循环小数
循环小数
混循环小数？ 判断： 无限小数比有限小数大。
0.54848与0.54848…有什么区别？
（
）
帮循环小数、有限小数、无限小数找到家。
小
无 限 小 数
数
有 限 小 数
循环小数
属于无限小数
2.循环小数的表示方法。
写循环小数的时候，为了简便，小数的循
环部分只写出第一个循环节，并在这个循 环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。
一个循环小数的小数部分，依次重复出 现的数字，叫做循环小数的循环节。 依次不断重复出现的数字是？
3.4666 …… （
6
）
0.24382438 …… （ 2438 ） 8.4747 …… 0.44222 …… （ 47 （ ） ）
2
判断下列各数，哪些是循环小数？并说明理由。 0.125 0.471471… 7.333… 23.232323
4.890 7.275
..
5 7
4.9 7.3
4.89 7.28
4.891 7.275
. .
0.00707…
0.101101…
把上面的循环小数用简便方法表示： 7.333… 1 0.101101… =0.101
2.比一比：
0.33 ＜ 0.3
.
..
4.3535„＝ 4.35 1.45 ＞ 1.45
6.9797 „ ＞ 6.979
.
..
3.选一选
（1）循环小数（ A ）无限小数，无限 小数（ C ）循环小数。 A、是 B、不是 C、不一定是 （2）3.223223 … 的循环节是（ B ）。 A、233 B、223 C、322
… 64.2454545 7.87 0.666 …
循环小数的分类
循环小数的分类
循环小数可分为纯循环小数和混循环小数。
一个数的小数部分从某一位起，一个或几
个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数。
两个整数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种，得到有限小数；另一种，
得到无限小数。
从小数点后某一位已经开始依次不断地重复发生前一个或一节数字的十进制无限小数，叫作循环小数，如 2....*（搭循环小数），35....（循环小数），20.…（循环小数）等，其中依次循环不断重复发生的数字叫做循环节。
循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两
位上方各添一个小点。
循环小数可以利用等比数列议和公式的方法化成分数，所以循环小数均属有理数。
将纯循环小数改写成分数，分子是一个循环节的数字组成的数；分母各位数字都是9，9的个数与循环节中的数字的个数相同。
将搭循环小数重写成分数，分子就是不循环部分与第一个循环节连成的数字共同组成
的数，乘以不循环部分数字共同组成的.数之差；分母的头几位数字就是9，末几位数字就是0，9的个数跟循环节的数位相同，0的个数跟不能循环部分的数位相同。
循环小数打点规则
循环小数打点规则
摘要：
1.循环小数的定义
2.循环小数的分类
3.循环小数的打点规则
4.循环小数的应用
正文：
循环小数是一种特殊的小数，它的小数部分有一个或多个数字不断重复出现。
根据循环节的长度，循环小数可以分为纯循环小数和混循环小数。
纯循环小数的循环节从小数部分的第一位开始，而混循环小数的循环节则从非第一位开始。
循环小数的打点规则是指在表示循环小数时，如何用符号来表示循环节。
一般采用圆点（.）来表示循环节，即将循环节的首位和末位数字上面的圆点去掉，其他的数字上面的圆点保留。
例如，对于纯循环小数3.12222…，我们写作3.1·2·2，其中的圆点表示循环节。
循环小数在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。
例如，在计算机程序中，循环小数常常用来表示无限循环的过程。
此外，循环小数也是金融、统计等领域中常用的一种数据表示方式。
什么叫循环小数
什么叫循环小数什么叫循环小数\r\r在数学中，循环小数是一种有限小数或无限小数中的一种特殊形式。
循环小数可以被表示为一个整数部分和一个叫做循环节的无限重复的数字串。
循环小数常常和无理数联系在一起，它们的无限数字序列不具有循环结构。
循环小数可以通过将一个分数用十进制形式表示来得到。
分数是一个有理数，可以表示为两个整数之间的比值。
例如，1/3 =0.3333333333...，0表示整数部分，33表示循环节的数字序列。
为了更好地理解循环小数，我们可以通过一些例子来进行说明。
考虑一个分数4/7。
我们可以使用长除法来将这个分数转化为十进制的循环小数。
我们将4除以7，得到的商是0，余数是4。
将余数乘以10，再除以7，得到的商是5，余数是5。
再将余数乘以10，再除以7，得到的商是7，余数是1。
以此类推，可以得到一个无限的数字序列：0.57142857142857...。
在这个例子中，循环节是142857，这个数字序列无限重复。
在数学中，循环小数可以用括号来表示循环节。
对于上述例子，我们可以用括号来表示循环节：0.571(428571)。
可以通过将循环小数转化为分数来得到原始有理数。
以前面的例子为例，我们可以将0.57142857142857...转化为分数。
假设这个循环小数为x，我们可以得到以下方程：7x = 5.7142857142857...接下来，我们通过变换来消除循环节。
