − xe sin y
x x
z xy = ( x + 1)e cos y, z yx = ( x + 1)e cos y
x x
在该例中两个混合偏导数相等这并非偶然。 事实上，可以证明下述定理：
高阶偏导数续
定 理
z = f ( x, y ) 阶 阶 偏导数 z xy z yx 偏导数 D 续
∂z 解： = ( x sin 2 y )′x = sin 2 y ∂x ∂z = ( x sin 2 y )′y = x (sin 2 y )′y = 2 x cos 2 y ∂y
4. 例子
例6
设z = x
y
∂z ∂z (x > 0, ≠ 1) 求： , ∂x ∂y
?
∂z y y y −1 解： = (x )′x (= x ln x) = yx ∂x ? ∂z y y −1 = ( x )′y (= yx ) = xy lnx ∂y
k =1 k =2
xy ∴ lim f ( x , y ) = lim 2 x→ 0 x→ 0 x + y2
y→ 0 y→ 0
∃ ，即 f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 )点不连续 /
f ( 0 + ∆ x ,0 ) − f ( 0 ,0 ) 但 f x′ ( 0 , 0 ) = lim = lim ∆x→ 0 ∆x→ 0 ∆x f ( 0 ,0 + ∆ y ) − f ( 0 ,0 ) 而 f y′ ( 0 , 0 ) = lim = lim ∆y → 0 ∆y→ 0 ∆y 故 f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 的两个偏导数都存在。
5. 推广 由二元偏导类似可以推广定义三元以上的多元偏导：如 由二元偏导类似可以推广定义三元以上的多元偏导：
∂u ∂u ∂u u = f ( x, y, z )的u x、u y、u z或 、 、 ∂x ∂y ∂z
例6
∂r ∂r ∂r 设r = x + y + z , 证明： + + = 1 ∂x ∂y ∂z
0
y =y0
由一元函数导数的几何意义： 由一元函数导数的几何意义：
∂z ∂x
= tanα
M
( x0 , y0 )
y
x
α
. .
同理， 同理，
∂z ∂y
=?
M
3. 偏导数的几何意义
z Tx
L
M
z = f ( x, y)
f ( x 0 , y 0 + ∆y ) − f ( x 0 , y 0 ) ∂z = lim ∆y ∂y M ∆ y → 0
二阶及二阶以上的 偏导数统称为
高阶偏导数。
∂3 z ∂ ∂2 z = z xxy = 2 2 ∂x ∂y ∂y ∂x
高阶偏导数续
例7 设z = xe x sin y , 求它的四个二阶偏导数
解：z x = ( x + 1)e sin y, z y = xe cos y
2 2 2 2 2 2
∂r x x 2 2 2 解： Q = ( x + y + z )′x = = 2 2 2 ∂x r x +y +z ∂r y ∂r z 由对称性 ⇒ = , = ∂y r ∂z r x y z x2 + y 2 + z 2 ∴ 左边 = + + = = 1 = 右边 2 r r r r
阶 偏导数 u = f ( x, y , z )
偏导数
续 数 高阶
导
阶
偏导数 续
∂ 3u ∂ 3u ∂ 3u ∂ 3u ∂ 3u ∂ 3u = = = = = ∂x∂y∂z ∂x∂z∂y ∂y∂x∂z ∂y∂z∂x ∂z∂x∂y ∂z∂y∂x
例3
y2 −1 设 z = f ( x , y ) = arctan 2 + y 2 ln( x + 1 + x 2 ) x + y2 求： f x′ ( 0 ,1) 和 f y′ ( 0 ,1)
法2： f ( x,1) = ln(x + 1 + x ) ⇒ f x′( x,1) = Q
2
1 1+ x2
∂ ∂z ∂ 2 z ∂ ∂z ∂ 2 z ′′ ′′ = 2 = z yy = f yy ( x, y ); = 2 = z xx = f xx ( x, y ); ∂y ∂y ∂x ∂x ∂x ∂y ∂ ∂z ∂ 2 z ∂ ∂z ∂ 2 z ′′ ′′ = = z xy = f xy ( x, y ); = ∂y ∂y∂x = z yx = f yx ( x, y ) ∂y ∂x ∂x∂y ∂x 其中第二行的两个偏导数称为混合偏导数。 其中第二行的两个偏导数称为混合偏导数。 3 z ∂ ∂ ∂2 z = z xxx = 2 同理可以定义二阶以上的偏导数： 同理可以定义二阶以上的偏导数： 3 ∂x ∂x ∂x
3. 可偏导数与连续的关系
由以上两例可得如下结 论： ⇒ / f ( x, y )在( x0 , y0 )连续 f ( x, y )在( x0 , y0 )可偏导 ⇐ /
4. 例子
例3
y2 −1 设 z = f ( x , y ) = arctan 2 + y 2 ln( x + 1 + x 2 ) x + y2 求： f x′ ( 0 ,1) 和 f y′ ( 0 ,1)
z= f (x,y)
固定 x =x0
0
x =x0
( x0 , y0 )
y
.
x
α
3. 偏导数的几何意义
z Ty
M
z = f ( x, y)
f ( x 0 , y 0 + ∆y ) − f ( x 0 , y 0 ) ∂z = lim ∆y ∂y M ∆ y → 0
Tx
L
z= f (x,y)
固定 x =x0