我们将10倍的循环小数减去原始的循环小数：10x - x = 5.7142857142857... - 0.57142857142857...得到9x = 5.142857142857...然后，我们可以将9x除以9，得到：x = 5.142857142857... / 9通过计算，我们可以得到结果：x = 4/7可以看出，得到的结果与原始的分数4/7相同。
这表明，循环小数可以表示有理数，并且有理数可以转化为一个有限或无限的循环小数。
循环小数的计算
循环小数的计算循环小数是一类特殊的无理数，它们的小数部分会循环地重复出现。
在计算循环小数时，我们需要关注到循环节的长度和开始位置。
下面将具体讨论循环小数的计算方法。
一个循环小数可以用有限个正整数表示，其中有限个正整数称为不循环部分，整个循环节称为循环部分。
我们以一个例子来说明循环小数的计算方法。
假设我们要计算 1/3 的循环小数表示。
首先，我们可以将 1/3转化为十进制小数：1 ÷ 3 = 0.3333...。
我们发现小数部分 0.3333... 是一个无限循环的小数，循环节是3。
循环节的长度是 1，即只有一个数字在重复。
开始位置是第一位小数。
下面我们将具体介绍循环小数的计算方法。
1. 设定除法初始状态：将被除数放在除号的上方，除数放在除号的下方。
2. 开始计算商的整数部分：用被除数的整数部分除以除数，并将商的整数部分写在商的下方。
3. 计算商的小数部分：将被除数的小数部分（若有）乘以10，并将结果放在除法算式的右边。
将结果的整数部分作为商的下一位小数，并将结果的小数部分再次乘以10。
4. 检查是否出现循环节：如果商的小数部分与之前的某一次计算的结果相同，则说明出现了循环节，此时计算可以终止。
循环节的长度即为计算过程中出现重复的次数。
5. 循环节开始位置的确定：在商的小数部分中，从循环节的第一个数字开始，直到循环节重复出现前的最后一个数字，称为不循环部分。
循环节的剩余部分即为循环部分。
通过上述计算方法，我们可以得到循环小数的表示。
对于循环小数的计算，可以利用手算、计算器或者编程语言进行处理。
在实际应用中，循环小数的计算对于无理数近似值的表示以及数学问题的解决都有重要的意义。
循环小数的性质也是数论中的热门研究方向之一。
总之，循环小数的计算方法主要包括将除法转化为十进制小数、计算商的整数部分和小数部分、检查是否出现循环节以及确定循环节的开始位置。
对于循环小数的计算，我们可以运用手算、计算器或编程语言等方法来求解。
循环小数的概念
循环小数的概念
循环小数是一种特殊的小数表达式，它以相同的数字或组合开头，通过无限循环结尾。
循环小数这种循环结构使其有几个显著的数学特性，如无穷性、极限性、对称性及有趣的图形特性等。
例如，循环小数0.9，其中0.9是小数点后的三位数字。
它的数学特性是永不终止的无限循环，每三位就会重复自身的这三位小数。
这意味着，即使字数无限增加，其整体意义仍然相同。
此外，它也具有不变性，即在数值范围之内它总是0.9。
而另一个循环小数的例子是0.142857，一个非常熟悉的数字，它经过无限循环从第一位到最后一位，都是142857或者重复下去。
这种循环性表示它也具备不变性，即无论小数字数字有多少，它总是按142857结尾。
总之，循环小数是一种特殊小数表达式，其有一些显著特性，如无穷性、极限性、对称性及具有有趣的图形性质等。
它也具有独特的数学价值，以及给教室带来了更多有趣的思考和讨论。
循环小数表示方法
循环小数表示方法
循环小数，顾名思义就是一种无限循环的小数。
它的表示方法有多种，我们可
以通过不同的方式来将循环小数表示出来。
接下来，我们将介绍几种常见的表示方法。
首先，我们可以使用带括号的表示方法来表示循环小数。
比如，当我们遇到
0.3333...这样的循环小数时，可以用0.(3)来表示。
这种表示方法简洁明了，一目了然，非常容易理解。
其次，我们还可以使用带横线的表示方法来表示循环小数。
当我们遇到
0.1666...这样的循环小数时，可以用0.16-来表示。
这种表示方法在一些场合下也很
实用，尤其是在纸质文档中，带横线的表示方法更加清晰美观。
除了以上两种表示方法，我们还可以使用分数来表示循环小数。
这种表示方法
可以将循环小数转化为分数形式，更加直观清晰。
比如，0.4545...可以表示为
45/99。
这种表示方法在数学运算中也很方便，可以直接进行分数运算，避免了循
环小数带来的繁琐计算。
另外，我们还可以使用无限不循环小数的表示方法来表示循环小数。
当我们遇
到0.121212...这样的循环小数时，可以用0.12(无限)来表示。
这种表示方法将循环
部分和非循环部分分开，更加清晰明了。
总的来说，循环小数有多种表示方法，每种方法都有其独特的优势和适用场合。
我们可以根据实际情况选择合适的表示方法来表示循环小数，使其更加直观清晰。
希望本文介绍的表示方法能够帮助大家更好地理解和运用循环小数。
关于什么是循环小数
关于什么是循环小数在数学中，循环小数是基础学习知识之一，下面是unjs小编为您整理关于循环小数，欢迎阅读!循环小数循环小数，是指从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，可分为有限循环小数,如：1.123123123(不可添加省略号)和无限循环小数，如：1.123123123……(有省略号)。
前者是有限小数，后者是无限小数。
循环小数介绍循环小数英文名：circulating decimal两数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种，得到有限小数。
一种，得到无限小数。
从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，如 2.1666...*(混循环小数)，35.232323...(循环小数)，20.333333…(循环小数)等，被重复的一个或一节数字称为循环节。
循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。
例如：2.966666... 缩写为 2. 96(6上面有一个点;它读作“二点九六，六循环”)35.232323…缩写为35.23(2、3上面分别有一个点;它读作“三十五点二三，二三循环”)循环小数可以利用等比数列求和(附链接：等比数列)的方法化为分数。
例如图中的化法。
所以在数的分类中，循环小数属于有理数。
循环小数一个“特殊”性质我们熟悉的七分之几化成循环小数为：以第一个分数为例：取它的循环节142857，共六位，从中间分成两段：142和857，对应相加!看看下图，发现了什么吗?没错!999!再试试其他几个循环小数的循环节，也是这样吗?我们再换一个分数。
比如1/11=0.090909……2/11=0.181818……3/11=0.272727…………循环节都是两位，分成两段，对应相加，9!再看一个：1/13=0.0769********……2/13=0.153846153846……3/13=0.230769230769…………第一个：循环节为076923，6位，分成两段， 076和923，对应相加：999!第二个：循环节为153846，6位，分成两段，153和846，对应相加，999!……再看一个长一点的：1/17=0.0588235294117647……2/17=0.1176470588235294……第一个：循环节为0588235294117647，16位，分成两段，05882352和94117647，对应相加，99999999!第二个：循环节为1176470588235294，16位，分成两段，11764705和88235294，对应相加：99999999!……一个调查：没错!7、11、13、17都是质数!其他质数呢?有没有兴趣试一试?特别是，有兴趣拿出一张大一点的纸，计算一下1/109吗?还有，背后的原因是什么呢?您会提出这个问题，并且试图解决吗? [关于什么是循环小数]。
循环小数
循环小数化分数要两种类型可分：1.纯循环小数循环节有几位分母就写几个9，循环节是什么分子就写什么，如：0.33……＝3/9＝1/32.混循环小数循环节有几位分母就写几个9，不是循环节的有几位就在“9”后面加几个0，分子是第一个循环节前的数空大相应的倍数相减，如：0.833……＝83.33……－8.33……/90＝75/90＝5/6一、纯循环小数化分数从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。
怎样把它化为分数呢？看下面例题。
把纯循环小数化分数：纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9。
9的个数与循环节的位数相同。
能约分的要约分。
二、混循环小数化分数不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。
怎样把混循环小数化为分数呢？把混循环小数化分数。
（2）先看小数部分0.353一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。
分母的头几位数是9，末几位是0。
9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
三、循环小数的四则运算循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。
从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。
有限小数化成分数直接将小数点去掉，分母对应化成十百千万等。
再约分。
例如：0.333.....＝3/9=1/30.214214214214214....=214/999简单说每一个循环节为分子，循环节有几位数分母就写几个90.3333......循环节为3 0.214.....循环节为2140.52525252....循环节为52，所以0.525252...＝52/990.35....=35/99例如：0.333333……循环节为3则0.3=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3^10(-n)+……前n项和为：30.1(1-(0.1)^(n))/(1-0.1)当n趋向无穷时（0.1）^（n）=0因此0.3333……=0.3/0.9=1/3注意：m^n的意义为m的n次方。
五年级数学循环小数
五年级数学循环小数
一、循环小数的定义
循环小数是一种特殊的分数小数，它具有特定的循环特征。
在数学上，循环小数被定义为具有无尽循环模式的数字序列。
例如，1/3=0.333333……是一个循环小数，因为它的小数部分3是不断重复的。
二、循环小数的表示方法
循环小数通常可以用两种方式表示：一般形式和特殊形式。
1.一般形式：通过在数字后面添加一个无穷的小数来表示循环小数。
例如，
1/3=0.333333……可以表示为1.333333……
2.特殊形式：通过在数字后面添加一个循环节来表示循环小数。
例如，
1/3=0.333333……可以表示为0.3（3无限循环）。
三、循环小数的性质
循环小数有一些重要的性质：
1.循环小数的整数部分始终保持不变。
2.循环小数的循环节始终重复出现。
3.循环小数的和、差、积和商都可以表示为循环小数。
4.循环小数的倍数仍然为循环小数。
四、循环小数的简单运算
对于循环小数的简单运算，可以遵循以下步骤：
1.将循环小数转换为分数。
2.对分数进行运算。
3.将结果再转换为循环小数（如果需要的话）。
五、应用循环小数解决实际问题
循环小数在现实生活中有着广泛的应用。
例如，在时间计算中，我们常常会遇到“一刻钟”这样的表述，其中的“一刻”实际上是15分钟，是一个循环
小数的表示。
此外，循环小数也出现在物理学、工程学和其他科学领域中。
通过对循环小数的理解，我们可以更好地解决实际问题。
循环小数点
循环小数点
摘要：
一、循环小数的概念与特点
二、循环小数的分类
三、循环小数在数学中的应用
四、循环小数的计算与处理方法
五、循环小数在实际生活中的应用
六、如何判断一个数是否为循环小数
七、总结
正文：
循环小数是数学中一种特殊的小数，它具有以下特点：小数部分有一段数字不断重复出现。
例如，1/3=0.33333...，其中3不断重复。
循环小数可分为两类：纯循环小数和混循环小数。
纯循环小数是指小数部分仅包含一个数字或几个数字的不断重复，如0.33333...。
而混循环小数是指小数部分既有数字的重复，又有其他数字的介入，如0.123123123...。
在数学中，循环小数有着广泛的应用。
例如，在分数的计算中，通过将分子和分母同时除以它们的最大公约数，可以将分数化为有限小数或循环小数。
此外，循环小数还出现在三角函数、指数函数、对数函数等数学运算中。
要计算和处理循环小数，我们可以采用以下方法：
1.利用长除法将循环小数转化为分数。
2.对循环小数进行四则运算时，需注意循环节的处理。
3.使用循环小数的近似值进行计算，如莱布尼兹级数、自然对数等。
循环小数不仅在数学领域具有重要作用，还在实际生活中绽放光彩。
例如，在金融、物理、工程等领域，循环小数可以帮助我们更精确地表示和计算某些物理量。
如何判断一个数是否为循环小数呢？我们可以通过以下方法：
1.观察小数部分是否存在数字的重复。
2.利用循环小数的定义，判断小数部分是否为有限小数或无限循环小数。
总之，循环小数作为一种特殊的小数，既有理论价值，又有实际应用。
循环小数的简单表示方法
循环小数的简单表示方法循环小数的简单表示方法一、简介循环小数是一种不定小数，也称作无限循环小数，它是一种复杂的数学概念，它在数学实践中，一般用简记方式来表示。
二、简记法简记法是用一个符号来代表复杂的数字，帮助人们快速记忆。
简记法常用来表示循环小数，它由三部分组成：比特率，循环节以及权数。
1.比特率：比特率是指循环小数的位数，它的取值范围一般为2到16。
2.循环节：循环节是指位数形成的圈，表征循环小数的最小单位。
其中从右边开始的第一个不同的数字为该循环节的第一位，第二个不同的数字为第二位，以此类推。
3.权数：权数即对应其小数部分权值，由2位16进制数字表示，其范围为00-FF。
简记法中的三部分组成，比特率、循环节以及权数都可以根据实际情况自行确定，但循环节和权数要搭配使用，所确定的比特率不能超过循环节，权数不能大于比特率。
三、示例考虑一个循环小数，它的比特率为3，循环节为其小数部分的第一位即多少位数以及最后一位的十六进制标识，权数为第一位和最后一位之间数字的十六进制标识，即可表示为：3-n-m。
四、表示法如果以循环小数的格式进行表示，则可以用一个词语表示，表示法由比特率、小数部分和权数组成，其形式为：m比特率置n，权m，如3比特率置3，权6，表示小数0.123456循环。
五、转换法例如，一个循环小数a=0.125，比特率=4，可以先转换成十进制，即a=0.125=1/8=0.0001，然后按照四比特率进行编码，即 0000 1000 0000 0000，将其转换成二进制约分，可以转换成 0000 1000 0000 0000=0.1000=8/16，即a=0.125=8/16，再把8换算成十六进制表示，可以得出，a=4-8-8，表示4比特率置8，权8表示循环小数0.125。
六、结论循环小数是一种常见的不定小数，简记法、表示法以及转换法都能够帮助人们快速记忆循环小数，并能够根据实际需要调整比特率以及权数，以此来更有效的表示循环小数。
循环小数知识点
循环小数知识点一、循环小数的定义。
1. 概念。
- 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
例如：0.333…，1.252525…等。
- 其中依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。
如0.333…的循环节是“3”，1.252525…的循环节是“25”。
二、循环小数的表示方法。
1. 简便记法。
- 写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个小圆点。
- 例如：0.333…写作0.3̇；1.252525…写作1.2̇5；如果循环节是三个及以上数字，如3.142857142857…，它的循环节是“142857”，就写作3.1̇42857̇。
2. 一般写法。
- 按照小数的写法，写出若干个循环节，后面加上省略号。
例如，循环节是“3”的循环小数可以写成0.333…；循环节是“25”的循环小数写成1.252525…。
三、循环小数与分数的关系。
1. 纯循环小数化分数。
- 纯循环小数化分数的方法是：用一个循环节组成的数作为分子，分母的各位数字都是9，9的个数与循环节的位数相同。
- 例如：0.3̇=(3)/(9)=(1)/(3)；0.2̇5=(25)/(99)。
2. 混循环小数化分数。
- 混循环小数化分数的方法是：分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节末位数字所组成的数减去不循环部分数字所组成的数之差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数跟循环节的位数相同，0的个数跟不循环部分的位数相同。
- 例如：将0.23̇化为分数，不循环部分是“2”，循环节是“3”。
分子是23 - 2=21，分母是90，所以0.23̇=(21)/(90)=(7)/(30)。
四、循环小数的大小比较。
1. 方法。
- 比较循环小数的大小，先把循环小数的简便形式还原成一般形式（写出若干个循环节加省略号的形式），再按照小数大小比较的方法进行比较。
- 例如：比较0.3̇和0.33的大小。
循环小数的分类
循环小数的分类
循环小数可分为纯循环小数和混循环小数。
一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数。
扩展资料
循环小数定义：
两个整数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种，得到有限小数；另一种，得到无限小数。
从小数点后某一位开始依次不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，如2.1666...*（混循环小数），35.232323...（循环小数），20.333333…（循环小数）等，其中依次循环不断重复出现的数字叫循环节。
循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。
循环小数可以利用等比数列求和公式的方法化为分数，所以循环小数均属于有理数。
循环小数分类：
1、纯循环小数
将纯循环小数改写成分数，分子是一个循环节的数字组成的数；分母各位数字都是9，9的个数与循环节中的数字的个数相同。
2、混循环小数
将混循环小数改写成分数，分子是不循环部分与第一个循环节连成的数字组成的数，减去不循环部分数字组成的.数之差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数跟循环节的数位相同，0的个数跟不循环部分的数位相同。
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循环小数的表示
一、引言在数学领域，小数是表示实数的一种重要方式。
小数可以分为有限小数和无限小数。
有限小数是指小数点后有限个数字的小数，而无限小数则是指小数点后无限个数字的小数。
在无限小数中，又分为循环小数和无限不循环小数。
本文将重点介绍循环小数的表示方法。
二、循环小数的定义循环小数是指小数点后有一段数字无限重复出现的小数。
例如，0.3333...（即0.3循环）和0.142857142857...（即0.142857循环）都是循环小数。
三、循环小数的表示方法1. 按照循环部分重复出现的次数进行表示循环小数可以用括号来表示循环部分。
例如：- 0.3333...可以表示为0.(3)- 0.142857142857...可以表示为0.142857(142857)2. 使用分数表示法循环小数可以用分数表示法来表示。
具体步骤如下：（1）将循环小数分为整数部分和小数部分。
（2）将小数部分乘以一个适当的10的幂次，使得小数点后只有一位非循环数字。
（3）将乘以10的幂次后的循环小数减去原循环小数，得到一个整数。
（4）将得到的整数作为分子，10的幂次作为分母，得到循环小数的分数表示。
例如：- 0.3333...可以表示为1/3- 0.142857142857...可以表示为1/73. 使用等比数列求和公式表示循环小数也可以用等比数列求和公式来表示。
具体步骤如下：（1）将循环小数分为整数部分和小数部分。
（2）将小数部分乘以一个适当的10的幂次，使得小数点后只有一位非循环数字。
（3）将乘以10的幂次后的循环小数减去原循环小数，得到一个整数。
（4）将得到的整数作为首项，10的幂次作为公比，构造一个等比数列。
（5）利用等比数列求和公式求出等比数列的和，得到循环小数的表示。
例如：- 0.3333...可以表示为1/3，等比数列为1, 0.1, 0.01, ...- 0.142857142857...可以表示为1/7，等比数列为1, 0.142857, 0.00142857, ...四、循环小数的性质1. 循环小数一定是无限小数。
循环小数的知识
循环小数的知识循环小数是数学中一个重要的概念，它常常出现在除法运算或计算无理数时。
循环小数指的是一个无限不循环的小数，即小数部分存在一定的规律重复出现的情况。
本文将从循环小数的定义、性质以及应用等方面进行介绍。
一、循环小数的定义循环小数是指小数部分存在一定的规律重复出现的无限小数。
它可以用一个带括号的数字串表示，括号中的数字表示循环的部分。
例如，0.3333...可以表示为0.(3)，0.142857142857...可以表示为0.(142857)。
循环小数可以用有限小数表示，例如1/3=0.3333...可以表示为1/3=0.3。
二、循环小数的性质1. 循环小数是无理数。
循环小数是无限不循环的，它不能被有限小数表示，所以它是无理数。
2. 循环小数可以通过有理数表示。
循环小数可以通过一个有限小数和一个无限循环小数相加得到。
例如，0.25=0.2+0.05，其中0.2是有限小数，0.05是无限循环小数。
3. 循环小数可以通过分数表示。
循环小数可以通过一个整数和一个循环节相除得到。
例如，1/3=0.3333...，其中1是整数，3是循环节。
4. 循环小数可以通过无理数表示。
循环小数可以通过一个无理数和一个无限循环小数相加得到。
例如，π=3.1415926535...可以表示为3+0.1415926535...，其中3是无理数，0.1415926535...是无限循环小数。
三、循环小数的应用1. 循环小数的除法运算。
循环小数可以通过长除法进行计算，找到循环节的规律，从而将循环小数转化为有限小数。
2. 循环小数的近似计算。
循环小数可以通过截断或近似计算得到一个有限小数，使得计算更加简便。
3. 循环小数的转化。
循环小数可以通过分数转化为有理数，或者通过无理数转化为无限循环小数。
4. 循环小数的应用于几何学。
循环小数可以用于计算圆周率、黄金分割等几何学中的问题。
循环小数是指小数部分存在一定的规律重复出现的无限小数。
循环小数的计算
循环小数的计算循环小数是指小数部分有一些数字或数字组合不断地循环出现的数字。
在数学中，循环小数可以用有限小数或无限小数的形式来表示。
在这篇文章中，我们将探讨循环小数的计算方法和一些相关概念。
让我们从一个简单的例子开始。
考虑数字1/3，它可以表示为一个无限循环小数0.3333...，其中数字3不断重复出现。
为了计算这个循环小数，我们可以使用长除法的方法。
我们将3除以1，得到商3和余数0。
将余数0乘以10，得到新的被除数0。
然后，我们将3除以10，得到商0和余数3。
将余数3乘以10，得到新的被除数30。
重复这个过程，直到我们得到一个重复的余数。
这个过程可以用以下的步骤来表示：1/3 = 0.3333...3/10 = 0.330/100 = 0.3300/1000 = 0.3因此，1/3可以表示为0.3333...或0.3。
接下来，让我们考虑另一个例子：数字2/7。
这个循环小数可以表示为0.285714285714...，其中数字285714不断重复出现。
同样地，我们可以使用长除法的方法来计算这个循环小数。
我们将2除以7，得到商0和余数2。
将余数2乘以10，得到新的被除数20。
然后，我们将20除以7，得到商2和余数6。
将余数6乘以10，得到新的被除数60。
重复这个过程，直到我们得到一个重复的余数。
这个过程可以用以下的步骤来表示：2/7 = 0.285714285714...20/7 = 2.857142857142...20/7 = 2.857142857142...20/7 = 2.857142857142...因此，2/7可以表示为0.285714285714...或0.285714。
循环小数的计算方法实际上就是不断地进行长除法，直到我们得到一个重复的余数。
当我们得到一个重复的余数时，我们就可以确定循环小数的循环节，并将其写在小数点后面。
除了长除法之外，还有其他方法可以计算循环小数。
例如，我们可以将循环小数表示为分数的形式。
循环小数
求一求：
2、写出下列循环小数的近似值（保留三位小 数）
1.29090… . 0.4 7.275275… .. 7.275
比一比：
0.33 ＜ 0.3
.
..
4.3535…＝ 4.35 1.45 ＞ 1.45
6.9797 … ＞ 6.979
.
..
挑战一下：
已知3.46507250725072 是一 已知3.46507250725072…是一 3.46507250725072 个循环小数，那么这个循环小数的 个循环小数，那么这个循环小数的 小数点后面第100位是几？ 位是几？ 小数点后面第 位是几
4.5454是循环小数吗？ 4.5454是循环小数吗？ 是循环小数吗 0.54848…是循环小数吗？ 0.54848…是循环小数吗？ 0.54848与0.54848…有什么区别？ 0.54848与0.54848…有什么区别？
判断下面的说法正确吗？ 判断下面的说法正确吗？
8.3232是循环小数 是循环小数。 ①8.3232是循环小数。 （ 循环小数是准确值。 ②循环小数是准确值。
第一名 王鹏 75秒 75秒
第二名 李强 88秒 88秒
第三名 张涛 96秒 96秒
李强的速度是多少？ 李强的速度是多少？
400÷ 400÷88= 4.5454 ···
循环小数：一个数的小数部分， ﹡循环小数：一个数的小数部分，从某 几个数字 一位起， 一位起，一个数字或者几个数字依次不断重 复出现，这样的小数叫做循环小数。 复出现，这样的小数叫做循环小数。
小数，叫做无限小数。 4.5454… 0.9375… 小数，叫做无限小数。如4.5454…和0.9375…
判断
无限小数比有限小数大。 无限小数比有限小数大。 （
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人教版五年级数学上册《循环小数》这一节我是在学生学习了小数除法的意义、小数除法的计算及商的近似值的基础上进行教学的。
我是第一次讲授这个知识点，备课时，没有全面的把握整个知识点的重、难点；上课时，对一些细节的东西也没有重点突破。
结果，一堂课下来，我自己感慨万千，自认为水到渠成的事实际上是有点好高骛远。
为了我们今后在这个知识点的教学上少走弯路，我对整个教学环节进行了认真的反思，以供大家共勉。
一、教学目标的确立。
在备课前，我把教材通读了两遍，认真分析了教材。
这节课我认为基本上要达到以下目标：1．让学生在自主探究、合作学习中理解并掌握循环小数、无限小数、有限小数、无限不循环小数以及循环节的意义，正确读写循环小数。
2．能用循环小数表示除法里的商。
3．培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，提高学生抽象概括能力、观察比较能力。
4、激发学生探究的欲望，感受数学的美与乐趣，增强学生学好数学的兴趣。
这个教学目标还是切合实际，只是要达到这个目的不是一件容易的事。
二、重点、难点突破。
依据教学的目标，我认为：重点：理解循环小数的意义，会用简便方法读写循环小数。
难点：怎样判断除得的商是循环小数。
在实际的教学中，这两点我做的都不理想，没有达到预期的目标。
三、教法的选择。
《国家数学课程标准》倡导有意义的数学学习方式，既“自主探索、合作交流与实践创新的数学学习方式，从学生的生活经验和已有的知识背景出发，向他们提供充分地从事数学活动和交流的机会，促使他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想和方法，同时获得广泛的数学活动经验”。
我上网查阅了许多优秀教师的这节课的教案。
很多老教师选择了用故事来引导学生认识循环现象，进而学习新知。
而我在分析了教材之后，采用了复习旧知的导入方法。
在做练习中发现问题，进而提出问题，激发学生产生解决问题的动力。
事实证明：教法选择十分重要，关系到上课的成败。
四、教学过程的反思。
一堂课下来，说实话自我感觉还不错。
课堂气氛也好，自己的教学环节设计也好。
但是决定教学效果的不是凭表象，而是由学生完成课堂作业的情况来定的。
从学生的作业可以看出，我这一节课还是有许多值得反思的地方。
（一）复习旧知，引入主题。
1、列竖式计算。
400÷75 78.6÷11对于已经学习了小数除法计算和商的近似值的同学来说，这种题目做下来并不是很难。
难就难在学生会发现一个问题，这两个题目都是除不尽的。
聪明的学生马上联想到，除不尽时商要取近似值。
于是纷纷问我，老师商要保留几位小数啊呀！这个时候我提醒学生，你们发现了什么的规律性的东西？学生很快得出了：这两个除法算式不但除不尽，而且还很有趣的是：400÷75的余数都是不断重复出现“25”，商的小数部分总是重复出现“3”，总也除不尽。
而78.6÷11的余数依次不断重复出现“5”和“6”，这样商也就不断商4和5。
既然我们知道了商的情况，我们不用近似值表示，看能不能帮老师想一个方法来表示这个商。
一听到帮老师想办法，学生就来劲。
有同学说用语文文字来表示；有的说用语文中的省略号……来表示；有预习习惯的同学就知道书上好像有答案。
不失时机的，我让学生阅读书上P27、28内容。
反思：引入环节让学生在计算中感受循环现象，亲历循环小数概念的形成过程，在理解的基础之上，发挥了学生的创造潜能，让学生大胆地用自己的方式表示循环小数，为学生提供了自主探究的空间和平台，让每个学生都参与其中，从中获得学习体验和感悟。
然而，学生对于循环、循环现象等词语不是十分清楚。
这时我就想到网上老师们用讲故事、找日常生活中的重复现象的良苦用心。
通过寻找生活中的重复现象及用语言描述循环现象的导入，学生进一步加深对循环现象的理解，同时体会到生活中蕴含着丰富的数学知识。
这将为循环小数的教学作好铺垫。
同时提醒我以后的教书前还是要分析好教材、备好学生，选择一条好的适合学生的导入方式。
教学不是想当然，千万不能急于求成。
（二）探究循环小数的新知。
在学生阅读之后，我请学生回答：5.333···7.14545···1、这种小数有什么特点，叫什么小数？（很快得出循环小数）2、什么样的数叫循环小数呢？（一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
）3、循环小数的关键是什么呢？（小数部分的一个或几个数字不断重复出现。
）4、循环小数中循环出现的数字叫什么？（这个小数的循环节，5.333···中只有3循环,所以循环节是3;而7.14545···中是45两个数字循环,所以循环节是45）5、循环小数的简便写法。
（在重复出现的数字上，点上小数点，循环节是多位的，只在循环节的首尾两个数上点上小数点。
）5.333···= 5.30 7.14545···= 7.14050 7.815815···=7.801506、练习：把下列循环小数用简便方法表示。
2.08333···= 33.131313···=4.231919···= 0.136136···=3.3333···=4.179179=5.234543···=反思:循环小数的知识点看上去容易简单.实际上做了上题的练习就会发现几个细节问题没有很好的处理。
1、什么样的小数是循环小数？不是它的定义，而是具体到用什么样的方法来判断。
应该是它的两种表达式：一是循环节上画循环点（俗称戴帽子），二是在重复出现的数字至少写了两组再写上省略号（俗称带尾巴），注意必须是写了两组重复的一样的数字再带省略号。
2、怎样确定循环节？这个知识点我是课后给学生们补的火。
有些循环小数的循环节简单明了，好找。
有些就复杂点了。
复杂的我告诉学生从小数部分第一数字看起，若后面都是这个数字在重复，它就是我们要找的循环节；不是的话看两个数字，若后面都是这两个数字的重复，则它俩就是循环节；依此类推，两个不是看三个、四个。
同理，当循环节不是从第一个数字开始的话，我们就从第二个数字开始来用上面的方法来分析，找出循环节。
比如：4.231919···它的小数部分第一位（十分位）是2，而后面不都是2或根本就没有，它肯定不是循环节的部分，再看两位23后面也没有23的重复，23也不是的。
但是后面的1后面有1，却不全是1。
这时很清楚的知道要看两个数字19，而正好后面都是19、19的重复，所以19就是我们要找的循环节。
而5.234543···中粗略看上去好象是个循环小数，但用我们的方法是找不到循环节的。
3、上面的练习实际上是我考验学生到底掌握了循环小数的知识没有。
然后在区分好循环小数的过程中发现了新的问题。
前面五个是循环小数相对容易解决，但4.179179= 这题就出现了很多问题，好多学生不假思索的得出4.1。
79。
的结果。
而5.234543···学生更是犯傻，不知要怎样才好。
至此最后两个题目同学们开始有点争论。
自然而然，我就开始引导学生怎样解决这个问题。
学生开始认真地在书上去找答案。
（三）小数的分类。
从上面的练习中同学们发现了除循环小数以外，还有几种小数。
一种是像4.179179这种没有戴帽子也没有带尾巴的数位有限的小数，我们把小数部分位数有限的小数叫有限小数；另一种是像5.234543···带了尾巴却找不到循环节的无限也不循环的小数，这种小数部分位数是无限的小数叫无限不循环小数。
当然，小数部分位数是无限的小数称为无限小数。
它们的分类是：小数分无限小数和有限小数；无限小数又分成循环小数和无限不循环小数。
为了加深对知识的掌握，我安排了以下的练习：1、判断。
(1)9.63666……是循环小数，循环节是6。
（）(2)循环小数是无限小数。
( )(3) 32.7272是循环小数。
（）2、分类练习。
2.38333•••33.131313•••4.231910.136136••• 3.3。
4.179179 5.234543•••有限小数：无限小数：循环小数：反思：这一节的教学总体来说，效果还算可以的。
我们知道，每个人学习任何知识时，总要以已有的知识来理解新知识，用已有的生活经验和知识基础，用自己的思维方式去尝试解决新问题，构建新知识。
学生通过自己的亲身体验，获得了知识。
这个方式提高他的学习兴趣，增强自主学习解决问题的能力。
练习的教学设计让学生在灵活运用所学知识的同时，加强对循环小数概念的理解，激发学生参与课堂的积极性和主动性，有效巩固了相关知识。
有一点要指出的是“无限小数又分成循环小数和无限不循环小数”中无限小数和循环小数关系是个教学重点。
在教学中一定多强调它们的包含关系，循环小数是无限小数的一种特殊的情形，往往学生就是把循环小数和无限小数看作是同一级的分类。
这是个考试的热点，也是学生容易混淆的地方。
（四）全课小结。
通过这节课的学习，你有什么收获，还有什么问题和想法？（让学生自己来说，多找几个同学发言谈收获）关于循环小数还有很多知识，感兴趣的同学可以利用课余时间去找一找生活中的循环小数和无限小数。
反思：在学生回顾本节课知识的同时，给学生质疑和表达的机会，培养他们形成反思的意识。
激发学生的学习欲望，使知识的学习引申到课外。
总的反思：1、“数学教学要充分考虑学生的心理发展特点，结合他们的生活经验和已有知识，设计富有情趣和意义的活动，使他们有更多的机会从周围熟悉的事物中学习数学和理解数学”。
在处理教材时，我没有注意把教材与学生的特点有机的结合起来。
导致学生对于“循环”这个词理解的不是很好。
用学生身边的循环现象来突破循环小数的定义是能够起到事半功倍的效果。
2、教学时，我从学生功能的思维特点出发，设计复习旧知得出循环小数，再从循环小数的概念——判断——循环节——写法——分类，引导学生观察、比较、分析，逐步加深对循环小数的认识，并注意让学生在应用“新知”的过程中，加深对“新知”的理解。
但是在教学中关于商是循环小数的列竖式计算，我只是在开头导入时粗略的讲解，没有告诉学生应该怎样操作。
竖式计算对于学生来说并非“新知”，但是它们是让学生进一步理解时不可缺少的形象生动的模型，在教学中，我应该先让学生尝试着自己进行计算，同时引导学生做到哪一步就可以了？为什么？把精力放在引导学生观察竖式、发现规律上，使学生对“依次、不断、重复出现”有了更为具体的感性认识，是学生在十分自然的状态下逐步进入“角色”，突出了模型的作用。